Truyền thụ tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp như là phương tiện và kết quả của hoạt động trong dạy học toán cho học sinh lớp 10 chuyên toán

HS các lớp chuyênToán, ngoài nội dung môn Toán cơ bản ở trờng phổ thông, các em còn đợchọc tăng cờng một số nội dung mở rộng, đào sâu kiến thức cơ bản trong SGK,chú trọng thêm những ứng

bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh

-Lê Phi Hùng Truyền thụ tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp nh là phơng tiện và kết quả của hoạt động trong dạy học Toán cho học sinh lớp 10 chuyên Toán luận văn thạc sĩ giáo dục học Vinh – 2009 2009 Mục lục Trang Mở đầu ……… ……… 1

Chơng 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn ……… 4

1.1 Quan điểm hoạt động trong dạy học Toán ……… 4

1.1.1 Lý thuyết hoạt động trong Tâm lý học ……… 4

1.1.2 Quan điểm hoạt động trong dạy học Toán……… 6

1.1.3 Các t tởng chủ đạo của quan điểm hoạt động………… 8

1.1.4 Định hớng đổi mới PPDH theo hớng "Hoạt động hoá ngời học" 9 1.2 Tri thức và tri thức phơng pháp……… 9

1.2.1 Khái niệm tri thức và một số dạng tri thức……… 9

1.2.2 Tri thức phơng pháp……… 15

1.3 Dạy học tri thức phơng pháp……… 22

1.3.1 Vai trò và ý nghĩa của việc truyền thụ tri thức phơng pháp trong dạy học Toán……… 22

1.3.2 Một số cấp độ về dạy học tri thức phơng pháp………… 26

1.3.3 Một số tiến trình dạy học tri thức phơng pháp có tính chất 2

thuật toán một cách tờng minh……… 8

1.3.4 Dạy học tri thức phơng pháp có tính chất tìm đoán…… 30

1 4 Thực trạng dạy học ở các lớp chuyên Toán ……… 34

1.4.1 Việc hình thành các lớp chuyên Toán ……… ………… 34

1.4.2 Các kết quả đạt đợc……… 35

1.4.3 Một số vấn đề còn tồn tại hiện nay ……… 35

1.5 Kết luận chơng 1 ……… 36

Chơng 2 Một số biện pháp nhằm truyền thụ tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp nh là phơng tiện và kết quả của hoạt động trong dạy học Toán cho học sinh lớp 10 chuyên Toán …

37 2.1 Đặc điểm của chơng trình môn Toán lớp 10 và chơng trình chuyên Toán lớp 10 ………

3 7 2.2 Một số định hớng s phạm của việc đề ra các biện pháp …… 41

2.3 Đề xuất một số biện pháp s phạm nhằm cung cấp tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp trong dạy học Toán 10 cho học sinh chuyên Toán … 4 1 2.3.1 Biện pháp 1: Làm cho học sinh rõ nguồn gốc của tri thức, con đờng khám phá tri thức nhằm khơi dậy niềm ham thích say mê môn Toán ………… ………… ………… 41

2.3.2 Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh kết hợp giữa suy diễn và dự đoán trong quá trình phát hiện giải quyết vấn đề.…

5 0 2.3.3 Biện pháp 3: Rèn luyện cho học sinh khả năng liên tởng và huy động tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề ……… 65

2.3.4 Biện pháp 4: Rèn luyện học sinh khả năng khai thác sâu lời giải bài toán, tìm tòi nhiều cách giải, phát triển bài toán theo nhiều hớng, đề xuất các bài toán mới, các chuỗi bài toán Vận dụng một số kiến thức Toán học cao cấp để soi sáng các bài toán ……… ……

74 2.3.5 Biện pháp 5: Xây dựng chuyên đề gợi mở, kích thích sự sáng tạo, sự say mê Toán học và rèn luyện khả năng tự học, tự nghiên cứu của học sinh ……… …… 87

2.4 Kết luận chơng 2 ……… 96

Chơng 3 Thực nghiệm s phạm …… ……… 97

3.1 Mục đích thực nghiệm ……… 97

3.2 Nội dung thực nghiệm ……… 97

3.2 Tổ chức thực nghiệm ……… 97

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệmánh giá k tết quả thực nghiệm quả thực nghiệm th cực nghiệm nghi mệm ………

99 3.4 Kết luận chơng 3 ……… 101

Kết luận ……… 102

Công trình đã công bố của tác giả, đồng tác giả liên quan đến luận văn 103 Tài liệu tham khảo 104

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Đất nớc ta đang trên con đờng đổi mới, cần có những con ngời phát

triển toàn diện, năng động và sáng tạo Để đạt đợc mục tiêu đó, trớc hết bắt

đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạophải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đàotạo phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố, một yếu tố quan trọng là đổi mới PPDHtrong đó có PPDH môn Toán

Nghị quyết Trung ơng 2 (khoá 8, 1997) của Ban Chấp hành Trung ơng

Đảng Cộng sản Việt Nam khẳng định: "Phải đổi mới phơng pháp giáo dục

-đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp t duy sángtạo cho ngời học…"

Kết luận của Bộ Chính trị về việc thực hiện Nghị quyết Trung ơng 2(2009) nêu rõ: "Tiếp tục đổi mới PPDH, khắc phục lối truyền thụ một chiều.Phát huy PPDH tích cực, sáng tạo…"

Luật Giáo dục (2005) cũng quy định: "Nhà nớc phát triển giáo dụcnhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dỡng nhân tài…", "Phơng phápgiáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của ng-

1.2 Trong những năm gần đây việc đổi mới PPDH ở nớc ta đã có một

số chuyển biến tích cực Các PPDH hiện đại nh dạy học phát hiện và giảiquyết vấn đề, dạy học khám phá, dạy học kiến tạo… đã đợc một số giáo viên

áp dụng Những sự đổi mới đó nhằm tổ chức các môi trờng học tập mà trong

đó HS đợc hoạt động trí tuệ nhiều hơn, có cơ hội để khám phá và kiến tạo trithức, qua đó HS có điều kiện tốt hơn lĩnh hội bài học và phát triển t duy chobản thân họ Tuy nhiên, thực tế cũng còn rất nhiều giáo viên vẫn còn gặp khókhăn trong việc tiếp cận và thực hiện các PPDH mới

1.3 Mục tiêu của những lớp chuyên Toán là phát hiện những HS có

năng lực Toán học, bồi dỡng để các em phát triển tốt về mặt này trên cơ sởgiáo dục toàn diện, góp phần đào tạo đội ngũ cán bộ khoa học kỹ thuật giỏi,trong số đó một số có thể trở thành nhân tài của đất nớc HS các lớp chuyênToán, ngoài nội dung môn Toán cơ bản ở trờng phổ thông, các em còn đợchọc tăng cờng một số nội dung mở rộng, đào sâu kiến thức cơ bản trong SGK,chú trọng thêm những ứng dụng thực tiễn của Toán học, tăng cờng một số yếu

tố lôgic và Toán học hiện đại… Do những tính chất đặc thù của HS chuyênToán và của nội dung chơng trình chuyên Toán, cha có nhiều các công trìnhgiáo dục đi sâu vào nghiên cứu PPDH cho đối tợng này, trong khi chúng ta đã

có rất nhiều các công trình khoa học giáo dục bàn về PPDH nói chung Cáccông trình đã thực hiện liên quan đến chuyên Toán thờng là những công trình

đi sâu vào khía cạnh kiến thức, tìm tòi các bài toán khó… để thách thức khả

năng giải toán của HS, mà cha chú trọng đến việc dẫn dắt HS kiến tạo nhữngkiến thức đó Một số tác giả cũng đã đặt vấn đề nghiên cứu, xây dựng nộidung và PPDH cho đối tợng HS khá giỏi, có thể kể ra ở đây tiêu biểu là côngtrình của tác giả Trần Luận (1996), nhng chỉ đề cập đến đối tợng HS chuyênToán cấp II.

1.4 Chơng trình môn Toán cho các lớp chuyên Toán THPT nói chung

và chơng trình cho lớp 10 chuyên Toán nói riêng có rất nhiều vấn đề có thểlàm nổi bật quan điểm dẫn dắt HS kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức phơngpháp, nh là phơng tiện và kết quả của hoạt động Chẳng hạn, với vấn đề hàm

số bậc nhất, tính đơn điệu và đồ thị của nó là những tri thức để giải quyết cácbài toán cực trị của biểu thức bậc nhất trên một đoạn, bằng cách chỉ cần sosánh hai đầu mút, từ đó có thể hình thành nên một tri thức phơng pháp giảiquyết hiệu quả một lớp các bài toán cực trị Một ví dụ khác nữa đó là, từ cáchgiải hệ đẳng cấp bậc hai với hai ẩn, hình thành nên tri thức phơng pháp có thểgiải một lớp các hệ phơng trình mà trong đó từ hệ đã cho ta có thể đa đến mộtphơng trình đẳng cấp thuần nhất của hai biến…

Từ những lí do trên chúng tôi quyết định lựa chọn đề tài của luận văn

là: "Truyền thụ tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp nh là phơng tiện và

kết quả của hoạt động trong dạy học Toán cho học sinh lớp 10 chuyên Toán" với mong muốn đóng góp một phần nhỏ vào việc dạy học môn Toán

cho đối tợng là học sinh lớp 10 chuyên Toán

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là thông qua nghiên cứu lí luận vàthực tiễn, đề xuất một số biện pháp s phạm góp phần vào việc dạy học tri thức

và tri thức phơng pháp cho học sinh chuyên Toán lớp 10 nhằm nâng cao chấtlợng dạy học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Hệ thống hoá một số vấn đề về tri thức, tri thức phơng pháp, tri

thức đối với hoạt động t duy và việc dạy học tri thức phơng pháp

3.2 Nghiên cứu mục tiêu đào tạo và chơng trình môn Toán của trờng THPT

chuyên

3.3 Thiết kế, đề xuất một số biện pháp s phạm để thể hiện việc truyền

thụ tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp nh là phơng tiện và kết quả củahoạt động trong dạy học Toán cho học sinh lớp 10 chuyên Toán

4 Phơng pháp nghiên cứu

4.1 Nghiên cứu các tài liệu về các lĩnh vực: Toán học, PPDH Toán,

Giáo dục học, Tâm lý học… liên quan đến đề tài luận văn; các văn bản, chơngtrình quy định môn Toán chung và cho các lớp chuyên Toán

4.2 Điều tra, quan sát thực trạng dạy học cho HS chuyên Toán ở một số

trờng THPT chuyên

4.3 Tổ chức thực nghiệm s phạm

5 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở khung chơng trình và các tài liệu môn Toán đợc giảng dạy ởcác lớp 10 chuyên Toán, nếu xác định đợc các biện pháp s phạm thích hợpnhằm tạo điều kiện cho học sinh sử dụng tri thức, đặc biệt là tri thức phơngpháp trong tiến trình hoạt động chiếm lĩnh các tri thức mới thì sẽ góp phần năngcao hiệu quả dạy học môn Toán.

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

6.1 Về mặt lí luận: Đa ra đợc một số định hớng và biện pháp khả thi đối

với việc dạy học ở các lớp chuyên Toán, đặc biệt là lớp 10 chuyên Toán

6.2 Về mặt thực tiễn: Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo

cho giáo viên Toán nhằm nâng cao hiệu quả dạy học

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài các phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luậnvăn có 3 chơng:

Chơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chơng 2: Một số biện pháp nhằm truyền thụ tri thức, đặc biệt là tri thức

phơng pháp nh là phơng tiện và kết quả của hoạt động trong dạy học Toán chohọc sinh lớp 10 chuyên Toán

Chơng 3: Thực nghiệm s phạm.

Chơng 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn 1.1 Quan điểm hoạt động trong dạy học Toán

1.1.1 Lý thuyết hoạt động trong Tâm lý học (Theo các tài liệu [21],

[12], [18])

Dựa trên quan điểm duy vật lịch sử về con ngời: "Trong tính hiện thựccủa nó, bản chất con ngời là tổng hoà các mối quan hệ xã hội" (Các Mác), môhình lý luận xây dựng trên phạm trù HĐ đã trả lại cho tâm lý học con ngời cụthể, con ngời xã hội  lịch sử, con ngời HĐ

HĐ trở thành khái niệm then chốt trong hệ thống khái niệm của tâm lýhọc kiểu mới  tâm lý học khách quan, khoa học

Vận dụng những nguyên lý duy vật biện chứng và duy vật lịch sử vàotâm lý học với tính cách là một khoa học cụ thể, L.X.Vgôtxki đã chỉ ra rằng,muốn xây dựng một khoa học tâm lý thực sự khách quan, trớc hết khoa học đóphải hiểu con ngời nh một tồn tại xã hội  lịch sử và lao động có ý thức, chứkhông phải là "một cái túi chứa đựng đầy những phản xạ" Tâm lý ý thức conngời đợc nghiên cứu, tìm hiểu trong sự phân tích những hình thái hành vi cóchất lợng khác hẳn với những hình thái hành vi của động vật Thành phần củahành vi con ngời là kinh nghiệm lịch sử, kinh nghiệm xã hội và kinh nghiệmlao động Từ đây đa ra phơng pháp tiếp cận lịch sử trong tâm lý học và kết quảcủa sự vận dụng phơng pháp tiếp cận này vào các công trình nghiên cứu tâm

lý ngời là xây dựng nên lý thuyết văn hoá  lịch sử mà ngày nay, đầu thế kỷXXI, giới tâm lý học thế giới đều rất quan tâm.

Phát triển lý thuyết văn hoá  lịch sử, vận dụng sáng tạo phơng pháp tiếpcận lịch sử vào các công trình nghiên cứu tâm lý của mình, A.N Lêônchiep đãxây dựng nên tâm lý học hoạt động Đó là tâm lý học với phơng pháp tiếp cậnlấy HĐ có đối tợng làm mô hình nghiên cứu, lý giải, hình thành, phát triển tâm

lý, nhân cách ngời (theo Phạm Minh Hạc [12])

Toàn bộ lý thuyết tâm lý học về HĐ, cấu trúc vĩ mô của HĐ và đối tợng

đã đợc A.N.Lêônchiep trình bày tóm tắt trong tác phẩm "Hoạt động  ý thức Nhân cách" Cống hiến lớn nhất của ông là xây dựng nên phơng pháp tiếp cậnHĐ

Đối tợng của HĐ là động cơ thực sự của HĐ Dĩ nhiên, nó có thể là vậtchất hay tinh thần, là có trong tri giác hay chỉ có trong tởng tợng, trong ý nghĩ

Nh vậy, khái niệm HĐ gắn liền một cách tất yếu với khái niệm động cơ.Không có HĐ nào không có động cơ; HĐ "không động cơ" không phải là HĐthiếu động cơ mà là HĐ với một động cơ ẩn giấu về mặt chủ quan hoặc về mặtkhách quan

Tác giả Đỗ Ngọc Đạt đã mô hình hoá cấu trúc của HĐ nh sau [9]:

Sơ đồ 1.1Thành phần cơ bản "hợp thành" những HĐ riêng rẽ của con ngời lànhững hành động thực hiện HĐ ấy Chúng ta gọi hành động là quá trình bị chiphối bởi biểu tợng về kết quả đạt đợc, nghĩa là quá trình nhằm một mục đích

đợc ý thức Khái niệm mục đích quan hệ với khái niệm hành động cũng giống

nh khái niệm động cơ quan hệ với khái niệm HĐ

Phơng thức thực hiện hành động gọi là thao tác

Cấu trúc vật lý

Chủ thể Cấu trúc tâm lý

Các thuật ngữ "hành động" và "thao tác" thờng không phân biệt nhau,nhng trong khung cảnh phân tích HĐ về mặt tâm lý thì phân biệt rành mạchhai thuật ngữ ấy là hoàn toàn cần thiết Hành động liên quan đến mục đích,còn thao tác liên quan đến điều kiện.

"Tuy vậy, thao tác vẫn không phải là "phần riêng rẽ" của hành động,giống nh hành động so với HĐ" [18, tr 124]

HĐ luôn có tính hớng đích và hành động là quá trình hiện thực hoá mục

đích, còn thao tác do điều kiện quy định Do đó, sự khác nhau giữa mục đích

và điều kiện quy định sự khác nhau giữa hành động và thao tác Nhng sự khácnhau đó chỉ là tơng đối, bởi để đạt một mục đích ta có thể dùng các phơng tiệnkhác nhau Khi đó, hành động chỉ thay đổi về mặt kỹ thuật, tức là cơ cấu thaotác chứ không hề thay đổi bản chất Về mặt tâm lý, hành động sinh ra thaotác, nhng thao tác không phải là phần riêng lẻ của hành động Sau khi đợchình thành, thao tác có khả năng tồn tại độc lập và có thể tham gia vào nhiềuhành động khác

Theo A.N.Lêônchiep, cấu trúc chức năng của HĐ bao gồm các thành tố

có thể mô hình hoá nh sau:

Sơ đồ 1.2Mối liên hệ bên trong của HĐ là mối liên hệ giữa: Hoạt động  Hành

động  Thao tác, tơng ứng với mối liên hệ giữa: Động cơ  Mục đích  Phơngtiện

1.1.2 Quan điểm hoạt động trong dạy học Toán

Có thể vận dụng lý luận của A.N.Lêônchiep về HĐ tâm lý để giải quyếthàng loạt vấn đề về lý luận và thực tiễn dạy học, trong đó, chủ yếu là việc hìnhthành HĐ học tập cho ngời học, đặc biệt là các ngời học nhỏ tuổi Xung quanhvấn đề này, trớc hết cần hình thành cho ngời học các đơn vị chức năng của HĐhọc tập: động cơ, mục đích học tập, để qua đó hình thành thao tác, hành động

và HĐ học Trong quá trình đó, hình thành hành động học là khâu trung tâm

Sau khi đã có HĐ học cần chuyển từ HĐ thứ yếu lên mức HĐ chủ đạo trongquá trình phát triển của ngời học.

Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những HĐ nhất định

Đây là những HĐ đã đợc tiến hành trong quá trình hình thành và vận dụng nộidung đó Phát hiện đợc những HĐ tiềm tàng trong một nội dung là vạch đợcmột con đờng để truyền thụ nội dung đó và thực hiện những mục đích dạy họckhác, đồng thời cụ thể hoá những mục đích dạy học nội dung và chỉ ra cáchkiểm tra việc thực hiện những mục đích này Cho nên điều cơ bản của PPDH

là khai thác đợc những HĐ tiềm tàng trong nội dung để đạt đợc những mục

đích dạy học Khi đó giúp ngời học con đờng chiếm lĩnh nội dung và đạt đợcnhững mục đích dạy học khác, tức là kết hợp truyền thụ tri thức với truyền thụtri thức phơng pháp

Hoạt động của ngời học đóng vai trò quan trọng trong quá trình dạyhọc Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những HĐ nhất định Trớc hết, đây

là những HĐ đã đợc tiến hành trong quá trình lịch sử hình thành và ứng dụngnhững tri thức đợc bao hàm trong nội dung này, cũng chính là những HĐ đểngời học có thể kiến tạo và ứng dụng những tri thức trong nội dung đó Trongquá trình dạy học, ta còn phải kể tới cả những HĐ có tác dụng củng cố trithức, rèn luyện những kỹ năng và hình thành những thái độ liên quan

Quan điểm này thể hiện rõ nét mối liên hệ giữa mục đích, nội dung vàPPDH Nó hoàn toàn phù hợp với luận điểm cơ bản của giáo dục học cho rằngcon ngời phát triển trong HĐ và học tập diễn ra trong HĐ

Theo các tác giả Phạm Gia Đức và Nguyễn Đức Quang "Dạy học mộtnội dung nào đó là khai thác, lựa chọn những HĐ tiềm tàng trong nội dungnày Từ đó tổ chức, điều khiển HS thực hiện những HĐ này trên cơ sở đảmbảo những thành phần tâm lý cơ bản của HĐ" (dẫn theo [21])

Con ngời sống trong HĐ, học tập diễn ra trong HĐ Trong dạy học mônToán điều đó đợc gọi là học tập trong HĐ và bằng HĐ

PPDH mới là phơng pháp tổ chức HĐ có đối tợng Do đó việc xác định

đợc đối tợng HĐ dựa trên cơ sở tổ chức HĐ của ngời học là nền tảng cơ bản

để tiến hành việc giáo dục có hiệu quả

Việc thiết kế các HĐ, tạo môi trờng cho HS đợc học tập trong HĐ vàbằng HĐ là yêu cầu quan trọng của việc đổi mới PPDH hiện nay

1.1.3 Các t tởng chủ đạo của quan điểm hoạt động

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [16, tr.134], quan điểm HĐ trong PPDH

có thể đợc thể hiện ở các t tởng chủ đạo sau đây:

a Cho HS thực hiện, luyện tập những HĐ và HĐ thành phần tơng thíchvới nội dung và mục tiêu môn học;

b Gợi động cơ cho các HĐ học tập;

c Dẫn dắt HS kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp nh là

ph-ơng tiện và kết quả của HĐ

d Phân bậc HĐ làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học

Những t tởng chủ đạo này thể hiện tính toàn diện của mục đích dạy học.Việc kiến tạo một tri thức, rèn luyện một kỹ năng, hình thành một thái độ lànhằm giúp học sinh HĐ trong học tập cũng nh trong đời sống Nh vậy, nhữngmục đích thành phần đợc thống nhất trong HĐ, điều này thể hiện mối quan hệhữu cơ giữa chúng với nhau Tri thức, kỹ năng, thái độ một mặt là điều kiện vàmặt khác là đối tợng biến đổi của HĐ Hớng vào HĐ theo các t tởng chủ đạotrên không hề làm phiến diện mục đích dạy học mà trái lại, còn đảm bảo tínhtoàn diện của mục đích đó

Những t tởng chủ đạo trên hớng vào việc tập luyện cho HS những HĐ

và HĐ thành phần, gợi động cơ HĐ, xây dựng tri thức, đặc biệt là tri thức

ph-ơng pháp, phân bậc HĐ nh là các thành tố cơ sở của PPDH

Sở dĩ chúng đợc gọi là những thành tố cơ sở của PPDH bởi vì dựa vào

nó, ta có thể tổ chức cho học sinh HĐ tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo,

đảm bảo sự phát triển nói chung và kết quả học tập nói riêng Tuy nhiên, cũngcần chú ý rằng chúng cha xác định PPDH một cách đơn trị

1.1.4 Định hớng đổi mới PPDH theo hớng "Hoạt động hoá ngời học"

Định hớng chung cho sự đổi mới PPDH là tích cực hoá HĐ học tập của

HS gắn với việc tổ chức cho ngời học học tập trong HĐ và bằng HĐ tự giác,chủ động, tích cực, sáng tạo, đợc thực hiện độc lập hoặc trong giao lu

"PPDH cần hớng vào việc tổ chức cho HS học tập trong HĐ và bằngHĐ tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo"

Định hớng này có thể gọi tắt là học tập trong HĐ và bằng HĐ, hay gọnhơn là "HĐ hoá ngời học" [66, tr 124]

HĐ liên hệ với các yếu tố: Chủ thể Đối tợng Mục tiêu Phơng tiện Kết quả - Thầy giáo

-Cụ thể hoá định hớng đổi mới PPDH liên hệ với những yếu tố này, có thểnêu bật những hàm ý sau đây, đó cũng là những đặc điểm của PPDH hiện đại:

a Xác lập vị trí chủ thể của ngời học, bảo đảm tính tự giác tích cực, chủ

động và sáng tạo của HĐ học tập đợc thực hiện độc lập hoặc trong giao lu

b Tri thức đợc cài đặt trong các tình huống có dụng ý s phạm

c Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học.

d Tự tạo và khai thác phơng tiện dạy học để tiếp nối và gia tăng sứcmạnh của con ngời

e Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bảnthân ngời học

f Xác định vai trò mới của ngời thấy với t cách ngời thiết kế, uỷ thác,

điều khiển và thể chế hoá

1.2 Tri thức và tri thức phơng pháp

1.2.1 Khái niệm tri thức và một số dạng tri thức

a Khái niệm tri thức

Theo Từ điển Tiếng Việt [33]: "Tri thức là những điều hiểu biết có hệthống về sự vật, hiện tợng tự nhiên hoặc xã hội"

Nh vậy, hiểu theo một nghĩa chung nhất, tri thức là những điều hiểu biết

có hệ thống về sự vật, hiện tợng trong tự nhiên và xã hội

"Tri thức là sản phẩm của HĐ lao động xã hội và t duy của con ngời,làm tái hiện lại trong t tởng, dới hình thức ngôn ngữ những mối liên hệ kháchquan hợp quy luật của thế giới khách quan đang đợc cải biến trên thực tế" (Từ

điển Triết học)

Tri thức là kết quả của quá trình con ngời nhận thức thực tại khách quan

đã đợc kiểm nghiệm qua thực tiễn, là phản ánh trung thực thực tại khách quantrong ý thức con ngời dới hình thức những biểu tợng và khái niệm, đợc diễn

đạt trong ngôn ngữ Tri thức là kết quả của quá trình t duy tích cực, tri thứckhông bao giờ là một cái gì cứng đờ và bất biến mà ngày càng đợc phát triển

Sự phát triển của tri thức trong quá trình nhận thức đợc tiến hành theo con ờng chính xác hoá chúng, bổ sung, đào sâu, phân hoá chúng, đem lại chochúng tính hệ thống và khái quát Muốn có tri thức, con ngời phải tiến hànhhoạt động nhận thức

đ-b Một số dạng tri thức

+ Tri thức thông thờng: là những hiểu biết đợc tích luỹ từ kinh nghiệm

sống thờng ngày Nhờ những tri thức thông thờng, con ngời có đợc những hìnhdung thực tế về các sự vật Những tri thức thông thờng ngày càng đợc đa dạng

và phong phú thêm Chúng chứa đựng những mặt riêng biệt, đúng đắn về thếgiới khách quan và là cơ sở cho sự hình thành các tri thức khoa học

Tuy nhiên, theo giáo s Đặng Vũ Hoạt, thì tri thức thông thờng "mặc dầu

có mang lại những phản ánh riêng biệt đúng đắn về thế giới khách quan nhờcon đờng kinh nghiệm chủ nghĩa, song nhìn chung là có tính tự phát, hời hợt,chủ quan, dựa trên những nguyên tắc thủ cựu và những khái quát quy nạp giản

đơn về những sự vật, hiện tợng đợc tri giác"

+ Tri thức khoa học: là những hiểu biết đợc tích luỹ từ quá trình nghiên

cứu khoa học Tri thức khoa học đợc biểu diễn dới dạng các khái niệm, phạmtrù, tiên đề, quy luật, định luật, định lý, lý thuyết, học thuyết…

Những tri thức khoa học thuộc bất kỳ một lĩnh vực tri thức cụ thể nào,nếu đợc thực hiện ở mức độ đầy đủ, bao giờ cũng trải qua hai quá trình: kinhnghiệm và lý luận Ngời ta cũng có thể chia ra tri thức kinh nghiệm và tri thức

lý luận

 Tri thức kinh nghiệm: là những tri thức đợc chủ thể (con ngời) thunhận trực tiếp trong quá trình HĐ thực tiễn Trong nhận thức khoa học, trithức kinh nghiệm là những kết quả, số liệu, dữ liệu… thu thập đợc qua thựcnghiệm Tri thức kinh nghiệm nảy sinh một cách trực tiếp từ thực tiễn, giúpcon ngời kịp thời điều chỉnh phơng hớng cho cách thức HĐ của mình Nhngtri thức kinh nghiệm thể hiện nhiều hạn chế ở trình độ nhận thức kinhnghiệm cha thể nắm đợc cái tất yếu, các mối quan hệ bản chất giữa các sự vậthiện tợng; cha phân biệt đợc những cái cơ bản và những cái không cơ bản,giữa bản chất và hiện tợng Vì vậy, khi nhận thức chân lý không thể chỉ dừnglại ở mức độ kinh nghiệm mà cần chuyển lên trình độ nhận thức cao hơn lànhận thức lý luận

 Tri thức lý luận: là những tri thức phản ánh hiện thực trong bản chất,trong những mối liên hệ bên trong mang tính quy luật So với tri thức kinhnghiệm thì tri thức lý luận khái quát hơn, thể hiện chân lý sâu sắc hơn, chính

xác hơn và đầy đủ hơn, nghĩa là "có tính bản chất hơn" Vì lý do đó, phạm vi

áp dụng và ứng dụng tri thức lý luận cũng rộng rãi hơn rất nhiều so với tri thứckinh nghiệm, kinh nghiệm kết thúc ở đâu thì lý luận bắt đầu tiếp nối từ đó

Tuy vậy, trong HĐ dạy học, GV cũng cần phải coi trọng tri thức kinhnghiệm của HS trong việc giúp HS nắm vững các tri thức, đặc biệt là các trithức phơng pháp Thông qua quá trình đó, GV cố gắng hệ thống hoá các kinhnghiệm của các em thành các lý luận khái quát, giúp các em nhận thức tri thứcmột cách toàn diện và sâu sắc hơn

c Một số dạng tri thức trong dạy học Toán

Học Toán là HĐ trong đó chủ thể là HS và đối tợng là các dạng tri thứcToán học Dạy Toán là HĐ mà chủ thể là GV và đối tợng là HĐ học Toán củaHS

Để có đợc chơng trình Toán học ở trờng phổ thông, ngời ta phải làmmột phép chuyển hoá s phạm, biến tri thức khao học Toán học thành tri thức

để dạy học (còn gọi là tri thức giáo khoa) Phép chuyển hoá s phạm này thờng

đợc thực hiện bởi các nhà nghiên cứu, bởi các nhà giáo dục học, các Hội đồng

khoa học bộ môn và các nhà viết SGK Tuy nhiên, tri thức giáo khoa chỉ mới

là một dạng "bán thành phẩm", nó mới là tri thức môn học chứ cha thể là trithức dạy học (ngời giáo viên không thể lấy nguyên xi nội dung SGK làm bàigiảng của mình) Vì thế, phải có một bớc chuyển hoá s phạm nữa, biến tri thứcgiáo khoa thành tri thức dạy học Bớc này đợc thực hiện bởi chính ngời GV ởbớc này, ngời GV phải HĐ hoá nội dung SGK, hoàn cảnh hoá tri thức giáokhoa, soạn thảo các tình huống dạy học, tổ chức môi trờng dạy học…

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [16], ngời ta thờng phân biệt bốn dạng trithức sau trong dạy học Toán:

 Tri thức sự vật;

 Tri thức phơng pháp;

 Tri thức chuẩn;

 Tri thức giá trị

+ Tri thức sự vật: là tri thức về "toàn bộ những yếu tố và quá trình đợc

sắp xếp theo một trật tự nhất định, cấu thành sự vật hoặc hiện tợng" (Từ điểnTriết học) Trong môn Toán, tri thức sự vật là tri thức về một khái niệm (kháiniệm về một đối tợng hoặc một quan hệ toán học), một vấn đề Toán học đợctrình bày trực diện (nh là định nghĩa, định lý…) hoặc một ứng dụng Toánhọc…

Cần chú ý rằng các tri thức sự vật mà ta nói trên đây là những tri thức

cụ thể trong dạy học Toán Các khái niệm, định nghĩa, định lý… ợc trình bày đtrong SGK phải đợc truyền thụ cho HS thông qua quá trình HĐ dạy học Toán.Dạy Toán là dạy HĐ Toán học, do đó HS cần thiết đợc biết các quá trình hìnhthành các khái niệm, định lý, biết vận dụng kiến thức, có niềm tin vào khảnăng Toán học của mình Đặc trng của tri thức Toán học là trừu tợng hoá cao

độ và lôgic chặt chẽ Vì vậy trong HĐ dạy học, ngoài suy diễn lôgic, cần thiếtphải coi trọng nguyên tắc trực quan, quy nạp, trực giác toán học Dạy họcToán cần phải cân đối các quan hệ giữa trực quan và trừu tợng, giữa ớc lợng,

dự đoán và các suy luận có lý

+ Tri thức phơng pháp: đợc hiểu là tri thức về "hệ thống các nguyên tắc,

hệ thống các thao tác có thể nhằm đi từ những điều kiện nhất định ban đầu tớimột mục đích xác định"

Hệ thống các nguyên tắc, các thao tác nói trên đợc rút ra từ tri thức sựvật, từ tri thức về các quy luật khách quan để con ngời điều chỉnh HĐ nhậnthức và HĐ thực tiễn Tri thức phơng pháp không có sẵn trong thế giới hiệnthực mà do con ngời lĩnh hội đợc trên cơ sở những quy luật khách quan đã đợcnhận thức và đợc trình bày thành lý luận

Trong dạy học Toán, tri thức phơng pháp là tri thức có ý nghĩa công cụ,phơng tiện để tiến hành các HĐ nhằm phát hiện, tìm tòi, lĩnh hội tri thức sựvật Tri thức phơng pháp có liên hệ với hai loại phơng pháp khác nhau về bảnchất: những phơng pháp có tính chất thuật giải (nh là phơng pháp tìm UCLNcủa hai số tự nhiên, phơng pháp giải phơng trình bậc hai…) và những phơngpháp có tính chất tìm đoán (chẳng hạn phơng pháp tổng quát của G Pôlya đểgiải bài tập Toán học).

Chúng ta sẽ trở lại nghiên cứu kỹ hơn về tri thức phơng pháp trong cácphần sau

+ Tri thức chuẩn: là những tri thức liên quan đến những chuẩn mực

nhất định, những quy định giúp cho việc học tập và giao lu tri thức Ví dụ nhquy định về những đơn vị đo lờng, quy ớc về làm tròn số cho các giá trị gần

đúng… hoặc các chuẩn mực của việc trình bày giả thiết, kết luận, trình bàychứng minh của bài toán…

+ Tri thức giá trị: có nội dung là những mệnh đề đánh giá, bình luận…

khi xem xét một nội dung nào đó Ví dụ, chúng ta có thể đáng giá: "Bất đẳngthức Côsi là bất đẳng thức kinh điển, có nhiều ứng dụng nhất trong Toán học"hoặc bình luận "Phơng pháp toạ độ là phơng pháp giải toán mang tính chấthiện đại" …

d Mối quan hệ giữa tri thức và t duy trong quá trình dạy học

T duy là một khái niệm khá quen thuộc trong đời sống xã hội của conngời Nói đến t duy ngời ta nghĩ ngay đến một quá trình suy nghĩ, nhận thứcnào đó Nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng trong đời sống tâm lý củacon ngời, cung cấp những vật liệu cho các HĐ tâm lí cao hơn Tuy nhiên, chỉ

đơn thuần nhận thức cảm tính sẽ không thể giải quyết đợc nhiều vấn đề thực tế

đặt ra đợc Muốn hiểu biết và cải tạo đợc thế giới, con ngời phải đạt tới mức độnhận thức cao hơn, đó là nhận thức lý tính hay còn gọi là t duy

T duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội Ngời ta dựa vào t duy đểnhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng nhữngquy luật đó trong HĐ thực tiễn của mình

HS chỉ có thể thực sự lĩnh hội đợc tri thức khi t duy tích cực của bản thân

HS đợc phát triển và nhờ sự hớng dẫn của GV các em biết phân tích và khái quáttài liệu có nội dung sự kiện cụ thể và rút ra đợc những kết luận cần thiết

Chúng ta lĩnh hội một tri thức cụ thể thực sự khi ngoài sự hiểu biết vềcác sự kiện và các quy luật của tri thức ấy còn hiểu biết rằng vì sao có hiện t-ợng ấy, cái gì chế ớc nó, trên cơ sở khái quát hoá làm thế nào rút ra đợcnhững quy luật của nó, quy luật ấy đợc chứng minh và khẳng định ra sao?

Điều ấy đòi hỏi phải có sự tái hiện trong t duy tiến trình giải quyết một vấn đề

đang nghiên cứu và tách ra đợc cái bản chất của nó Trong khoa học vấn đề đótuy đã đợc giải quyết nhng đối với bản thân HS coi nh các em "khám phá lại"vấn đề Lúc này sự chú ý và hứng thú của HS không chỉ tập trung vào kết quả

đạt đợc, vào kết luận đã có sẵn mà còn tập trung vào quá trình, tức là vào tiếntrình của t duy đã dẫn dắt ta đến một kết luận nào đó

Nhờ t duy mà có thể chuyển đợc từ những tri thức sơ đẳng đầu tiên sangnhững tri thức sâu sắc hơn, chuyển từ hiện tợng sang bản chất và từ bản chấtsang bản chất bậc hai… Nguyên nhân là do tri thức về bản chất không nằmtrên bề mặt của hiện tợng, chỉ trong quá trình phân tích mới có thể phát hiện

và tìm ra đợc chúng T duy càng phát triển mạnh bao nhiêu thì càng có nhiềukhả năng lĩnh hội tri thức một cách có kết quả sâu sắc và càng có nhiều khảnăng vận dụng những tri thức ấy trong HĐ thực tế bấy nhiêu Tri thức và t duygắn với nhau nh sản phẩm đi đôi với quá trình Lĩnh hội tri thức về một đối t-ợng nào đó thì đấy là sản phẩm, là kết quả quá trình triển khai lôgic của hiệntợng ấy trong t duy Vì vậy không thể tách rời tri thức khỏi t duy, tri thức đợcbộc lộ ra và hình thành trong t duy Mặt khác những tri thức lĩnh hội đợc lạitham gia vào quá trình t duy nh là một yếu tố của t duy để tiếp thu những trithức mới khác Dựa vào cái đã biết và nhờ t duy con ngời suy ra đợc những trithức mới Tri thức trong khi là kết quả của t duy lại đồng thời là một trongnhững điều kiện của t duy Cả hai mặt của việc dạy học  quá trình và kết quả,

sự phát triển kỷ năng t duy và việc lĩnh hội tri thức  thống nhất biện chứngvới nhau Sự phát triển t duy của HS diễn ra trong quá trình tiếp thu tri thức vàvận dụng tri thức Tri thức mà các em vận dụng là mặt nội dung t duy của các

em Và mặt khác, các kết quả HĐ t duy của HS đối với tài liệu học đợc biểuhiện ra khi lĩnh hội tri thức mới, tri thức này lại quyết định tiến trình phát triểnsau này của t duy Chính vì vậy mà trong quá trình dạy học, tác động của GVchỉ có hiệu quả khi nó thúc đẩy HĐ t duy tích cực của HS đối với tài liệu ấy

Quá trình dạy học không phải chỉ bao gồm việc GV truyền thụ và HSghi nhớ tri thức Tính hiệu quả của việc dạy học, đấy không chỉ là kết quả củathông tin HS thu nhận đợc từ bên ngoài (từ lời nói của thầy, từ bài vở trongSGK) mà còn là sản phẩm của những hành động tìm tòi, mang tính chất thôngtin của riêng HS, của t duy tích cực đối với bản thân các em

 Theo nghĩa chặt: Thuật toán là một dãy sắp thứ tự các thao tác cần

thực hiện trên một số hữu hạn các dữ liệu và đảm bảo rằng sau một số hữu hạnbớc sẽ đạt đợc kết quả nào đó Hơn nữa, quy trình này độc lập với dữ liệu

Nh vậy chúng ta có thể hiểu những đặc trng cơ bản nhất của thuật toántheo nghĩa chặt trên, đó là:

 Tính hữu hạn: số bớc cần thực hiện, số dữ liệu và cả số thao tác cần

làm trong mỗi bớc đều phải hữu hạn

 Tính xác định: thể hiện ở sự rõ ràng, không mập mờ và thực thi đợc

của các thao tác cần thực hiện trong mỗi bớc

 Tính đúng đắn: với dữ liệu vào cho trớc, sau một số hữu hạn các bớc

đợc thực hiện thì thuật toán phải đảm bảo đem lại kết quả và kết quả này phảiduy nhất

Chúng ta có thể lấy ví dụ về thuật toán Ơclit để tìm UCLN của hai số tựnhiên a và b

+ Bớc 1: So sánh a và b Nếu a = b thì UCLN = a Nếu sai, qua bớc 2 + Bớc 2: Lấy số lớn trừ đi số nhỏ, ta đợc một hiệu số.

+ Bớc 3: Lấy số nhỏ và hiệu số trên làm hai số a và b, quay về bớc 1.

Rõ ràng quy trình này sẽ kết thúc sau một số hữu hạn bớc và kết quả ta

sẽ thu đợc UCLN của hai số tự nhiên a, b

Thuật toán trên dựa vào tính chất số học: với hai số tự nhiên a và b, nếu

a > b thì UCLN(a, b) = UCLN(b, a  b)

 Theo nghĩa rộng: Thuật toán là một dãy hữu hạn các bớc cần thực

hiện theo một thứ tự nhất định để giải quyết một kiểu nhiệm vụ nào đó

Nh vậy, trong một thuật toán theo nghĩa rộng, dãy các bớc cần thựchiện theo một thứ tự nhất định có thể không mang đủ các đặc trng đã nêu ởtrên của một thuật toán theo nghĩa chặt Cụ thể là:

 Mỗi chỉ dẫn trong một bớc có thể cha mô tả một cách xác định hành

động cần thực hiện

 Có thể có những bớc không thực thi đợc

 Kết quả thực hiện mỗi bớc có thể không duy nhất (không đơn trị)

 Việc thực hiện hết một dãy hữu hạn các bớc không đảm bảo chắc chắn

đem lại kết quả

Chúng ta xét một ví dụ về thuật toán theo nghĩa rộng: Xét tính chẵn lẻcủa một hàm số f(x)

+ Bớc 1: Tìm tập xác định D của f(x).

+ Bớc 2: Xét xem D có đối xứng qua 0 hay không (tức x  D  x D)?

Nếu đúng, chuyển sang bớc 3

Nếu sai, kết luận hàm số f(x) không chẵn, không lẻ

+ Bớc 3: Tính f(x).

+ Bớc 4: Xét xem f(x) = f(x) với mọi x  D hay không?

Nếu đúng, kết luận f(x) là hàm số chẵn

Nếu sai, chuyển sang bớc 5

+ Bớc 5: xét xem f(x) = f(x) với mọi x  D hay không?

Nếu đúng, kết luận f(x) là hàm số lẻ

Nếu sai, kết luận f(x) là hàm số không chẵn, không lẻ

Rõ ràng, trong các bớc 4 và bớc 5, không có một chỉ dẫn nào cho biết

cách thức kiểm tra f(x) = f(x) hoặc f(x) = f(x) với mọi x  D đợc haykhông Vì thế, có nhiều trờng hợp các bớc này không thực hiện đợc nên bàitoán đặt ra ta không giải đợc

Một ví dụ khác, phơng pháp giải bài toán bằng cách lập phơng trình Ta

có các bớc thực hiện nh sau:

+ Bớc 1: Chọn ẩn số đặt điều kiện cho ẩn số và biểu diễn các đại lợng

cha biết qua ẩn số cùng với các đại lợng đã biết

+ Bớc 2: Lập phơng trình thể hiện mối liên hệ giữa các đại lợng.

+ Bớc 3: Giải phơng trình vừa lập đợc.

+ Bớc 4: Đối chiếu điều kiện, kiểm tra kết quả và kết luận.

Trong các bớc trên, bớc 1 không có kết quả duy nhất vì có thể có nhiều phơng án chọn ẩn khác nhau và do đó phơng trình đạt đợc ở bớc 2 cũng sẽ có

nhiều hình thức khác nhau

 Hiện nay, trong Tin học, danh từ “thuật toán” đợc hiểu theo nghĩa hẹp.Trong bộ môn PPDH Toán thì danh từ này thờng đợc hiểu theo nghĩa rộng.Chúng ta cũng có thể thay thế danh từ “thuật toán” theo nghĩa rộng bằng danh

từ “thuật giải”

b Khái niệm phơng pháp

Theo từ điển Tiếng Việt [33]: "Phơng pháp là cách thức cần thực hiện

để giải quyết một kiểu nhiệm vụ nào đó"

Phơng pháp có thể đợc tích luỹ từ trong kinh nghiệm sống hoặc trongquá trình nghiên cứu khoa học cụ thể

Ta thờng phân biệt hai loại phơng pháp:

 Phơng pháp có tính chất thuật toán: là những phơng pháp có đặc trng

của một thuật toán (theo nghĩa rộng)

 Phơng pháp có tính chất tìm đoán:

ở trờng phổ thông, không phải lúc nào ta cũng tìm đợc các phơng pháp

có tính chất thuật toán để giải quyết các vấn đề Chẳng hạn, ta không thể có

đ-ợc thuật toán giải các phơng trình lợng giác phức tạp (không thuộc các loạiphơng trình cơ bản đã học) Khi đó cần nắm đợc một số chỉ dẫn hay một số lờikhuyên "có lý" để có thể cho phép tìm đợc lời giải bài toán đặt ra, vì những ý

tởng và lời khuyên này có thể gợi ra những ý tởng, những định hớng hợp lýcho việc tìm kiếm lời giải

Trong trờng hợp trên ta nói rằng đã vận dụng phơng pháp có tính chấttìm đoán Ngay cả trong trờng hợp một dạng toán có thuật giải nhng cha đợckhám phá thì việc tìm kiếm này cũng thờng phải vận dụng phơng pháp tìm

đoán

Ví dụ 1.1: Học sinh thờng đợc biết thuật toán để giải hệ phơng trình hai

ẩn đối xứng loại 1 là đặt ẩn phụ S = x + y, P = xy (S2 ≥ 4P), nhng khi gặp bàitoán giải hệ phơng trình

5 xy 1 1 y x

2 2 2

thì việc dùng thuật toán trên không thể thực hiện đợc Trong trờng hợp này,

GV có thể hớng dẫn học sinh tìm con đờng khác để giải quyết bài toán Nếukhai triển các biểu thức, hệ đợc viết dới dạng

5 y 1 y x 1 x

2 2 2

Đặt

x

1x

a   , b  y 1y đa về hệ đơn giản hơn rất nhiều Giải hệ nàytìm a, b sau đó tính đợc x, y

c Một số dạng tri thức phơng pháp thờng gặp trong HĐ dạy học Toán

Tri thức phơng pháp trong HĐ dạy học toán rất phong phú và đa dạngnên việc phân loại các tri thức phơng pháp là rất khó khăn Nếu có một sựphân loại nào đó thì chỉ mang tính chất tơng đối và ớc lệ Sau đây ta nêu lên một

số dạng tri thức phơng pháp thờng gặp trong HĐ dạy học Toán

1) Nếu xét về mặt cơ sở định hớng cho HĐ thì ta có những tri thức

+ Những tri thức về phơng pháp tiến hành những HĐ trí tuệ chung nh:

so sánh, khái quát hoá, trừu tợng hoá…

+ Những tri thức về phơng pháp tiến hành những HĐ ngôn ngữ, lôgicnh: thiết lập mệnh đề đảo của một mệnh đề cho trớc, liên kết hai mệnh đềthành tuyển hay hội của chúng…

2) Nếu xét về nội dung cơ bản thì tri thức phơng pháp thờng có hai dạng:+ Những tri thức phơng pháp có tính chất thuật toán,

+ Những tri thức phơng pháp có tính chất tìm đoán.

3) Nếu xem xét tri thức phơng pháp dới hình thức các yếu tố cần hìnhthành phơng pháp cho HS ta có sơ đồ:

Sơ đồ 1.3

d Mối liên hệ giữa tri thức sự vật và tri thức phơng pháp

Trong quá trình dạy học Toán ở trờng phổ thông tri thức sự vật và trithức phơng pháp có mối liên hệ hữu cơ với nhau

Trớc hết đó là sự thống nhất: Tri thức sự vật và tri thức phơng pháp là

hai yêu cầu cơ bản cần phải đạt đợc khi kết thúc một quá trình dạy học (chẳnghạn dạy học xong một tiết học, dạy học xong một chơng…)

Về mặt khác nhau, nói chung:

+ Tri thức sự vật thờng đợc trình bày khá tờng minh, ngoài bài giảng của

GV HS còn có thể tìm hiểu thêm ở SGK và các tài liệu tham khảo khác

+ Tri thức phơng pháp thờng nằm ở dạng ẩn tàng, HS cha thật hiểu đợc,

nắm đợc nên dễ dẫn đến không thể vận dụng đợc: tại sao lại chứng minh nhvậy, trình bày nh vậy là theo cách suy nghĩ nào?

Ví dụ 1.2: Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai Định lý này đợc

phát biểu nh sau: "Cho tam thức bậc hai ( x )  ax2  bx  c (a ≠ 0) và một sốthực  Nếu a f (  )  0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) và

x1 <  < x2."

+ Trớc hết đây là một tri thức sự vật, một tính chất quan trọng của tamthức bậc hai và đợc các tài liệu trình bày khá rõ

+ Định lý này chứa đựng tiềm ẩn nhiều tri thức phơng pháp:

 Đây là công cụ có hiệu quả cao trong việc chứng minh một tam thứcbậc hai có hai nghiệm phân biệt mà không cần đi theo cách giải thông thờng

là chứng minh biệt thức  dơng Đồng thời định lý cũng cho phép so sánh hainghiệm của phơng trình bậc hai với một số  cho trớc

Tri thức lý thuyết biến thành tri thức ph ơng pháp

Các bài toán phụ trở thành tri thức ph

ơng pháp

 Bằng cách nào để tìm ra số  thoả mãn điều kiện a.f() < 0, các tàiliệu đều không nêu rõ HS phải làm thế nào để xác định đợc  khi muốn sửdụng sử dụng đợc định lý? Đây là một tri thức phơng pháp mà GV phải truyềnthụ cho HS thông qua các HĐ dạy học, ít nhất là qua các bài toán cụ thể để HSrút ra kinh nghiệm khi giải các bài toán dạng này.

Ta xem xét cụ thể cách chứng minh các phơng trình sau có hai nghiệmphân biệt bằng cách dựa vào định đảo về dấu của tam thức bậc hai

đảo về dấu của tam thức bậc hai

+ Đặt f(x) là vế trái của phơng trình Chọn số  nào để xác định đợc

dấu của f()? (phơng pháp tìm đoán) Căn cứ vào các hệ số của m2 là x2 và 4,

hệ số của m là 2x và 4 ta định hớng chọn số  sao cho các hệ số này triệttiêu, ta chọn đợc  = 2 Khi đó f(2) = 1 < 0  m2.f(2) = m2 < 0, từ đó có lờigiải của bài toán

2) x2 2 m2 1  m2 2x  2 m2  0

Theo kinh nghiệm của bài toán trên ta có cho HS phân tích và nhận xét vềcác biểu thức có mặt trong phơng trình Đặt vế trái của phơng trình là f(x) thì:

2 m x m 2 x m 2 x x ) x

Đặt f(x) là vế trái của phơng trình, thì f(x) là tam thức bậc hai có hệ sốbậc hai là 3 Việc xác định số  thích hợp bây giờ không thể dựa vào các đặc

điểm nh các ví dụ trớc vì ở đây có đến ba tham số Chúng ta có thể thay một

số giá trị x đặc biệt để dự đoán:

x = 0  f(0) = ab + bc + ca,

x = a  f(a) = (a  b)(a  c),

x = b  f(b) = (b  a)(b  c),

x = c  f(c) = (c  a)(c  b)

Vai trò của các số a, b, c nh nhau và chúng phân biệt nên ta có thể giả

sử có sự sắp xếp a < b < c Khi đó ta có f(b) = (b  c)(b  a) < 0  3.f(b) < 0.Vậy số  cần chọn là  = b và bài toán đợc chứng minh

Qua các bài toán trên, chúng ta thấy việc truyền thụ tri thức phơng phápcho HS đặc biệt là phơng pháp tìm đoán thờng phải rất công phu, phải thôngqua nhiều ví dụ cụ thể HS mới có thể tiếp thu và vận dụng đợc

Chúng ta có thể lấy thêm ví dụ mang tính lịch sử: Nhà toán học thiên tàingời Đức Gauss khi mới 7 tuổi đợc thầy giáo ra bài toán: Tính tổng của 100 số

tự nhiên đầu tiên, tức là tính tổng 1 + 2 + 3 + … + 100 Chỉ trong một thờigian ngắn, cậu bé Gauss khi đó đã tìm ra đợc đáp số là 5050 Trong ví dụ này,tri thức sự vật là: tổng của 100 số tự nhiên bằng 5050 Tri thức phơng pháp ở

đây là dựa trên những con số cụ thể, tìm ra quy luật tổng các số hạng cách đều

đầu và cuối là 101 Có 50 cặp có tính chất đó nên tổng cần tìm là 50.101 =

5050 Nh vậy Gauss đã tính ra kết quả một cách nhanh chóng mà không phảicộng dần từng số nh các bạn khác làm Tri thức phơng pháp này cũng đợc sửdụng rất nhiều khi giải các bài toán khác, đặc biệt là bài toán đối với các cấp

số cộng, cấp số nhân, các dãy số sai phân…

1.3 Dạy học tri thức phơng pháp

1.3.1 Vai trò và ý nghĩa của việc truyền thụ tri thức phơng pháp trong dạy học Toán

a Tri thức phơng pháp đóng vai trò đặc biệt quan trọng vì chúng là cơ

sở định hớng trực tiếp cho hoạt động

Yêu cầu của lý luận dạy học hiện đại là không những truyền thụ tri thức

sự vật cho HS mà còn phải coi trọng đặc biệt việc truyền thụ tri thức phơng

pháp Chúng ta thờng nghe có câu nói rằng “phơng pháp là những cái gì còn

lại khi chúng ta đã quên đi những kiến thức đã học” Nghĩa bóng của câu nói

này đã đủ nói lên vai trò không thể thiếu của tri thức phơng pháp trong học vấncủa HS, cũng nh mục đích của dạy học nói chung là dạy học phơng pháp

Đứng trớc một vấn đề cụ thể, nếu có đợc hệ thống các tri thức phơng pháp

đầy đủ, HS sẽ dễ dàng tiến hành nhiều HĐ tìm tòi, khám phá các tri thức mới

Ví dụ 1.3: Phơng pháp lợng giác hoá: đối với các bài toán đại số (giải

phơng trình, hệ phơng trình, chứng minh bất đẳng thức, tính tích phân…) cóchứa các biểu thức dạng a  2 x 2 , a  2 x 2… (a > 0) thì ta có thể sử dụng phơng

pháp lợng giác hoá Chẳng hạn, ta xét một số bài toán cụ thể sau, đợc phát

biểu ở dạng đại số nhng cách giải thờng gặp là lợng giác hoá:

1) Giải phơng trình 1 x2 x3 3x





y x

Ví dụ 1.4: áp dụng khi dạy tính chất: “Tổng các góc trong của một tứ

giác là 3600” Trong quá trình chuẩn bị bài học, GV yêu cầu mỗi HS đa bốnhình tứ giác nh nhau có hình dạng bất kỳ đến lớp Sau đó GV yêu cầu HS tìmcách ghép 4 tứ giác đó thành một hình có thể lấp kín một phần của mặt phẳng

GV có thể nêu câu hỏi “tại sao lại nh vậy?” để các em cho những câu trả lời

Đây là một tính chất đợc kiểm nghiệm thực tế nên HS có thể hình dung đợc vànắm vững kiến thức này hơn, tạo đợc hứng thú trong học tập cho các em hơn(Hình 1.1)

c Tri thức phơng pháp góp phần quyết định trong việc hình thành, bồi dỡng các thao tác t duy của HS, trên cơ sở đó rèn luyện cho HS khả năng sáng tạo toán học.

Ví dụ 1.5: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh a = 3, b = 4 và diện

+ Các công thức liên quan đến các cạnh và diện tích tam giác

Hớng dẫn HS dùng phép phân tích đi xuống để tìm ra các giải:

+ muốn tính cạnh c khi biết a, b ta tìm cách tính cosC (chú ý là có thểkhông cần tính góc C)

+ giả thiết cho a, b và S ta tính đợc sinC

+ sinC và cosC có quan hệ với nhau qua công thức sin2C + cos2C = 1

Nh vậy ta có đợc lời giải bài toán nh sau:

Hình 1.1

1 C cos

Ta sẽ sử dụng cách đánh giá các biểu thức để tìm ra cách giải

Ta có: 3x2  6x 7  3 (x 1 ) 2  4  2

3 9 ) 1 ( 5 14 10

Khi tập luyện cho HS các HĐ phân tích, trừu tợng hoá, khái quát hoá, tơng

tự… không phải chỉ trừu tợng hoá, khái quát hoá, tơng tự… một vấn đề cụ thể

mà còn hình thành cho HS một thao tác t duy hay một HĐ trí tuệ chung

Việc HS đợc truyền thụ tri thức phơng pháp tìm lời giải bài toán thôngqua bốn bớc mà G Pôlya đã nêu: tìm hiểu nội dung bài toán, xây dựng chơngtrình giải, thực hiện chơng trình giải, kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải([22]) có tác dụng rèn luyện cho HS khả năng phát hiện vấn đề, giải quyết cácvấn đề tơng ứng trong thực tế Việc truyền thụ cho HS những tri thức phơngpháp có tính chất tìm đoán để giải một số loại bài toán cần thiết, nhng mục

đích hàng đầu là HS không chỉ nắm vững các giải từng bài tập mà là rèn luyệnkhả năng giải bài tập nói chung để ứng phó với những tình huống mới mẻ,không lệ thuộc vào những khuôn mẫu có sẵn

Ví dụ 1.7: Giải phơng trình:

 3 3 2

2 ( 1 x ) ( 1 x ) 2 1 x x

1

Điều kiện có nghĩa của ẩn x là [1; 1] Đối với bài toán này, nếu ta sửdụng phép biến đổi tơng đơng thông thờng thì sẽ gặp nhiều khó khăn, có thểkhông tiếp tục nổi Dựa vào đặc điểm của các biểu thức có mặt trong phơngtrình ta có thể đặt:

x 1

u   , v  1  x.Với cách đặt này, chúng ta phải tìm các điều kiện đối với u, v và cácmối quan hệ giữa chúng

Ta có u ≥ 0, v ≥ 0 và u2 v2 2

Khi đó, phơng trình (1) trở thành:

u v  2 uv uv

Nh vậy ta đã có hệ mới, đơn giản hơn: 

u

2 v u

2 2 2 2

2 2 2 u

1.3.2 Một số cấp độ về dạy học tri thức phơng pháp

a Dạy học tờng minh tri thức phơng pháp

Trong trờng hợp này, tri thức phơng pháp là đối tợng trung tâm của mộttình huống dạy học cụ thể, kết quả là tri thức này đợc trình bày một cách tổngquát và tờng minh dới dạng một quy tắc, một thuật toán hay một danh sáchcác lời khuyên, chỉ dẫn … ở cấp độ này, GV phải rèn luyện cho HS nhữngHĐ dựa trên tri thức phơng pháp đợc phát biểu một cách tổng quát, không chỉdừng ở mức độ thực hành theo mẫu ăn khớp với tri thức phơng pháp này Từngbớc hành động, phải làm cho HS hiểu đợc ngôn ngữ diễn tả từng bớc đó và tậpcho họ biết hành động dựa trên phơng tiện ngôn ngữ đó

Dạy học tờng minh tri thức phơng pháp đợc phát biểu một cách tổngquát là một trong những cách thể hiện đối với những tri thức đợc quy định mộtcách tờng minh trong chơng trình Mức độ hoàn chỉnh của tri thức phơng phápcần dạy và mức độ chặt chẽ của quá trình hình thành những tri thức phơng pháp

đó đợc quy định trong chơng trình và SGK hoặc cũng có khi đợc giáo viênquyết định căn cứ vào điều kiện cụ thể của lớp học

Ta thờng áp dụng cấp độ này đối với những tri thức phơng pháp có tínhchất thuật toán đợc quy định trong chơng trình, SGK, nh:

 Phơng pháp giải phơng trình bậc hai

 Quy tắc tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0

 Dạy học giải bài toán bằng cách lập phơng trình

Mức độ chặt chẽ của quá trình dẫn tới các công thức nghiệm của phơngtrình bậc hai đợc yêu cầu là phải chứng minh chứ không chỉ thừa nhận Mức

độ hoàn chỉnh của quy trình giải bài toán bằng cách lập phơng trình thì chỉcần dừng lại ở bốn bớc lớn:

+ Chọn ẩn số,

+ Lập phơng trình,

+ Giải phơng trình,

+ Kết luận về lời giải bài toán

hoặc còn có thể chi tiết hơn cho mỗi bớc còn tuỳ thuộc vào nội dung hiện tạicủa chơng trình, SGK hay đặc điểm thực tế của lớp học

b Thông báo tri thức phơng pháp trong quá trình hoạt động

Khác với cấp độ trên, ở đây tri thức phơng pháp không phải là đối tợngchủ yếu của một tình huống dạy học cụ thể mà chỉ cần đợc thông báo trongquá trình dạy học Thông báo này có thể đợc lặp lại trong nhiều cơ hội khácnhau, ở nhiều thời điểm khác nhau Đây là những trờng hợp thờng áp dụngcho các tri thức phơng pháp cha đợc quy định trong chơng trình nhng phảithoả mãn các yêu cầu:

+ Những tri thức phơng pháp này giúp HS dễ dàng thực hiện một số HĐquan trọng nào đó đợc quy định trong chơng trình

+ Việc thông báo những tri thức này dễ hiểu và tốn ít thời gian

Chẳng hạn, "quy lạ về quen" là một tri thức phơng pháp không đợc quy

định trong chơng trình nhng thoả mãn cả hai điều kiện trên Tri thức này cóthể đợc thông báo cho HS trong quá trình họ HĐ ở rất nhiều cơ hội khác nhau,nh:

 Giải phơng trình bậc cao đa bằng cách chọn ẩn phụ thích hợp để đa vềphơng trình bậc hai

 Chứng minh định lý sin trong tam giác bất kỳ đợc đa về trờng hợp tamgiác vuông

c Truyền thụ ngầm ẩn thông qua việc tập luyện những HĐ ăn khớp với tri thức phơng pháp

Trong trờng hợp này tri thức phơng pháp không đợc trình bày một cáchtổng quát, tờng minh dới dạng một quy tắc, một thuật toán; nó cũng không đ-

ợc thông báo một cách rõ ràng trong quá trình HĐ Học sinh lĩnh hội nó mộtcách ngầm ẩn nhờ vào việc đợc thực hiện nhiều HĐ tơng thích với một chiếnlợc, một định hớng giải quyết chung Nói cách khác, đó là những HĐ ăn khớp

với tri thức phơng pháp đang đợc nói đến Mức độ hoàn chỉnh của tri thức

ph-ơng pháp này rất khác nhau ở mỗi HS vì nó hiện diện ở HS nh một kinhnghiệm mà họ tự rút ra đợc từ nhiều HĐ khác nhau

Nh vậy, cách thức này có thể áp dụng đối với các tri thức phơng pháp

đ-ợc quy định rõ hay chỉ ngầm ẩn trong chơng trình, SGK

Để HS lĩnh hội tốt hơn tri thức phơng pháp ta đang xét, ngời GV thờngphải tổ chức các HĐ theo một mục đích xác định trớc chứ không thể tuỳ tiện.Những tri thức phơng pháp này cần đợc GV vận dụng một cách có ý thức trongviệc ra bài tập, trong việc hớng dẫn và nhận xét hay bình luận các HĐ của HS.Nhờ những việc làm đó, HS đợc làm quen và có thể vận dụng trong quá trìnhHĐ

1.3.3 Một số tiến trình dạy học tri thức phơng pháp có tính chất thuật toán một cách tờng minh

a Tiến trình suy diễn

Dạy học tri thức phơng pháp có tính chất thuật toán một cách tờng minhtheo tiến trình suy diễn thờng theo các bớc sau đây:

 Bớc 1: Trình bày bài toán tổng quát cần giải quyết.

 Bớc 2: Tìm kiếm và trình bày phơng pháp giải bài toán đó.

 Bớc 3: Ví dụ minh hoạ, luyện tập để củng cố phơng pháp.

Trong tiến trình này, trớc hết là khám phá phơng pháp giải cho trờnghợp tổng quát (tri thức phơng pháp cần truyền thụ), sau đó mới áp dụng vàocác trờng hợp riêng, nghĩa là đi từ trờng hợp tổng quát đến các trờng hợp riênglẻ

Ví dụ 1.8: Giải bất phơng trình bậc hai dạng ax2 bxc0

(hoặc ax2 bx  c  0) với a ≠ 0

Các bớc cụ thể đợc xác định nh sau:

Bớc 1: Bài toán tổng quát cần giải quyết ở đây là giải các bất phơng

trình bậc hai có dạng trên

Bớc 2: Có thể tổ chức, đặt câu hỏi cho HS tìm cách giải bài toán đặt ra.

Kết quả thu đợc ở đây là tìm đợc phơng giải tổng quát của bài toán này: xétdấu của tam thức bậc hai ở vế trái của bất phơng trình và tìm các giá trị của xlàm cho vế trái âm hay dơng tuỳ theo dấu của bất phơng trình

Bớc 3: Cho HS giải một số bất phơng trình cụ thể để minh hoạ và củng

cố phơng pháp:

1)  2 x2 x  1  0,2) x2 ( 3  2 ) x  6  0

b Tiến trình quy nạp

Khi dạy học theo tiến trình này chúng ta lại làm theo các bớc ngợc lạivới tiến trình trên

 Bớc 1: Giải một số bài toán cụ thể cùng dạng.

 Bớc 2: Nhận xét phơng pháp chung thể hiện trong lời giải các bài toán

trên Từ đó nêu bài toán tổng quát và phơng pháp giải bài toán tổng quát

 Bớc 3: Củng cố, luyện tập phơng pháp qua việc giải các bài tập cụ thể

khác

Nh vậy, phơng pháp giải bài toán tổng quát (tri thức phơng pháp cầntruyền thụ) đợc khái quát hoá từ phơng pháp giải một số bài toán cụ thể Nóimột cách khác là tiến trình này đi từ trờng hợp riêng lẻ đến trờng hợp tổngquát

Ví dụ 1.9: Dạy học khái niệm và tính chất của trọng tâm một hệ điểm.

Chúng ta có thể tổ chức dạy học cho HS theo các bớc:

Bớc 1: Cho HS nhắc lại hay giải các bài toán:

1) Cho hai điểm phân biệt A, B Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một

điểm O sao cho OA  OB  0

2) Cho ba điểm phân biệt A, B, C Chứng minh rằng tồn tại duy nhấtmột điểm O sao cho OA  OB  OC  0

3) Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D Chứng minh rằng tồn tại duynhất một điểm O sao cho OAOBOCOD0

Bớc 2: Từ các bài toán trên, GV hớng dẫn HS nêu nhận xét cách giải

các bài toán Đề xuất bài toán tổng quát "Cho các điểm phân biệt A1, A2, …

An Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một điểm O sao cho

0 OA OA

OA1 2   n "

Bớc 3: Từ cách giải bài toán tổng quát có thể cho HS luyện tập bài toán

sau: Cho ngũ giác ABCDE, xác định điểm O sao cho

0 OE OD OC

OB

OA      Khi đó chứng minh rằng với mọi điểm M bất kỳ thì

MO 5 ME MD MC

MB

MA     

1.3.4 Dạy học tri thức phơng pháp có tính chất tìm đoán

a Nói chung SGK khoa phải là nơi trình bày rõ ràng các phơng pháp có

tính chất tìm đoán Hay nói một cách khác là tri thức này không phải là đối ợng dạy học tờng minh mà thờng đợc phó thác cho bản thân ngời GV trongquá trình dạy học

t-Ví dụ 1.10: Giải phơng trình lợng giác dạng

d x cos c x cos x sin b x sin

a 2   2 

Khi dạy học giải bài toán này, mục tiêu là truyền thụ hai tri thức phơngpháp có tính chất thuật giải sau đây:

+) Phơng pháp đa về phơng trình của tanx:

x    cosx ≠ 0, chia hai vế của phơng trình cho cos2x ta

đ-ợc phơng trình: a tan2x  b tan x  c  d ( 1  tan2x ) Giải phơng trình này tìm tanxrồi tìm x

+) Phơng pháp đa về phơng trình của sin2x và cos2x:

 Dùng các công thức hạ bậc

2

x 2 cos 1 x sin2   ,

2

x 2 cos 1 x cos2   ,

x 2 sin 2

 Giải phơng trình này tìm nghiệm

Tuy nhiên, trong quá trình dạy học nếu luôn chú ý đến việc truyền thụtri thức phơng pháp tìm đoán cho HS thì đây cũng là cơ hội để GV thực hiện

Cụ thể, trong cách giải phơng trình trên, ta có thể rút ra và nhấn mạnh hai địnhhớng phơng pháp sau:

+) Trong phơng trình chứa nhiều hàm số lợng giác, thì có thể biến đổi

1) a sin3x  b sin2x cos x  c sin x cos2x  d cos3x  e sin x  f cos x

(đa về phơng trình của một ẩn tanx)

2

1 x sin x tan 1

x 2 cos 1 x cot  2 







(đa về phơng trình của sinx và cosx)

+) Nếu trong phơng trình chứa các biểu thức bậc cao, có thể hạ bậc các biểu thức này.

Tri thức phơng pháp có tính chất tìm đoán này cũng đợc vận dụng nhiềutrong giải các phơng trình lợng giác Chẳng hạn, khi giải các phơng trình sau

ta thờng dùng cách hạ bậc:

16

17 x cos x sin8  8  2

2) cos xcos3xsin xsin3xcos32x.

b Xét về phơng diện phơng pháp luận trong dạy học Toán, có những tri

thức thuộc phạm trù triết học duy vật biện chứng đóng vai trò định hớng hoạt

động tìm đoán mà ngời GV cần quan tâm ở dạng không tờng minh truyền thụcho học sinh

 Tri thức thuộc phạm trù mối liên hệ giữa hình thức và nội dung:

Chúng ta biết rằng mỗi nội dung có thể có nhiều hình thức khác nhau Nộidung quyết định hình thức nhng mặt khác hình thức ảnh hởng trở lại nội dung.Mỗi hình thức của nội dung mang đến cho việc nghiên cứu nội dung đó nhữngthuận lợi và khó khăn khác nhau

Hình thức có thể che lấp nội dung, thay đổi hình thức các bài toán đểbóc trần nội dung thuận tiện cho việc huy động kiến thức đã có của học sinh làmột việc làm hết sức cần thiết Trong dạy học Toán, ngời GV cần phải luônluôn động viên nhắc nhở HS mạnh dạn xem xét, biến đổi các bài toán, vấn đềdới nhiều hình thức khác nhau, thích hợp cho việc tìm ra một hình thức nghiêncứu phù hợp nhất

Tri thức này có thể đợc diễn đạt dới dạng phơng pháp quy lạ về quen

nhờ biến đổi hình thức của bài toán

b

y a

x

2

2 2

2



 và đờng thẳng (): Ax + By + C = 0.Chứng minh rằng () tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi a 2 A 2  b 2 B 2  C 2

Đờng thẳng () tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi hệ phơng trình

1 b

y a

x

2 2 2

2

có nghiệm duy nhất

Tìm điều kiện để hệ này có nghiệm duy nhất bằng phơng pháp thế là

cách giải rờm ra và dễ sai sót Chúng ta có thể biến đổi phơng trình 1

b

y a

x

2

2 2

1 Y

X 2 2

có nghiệm duy nhất

Bài toán đã đợc đa về dạng quen thuộc, điều kiện cần tìm ở đây là đờngthẳng ('): aAX + bBY + C = 0 tiếp xúc với đ): aAX + bBY + C = 0 tiếp xúc với đờng tròn (T): X2 Y2 1



 , khi vàchỉ khi khoảng cách từ tâm O(0; 0) của (T) đến ('): aAX + bBY + C = 0 tiếp xúc với đ) bằng 1

B b A a

C

2 2 2

  a 2 A 2  b 2 B 2  C 2

 Tri thức thuộc phạm trù mối liên hệ giữa cái chung và cái riêng: một

cái riêng có thể là trờng hợp đặc biệt của nhiều cái chung khác nhau và mộtcái chung, đem đặc biệt hoá từng bộ phận, bằng những cách khác nhau sẽ chonhiều cái riêng khác nhau

Để đi đến một cái chung ta có thể phải khảo sát một số trờng hợp riêng,lấy kết quả của cái riêng để định hớng giải quyết cái chung

Ví dụ 1.12: Cho các số thực phân biệt a, b, c Rút gọn tổng sau:

a x c x b c a b a

c x b x

 S = c2 Qua một số trờng hợp đó có thể dự đoán là S = x2 với x bất kỳ Dự

đoán đó định hớng cho cách giải xem S nh là một hàm số S(x) và đặt P(x) =S(x)  x2 Ta có P(x) là đa thức bậc không quá 2, có ba nghiệm phân biệt a, b,

c  P(x) = 0 với mọi x hay có nghĩa là S = x2 với mọi x

Có nhiều trờng hợp bài toán đang xét lại là trờng hợp riêng của một bàitoán tổng quát nào đó Ta sẽ giải quyết bài toán tổng quát rồi suy ra lời giảibài toán ban đầu vì bài toán tổng quát có thể chứa đựng nhiều thông tin hơn vàkhi đặc biệt hoá ngời ta đã dấu đi những thông tin đó

x x m

0 3 x x

đó, khôi phục đợc bài toán ban đầu thì có thể định hớng để tìm ra phơng phápgiải

1 4 Thực trạng dạy học ở các lớp chuyên Toán

1.4.1 Việc hình thành các lớp chuyên Toán

Việc ra đời các "lớp Toán đặc biệt"  tiền thân của các khối chuyênToán sau này đợc bắt đầu từ năm 1965 ý tởng đầu tiên của sự kiện này là của

GS Hoàng Tuỵ, cố GS Lê Văn Thiêm và cố Thủ tớng Phạm Văn Đồng Khi

đó lớp chuyên Toán đầu tiên của cả đợc đặt tại trờng Đại học Tổng hợp HàNội (nay là trờng Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội) Những năm sau đó,các hệ THPT chuyên thuộc các trờng Đại học S phạm Hà Nội, Đại học S phạmVinh, Đại học Tổng hợp Huế, Đại học Tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh vàcác trờng chuyên của các tỉnh, thành trong cả nớc lần lợt ra đời Từ lúc đó trở

đi, nền giáo dục phổ thông ở nớc ta thêm một sắc thái mới, một hớng giáo dụcmới đó là giáo dục chất lợng mũi nhọn, phát hiện và bồi dỡng những HS cónăng khiếu Toán học cho đất nớc

1.4.2 Các kết quả đạt đợc

Có thể nói, giáo dục mũi nhọn phổ thông của các hệ chuyên Toán đãthu đợc những thành tựu rực rỡ, đợc Nhà nớc đầu t có hiệu quả, đợc xã hộithừa nhận và bạn bè các nớc quốc tế khâm phục Rất nhiều các thế hệ HS củacác lớp chuyên Toán trởng thành đã và đang là những nhà chính trị, nhà khoahọc, nhà kinh tế… của đất nớc Đợc học tập trong hệ thống các lớp chuyênToán là ớc mơ, khao khát của các em HS và của các bậc phụ huynh Các độituyển HS giỏi Toán tham dự kỳ thi Olympic Toán quốc tế có bề dày thànhtích, luôn ổn định ở mức cao và mang tính kế thừa Nhiều năm liền đội tuyển

đợc xếp vào tốp 10 nớc có kết quả cao nhất

1.4.3 Một số vấn đề còn tồn tại hiện nay

Mặc dù đã đạt đợc rất nhiều thành tích đáng tự hào nhng việc bồi dỡngnhững HS có năng khiếu Toán học ở các lớp chuyên Toán trong những nămgần đây cũng đã bộc lộ một số bất cập GS Nguyễn Cảnh Toàn cho rằngchúng ta đang đứng trớc nguy cơ tụt hậu về Toán học mà một phần nguyênnhân nằm trong việc dạy và học Toán ở nhà trờng phổ thông chúng ta, đặc biệt

là ở các lớp chuyên Toán

Thứ nhất, việc dạy Toán trong các lớp chuyên mang nặng tính chất

luyện thi, nhằm mục đích hạn hẹp là làm thật nhiều những kiểu toán hay gặptrong các đề thi Việc ra đề thi thì cứ đi vào những con đờng đánh đố HS bằngnhững bài toán lắt léo đến mức "quá giả tạo", ít có những bài toán thử thách ócphân tích, tổng hợp, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề Học sinh làm đợcnhững bài toán lắt léo kiểu đó không phải vì trình độ phân tích và tổng hợpcao của mình mà nhờ đã làm nhiều những dạng bài toán đó, nghĩa là nhờ trínhớ và bắt chớc Theo GS Nguyễn Cảnh Toàn, việc đào tạo về mặt Toán học

ở các lớp chuyên Toán bị chi phối khá nhiều bởi các kiểu ra đề thi Những bàitoán nh vậy thờng có nhợc điểm là làm thì rất khó nhng đã làm xong thì giống

nh đi vào ngõ cụt, không mấy khi thấy hớng phát triển, mở ra con đờng mới.Trong khi đó, sáng tạo luôn nh ngời leo đèo, cứ dấn thêm một bớc thì chântrời mở ra trớc mắt càng rộng Mối liên hệ giữa Toán học với thực tiễn, haynói rộng ra là mối liên hệ giữa "Toán" và "phi Toán" của HS còn yếu Các em

ít đợc rèn luyện "toán học hoá" các tình huống bắt đầu từ những vấn đề đơngiản Điều này đi ngợc lại mục đích của các kỳ thi HS giỏi toán cũng nh việcthành lập các khối chuyên Toán Các kỳ thi HS giỏi toán là nhằm khích lệphong trao học Toán, lòng say mê đối với Toán học, từ đó những tài năng toánhọc sẽ bộc lộ và phát triển Mục tiêu của việc thành lập các khối chuyên Toánkhông phải để tạo ra những thợ làm toán mà là phải tạo ra đợc những nhân tài,

đóng góp cho sự phát triển của Toán học cũng nh các vấn đề khác trong cuộcsống

Thứ hai, cách dạy học còn nặng về thuyết trình và nhồi nhét kiến thức

một cách áp đặt Theo GS Nguyễn Cảnh Toàn, cách dạy  học Toán hiện nay

ở nhà truờng phổ thông giống nh việc GV dẫn HS đi tham quan một lâu đài đãxây dựng từ lâu Còn GS Hoàng Tuỵ thì nói: "Ta còn chuộng cách dạy nhồinhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái oăm, giả tạo, chẳnggiúp gì mấy để phát triển trí tuệ mà làm cho HS thêm xa rời thực tế, mệt mỏi

và chán nản" (Tạp chí Tia sáng, số 12/2001)

Thứ ba, với cách dạy nh trên đã hạn chế t duy độc lập và khả năng làm

việc theo nhóm Theo một số giáo s giảng dạy ở bậc đại học thì nhiều HS củacác lớp chuyên Toán đã từng đạt đợc những thành tích cao trong các kỳ thi HSgiỏi nhng lên đại học thì không duy trì mức học cao đợc nữa Nguyên nhânmột phần là do các em bị quá tải khi học ở phổ thông, lại không đợc giáo dục

ý thức tự học và độc lập suy nghĩ Hệ quả là khi ra trờng các em đó không còngiành đợc những vị trí quan trong trong xã hội cũng nh trong nghiên cứu khoahọc Đây cũng là một điều mà các GV dạy Toán ở nhà trờng phổ thông, đặcbiệt là các lớp chuyên Toán phải suy nghĩ

1.5 Kết luận chơng 1

Trong chơng I, luận văn hệ thống một số vấn đề liên quan đến quan điểmHĐ trong dạy học Toán; nêu một số khái niệm về tri thức, tri thức phơng pháptrong dạy học Toán và một số vấn đề về dạy học tri thức phơng pháp

Bên cạnh đó luận văn đề cập đến một số thành tựu và thực trạng dạyhọc của hệ thống các lớp chuyên Toán hiện nay Đây cũng là cơ sở để đề xuấtcách xây dựng một số biện pháp nhằm đổi mới PPDH cho học sinh lớp 10chuyên Toán

Chơng 2 Một số biện pháp nhằm truyền thụ tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp nh là phơng tiện và kết quả của hoạt động trong dạy học Toán cho học sinh

lớp 10 chuyên Toán 2.1 Đặc điểm của chơng trình môn Toán lớp 10 và chơng trình chuyên Toán lớp 10

2.1.1 Chơng trình Toán 10 và chơng trình chuyên Toán 10

a Chơng trình Toán 10 (nâng cao) đợc quy định theo khung chơng trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, quy định theo các SGK Đại số 10 nâng cao và Hình học 10 nâng cao.

+ Kế hoạch dạy học, tổng số tiết: 4tiết / tuần  35 tuần = 140 tiết

+ Hớng dẫn nội dung giảng dạy chi tiết:

A Phần đại số bao gồm các chơng và các vấn đề cụ thể sau:

về hệ phơng trình bậc 2 hai ẩn

Chơng IV: Bất đẳng thức và bất phơng trình (27 tiết) bao gồm: Bất đẳng

thức và chứng minh bất đẳng thức; Đại cơng về bất phơng trình; Bất phơngtrình và hệ bất phơng trình bậc nhất một ẩn; Dấu của nhị thức bậc nhất; Bấtphơng trình và hệ bất phơng trình bậc nhất hai ẩn; Dấu của tam thức bậc hai;Bất phơng trình bậc hai; Một số phơng trình và bất phơng trình quy về bậc hai

Chơng V: Thống kê (9 tiết) bao gồm: Một vài khái niệm mở đầu; Trình

bày một mẫu số liệu; Các đặc trng của mẫu số liệu

Chơng VI: Góc lợng giác và công thức lợng giác (11 tiết) bao gồm:

Góc và cung lợng giác; Giá trị lợng giác của góc (cung) lợng giác; Một sốcông thức lợng giác

B Phần Hình học bao gồm các chơng và các vấn đề cụ thể sau:

Chơng I: Véc tơ (14 tiết) bao gồm: Các định nghĩa; Tổng của các véc tơ;

Hiệu của hai véc tơ; Tích của một véc tơ với một số; Trục toạ độ và hệ trục toạ độ

Chơng II: Tích vô hớng của hai véc tơ và ứng dụng (12 tiết) bao gồm:

Giá trị lợng giác của một góc; Tích vô hớng của hai véc tơ; Hệ thức lợng trongtam giác

Chơng III: Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng (21 tiết) bao gồm:

Ph-ơng trình của đờng thẳng; Khoảng cách và góc; Đờng tròn; Elip; Hypebol;Parabol; Ba đờng cônic

b Chơng trình chuyên Toán 10 đợc quy định theo "Hớng dẫn nội dung dạy học môn toán lớp 10 trờng THPT chuyên (áp dụng từ năm học 2006 

2007)" của Bộ Giáo dục và Đào tạo

+ Kế hoạch dạy học, tổng số tiết: 4tiết / tuần  150%  35 tuần = 210tiết, trong đó có 35 tiết dành cho việc giảng dạy các chuyên đề

+ Nội dung giảng dạy, gồm 2 phần:

 Nội dung bắt buộc đối với mọi loại học sinh chuyên Toán

 Các chuyên đề, bao gồm các chuyên đề bắt buộc và các chuyên đềkhông bắt buộc

+ Hớng dẫn nội dung giảng dạy chi tiết

 Nội dung bắt buộc

A Phần Đại số bao gồm các chơng và các vấn đề sau:

Chơng I: Mệnh đề  Tập hợp  ánh xạ (22 tiết) bao gồm: Mệnh đề;

Mệnh đề chứa biến; áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học; Tập hợp; ánh xạ

Chơng II: Hàm số (20 tiết) bao gồm: Đại cơng về hàm số; Hàm số bậc

nhất; Hàm số bậc hai

Chơng III: Bất đẳng thức (12 tiết) bao gồm: Định nghĩa và các tính chất

cơ bản; Một số phơng pháp đại số chứng minh bất đẳng thức; Một số bất đẳngthức cơ bản; Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức

Chơng IV: Phơng trình, bất phơng trình đại số (18 tiết) bao gồm: Đại

cơng về phơng trình, bất phơng trình; Phơng trình, bất phơng trình bậc 2; Một

số dạng phơng trình, bất phơng trình thờng gặp; Các phơng pháp đặc biệt giảiphơng trình

Chơng V: Hệ phơng trình, bất phơng trình đại số (12 tiết) bao gồm:

Đại cơng về hệ phơng trình, bất phơng trình đại số; Một số dạng hệ phơngtrình; Một số dạng hệ bất phơng trình

Chơng II: Tích vô hớng của hai véc tơ và ứng dụng (35 tiết) bao gồm:

Góc và giá trị lợng giác của một góc; Tích vô hớng của hai véc tơ; Các hệ thứclợng trong tam giác; Hệ thức lợng trong đờng tròn

Chơng III: Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng (19 tiết) bao gồm:

Ph-ơng trình đờng thẳng; PhPh-ơng trình đờng tròn; Ba đờng cônic

Chơng IV: Các phép biến hình trong mặt phẳng (12 tiết) bao gồm: Đại

cơng về phép biến hình; Một số phép biến hình

 Các chuyên đề:

Chuyên đề 1: Bất đẳng thức (10 tiết)

Chuyên đề 2: Một số vấn đề của toán Tổ hợp (12 tiết)

Chuyên đề 3: Hình học phẳng (13 tiết)

Chuyên đề 4: Lý thuyết đồng d  Hàm số số học (không bắt buộc)

Chuyên đề 5: Phơng trình nghiệm nguyên (không bắt buộc)

Chuyên đề 6: Một số yếu tố của lý thuyết Graph và ứng dụng (không

- Đề cao các yếu tố mang tính s phạm, chỉ ra các HĐ ở các thời điểm đểthầy trò xem xét

- So với chơng trình cũ, chơng trình hiện hành có một số thay đổi về sắpxếp nội dung, ví dụ đa phần Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng vào chơngtrình lớp 10 mà trớc đây ở chơng trình lớp 12

- SGK mới thống nhất các kí hiệu về thuật ngữ đợc sử dụng, đáp ứng

đ-ợc yêu cầu của việc đổi mới PPDH, kiểm tra, đáng giá (có để cập nhiều câuhỏi trắc nghiệm khách quan)

b Chơng trình chuyên Toán 10 đợc xây dựng dựa trên các căn cứ:

 Mục tiêu giáo dục của loại hình trờng THPT Chuyên nói chung và củacác lớp chuyên Toán nói riêng;

 Thực trạng hiện nay của các lớp chuyên Toán trên toàn quốc;

 Chơng trình Toán 10 nâng cao hiện hành

Nh vậy chơng trình chuyên Toán 10, đợc bổ sung, chú trọng đi sâu vàomột số mảng kiến thức của chơng trình Toán 10 nâng cao, đặc biệt chú trọng

đến mức độ tối thiểu HS cần đạt Một số vấn đề đợc giữ nguyên cả về cấu trúc,nội dung và mức độ tối thiểu HS cần đạt, nh phần Sai số, số gần đúng hayphần thống kê Bên cạnh đó, một số vấn đề đợc đa vào một cách hoàn toànkhác biệt nh phần tích Đềcác của các tập hợp, ánh xạ

2.2 Một số định hớng s phạm của việc đề ra các biện pháp

Định h ớng 1 Các biện pháp đợc xây dựng dựa trên cơ sở tôn trọng nội dung chơng trình, SGK Toán 10, các tài liệu chuyên đề chuyên Toán 10 và các nguyên tắc dạy học.

Định h ớng 2 Các biện pháp đợc xây dựng phải dựa trên định hớng đổi mới PPDH hiện nay; tạo cho HS có một môi trờng HĐ tích cực, tự giác, sáng tạo

Định h ớng 3 Các biện pháp phải mang tính khả thi, có thể thực hiện

đ-ợc trong điều kiện thực tế của quá trình dạy học các lớp chuyên Toán.

Định h ớng 4 Các biện pháp không chỉ sử dụng đợc trong dạy học cho chuyên Toán 10 mà còn có thể sử dụng đợc (với mức độ phù hợp) trong dạy học môn Toán nói chung.

2.3 Đề xuất một số biện pháp s phạm nhằm truyền tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp trong dạy học Toán 10 cho học sinh chuyên Toán

2.3.1.Biện pháp 1: Làm cho HS rõ nguồn gốc của tri thức, con đờng khám phá tri thức nhằm khơi dậy niềm ham thích say mê môn Toán

Chúng ta có thể vận dụng tính biện chứng duy vật để hình thành cho HSquan điểm rằng: khi xem xét một sự vật phải nhận thức sự vật trong sự hìnhthành, phát triển và trong sự tự vận động của nó

Học sinh chuyên Toán là những HS có những ham học hỏi, thích tìmhiểu tờng tận nguồn gốc của các vấn đề Hơn nữa, các em cũng cần phải đợctrang bị những kiến thức nhất định về sự phát triển của Toán học, thông qua

đó nắm đợc đối tợng của Toán học và giúp hiểu biết đúng đắn về Toán học.Lịch sử đã chứng tỏ rằng nhu cầu của HĐ thực tiễn là điều quyết định chủ yếu

sự phát triển của Toán học Theo Angghen, đối tợng của Toán học là nhữngquan hệ số lợng và hình dạng không gian của thế giới hiện thực Tính chấttrừu tợng của đối tợng Toán học chỉ che đậy nguồn gốc thực tế khách quancủa mọi khái niệm toán học chứ không xoá bỏ nguồn gốc đó

Trong quá trình dạy học Toán, ngời GV có rất nhiều cơ hội để giúp HSnhận thấy đợc nguồn gốc của tri thức và con đờng đã khám phá ra tri thức đó.

Có thể đa các tóm tắt lịch sử vấn đề, các mẩu chuyện toán học, các bài toánnổi tiếng… lồng ghép một cách thích hợp trong bài giảng của mình làm bàigiảng sinh động, kích thích sự học tập và tìm hiểu của HS

Ví dụ 2.1: Một số vấn đề về véc tơ.

a Định nghĩa véc tơ: "véc tơ là đoạn thẳng định hớng", nghĩa là trong

hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là

Khi dạy học định nghĩa này có thể cho HS hiểu đợc các vấn đề sau:

 Nguồn gốc ra đời của khái niệm véc tơ: Trong Vật lý cũng nh trong

thực tiễn, để biểu diễn những đại lợng nh vận tốc, gia tốc của một chất điểm,lực tác dụng vào một vật… cần thiết phải thể hiện đợc hai yếu tố: độ lớn và h-ớng của nó Khái niệm véc tơ ra đời một phần bắt nguồn từ đó

 Bản chất vấn đề:

+) Với hai điểm xác định phân biệt A, B thì ta xác định đợc đoạn thẳng

AB (hoặc BA) Nếu thêm dấu "" vào điểm B ta có véc tơ với điểm đầu là A,

điểm cuối là B, ký hiệu AB; nếu thêm dấu "" vào điểm A ta có véc tơ với

điểm đầu là B, điểm cuối là B, ký hiệu BA

Nh vậy, đoạn thẳng AB và véc tơ AB là hoàn toàn khác nhau Véc tơ

AB chính là đoạn thẳng AB đã đợc định hớng (hớng từ điểm A đến điểm B).Hai véc tơ AB và BA cũng là hai véc tơ khác nhau Do đó, ứng với mỗi đoạnthẳng ta có hai véc tơ khác nhau

+) Với trờng hợp A, B trùng nhau, thì các véc tơ AA hay BB gọi là véctơ  không, ký hiệu 0 Do đó, ứng với mỗi điểm ta có một véc tơ  không

b Khái niệm hai véc tơ cùng phơng, cùng hớng.

 Định nghĩa: hai véc tơ đợc gọi là cùng phơng nếu chúng có giá song song

hoặc trùng nhau Hai véc tơ cùng phơng thì cùng hớng hoặc ngợc hớng

Hình 2.1

 Cơ sở của khái niệm hai véc tơ cùng phơng là khái niệm hai đờng

thẳng cùng phơng Trên thực tế không phải mọi đại lợng có hớng luôn có

ph-ơng, hớng nh nhau mà có sự phân biệt phph-ơng, hớng giữa chúng nên từ đó cókhái niệm phơng, hớng của các véc tơ

C

D

C D

M

N P

+ Hai véc tơ AB và EF cùng phơng (có giá song song với nhau) là

ng-ợc hớng vì thuộc hai mặt phẳng đối nhau bờ là đờng thẳng đi qua hai đầu mút

c Khái niệm tổng của hai véc tơ

 Định nghĩa: Cho hai véc tơ a và b Lấy một điểm A nào đó rồi xác

định các điểm B, C sao cho AB = a, BC = b Khi đó véc tơ AC đợc gọi làtổng của hai véc tơ a và b, ký hiệu a + b

Phép lấy tổng hai véc tơ gọi là phép cộng hai véc tơ

Hình 2.2

Hình 2.3

B

C

 Khi dạy học khái niệm này giáo viên có thể cho HS biết:

+ Nguồn gốc khái niệm: Trong thực tế có những vật chịu cùng một lúc

nhiều lực tác dụng lên nó, chẳng hạn: một vật treo trên sợi dây nằm ngangchịu tác dụng của trọng lực và sức căng sợi dây, một con thuyền đi qua consông thì phụ thuộc vào vận tốc của nó và vận tốc dòng nớc… Vấn đề đặt ratrong các ví dụ trên là hợp lực tác dụng lên vật hoặc thực sự vận tốc conthuyền nh thế nào Từ đó khái niệm tổng của các véc tơ ra đời

+ Bản chất đối tợng: Phép cộng hai véc tơ đợc định nghĩa nh trên không

phụ thuộc vào việc chọn điểm A ban đầu Thật vậy, nếu chọn các điểm A'): aAX + bBY + C = 0 tiếp xúc với đ, B'): aAX + bBY + C = 0 tiếp xúc với đ,C'): aAX + bBY + C = 0 tiếp xúc với đ sao cho A'B' = a, B'C' = b thì ta cũng đợc A'C' =a + b = AC

Ví dụ 2.2: Về phơng pháp toạ độ ở trờng phổ thông.

Ngời đầu tiên sử dụng phơng pháp là R.Đêcac (1596  1650), nhà Triếthọc và Toán học ngời Pháp

Việc định vị các điểm, các đờng, các hình… trên mặt phẳng hay khônggian cần những định lợng những giá trị xác định nó Chẳng hạn, trong mặtphẳng toạ độ Oxy, các điểm đợc biểu diễn bằng những cặp số (x; y), các đờngthẳng đợc biểu thị bởi phơng trình ax + by + c = 0, đờng tròn đợc biểu diễnbởi phơng trình (x  a)2 + (y  b)2 = R2 … có nghĩa là đã đợc lợng hoá bằngnhững con số Các tính chất hình học đợc chuyển thành những quan hệ đại sốgiữa những con số, các chữ và các phép toán Sự ra đời của phơng pháp toạ độ

đã lập đợc mối quan hệ mật thiết giữa hình học và đại số Ngời ta xem đây làmột cuộc cách mạng trong Toán học nói chung và bộ môn hình học nói riêng

a 

a

b b

a 

Hình 2.4

Hình 2.5

vì đã thoát ra khỏi cái t duy cụ thể của không gian Vật lý để đạt tới đỉnh cao là

sự trừu tợng và khái quát

Ngày nay, trong chơng trình phổ thông, HS đợc học về véc tơ, các phép

toán về véc tơ và dùng véc tơ làm phơng tiện trung gian để chuyển các khái

niệm hình học và các mối quan hệ giữa chúng sang các khái niệm, quan hệ đại

số Một mặt khác nữa, với phơng pháp toạ độ, ngoài các không gian 1 chiều,

2 chiều, 3 chiều thông thờng còn có thể mở rộng thành không gian n chiều

Đây là sự khác biệt rất lớn giữa không gian cụ thể của Vật lý và không gian

trừu tợng của Toán học

Tuy nhiên, thực tế dạy học cũng cho thấy việc đại số hoá hình học sẽ

làm cho HS không đợc rèn luyện nhiều về trí tởng tợng, đặc biệt là tởng tợng

không gian Trong phơng pháp toạ độ, HS có thể giải bài toán bằng những

công thức, thuật toán đã biết trớc

Hiện nay phơng pháp toạ độ vẫn là một trong những phơng pháp hữu

hiệu để giải các bài toán ở trờng phổ thông Khi dạy học về phơng pháp toạ

độ, GV nên luyện tập cho HS giải một số bài toán để thấy rõ sự u việt của

ph-ơng pháp giải này so với các cách giải khác

Sau đây là một số bài toán toán minh hoạ

1) Cho hai điểm phân biệt A, B cố định và số k không đổi Tìm tập hợp

các điểm M sao cho MA2 MB2 k

MA2  2 

 [ x2 y2]  [  x  a 2 y2]  k

 x =

a 2

k

Vậy tập hợp các điểm M là đờng thẳng

có phơng trình x =

a 2

k

trong hệ toạ độ đã

chọn (Đờng thẳng này vuông góc với AB)

Từ lời giải bài toán này ta thấy, những bài toán hình học chứa các yếu

tố khoảng cách, góc, cùng phơng, vuông gócA … nếu giải bằng phB ơng pháp toạ

C

D

C D

M

N P

độ sẽ hứa hẹn cho khả năng tìm ra lời giải Có thể nêu ra các bớc để giải mộtbài toán hình học bằng phơng pháp toạ độ:

 Chọn hệ toạ độ thích hợp (thờng chọn hệ toạ độ đợc gắn với nhiềuyếu tố của bài toán để việc tính toán về sau đơn giản)

 Biểu diễn các dữ kiện đã cho và cần tìm của bài toán thông qua cácyếu tố toạ độ

 Giải bằng phơng pháp đại số các biểu thức toạ độ để rút ra kết luận.Bài toán sau đây tơng tự bài toán trên:

2) (Đờng tròn Apôlôniut) Cho hai điểm phân biệt A, B cố định và số k

dơng không đổi Tìm tập hợp các điểm M sao cho k

MB

MA

 Bài toán sau đây phát biểu ở dạng đại số nhng chứa nhiều "gợi ý hìnhhọc" và cách giải bằng phơng pháp toạ độ là hiệu quả nhất

3) Cho các số thực x, y, z Chứng minh rằng

2 2

2 2

2

2 xy y x xz z y yz z

Các biểu thức căn gợi cho chúng ta liên tởng đến độ dài các đoạn thẳng

Sử dụng các phân tích thành các tổng bình phơng, ta đi đến chọn điểm A(x;

; 2

z

2 2

y xy x 2

y 2

z xz x 2

z 3 2

2 z y 2

z y

2

; 3

2

và giátrị nhỏ nhất của P là 2 5

Ví dụ 2.3: Lịch sử việc giải các phơng trình đại số.

Lý thuyết phơng trình đại số có một lịch sử rất lâu đời Từ 2000 năm

tr-ớc Công nguyên, ngời cổ Ai Cập đã biết giải các phơng trình bậc nhất, ngời cổBabilon đã biết cách giải các phơng trình bậc hai Tất nhiên các hệ số của cácphơng trình đợc xét là những số đã cho, nhng cách giải của ngời xa chứng tỏ