Sử dụng công cụ vectơ hỗ trợ học sinh tiếp cận các hoạt động kiến tạo thức mới

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM KIM CHUNG SỬ DỤNG CÔNG CỤ VECTƠ HỖ TRỢ HỌC SINH TIẾP CẬN CÁC HOẠT ĐỘNG KIẾN TẠO KIẾN THỨC MỚI Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHẠM KIM CHUNG

SỬ DỤNG CÔNG CỤ VECTƠ HỖ TRỢ HỌC SINH TIẾP CẬN CÁC HOẠT ĐỘNG

KIẾN TẠO KIẾN THỨC MỚI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGHỆ AN - 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHẠM KIM CHUNG

SỬ DỤNG CÔNG CỤ VECTƠ HỖ TRỢ HỌC SINH TIẾP CẬN CÁC HOẠT ĐỘNG

KIẾN TẠO KIẾN THỨC MỚI

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Đào Tam

Tác giả cũng gửi lời cảm ơn tới gia đình; BGH, các thầy cô giáo, các em

HS lớp 11A, 11B trường THPT Đặng Thúc Hứa – Thanh Chương – Nghệ An; các thầy cô giáo, các em HS trên địa bàn huyện Thanh Chương đã động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả luận văn

Phạm Kim Chung

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

MỤC LỤC ii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC TỪ VIẾT TẮT iv

DANH MỤC CÁC BẢNG v

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ vi

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 4

1.1 Một số luận điểm cơ bản về dạy học kiến tạo 4

1.1.1 Các luận điểm khoa học về lý thuyết kiến tạo 4

1.1.2 Các loại hình kiến tạo 9

1.1.3 Dạy và học theo quan điểm kiến tạo 10

1.2 Vai trò của công cụ vectơ đối với hoạt động giải toán hình học trong chương trình phổ thông 12

1.2.1 Vai trò của khai triển vectơ theo hai vectơ không cùng phương 13

1.2.2 Vai trò của tích vô hướng trong giải bài toán hình học 23

1.3 Tìm hiểu một số nghiên cứu liên quan đến việc kiến tạo kiến thức mới nhờ sử dụng công cụ vectơ 29

1.3.1 Khai thác, mở rộng bài toán từ bài toán gốc 30

1.3.2 Dạy học giải bài tập toán theo hướng dạy chuỗi các bài toán 33

1.3.3 Sử dụng khái quát hóa, tương tự hóa để xây dựng bài toán mới 34

1.4 Kết luận chương 1 38

Chương 2 KHẢO SÁT THỰC TIỄN 40

2.1 Nội dung khảo sát 40

2.2 Công cụ khảo sát 40

2.2.1 Thăm dò ý kiến giáo viên 40

2.2.2 Khảo sát tình hình học tập của HS 42

2.3 Cách thức tổ chức khảo sát 44

2.4 Kết quả khảo sát 44

2.4.1 Kết quả thăm dò ý kiến GV 44

2.4.2 Kết quả điều tra tình hình học tập của HS 47

2.5 Kết luận chương 2 49

Chương 3 XÁC ĐỊNH VÀ LUYỆN TẬP CHO HS CÁC HOẠT ĐỘNG KIẾN TẠO KIẾN THỨC MỚI NHỜ SỬ DỤNG CÔNG CỤ VECTƠ 50

3.1 Một số điểm tựa khoa học sư phạm để đưa ra các phương thức hoạt động kiến tạo kiến thức mới nhờ sử dụng công cụ vectơ 50

3.1.1 Các phương thức hoạt động được đưa ra thông qua nghiên cứu mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng 50

3.1.3 Các phương thức đưa ra nhằm định hướng khắc phục những khó

khăn của HS và GV trong việc cụ thể hóa lý thuyết dạy học kiến

tạo 57

3.1.4 Các phương thức được đưa ra nhằm khắc sâu vai trò của công cụ vectơ trong giải toán hình học và kiến tạo kiến thức mới 61

3.2 Một số phương thức xác định và luyện tập cho HS các hoạt động kiến tạo kiến thức mới nhờ sử dụng công cụ vectơ và tổ chức cho HS tiến hành các hoạt động để thực hiện các phương thức đó 64

3.2.1 Phương thức 1 Đề xuất các tình huống nhằm tạo cơ hội cho HS sử dụng phép tương tự để phát hiện kiến thức mới 64

3.2.2 Phương thức 2 Thiết kế các tình huống để HS phân tích, nghiên cứu các trường hợp riêng để tìm quy luật khái quát hóa, nhằm tiếp nhận kiến thức mới 71

3.2.3 Phương thức 3 Tạo tình huống giúp HS phối hợp các hoạt động khái quát hóa và tương tự nhằm tạo ra bài toán mới 75

3.2.4 Phương thức thứ 4 Chuyển hóa các tri thức sự vật thành tri thức phương pháp nhờ sử dụng công cụ vectơ 80

3.3 Kết luận chương 3 89

Chương 4 CÁC THỰC NGHIỆM 91

4.1 Mục đích thực nghiệm 91

4.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 91

4.2.1 Tổ chức thực nghiệm 91

4.2.2 Nội dung thực nghiệm 91

4.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 95

4.3.1 Đánh giá định tính 95

4.3.2 Đánh giá định lượng 96

4.4 Kết luận chung về thực nghiệm 98

KẾT LUẬN 99

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 101

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 102

PHỤ LỤC 104

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC TỪ VIẾT TẮT

CÁC KÝ HIỆU:

ar ­ ­ br ar cùng hướng với br

ar ­ ¯br ar ngược hướng với br

CÁC TỪ VIẾT TẮT:

HS Học sinh

GV Giáo viên PPDH Phương pháp dạy học THPT Trung học phổ thông SGK Sách giáo khoa

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1 Kết quả thăm dò ý kiến GV về vấn đề đánh giá mức độ quan trọng của công cụ vectơ đối với một số chủ

46

Bảng 2.4

Kết quả thăm dò ý kiến GV về đánh giá mức độ hứng thú của HS đối với hoạt động khai thác, tìm tòi kiến thức mới nhờ sử dụng công cụ vectơ

48

Bảng 2.8 Kết quả thăm dò ý kiến HS về mức độ hứng thú đối với hoạt động khai thác, tìm tòi kiến thức mới nhờ

sử dụng công cụ vectơ

48 Bảng 4.1 Bảng phân phối tần suất điểm của bài kiểm tra số 1 96

Bảng 4.2 Bảng phân phối tần suất điểm tính theo % bài kiểm

Bảng 4.3 Bảng phân phối tần suất điểm của bài kiểm tra số 2 97 Bảng 4.4 Bảng phân phối tần suất điểm tính theo % bài kiểm

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 4.1 Biểu đồ phân phối tần suất điểm tính theo % bài

Biểu đồ 4.2 Biểu đồ phân phối tần suất điểm tính theo % bài kiểm tra số 2 98

MỞ ĐẦU

1.1 Khái niệm vectơ là một trong những khái niệm nền tảng của Toán học

cũng như có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác, đặc biệt là trong Vật lý và Kĩ thuật Sự ra đời của hình học vectơ được phôi thai từ ý tưởng của Leibniz là xây dựng một hệ thống tính toán trong nội tại hình học sao cho vừa khai thác được công cụ của đại số như phương pháp giải tích, lại vừa tận dụng được yếu tố trực quan của phương pháp tổng hợp

trong nghiên cứu hình học

Năm 1798, nhà toán học Đan Mạch Caspar Wessel (1745-1818) đã viết báo cáo về các số phức Ông có ý tưởng không chỉ biểu diễn các số phức thông qua một điểm M trên mặt phẳng mà còn đồng nhất chúng với vectơ gốc ở O và ngọn ở M trong một hệ trục tọa độ Descartes trên mặt phẳng Vậy là nảy sinh khái niệm vectơ, như vậy tìm tổng của hai số phức tức là dựng tổng của hai vectơ là những đối tượng hình học mà đối với chúng tồn tại các phép toán rất gần với các phép toán quen thuộc trong

tập hợp các số

1.2 Khái niệm vectơ được đưa vào giảng dạy ở trường phổ thông với mục

đích chủ yếu là cung cấp một công cụ hiệu quả để nghiên cứu hình học Hiện nay vai trò của công cụ vectơ trong chương trình toán phổ thông đã

có nhiều bước tiến triển, mục tiêu đưa vectơ vào chương trình toán phổ thông ngày nay cũng có nhiều thay đổi, những mục tiêu chính và nổi bật

là:

1.2.1 Giảm nhẹ chứng minh một số định lý toán học mà dùng công cụ

khác cồng kềnh

1.2.2 Công cụ vectơ dùng vectơ với tư cách là công cụ giải bài toán phổ

thông, đi theo công cụ khác là hình học tổng hợp, tọa độ, biến hình…

1.2.3 Vectơ là kết nối hình học tổng hợp và hình học giải tích, đưa công

cụ vectơ vào để đại số hóa hình học ở phổ thông

1.3 Trong việc giải bài tập toán nói chung và giải bài toán hình học nói riêng

ở phổ thông, công cụ vectơ đóng một vai trò quan trọng:

Nhờ công cụ tích vô hướng của hai vectơ cho phép phát hiện các vấn đề, các bài toán mới về lượng: các vấn đề liên quan đến độ dài, tích các độ dài, bình phương độ dài, các hệ thức lượng, bất đẳng thức về độ dài, tích các độ dài, góc…

Nhờ khai triển một vectơ theo hai vectơ không cùng phương (bản chất là tọa độ Afin trong mặt phẳng) có thể phát hiện các vấn đề các bài toán mới liên quan đến tỉ số các đoạn thẳng cùng phương, các bài toán về

thẳng hàng, đồng quy, song song…

1.4 Trong đổi mới dạy học toán hiện nay, ở phổ thông người ta chú trọng phát

triển năng lực trong giáo dục toán học, năng lực then chốt là năng lực phát hiện vấn đề, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực kiến tạo kiến thức

mới

Ở trường phổ thông, học toán về cơ bản là hoạt động giải toán Giải toán liên quan đến việc lựa chọn và áp dụng chính xác các kiến thức, kĩ năng cơ bản, khám phá về các con số, xây dựng mô hình, giải thích số liệu, trao đổi các ý tưởng liên quan…Giải toán đòi hỏi phải có tính sáng tạo, hệ thống Học toán và giải toán giúp HS tự tin, kiên nhẫn, bền bỉ, biết làm việc có phương pháp…Vì vậy, có thể xem đó là cơ sở cho những

phát minh khoa học

1.5 Đã có nhiều công trình nghiên cứu về lý thuyết kiến tạo, vận dụng lý

thuyết kiến tạo trong dạy học cũng như những quan điểm về công cụ

vectơ trong dạy học ở trường Phổ thông Tiêu biểu như:

- Luận án TS của Cao Thị Hà: “Dạy học một số chủ đề hình học không

gian(Hình học 11) theo quan điểm kiến tạo”

- Luận văn Th.S của Lê Quang Minh: “Quan điểm Vectơ trong dạy học

hình học giải tích ở trường Phổ thông”

- …

Tuy nhiên chưa có tác giả nào nghiên cứu sử dụng công cụ vectơ nhằm

tiếp cận phát hiện vấn đề, năng lực kiến tạo kiến thức mới Vì vậy tôi

chọn đề tài “Sử dụng công cụ vectơ hỗ trợ học sinh tiếp cận các hoạt động kiến tạo kiến thức mới”

Nghiên cứu khai thác vai trò công cụ vectơ đối với việc định hướng và điều chỉnh các hoạt động kiến tạo kiến thức mới

Nghiên cứu, phát hiện các phương thức luyện tập cho học sinh kiến tạo kiến thức mới nhờ sử dụng công cụ vectơ

Quá trình dạy học vectơ theo hướng kiến tạo kiến thức mới (tác động qua lại giữa thầy và trò)

Có thể khai thác lợi thế của công cụ vectơ giúp định hướng một số hoạt động góp phần bồi dưỡng cho học sinh khả năng kiến tạo kiến thức mới trong dạy học hình học ở trường phổ thông

Tương ứng với mục đích và nhiệm vụ đặt ra, ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của luận văn được trình bày theo 4 chương như sau:

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

Chương 2 KHẢO SÁT THỰC TIỄN

Chương 3 XÁC ĐỊNH VÀ LUYỆN TẬP KIẾN TẠO KIẾN

THỨC MỚI NHỜ SỬ DỤNG CÔNG CỤ VECTƠ

Chương 4 CÁC THỰC NGHIỆM

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Một số luận điểm cơ bản về dạy học kiến tạo

1.1.1 Các luận điểm khoa học về lý thuyết kiến tạo

Theo từ điển Tiếng Việt, “kiến tạo” là xây dựng nên éê25, 5 ( ) ùú

ë û Như vậy kiến tạo là một động từ chỉ hoạt động của con người tác động lên một đối tượng nhằm tạo nên một đối tượng mới theo nhu cầu bản thân

Trong quá trình chiếm lĩnh tri thức bằng kinh nghiệm, kiến thức đã có

từ trước thông qua quá trình đồng hóa (Assimilation) và điều ứng (Accomodation) HS sẽ tự xây dựng cho mình một hệ thống tri thức có sắc thái riêng và có khả năng vận dụng hệ thống tri thức này vào giải quyết các vấn đề do thực tiễn đặt ra

Theo Piaget đồng hóa là quá trình HS vận dụng kiến thức cũ để giải quyết tình huống mới và sắp xếp kiến thức mới thu nhận được vào cấu trúc kiến thức hiện có Muốn thế khi tổ chức quá trình dạy học GV cần phải làm cho HS bộc lộ quan niệm của mình về vấn đề học tập, cần tổ chức cho HS hệ thống hóa và khai thác kinh nghiệm cũ nhằm phát triển nhận thức cho bản thân HS và phổ biến cho cả lớp Để đồng hóa được kiến thức mới và cũ cần phải tiến hành quá trình phân tích, tổng hợp, so sánh,… nhằm đánh giá lại kiến thức cũ từ đó sắp xếp lại hệ thống kiến thức sao cho hoàn thiện, chính xác hơn

Điều ứng là sự thay đổi, điều chỉnh, bổ sung, vận dụng kiến thức để giải quyết các vấn đề lý thuyết và thực tiễn Đây là quá trình mà HS phải thực hiện các thao tác tư duy, làm kiến thức bộc lộ các thuộc tính, bản chất, các mặt mạnh yếu, tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố kiến thức, tính

hệ thống của chúng và khả năng vô tận của kiến thức

1.1.1.1 Tri thức được kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức,

không phải tiếp thu một cách thụ động từ bên ngoài

Theo Ernst Von Glasersfeld, kiến thức luôn là kết quả của hoạt động kiến tạo và từ đó nó không thể thâm nhập vào một người học thụ

Tuy nhiên, GV có thể định hướng cho người học theo một cách tổng quát và sự hướng dẫn đó sẽ giúp người học không phải kiến tạo tri thức theo những hướng mà GV không mong muốn GV phải chắc chắn hiểu những khái niệm mà HS đã nắm từ trước, rồi hướng dẫn hoạt động để định vị chúng và rồi giúp người học kiến tạo tri thức từ chúng

Luận điểm này nhằm khẳng định vai trò quyết định của chủ thể trong quá trình học tập Trong một lớp học kiến tạo, tâm điểm có xu hướng thay đổi từ GV làm trung tâm (teacher - centered) đến HS làm trung tâm (students - centered) Lớp học không còn là nơi GV “đổ” kiến thức vào những HS như những cái “chai rỗng” Trong mô hình kiến tạo,

HS được thúc giục để hoạt động trong tiến trình học tập của chúng Giáo viên đóng vai trò như là người cố vấn, dàn xếp, nhắc nhở và giúp HS phát triển và đánh giá những hiểu biết và việc học của mình

1.1.1.2 Nhận thức là một quá trình thích nghi và tổ chức lại thế giới

quan của chính mỗi người

Trong quá trình học tập, có những kiến thức hoàn toàn mới lạ với

HS, nhưng cũng có những kiến thức chúng đã biết, đã gặp trong cuộc sống hàng ngày Tuy nhiên, những hiện tượng chúng đã gặp trong cuộc sống chỉ mang tính chất “kinh nghiệm” mà không rõ cơ sở khoa học Khi đứa trẻ được học về kiến thức liên quan đến những hiện tượng đó trong trường học, chúng sẽ hiểu rõ hơn, và sẽ tự điều chỉnh lại, khẳng định những “kinh nghiệm” trước nay đúng hoặc bác bỏ những gỡ mình đã hiểu sai, từ đó chúng sẽ tự xây dựng lại kiến thức, tổ chức lại thế giới quan cho bản thân phù hợp với thực tế khách quan

1.1.1.3 Học là một quá trình mang tính xã hội trong đó trẻ em dần tự

hòa mình vào các hoạt động trí tuệ của người xung quanh Trong lớp học mang tính kiến tạo, học sinh không chỉ tham gia vào việc khám phá, phát minh mà còn tham gia vào cả quá trình

xã hội bao gồm việc giải thích, trao đổi, đàm phán và đánh giá

Luận điểm này khẳng định vai trò của sự tương tác giữa các cá nhân trong quá trình học tập Quá trình học tập không chỉ là quá trình diễn

ra trong đầu óc mỗi cá nhân mà nó còn luôn có xu hướng vượt ra ngoài tạo nên sự xung đột giữa các cá nhân trong quá trình nhận thức, đó là động lực quan trọng thúc đẩy quá trình học tập của HS Ta lấy ví dụ đơn giản khi một HS một mình giải một bài toán thì em đó sẽ không biết chắc cách làm của mình đúng sai, hay dở thế nào nếu không trao đổi với bạn bè hay thầy

cô giáo, thậm chí có thể sẽ không học được những cách làm hay khác cũng

có thể áp dụng để giải bài toán đó Như vậy tất nhiên kiến thức của HS đó

sẽ rất hạn chế

1.1.1.4 Những tri thức mới của mỗi cá nhân nhận được từ việc điều

chỉnh lại thế giới quan của họ cần phải đáp ứng được những yêu cầu mà tự nhiên và thực trạng xã hội đặt ra

Luận điểm này là định hướng cho việc dạy học theo quan điểm kiến tạo không chệch khỏi mục tiêu của giáo dục phổ thông, tránh tình trạng

HS phát triển một cách quá tự do để dẫn đến hoặc là tri thức HS thu được trong quá trình học tập là quá lạc hậu, hoặc là quá xa vời với tri thức khoa học phổ thông, không phù hợp với lứa tuổi và đòi hỏi của thực tiễn

1.1.1.5 Học sinh đạt được tri thức mới do chu trình: Tri thức đã

có → Dự đoán → Kiểm nghiệm → Thất bại → Thích nghi → Tri thức mới.[ ] 5

Đây có thể coi là chu trình học tập mang tính đặc thù của lý thuyết kiến tạo, nó thể hiện vai trò chủ động, tích cực và phản ánh sự sáng tạo không ngừng của HS trong quá trình học tập Nếu như ở PPDH giải quyết vấn đề, những vấn đề được đặt ra là những tri thức đã được “xác lập” qua nhiều thế hệ, được thế giới công nhận, và HS được chỉ dẫn tới đó để xác lập lại tri thức, biến tri thức đó thành của mình thì trong PPDH kiến tạo, những kiến thức tiếp cận HS là những “kinh nghiệm” có trong bản thân mỗi HS, và hệ thống kiến thức đó sẽ được chính bản thân HS xây dựng lên bằng quá trình đồng hóa và điều ứng Vì vậy, tri thức mà mỗi người có được là không hoàn toàn giống nhau, thậm chí có thể quá xa vời hay lạc hậu so với tri thức khoa học phổ thông, so với lứa tuổi hay thực tiễn cuộc

vấn đề mới, dự đoán cách thức giải quyết và vấn đề nảy sinh, tạo niềm tin, hứng thú cho HS song dự đoán cần được kiểm nghiệm

 Khâu dự đoán được tiến hành thông qua các hoạt động sử dụng tương

tự cấu trúc bao gồm sự tương tự giữa các cặp đối tượng , chẳng hạn: đường thẳng – mặt phẳng; tam giác – tứ diện; hình bình hành – hình hộp; đường tròn – mặt cầu… các cặp đối tượng này là những trường

hợp đặc biệt của các khái niệm tổng quát: m- phẳng; m- đơn hình;

m- hộp; m- cầu Có thể mô tả khái niệm m- đơn hình như sau:

Trong không gian m- chiều cho m + điểm độc lập 1 A A0, 1, A m,

i i

= =

Khi đó tam giác là 2 - đơn hình xác định bởi ba điểm , ,A B C không

thẳng hàng, tứ diện là 3- đơn hình xác định bởi bốn điểm , , ,A B C D

không đồng phẳng Từ đó suy ra tam giác và tứ diện có nhiều tính chất tương tự ví dụ như: tam giác có đường trung tuyến đồng quy, tứ diện có đường trọng tuyến đồng quy; tam giác có đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp,

tứ diện có mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp…

 Hoạt động khái quát hóa:

Tổng quát hóa giả thiết để đi đến kết luận mới và từ đó dẫn tới phát hiện bài toán mới

Hoạt động chuyển hóa các liên tưởng từ đối tượng này sang đối tượng khác để phát hiện cái mới

 Kiểm nghiệm là quá trình HS lập luận, suy luận có lý để khẳng định hoặc phủ định dự đoán Để có được điều này, HS cần có tư duy phê phán, và cần phải có quá trình thử và sai Tư duy phê phán giúp người học hiểu bản chất vấn đề và điều chỉnh hay thay đổi quan niệm của mình cho phù hợp với vốn tri thức mới Quá trình thử và sai giúp HS

có cơ hội lựa chọn các đề tài và đường lối học tập thích hợp với sở thích cá nhân, từ đó phát triển óc sáng tạo

Khi thực hiện khâu kiểm nghiệm các phán đoán giả thuyết cho bởi các mệnh đề, các tính chất người ta thường sử dụng các hoạt động liên tưởng nhằm huy động các tri thức cội nguồn Chẳng hạn một mệnh đề nào đó liên quan đến yếu tố lượng thì người ta dùng tích vô hướng hoặc hình học đồng dạng; các tính chất liên quan đến Afin, ví dụ như tỉ số của hai đoạn thẳng cùng phương; chứng minh song song; chứng minh thẳng hàng thì người ta dùng tọa độ Afin mà thực chất trong chương trình toán phổ thông đó là khai triển vectơ theo hai vectơ khác phương hoặc khai triển vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng, dưới đây chúng ta mô tả các ý tưởng trên như sau:

Từ đó gặp những bài toán nói về độ dài, tích các độ dài, độ lớn của một góc thì người ta thường dùng tích vô hướng, có thể đơn cử bằng một ví

Nhờ công cụ tích vô hướng có thể đề xuất HS khái quát hóa bài toán:

Nếu điểm M bất kì trên cạnh BC của tam giác ABC tính độ dài đoạn ,

AM theo độ dài ba cạnh của tam giác và theo tỉ số k thỏa mãn ,

 Thực hiện khâu kiểm nghiệm và điều chỉnh chính là thực hiện quá trình đồng hóa và điều ứng kiến thức

1.1.2 Các loại hình kiến tạo

1.1.2.1 Thuyết Kiến tạo cơ bản

Tiếng Anh là Radical Constructivism, nhiều văn bản còn gọi là Personal Constructivism (thuyết Kiến tạo cá nhân) hoặc đôi khi chỉ gọi là Constructivism Cha đẻ của thuyết này là nhà Tâm lý học người Thụy Sỹ Jean Piaget Ông mô tả rằng tri thức là sản phẩm của hoạt động tạo ra bởi chủ thể thông qua trải nghiệm cá nhân Tri thức mới bao giờ cũng được hình thành từ tri thức cũ Chính vì thế, thuyết này còn được gọi với một

cái tên theo đúng bản chất là Kiến tạo nội sinh

1.1.2.2 Thuyết Kiến tạo Xã hội

Tiếng Anh là Social Constructivism Cha đẻ của thuyết Kiến tạo xã hội là nhà tâm lý học người Nga Lev Vygosky, với giả thuyết rằng tri thức phải được hiểu như là một thứ được kích hoạt trong các tương tác xã hội (và nhất thiết phải phụ thuộc bối cảnh), qua sự tương tác, tranh luận, trao

đổi trong cộng đồng

1.1.2.3 Mối quan hệ của các học thuyết

Thuyết kiến tạo cơ bản tập trung vào quá trình kiến tạo tri thức của các cá nhân riêng biệt, đề cao vai trò cá nhân, tính chủ động tích cực của

cá nhân Trong khi đó, kiến tạo xã hội tập trung vào các bối cảnh xã hội của việc học, đề cao tính tương tác xã hội và việc khai thác các điều kiện

xã hội trong việc sản xuất ra tri thức

Đôi khi các quan điểm này được xem như đối lập, song nếu nhìn dưới góc độ “tương đối”, có thể hiểu đơn giản mỗi người sẽ có một mô hình về thế giới cho riêng mình, tuy nhiên vì con người không hoạt động trong trạng thái cô lập mà hoạt động trong sự tương tác với xã hội và tự nhiên Mô hình về thế giới (tri thức) mà mỗi người tự xây dưng chính là công cụ để quan sát thế giới đó nên đòi hỏi mô hình ấy phải có sự tương thích với thế giới

1.1.3 Dạy và học theo quan điểm kiến tạo

Dạy học theo quan điểm của thuyết kiến tạo nghĩa là GV hướng dẫn để HS tự khám phá ra tri thức, thực hiện những nhiệm vụ học tập, từ

đó kiến tạo tri thức cho bản thân

1.1.3.1 Các phương pháp giảng dạy kiến tạo

Một số phương pháp giảng dạy Kiến tạo phổ biến trong các nhà trường có thể kể đến như:

 Học tập tích cực (Active learning)

 Học bằng việc làm (Learning by doing)

 Lấy HS làm trung tâm (Student-centered)

 Học tập qua vấn đề (Problem-based learning)

 Học tập qua dự án (Project-based learning

 Học tập qua trải nghiệm (Experiential learning)

 Học tập qua khám phá (Discovery learning)

 Học tập gợi mở (Inquiry-based learning)

 Học tập theo nhóm (Group learning)…

1.1.3.2 Thế nào là một người học kiến tạo ?[ ] 21

Dưới đây là một số đặc điểm của người học Kiến tạo:

 Người học kiến tạo cần phải có cơ hội đặt câu hỏi, đưa ra những giả thuyết và thử tính xác thực;

 Được thử thách bằng những ý tưởng, kinh nghiệm và tạo ra những mâu thuẫn hoặc bất đồng về nhận thức bên trong Những lỗi của người học cần được nhìn nhận một cách tích cực như là các cơ hội để cả người học và người dạy cùng khám phá việc hiểu các khái niệm;

 Người học cần có thời gian để tham gia vào quá trình phản tư (reflection) thông qua việc viết nhật ký (journal writing) và thảo luận Việc học diễn ra trong suốt quá trình trừu tượng hóa khái niệm (reflective abstraction);

 Môi trường học tập cần cung cấp các cơ hội phong phú cho hội thoại,

và lớp học phải được nhìn nhận như là cộng đồng chia sẻ (community

of discourse) tham gia vào hoạt động, phản tư và hội thoại” (Fosnot, 1989);

 Trong cộng đồng người học, chính người học là người phải truyền tải ý tưởng của mình cho người khác, bảo vệ các ý tưởng đó;

 Người học nên làm việc với các ý tưởng lớn, các nguyên tắc tổ chức tập trung có khả năng để khái quát các kinh nghiệm và nguyên tắc

1.1.3.3 Thế nào là một giáo viên kiến tạo ? [ ] 20

Một GV kiến tạo thường có những đặc điểm sau đây:

 Giáo viên khơi dậy suy nghĩ cho người học, giúp họ thực hành học tập

ý nghĩa và hiểu sâu vấn đề, vận dụng được vào các ngữ cảnh của đời sống

 Giáo viên lựa chọn những nhiệm vụ học tập sát với thực tế (authentic task), các câu hỏi bậc cao (high order questions);

 Khung chương trình dẫn dắt GV đến việc kết hợp các chiến lược khuyến khích việc kiến tạo tri thức thông qua các quá trình học tập xã hội, ở đó, HS phát triển việc hiểu biết của mình thông qua các tương tác với GV và bạn học

 Các bài học theo kiến tạo phải có mục tiêu về nội dung rõ ràng được thiết kế dựa trên nhiệm vụ, câu hỏi hoặc vấn đề học tập sát với thực tế

 Giáo viên lựa chọn nhiều cách thức khác nhau để đưa ra ý tưởng trong bài học, từ đó cho người học những cách kết nối, tích hợp việc học

 Giáo viên đưa ra những câu hỏi để giúp người học tư duy hiệu quả, và khéo léo cung cấp các hướng dẫn học tập giúp họ kiến tạo ý nghĩa từ lớp học và kinh nghiệm cuộc sống

 Giáo viên kiến tạo khuyến khích và chấp nhận sự tự quản và sáng tạo của HS;

 Giáo viên sử dụng các dữ liệu thô và tài nguyên cơ bản nhất cùng với các tư liệu lôi cuốn, có tính tương tác và tự nhiên (physical materials);

 Giáo viên cho HS nói ra những gì họ đã hiểu về khái niệm trước khi chia sẻ sự hiểu biết của mình về các khái niệm đó;

 Giáo viên kiến tạo khuyến khích người học tham gia vào các đoạn hội thoại cùng GV và với bạn cùng lớp;

 Khuyến khích HS tìm hiểu vấn đề bằng cách hỏi những câu hỏi mở, có chiều sâu;

 Cho người học có thời gian để suy nghĩ, kiến tạo các mối liên quan và sáng tạo phép ẩn dụ trước khi trả lời

 Giáo viên kiến tạo nuôi dưỡng sự tò mò của người học thông qua việc thường xuyên sử dụng mô hình chu trình học (learning cycle model)

1.2 Vai trò của công cụ vectơ đối với hoạt động giải toán hình học trong

chương trình phổ thông

Trong chương trình toán ở bậc THPT, vectơ là một khái niệm quan trọng, nó có tính khái quát cao, có thể sử dụng cho cả hình phẳng lẫn hình không gian và thậm chí cả đại số Nhờ vectơ, ta có thể đưa tọa độ vào bài toán hình học do đó tránh khỏi những sai lầm về mặt trực quan Cũng nhờ vectơ, nhiều bài toán hình học phẳng, hình học không gian rất khó nếu chỉ giải quyết chúng bằng hình học thuần túy nhưng lại trở nên đơn giản hơn khi ứng dụng vectơ Chính vì vậy, nghiên cứu các ứng dụng của vectơ, vào việc giải toán hình học, thậm chí cả đại số là một vấn đề khá thú vị và

ý nghĩa

Dựa vào lịch sử hình thành khái niệm vectơ, tọa độ và logic trình bày kiến thức vectơ, tọa độ trong chương trình toán cải cách giáo dục Căn

cứ vào mối liên hệ giữa các kiến thức vectơ và tọa độ: Vectơ là phương tiện để xây dựng tọa độ, đồng thời có thể sử dụng tư tưởng tọa độ như là

“phương tiện” để định hướng xây dựng quy trình giải giải các bài toán hình học bằng phương pháp vectơ Tư tưởng đó được hiểu như sau: Trong bài toán hình học được xét hãy chọn một số vectơ mà ta gọi là “hệ vectơ gốc”, sau đó tìm cách biểu diễn các vectơ cần xét theo “hệ vectơ gốc”, việc thực hiện các yêu cầu của bài toán chuyển về thực hiện các phép biến đổi các hệ thức vectơ theo hệ vectơ gốc.[ ] 9

Quy trình giải các bài toán hình học theo tư tưởng nêu trên gồm ba bước sau:

Bước 1 Lựa chọn một số vectơ mà ta gọi là “hệ vectơ gốc”, “phiên

dịch” các giả thiết, kết luận của bài toán hình học đã cho ra “ngôn ngữ” vectơ

Bước 2 Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành các

phép biến đổi các hệ thức vectơ theo hệ vectơ gốc

Bước 3 Chuyển các kết luận “vectơ” sang các tính chất hình học tương

ứng

Khái niệm “bài toán hình học” được hiểu theo nghĩa: bài toán diễn đạt theo hệ thống khái niệm của hình học xây dựng bằng con đường tổng hợp Sau đây chúng tôi giới thiệu một số vai trò tích cực và rõ nét nhất của công cụ vectơ trong giải các bài toán hình học trong chương trình toán

THPT:

1.2.1 Vai trò của khai triển vectơ theo hai vectơ không cùng phương

1.2.1.1 Tích của một vectơ với một số

 Định nghĩa Cho số k =/ 0 và vectơ a =/r 0r Tích của vectơ ar với số k

là một vectơ, ký hiệu là k ar, cùng hướng với ar

nếu k > 0, ngược

hướng với ar nếu k < 0 và có độ dài bằng k ar

1.2.1.2 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

 Cho hai vectơ ar và br không cùng

phương Khi đó mọi vectơ xr đều

phân tích được một cách duy nhất

theo hai vectơ ar và br, nghĩa là có

duy nhất cặp h k sao cho ,

x= ha+ kb

(Hình 1.1)

 Cho ba vectơ a b cr r r, , trong đó ar và

br không cùng phương Điều kiện

m n p là duy nhất

 Một số khai triển thường dùng trong giải toán:

+) Với ba điểm , ,O A B tùy ý ta luôn có:

uuur uuur uuur

AB OB OA

Å uuur= uuur­ uur (quy tắc hiệu hai vectơ chung gốc)

+) Nếu ABCD là hình bình hành, ta luôn có:

Å uuur= uuur+ uuur (quy tắc hình bình hành)

+) Tính chất trung điểm của đoạn thẳng Nếu I là trung điểm của đoạn

,

AB O là điểm tùy ý ta luôn có:

1.2

Å uur = uur+ uuur

+) Tính chất trọng tâm của tam giác Nếu G là trọng tâm tam giác

ABC , M là trung điểm đoạn BC và O là một điểm bất kỳ, ta có:

23

Å uuur= uuur

13

Å uuur= uur+ uuur+ uuur

+) Ba điểm , ,A B C thẳng hàng khi và chỉ khi:

Å uur = uuur+ ­ uuur (k Î ¡ ), trong đó O là điểm bất kỳ

1.2.1.3 Vai trò của khai triển vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Như phân tích ở trên thì việc giải bài toán hình học thông qua khai triển vectơ theo hai vectơ không cùng phương có thể được xem là quy trình giải một bài toán bằng công cụ vectơ dựa trên tư tưởng sử dụng “hệ vectơ gốc” Sau đây là một số dạng bài tập toán phổ biến thể hiện vai trò

ưu thế của khai triển vectơ theo hai vectơ không cùng phương trong chương trình toán THPT hiện hành

 Dạng 1 Chứng minh đẳng thức vectơ Để chứng minh một đẳng thức

vectơ thông qua việc khai triển vectơ theo hai vectơ không cùng phương, ta

có thể sử dụng những phương pháp giải toán phổ biến như sau: biến đổi từ

vế phức tạp về vế đơn giản hơn, biến đổi tương đương về một đẳng thức luôn đúng, đưa cả hai vế của đẳng thức cần chứng minh về cùng một đại lượng trung gian, đưa bài toán ban đầu về bài toán khai triển vectơ theo hai vectơ không cùng phương, sử dụng phép chiếu song song,

Ví dụ 1.2 Cho bốn điểm , , , A B C D

Chứng minh rằng: uuurAB+ CDuuur= uuurAD+ CBuur

Lời giải 1 (Biến đổi từ vế này sang vế kia)

Ta có: VT = uuurAB+ CDuuur= (uuurAD+ DBuuur) (+ CBuur+ BDuuur)

= uuur+ uur+ uuur+ uuur = uuur+ uur =

Lời giải 2 (Biến đổi về một đẳng thức luôn đúng)

Ta có: uuurAB+ CDuuur= uuurAD+ CBuur

Û uuur­ uuur= uur­ uuur Û uuur= uuur (luôn đúng)

Vậy đẳng thức ban đầu được chứng minh

Lời giải 3 (Sử dụng tính chất bắc cầu)

( ) ( )

12

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Từ ( )1 và ( )2 suy ra: ABuuur+ CDuuur= uuurAD+ CBuur (đpcm)

Ví dụ 1.3 Cho tam giác ABC. Gọi M N P lần lượt là trung điểm của , ,, ,

BC CA AB Chứng minh rằng uuurAM+ BNuuur+ CPuur = 0.r

Lời giải 1 Đặt uuurAB= x ACr uuur, = ury Ta có:uuurAM = 12(uuurAB+ uuurAC)= 12(xr+ ury)

.

Nhận xét Từ lời giải trên ta có thể nhận thấy, bản chất thực của lời giải

bài toán là yêu cầu HS khai triển vectơ ur = AMuuur+ BNuuur+ CPuur theo hai vectơ không cùng phương uuur uuurAB AC,

Lời giải 2 GV có thể hướng dẫn HS tìm lời giải khác thông qua việc sử

dụng các tính chất, quy tắc cơ bản trong chương trình như: quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm của đoạn thẳng

Nhận thấy các tứ giác APMN BPNM CMPN là các hình bình hành, nên , ,

uuur uuur uuur

uuur uuur uuruuur uur uuur

uur uuur uuur

(AP BP) (BM CM) (CN AN) 0,

= uuur+ uur + uuur+ uuur + uuur+ uuur = r do ,P M N là trung điểm ,của các đoạn thẳng AB BC CA , ,

Lời giải 3 Đặt ur= uuurAM+ BNuuur+ CPuur Gọi B C lần lượt là trung điểm 1, 1các đoạn thẳng BM CM (Hình 1.2) ,

Chiếu vectơ ur theo phương AM lên đường thẳng BC ta có:

uuuur = r+ BCuuur + CBuuur = BCuuur+ CBuur = r

Hoàn toàn tương tự, chiếu vectơ ur theo phương BN lên đường thẳng AC

ta cũng có uuuurAC = 0r

Lại do BM AN không cùng phương, suy ra , u =r 0.r

 Dạng 2 Chứng minh thẳng hàng, song song

Å Để chứng minh ba điểm , ,A B C thẳng hàng, ta có thể chứng minh

Ví dụ 1.4 Cho tam giác ABC với trọng

tâm G Gọi I là trung điểm của đoạn

AG và K là điểm trên cạnh AB sao

.5

AK = AB Chứng minh C I K , ,

thẳng hàng.

Lời giải Đặt ar = CA buur r, = CBuur Ta có: 1

.2

Ví dụ 1.5 Cho tam giác ABC lấy các điểm , M N P thỏa mãn: , ,

n

ì = ïï

Ví dụ 1.6 Cho tứ giác MNPQ Biết rằng giao

điểm A của hai đường chéo MP và NQ và

các trung điểm , B C của MN và PQ thẳng

uuur uuur uuur r r

Do B là trung điểm MN nên uuurAB= 12(ar+ br)

Lại do PQuuur= uuurAQ- uuurAP= m b(r- ar) và MNuuur= uuurAN- uuurAM= br- ar

Suy ra PQuuur= mMNuuur hay tứ giác MNPQ là hình thang đáy MN PQ ,

 Dạng 3 Xác định điểm liên quan đến đẳng thức vectơ, đẳng thức độ

Vậy điểm M được xác định

b Gọi G là trọng tâm tam giác ABC H là trung điểm , BC.

 Dạng 4 Các bài toán liên quan đến tỉ số độ dài, đẳng thức độ dài

Để giải quyết các bài toán liên quan đến tỉ số độ dài, đẳng thức độ dài bằng việc khai triển vectơ theo hai vectơ không cùng phương, ta thường

1 2 2

=ïî

+) Cho ba vectơ không đồng phẳng a b cr r r, , , khi đó

ïï =

ïï =ïïî

( )

z SCuur = a ar+ b r+ g rÞ r+ r- ar = a x ar+ b ybr+ g tcr

z x

z y z t

a a

b b

g

g

ìïïïï

 Dạng 5 Các bài toán liên quan đến bất đẳng thức độ dài

Để giải quyết một số bài toán liên quan đến bất đẳng thức độ dài nhờ công cụ vectơ ta thường sử dụng bổ đề sau:

Cho hai vectơ ar và ,br khi đó:

= uuur- uur+ uuur+ uuur + uuuur + uuuur+ uuuur = uuur

Do đó T = AA'+ BB'+ CC'= uuurAA'+ BBuuur'+ CCuuur'

³ uuur uuur uuur = uuur =

Vậy minT= 3GG' Đẳng thức xảy ra Û các vectơ uuur uuur uuurAA BB CC', ', ' cùng hướng (khẳng định này thực hiện được, chẳng hạn phép tịnh tiến

Tuuuur D = D ¢ ¢ ¢)

1.2.2 Vai trò của tích vô hướng trong giải bài toán hình học

1.2.2.1 Tích vô hướng của hai vectơ

 Định nghĩa Cho hai vectơ ar và br khác vectơ 0.r Tích vô hướng của ar

và br là một số, ký hiệu là ,a br r được xác định bởi công thức sau:

1, 1

C D lần lượt là hình chiếu của , C D

trên AB ) (Hình 1.7)

1.2.2.2 Vai trò của tích vô hướng trong giải bài toán hình học

Trong chương trình hình học THPT, khái niệm tích vô hướng của hai vectơ xuất hiện ở SGK hình học 10, song những vấn đề có liên quan

đến nó lại có chiều dài thông suốt đến hết chương trình hình học THPT Cũng chính vì thế mà tích vô hướng của hai vectơ đóng một vai trò vô cùng quan trọng và rõ nét nhất trong ứng dụng giải toán hình học từ hình học phẳng, hình học không gian đến hình học tọa độ Sau đây là một số dạng bài tập minh chứng cho vai trò quan trọng của tích vô hướng trong giải bài toán hình học

 Dạng 1 Chứng minh đẳng thức vectơ Như đã nêu ở mục 1.2.1 ta có

nhiều phương pháp khác nhau để chứng minh một đẳng thức vectơ, tuy nhiên đối với việc chứng minh đẳng thức vectơ bằng sử dụng tích vô

hướng, ta thường sử dụng tính chất sau: Cho hai vectơ không cùng

ïïî

r r

r r thì x =r 0.r

Ví dụ 1.10 Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H Chứng minh rằng

u BCr uuur= CH CBuuur uur C- BH BCuuur uuur B

(CA CB1 )tanC (BA1.B C)tanB CB CA.( 1.tanC) BC.(BA1tanB)

 Dạng 2 Chứng minh các đẳng thức vô hướng, độ dài

Ví dụ 1.11 Cách cạnh AB và CD của tứ diện ABCD vuông góc với

 Dạng 3 Chứng minh vuông góc Bài toán chứng minh hai đường thẳng

vuông góc với nhau là một bài toán phổ biến trong chương trình hình học THPT, và vai trò rõ nét nhất của tích vô hướng trong giải bài toán hình học THPT cũng chính là việc chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để

chứng minh hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau, ta chứng

minh uuur uuurAB CD = 0.

Ví dụ 1.12 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là điểm đối xứng của B qua

C, N là hình chiếu vuông góc của B trên MD

uuur uuur uur

(k- 1)xr+ (2- k y)ur;CNuuur= BNuuur- BCuuur= k xr+(1- k y)ur

 Dạng 4 Quỹ tích điểm thỏa mãn đẳng thức vô hướng

Ví dụ 1.13 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm M N thỏa ,

mãn:

a (MAuuur+ MB MAuuur)(uuur+ MCuuur)= 0

b uuur uuurAN AB = AC ABuuur uuur

Lời giải

a Gọi , E F theo thứ tự là trung điểm của AB và AC Ta có:

(MAuuur+ MB MAuuur)(uuur+ MCuuur)= Û0 (2MEuuur)( 2MFuuur)= Û0 ME MFuuur uuur = 0

Hay ME^ MF Û M thuộc đường tròn đường kính EF

 Dạng 5 Tính góc, độ dài đoạn thẳng Trong những bài toán định lượng

liên quan đến độ lớn góc, độ dài đoạn thẳng tích vô hướng cũng đóng góp một vai trò quan trọng trong dạy học hình học, đặc biệt là đối với bài toán hình học không gian cổ điển bởi khi sử dụng công cụ vectơ ta có thể tránh được công việc phải dựng thêm những hình phụ phức tạp

Ví dụ 1.14 Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng , a gọi M là trung điểm

 Dạng 6 Bài toán cực trị liên quan đến bình phương độ dài

Thông thường các bài toán cực trị liên quan đến bình phương độ dài thường được khai triển từ đánh giá (a MAuuur+ b MBuuur+ g MCuuur)2³ 0 hoặc

sử dụng những đánh giá quen thuộc:

= - uur+ uuur+ uuur = -

Vì OG ³2 0 nên suy ra T £ 9R2 Đẳng thức xảy ra Û Oº GÛ ABC

là tam giác đều

Vậy trong tất cả các tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O R thì tam , )

giác đều thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ta cũng có bài toán khái quát Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

(O R Chứng minh rằng với mọi số thực dương , ,, ) a b g ta có bất đẳng

chỉ khi sin 2 a A= b.sin 2B= g.sin 2C

Ví dụ 1.16 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có:

ïï

ïï

ï ­ ­ïïî

uuur uuruuur uuuruuur uuur

MA + MB + MC + GA + GB +GC

ra tình huống cho HS thiết lập các cấu trúc nhận thức cần thiết

Trong dạy học môn hình học ở trường phổ thông, những hoạt động kiến tạo kiến thức mà GV cần chú trọng là:

 Quan tâm dạy học các khái niệm, qui tắc, định lý theo hướng luyện tập nhận dạng, phát hiện các thể khác nhau, từ đó đề xuất các ứng dụng khác nhau của chúng

 Thông qua dạy học chứng minh các định lý toán học, dạy học giải các bài tập toán, luyện tập cho HS cách biến đổi tương đương, nhìn nhận định lý, bài toán theo nhiều cách khác nhau dẫn đến các cách chứng minh, giải toán khác nhau Từ đó tập luyện các cách huy động kiến thức khác nhau cho HS Khi thực hiện biện pháp này cần quan tâm các đối tượng quan hệ trong bài toán được xem xét, cài đặt trong các mô hình khác nhau; Chẳng hạn xem tứ diện là bộ phận của hình hộp, tùy theo các loại tứ diện để có các loại hình hộp tương ứng ngoại tiếp nó Đặt biệt chú trọng diễn đạt các định lý, các bài toán theo các cách tương đương, tương thích với cách giải khác nhau

 Luyện tập cho HS cách thức chuyển đổi ngôn ngữ trong một nội dung toán học hoặc chuyển đổi ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác thông qua dạy học các tình huống điển hình Từ đó dẫn đến các cách lập luận chứng minh, giải quyết các vấn đề khác nhau Chẳng hạn ta chuyển đổi ngôn ngữ hình học thuần túy sang ngôn ngữ vectơ như sau: Ba điểm , ,

A B C thẳng hàng ƒ uuurAB= k AC kuuur( Î ¡ ; Đường thẳng AB vuông )

góc với đường thẳng CD ƒ uuur uuurAB CD = 0

 Thông qua dạy học các tình huống điển hình chú trọng cài đặt thích hợp cách luyện tập cho HS các quan điểm biện chứng của tư duy toán học Khi thực hiện biện pháp này chú trọng giáo dục cho HS các mối liên hệ giữa các chung, cái riêng; quan hệ giữa cái cụ thể và cái trừu tượng, xem xét sự vật trong trạng thái vận động biến đổi

 Quan tâm đúng mức luyện tập cho HS thói quen khai thái tiềm năng sách giáo khoa, khắc sâu mở rộng kiến thức, phát triển các bài toán từ nền kiến thức chuẩn đã được qui định

Sau đây là một số nghiên cứu liên quan đến hoạt động kiến tạo kiến thức mới nhờ sử dụng công cụ vectơ:

1.3.1 Khai thác, mở rộng bài toán từ bài toán gốc

Trong quá trình dạy học giải bài tập toán việc tìm tòi mở rộng những bài toán quen thuộc thành bài toán mới hay tìm lời giải khác nhau cho một bài toán là một phương pháp dạy học khoa học và hiệu quả Quá trình tìm tòi mở rộng bài toán thường xuất phát từ những bài toán đơn giản

- bài toán gốc, cùng với sự định hướng của GV, HS tự mình tạo ra những bài toán mới bằng cách thay đổi, thêm bớt vào giả thiết hoặc kết luận bài toán một số vấn đề mà HS quan tâm Quá trình này sẽ kích thích hứng thú học tập và phát triển tư duy sáng tạo cho người học

Ví dụ 1.17 Từ tính chất độ dài đường trung tuyến của tam giác [ ] 6

Cho tam giác ABC có các cạnh

trung tuyến lần lượt vẽ từ đỉnh , A B

và C của tam giác Ta có:

+) Nếu tam giác ABC vuông ta tìm được mối liên quan nào giữa độ

dài các đường trung tuyến, từ đó HS có thể phát hiện ra bài toán: Chứng

minh rằng tam giác ABC vuông ở A khi và chỉ khi 2 2 2

5m a = m b + m c

+) Ngược lại, nếu hai đường trung tuyến vuông góc với nhau, liệu có

thể tìm được hệ thức liên hệ nào giữa độ dài các cạnh của tam giác hay

không, từ đó HS có thể phát hiện ra bài toán: Chứng minh rằng điều kiện

cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác ABC vuông góc với nhau là 2 2 2

5

c

+) Nếu liên hệ đến định lý hàm số cosin, ta có thể tìm được các bài

toán liên quan đến độ lớn của góc, từ đó HS có thể phát hiện ra những bài

toán liên quan đến góc, chẳng hạn: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến

kẻ từ B và C vuông góc với nhau Chứng minh rằng 4

5

cosA ³

+) HS cũng có thể khai thác tìm tòi được những bài toán khó hơn nếu

HS có những tư duy mạnh dạn hơn, chẳng hạn: Nếu liên hệ đến những

điểm đặc biệt khác trong tam giác, liệu có thể tìm được hệ thức liên hệ nào giữa chúng hay không Từ đó HS có thể tìm được những bài toán khó hơn,

chẳng hạn: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R), gọi H là trực

tâm của tam giác Chứng minh rằng cotA= 2(cotB+ cotC) khi và chỉ khi

2 2 2

OH = R - a

 Hướng 2 Nhận thấy bài toán có sự liên quan đến trung tuyến của của

tam giác, trung điểm của đoạn thẳng Từ đó GV có thể hướng dẫn HS tìm hiểu đến các hình có liên quan như: hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, tứ giác bất kỳ, tứ diện có sự xuất hiện của trung điểm các đoạn thẳng Chẳng hạn: Nếu xem hình bình hành được tạo thành

từ hai miếng ghép của cùng một tam giác, chúng ta có thể tìm được hệ thức liên hệ nào ?

nào, từ đó HS có thể tìm tòi ra những bài toán mới, chẳng hạn: Cho tứ

diện ABCD , gọi , P Q lần lượt là trung điểm các cạnh AC và BD

.4

AB + BC + CD + DA = A C + B D + P Q

Như vậy trong quá trình dạy học giải bài tập toán nói chung và sử dụng công cụ vectơ để giải toán nói riêng, công việc hướng dẫn của GV để HS tìm tòi, khai thác và sáng tạo ra những bài toán mới vừa giúp các em say

mê hứng thú và sáng tạo Có thể khả năng sáng tạo của mỗi HS là khác nhau, sự tìm tòi đến những bài toán mới có thể chưa mang đến những bài toán đẹp như sự mong đợi của GV nhưng sự khích lệ và hướng dẫn từ GV

sẽ giúp các em thay đổi được nhận thức, từ đó các em sẽ từng bước phát triển tư duy sáng tạo trong học tập cũng như trong đời sống thực tiễn