Khổng gian Sobolev
Ω l mởt miãn (mð v liản thổng) trong R d , α = (α 1 , α 2 , , α d ) ∈ Z d + l mởt a ch¿ số vợi |α| = P d j=1 α j Náu u l h m khÊ vi n lƯn thẳ vợi mồi α thọa mÂn |α| ⩽ n , Ôo h m cĐp α cừa u ữủc biºu diạn bði
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về không gian các hàm liên tục và không gian L^p Đầu tiên, không gian C^∞(Ω) bao gồm các hàm khả vi vô hạn với giá trị nằm trong tập compact chứa Ω Không gian này thường được gọi là không gian hàm thể hiện Tiếp theo, với p ∈ [1, +∞), không gian L^p(Ω) là tập hợp các hàm Lebesgue u: Ω → R thỏa mãn điều kiện ∫_Ω |u(x)|^p dx < ∞ Khi đó, L^p(Ω) trở thành một không gian Banach với chuẩn được định nghĩa bởi ||u||_L^p(Ω) = (∫_Ω |u(x)|^p dx)^(1/p).
Khổng gian C 0 ∞ (Ω) trũ mêt trong khổng gian L p (Ω) vợi p ∈ [1, ∞) Khổng gian L ∞ (Ω) gỗm cĂc h m o ữủc Lebesgue u : Ω → R bà ch°n trản Ω l mởt khổng gian Banach vợi chuân kuk L ∞ (Ω) = ess sup x∈Ω
Khổng gian L p loc (Ω) , p ∈ [1, +∞] bao gỗm cĂc h m u ∈ L p (Ω 0 ) vợi mồi têp con compact Ω 0 ⊂⊂ Ω Tứ ành nghắa, ta cõ L p (Ω) ⊂ L 1 loc (Ω) vợi mồi 1 ⩽ p ⩽ ∞
1.2.2 Mằnh ã (BĐt ¯ng thực Holder) GiÊ sỷ p, q ∈ [1, +∞] l c°p số mụ liản hủp, 1 p + 1 q = 1 , u ∈ L p (Ω), v ∈ L q (Ω) Khi õ, ta cõ
1.2.3 Mằnh ã (Bờ ã Fatou) GiÊ sỷ {u n } l dÂy h m o ữủc khổng Ơm trản têp o ữủc Ω ⊂ R d Khi õ, ta cõ
Ω lim inf n→∞ u n dx ⩽ lim inf n→∞
Mằnh ã (Lebesgue) là một khái niệm quan trọng trong giải tích, liên quan đến dãy số {u_n} được định nghĩa trên miền Ω ⊂ R^d Điều kiện |u_n| ⩽ f trên miền Ω cho mọi n ∈ N* cho thấy rằng f là một hàm khả tích Khi n tiến tới vô cực, ta có thể xem xét giới hạn của dãy số này, điều này mở ra nhiều ứng dụng trong lý thuyết tích phân và phân tích hàm.
1.2.5 ành nghắa GiÊ sỷ α l mởt a ch¿ số, u, v ∈ L 1 loc (Ω) Ta nõi rơng, v l Ôo h m yáu cĐp α cừa u náu
Ω vφ dx, vợi mồi φ ∈ C 0 ∞ (Ω) Kẵ hiằu v = D α u
Tứ ành nghắa trản, Ôo h m cờ iºn D α u cĐp α cừa h m u cụng l Ôo h m yáu cĐp α cừa h m u Tuy nhiản, cõ thº tỗn tÔi Ôo h m yáu
Dự báo thời tiết cho thấy tình hình khí hậu sẽ có những biến đổi đáng kể trong thời gian tới Một số nghiên cứu đã chỉ ra rằng nhiệt độ có thể tăng cao hơn mức trung bình, ảnh hưởng đến nhiều lĩnh vực Trong bối cảnh này, chúng ta cần chú ý đến các biện pháp ứng phó và thích nghi với biến đổi khí hậu, nhằm bảo vệ môi trường và sức khỏe cộng đồng.
1.2.6 ành nghắa Cho Ω l mởt miãn trong R d cõ biản l ∂Ω , k l mởt số nguyản khổng Ơm, 1 ⩽ p ⩽ ∞ Khổng gian Sobolev W k,p (Ω) gỗm tĐt cÊ cĂc h m u ∈ L p (Ω) sao cho Ôo h m yáu D α u ∈ L p (Ω) vợi mồi
Nhữ chúng ta  biát, W k,p (Ω) l khổng gian Banach vợi chuân xĂc ành bði cổng thực kuk W k,p (Ω) =
1 p náu 1 ⩽ p < ∞, max |α| ⩽k kD α uk L ∞ (Ω) náu p = ∞
Trong trữớng hủp 1 ⩽ p < ∞ , W k,p (Ω) l mởt khổng gian Banach tĂch ữủc v l khổng gian phÊn xÔ náu 1 < p < ∞ °c biằt, vợi k = 0 , ta cõ W 0,p (Ω) = L p (Ω) Vợi k = 1 , ta cõ khổng gian W 1,p (Ω) vợi chuân kuk W 1,p (Ω) =
|x| max = max j=1,d {|x j |}tữỡng ữỡng vợi chuân |x| = P d j=1 |x j | p 1 p vợi mồi p ∈ [1, ∞) nản suy ra trong R d chuân Euclide |x| = P d j=1 |x j | 2 1 2 tữỡng ữỡng vợi chuân |x| = P d j=1 |x j | p 1 p vợi mồi p ∈ [1, ∞) (xem
[1, ành lẵ 1.23]) Do vêy, trong khổng gian W 1,p (Ω) , chuân (1.3) tữỡng ữỡng vợi chuân kuk W 1,p (Ω) =
Khi p = 2 , ta thữớng kẵ hiằu W k,2 (Ω) = H k (Ω) Ơy l khổng gian Hilbert vợi tẵch vổ hữợng hu, vi k =
Khổng gian W 0 k,p (Ω) ữủc hiºu l bao õng cừa C 0 ∞ (Ω) theo chuân trong W k,p (Ω) Khổng gian cĂc phiám h m tuyán tẵnh liản tửc trản
W k,p (Ω)gồi l khổng gian ối ngău cừa W k,p (Ω) v kẵ hiằu l (W k,p (Ω)) ∗
1.2.7 ành nghắa Cho Ω l mởt miãn bà ch°n trong R d vợi biản ∂ Ω
Ta nõi Ω l mởt miãn Lipschitz hay miãn cõ biản Lipschitz náu vợi mội iºm z ∈ ∂ Ω , tỗn tÔi mởt lƠn cên U z cừa z v mởt h m liản tửc Lipschitz ψ z sao cho
Cho không gian Banach X và Y, nếu X nhúng liên tục vào Y và tồn tại hằng số c > 0 sao cho kuk_Y ≤ c * kuk_X với mọi u ∈ X, thì ta có toán tử nhúng J: X → Y, u ↦ J(u) ∈ Y là liên tục Nếu không gian X nhúng liên tục vào Y và toán tử nhúng J xác định những tập compact, thì ta nói rằng phép nhúng là compact.
1.2.9 Mằnh ã (ành lẵ nhúng Sobolev, xem [14, ành lẵ 1.51]) GiÊ sỷ Ω ⊂ R d l mởt miãn bà ch°n cõ biản Lipschitz, 1 ⩽ p < ∞ Khi õ, ta câ c¡c ph²p nhóng sau:
1) Náu kp < d thẳ W k,p (Ω) , → L q (Ω) , vợi mồi 1 ⩽ q ⩽ p ∗ = d−kp dp Hỡn nỳa, W k,p (Ω) , →, → L q (Ω) vợi mồi 1 ⩽ q < p ∗ = d−kp dp
3) Náu k > d p thẳ W k,p (Ω) , →, → C m,α (Ω) , trong õ m = h k − d p i v α = k − d p − m ∈ [0, 1) º ỵ rơng náu chúng ta x²t trong khổng gian Sobolev W 0 k,p (Ω) thẳ khổng cƯn iãu kiằn Lipschitz ối vợi biản cừa miãn Ω , xem thảm [14, Chó þ 1.52].
1.2.10 Mằnh ã (BĐt ¯ng thực Poincar², xem [14, ành lẵ 1.41]) GiÊ sỷ Ω l mởt miãn bà ch°n trong R d , 1 ⩽ p < ∞ Khi õ, tỗn tÔi hơng số
C = C(p, Ω) phử thuởc v o p v Ω sao cho vợi mồi h m u ∈ W 0 1,p (Ω) , ta luổn cõ kuk L p (Ω) ⩽ Ck∇uk L p (Ω)
Trong luên vôn, chúng tổi quan tƠm án khổng gian Sobolev W 0 1,p (Ω)
(k = 1, 1 < p < ∞) Theo ành nghắa trản, Ơy l mởt khổng gian Banach phÊn xÔ v tĂch ữủc vợi chuân kuk W 1,p
Náu Ω l mởt miãn bà ch°n thẳ tứ bĐt ¯ng thực Poincar², chuân trản tữỡng ữỡng vợi chuân kuk W 1,p
1 p , u ∈ W 0 1,p (Ω). Ơy l chuân m chúng tổi s³ sỷ dửng trong luên vôn khi x²t khổng gian Sobolev W 0 1,p (Ω).
Phữỡng phĂp bián phƠn
Giá trị của một hàm số I: X → R được định nghĩa trong không gian Banach X là một phép toán xác định trên X Chúng ta gọi I là hàm Fréchet nếu tồn tại một hàm số I₀(u) ∈ X∗ = L(X, R) sao cho giới hạn khi X tiến đến 0.
Náu I khÊ vi Fr²chet tÔi mồi iºm u ∈ X thẳ ta nõi rơng phiám h m
I khÊ vi Fr²chet trản X , Ănh xÔ I 0 : X → X ∗ , u 7→ I 0 (u) ữủc gồi l Ôo h m Fr²chet cừa I Náu phiám h m I khÊ vi Fr²chet trản X thẳ I liản tửc trản X
Náu I khÊ vi Fr²chet trản X v Ôo h m Fr²chet I 0 : X → X ∗ liản tửc thẳ ta nõi rơng I khÊ vi Fr²chet liản tửc trản X v kẵ hiằu I ∈ C 1 (X, R ) Chuân cừa I 0 (u) ữủc xĂc ành bði kI 0 (u)k X ∗ = sup.
Giá trị của hàm I: X → R là một phép toán xác định trên không gian Banach X Chúng ta nói rằng I khái quát Gâteaux tại điểm u ∈ X theo hướng h, nếu tồn tại giới hạn của tỷ lệ phần trăm của hàm I khi thay đổi theo h, điều này cho thấy I có thể được phân tích theo cách tuyến tính tại điểm u.
I G 0 (u) ∈ X ∗ = L(X, R ) sao cho vợi mồi h ∈ X , ta cõ t→0 lim
Náu I khÊ vi GƠteaux là một khái niệm quan trọng trong không gian X, với ánh xô I G 0: X → X* được gọi là lô h m GƠteaux của I Tính chất khÊ vi GƠteaux không chỉ giúp xác định các tính chất liên quan đến hàm mà còn suy ra được tính chất liên tục, tương tự như khái niệm khÊ vi Fr²chet.
Tứ cĂc ành nghắa trản ta cõ náu I khÊ vi Fr²chet tÔi u thẳ I khÊ vi GƠteaux tÔi u Hỡn nỳa, náu phiám h m I cõ Ôo h m GƠteaux I G 0 liản tửc trản X thẳ I khÊ vi Fr²chet v I ∈ C 1 (X, R).
1.3.3 ành nghắa GiÊ sỷ Ω ⊂ R d H m f : Ω ì R n → R ữủc gồi l h m Carath²odory náu thọa mÂn cĂc iãu kiằn: Vợi mội x ∈ Ω cố ành, h m ξ 7→ f (x, ξ) liản tửc trản R n v vợi mội ξ ∈ R n cố ành, h m x 7→ f (x, ξ) o ữủc trản Ω
1.3.4 Mằnh ã (xem [14, ành lẵ 2.76]) GiÊ sỷ Ω ⊂ R d l mởt miãn bà ch°n, s ∈ [1, +∞) , f : Ω ì R n → R l mởt h m Carath²odory thọa mÂn iãu kiằn tông trữðng
|f (x, ξ)| ⩽ c(1 + |ξ | s ), c > 0 vợi mồi x ∈ Ω v ξ ∈ R n Khi õ toĂn tỷ u 7→ f (x, u) liản tửc tứ khổng gian L sp (Ω, R n ) v o khổng gian L p (Ω) vợi mồi p ∈ [1, +∞)
1.3.5 ành nghắa GiÊ sỷ X l khổng gian Banach, I : X → R l phiám h m xĂc ành trản X
Phiám h m I : X → R ữủc gồi l nỷa liản tửc dữợi mÔnh trản X náu vợi mồi dÂy {u n } hởi tử mÔnh án u trong X , ta cõ
Phiám h m I ữủc gồi l nỷa liản tửc dữợi yáu trản X náu vợi mồi dÂy {u n } hởi tử yáu án u trong X , ta cõ
1.3.6 Mằnh ã (xem [3, Mửc I.3 v Hằ quÊ III.8]) GiÊ sỷ X l khổng gian Banach, I : X → R l mởt phiám h m xĂc ành trản X
1) Phiám h m I nỷa liản tửc dữợi mÔnh trản X náu v ch¿ náu vợi mồi u ∈ X v vợi mồi > 0 , tỗn tÔi δ = δ(u, ) > 0 sao cho I (v) ⩾ I (u) − vợi mồi v ∈ X thọa mÂn ku − vk < δ
2) Náu I l phiám h m lỗi trản X thẳ I l nỷa liản tửc dữợi yáu khi v ch¿ khi nõ l nỷa liản tửc dữợi mÔnh.
Trong không gian Banach X, xét hàm I: X → R, với I thỏa mãn điều kiện Palais-Smale Giả sử có một chuỗi {u_n} trong X sao cho {I(u_n)} hội tụ và giới hạn lim n→∞ I(u_n) = 0, thì tồn tại một chuỗi con hội tụ trong X.
Sau đây, chúng ta sẽ giới thiệu hai định lý quan trọng trong lý thuyết tối ưu, bao gồm định lý lằn qua núi (Mountain Pass Theorem) Những định lý này cho phép chúng ta chứng minh sự tồn tại của điểm cực trị tối ưu của những hàm số không liên tục.
1.3.8 Mằnh ã (xem [2, ành lẵ 2.1]) GiÊ sỷ X l khổng gian Banach v I ∈ C 1 (X, R ) GiÊ sỷ I thọa mÂn iãu kiằn Palais-Smale, I (0) = 0 v cĂc iãu kiằn sau thọa mÂn:
1) Tỗn tÔi cĂc hơng số ρ, α > 0 sao cho I (u) ⩾ α vợi mồi u ∈ X thọa mÂn kuk = ρ
2) Tỗn tÔi e ∈ X , kek > ρ sao cho I(e) < 0 °t c = inf γ∈Γ max t∈[0,1] I (γ(t)), trong â Γ = {γ ∈ C ([0, 1], X ) | γ(0) = 0, γ(1) = e}
Khi õ c l mởt giĂ trà tợi hÔn cừa phiám h m I , tực l tỗn tÔi iºm tợi hÔn u ∈ X sao cho I 0 (u) = 0 v I (u) = c ⩾ α
1.3.9 Mằnh ã (xem [16, ành lẵ 9.12]) GiÊ sỷ X l khổng gian Banach thỹc vổ hÔn chiãu, I ∈ C 1 (X, R ) l phiám h m chđn, thọa mÂn iãu kiằn Palais-Smale v I (0) = 0 GiÊ sỷ rơng
1) Tỗn tÔi cĂc hơng số ρ > 0 , α > 0 sao cho I (u) ⩾ α vợi mồi u ∈ X thọa mÂn kuk = ρ
2) Vợi mội khổng gian con hỳu hÔn chiãu X 1 ⊂ X , têp hủp {u ∈ X 1 :
Khi õ, tỗn tÔi mởt dÂy cĂc iºm tợi hÔn {u n } sao cho I 0 (u n ) = 0 v
NGHIM YU CếA MậT LẻP BI TON BIN
ELLIPTIC TÊNG QUT KIU P -LAPLACIAN
Trong chữỡng n y, chúng tổi s³ nghiản cựu sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu cừa lợp b i toĂn biản elliptic cõ dÔng tờng quĂt nhữ sau
−div(a(x, ∇u)) = f (x, u), x ∈ Ω, u = 0, x ∈ ∂Ω, (2.1) trong õ Ω l miãn bà ch°n trong khổng gian R d , d ⩾ 2 , a : Ω ì R d → R d , f : Ω ì R → R l cĂc h m liản tửc thọa mÂn mởt số iãu kiằn nhĐt ành. º ỵ rơng khi a(x, ξ) = |ξ| p−2 ξ vợi ξ ∈ R d , p ∈ (1, +∞) ta ữủc div(a(x, ∇u)) = div(|∇u| p−2 ∇u) = d
:= ∆ p u v b i toĂn (2.1) trð th nh b i toĂn biản eliptic vợi toĂn tỷ p -Laplacian
−∆ p u = f (x, u), x ∈ Ω, u = 0, x ∈ ∂Ω (2.2) °c biằt, khi p = 2 ta cõ b i toĂn biản eliptic vợi toĂn tỷ Laplace
Gần đây, nhiều cổng cửa khác nhau và nhiều bài toán trong lĩnh vực toán học đã được nghiên cứu cẩn thận Các tác giả trong [6] đã sử dụng phương pháp bậc tổ để áp dụng lý thuyết Morse vào các bài toán cụ thể Trong [4], bài toán (2.2) được nghiên cứu bằng phương pháp bậc tổ nhằm tìm hiểu các đặc điểm của nó Một phương pháp mới này có thể biến đổi các hình dạng khác nhau, và độc giả có thể tham khảo bài báo [5] để biết thêm chi tiết.
Trong luận văn này, chúng tôi quan tâm đến lý thuyết điểm tối ưu và phương pháp biến phân Theo phương pháp này, điểm tối ưu của một bài toán biện luận elliptic được quy về điểm tối ưu của một hàm mục tiêu trong một không gian thích hợp Khi áp dụng các nguyên lý cơ bản, điểm tối ưu của hàm chúng ta thường gặp phải tình huống hàm mục tiêu bị giới hạn Do đó, trong nhiều trường hợp, không thể sử dụng các nguyên lý cơ bản.
Năm 1973, trong bài báo nổi tiếng, hai nhà toán học Ambrosetti và Rabinowitz đã xuất bản và chứng minh một kết quả biến phân có tên "Qua núi" Kết quả này cho thấy sự tồn tại của các hàm số trong trường hợp phi tuyến, mở rộng khái niệm về sự tồn tại của cực trị Ambrosetti và Rabinowitz đã nghiên cứu sâu sắc về bài toán này, với một trong những giả thiết quan trọng là sự tồn tại rõ ràng của các cực trị sau khi áp dụng kết quả "Qua núi", cụ thể là tồn tại các hướng số θ > 2 và t > 0.
Điều kiện (2.4) chứng minh sự tồn tại của nghiệm cho bài toán (2.3) thỏa mãn điều kiện Palais-Smale, một trong những điều kiện quan trọng của lý thuyết "Qua núi" Vào năm 1995, J Mawhin và các đồng nghiệp đã nghiên cứu các kết quả của Ambrosetti và Rabinowitz cho bài toán biên elliptic (2.2) với toán tử p-Laplacian.
Đẳng thức ∆ p u = div(|∇u| p−2 ∇u) được đưa ra bởi J Mawhin, cùng với các nghiên cứu của Napoli và Mariani trong bài báo [15], liên quan đến bài toán biên cho phương trình elliptic với toán tử p-Laplacian Nội dung chính trong bài báo của Napoli và Mariani [15] tập trung vào mức đạt của nghiệm và những đặc điểm quan trọng của phương trình này.
GiÊ sỷ p ∈ (1, +∞) , A : Ω ì R d → R, A = A(x, ξ) l mởt h m liản tửc trản Ω ì R d , cõ Ôo h m a = D ξ A = A 0 : Ω ì R d → R d theo bián ξ ∈ R d liản tửc v thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau Ơy:
(A2) H m a thọa mÂn iãu kiằn tông trữðng
|a(x, ξ)| ⩽ c 1 (1 + |ξ| p−1 ) vợi mồi x ∈ Ω , ξ ∈ R d v c 1 > 0 l mởt hơng số.
(A3) A thọa mÂn iãu kiằn p -lỗi ãu, tực l tỗn tÔi mởt hơng số c 2 > 0 sao cho
(A4) A thọa mÂn iãu kiằn p -dữợi thuƯn nhĐt
(A5) A thọa mÂn iãu kiằn eliptic, tực l tỗn tÔi hơng số c 3 > 0 sao cho
Trong phần 2.1.1, chúng ta xem xét hàm giám sát A(x, ξ) = 1/p |ξ|^p và a(x, ξ) = |ξ|^(p−2) ξ với ξ thuộc R^d và p ≥ 2 Khi đó, toán tử p-Laplacian được định nghĩa qua phương trình div(a(x, ∇u)) = div(|∇u|^(p−2) ∇u) := Δ_p u Điều này dẫn đến việc phân tích các điều kiện cần thiết cho bài toán biên eliptic, bao gồm các giả thiết (A1), (A2), (A4) và (A5) để đảm bảo tính tồn tại của nghiệm Chúng ta cũng sẽ kiểm tra giả thiết (A3).
Trong không gian R^d, với hai vợt mồi ξ, η ∈ R^d, ta có A_0(x, ξ) = |ξ|^2 Theo định nghĩa, hàm A(x, ξ) được xác định bởi A(x, ξ) = (A_0(x, ξ))^(p/2) = |ξ|^p Để kiểm tra điều kiện thiết yếu (A3), chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Clarkson như sau: (ξ + η)/(2^p).
2 |η| p vợi mồi ξ, η ∈ R d , ð Ơy kẵ hiằu |.| ữủc hiºu l chuân Euclide trong khổng gian R d
2 GiÊ sỷ Ω l mởt miãn bà ch°n trong R d v a(x) = (a ij (x)) ∈
C(Ω, R dìd ) l mởt ma trên vuổng cĐp d ối xựng xĂc ành dữỡng, tực l a ij (x) = a ji (x) v n
X i,j=1 a ij (x)ξ i ξ j ⩾ c|ξ | 2 vợi mồi x ∈ Ω , ξ = (ξ 1 , ξ 2 , , ξ d ) ∈ R d v c > 0 l mởt hơng số. °t
2 ha(x)ξ, ξi ta câ a(x, ξ) = D ξ A(x, ξ) = a(x)ξ ∈ R d Khi â ta câ to¡n tû elliptic d¤ng
Bði iãu kiằn ối xựng xĂc ành dữỡng cừa ma trên a(x) , ta thĐy cĂc giÊ thiát (A1), (A4) v (A5) thọa mÂn. °t M = max x∈Ω |a ij (x)| < +∞ ta câ
|a(x, ξ)| ⩽ |a(x)||ξ | ⩽ M |ξ| ⩽ M (1 + |ξ|) vợi mồi x ∈ Ω , ξ = (ξ 1 , ξ 2 , , ξ d ) ∈ R d , do õ (A2) thọa mÂn vợi p = 2
Ta s³ chựng minh A(x, ξ) l 2 -lỗi ãu.
Thêt vêy, vợi mồi ξ, η ∈ R d ta cõ
M°t khĂc bði tẵnh chĐt xĂc ành dữỡng cừa ma trên a(x) nhữ Â nõi ð trản ta cõ
2 |ξ − η| 2 vợi mồi x ∈ Ω, η ∈ R d v c > 0 l mởt hơng số, hay A(x, ξ) l 2 -lỗi ãu.
3 Cho p ⩾ 2 X²t h m A(x, ξ) = 1 p [(1 + |ξ| 2 ) p/2 − 1] , ξ ∈ R n Khi â, ta ữủc toĂn tỷ div((1 + |∇u| 2 ) p−2 2 ∇u).
Ró r ng giÊ thiát (A1) v (A5) thọa mÂn º kiºm tra giÊ thiát (A2), ta x²t h m số ψ : [0, +∞) → (0, +∞) xĂc ành bði cổng thực ψ(t) = (1 + t 2 ) p−2 2
Vẳ ψ(t) l mởt h m số liản tửc trản [0, +∞) v lim t→+∞ ψ(t) = 1 nản c 4 := max {t⩾0} ψ(t) < +∞ Tứ õ suy ra
GiÊ thiát (A3) thọa mÂn vẳ 1 + |ξ| 2 l 2 -lỗi ãu nản theo Mằnh ã 1.1.5 thẳ (1 + |ξ| 2 ) p 2 l p -lỗi ãu v do õ A(x, ξ) = (1 + |ξ| 2 ) p 2 − 1 l p -lỗi ãu. º kiºm tra (A4) ta thĐy (1 + t) p−2 2 ⩾ 1 + p−2 2 t vợi mồi t ⩾ 0 Do õ
(1+ t) p−2 2 t+(1+ t) p−2 2 vợi mồi t ⩾ 0 Tứ Ơy suy ra (1+ t) p 2 −1 ⩾ (1+t) p−2 2 t vợi mồi t ⩾ 0 hay
Liản quan án biºu thực phi tuyán f , chúng ta giÊ thiát rơng f : Ω →
R l mởt h m số liản tửc v thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
(f1) iãu kiằn tông trữðng dữợi tợi hÔn: tỗn tÔi cĂc hơng số c 4 > 0 v p < q < p ∗ sao cho
|f (x, t)| ⩽ c 4 (1 + |t| q−1 ) vợi mồi x ∈ Ω , t ∈ R, trong õ p ∗ = N p/(N − p) náu p < N v p ∗ = +∞ náu p ⩾ N ữủc gồi l số mụ Sobolev tợi hÔn.
(f2) iãu kiằn kiºu Ambrosetti-Robinowitz: tỗn tÔi cĂc hơng số θ > p v t 0 > 0 sao cho
(f3) GiÊ sỷ λ 1 l giĂ trà riảng thự nhĐt cừa toĂn tỷ −∆ p vợi biản Dirichlet bơng 0 , ữủc cho bði cổng thực λ 1 = inf u∈W 0 1,p (Ω)\{0}
GiÊ thiát rơng tỗn tÔi hơng số 0 < λ < λ 1 pc 3 sao cho lim sup t→0 f (x, t)
2.1.2 Vẵ dử GiÊ sỷ q l hơng số thọa mÂn p < q < p ∗ , trong õ p ∗ l số mụ Sobolev tợi hÔn °t f (x, t) = |t| q−2 t vợi mồi x ∈ Ω v t ∈ R Khi õ ta cõ thº kiºm tra ữủc h m f (x, t) thọa mÂn cĂc giÊ thiát (f1), (f2) v (f3) ð trản.
Giới thiệu về bài toán (2.1) liên quan đến sự tồn tại của nghiệm cho phương trình phi tuyến, chúng ta thấy rằng việc áp dụng định lý Fréchet giúp chứng minh tính khả thi của nghiệm trong không gian Sobolev W₀¹,p(Ω) và không gian Lq(Ω) Khi q = p*, bài toán (2.1) trở thành khả thi, trong khi khi q > p*, bài toán (2.1) lại không có nghiệm Trong cả hai trường hợp này, kỹ thuật biến phân liên quan đến tính compact và điều kiện biên của miền Ω là rất quan trọng.
Sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu cừa b i toĂn (2.1)
Bài toán (2.1) liên quan đến các giá trị thiết lập (A1)-(A5) và (f1)-(f3) sẽ được nghiên cứu thông qua phương pháp biến phân Chúng ta sẽ kiểm tra các giá trị của ảnh "Qua núi" và dòng đối xứng của nó khi biểu thức phi tuyến f(x, t) được xác định theo t Trước hết, chúng ta cần làm rõ nghĩa nghĩa quan trọng cho bài toán (2.1).
2.2.1 ành nghắa H m u ∈ W 0 1,p (Ω) ữủc gồi l mởt nghiằm yáu cừa b i toĂn biản elliptic (2.1) náu nõ thọa mÂn ¯ng thực tẵch phƠn
Trước hết, chúng ta nhận thấy rằng bậc sỹ xuất hiện của toán tử div trong bài toán (2.1) cao hơn bậc ô hình của hàm u trong biểu thức tác phẩm định nghĩa 2.2.1 thấp hơn bậc ô hình của hàm u trong bài toán (2.1) Hơn nữa, ô hình của u trong định nghĩa 2.2.1 được hiểu là ô hình yếu (u ∈ W 0 1,p (Ω)) nắm nghĩa của bài toán (2.1) trong trường hợp này gọi là nghĩa yếu Chúng ta sẽ thấy tình huống này trong định nghĩa 2.2.1, trước hết chúng ta sẽ chỉ ra các biểu thức tác phẩm trong định lý (2.5) là tồn tại và hữu hạn.
Thêt vêy, tứ giÊ thiát (A1) v bĐt ¯ng thực Holder ta cõ
< +∞ vẳ C 0 ∞ (Ω) trũ mêt trong khổng gian W 0 1,p (Ω), ð Ơy à(Ω) l ở o Lebesgue cừa Ω trong khổng gian R d
Ho n to n tữỡng tỹ, tứ giÊ thiát (f1) ta cõ
Trong không gian L^q(Ω), các hàm thuộc W^{0,1,p}(Ω) có thể được nhúng vào C^{0,∞}(Ω) một cách liên tục Để chứng minh điều này, ta cần khởi đầu từ các điều kiện của hàm trong (2.1) và thỏa mãn các điều kiện cần thiết Hai yếu tố chính trong phương trình (2.1) và hàm số thuộc C^{0,∞}(Ω) là rất quan trọng để thực hiện tách phân tích trong bài toán này.
M°t khĂc, theo ành lẵ Divergence (ối vợi Ôo h m theo nghắa thổng thữớng) v vẳ v ∈ C 0 ∞ (Ω) ta cõ
(div(a(x, ∇u))v + a(x, ∇u)∇v) dx, trong õ n(x) l vectỡ phĂp tuyán vợi biản ∂Ω tÔi x Tứ õ suy ra h m u thọa mÂn phữỡng trẳnh (2.5).
Ngữủc lÔi náu h m u ∈ W 0 1,p (Ω) thọa mÂn phữỡng trẳnh (2.5) vợi mồi h m thỷ v ∈ C 0 ∞ (Ω) Khi õ, theo ành nghắa vã Ôo h m yáu trong khổng gian Sobolev ta cõ
(−div (a(x, ∇u)) − f (x, u)) v dx = 0 vợi mồi v ∈ C 0 ∞ (Ω) Tứ õ ta cõ
−div(a(x, ∇u)) = f (x, u) vợi mồi x ∈ Ω Hỡn nỳa vẳ u ∈ W 0 1,p (Ω) nản u = 0 vợi x ∈ ∂Ω Nhữ vêy h m u thọa mÂn (2.1) theo nghắa yáu.
Trữợc hát, chúng ta phĂt biºu ành lẵ vã sỹ tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt nghiằm ối vợi b i toĂn biản elliptic (2.1) nhữ sau:
Trong bài toán biên elliptic (2.1), chúng ta cần thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A5) và (f1)-(f3) để chứng minh tính tồn tại của nghiệm trong không gian Sobolev W₀¹,p(Ω) Khi bài toán (2.1) có nghiệm, nó sẽ đạt được một giá trị cực đại trong không gian này Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp "Qua núi" và xác định hàm I: W₀¹,p(Ω) → R cho bài toán thực.
F (x, u) dx, (2.7) ð Ơy cĂc h m A v F ữủc ành nghắa nhữ trong mửc 2.1.
2.2.3 Bờ ã Phiám h m I ho n to n xĂc ành v khÊ vi Fr²chet trản khổng gian Sobolev W 0 1,p (Ω) , tực l I ∈ C 1 (W 0 1,p (Ω), R ) v Ôo h m cừa nõ ữủc cho bði
Chựng minh Trữợc hát chúng ta chựng minh phiám h m I xĂc ành vợi mồi u ∈ W 0 1,p (Ω) Thêt vêy, ta cõ
Tứ õ, dũng giÊ thiát (A2) ta ữủc
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực Holder, suy ra
Chựng minh ho n to n tữỡng tỹ, tứ giÊ thiát (f1), ta cõ
F (x, t) ⩽ c 4 |t| + c 4 q |t| q (2.8) vợi mồi x ∈ Ω v t ∈ R , trong õ p < q < p ∗ Tứ õ suy ra
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các tính chất của không gian Sobolev \( W_0^{1,p}(\Omega) \) và chứng minh rằng hàm \( I \) thuộc \( C^1(W_0^{1,p}(\Omega), \mathbb{R}) \) thông qua việc khảo sát vi phân Gâteaux của \( I \) Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh rằng hàm \( J \) cũng thuộc \( C^1(W_0^{1,p}(\Omega), \mathbb{R}) \) và khảo sát vi phân Gâteaux của \( J \), từ đó xác định tính liên tục của hàm này.
Ω a(x, ∇u)∇v dx, u, v ∈ W 0 1,p (Ω) (2.9) Vợi mồi v ∈ W 0 1,p (Ω), 0 < |t| < 1 ta cõ
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực Holder ta cõ
Nhữ vêy, g ∈ L 1 (Ω) Tứ (2.10) v (2.11), Ăp dửng ành lẵ Lebesgue vã hởi tử bà ch°n ta cõ (2.9) thọa mÂn.
Tiáp theo chúng ta s³ ch¿ ra Ôo h m GƠteaux J G 0 liản tửc trong
W 0 1,p (Ω) GiÊ sỷ {u n } l mởt dÂy hởi tử mÔnh án u trong khổng gian
W 0 1,p (Ω) Khi õ ∇u n → ∇u mÔnh trong L p (Ω, R d ) khi n → ∞ nản tứ iãu kiằn (A2) v Mằnh ã 1.3.4 suy ra a(x, ∇u n ) → a(x, ∇u) mÔnh trong L p−1 p (Ω, R d ) khi n → ∞
Vợi mồi v ∈ W 0 1,p (Ω), Ăp dửng bĐt ¯ng thực Holder ta cõ
Nhữ vêy ta cõ Ôo h m GƠteaux J G 0 cừa phiám h m J liản tửc trản
W 0 1,p (Ω) v do õ J khÊ vi Fr²chet, ỗng thới Ôo h m Fr²chet J 0 cừa J cụng chẵnh l Ôo h m J G 0 cho bði cổng thực (2.9).
Tứ giê thiát (f1) và phép nhúng tứ không gian Sobolev W 0 1,p (Ω) vào không gian L q (Ω), với 1 ⩽ q < p ∗, là một chủ đề quan trọng trong phân tích toán học Chúng ta có thể chứng minh được phiếm hàm K cho bội cổng thực (2.7) thông qua vi phân Fréchet và ô hàm Fréchet của nó, liên quan đến bội cổng thực.
Tõm lÔi ta  chựng minh ữủc phiám h m I ∈ C 1 (W 0 1,p (Ω), R ) v cõ Ôo h m Fr²chet cừa nõ cho bði cổng thực
Tứ Bờ ã 2.2.3 trình bày việc nghiên cứu về bài toán biên elliptic (2.1) và quy trình tìm nghiệm tối ưu cho bài toán này trong không gian Sobolev W 0 1,p (Ω) thông qua các kỹ thuật "Qua núi" được đề cập trong Chương 1.
2.2.4 Bờ ã Phiám h m J cho bði cổng thực (2.7) nỷa liản tửc dữợi yáu trản khổng gian Sobolev W 0 1,p (Ω)
Chựng minh º chựng minh phiám h m J nỷa liản tửc dữợi yáu trản khổng gian Sobolev W 0 1,p (Ω) , trữợc hát chúng ta s³ chựng minh J l phiám h m nỷa liản tửc dữợi mÔnh trản W 0 1,p (Ω)
Thêt vêy, giÊ sỷ u ∈ W 0 1,p (Ω) v > 0 cố ành, chúng ta s³ chựng minh tỗn tÔi δ = δ(u, ) > 0 sao cho
J(v) ⩾ J (u) − (2.12) vợi mồi v ∈ W 0 1,p (Ω) thọa mÂn ku − vk W 0 1,p (Ω) < δ, xem Mằnh ã 1.3.6.
Tứ giÊ thiát (A3), vợi mồi u, v ∈ W 0 1,p (Ω) ta cõ
2 J (v). iãu n y nõi rơng J l phiám h m lỗi theo iºm giỳa trản khổng gian
W 0 1,p (Ω) M°t khĂc, theo Bờ ã 2.2.4, phiám h m J l khÊ vi Fr²chet nản liản tửc trản W 0 1,p (Ω) Do õ J l phiám h m lỗi trản W 0 1,p (Ω) (xem Mằnh ã 1.1.3).
Tứ õ, sỷ dửng bĐt ¯ng thực Holder ta cõ
Có tồn tại một hàm thỏa mãn điều kiện kv − uk trong không gian W 0 1,p (Ω) với độ lớn nhỏ hơn δ Do đó, J là hàm phiám h m nỷa liản tửc trong W 0 1,p (Ω) Hơn nữa, từ J là hàm phiám h m lỗi, ta có thể suy ra rằng J cũng là hàm phiám h m nỷa liản tửc trong W 0 1,p (Ω).
Trong phƯn tiáp theo chúng ta s³ chựng minh phiám h m I cho bði cổng thực (2.6) thọa mÂn iãu kiằn Palais-Smale những trữợc hát ta cõ khĂi niằm sau Ơy.
2.2.5 ành nghắa GiÊ sỷ X l mởt khổng gian Banach Ta nõi toĂn tỷ
L : X → X ∗ thọa mÂn iãu kiằn (S + ) náu vợi mồi dÂy {u n } ⊂ X thọa mÂn {u n } hởi tử yáu án u ( u n * u ) v lim sup n→∞
L(u n )(u n − u) ⩽ 0 ãu cõ mởt dÂy con hởi tử mÔnh án u
2.2.6 Bờ ã GiÊ sỷ J 0 l Ôo h m Frech²t cừa phiám h m J cho bði cổng thực (2.7), tực l
Khi õ J 0 thọa mÂn iãu kiằn (S + )
Chựng minh GiÊ sỷ {u n } l mởt dÂy trong W 0 1,p (Ω) sao cho u n * u khi n → ∞ v lim sup n→∞
Với dãy {u_n} hội tụ tới y, n là một số tự nhiên, tồn tại số r > 0 sao cho mọi n, k, thỏa mãn n < k < r Dãy J được chọn từ các phần tử của dãy {u_n} dẫn đến dãy số thực {J(u_n)} Do đó, tồn tại một dãy con của {u_n} (với n là một số tự nhiên) sao cho {J(u_n)} hội tụ, và giới hạn J(u_n) tiến tới c khi n tiến tới vô cực.
Bờ ã 2.2.4, J l phiám h m nỷa liản tửc yáu trản khổng gian W 0 1,p (Ω) , suy ra
M°t khĂc, theo chựng minh cừa Bờ ã 2.2.4 thẳ J l mởt phiám h m lỗi trản W 0 1,p (Ω) nản
Tứ (2.14) v (2.15) ta cõ J(u) ⩾ c Nhữ vêy, J (u) = c LÔi cõ vẳ u n * u nản u n 2 +u * u khi n → ∞ Bði tẵnh nỷa liản tửc dữợi yáu cừa phiám h m J , ta cõ c = J(u) ⩽ lim inf n→∞ J u n + u
Giả thuyết về sự tồn tại của nghiệm cho phương trình u là một vấn đề quan trọng Khi đó, tồn tại một dãy con của dãy {u_n} sao cho khoảng cách ku - u_n trong không gian W 0 1,p(Ω) không nhỏ hơn một hằng số dương Theo chứng minh của Bờ ã 2.2.4, điều này được khẳng định.
W 0 1,p (Ω) ⩾ c 2 p (2.17) Trong (2.17) cho n → ∞ , ta câ lim sup n→∞
Tứ (2.16) v (2.18) ta thĐy mƠu thuăn Suy ra dÂy {u n } hởi tử mÔnh án u trong khổng gian Sobolev W 0 1,p (Ω) khi n → ∞ Nhữ vêy ta  chựng minh J 0 thọa mÂn iãu kiằn (S + )
2.2.7 Bờ ã Phiám h m I cho bði cổng thực (2.6) thọa mÂn iãu kiằnPalais-Smale.
Chựng minh Cho (u n ) ⊂ W 0 1,p (Ω)l mởt dÂy Palais-Smale, tực l {I (u n )} bà ch°n v I 0 (u n ) → 0 trong khổng gian ối ngău (W 0 1,p (Ω)) ∗ Trữợc hát ta s³ chựng minh {u n } l bà ch°n trong khổng gian W 0 1,p (Ω) Thêt vêy, ta câ
Tứ giÊ thiát (A4) ta cõ
Tứ giÊ thiát (f2) ta cõ
Tứ giÊ thiát (A5) ta cõ
0 (Ω) + M à(Ω), trong õ k.k ∗ ữủc hiºu l chuân trong khổng gian ối ngău (W 0 1,p (Ω)) ∗ Tâm l¤i ta câ c 3
Giá trị của phương trình (2.21) cho thấy rằng khi chúng ta mở rộng dải con cửa {u_n}, ta có thể tìm được một hàm số u sao cho u thuộc không gian W^{1,p}(Ω) và có giá trị tiến tới +∞ Điều này xảy ra trong trường hợp 1 < p < θ, và khi chia cả hai vế cho hàm số u_n thuộc không gian W^{1,p}.
0 (Ω) v cho n → ∞ , ta thĐy mƠu thuăn Nhữ vêy dÂy {u n } bà ch°n trong khổng gian W 0 1,p (Ω).
Trong không gian Banach W₀¹,p(Ω), chúng ta có thể tìm thấy một dãy con {uₙ} hội tụ đến một nghiệm u thuộc W₀¹,p(Ω) Bài viết sẽ chứng minh rằng dãy {uₙ} có một dãy con hội tụ đến nghiệm này, cho thấy tính chất hội tụ trong không gian này.
Theo Bờ ã 2.2.6, J 0 thọa mÂn iãu kiằn (S + ) Do õ ta ch¿ cƯn chựng minh lim sup n→∞
Ta có I₀(uₙ) → 0 khi n → ∞ trong không gian (W₀¹,p(Ω))* Hơn nữa, uₙ * u khi n → ∞ và uₙ − u * 0 khi n → ∞ dẫn đến việc {uₙ − u} bị chặn trong không gian W₀¹,p(Ω) Từ đó suy ra n→∞ lim I₀(uₙ)(uₙ − u) = 0 Một khía cạnh khác, theo giả thiết (f₁) và bất đẳng thức thực Hôlder, ta có.
Vẳ ph²p nhúng W 0 1,p (Ω) , →, → L q (Ω) l compact vợi p < q < p ∗ (xem Mằnh ã 1.2.9) nản dÂy {u n } hởi tử mÔnh án u trong khổng gian L q (Ω)
Ω f (x, u n )(u n − u) dx = 0 (2.25) Kát hủp (2.23)-(2.25) ta cõ n→∞ lim
Theo Bờ ã 2.2.6, toĂn tỷ J 0 thọa mÂn iãu kiằn (S + ) nản suy ra dÂy
{u n } cõ mởt dÂy con hởi tử mÔnh án u trong khổng gian W 0 1,p (Ω) Vẳ vêy phiám h m I thọa mÂn iãu kiằn Palais-Smale trản W 0 1,p (Ω).
2.2.8 Bờ ã 1 Tỗn tÔi cĂc hơng số α, ρ > 0 sao cho I (u) = α > 0 vợi mồi u ∈ W 0 1,p (Ω) thọa mÂn kuk W 0 1,p (Ω) = ρ
2 Tỗn tÔi e ∈ W 0 1,p (Ω) vợi kek W 0 1,p (Ω) > ρ sao cho I (e) < 0
Chựng minh 1 Theo giÊ thiát (f3), ta cõ 0 < λ < λ 1 pc 3 Chồn > 0 ừ nhọ sao cho c 3 > λ + pλ 1
Tứ (f3) tỗn tÔi hơng số δ = δ() > 0 sao cho f (x, t)
Bơng cĂch lĐy tẵch phƠn theo tứng vá ta cõ
Tứ (2.8), vợi δ > 0 nõi ð trản ta luổn tẳm ữủc hơng số c(δ) > 0 phử thuởc v o δ sao cho
Theo giÊ thiát (A5) v ành lẵ nhúng tứ khổng gian Sobolev W 0 1,p (Ω) v o khổng gian L q (Ω) , p < q < p ∗ , ta cõ
Vẳ c 3 > λ+ pλ 1 nản ta luổn chồn ữủc hơng số ρ > 0 ừ nhọ sao cho
I (u) ⩾ α > 0 vợi mồi u ∈ W 0 1,p (Ω) cõ chuân kuk W 0 1,p (Ω) = ρ.
2 Trữợc hát chúng ta s³ chựng minh rơng
Vợi mội x ∈ Ω v ξ ∈ R d cố ành, x²t h m số ϕ : [1, +∞) → R xĂc ành bði cổng thực ϕ(t) = A(x, tξ).
Tứ giÊ thiát (A4) ta cõ ϕ 0 (t) ⩽ p t A(x, tξ)
LĐy tẵch phƠn cÊ hai vá tứ 1 án t ta ữủc ln ϕ(t) − ln ϕ(1) ⩽ p ln t, ∀t ⩾ 1.
Tứ õ ta cõ ϕ(t) ⩽ ϕ(1)t p , ∀t ⩾ 1 hay (2.29) thọa mÂn.
Tiáp theo, chúng ta s³ ch¿ ra
Thêt vêy, vợi mội |t| ⩾ t 0 > 0 cố ành, ta x²t h m số s 7→ ψ(s) =
F (x, st) trản miãn [1, +∞) Ta cõ |st| = s|t| ⩾ t 0 > 0 Theo giÊ thiát (f2), ta câ ψ 0 (s) = f (x, st)t = 1 s f (x, st)(st)
LĐy tẵch phƠn hai vá tứ 1 án s ta ữủc ψ(s) ⩾ ψ(1)s θ , ∀s ⩾ 1.
Tứ õ suy ra (2.30) úng vợi mồi |t| ⩾ t 0 > 0 , s ⩾ 1 v x ∈ Ω
GiÊ sỷ u 0 ∈ C 0 ∞ (Ω)\{0} cố ành sao cho à{x ∈ Ω : |u 0 (x)| ⩾ t 0 } > 0 Khi õ vợi s > 1 , theo (2.29) v (2.30) ta cõ
F (x, u 0 ) dx + M à(Ω) vợi M = sup{|F (x, t)| : x ∈ Ω, |t| ⩽ t 0 } < +∞ vẳ F (x, t) liản tửc trản
Trong bài viết này, chúng ta xem xét miền Ω = [−t₀, t₀] và điều kiện θ > p, với lim s → +∞ của I(su₀) tiến về −∞ Để tồn tại một s∗ > 0 sao cho ks∗u₀ k W₀¹,p(Ω) > ρ và I(s∗u₀) < 0, chúng ta cần chứng minh rằng tồn tại một giá trị e = s∗u₀ Điều này dẫn đến việc mở rộng khái niệm và tính chất liên quan đến bài toán (2.1).
2.2.9 ành lẵ GiÊ sỷ rơng cĂc h m a : Ω ì R d → R d v f : Ω ì R → R thọa mÂn cĂc iãu kiằn cừa ành lẵ 2.2.2 Hỡn nỳa, cĂc iãu kiằn sau ữủc thọa mÂn
Khi xét bài toán (2.1), chúng ta cần mở một dãy vỗ hôn {u_n} sao cho giới hạn lim n→∞ I(u_n) → +∞ Trong đó, I là hàm liên kết với bài toán (2.1) được xác định bởi cổng thực (2.6) Để chứng minh kết quả này, chúng ta sẽ kiểm tra các giá trị thiết yếu của Mành 1.3.9 Trước hết, ta cần có những điều kiện ban đầu phù hợp.
2.2.10 Bờ ã GiÊ sỷ X 1 ⊂ W 0 1,p (Ω) l mởt khổng gian con hỳu hÔn chiãu Khi õ têp hủp S = {u ∈ X 1 : I (u) ⩾ 0} bà ch°n trong khổng gian W 0 1,p (Ω)
Chựng minh Trữợc hát, chúng ta s³ chựng minh rơng tỗn tÔi γ ∈ C(Ω) , γ(x) > 0 vợi mồi x ∈ Ω sao cho
F (x, t) ⩾ γ (x)|t| θ (2.31) vợi mồi x ∈ Ω v |t| ⩾ t 0 Thêt vêy, tứ iãu kiằn (f2), f (x, t)
F (x, t) ⩾ θ t vợi mồi x ∈ Ω v t ⩾ t 0 > 0 LĐy tẵch phƠn cÊ hai vá tứ t 0 án t , ta ữủc ln F (x, t) − ln F (x, t 0 ) ⩾ ln t θ − ln t θ 0 hay
Tứ iãu kiằn (f2), γ 1 ∈ C (Ω) v γ 1 (x) > 0 vợi mồi x ∈ C (Ω) Chựng minh ho n to n t÷ìng tü, ta câ
F (x, t) ⩾ γ 2 (x)(−t) θ vợi mồi x ∈ Ω v t ⩽ −t 0 , trong õ γ 2 = F(x,−t t θ 0 0 ) ∈ C (Ω) v γ 2 (x) > 0 vợi mồi x ∈ Ω °t γ (x) = min{γ 1 (x), γ 2 (x)} vợi x ∈ Ω ta cõ γ ∈ C (Ω) v γ(x) > 0 vợi mồi x ∈ C(Ω) , do õ (2.31) úng.
Tiáp theo, chúng ta s³ chựng minh rơng
Ω γ (x)|u| θ + c 6 (2.32) vợi mồi u ∈ W 0 1,p (Ω) vợi c i l cĂc hơng số dữỡng, i = 5, 6
GiÊ sỷ u ∈ W 0 1,p (Ω) tũy ỵ v kẵ hiằu
Tứ (2.27) v (2.28) v p < q , tỗn tÔi hơng số c 7 > 0 sao cho
Theo chựng minh cừa Bờ ã 2.2.3 v (2.34), ta cõ
Ω γ(x)|u| θ + c 6 , trong õ c 6 l hơng số Do õ (2.32) Â ữủc chựng minh.
Theo (2.31) v chựng minh cừa Bờ ã 2.2.3, náu u ∈ W 0 1,p (Ω) thẳ
⩽ c 4 kuk L q (Ω) à(Ω) q−1 q + c 4 q kuk q L q (Ω) < +∞ vẳ ph²p nhúng W 0 1,p (Ω) , →, → L q (Ω) liản tửc v compact.
H m k.k γ : W 0 1,p (Ω) → R ữủc xĂc ành bði kuk γ =