Bồi dưỡng tư duy hàm cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học đại số và giải tích

Theo nhà toán học Nga Khinsin thì không có khái niệm nào khác có thể phản ánh những hiện tượng của thực tại khách quan một cách trực tiếp và cụ thể như khái niệm tương quan hàm, không mộ

TRẦN THỊ XUÂN

BỒI DƯỠNG TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH THPT

TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán

Mã số: 60.14.01.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Nguyễn Văn Thuận

VINH - 2016

Luận văn tốt nghiệp cao học được hoàn thành tại Đại học Vinh Có được luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới trường Đại học Vinh, phòng đào tạo sau Đại học, đặc biệt là TS.Nguyễn Văn Thuận đã trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt, giúp đỡ tôi với những chỉ dẫnkhoa học quý giá trong suốt quá trình triển khai, nghiên cứu và hoàn thành đề tài “Bồi dưỡng tư duy hàm cho học sinh THPT trong dạy học Đại số-Giải tích”

Xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô giáo-Các nhà khoa học đã trực tiếp giảng dạy truyền đạt những kiến thức khoa học chuyên nghành Lí luận phương pháp dạy học

bộ môn Toán cho bản thân trong những năm qua

Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, các đơn vị và cá nhân đã giúp đỡ trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Xin chân thành cảm ơn!

MỞ ĐẦU 1

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 3

3 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 4

4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 4

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 4

6 NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯA RA BẢO VỆ 4

7 ĐIỂM MỚI VÀ Ý NGHĨA THỰC TIỄN CỦA LUẬN ÁN 5

8 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN 5

CHƯƠNG 1: ĐỊNH HƯỚNG VẬN DỤNG QUAN ĐIỂM HOẠT ĐỘNGVÀO DẠY HỌC MÔN TOÁN NHẰM BỒI DƯỠNG TƯ DUY HÀMCHO HS THPT VÀ TỔNG QUAN VỀ TƯ DUY, TƯ DUY HÀM 6

1.1 Quan điểm hoạt động trong dạy học môn Toán 6

1.1.1 Khái niệm hoạt động 6

1.1.2 Lý thuyết hoạt động trong tâm lý học hiện đại 7

1.1.3 Quan điểm hoạt động trong dạy học môn Toán 8

1.1.4 Các tư tưởng chủ đạo của quan điểm hoạt động 9

1.1.5 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học theo hướng “hoạt động hóa người học” 10

1.2 Tư duy và vấn đề phát triển tư duy trong dạy học môn Toán 10

1.2.1.Tư duy và các vấn đề liên quan 10

1.2.2.Một số quan điểm về những thành phần của tư duy toán học và năng lực toán học 12

1.2.3.Tầm quan trọng của việc phát triển tư duy cho học sinh trong dạy học môn Toán 13

1.3.Tư duy hàm 14

1.3.1 Tư duy hàm và các nét đặc trưng của nó 14

1.3.2 Một số vấn đề cần chú ý, khi dạy học bồi dưỡng tư duy hàm cho học sinh 15

toán học và trong dạy học Toán 17

1.4.1 Lịch sử hình thành và phát triển khái niệm hàm trong toán học 17

1.4.2 Sự hình thành, phát triển khái niệm hàm số và tư duy hàm trong sách giáo khoa Toán trường phổ thông Việt Nam 20

1.5 Thực trạng dạy học môn Toán hiện nay ở trung học phổ thông 23

1.5.1 Nhận định về chương trình, sách giáo khoa trung học phổ thông hiện hành 23

1.5.2 Thực trạng nhận thức và sử dụng các phương pháp dạy học 24

1.6 Kết luận chương 1 25

CHƯƠNG 2: CÁC HOẠT ĐỘNG CƠ BẢN TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁNTRUNG HỌC PHỔ THÔNG NHẰM BỒI DƯỠNG TƯ DUY HÀMCHO HỌC SINH 27

2.1 Cơ sở để xác định các dạng hoạt động tương ứng với các nét đặc trưng của tư duy hàm 27

2.1.1 Các nguyên tắc xây dựng các hoạt động toán học 27

2.1.2.Các dạng hoạt động cơ bản tiềm tàng trong dạy học Toán phổ thông 27

2.1.3 Các tư tưởng chủ đạo về bồi dưỡng tư duy hàm 29

2.2 Các hoạt động cơ bản tiềm ẩn trong chương trình toán trung học phổ thông, tương ứng với các nét đặc trưng tư duy hàm 30

2.2.1 Nét đặc trưng thứ nhất 30

2.2.2 Nét đặc trưng thứ hai 41

2.2.3 Nét đặc trưng thứ ba 52

2.3 Kết luận chương 2 82

CHƯƠNG III: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN 83

3.1.Định hướng xây dựng và sử dụng các biện pháp sư phạm 83

3.2.1 Mục đích và nội dung biện pháp: 83

3.2.2 Điều kiện để thực hiện biện pháp 84

3.3.1 Cấp độ 1: Khai thác tiềm năng hệ thống kiến thức Toán trung học phổ thông

phát triển tư duy hàm (dạng ẩn tàng) 84

3.3.2 Cấp độ 2: Tổ chức dạy học các chủ đề liên quan trực tiếp thể hiện khái niệm hàm 88

3.4 Kết luận chương 3 89

CHƯƠNG 4: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 91

4.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 91

4.1.1 Mục đích 91

4.1.2 Nhiệm vụ 91

4.3 Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm 92

KẾT LUẬN 93

TÀI LIỆU THAM KHẢO 94

BPT : Bất phương trình

DH : Dạy học

GD : Giáo dục GD&ĐT : Giáo dục và Đào tạo

GV : Giáo viên

HĐ : Hoạt động

HS : Học sinh NXB : Nhà xuất bản

PP : Phương Pháp

PT : Phổ thông SBT : Sách bài tập SGK : Sách giáo khoa

SP : Sư phạm TDH : Tư duy hàm THPT : Trung học phổ thông THCS : Trung học cơ sở

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1.Trong những hoạt động(HĐ) quốc tế đầu tiên về cải cách giáo dục toán học,

một yêu cầu nổi bật là quan tâm đặc biệt đến sự phát triển của tư duy hàm(TDH)(do F.Clainơ đề xướng vào đầu thế kỷ XX)[29,tr.43]

Liên hệ chặt chẽ với khái niệm hàm là TDH, một loại hình tư duy được hàng loạt công trình nghiên cứu đánh giá cao và kiến nghị phải được phát triển mạnh trong dạy học(DH) các bộ môn, đặc biệt là môn Toán’’[21, tr.122]

Bồi dưỡng TDH góp phần tích cực đến việc hình thành và phát triển tư duy biện chứng cho học sinh(HS) Tư duy toán học là sự thống nhất biện chứng giữa tư duy lôgic và tư duy biện chứng: bởi vì giữa tư duy logic và tư duy biện chứng có mối quan

hệ với nhau là cùng phản ánh hiện thực khách quan, để nhận thức mặt nội dung của hiện thực cần có tư duy biện chứng và để nhận thức mặt hình thức của hiện thực cần

có tư duy logic Tuy nhiên , giáo viên(GV) Toán THPT phần lớn thường chỉ chú ý bồi dưỡng tư duy logic trong quá trình DH của mình Do đó, vấn đề bồi dưỡng TDH cho

HS THPT thông qua dạy học bộ môn Toán cần được đặt ra một cách chủ đích, tự giác

và tích cực Hơn nữa, GV Toán cần phải được chuẩn bị để thực hiện vấn đề này một cách có hiệu quả

Qua điều tra nhận thức về TDH trong GV Toán THPT, hầu hết họ cho rằng chưa hiểu lắm về khái niệm này, nên chưa thể nói đến ý thức bồi dưỡng TDH cho HS thông qua DH Thật vậy, trong giáo trình đào tạo GV Toán THPT, chưa có nội dung nào nói

về khái niệm TDH, nên cũng chưa đề cập gì đến việc phát triển TDH cho HS thông qua DH Toán

1.2 Đổi mới giáo dục nói chung và đổi mới phương pháp(PP) DH Toán nói riêng

đang trở thành một yêu cầu bức thiết của giáo dục phổ thông(PT) nước ta, nhằm tạo nguồn nhân lực phục vụ sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa nước nhà

Nghị quyết Hội nghị lần thứ hai Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam(Khóa VIII, 1997) khẳng định:”… Phải đổi mới phương pháp giáo dục và đào tạo(GD&ĐT), khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo người học…”[31]

Nhận định về PPDH Toán ở trường PT trong giai đoạn hiện nay, nhà toán học Nguyễn Cảnh Toàn có viết:”…Kiến thức, tư duy, tính cách con người chính là mục tiêu của giáo dục Thế nhưng, hiện nay trong nhà trường, tư duy và tính cách bị chìm

đi trong kiến thức, …”[28, tập 2, tr.7].”… Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đưa ra kiến thức(khái niệm, định lý) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng công thức, các định lý để tính toán, để chứng minh…’’[28, tập 1, tr.4] Hoàng Tụy cũng có nhận định tương tự:”… Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy để phát triển trí tuệ mà làm cho HS thêm xa rời thực tế, mệt mỏi, chán nản”[30,tr.35-40]

Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người đáp ứng mục tiêu công nghiệp hóa, hiện đại hóa với thực trạng lạc hậu của PPDH đã làm nẩy sinh và thúc đẩy một cuộc vận động đổi mới PPDH ở tất cả các cấp trong nghành GD&ĐT

Những năm gần đây, định hướng đổi mới PPDH với những tư tưởng chủ đạo được phát biểu dưới nhiều hình thức khác nhau, như”lấy người học làm trung tâm”,

“phát huy tính tích cực”, “PPDH(hoặc giáo dục) tích cực”, “tích cực hóa hoạt động học tập”, “hoạt động hóa người học”… Những ý tưởng này đều bao hàm những yếu tố tích cực, có tác dụng thúc đẩy đổi mới PPDH nhằm nâng cao hiệu quả GD&ĐT

Vì thế, Luật Giáo dục hiện nay đã nêu bật được bản chất của tất cả các ý tưởng

này, đó cũng là định hướng cho sự đổi mới PPDH:”PPDH cần hướng vào việc tổ chức

cho người học học tập trong HĐ và bằng HĐ tự giác, tích cực và sáng tao”[24]

Định hướng này có thể gọi tắt là học tập trong HĐ và bằng HĐ, hay gọn hơn:HĐ

hóa người học” [19, tr.124]

Quan điểm này thể hiện rõ nét mối liên hệ giữa mục đích, nội dung và PPDH.Nó

hoàn toàn phù hợp với luận điểm cơ bản của giáo dục cho rằng con người phát triển

trong HĐ và học tập diễn ra trong HĐ

Vì vậy, SGK THPT hiện hành đang được triển khai thực hiện, cần phải có sự định hướng khoa học về đổi mới PPDH nhằm khai thác tiềm năng SGK để phát triển TDH cho HS THPT theo định hướng “HĐ hóa người học”

1.3.”Khái niệm hàm là một khái niệm cực kỳ quan trọng trong toán học hiện đại

cũng như trong chương trình Toán PT Theo nhà toán học Nga Khinsin thì không có khái niệm nào khác có thể phản ánh những hiện tượng của thực tại khách quan một cách trực tiếp và cụ thể như khái niệm tương quan hàm, không một khái niệm nào có thể biểu hiện được ở trong nó những nét biện chứng của tư duy toán học hiện đại như khái niệm tương quan hàm’’[17]

Khái niệm hàm, mà một trường hợp riêng của nó là khái niệm hàm số giữ một vị trí trung tâm trong khoa học Toán Đảm bảo vị trí trung tâm của khái niệm hàm số sẽ tăng cường tính thống nhất của môn Toán PT, góp phần xóa bỏ ranh giới giả tạo giữa các phân môn của môn Toán, giữa các phần khác nhau của chương trình

Khái niệm hàm giữ vai trò chủ đạo, xuyên suốt chương trình môn Toán PT Toàn

bộ việc giảng dạy toán ở PT đều phải xoay quanh khái niệm này Dù DH đề tài trực tiếp hay không trực tiếp nói về hàm số, dù dạy đại số hay hình học, ta đều phải quán triệt quan điểm hàm

Theo đó, việc phát triển TDH cũng có thể thực hiện trong toàn bộ chương trình Toán PT Trong nội dung chương trình SGK Toán THPT vừa mới ban hành những chủ

đề kiến thức sau có nhiều tiềm năng có thể khai thác để phát triển TDH cho HS:- Xây dựng và mở rộng các hệ thống số; -Phương trình và bất phương trình(BPT);- Hàm số

và đồ thị;-Các phép đối xứng và hình đối xứng;-Một số nội dung hình học khác

Trong khi DH ta phải làm sao cho nội dung hàm số xuyên suốt các nội dung kia, các nội dung kia cũng phải xoay quanh nội dung hàm số

1.4 Nội dung vấn đề rất cấp thiết nhưng chưa được nghiên cứu nhiều, chỉ mới

một số nghiên cứu ở cấp THCS như luận án tiến sĩ “Bồi dưỡng tư duy hàm cho học sinh trung học cơ sở thông qua việc vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học Toán” của thầy giáo Lê Duy Phát

Với những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:‘‘Bồi

dưỡng tư duy hàm cho học sinh THPT trong dạy học Đại số và Giải tích”

2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Trên cơ sở nội dung chương trình, SGK Toán THPT hiện hành do nhóm tác giả: Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) và Đoàn Quỳnh(Tổng chủ biên), thông qua vận dụng

các quan điểm HĐ;luận văn xây dựng một phương án khả thi nhằm bồi dưỡng TDH cho HS một cách hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng DH môn Toán

3.GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Trên cơ sở nội dung chương trình, SGK Đại số và Giải Tích bộ môn Toán THPT hiện hành, với những nội dung thích hợp, nếu xây dựng được hệ thống các dạng HĐ tương thích với các nét đặc trưng của TDH và hệ thống các biện pháp sư phạm(SP) phù hợp, thì có thể góp phần bồi dưỡng TDH cho HS

4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

4.1 Làm rõ khái niệm TDH trên cơ sở các nét đặc trưng của nó;

4.2 Làm rõ vấn đề đổi mới PPDH môn Toán theo định hướng”HĐ hóa người học” và xây dựng các HĐ tương ứng với các nét đặc trưng của TDH;

4.3.Điều tra nhận thức và thực trạng DH của GV Toán THPT về DH phát triển TDH và đổi mới PPDH theo SGK hiện hành;

4.4 Xây dựng các biện pháp SP nhằm thực hiện tốt việc bồi dưỡng các nét đặc trưng của TDH cho HS THPT thông qua DH Toán;

4.5 Thực nghiệm sư phạm

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các dạng tài liệu trong và ngoài nước về các

vấn đề liên quan đến luận văn

5.2 Điều tra cơ bản, phỏng vấn

+ Hiểu biết về TDH và DH theo hướng”HĐ hóa người học”

+ Thực trạng của GV THPT Toán trong việc đổi mới PPDH theo SGK hiện hành 5.3 Thực nghiệm sư phạm

Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của đề tài

6 NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯA RA BẢO VỆ

6.1 Các nét đặc trưng của TDH;

6.2 Các HĐ tương ứng với các nét đặc trưng để bồi dưỡng TDH;

6.3 Tính khả thi của các biện pháp SP đề xuất nhằm nâng cao hiệu quả của bồi dưỡng các nét đặc trưng của TDH cho HS THPT thông qua DH Đại số-Giải tích THPT

6.4 Các kết quả của thực nghiệm SP

7 ĐIỂM MỚI VÀ Ý NGHĨA THỰC TIỄN CỦA LUẬN ÁN

7.1 Về mặt lý luận

+ Làm rõ khái niệm TDH, trên cơ sở xác định tường minh các nét đặc trưng của nó + Xây dựng được hệ thống các HĐ tương ứng với các nét đặc trưng đó và các biện pháp sư phạm nhằm DH phát triển TDH

8 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn có 4 chương:

Chương 1: Định hướng vận dụng quan điểm HĐ vào DH môn Toán nhằm phát

triển TDH cho HS THPT

Chương 2: Một số dạng HĐ cơ bản trong DH Đại số-Giải tích môn Toán ở

trường THPT nhằm bồi dưỡng các nét đặc trưng TDH cho HS

Chương 3: Một số biện pháp SP nhằm góp phần phát triển TDH cho HS THPT

thông qua dạy học Đại số-Giải tích

Chương 4: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 ĐỊNH HƯỚNG VẬN DỤNG QUAN ĐIỂM HOẠT ĐỘNG

VÀO DẠY HỌC MÔN TOÁN NHẰM BỒI DƯỠNG TƯ DUY HÀM

CHO HS THPT VÀ TỔNG QUAN VỀ TƯ DUY, TƯ DUY HÀM

1.1.Quan điểm hoạt động trong DH môn Toán

1.1.1 Khái niệm hoạt động

Theo Từ điển Giáo dục học[11,tr.191]: HĐ là hình thức biểu hiện quan trọng nhất của mối liên hệ tích cực, chủ động của con người đối với thực tiễn xung quanh Còn đối với từng khía cạnh thực tiễn, HĐ là quá trình diễn ra một loạt hành động có liên quan chặt chẽ với nhau tác động vào đối tượng nhằm đạt được mục đích nhất định trong đời sống XH HĐ của con người luôn xuất phát từ những động cơ nhất định do

có sự thôi thúc của nhu cầu, hứng thú, tình cảm, ý thức trách nhiệm,… Cả động cơ và mục đích cùng thúc đẩy con người tích cực và kiên trì khắc phục mọi khó khăn để đạt được kết quả mong muốn Tuy nhiên, với cùng một mục đích HĐ như nhau có thể có những động cơ khác nhau

Ngoài yếu tố mục đích và động cơ nói trên, HĐ còn có đặc trưng là phải biết sử dụng các phương tiện nhất định mới thực hiện được, như: công cụ và cách sử dụng công cụ, phương tiện ngôn ngữ và các tri thức chứa đựng trong ngôn ngữ, cách thức làm việc bằng trí óc hay chân tay Nghĩa là HĐ đòi hỏi phải có kĩ năng và kĩ xảo sử dụng các phương tiện

Theo Lêônchiép[23, tr.81]: HĐ là phương thức tồn tại của cuộc sống chủ thể Cuộc sống là “tổ hợp, hay nói một cách chính xác hơn là hệ thống các HĐ thay thế nhau’’ “HĐ đó là tích cực bên trong(tâm lí ) và bên ngoài (thể lực) của người, được điều chỉnh bởi mục tiêu tự giác (có ý thức) HĐ gắn liền chặt chẽ với nhận thức và ý chí, dựa hẳn vào chúng và không thể xẩy ra được nếu thiếu chúng’’

A.V Pêtrôvski(1982)[26,tr.66] cho rằng: Mọi HĐ là một tổ hợp những hành động thể chất, những hành động thực hành hay những hành động ngôn ngữ nào đó Do

đó, cả việc học tập cũng được thực hiện bằng con đường tiến hành những hành động khác nhau của con người: các vận động, viết, nói,…

1.1.2 Lý thuyết HĐ trong tâm lý học hiện đại(Theo[23],[7], [4])

HĐ với tư cách là một khái niệm triết học đã có từ lâu Nó mới trở thành một khái niệm tâm lý học từ đầu thế kỉ XX

Dựa trên quan điểm duy vật lịch sử về con người: ”Trong tính hiện thực của nó, bản chất con người là tổng hòa của các quan hệ xã hội”(C.Mac) Mô hình lý luận xây dựng trên phạm trù HĐ đã trả lại cho tâm lý học con người cụ thể, con người xã hội-lịch sử, con người hành động, con người HĐ

HĐ trở thành khái niệm then chốt trong bộ máy khái niệm của tâm lý học kiểu mới-tâm lý học khách quan, khoa học

Vận dụng những nguyên lý của duy vật biện chứng và duy vật lịch sử vào tâm lý học với tính cách là một khoa học cụ thể, L.X Vưgốtxki (1896-1934) đã chỉ ra rằng, muốn xây dựng một khoa học tâm lí thực sự khách quan, trước hết khoa học đó phải hiểu con người như là một tồn tại xã hội-lịch sử và lao động có ý thức, chứ không phải

là “một cái túi chứa đựng đầy những phản xạ” Tâm lý ý thức con người được nghiên cứu, tìm hiểu trong sự phân tích những hình thái hành vi của động vật Thành phần của hành vi con người là kinh nghiệm lịch sử, kinh nghiệm xã hội và kinh nghiệm lao động Từ đây đưa ra PP tiếp cận lịch sử trong tâm lí học và kết quả của sự vận dụng

PP tiếp cận này vào các công trình nghiên cứu tâm lý người là xây dựng nên lý thuyết văn hóa-lịch sử mà ngày nay, đầu thế kỷ XX , giới tâm lí học thế giới đều rất quan tâm

Toàn bộ lí thuyết tâm lý học về HĐ, cấu trúc vĩ mô của HĐ đối tượng được A.N.Lêônchiép trình bày tóm tắt trong[23,tr.115-140]: ”Hoạt động-Ý thức-Nhân cách”, cống hiến lớn nhất của ông là xây dựng nên PP tiếp cận HĐ

“Theo thuật ngữ mà tôi đề nghị, đối tượng của HĐ là động cơ thật sự của HĐ Dĩ nhiên, nó có thể là vật chất hay tinh thần, là có trong tri giác hay là chỉ có trong tưởng tượng, trong ý nghĩ Điều đó chủ yếu là: đằng sau nó bao giờ cũng là nhu cầu này hay một nhu cầu khác

Như vậy, khái niệm HĐ gắn liền một cách tất yếu với khái niệm động cơ Không

có HĐ nào không có động cơ; HĐ”không động cơ” không phải là HĐ thiếu động cơ

mà là HĐ với một động cơ ẩn dấu về mặt chủ quan và về mặt khách quan[23,tr.117]

Như vậy, HĐ của những con người có những thành tố đặc thù là con người vươn tới đối tượng, chuyển sự vật, hiện tượng, … thành đối tượng của HĐ, nhằm tạo ra sản phẩm của HĐ, thực hiện mục đích của con người Các quá trình này vừa chứa đựng, vừa thực hiện động cơ của con người với tinh thần là chủ thể của HĐ Để thực hiện động cơ, chủ thể phải dùng sức căng cơ bắp, thần kinh, năng lực, kinh nghiệm thực tiễn, … để thỏa mãn động cơ, gọi là HĐ Quá trình chiếm lĩnh từng mục đích gọi là hành động Chủ thể chỉ có thể đạt được mục đích bằng những điều kiện xác định Mỗi điều kiện quy định một cách thức hành động gọi là thao tác

Theo A.N Lêônchiép, cấu trúc chức năng của HĐ bao gồm các thành tố hành động, thao tác, động cơ, mục đích, phương tiện Mối liên hệ bên trong của HĐ là mối liên hệ giữa:Hoạt động-Hành động-Thao tác, tương ứng với liên hệ giữa: Động cơ-Mục đích-Phương tiện

1.1.3 Quan điểm HĐ trong DH môn Toán

Có thể vận dụng lý luận của A.N Lêônchiép về HĐ tâm lí để giải quyết hàng loạt vấn đề lý luận và thực tiễn DH Trong đó, chủ yếu là việc hình thành HĐ học tập cho người học, đặc biệt là học viên nhỏ tuổi Xung quanh vấn đề này, trước hết cần hình thành cho người học các đơn vị chức năng của HĐ học tập:Động cơ, mục đích học tập, qua đó hình thành thao tác Sau khi đã có HĐ học cần chuyển từ HĐ thứ yếu lên mức

HĐ chủ đạo trong quá trình phát triển của trẻ em

“ Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những HĐ nhất định Đó là những HĐ đã được tiến hành trong quá trình hình thành và vận dụng nội dung đó Phát hiện được những HĐ tiềm tàng trong một nội dung là vạch được một con đường để truyền thụ nội dung đó và thực hiện những mục đích dạy học khác, cũng đồng thời cụ thể hóa được mục đích DH nội dung đó và chỉ ra cách kiểm tra việc thực hiện những mục đích này Cho nên điều cơ bản của PPDH là khai thác được những

HĐ tiềm tàng trong nội dung để đạt được mục đích DH Khi đó giúp người học con đường chiếm lĩnh nội dung đó và đạt được những mục đích DH khác, tức là kết hợp truyền thụ tri thức với truyền thụ tri thức PP”[18,tr.13]

Theo[17, tr.123], cũng có quan điểm tương tự: HĐ của người học đóng vai trò quan trọng trong quá trình DH.Mỗi nội dung DH đều liên hệ với những HĐ nhất định

Đó trước hết là những HĐ đã được tiến hành trong quá trình lịch sử hình thành và ứng dụng những tri thức được bao hàm trong nội dung này, cũng chính là những HĐ để người học có thể kiến tạo và ứng dụng tri thức trong nội dung đó Trong quá trình DH,

ta còn phải kể tới cả những HĐ có tác dụng cũng cố tri thức, rèn luyện kĩ năng và hình thành thái độ có liên quan

1.1.4 Các tư tưởng chủ đạo của quan điểm hoạt động

Xuất phát từ một nội dung DH, ta cần phát hiện những HĐ liên hệ với nó, rồi căn

cứ vào mục đích DH mà lựa chọn để tập luyện cho HS một số trong những HĐ đã phát hiện được Việc phân tích một HĐ thành những HĐ thành phần cũng giúp ta tổ chức cho HS tiến hành những HĐ với độ phức hợp vừa sức họ

HĐ thúc đẩy sự phát triển là HĐ mà chủ thể thực hiện một cách tự giác và tích cực Vì vậy, cần cố gắng gợi động cơ để học sinh ý thức rõ vì sao thực hiện HĐ này hay HĐ khác

Việc thực hiện HĐ nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt là tri thức phương pháp Những tri thức như thế có khi lại là kết quả của một quá trình HĐ

Trong HĐ, kết quả đạt được ở mức độ nào đó có thể lại là tiền đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn Do đó cần phân bậc HĐ theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo quá trình dạy học

Theo [19, tr.134], quan điểm HĐ trong PPDH có thể được thể hiện ở các tư tưởng chủ đạo sau:

a) Cho HS thực hiện và tập luyện những HĐ và HĐ thành phần tương thích với nội dung và mục tiêu DH;

b) Gợi động cơ cho các HĐ học tập;

c) Dẫn dắt cho HS kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức PP như phương tiện và kết quả của HĐ;

d) Phân bậc HĐ làm căn cứ điều khiển quá trình DH

Những tư tưởng chủ đạo này thể hiện tính toàn diện của mục đích DH Việc kiến tạo một tri thức, rèn luyện một kỹ năng, hình thành một thái độ cũng là nhằm giúp HS

HĐ trong học tập cũng như trong đời sống Như vậy, những mục đích thành phần được thống nhất trong HĐ, điều này thể hiện mối liên hệ hữu cơ giữa chúng với nhau.Tri

thức, kĩ năng, thái độ một mặt là điều kiện và mặt khác là đối tượng biến đổi của HĐ Hướng vào HĐ theo các tư tưởng chủ đạo trên không hề làm phiến diện mục đích DH

mà trái lại, còn đảm bảo tính toàn diện của mục đích đó

1.1.5 Định hướng đổi mới PPDH theo hướng “HĐ hóa người học”

Định hướng chung cho sự đổi mới PPDH là tích cực hóa HĐ học tập của HS với việc tổ chức cho người học học tập trong HĐ và bằng HĐ tự giác, chủ động, tích cực, sáng tạo, được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

“PPDH cần hướng vào việc tổ chức cho HS học tập trong HĐ và bằng HĐ tự

a) Xác lập vị trí chủ thể của người học, bảo đảm tính tự giác tích cực, chủ động

và sáng tạo của HĐ học tập được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

b) Tri thức được cài đặt trong những tình huống có dụng ý SP;

c) Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình DH;

d) Tự tạo và khai thác phương tiện DH để nối tiếp và gia tăng sức mạnh của con người;

e) Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản thân người học;

f) Xác định vai trò mới của người thầy với tư cách người thiết kế, ủy thác, điều khiển và thể thức hóa

Trong các vai trò kể trên của GV, ủy thác và thể thức hoá đã được đề cập đến trong lý thuyết tình huống của Pháp

1.2.Tư duy và vấn đề phát triển tư duy trong dạy học môn Toán

1.2.1.Tư duy và các vấn đề liên quan

Theo các tài liệu tâm lý học thì “tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng bằng những hình thức như cảm giác, tri giác, biểu tượng, khái niệm, phán đoán, suy luận’’[86] Theo V.I Lê nin, con đường của nhận thức là : “từ trực quan sinh động đến

tư duy trừu tượng…”

Phương tiện của tư duy: Ngôn ngữ được xem như là phương tiện của tư duy Sản phẩm của tư duy: Sản phẩm của tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy

luận được diễn đạt bằng từ ngữ, câu, ký hiệu, công thức,…

Tính chất của tư duy: Tư duy mang tính khái quát; tính gián tiếp; tính trừu tượng Nguồn gốc của tư duy: Thực tiễn chính là nguồn gốc và là tiêu chuẩn của chân lý

của tư duy Thực tiễn là tiêu chuẩn để kiểm tra tính đúng đắn của nhận thức

Tác dụng của tư duy: Tư duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội, con người

dựa vào tư duy để nhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng những quy luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình

Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ (thao tác là hoạt động theo trình tự và theo yêu cầu kỹ thuật nhất định) Các thao tác trí tuệ cơ bản là[47]:Phân tích, tổng hợp,so sánh, tương tự,khái quát hóa, đặc biệt hóa,trừu tượng hóa

Các loại hình tư duy

Có thể phân chia thành ba loại hình tư duy[86]:

- Tư duy trực quan (còn gọi là tư duy cụ thể): trong đó có thể phân chia thành tư duy trực quan hành động(tư duy bằng các thao tác chân tay đối với vật thật, hướng vào giải quyết một số tình huống cụ thể) và tư duy trực quan hình ảnh (tư duy hướng vào việc giải quyết vấn đề dựa trên các hình ảnh của sự vật, hiện tượng)

- Tư duy trừu tượng (còn gọi là tư duy ngôn ngữ-logic): Là tư duy mà việc giải quyết vấn đề dựa trên các khái niệm, các mối quan hệ logic gắn bó chặt chẽ với ngôn ngữ, lấy ngôn ngữ làm phương tiện

- Tư duy trực giác: Là tư duy đặc trưng bởi nó trực tiếp nắm bắt được chân lý một cách bất ngờ, đột nhiên, chớp nhoáng, không dựa vào hoạt động logic của ý thức, gắn với tưởng tượng.Sản phẩm của tư duy trực giác mang tính chất dự báo, cần kiểm

tra tính đúng đắn bằng thực nghiệm và logic, nó thường dẫn đến những nhận thức mới

mẽ, sáng tạo

Đặc điểm cơ bản của tư duy

Theo Phạm Minh Hạc:” Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề,

có tính khách quan, có tính gián tiếp, biểu đạt bằng ngôn ngữ, có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, thường bắt đầu bằng cảm tính, là một quá trình Quá trình tư duy

là một hành động trí tuệ được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định’’[3]

1.2.2.Một số quan điểm về những thành phần của tư duy toán học và năng lực toán học

Theo Viện sĩ B.V Genhexdenco viết về giáo dục toán học, thì những yêu cầu đối với tư duy toán học bao gồm: Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy được sự thiếu sót của những điều cần thiết trong CM; sự cô đọng, sự chính xác của các ký hiệu; phân chia rõ ràng tiến trình suy luận; thói quen lý lẽ đầy đủ và logic[25]

Theo A.Ia.Khinsin, những nét độc đáo của tư duy toán học là: Suy luận theo sơ

đồ logic chiếm ưu thế, khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích; phân chia rành mạch các bước suy luận; sử dụng chính xác các ký hiệu; tính có căn cứ đầy đủ của lập luận[25]

Theo Nguyễn Bá Kim[13]: đặc điểm của môn Toán vừa có tính trừu tượng cao

và tính thực tiễn phổ dụng vừa có tính lôgicvà tính thực nghiệm; môn Toán có vai trò

quan trọng trong phát triển năng lực trí tuệ HS

- Thứ nhất là rèn luyện tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác có thể thực hiện theo

ba hướng có liên hệ chặt chẽ với nhau là làm cho HS nắm vững , hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết logic; phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa; phát triển khả năng hiểu CM, trình bày lại CM và độc lập tiến hành CM

- Thứ hai là phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng thông qua làm cho HS quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như xét tương tự, khái quát hóa, quy lạ về quen…, tập cho HS khả năng hình dung được những đối tượng, quan hệ không gian và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời hay những hình

phẳng, từ những biểu tượng của những đối tượng đã biết có thể hình thành, sáng tạo ra hình ảnh của những đối tượng chưa biết hoặc không có trong đời sống

- Thứ ba là rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản Môn Toán đòi hỏi HS phải thường xuyên thực hiện những HĐ trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,… do đó có tác dụng rèn luyện những HĐ trí tuệ này

- Thứ tư là hình thành những phẩm chất trí tuệ: Việc rèn luyện cho HS những phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa to lớn đối với việc học tập, công tác và trong đời sống Qua dạy học môn Toán, có thể rèn luyện cho HS những phẩm chất trí tuệ quan trọng như: tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo

Theo Trần Kiều: “…học Toán trong nhà trường THPT không phải chỉ tiếp nhận hàng loạt các công thức, định lý, phương pháp thuần túy mang tính lý thuyết…, cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học toán phải đạt tới là hiểu nguồn gốc thực tiễn của Toán học và nâng cao khả năng ứng dụng, hình thành thói quen vận dụng Toán học vào cuộc sống.”[12]

1.2.3.Tầm quan trọng của việc phát triển tư duy cho HS trong DH môn Toán

Theo R.S.Nickerson[19] thì : tư duy tốt là khi người ta vận dụng các cứ liệu một cách khéo léo và công tâm; các ý kiến được tổ chức nhất quán và logic Cũng theo ông, những lý do để chúng ta rèn luyện học trò thành những người biết tư duy tốt là:

Thứ nhất, HS phải được trang bị đủ kiến thức để thi đua giành cơ hội trong học tập,

việc làm, được thừa nhận và trọng đãi trong thế giới ngày nay Nói đúng hơn là người học sẽ có điều kiện tốt hơn để thành công Chính câu trả lời có tính thực dụng này đòi

hỏi việc dạy tư duy phải được cải thiện tốt hơn Thứ hai, tư duy tốt sẽ là điều kiện tiên

quyết giúp HS trở thành những công dân tốt.Khả năng tư duy có phê phán của công dân giúp họ tạo nên những quyết định thông minh đối với những vấn đề của xã hội Việc dân chủ bàn bạc để giải quyết mọi vấn đề xã hội yêu cầu mỗi thành viên có trách

nhiệm và ý thức sâu sắc để tìm ra các giải pháp thích hợp Thứ ba,nếu có khả năng tư

duy tốt, người ta sẽ luôn điều chỉnh để có trạng thái tâm lý tốt Trạng thái tâm lý tốt giúp người ta có thái độ tích cực đối với cuộc sống, nhiệt tình, thiện cảm với người khác Khi có bất đồng, người biết suy nghĩ sẽ cảm thấy đau khổ hơn, từ đó có tinh thần

khắc phục những xung đột bằng mọi giá Thứ tư, chúng ta luôn mong muốn HS trở

thành những người có đầu óc tư duy tốt vì lý do tồn tại Cuộc sống của chúng ta luôn đối mặt với quá nhiều những vấn đề phức tạp, thách thức khả năng của chúng ta Trở ngại chủ yếu làm hạn chế sự tiến bộ lại chính là thái độ phi lý của con người Con người có đủ thông minh để tồn tại và cũng đủ thông minh để hủy diệt, vì vậy cần có bộ

óc tỉnh táo hơn

Các nhà nghiên cứu cũng đã chỉ ra rằng mục tiêu của giáo dục hiện đại là phải đào tạo được những bộ óc được rèn luyện tốt Tư duy chính là khởi nguồn của hành động, hành động sẽ tạo ra thói quen, thói quen sẽ hình thành nhân cách, nhân cách quyết định vận mệnh Như vậy, tư duy chính là yếu tố quyết định vận mệnh của con người

Chúng ta đang sống trong thời đại mở ra nhiều cơ hội cho giáo dục, những người thầy luôn mong muốn HS của mình phải thông minh và ứng dụng được những điều đã học Lâu nay, người ta quan tâm nhiều đến việc dạy tư duy như thế nào, nhưng càng ngày chúng ta càng nhận thức sâu sắc rằng mục đích này thật khó đạt và làm thế nào

để đạt được lại còn khó khăn hơn Theo R.S.Nickerson, dạy người học tư duy là làm cho họ có kỹ năng tư duy hiệu quả hơn, có ý thức phê phán, logic, sáng tạo và sâu sắc hơn, hay nói cách khác là dạy cho người học có kiến thức đủ để tư duy tốt hơn[19] Theo GS.Nguyễn Bá Kim, một trong những nhiệm vụ quan trọng của dạy học của môn Toán là phát triển trí tuệ, nhất là rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng, rèn luyện những HĐ trí tuệ cơ bản, hình thành những phẩm chất trí tuệ, tính độc lập, tính linh hoạt, tính sáng tạo[13] Như vậy, một trong những mục tiêu quan trọng của giáo dục nói chung và môn Toán nói riêng là góp phần quan trọng vào phát triển tư duy, kích thích tư duy để nâng cao năng lực tư duy cho người học

1.3.Tư duy hàm

1.3.1.TDH và các nét đặc trưng của nó

Theo “Phương pháp giảng dạy Toán ở trường PT” của nhóm tác giả: Iu.M.Kôliagin, V.A.Oganhexian, V.Ia.Xannhixki, G.L.Lucankin được ấn hành lần đầu tiên vào năm 1975[11] và tái bản lần thứ nhất vào năm 1980[12], thì:

TDH là phương thức tư duy đặc trưng bởi sự nhận thức quá trình phát triển các mối quan hệ chung và riêng giữa các đối tượng toán học hay là giữa các tính chất của chúng( và bởi kĩ năng sử dụng sự nhận thức các mối quan hệ đó) TDH được biểu lộ rõ ràng trong mối liên hệ với một trong những tư tưởng chủ đạo của Giáo trình Toán PT là tư tưởng hàm[11,tr.127]

Như vậy TDH bao gồm trong đó sự nhận thức yếu tố quá trình của sự phát triển các mối quan hệ từ chung đến riêng, từ đa trị đến đơn trị, … cả ở dạng tường minh và

ẩn tàng TDH được biểu lộ ở sự nhận thức quá trình hình thành và phát triển các mối quan hệ giữa các đối tượng toán học, giữa các tính chất của các đối tượng toán học và

kỹ năng sử dụng nhận thức các mối quan hệ giữa các đối tượng và tính chất toán học

Do toán học là khoa học suy diễn , “suy luận, diễn dịch là trái tim của tư tưởng toán học’’ nên trong chương trình Toán PT, mối liên hệ giữa các đối tượng toán học và các tính chất của chúng được thể hiện hết sức chặt chẽ, phong phú và đa dạng, điều đó tạo tiềm năng to lớn cho HĐ DH và phát triển TDH Cũng theo [11,tr.127,128], những nét đặc trưng nhất của TDH là:

a) Biểu diễn các đối tượng toán học trong sự vận động, biến đổi

b) Cách tiếp cận thao tác-hành động đối với các sự kiện toán học, sự xử lý các mối liên hệ nhân quả

c) Khuynh hướng giải thích(cặn kẽ) nội dung các sự kiện toán học, sự chú ý cao hơn đối với các khía cạnh ứng dụng của toán học

Trong luận văn, chúng tôi sử dụng khái niệm TDH và các nét đặc trưng của nó như đã trình bày trong phần này làm cơ sở cho việc khai thác các nội dung tiếp theo

1.3.2.Một số vấn đề cần chú ý, khi DH bồi dưỡng TDH cho HS

Như vậy, để thực hiện tốt việc bồi dưỡng TDH cho HS thông qua DH môn Đại số-Giải tích THPT, ta cần tập trung khai thác các vấn đề trọng tâm sau đây:

Thứ nhất: Phải biết xem xét các đối tượng toán học trong trạng thái”động”,

thông qua việc sử dụng các biểu tượng vật lý và động hình học như là phương tiện quan trọng trong HĐ DH phát triển TDH Việc sử dụng các loại biểu tượng này cần được tiến hành nhờ thí nghiệm tưởng tượng(được hình dung trong óc).”Một cách gần đúng, chúng ta quy ước hiểu thí nghiệm tưởng tượng (được hình dung trong óc) là một

quá trình tư duy được xây dựng theo kiểu thí nghiệm thực Đó là một dạng đặc thù của suy luận lý thuyết” [27,tr.202] Thí nghiệm tưởng tượng có hình thức đặc trưng sau:” Thứ nhất, cơ sở của nó là hình ảnh tượng hình cảm tính; thứ hai, hình ảnh này là hình ảnh đã được khái quát hóa, nghĩa là mọi kết luận có thể rút ra về nó có hiệu lực đối với toàn bộ các khách thể đồng nhất-các nguyên hình của nó;thứ ba, hình ảnh này không phải là kết quả của sự khái quát hóa cảm tính đơn giản mà hình thành do thủ thuật logic lý tưởng hóa khách thể hiện thực; thứ tư, trong các lập luận liên quan đến hình ảnh này có những tiền đề mà tính đúng đắn của chúng hoàn toàn mang tính chất giả thuyết’’[27,tr.216,217]

Thứ hai: Một trong các phương tiện phát triển TDH có hiệu quả là hệ thống các

bài toán về biểu diễn và nghiên cứu toán học các tình huống cụ thể với sự biểu lộ rõ ràng”nội dung hàm” Ăngghen đã nêu : “ Toán học là một khoa học rất thực tiễn Việc khoa học ấy mang một hình thức cực kỳ trừu tượng chỉ che đậy bề ngoài nguồn gốc của nó trong thế giới khách quan…”[14,tr.121] Do vậy việc tăng cường sử dụng các bài toán thực tiễn chứa đựng “nội dung hàm’ trong DH phát triển TDH còn có tác dụng xác lập mối liên hệ giữa toán học và nguồn gốc thực tiễn của nó

Việc giải bài toán loại này được thực hiện theo sơ đồ chuyển đổi ngôn ngữ gồm

ba bước:

Bước 1: Chuyển giả thuyết và kết luận của bài toán từ “ngôn ngữ thực tiễn” sang

“ngôn ngữ toán học’’

Bước 2: Giải bài toán bằng “ngôn ngữ toán học”

Bước 3: Chuyển kết luận của bài toán từ “ngôn ngữ toán học sang “ngôn ngữ thực tiễn”

Thứ ba: “Đặc trưng hàm” của bài toán không chỉ được xác định bởi nội dung

toán học mà còn bởi chính hình thức mà nó thể hiện

Chẳng hạn nhiều bài toán trong giáo trình đại số ở trường PT, đặc biệt là các bài toán lập phương trình, hệ phương trình có thể chuyển về bài toán “có dạng hàm”

1.3.3.Mối quan hệ giữa TDH với tư duy biện chứng và tư duy logic

1.3.3.1.Quan hệ giữa TDH và tư duy biện chứng

TDH là dạng tư duy tuân theo một quy luật cơ bản của duy vật biện chứng, đó là

mối quan hệ tác động qua lại của các sự vật hiện tượng TDH nghiên cứu sự vật trong trạng thái biến đổi sinh động của chúng chứ không phải trong trạng thái tĩnh tại, trong

sự phụ thuộc lẫn nhau chứ không phải tách rời nhau Do đó khi rèn luyện TDH cho HS

là đã góp phần bồi dưỡng tư duy biện chứng

Trong khi rèn luyện TDH đương nhiên cũng vận dụng các quy luật biện chứng khác như: lượng đổi, chất đổi, mâu thuẩn và thống nhất, phủ định của phủ định Qua

đó, phản ánh được bản chất của sự vật, hiện tượng và mối liên hệ qua lại giữa chúng rõ ràng hơn, đầy đủ hơn Do vậy, TDH là biểu tượng rõ ràng nhất của tư duy biện chứng

1.3.3.2.Quan hệ giữa TDH và lôgic

Rèn luyện TDH cho HS là đã góp phần rèn luyện tư duy lôgic trong phạm vi rộng hơn, sinh động hơn vì đã xét chúng trong quá trình phát triển

Chẳng hạn:

-Khi tạo nên một sự tương ứng từ các VD cụ thể là đã thực hiện phép quy nạp -Khi phát hiện và xây dựng một tương quan hàm giữa các phần tử của hai tập hợp là đã thể hiện các phép nối logic

p⇒q,q⇒p (tương ứng ngược)

-Khi nghiên cứu sự tương ứng để phát hiện ra tính chất của một mối liên hệ nào

đó là đã dạy cho HS suy luận đúng quy tắc logic

-Khi lợi dụng sự tương ứng là đã thể hiện phép suy luận từ cái chung đến cái riêng

Ngược lại, ta cũng phải sử dụng các quy tắc suy luận của logic để xem xét các tương ứng

1.4.Tổng quan về lịch sử hình thành, phát triển khái niệm hàm và TDH trong toán học và trong DH Toán

1.4.1.Lịch sử hình thành và phát triển khái niệm hàm trong toán học

HĐ TDH không đòi hỏi tiền đề là kiến thức về khái niệm hàm, đồng thời kiến thức về sự đơn trị cũng không phải là tiền đề bắt buộc đối với những HĐ TDH.Những

HĐ phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng những sự tương ứng luôn xuất hiện trong khi làm việc với các khái niệm ánh xạ, hàm số và với những ánh xạ và hàm số cụ thể”[21,tr.140]; ở đây, việc nghiên cứu tính đơn trị của sự tương ứng là một cơ hội tốt

để bồi dưỡng TDH

“Khái niệm hàm là một khái niệm cực kỳ quan trọng trong toán học hiện đại cũng như trong chương trình toán PT”[17] Nó có 3 nét đặc trưng nổi bật đó là:”Phụ thuộc, tương ứng, biến thiên’’[18,tr.45]; lịch sử phát triển của nó có thể chia làm 3 giai đoạn sau:

1.4.1.1.Phân chia giai đoạn phát triển khái niệm hàm

+ Giai đoạn 1: Hình thành các biểu tượng về hàm ở thời cổ đại và trung đại

Lúc đầu, những nhà toán học Babylon đã sử dụng một cách rộng rãi trong các tính toán của mình, các bảng bình phương, căn bậc hai, bảng lập phương, còn người

Hy Lạp thì thiết lập các bảng sin Những bảng này xuất hiện chủ yếu từ nhu cầu giải quyết các vấn đề của toán học, vật lý học, thiên văn học… Về sau, người ta tìm cách định lượng một số hiện tượng như nhiệt độ, mật độ, vận tốc,…

Đây là giai đoạn ngầm ẩn của hàm, nó không có tên, không có định nghĩa; các nét đặc trưng”phụ thuộc”, “biến thiên’’ và “tương ứng’’ đã hiện diện nhưng ngầm ẩn; hàm số được biểu diễn bằng bảng, hình hình học, đường cong hình học

+ Giai đoạn 2: Sự xuất hiện khái niệm hàm và hoàn thiện khái niệm hàm(Từ

thế kỷ XVI đến thế kỷ XIX) Descartes(1596-1650) là người nêu lên một cách rõ

ràng hơn cái gọi là” phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên’’; những yếu tố của khái niệm hàm đã hiển diện rõ ràng hơn: Những “đường x”, “đường y” đó là những biến giá trị của chúng phụ thuộc Tuy nhiên, các thuật ngữ “hàm số’, “phụ thuộc”, “biến thiên” vẫn chưa xuất hiện tường minh.Từ”hàm”(tiếng Pháp:fonctin, tiếng Anh: function) xuất hiện lần đầu tiên vào tháng 8/1673, trong các bản thảo của Leibniz(1646-1716) Nhưng một định nghĩa tường minh về hàm vẫn chưa xuất hiện Bước sang thế kỷ XVIII, đây là giai đoạn thực sự chuyển việc biểu diễn tương quan hàm, từ trực giác hình học sang biểu thức giải tích Euler(1707-1783) cho ra định nghĩa:” Một hàm số của một đại lượng biến thiên là một biểu thức giải tích được tạo thành, theo một cách thức nào đó, từ chính đại lượng biến thiên này và từ các số hay

các đại lượng không đổi… Một hàm số của một biến cũng là một đại lượng biến thiên”[15]

+Giai đoạn 3: Sự xuất hiện lý thuyết tập hợp và việc chính xác hóa khái

niệm hàm trong toán học(Từ thế kỷ XIX đến thế kỷ XX)

Đầu thế kỷ XX, người ta dần nhận ra cái chủ yếu trong định nghĩa hàm không phải là biểu thức giải tích cho phép xác định của nó, mà là sự tương ứng

Dirichlet(1805-1859) đưa ra định nghĩa:”y là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x thì tương ứng với một giá trị hoàn toàn xác định của y còn sự tương ứng đó được thiết lập bằng cách nào thì điều này hoàn toàn không quan trọng”[18,tr.12]

Cuối thế kỷ thứ XIX và thế kỷ XX, với sự ra đời của “lý thuyết tập hợp” của Cantor(1845-1819), toán học có nhiều chuyển biến sâu sắc Khái niệm hàm đòi hỏi phải mở rộng hơn nữa để ứng dụng trong khoa học và thực tiễn Người ta định nghĩa hàm số dựa vào “lý thuyết tập hợp”, coi hàm số như là một quy tắc tương ứng hay quan hệ giữa các phần tử của hai tập hợp thỏa mãn một số điều kiện nào đó Thời kỳ này, hàm số được biểu diễn dưới nhiều dạng khác nhau như: biểu đồ Ven, bảng, đồ thị, công thức, các cặp phần tử

Tuy khái niệm hàm chỉ mới được chính xác hóa từ đầu thế kỷ này nhưng như đã thấy, lý thuyết hàm đã có lịch sử lâu dài với nhiều thành tựu rực rỡ, có phạm vi ứng dụng ngày càng rộng rãi Nguyễn Bá Kim(1994)[21,tr.10] đã kết luận: Bản chất của khái niệm tương quan hàm là “một sự tương ứng được thiết lập giữa các phần tử của hai tập hợp và thỏa mãn một số điều kiện nhất định”

1.4.1.2.Một số kết luận sư phạm

+ Một số nhận xét

-Khái niệm hàm được hình thành và phát triển rất sớm và ngày càng chính xác

hóa: Lúc đầu chỉ là biểu tượng đến đưa ra khái niệm tường minh, rồi chính xác hóa nhờ lý thuyết tập hợp

-Các đặc trưng của hàm là:phụ thuộc, tương ứng và biến thiên; lúc đầu chỉ thể hiện ngầm ẩn, sau đó tường minh dần

+ Các kết luận

TDH là một phương thức tư duy mang những đặc trưng của quan hệ hàm là qui

luật biến thiên trong sự phụ thuộc, mà nói chung sự phụ thuộc đó lại thể hiện ở sự tương ứng Có lẽ đấy là mối liên hệ giữa ba đặc điểm:tương ứng, phụ thuộc, biến thiên Tương quan hàm thể hiện hoặc tường minh hoặc tiềm ẩn trong nội dung toán

học Chúng ta cần biết khai thác tận dụng các cơ hội để DH phát triển TDH

a) Trong DH phát triển TDH, ta có thể phân ra các giai đoạn sau:

Giai đoạn thứ nhất: DH hình thành biểu tượng về các đại lượng biến thiên

Giai đoạn thứ hai: DH xác lập mối quan hệ giữa các đại lượng biến thiên

Giai đoạn thứ ba: DH xác lập mối quan hệ giữa ngữ nghĩa và cú pháp, giữa trừu tượng và cụ thể

Như vậy, để định hướng cho việc tổ chức DH bồi dưởng TDH cho HS, chúng ta cần phải nghiên cứu lịch sử hình thành và phát triển của hàm số, đồng thời với việc trình bày khái niệm này trong SGK Toán PT

1.4.2.Sự hình thành, phát triển khái niệm hàm số và TDH trong SGK Toán trường PT Việt Nam

kỳ Các bảng tương ứng về giá trị của các phép tính là những hình ảnh trực quan đầu tiên về tương quan hàm số

VD1[15, Toán 1, bài 4,tr.124]:Điền số thích hợp vào ô trống(theo mẫu)

14

12 4 1 7 5 2 0

16 Lớp 2, tiếp tục cũng cố kỹ năng thiết lập sự tương ứng thông qua mối quan hệ là các phép tính, thể hiện một cách trực quan bằng bảng

Lớp 3, bắt đầu xuất hiện biểu thức và giá trị của biểu thức Mặc dầu là biểu thức bằng số nhưng đó là bước chuẩn bị cho biểu thức bằng chữ ở lớp 4; mở rộng khái niệm này là khái niệm biểu thức chứa hai chữ Nhờ khái niệm này mà các bảng luyện tập các phép tính được hình thức hóa mang tính khái quát hơn

VD2[15, Toán 4, bài 2, tr.70]: Viết giá trị của biểu thức vào ô trống:

+) Trung học cơ sở:

Đến lớp 6, ngoài việc cũng cố và phát triển những tư tưởng hàm, một cách không tường minh bằng những hình thức như các lớp trước đây; ở đây, các loại đại lượng được ký hiệu bằng công thức và HS có thể nhận xét được sự thay đổi của đại lượng này phụ thuộc vào đại lượng kia

Ở lớp 7, khái niệm hàm số bắt đầu được trình bày một cách tường minh, SGK đại

số đã cũng cố những quan niệm về hàm số đã được hình thành từ trước bằng các bảng tương ứng về giá trị của các đại lượng biến thiên

VD3[2, tập 1, bài 13, tr.58]: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:

x 0,5 -1,2 4 6

Sau khi đưa ra khái niệm hàm số:”Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay

đổi x sao cho với mỗi giá trị cuả x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số”[2, tập 1, tr.63], HS được học khái

niệm mặt phẳng tọa độ, đồ thị hàm số y=ax(a

VD4[2, tập 1, bài 24, tr.63]: Các giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y được cho trong bảng sau:

Đại lượng x có phải là hàm số của đại lượng y hay không?

Các bài tập dạng này ngoài việc hình thành cho HS quan niệm về sự tương ứng còn cho phép hình thành ở HS những biểu tượng ban đầu để phân biệt tương ứng đơn trị(VD3) và tương ứng đa trị(VD4)

VD5[2, tập 1, bài 31, tr.65]: Cho hàm số y= x Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:

Ở lớp 8, trong toàn bộ chương trình không xuất hiện thuật ngữ:”hàm số”, không trình bày những vấn đề về hàm số, nhưng ta có thể thấy hàm số được sử dụng một cách ngầm ẩn qua các mối liên hệ khác trong một số mạch kiến thức như đa thức, phân thức, phương trình

Ở lớp 9, ngoài khái niệm về tập xác định của hàm số, HS được học khái niệm đồng biến, nghịch biến; khảo sát hàm số y=ax+b; y=ax2

(a bằng PP sơ cấp

Hàm số được hiểu là một quy tắc tương ứng giữa các phần tử của hai tập hợp; đặc trưng biến thiên của hàm số cũng được trình bày tường minh thông qua khái niệm đồng biến, nghịch biến của một số hàm số đơn giản

+ Trung học phổ thông

Ởlớp 10, đặc trưng biến thiên của hàm số đã trở thành đặc trưng nổi bật được chú trọng nghiên cứu, các đặc trưng tương ứng phụ thuộc vẫn ngầm ẩn được cũng cố và không còn đóng vai trò quan trọng nhất trong xem xét hàm số như ở những lớp trước Hàm số ở đây được hiểu là mối quan hệ giữa hai đại lượng biến thiên thay đổi Đây thực sự là bước chuyển đổi việc nghiên cứu hàm số từ cụ thể lên khái quát hơn, nghiên cứu đầy đủ các đặc trưng của khái niệm hàm số

Ở lớp 11, hàm số chủ yếu được nghiên cứu về đặc trưng biến thiên, đặc trưng này được mở rộng để định nghĩa một số khái niệm mới nhằm nghiên cứu, khai thác về

“tính động” của hàm số, giúp cho HS thấy được dạng biến thiên của các đối tượng, các quan hệ toán học

Ở lớp 12, tiếp tục đào sâu về đặc trưng biến thiên của hàm số, khác với các lớp trước; ở đây , hàm số được khảo sát bằng một công cụ hoàn toàn mới là đạo hàm Sự trình bày của SGK ngầm ẩn hình thành quan niệm hàm số là một đại lượng biến thiên, nghiên cứu hàm số đầy đủ phải tính đến đặc trưng biến thiên của nó

a) Giai đoạn ẩn tàng(ngầm ẩn): Trước lớp 7

Ở bậc tiểu học, HS được làm quen ngầm ẩn với khái niệm “tương ứng” Đó là những tương ứng đơn giản giữa các phần tử của hai tập hợp như nhau: tương ứng giữa

số HS với số ghế; tương ứng giữa chén và đũa; tương ứng giữa giá trị của tổng với số hạng thứ hai khi cố định số hạng thứ nhất, …

b) Giai đoạn tường minh: Từ lớp 7 đến lớp 12

Khái niệm hàm xuất hiện tường minh lần đầu ở lớp 7 và hoàn chỉnh nhất ở lớp 10

1.5.Thực trạng dạy học môn Toán hiện nay ở THPT

1.5.1.Nhận định về chương trình, SGK THPT hiện hành

Chương trình và sách giáo khoa hiện hành được triển khai trên toàn quốc từ 2002 đến nay Dù có nhiều ưu điểm, nhưng trước yêu cầu phát triển nguồn nhân lực chất lượng cao, trước sự phát triển nhanh chóng của khoa học - công nghệ và khoa học giáo dục cũng như những đòi hỏi hội nhập quốc tế, chương trình và sách giáo khoa hiện hành khó đáp ứng yêu cầu của đất nước trong giai đoạn mới

Bên cạnh đó, xu thế phát triển chương trình và sách giáo khoa của thế giới thay đổi rất nhanh, có nhiều thành tựu mới của khoa học giáo dục cần được bổ sung kịp thời Đầu thế kỷ 21 nhiều nước có nền giáo dục phát triển đã chuyển hướng từ coi trọng nội dung giáo dục sang phát triển năng lực người học Chương trình giáo dục Việt Nam cần đổi mới để đáp ứng yêu cầu hội nhập quốc tế

1.5.2.Thực trạng nhận thức và sử dụng các PPDH

1.5.2.1.Nhận thức về khái niệm “TDH” và “HĐ hóa người học”

Qua phiếu điều tra khảo sát GV Toán đang DH ở THPT, chúng tôi có được kết quả khá thú vị:

+ Có 78% GV cho rằng hiểu chưa sâu sắc khái niệm TDH, do đó, 74% trả lời ít vận dụng trong quá trình DH; có 7% chưa hiểu gì, nên cũng có 12% chưa hề vận dụng khi DH

+ Có 76% GV trả lời hiểu sâu sắc khái niệm “HĐ hóa người học”, do đó cũng có 76% trả lời đã vận dụng nhiều trong quá trình DH, không có GV nào chưa hiểu nên cũng không có GV nào chưa vận dụng

Như vậy hầu hết GV chưa hiểu sâu sắc khái niệm TDH, do đó ít vận dụng để phát triển TDH cho HS thông qua DH của mình; đa số GV cho rằng mình hiểu sâu sắc

về khái niệm “HĐ hóa người học”, nên hầu hết đều có ý thức vận dụng vào việc DH của mình nhằm đổi mới PPDH

Nhìn lại nội dung chương trình đào tạo GV THPT bộ môn Toán, ta thấy chưa có phần nào nói đến khái niệm TDH, nên GV không hiểu vấn đề này là điều tất nhiên Với khái niệm” HĐ hóa người học”, GV Toán có được nghiên cứu về lý thuyết HĐ nhưng cũng hết sức sơ sài (chỉ có 3 trang 115-117 giáo trình PPDH môn Toán , tập 1) Tuy nhiên, trong chương trình hiện hành đã có nhiều tài liệu giúp GV Toán thực hiện điều này như cuốn: “ Tổ chức hoạt động nhận thức trong DH Toán ở trường THPT” do thầy Đào Tam (chủ biên) và thầy Trần Trung

1.5.2.2.Về sử dụng PPDH

+ Có 79% GV trả lời thường xuyên sử dụng PP “Đàm thoại gợi mở’

+Có 69% GV trả lời thường xuyên sử dụng PP “Tổ chức, hướng dẫn HS HĐ thực hành”

+Có 67% GV trả lời thường xuyên “Tổ chức hướng dẫn cho HS tự nghiên cứu khám phá”

+Có 62% GV trả lời thường xuyên “Tổ chức, hướng dẫn cho HS học tập theo nhóm”

+Có 86% GV trả lời thường xuyên “Tổ chức, hướng dẫn HS phát hiện và giải quyết vấn đề”

+Có 76% GV trả lời thường xuyên “Tổ chức các HĐ tương ứng với các nội dung DH”

1.6.Kết luận chương 1

Trên cơ sở phân tích lý luận và thực tiễn của vấn đề nghiên cứu ở chương 1, ta có thể rút ra một số kết luận sau:

Một là, việc đổi mới PPDH theo hướng “HĐ hóa người học’ là một định hướng

có cơ sở khoa học, theo quan điểm về HĐ của tâm lý học hiện đại, nó đáp ứng yêu cầu của PPDH tích cực, nó phải được thực hiện cùng với chương trình, SGK hiện hành,… nhằm nâng cao hiệu quả chất và lượng DH

Hai là, hàm là một khái niệm quan trọng trong toán học hiện đại cũng như môn Toán ở trường PT, nó là sợi chỉ đỏ xuyên suốt nội dung môn Toán Liên hệ chặt chẽ với khái niệm hàm là TDH Ở THPT, bộ môn Toán có nhiều nội dung có thể khai thác bồi dưỡng TDH cho HS, trên cơ sở SGK hiện hành

Ba là, qua thực tiễn DH Toán THPT hiện nay, việc bồi dưỡng các nét đặc trưng của TDH cho HS thông qua môn Toán THPT cũng như việc đổi mới PPDH theo định hướng”HĐ hóa người học” chưa được thực hiện tốt Nguyên nhân chính là việc thay đổi SGK chưa tiến hành đồng bộ với việc bồi dưỡng đội ngũ, với việc trang bị các phương tiện DH một cách kịp thời; nhiều GV ít hiểu biết về TDH

Vấn đề đặt ra là tìm cho được các dạng hoạt động tương thích với nội dung môn Toán THPT và xây dựng cho được các biện pháp sư phạm phù hợp để tiến hành có hiệu quả việc bồi dưỡng TDH cho HS thông qua DH bộ môn Toán trên cơ sở đổi mới PPDH theo hướng ”HĐ hóa người học”

CHƯƠNG 2 CÁC HOẠT ĐỘNG CƠ BẢN TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NHẰM BỒI DƯỠNG TƯ DUY HÀM

CHO HỌC SINH

2.1.Cơ sở để xác định các dạng HĐ tương ứng với các nét đặc trưng của tư duy hàm

2.1.1 Các nguyên tắc xây dựng các HĐ toán học

Nguyên tắc 1: HĐ toán học cần thể hiện được những nét đặc trưng cơ bản của

toán học: tính logic, tính thực tiễn và tính trừu tượng; thể hiện mức độ yêu cầu cụ thể

và hệ thống trong quá trình dạy học toán học ở trường THPT

Nguyên tắc 2: HĐ toán học thể hiện được HĐ của học sinh trong kiến tạo tri

thức kết hợp với rèn luyện kĩ năng, đảm bảo sự thống nhất giữa cụ thể và trừu tượng nhằm nâng cao dần trình độ tư duy, kích thích hứng thú học tập của học sinh; đảm bảo

HĐ thống nhất giữa HĐ điều khiển của thầy và HĐ toán học của HS

Nguyên tắc 3: HĐ toán học cần đảm bảo tạo ra khó khăn đúng mức trong quá

trình kiến tạo tri thức, hình thành kĩ năng phản ứng rõ nét yêu cầu rèn luyện các thao tác tư duy và trí tưởng tượng không gian[4,tr98-99]

2.1.2.Các dạng HĐ cơ bản tiềm tàng trong DH Toán PT

Theo Nguyễn Bá Kim(2005) [19,tr.107-110];[67,tr.79-83], trong nội dung toán học ở nhà trường PT có các HĐ cơ bản sau:

VD1[ĐS10,chương 2,bài 2,tr.39].Xét tính chẵn, lẽ của các hàm số sau:

a)y=|x| b) y=

VD3:[ĐS10, chương 4, bài 5, tr.105].Xét dấu các tam thức bậc hai:

2.1.2.3.HĐ trí tuệ phổ biến trong toán học

“Những HĐ trí tuệ phổ biến trong toán học rất quan trọng trong môn Toán, nhưng cũng diễn ra ở những môn học khác nữa, đó là:lật ngược vấn đề, xét tính giải được (có nghiệm, nghiệm duy nhất, nhiều nghiệm),phân chia trường hợp,vv…”[19,tr.110]

VD5: Khi giải bất phương trình bậc hai ta phải nhờ vào định lý dấu của tam thức

bậc hai, sau khi lập ∆:

+Nếu ∆<0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x

+Nếu ∆=0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x=

+Nếu ∆>0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x< hoặc x> , trái dấu với hệ số a khi trong đó là hai nghiệm của f(x)

2.1.2.4 Hoạt động trí tuệ chung

Đó là các HĐ phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự , trừu tượng hóa, khái quát hóa… cũng được tiến hành thường xuyên khi HS học tập môn Toán.Chúng được gọi là HĐ trí tuệ chung bởi chúng cũng được thực hiện ở các môn học khác bình đẳng như môn Toán

2.1.2.5 Hoạt động ngôn ngữ:

Theo [2,tr.83]:Những HĐ ngôn ngữ được HS thực hiện khi họ được yêu cầu phát biểu, giải thích một định nghĩa,một mệnh đề nào đó, đặc biệt là bằng lời lẽ của mình, hoặc biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác, chẳng hạn từ kí hiệu toán học sang ngôn ngữ tự nhiên (hoặc ngược lại) của các hằng đẳng thức đáng nhớ

2.1.3 Các tư tưởng chủ đạo về bồi dưỡng TDH

Vận dụng quan điểm HĐ thể hiện ỡ những thành tố cơ sở của PPDH, Nguyễn Bá Kim (1994) đã nêu lên những tư tưởng chủ đạo về phương diện bồi dưỡng TDH như sau:

Tư tưởng chủ đạo thứ nhất:Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng những sự tương ứng trong khi và nhằm vào sự truyền thụ kiến thức và rèn luyện kĩ năng toán học[22,tr.123]

Để thực hiện tư tưởng này trong phát hiện, thiết lập, phải dùng phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, qui nạp, khái quát hóa; trong nghiên cứu và lợi dụng phải dùng suy đoán, trí tưởng tượng, suy diễn

Tư tưởng chủ đạo thứ hai:Thực hiện gợi động cơ, đặc biệt là động cơ kết thúc với những HĐ TDH, sao cho các HĐ này trở thành những khả năng gợi động cơ nội tại toán học[22,tr.124]

Để thực hiện tư tưởng này trong phạm vi trường THPT thường phải sử dụng đặc biệt hóa tri thức hàm vào các lĩnh vực: hệ thống số, phương trình, bất phương trình,

hàm số- đồ thị, các phép biến hình… Từ đây cố gắng phân tích những so sánh ẩn tàng trong nội dung toán học

Tư tưởng chủ đạo thứ ba: Hình thành ở HS những biểu tượng tiến tới những tri thức về sự tương ứng đơn trị và tập luyện cho họ những HĐ ăn khớp với những tri thức PP về TDH [22,tr.127]

Trong quá trình vận dụng tri thức hàm số vào những lĩnh vực nói trên, có thể hệ thống hóa lại và tổng kết cho HS những tri thức về PP có liên quan đến TDH

VD: Vận dụng tính đơn điệu của hàm số để giải nhiều bài toán về bất đẳng thức,

phương trình, BPT, cực trị

Tư tưởng chủ đạo thứ tư: “Phân bậc HĐ về TDH theo số lượng biến, theo mức

độ trực quan của đối tượng, theo trình độ độc lập và thành thạo của HĐ của người học”[16,tr.128]

Cho HS tái hiện nội dung trong những tình huống quen thuộc, nâng dần lên vận dụng vào tình huống mới của thực tiễn đa dạng hay vào các môn học trong nhà trường( nhất là vật lý, kỹ thuật, công nghệ, …) dùng qui lạ về quen, qua đó nâng dần trình độ độc lập và thành thạo của HS.Từ đó HS được lĩnh hội chắc chắn hơn, tạo không khí phấn khởi hứng thú học tập hơn khi biết rõ nguồn gốc thực tiễn của hàm số cùng ứng dụng thực tiễn của hàm số, tránh được bệnh thành tích trong dạy học hiện nay và giúp cho các em tự tìm ra một số quy luật trong thiên nhiên, xã hội, tư duy

2.2.Các HĐ cơ bản tiềm ẩn trong chương trình toán THPT, tương ứng với các nét đặc trưng TDH

2.2.1 Nét đặc trưng thứ nhất

Biểu diễn các đối tượng toán học trong sự vận động, biến đổi.HĐ TDH hầu như bao giờ cũng đòi hỏi nhận thức các đối tượng toán học trong trạng thái vận động, thay đổi; trong mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau.Để hình thành nét đặc trưng này có thể sử dụng 4 dạng HĐ theo sơ đồ sau (theo “ Bồi dưỡng một số nét đặc trưng của tư duy hàm cho HS THCS thông qua việc vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học

Toán”)

Sơ đồ 2.1

HĐ 1: Xem xét các đối tượng toán học trong trạng thái “vận động”, “biến thiên”

Tương ứng với HĐ này có 2 dạng bài tập cơ bản sau:

Dạng(1.1a):Tập luyện cho HS phát hiện ra sự thể hiện ở các vị trí( hoặc hình

thức) khác nhau của cùng một đối tượng toán học

Dạng (1.1b): Tập luyện cho HS phát hiện ra các chức năng khác nhau của cùng

đối tượng Toán học

a) Dạng (1a): Tập luyện cho HS phát hiện ra sự thể hiện ở các vị trí (hoặc hình

thức) khác nhau của cùng một đối tượng toán học

+ Hình thức khác nhau:

VD1: Xác định sin α, với α là các cung lượng giác sau:

a) b) c) d)

VD2: Các tập con thường dùng của ℝ(ĐS 10):

Trong toán học ta thường gặp các tập hợp con sau đây của tập hợp các số thựcℝKhoảng

(a;b)=

(a;+∞)=

(-∞;b)=

Đoạn Nửa khoảng

Vì vậy khi học sinh giải bpt ta có thể viết tập nghiệm và biểu diễn tập nghiệm bằng các hình thức khác nhau.Đó là cách thể hiện khác nhau của cùng một đối tượng toán học

VD3:Các bài toán sau đây có nội dung như nhau nhưng hình thức khác nhau

Chứng minh:

1)

2)a+b với a không âm, b không âm

3) với a, b đều khác không

4)ab

5)2(

6) với a, b đều dương

7) với x, y không âm

8) Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x=y

9)Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x=y

10) Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất

11)Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất +)Vị trí khác nhau:

VD4:Khi DH về cách vẽ đồ thị hàm bậc hai , GV cần chỉ cho học sinh các vị trí

khác nhau của đỉnh Parabol trên mặt phẳng Oxy, điểm biểu diễn số phức z=a+bi cũng nằm ở các vị trí khác nhau.Điểm biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác cũng nằm ở các vị trí khác nhau.Hay đồ thị hàm bậc ba y=a +bx2+c ứng với

a , hay đồ thị hàm trùng phương y=ax4+bx2+c ứng với a

Bình luận: Các VD nêu trên thuộc dạng (1.1,a), nhằm tập luyện cho HS phát hiện

ra sự thể hiện ở những vị trí khác nhau(hoặc hình thức) khác nhau của cùng một đối tượng toán học Với mối quan hệ này, trong quá trình dạy học nếu GV biết chú ý khai thác triệt để thì ngoài việc khắc sâu kiến thức, còn có tác dụng bồi dưỡng TDH cho

HS

b) Dạng (1b):Tập luyện cho HS phát hiện ra các chức năng khác nhau của cùng

đối tượng toán học

VD1: Khi dạy học về số phức z=a+bi(a, b , ta cần chỉ ra cho học sinh thấy

số thực là trường hợp riêng của số phức khi phần ảo của số phức đó bằng 0 Còn khi số phức có phần thực bằng 0 thì z là số thuần ảo.Ta thấy rằng số phức có thể là số thực và

số thực là một số phức

VD2:Tổ hợp chập k của n phần tử có thể hoán vị của n phần tử Chỉnh hợp chập

k của n phần tử có thể là hoán vị của n phần tử.Chỉnh hợp chập k của n phần tử cũng

có thể là tổ hợp chập k của n phần tử

VD3: Sau khi dạy tính chất đồ thị hàm số chẵn, hàm số lẽ chúng ta có thể đưa ra

kết luận:

+) Hàm bậc bốn dạng trùng phương y=ax4+bx2+c nhận trục tung làm trục đối xứng +)Hàm phân thức y= (x nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng

Bình luận: Qua các VD thuộc dạng (1.1b) nêu trên, minh họa cho việc phát hiện các chức năng khác nhau của cùng một đối tượng toán học.Trong quá trình

DH người GV cần chỉ rõ mối quan hệ của chúng, trên cơ sở phân tích các quan hệ

đó sẽ có tác dụng bồi dưỡng TDH cho HS

HĐ 2: Xác lập liên hệ giữa các đối tượng toán học hay giữa các tính chất của

chúng trong trạng thái vận động biến thiên

Tương ứng với HĐ này có 2 dạng cơ bản sau:

Dạng (1.2a):Xác lập mối liên hệ trực tiếp giữa các đối tượng

Dạng (1.2b):Xác lập mối liên hệ giữa các đối tượng qua các đối tượng trung gian Dạng (1.2a): Xác lập mối liên hệ trực tiếp giữa các đối tượng

-VD1 (1.2a,10)[tr25,BT9]: Xét mối quan hệ bao hàm giữa các tập hợp sau: