De thi dai hoc nam 2013 lan 1 mon Toan cua Nhat Ban (De 2)

De thi dai hoc nam 2013 lan 1 mon Toan cua Nhat Ban (De 2) De thi dai hoc nam 2013 lan 1 mon Toan cua Nhat Ban (De 2) De thi dai hoc nam 2013 lan 1 mon Toan cua Nhat Ban (De 2) De thi dai hoc nam 2013 lan 1 mon Toan cua Nhat Ban (De 2)

数学 コース 2 （上級コース）

Ⅰ

問 1 xの2次関数y D ax2C bx C cが，次の条件【＊】を満たしているとする。

【＊】x D 1における値はy D 8であり，x D 3における値はy D 16である。さらに，区間

1 <D xD 3< において，xの値が増加すると共にyの値も増加する。

b D AB a C C






















1

c D DE a F






















2

a

である。

0 < a <D

I J

M

<

D a < 0

を満たすことである。

問 2 a，b，c，d はa < b < c < d 満たす実数とし，実数の部分集合

A D fxja <D xD cg< ，B D fxjb <D x<D d g

が

A \ B D fxjx2 4x C 3 <D 0g

を満たしているとする。

A [ B D fxjx2 5x 24 <D 0g

a D NO ，b D P ，c D Q ，d D R

である。

A \ NB D fxjx2C 5x 6 <D 0 かつx ¤ 1g

N

A \ B D fxjx2 9x C 18 <D 0 かつx ¤ 3g

a D ST ，b D U ，c D V ，d D W

である。

*1 部分集合：subset

*2 補集合：complement

# ‌

OA
OB# ‌

DOB# ‌

OC# ‌

DOC# ‌

OA# ‌

D 0

OA
# ‌

OBは# ‌

OAと # ‌

(1) # ‌

AB
# ‌

AC D A ， # ‌

q

B ，cos†BAC D C

D

q

E

F

である。

# ‌

H

# ‌OA

COB# ‌

COC# ‌であるから

# ‌

q

I

J ; # ‌

K

q

L

M ; # ‌

AG
# ‌

q

Q

である。

*3 内積：inner product

*4 重心：center of gravity

*5 半直線：ray(half line)

*6 四面体：tetrahedron

x2

2 C y

2

4 D 1，x <D 0，y <D 0

を満たすとき

P D x2C xy C y2

の最大値を求めよう。

0 <D  D< 2



とおくと

P D

q

D

q

と表され

sin ˛D

q

F

q

H

0 <D ˛D< 2



q

20D ˛ C 

L

であるから

sin 20D

q

M

q

O P

である。

問 1 数列fSngを

SnD

n

X

kD1

1 p

k n D 1; 2; 3; : : : /

lim

n!1Sn

lim

n!1

S2n Sn

pn

を求めよう。

(1) 次の問題文中の A ∼ I には，下の 0∼9 の中から適するものを選びなさい。

lim

y0D A 2

q

x B

そこで，区間k <D x<D k C 1 k D 1; 1; : : : ; n/で考えると

1 p

Z kC1

k

1 p

xdx

が成り立つ。

Sn E

l G F

1 p

xdxD H

q

G 1



が得られ

lim

n!1SnD I

となる。

(2) 次の問題文中の J ∼ P には，下の 0∼9 の中から適するものを選びなさい。

lim

n!1

S2n Sn

p

S2n SnD

n

i

kD1

1 q

J

lim

n!1

S2n Sn

p

n D limn!1 1

K

n

i

kD1

1 r

L Ckn D

l N M

1 p

1 C xdx

P 1

となる。

5 nC 1 6 n k 7 nC k 8 nC k 1 9 nC k C 1

*7 区分求積法：quadrature(mensuration) by parts

問 2 次の問題文中の Q ， S ， V には，次ページ下の 0∼7 の中から適する式を選びな

微分可能*8な関数f x/が次の等式を満たしている。

Z x

0 f t /dt D 1 C e x/f x/ C 2x 4 log 2






















1

x!1f x/を求めよう。

.1 C e x/

Q



D R






















2

g0.x/ D S

1 C e x

となる。よって

g.x/ D T log.1C e x/ C C

*8 微分可能な：di fferentiable

*9 積分定数：integral constant

また，g.0/ D f 0/より，C D U である。したがって，g.x/が求まり

f x/ D V log.1C e x/

と定まる。

D tとおくと

f x/ D W log.1C t/1t となる。よって

lim

x!1f x/ D lim

x! X

と求まる。

0 f0.x/ f x/ 1 f x/ f0.x/ 2 f0.x/ 2f x/ 3 f x/ 2f0.x/