Chứng minh rằng m là số chính phương.. Chứng minh Qx có hai nghiệm phân biệt.
Trang 1CÁC BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN NĂM 2021
Người soạn: Trần Văn Tuân Bài 1 (chuyên Hạ Long - Quảng Ninh, 2021)
1 Giải phương trình
√
x + 1 +√
3x = 3 +√
4x − 8
2 Giải hệ phương trình
x2 − 2x + 3xy = 12
y2 − 2y − xy = −4
3 Cho hai số thực x, y thỏa mãn 0 < x < y ≤ 8 và xy ≤ 4x + 3y Chứng minh rằng
x2 + y2 ≤ 100
Bài 2 (chuyên Hà Tĩnh 2021)
a) Cho a, b, c là các số thực đôi một phân biệt, rút gọn biểu thức
3
+ (b − c)3 + (c − a)3
a2(b − c) + b2(c − a) + c2(a − b)
b) Giải phương trình
9x2 = x2 + x − 5√
3x + 1 − 1
2
c) Giải hệ phương trình
x3 + xy2 + 2y3 = 0
√ 2x3 − x + 8y2 + 3y = 4
d) Tìm các số nguyên m, n thỏa mãn
m(m + 1)(m + 2) = n2
e) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y + xy = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = p9 − x2 +p9 − y2 + x + y
4
Trang 2Bài 3 (chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa, 2021).
1 Cho các số thực a, b không âm thỏa mãn (a + 2)(b + 2) = 8 Tính giá trị của biểu thức
P = ab + 2
r
a2 + b2 + 8 − 2
q
(a2 + 4) (b2 + 4)
2 Giải hệ phương trình
x2 + 1 = y +
1
y2 + 1
x2 + 2x
r
y + 1
y = 8x − 1
3 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn
x2 + 2y2 − 2xy − 2x − 4y + 6 = 0
4 Tìm tất cả các số nguyên tố psao cho p2 − p
2 − 1 là lập phương của một
số tự nhiên
Bài 4 (chuyên Thái Bình, 2021)
1 Giải phương trình
4√
x + 3 + 4√
x = 3x + 9
2 Giải hệ phương trình
x2 + y2 + 2xy
x + y = 1
√ 3x2 + 33 + 3√
2x + y − 1 = 3x + y + 6
3 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2+ b2+ c2 = 3abc Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3a2 + 2b2 + c2 + b
3b2 + 2c2 + a2 + c
3c2 + 2a2 + b2
4 Giả sử n là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện n(n + 1) + 7 không chia hết cho 7 Chứng minh rằng 4n2 − 5n − 1 không là số chính phương
Trang 3Bài 5 (chuyên Phan Bội Châu - ĐH Vinh + Nghệ An, 2021).
1 Giải phương trình
x2 + 22 +√
x − 1 = 5x
2 Giải hệ phương trình
3x2 + y2 = 5 + 2xy + 2x − 2y 2x2 + y2 = 10 + 2x − 3y
3 Tìm x, y ∈ N sao cho:
x3 = 1993.3y + 2021
4 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca ≤ 3abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a + b +√
b + c +√
c + a −
s
a2 + b2 2a + 2b +
s
b2 + c2 2b + 2c +
s
c2 + a2 2c + 2a
Bài 6 (chuyên Bình Dương 2021)
a) Giải phương trình
x2 − 6x + 11
.px2 − x + 1 = 2 x2 − 4x + 7√
x − 2
b) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 1 Chứng minh rằng
10x2 + 10y2 + z2 ≥ 4
Dấu 00 =00 xẩy ra khi nào?
Bài 7 (chuyên Tiền Giang 2021)
a) Giải phương trình
x +px2 − 1 = √x + 1 +√
x − 1 + 4
b) Giải hệ phương trình
x3 + 3x = y3 − 8
x2 + y2 = y + 2
Trang 4c) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn abc = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a2 + 2b2 + 3 +
1
b2 + 2c2 + 3 +
1
c2 + 2a2 + 3
d) Cho m, n là các số nguyên dương sao cho m2 + n2 + m chia hết cho
m.n Chứng minh rằng m là số chính phương
Bài 8 (chuyên Lê Quý Đôn, Bà Rịa - Vũng Tàu, 2021)
a) Giải phương trình
5x − (x + 4).√
2x + 1 + 4 = 0
b) Giải hệ phương trình
2x2 + y2 + 3xy + 4x + 3y + 2 = 0
p
x2 − y + 3 +√x + y + 1 = 2
c) Cho hai đa thức
P (x) = x3 + ax2 + bx + c và Q(x) = 3x2 + 2ax + b, a, b, c ∈ R
Biết rằng P (x) có ba nghiệm phân biệt Chứng minh Q(x) có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình
(xy − 1)2 = x2 + y2
e) Xét các số thực a, b, c không âm thỏa mãn a2+ b2+ c2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 + bc +
b
1 + ac +
c
1 + ab
Bài 9 (chuyên Quốc Học Huế)
a) Giải hệ phương trình
(x − y)2 + (x + 1)2 − y(x + 1) − 1 = 0
x3 − y + 1 = 0
Trang 5b) Giải phương trình
x2 + 1
2x2 − 3.√2x2 + x + 1 + 4
= 1 − x
c) Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn
x2 − 2y.x − 421.9 = 0
d) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3 Chứng minh rằng
1
p
x(2y + 3z) +
1
p
x(2y + 3z) +
1
p
x(2y + 3z) ≥ 3
√ 5 5