Về phép đạo hàm trên đại số banach và ứng dụng

Khi đó, các tác giả đã chứng minh được rằng: tập giá trịcủa phép đạo hàm liên tục trên đại số Banach giao hoán luôn nằm trongcăn của đại số đó.. Ngoài việc trình bày khái niệm, ví dụ và

2 Tính liên tục của đạo hàm trên đại số Banach giao hoán

MỞ ĐẦU

Một ánh xạ D từ đại số A vào chính nó được gọi là phép đạo hàmnếu D là ánh xạ tuyến tính và D(ab) = D(a)b + aD(b) với mọi a, b ∈ A.Phép đạo hàm trên các đại số tổng quát có vai trò rất quan trọng trongviệc nghiên cứu cấu trúc của nó

Lý thuyết về đại số Banach là lĩnh vực quan trọng của Toán giải tích

Nó có rất nhiều ứng dụng sâu sắc trong nhiều chuyên ngành của toán học,đặc biệt là ứng dụng trong nghiên cứu giải tích phức, đại số đều, lý thuyếttoán tử, Đại số Banach là một lớp đại số đặc biệt, nó có cấu trúc giảitích tương thích với cấu trúc đại số Một sự tự nhiên là nghiên cứu phépđạo hàm trên đại số Banach đã được Singer và Wermer đề xuất vào năm

1955 (xem [8] ) Khi đó, các tác giả đã chứng minh được rằng: tập giá trịcủa phép đạo hàm liên tục trên đại số Banach giao hoán luôn nằm trongcăn của đại số đó Câu hỏi đặt ra là liệu kết luận còn đúng khi bỏ tínhliên tục của phép đạo hàm? Năm 1988 Thomas trên một công trình công

bố trên tạp chí nổi tiếng là Annals of Mathematics (xem [6]) đã trả lờikhẳng định cho câu hỏi trên, từ đó suy ra rằng các đạo hàm trên đại sốBanach giao hoán nửa đơn luôn liên tục Đối với các đại số Banach khônggiao hoán thì đến nay chỉ có các câu trả lời bộ phận Nghiên cứu đạo hàmtrên đại số Banach là vấn đề thú vị và vẫn còn khá nhiều bài toán mở liênquan Nhằm tìm hiểu về phép đạo hàm trên đại số Banach, chúng tôi lựachọn đề tài sau cho luận văn của mình là: Về phép đạo hàm trên đại sốBanach và ứng dụng

Nội dung chính của luận văn nghiên cứu về phép đạo hàm trên đại số

phức, tính liên tục của phép đạo hàm trên đại số Banach giao hoán vàmột vài ứng dụng Ngoài việc trình bày khái niệm, ví dụ và chứng minhchi tiết các kết quả đã có trong các tài liệu, chúng tôi đề xuất một số kếtquả về tính chất của phép đạo hàm trên đại số Banach giao hoán dựa trênphép tính hàm một biến trong đại số Banach giao hoán đã trình bày trong[3] Chúng tôi cũng đưa ra một số ví dụ minh họa cho các kết quả Cácnội dung của luận văn được trình bày trong 2 chương:

Chương 1 Mở đầu về phép đạo hàm trên các đại số và đại sốBanach

Nội dung chương này trình bày về một số kiến thức chuẩn bị về giảitích phức và đại số cần dùng về sau; các khái niệm, ví dụ và chứng minhchi tiết một số tính chất cơ bản của phép đạo hàm trên các đại số phức;khái niệm, ví dụ và những kết quả cơ bản của đại số Banach giao hoán.Chương 2 Tính liên tục của đạo hàm trên đại số Banach giao hoán

và ứng dụng

Chương này nghiên cứu về tính liên tục của phép đạo hàm trên đại

số Banach giao hoán và một vài ứng dụng Đầu tiên, chúng tôi trình bàychứng minh chi tiết kết quả của Wermer và Singer về tính chất của phépđạo hàm trên đại số Banach giao hoán Sau đó, chúng tôi đề xuất và chứngminh một số tính chất của phép đạo hàm trên đại số Banach giao hoáncủa đa thức, phân thức và hàm chỉnh hình đối với phép tính hàm mộtbiến trên đại số Banach giao hoán Cuối cùng, chúng tôi trình bày haiứng dụng của phép đạo hàm liên tục trong chứng minh một điều kiện đủ

để một phần tử trong đại số các ánh xạ tuyến tính liên tục là lũy linhtổng quát và chứng minh kết quả nổi tiếng của Shilov về sự không tồn tạichuẩn trên đại số các hàm khả vi mọi cấp trên một đoạn để nó trở thànhđại số Banach

Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫncủa thầy giáo, TS Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu

sắc của mình đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Banlãnh đạo Phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán học vàcảm ơn các thầy, cô giáo trong Bộ môn Giải tích, Khoa Sư phạm Toán học

đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập.Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các đồng nghiệp trong TổToán Trường THPT Trần Hưng Đạo, Quận Gò Vấp, Thành phố Hồ ChíMinh đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóahọc Cuối cùng xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là cácbạn trong lớp Cao học 21 Giải tích tại Trường Đại học Sài gòn đã cộngtác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiêncứu Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng gópcủa các thầy, cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 9 năm 2015

Vũ Hoàng Vũ

và những kết quả cơ bản của đại số Banach giao hoán.

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này chúng tôi trình bày một số kết quả mở đầu về giải tích phức

và đại số cần dùng về sau Các kết quả được trích ra từ [2] Cho Ω là tập

mở trong C Ta ký hiệu H(Ω) là tập hợp tất cả các hàm chỉnh hình trên

Ω Với mỗi tập X ⊂ C ta ký hiệu C(X) là tập hợp các hàm liên tục trên

X Các kết quả đặc sắc sau thuộc lý thuyết Cauchy về hàm chỉnh hìnhmột biến

1.1.1 Định lý Nếu Ω là miền đơn liên trong C và f ∈ H(Ω) thì

Z

γ

f (z)dz = 0,

với mọi đường cong Jordan đóng, trơn từng khúc γ ⊂ Ω

Kết quả trên vẫn còn đúng cho trường hợp miền đa liên, thậm chí trongthực hành chúng ta còn dùng ở mức độ tổng quát hơn

1.1.2 Định lý Nếu Ω ⊂ C là miền bị chặn sao cho ∂Ω (biên củamiền Ω) là hợp hữu hạn các đường cong Jordan trơn từng khúc và

f ∈ H(Ω) ∩ C(Ω) thì

Z

∂Ω

f (z)dz = 0

Sau đây là công thức tích phân Cauchy

1.1.3 Định lý Cho D ⊂ C là miền đơn liên bị chặn sao cho ∂D làđường cong Jordan trơn hoặc trơn từng khúc Nếu f ∈ H(D) ∩ C(D)

với mọi z ∈ D và n = 0, 1, 2,

1.1.5 Định nghĩa Cho Ω ⊂ Cn Dãy hàm {fn} ⊂ C(Ω) được gọi là hội

tụ đều trên các tập compact tới hàm f ∈ C(Ω) nếu với mỗi tập compact

Kết quả sau là định lý Weierstrass về dãy hàm chỉnh hình

1.1.6 Định lý Nếu {fn} ⊂ H(Ω) và {fn} hội tụ đều trên các tậpcompact của Ω tới hàm f thì f ∈ H(Ω)

Định lý sau đây là kết quả nổi tiếng của Runge về xấp xỉ hàm chỉnhhình

1.1.7 Định lý Nếu f ∈ H(Ω) thì f xấp xỉ đều trên các tập compactcủa Ω bởi dãy các hàm hữu tỷ cực điểm ngoài Ω Đặc biệt, nếu C\ Ω

liên thông thì f xấp xỉ đều trên các tập compact của Ω bởi dãy các đathức

1.1.8 Định nghĩa Một đại số phức A là một không gian véctơ A trêntrường C cùng với một phép nhân trong trên A thoả mãn các điều kiện:1) x(yz) = (xy)z, ∀x, y, z ∈ A;

2) x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz, ∀x, y, z ∈ A;

3) (αx)y = αxy, ∀x, y ∈ A, ∀α ∈ C

1.2 Phép đạo hàm trên các đại số

Mục này nghiên cứu khái niệm, ví dụ và chứng minh chi tiết một sốtính chất cơ bản của phép đạo hàm trên các đại số phức

1.2.1 Định nghĩa ([8]) Cho A là một đại số phức Phép đạo hàm D

trên A là ánh xạ tuyến tính D : A → A thỏa mãn

D(ab) = D(a)b + aD(b)

với mọi a, b ∈ A Sau đây là một số ví dụ về phép đạo hàm trên cácđại số.

1.2.2 Ví dụ Cho giả sử A = P (R) là đại số các đa thức trên R, với cácphép toán cộng và nhân các đa thức thông thường Trên P (R) ta xác ánh

xạ xác định bởi

D(p) = p0

trong đó p0 là đạo hàm theo nghĩa thông thường của đa thức p Khi đó,

D là phép đạo hàm trên P (R) Thật vậy, từ các tính chất quen thuộc

(p + q)0(x) = p0(x) + q0(x), (λp)0(x) = λp0(x)

và (pq)0(x) = p0(x)q(x) + p(x)q0(x) với mọi x ∈ R, của đạo hàm theo

nghĩa thông thường ta có D là tuyến tính và D(pq) = D(p)q + pD(q) vớimọi P (R)

Tổng quát hơn ta có ví dụ sau

1.2.3 Ví dụ Xét C∞((a, b)) đại số các hàm khả vi mọi cấp trên (a, b)

với các phép toán cộng, nhân vô hướng và nhân theo điểm thông thường.Khi đó, Trên C∞((a, b)) ta xác ánh xạ xác định bởi

Da(λb) = a(λb) − (λb)a = λ(ab) − λ(ba) = λ(ab − ba) = λDa(b)

Suy ra Da tuyến tính Nhờ tính kết hợp của phép nhân, ta có

Da(bc) = a(bc) − bc(a) = (ab)c − b(ca)

và

Da(b)c + bDa(c) = (ab − ba)c + b(ac − ca) = (ab)c − b(ca)

Do đó

Da(bc) = Da(b)c + bDa(c)

Vì vậy, Da là phép đạo hàm trên A Chú ý rằng, đại số A giao hoán khi

và chỉ khi Da bằng 0 với mọi a ∈ A

Sau đây là các trường hợp đặc biệt của ví dụ vừa trình bày

1.2.5 Ví dụ Xét Mn(C) là đại số các ma trận vuông cấp n × n với cácphần tử phức Với các phép toán cộng, nhân thông thường các ma trậnthì Mn(C) là đại số phức Khi đó, với mỗi A ∈ Mn(C) ánh xạ

với mọi Z ∈ C3 là phép đạo hàm trên C3 Nó là ví dụ khá quen thuộc vềphép đạo hàm trên đại số Lie.

Giả sử D là phép đạo hàm trên đại số A với đơn vị e Ta ký hiệu

D0(a) = a

và

Dn(a) = D(Dn−1(a))

với mọi n > 2 Ta có ngay kết quả sau:

1.2.7 Mệnh đề Giả sử D là phép đạo hàm trên đại số A Khi đó

Dn(a + b) = Dn(a) + Dn(b) và Dn(λa) = λDn(a) với mọi a ∈ A và

k=0

CmkDm−k(a)Dk(b)

Ta có

Dm+1(ab) = D(Dm(ab)) = D

mX

k=0

CmkDm−k(a)Dk(b)

=

mX

k=0

CmkD(Dm−k(a)Dk(b)) ( do D tuyến tính)

=

mX

k=0

CmkDm−k+1(a)Dk(b) + Dm−k(a)Dk+1(b) ( do D là đạo hàm)

= Dm+1(a)b +

nX

k=1

Cmk + Cmk−1
Dm−k+1(a)Dk(b) ( do A giao hoán)

=

m+1X

k=0

m+1X

k=0

Cm+1k
Dm−k+1(a)Dk(b),

đẳng thức cuối có được là do Cmk + Cmk−1 = Cm+1k Vậy công thức đúng

cho n = m + 1

1.3 Một số kết quả về đại số Banach

Mục này trình bày những khái niệm và tính chất mở đầu của Đại số

Banach giao hoán Các kết quả được trích ra từ [1]

1.3.1 Định nghĩa Một đại số Banach A là một đại số phức thoả mãn

các điều kiện

1) A là một không gian Banach với chuẩn k.k nào đó cho trước

2) kxyk 6 kxkkyk, với mọi x, y ∈ A

3) Tồn tại e ∈ A sao cho ex = xe = x, ∀x ∈ A

4) kek = 1

Phần tử e được gọi là đơn vị của A Nếu phép nhân trong trên A là giao

hoán thì ta gọi A là đại số Banach giao hoán

Phần tử x ∈ Ađược gọi là khả nghịch trong Anếu tồn tạiy = x−1 ∈ A

sao cho

x−1x = xx−1 = e,

khi đó x−1 được gọi là phần tử nghịch đảo của x Dễ dàng kiểm tra đượcphần tử khả nghịch của x nếu tồn tại thì đó là phần tử duy nhất Ký hiệu

G(A) là tập các phần tử nghịch đảo của A

1.3.2 Nhận xét 1) Phần tử đơn vị của đại số Banach là duy nhất.2) Phép nhân trong là liên tục phải và liên tục trái Thật vậy, giả sửdãy {xn} ⊂ A và xn → x ∈ A khi n → ∞ Khi đó, với mỗi y ∈ A ta có

06 kxny − xyk 6 kxn − xkkyk → 0

khi n → ∞ Nghĩa là xny → xy, hay phép nhân là liên tục trái Hoàntoàn tương tự phép nhân liên tục phải

1.3.3 Định nghĩa Cho A là một đại số Banach Không gian con đóng

B ⊂ A chứa đơn vị của A, khép kín với phép nhân trong của A được gọi

là một đại số con của A

1.3.4 Ví dụ 1) Đại số C với phép nhân hai số phức và chuẩn Euclidethông thường là đại số Banach giao hoán có đơn vị là phần tử 1

2) Cho E là không gian Banach và B(E) ={Toán tử tuyến tính bị chặn

từ E vào E}, Trên B(E) xác định phép nhân trong

1 trên X, với phép nhân theo điểm, tức là

(f g)(x) = f (x)g(x), ∀x ∈ X

4) Cho K là tập compact trong Cn Ký hiệu P (K), R(K) và A(K)

theo thứ tự là tập hợp các hàm f ∈ C(K) được xấp xỉ đều trên K bởi các

đa thức, các hàm hữu tỷ cực điểm ngoài K và các hàm chỉnh hình trênphần trong của K và liên tục trên K Khi đó, với các phép toán cảm sinh

từ C(K) thì P (K), R(K) và A(K) là các đại số Banach con của C(K).Hơn nữa, ta luôn có bao hàm thức

P (K) ⊂ R(K) ⊂ A(K) ⊂ C(K)

1.3.5 Định nghĩa Cho A, B là các đại số Banach

1)ánh xạ tuyến tính h : A → Bđược gọi là một đồng cấu, nếu h(xy) =h(x)h(y) với mọi x, y ∈ A

2) Phiếm hàm tuyến tính ϕ : A → C không đồng nhất bằng 0 đượcgọi là một đồng cấu phức trên A nếu

1.3.8 Nhận xét Mọi đồng cấu phức ϕ trên đại số Banach A đều làphiếm hàm tuyến tính liên tục và kϕk = 1 Thật vậy, từ Định lý 1.1.9 ta

1.3.9 Mệnh đề Tập các phần tử nghịch đảo G(A) của đại số Banach

A là một nhóm với phép nhân trong A Hơn nữa, G(A) là tập mở của

A và ánh xạ x → x−1 là phép đồng phôi từ G(A) lên chính nó

1.3.10 Định nghĩa Cho A là một đại số Banach

Phổ của x ∈ A được ký hiệu là σ(x), là tập hợp tất cả λ ∈ C sao cho

λe − x khả nghịch trong A, tức là λe − x ∈ G(A)

Tập hợp C\ σ(x) được gọi là giải ( giải thức) của x ∈ A

Số thực ρ(x) = sup{|λ| : λ ∈ σ(x)} được gọi là bán kính phổ của x.1.3.11 Định lý Giả sử A là một đại số Banach và x ∈ A Khi đó1) Phổ σ(x) của x là tập compact khác rỗng của C

2) Bán kính phổ được biểu diễn bởi công thức

ρ(x) = lim

n→∞kxnkn1 = inf

n > 1kxnkn1

Từ định lý trên chúng ta thu được một kết quả quan trọng

1.3.12 Hệ quả (Gelfand-Mazur) Nếu đại số Banach giao hoán A màmọi phần tử khác 0 đều khả nghịch thì nó đẳng cấu, đẳng cự với C.1.3.13 Định nghĩa Cho A là một đại số Banach giao hoán Tập con

J ⊂ A được gọi là một ideal nếu J là một không gian con của A và

f g ∈ J với mọi f ∈ J và với mọi g ∈ A

Ideal J của A được gọi là ideal cực đại nếu J 6= A và J không nằmtrong bất kỳ một ideal thực sự nào của A.

1.3.14 Bổ đề ([1]) i) Mỗi ideal thực sự của A được chứa trong mộtideal cực đại của A

ii) Ideal J là cực đại khi và chỉ khi A/J là một trường

1.3.15 Định lý 1) Mỗi ideal cực đại là một tập đóng

2) Nếu J là một ideal cực đại thì không gian thương A/J đẳngcấu, đẳng cự với trường số phức C

Cho A là một đại số Banach giao hoán Ta ký hiệu ∆A là tập hợp tất

cả các đồng cấu phức trên A, MA là tập hợp các ideal cực đại của A Khi

đó ta có kết quả quan trọng sau

1.3.16 Định lý ánh xạ f : ∆A → MA xác định bởi

f (φ) = kerφ,

trong đó kerφ là hạt nhân của φ là song ánh

1.3.17 Nhận xét Từ Nhận xét 1.1.10 và Định lý 1.1.22 ta có thể đồngnhất MA với một tập con của hình cầu đơn vị trong không gian liên hợp

A∗ của A Trên MA ta xét tôpô yếu sao cảm sinh từ tôpô yếu sao trên

A∗ Cụ thể hơn, cơ sở lân cận của ψ ∈ MA là họ tập có dạng

1.3.19 Định nghĩa Cho A là một đại số Banach giao hoán , MA làkhông gian các ideal cực đại của A và f ∈ A Phép biến đổi Gelfand của

f là hàm nhận giá trị phức f : Mˆ A →C được xác định bởi

C(MA), các hàm số phức liên tục trên MA

1.3.21 Định lý Đại số Aˆ chứa hằng, tách các điểm của MA Phépbiến đổi Gelfand f 7→ ˆf là đồng cấu của A lên Aˆ và

k ˆf kMA 6 kf k, ∀f ∈ A

Ta nhận được kết quả cơ bản sau

1.3.22 Định lý Giả sử A là đại số Banach giáo hoán và f ∈ A Khiđó

1.3.25 Định nghĩa Cho A là đại số Banach giao hoán Giao tất cả cácideal cực đại của A được gọi là căn của đại số A và ký hiệu là radA Đại

số Banach A được gọi là nửa đơn nếu radA = {0}

1.3.26 Định nghĩa Cho A là đại số Banach Phần tử a ∈ A được gọi

là lũy linh tổng quát nếu bán kính phổ của nó bằng 0

1.3.27 Nhận xét Phần tử x ∈ radAnếu và chỉ nếu ρ(x) = lim

Suy ra x(ϕ) = ϕ(x) = 0ˆ với mọi ϕ ∈ MA Vậy x ∈ radA

Ngược lại, nếu x ∈ radA Khi đó,

ˆx(ϕ) = ϕ(x) = 0

với mọi ϕ ∈ MA Do đó

ρ(x) = lim

n→∞kxnkn1 = sup{|ˆx(ϕ)| : ϕ ∈ MA} = 0

CHƯƠNG 2TÍNH LIÊN TỤC CỦA ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ

BANACH GIAO HOÁN VÀ ỨNG DỤNG

Chương này nghiên cứu về tính liên tục của phép đạo hàm trên đại sốBanach giao hoán và một vài ứng dụng Trong mục thứ nhất, chúng tôitrình bày chứng minh chi tiết kết quả của Wermer và Singer về tính chấtcủa phép đạo hàm trên đại số Banach giao hoán Sau đó, chúng tôi đề xuất

và chứng minh một số tính chất của phép đạo hàm trên đại số Banachgiao hoán của đa thức, phân thức và hàm chỉnh hình đối với phép tínhhàm một biến trên đại số Banach giao hoán Trong mục thứ hai, chúngtôi trình bày hai ứng dụng của phép đạo hàm liên tục trong chứng minhmột điều kiện đủ để một phần tử trong đại số các ánh xạ tuyến tính liêntục là lũy linh tổng quát và chứng minh kết quả nổi tiếng của Shilov về

sự không tồn tại chuẩn trên đại số các hàm khả vi mọi cấp trên một đoạn

để nó trở thành đại số Banach

2.1 Tính liên tục của đạo hàm trên đại số Banach giao hoán

Mục này trình bày các kết quả của Singer, Wermer về tính liên tục củaphép đạo hàm trên đại số Banach

2.1.1 Định nghĩa ([8]) Cho D là đạo hàm trên đại số Banach A Khi

đó D được gọi là bị chặn nếu

sup

kak=1

kD(a)k = kDk < ∞