Về một phương pháp chỉnh hóa cho bài toán xác định nguồn của phương trình truyền nhiệt trong không gian một chiều

- - - - F -LƯƠNG DUY NHẬT MINH VỀ MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA CHO BÀI TOÁNXÁC ĐỊNH NGUỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG KHÔNG GIAN MỘT CHIỀU CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60.46.

- - - - F

-LƯƠNG DUY NHẬT MINH

VỀ MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA CHO BÀI TOÁNXÁC ĐỊNH NGUỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN

NHIỆT TRONG KHÔNG GIAN MỘT CHIỀU

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

MÃ SỐ: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN ĐỨC

Nghệ An - 2016

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ 5

1.1 Bài toán đặt không chỉnh 5

1.2 Phương pháp chỉnh hóa 8

Chương 2 Về một phương pháp chỉnh hóa cho bài toán xác định nguồn của phương trình truyền nhiệt trong không gian một chiều 19

2.1 Phương trình truyền nhiệt trong không gian một chiều 19

2.2 Một phương pháp chỉnh hóa cho bài toán xác định nguồn của phương trình truyền nhiệt trong không gian một chiều 22

KẾT LUẬN 31

TÀI LIỆU THAM KHẢO 32

LỜI NÓI ĐẦU

Bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic là mô hình toánhọc của các bài toán thực tiễn, chẳng hạn như bài toán xác định nguồngây ô nhiễm trong không khí hay môi trường nước để từ đó con ngườiđiều khiển nguồn gây ô nhiễm và bảo vệ môi trường sống Bài toán nàyđược rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứunhư Cannon, Ewing, Yamamoto, Hasanov, Pektas, Chu-Li Fu, Đinh NhoHào, Đặng Đức Trọng,

Bài toán kể trên thường đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghiệmcủa bài toán không phải bao giờ cũng tồn tại và trong trường hợp tồn tại,nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện của bài toán Điều này làmcho bài toán đặt không chỉnh khó giải hơn nhiều so với các bài toán đặtchỉnh Thông thường, các nhà toán học phải đề xuất các phương phápchỉnh hóa để giải các bài toán đặt không chỉnh

Tuy nhiên, cho đến nay các kết quả về phương pháp chỉnh hóa đối vớibài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic vẫn còn hạn chế Cáckết quả chủ yếu đạt được cho phương trình có cấu trúc đơn giản và cácđánh giá sai số thường đạt được trong không gian Hilbert

Để tập dượt nghiên cứu cũng như để làm phong phú thêm các tài liệu

về việc giải các bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic, trên

cơ sở các bài báo [7] và các tài liệu tham khảo [1, 3, 4, 5, 6, 8], chúng tôilựa chọn đề tài cho Luận văn của mình là : "Về một phương phápchỉnh hóa cho bài toán xác định nguồn của phương trìnhtruyền nhiệt trong không gian một chiều"

Mục đích chính của luận văn nhằm tìm hiểu về phương trình truyềnnhiệt trong không gian một chiều và phương pháp chỉnh hóa bài toán xácđịnh nguồn cho phương trình này trên cơ sở tham khảo các tài liệu [4],[6], [7] và [8] Với mục đích đó luận văn này được chia thành 2 chương:Chương 1: Trình bày khái niệm bài toán đặt không chỉnh cùng một

số ví dụ minh họa Sau đó chúng tôi trình bày về phương pháp chỉnh hóa

và ví dụ minh họa để làm cơ sở cho việc trình bày chương 2 Trong ví

dụ về phương pháp chỉnh hóa, chúng tôi sẽ trình bày phương pháp làmnhuyễn cho phương trình truyền nhiệt nửa tuyến tính ngược thời giantrong không gian Banach Kết quả này đã được chúng tôi viết thành bàibáo và đã đăng trên Tạp chí khoa học - Trường Đại học Vinh năm 2015.Chương 2: Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày về lý thuyếtphương trình truyền nhiệt trong không gian một chiều Sau đó chúng tôitrình bày phương pháp chỉnh hóa cho bài toán xác định nguồn của phươngtrình truyền nhiệt trong không gian một chiều trên cơ sở tham khảo bàibáo [7] và cuối cùng chúng tôi đề xuất và chứng minh một kết quả mới.Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn của thầy giáo, TS Nguyễn Văn Đức Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc của mình đến Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơnBan chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Sư Phạm Toánhọc và cảm ơn các thầy, cô giáo trong bộ môn Giải tích, khoa Sư PhạmToán học đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gianhọc tập và hoàn thành luận văn này Cuối cùng, tác giả cám ơn gia đình,đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 22 Giải tích

đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập vànghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những

hạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng gópcủa các thầy, cô giáo và các bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn.

Nghệ An,tháng 8 năm 2016

Tác giả

CHƯƠNG 1MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Chương này nhằm mục đích trình bày một số kiến thức liên quan đếnnội dung chương 2, chủ yếu được chúng tôi tham khảo trong các tài liệu[1, 3, 5]

1.1 Bài toán đặt không chỉnh

xạ đơn ánh đi từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y Phần tử

x0 ∈ X được gọi là nghiệm của phương trình A(x) = f nếu A(x0) = f.Đặt

R(A) = {y ∈ Y : tồn tại x ∈ X thỏa mãn A(x) = y}

Khi đó, tồn tại ánh xạ R : R(A) −→ X xác định bởi công thức R(f ) =

x ∈ X, ∀f ∈ R(A) Khi đó việc tìm nghiệm x ∈ X của phương trình

A(x) = f dựa vào dữ kiện ban đầu f ∈ Y thường được xem xét dưới dạngphương trình x = R(f )

1.1.3 Định nghĩa Cho (X, dX), (Y, dY) là hai không gian mêtric Bài

định trên cặp không gian (X, Y ) (hay được gọi là liên tục theo dữ kiệncủa bài toán) nếu với mọi f1, f2 ∈ R(A) và mọi ε > 0, tồn tại δ(ε) > 0

sao cho dY(f1, f2) ≤ δ(ε) thì dX(R(f1), R(f2)) ≤ ε

được gọi là bài toán đặt chỉnh trên cặp không gian metric (X, Y ) nếui) Với mỗi f ∈ Y thì tồn tại nghiệm x ∈ X;

ii) Nghiệm x đó là duy nhất;

iii) Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y )

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toántìm nghiệm được gọi là bài toán đặt không chỉnh

Mặt khác sự thay đổi vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian

L2[c, d], tức là khoảng cách giữa hai hàm f1(t), f2(t) trong L2[c, d] đượcbiểu thị bởi

Giả sử phương trình có nghiệm là ϕ0(s) Khi đó với vế phải

= |N |

r

b − a

2ω sin(ω(b − a)) cos(ω(b + a)).

Dễ dàng nhận thấy hai số N và ω có thể chọn sao cho dL2[c,d](f0, f1) rấtnhỏ nhưng vẫn cho kết quả dL2[c,d](ϕ0, ϕ1) rất lớn Đây là bài toán không

ổn định

1.2 Phương pháp chỉnh hóa

tử từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y Gọi x0 là nghiệmcủa phương trình A(x) = f0 Toán tử R(f, α), phụ thuộc tham số α, tác

toán tử R(f, α) Phần tử xấp xỉ xα ∈ R(fδ, α) được gọi là nghiệm chỉnhhóa của phương trình A(x) = f0 và α = α(fδ, δ) = α(δ) được gọi là tham

số chỉnh hóa Dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa trên, nghiệm hiệu chỉnh

ổn định với dữ kiện ban đầu Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộcliên tục vào vế phải của phương trình A(x) = f0 gồm các bước

Cho T > 0, 1 < p < ∞, ϕ ∈ Lp(R) và ε > 0 Xét phương trình trìnhtruyền nhiệt nửa tuyến tính ngược thời gian trong không gian Banach

(1.1)trong đó f thỏa mãn điều kiện Lipschitz

kf (t, w1) − f (t, w2)kLp(R) 6 kkw1− w2kLp(R) (1.2)với hằng số k độc lập với t, w1, w2 Đây là một bài toán đặt không chỉnh

và để giải bài toán này, ta cần đề xuất các phương pháp chỉnh hóa

Ký hiệu Dν(x) = sinνx

x , ν > 0 và toán tử Sν : Lp(R) → Lp(R) đượcxác định bởi

1.2.3 Định nghĩa ([2])Cho α, β ≥ 0 Với mỗi hàm đo được u : R → C

1.2.6 Định lý ([2]) Bài toán (1.3) là một bài toán đặt chỉnh

sẽ chứng minh rằng bài toán (1.3) tương đương với (1.4) Trong bước 2, ta

sẽ chứng minh tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1.4) Cuối cùng,trong bước 3, ta sẽ chứng minh tính ổn định nghiệm của bài toán

Vậy vν là nghiệm của bài toán (1.3).

Phần B Ta chứng minh rằng nếu vν thỏa mãn (1.3) thì vν là nghiệmcủa bài toán (1.4)

Lấy biến đổi Fourier hai vế của phương trình (1.3) đối với x, ta có

Lấy biến đổi Fourier ngược hai vế của phương trình (1.5) đối với x, ta có

Vì vậy vν là nghiệm của bài toán (1.4)

Bước 1 đã được chứng minh

Bước 2 Tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1.4)

π p và |k · k| là chuẩn supremum trong

C([0, T ]; Lp(R))

Ta chứng minh bất đẳng thức (1.6) bằng quy nạp Ký hiệu q là số thực

e(t−s)∂2/∂x2Sν((f (s, w(x, s)) − f (s, v(x, s)))

với w, v ∈ C([0, T ]; Lp(R)).

Ta xét G : C([0, T ]; Lp(R)) → C([0, T ]; Lp(R)) Tồn tại một số nguyêndương m0 sao cho Gm0 là ánh xạ co vì

Bước 2 đã được chứng minh.

e(t−T )∂2/∂x2Sν(ϕ1(x) − ϕ2(x))

+

p

dx+ C2p

Z

R

t

e(t−s)∂2/∂x2Sν(f (s, u(x, s)) − f (s, v(x, s)))ds

p

dx

= C2p e(t−T )∂2/∂x2Sν(ϕ1(·) − ϕ2(·))

p p

≤ C2p e(t−T )∂2/∂x2Sν(ϕ1(·) − ϕ2(·))

p p

Điều này kéo theo rằng

eptν2ku(·, t) − v(·, t)kpp ≤ C

p p

πpC2pe

pT ν 2

kϕ1(·) − ϕ2(·)kpp+ k

Bước 3 đã được chứng minh

Các định lý, nhận xét, hệ quả sau đưa ra đánh giá sai số của phương

pháp chỉnh hóa

1.2.7 Định lý ([2]) (i) Nếu tồn tại hằng số dương E > ε thỏa mãn

ku(·, t)kp,t 6 E, ∀t ∈ [0, T ] (1.8)thì với ν =

1 , ∀t ∈ [0, T ]

(1.11)

đánh giá H¨older tại t = 0

kvν(·, 0) − u(·, 0)k 6 C1pexp(kpC1pT )εα+Tα E

T α+T

1

1.2.9 Hệ quả ([2]) Giả sử u là một nghiệm của bài toán

∂t =

∂2u

∂x2, x ∈ R, t ∈ (0, T )ku(·, T ) − ϕ(·)kp 6 ε

và vν là nghiệm của bài toán

(∂vν

∂t =

∂2vν

∂x2 , x ∈ R, t ∈ (0, T )v(·, T ) = Sν(ϕ(·))

(i) Nếu ku(·, 0)kp ≤ E thì bằng cách chọn ν =

ku(·, t) − vν(·, t)kp ≤ C1pεT +αt+αET +αt+α, ∀t ∈ [0, T ]

CHƯƠNG 2

VỀ MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA CHO BÀI TOÁNXÁC ĐỊNH NGUỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN

NHIỆT TRONG KHÔNG GIAN MỘT CHIỀU

Chương này nhằm mục đích trình bày phương trình truyền nhiệt trongkhông gian một chiều và một phương pháp chỉnh hóa cho bài toán xácđịnh nguồn của phương trình này trên cơ sở tham khảo các tài liệu [4],[6], [7] và [8]

2.1 Phương trình truyền nhiệt trong không gian

một chiều

Mục này trình bày về lý thuyết phương trình parabolic tuyến tính trongkhông gian một chiều trên cơ sở tham khảo các tài liệu [4], [6] và [8].Xét phương trình truyền nhiệt

ut = a2uxx, 0 < x < l, t0 < t < T

đầu thứ nhất cho phương trình truyền nhiệt nếu:

i) Nó được xác định và liên tục trong miền xác định gần 0 ≤ x ≤ l,

u(0, t) = µ1(t),u(l, t) = µ2(t),

với ϕ(x), µ1(t), µ2(t) là các hàm kiên tục và

ϕ(0) = µ1(t0)[= u(0, t0)]

ϕ(l) = µ2(t0)[= u(l, t0)]

đầu thứ hai nếu điều kiện iii) trong Định nghĩa 2.1.1 được thay thế bằng

đầu thứ ba nếu điều kiện iii) trong Định nghĩa 2.1.1 được thay thế bằng

Chúng ta sẽ xét các câu hỏi theo trình tự sau:

i) Nghiệm của bài toán nếu tồn tại có duy nhất không?

ii) Bài toán có nghiệm không?

iii) Nghiệm của bài toán có phụ thuộc vào dữ liệu một cách liên tục không?

trình truyền nhiệt

trong miền 0 < t < T, 0 < x < l Khi đó, hàm u(x, t) đạt giá trị cựcđại (cực tiểu) tại t = 0, hoặc tại x = 0 hoặc tại x = l.

Chứng minh Đặt υ(x, t) := u1(x, t) − u2(x, t) Vì u1 và u2 liên tục trong

[0, l] × [0, T ] nên hàm υ cũng liên tục trong [0, l] × [0, T ] Ngoài ra, hàm

υ thoả mãn phương trình υt = a2υxx với 0 < x < l, 0 < t < T Vì vậy,

tỏ υ đạt được cực đại tại t = 0 hoặc x = 0 hoặc x = l Vì υ(x, 0) = 0,

2.2 Một phương pháp chỉnh hóa cho bài toán xác

định nguồn của phương trình truyền nhiệt trong không gian một chiều

Mục này trình bày chi tiết các kết quả trong bài báo [7] và đề xuất mộtkết quả mới

Xét bài toán tìm một cặp hàm {u(x, t), f (x)} thỏa mãn







ut− uxx = f (x), x ∈ I, t ∈ (0, 1),u(x, 0) = 0, x ∈ I,

Trong thực hành, dữ kiện đầu vàog có được do đo đạc, vì vậy không tránhkhỏi sai số Giả sử rằng thay vì dữ kiện chính xác g, ta chỉ đo đạc được

dữ kiện gδ(·) ∈ L2[0, π] thỏa mãn điều kiện

kgδ(·) − g(·)k = kgδ(·) − u(·, 1)k 6 δ, (2.10)với hằng số δ > 0 là mức sai số của dữ kiện đầu vào

Bài toán kể trên là bài toán xác định nguồn từ dữ kiện đo đạc gδ(·)

của phương trình truyền nhiệt Đây là bài toán quan trọng trong nhiềulĩnh vực của khoa học kỹ thuật Cho ví dụ, một sự đánh giá chính xác vềnguồn gây ô nhiễm quyết định đến sự đảm bảo môi trường sống an toàncho những thành phố có mật độ dân số cao Các chủ đề như sự tồn tại vàtính duy nhất nghiệm, đánh giá ổn định, thuật toán để giải số bài toántrên đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Tuy nhiên, vấn đềchỉnh hóa cho bài toán này vẫn chưa được quan tâm đầy đủ

Trong mục này, chúng tôi trình bày một phương pháp chỉnh hóa dựatrên ý tưởng thay thế phương trình ban đầu ut− uxx = f (x), x ∈ I, t ∈(0, 1) bởi phương trình ut − uxx = f (x) − αf00(x), x ∈ I, t ∈ (0, 1) Cụthể, bài toán (2.8)-(2.9) sẽ được chỉnh hóa bởi bài toán

trong đó tham số chỉnh hóa α > 0

Trước hết, chúng ta hãy phân tích để thấy rõ bài toán (2.8)-(2.9) làmột bài toán đặt không chỉnh Bằng phương pháp tách biến, chúng ta đạtđược nghiệm của bài toán (2.8)-(2.9) có dạng

ta định nghĩa toán tử K : f 7→ g, theo công thức ta có

Một trong những cách để chỉnh hóa bài toán là thay thế đại lượng

2) Với mỗi α > 0, tồn tại c(α) sao cho |U (α, σ)| 6 c(α)σ với mọi

α ∈ (0, kKk];

3) limα→0U (α, σ) = 1 với mỗi σ ∈ (0, kKk]

Khi đó, nghiệm chỉnh hóa được xác định bởi công thức

Do đó, trong trường hợp này ta có

U (α, σn) = 1

Để đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp chỉnh hóa này, cũng giốngnhư đối với các phương pháp chỉnh hóa khác, ta cần có thêm thông tin vềnghiệm chính xác Cụ thể, ta giả thiết rằng, nghiệm chính xác f (x) thỏamãn điều kiện

kf kp 6 E, p > 0, (2.16)với k · kp được xác định theo công thức

Ta sẽ dùng fαδ(x) được xác định từ công thức (2.14) để làm nghiệm xấp

xỉ cho f (x) xác định theo công thức (2.13) Ta có kết quả đánh giá tốc độhội tụ của phương pháp thể hiện qua định lý sau

fαδ(x) được xác định từ công thức (2.14) lần lượt là nghiệm của bài

toán ban đầu (2.8) và bài toán chỉnh hóa (2.11) Nếu các điều kiện(2.10) và (2.16) đúng thì bằng cách chọn tham số chỉnh hóa

α =



δE

p+22

(2.18)

ta có đánh giá sau

kf − fαδk 6 CEp+22 δp+2p + max{αp2, α}E, (2.19)với C = e−1e

∞

X

n=1

n2en2(en2 − 1)(1 + αn2) g

∞

X

n=1

n2en2(en2 − 1)(1 + αn2) hg, uni un

A(n) = αn

2

1 + αn2(1 + n2)−p2, B(n) = n

2en2(en2 − 1)(1 + αn2). (2.22)

Đầu tiên, chúng ta đánh giá số hạng thứ hai ở vế phải của (2.21) Vì

Thay giá trị nàyvào (2.27) ta sẽ thu được đánh giá (2.19)

Định lý được chứng minh

2.2.2 Nhận xét ([7])Vì tham số chỉnh hóa α → 0 khi δ → 0, chúng ta

dễ thấy rằng

lim

δ→0kf − fαδk = 0 (2.28)Điều này có nghĩa là fαδ → f khi δ → 0

2.2.3 Nhận xét ([7])Vì trong thực hành,kf kp thường không được biết.Điều này kéo theo giá trị E cũng không được biết chính xác Tuy nhiên,nếu chúng ta chọn α = cδ2+p2 , trong đó c là một hằng số dương thì chúng

2.2.4 Định lý Giả sử f (x) xác định theo công thức (2.13) và fαδ(x)

được xác định từ công thức (2.14) lần lượt là nghiệm của bài toán ban

(2.16) đúng với p > 2 thì bằng cách chọn tham số chỉnh hóa

α =



δE

12

ta có đánh giá sau

kf − fαδk 6 (C + 1)E12δ12

với C = e−1e

X

n=1

n2en2(en 2

∞

X

n=1

n2en2(en 2

Do đó, với α =



δE

2

ta đạt được

kf − fαδk 6 (C + 1)δ12E12

Định lý được chứng minh

2.2.5 Nhận xét Với p > 2, kết quả trong Định lí 2.2.4 của chúng tôi

là tốt hơn kết quả của các tác giả trong [7] Như đã trình bày trong Định

lí 2.2.1 các tác giả trong [7] chỉ ra rằng

kf − fαδk 6 CEp+22 δp+2p + max{αp2, α}E,

Do đó với p > 2 thì max{αp2, α}E = αE = δp+22 Ep+2p Do đó, ta có

kf − fαδk 6 CEp+22 δp+2p + δp+22 Ep+2p

Vì p > 2 nên p+22 < 12 Vì vậy tốc độ hội tụ chúng tôi chỉ ra trong Định

lí 2.2.4 khi p > 2 là tốt hơn tốc độ hội tụ của các tác giả trong [7] chỉ rakhi p > 2

KẾT LUẬNKết quả đạt được trong Luận văn này là

họa

3 Trình bày một số kết quả cơ bản về phương trình truyền nhiệt trongkhông gian một chiều

của phương trình truyền nhiệt trong không gian một chiều

5 Đề xuất và chứng minh Định lý 2.2.4

6 Đưa ra Nhận xét 2.2.5

Một số kết quả trong luận văn đã được chúng tôi viết thành bài báo vàđăng trên Tạp chí khoa học - Trường Đại học Vinh năm 2015 (xem [2])

VỀ MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HĨA CHO BÀI TỐNXÁC ĐỊNH NGUỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN

NHIỆT TRONG KHƠNG GIAN MỘT CHIỀU

Chương nhằm mục đích trình bày phương trình truyền nhiệt trongkhông... trongkhông gian chiều phương pháp chỉnh hóa cho tốn xác? ?ịnh nguồn phương trình sở tham khảo tài liệu [4],[6], [7] [8]

2.1 Phương trình truyền nhiệt khơng gian< /h3>

một chiều< /h3>... data-page="23">

2.2 Một phương pháp chỉnh hóa cho tốn xác< /h3>

định nguồn phương trình truyền nhiệt khơng gian chiều< /h3>

Mục trình bày chi tiết kết báo [7] đề xuất mộtkết

Xét