ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN MỨC ĐỘ KHÓ CHI TIẾT CÓ LỜI GIẢI

Cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a được thiết diện là một hình chữ nhật có chiều dài bằng độ dài đường sinh của hình trụ, chiều rộ

(Đề thi có 06 trang)

(Đề có lời giải)

Môn: Toán Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 Cho hàm số y= f x( ) xác định trên \ − 1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (− 1;1 ) B Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )0;1

C Hàm số đồng biến trên khoảng ( )1;3 D Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +).

A Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng (− 3;3) bằng 3

B Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng (− 3;3) bằng 4

C Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (− 3;3) bằng − 3

D Hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng (− 3;3)

Câu 4 Cho f x g x( ) ( ), là các hàm số xác định và liên tục trên Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào

Câu 6 Cho a b c, ,  0,a 1 Chọn khẳng định sai

A loga b loga b loga c.

c = − B loga( )bc = loga b+ loga c.

C loga b=  =c b a c. D loga(b+c)= loga b+ loga c.

Câu 7 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

Câu 19 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới

đây Số nghiệm của phương trình 2f x( )+ = 3 0 là:

Câu 21 Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân cạnh huyền bằng 2a Tính diện

tích xung quanh S xq của hình nón

Câu 22 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, AC=a BC, = 2 ,a SA vuông góc với mặt

phẳng đáy và SA=a Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng:

A P= 9loga b. B P= 15loga b. C P= 6 loga b. D P= 27loga b.

Câu 27 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 1 2

, t là tham số Vị trí tương đối giữa d1 và d2 là:

A d1 chéo d2 B d1 trùng d2 C d1 song song với d2 D d1 cắt d2

Câu 28 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình bên và đạo hàm f'( )x liên tục

trên Giá trị của biểu thức 2 ( )

1 '

Câu 30 Cho số phức z= +a bi a b( ,  ) Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau là:

I Môđun của z là một số thực dương

Câu 33 Một xe ô tô đang chuyển động đều với vận tốc 16 m/s thì người lái xe nhìn thấy một chướng ngại

vật nên đạp phanh tại điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t( )= − + 2t 16 trong đó t là

thời gian (tính bằng giây) kể từ lúc đạp phanh Quãng đường mà ô tô đi được cho tới khi dừng hẳn là:

Câu 34 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy là tam giác ABC vuông tại A AB, =a ABC, =  30 , cạnh

C’A hợp với mặt đáy góc 60 Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

a

C

3 3 6

a

D

3 3 2

a

Câu 35 Đồ thị hàm số

2 1 1

x y x

A I là trung điểm AB B I là trọng tâm tam giác ABC

C I là trung điểm AC D I là trung điểm BC

Câu 37 Tìm x để hàm số 2

4

y= +x −x đạt giá trị nhỏ nhất:

A x= 2 2. B x= − 2. C x= 1. D x= 2.

Câu 38 Cho hình trụ có chiều cao bằng 6a Cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và

cách trục một khoảng bằng 3a được thiết diện là một hình chữ nhật có chiều

dài bằng độ dài đường sinh của hình trụ, chiều rộng bằng nửa chiều dài Thể

tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng:

Câu 42 Cho phương trình 2 ( ) ( )

ln x− 2 2m+ 1 lnx+ 3 4m− = 1 0 (m là tham số) Tập hợp các giá trị của m để

phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn 3

Câu 43 Bác Hoàng có một tấm thép mỏng hình tròn, tâm O,

bán kính 4 dm Bác định cắt ra một hình quạt tròn tâm O, quấn

rồi hàn ghép hai mép của hình quạt tròn lại để tạo thành một

đồ vật dạng mặt nón tròn xoay (tham khảo hình vẽ) Dung tích

lớn nhất có thể của đồ vật mà bác Hoàng tạo ra bằng bao

nhiêu? (bỏ qua phần mối hàn và độ dày của tấm thép)

a

C 3 4

a

D 5 4

a

Câu 50 Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số ( )

11-C 12-A 13-B 14-D 15-D 16-B 17-A 18-D 19-A 20-D

21-B 22-C 23-D 24-A 25-B 26-A 27-C 28-D 29-A 30-C

31-B 32-A 33-B 34-C 35-A 36-D 37-B 38-D 39-D 40-A

41-D 42-B 43-A 44-B 45-B 46-A 47-B 48-A 49-A 50-B

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A

Quan sát đồ thị ta thấy a 0 nên loại đáp án B

Đồ thị hàm số đi qua điểm (− 1;3) (hoặc hàm số có hai điểm cực trị x=  1) nên loại đáp án D

Vậy đó là đồ thị của hàm số 3

3 1

y=x − x+

Nhận xét: Với bài toán này có thể làm như sau:

Đồ thị hàm số đi qua điểm (− 1;3) nên loại đáp án A, B, D Vậy chọn C

Câu 11: Đáp án C

Câu 12: Đáp án A

Mẹo: Hình chiếu vuông góc của một điểm trên các đường Ox, Oy, Oz lần lượt có dạng

(x;0;0 ; 0; ;0 ; 0;0;) ( y ) ( z) (trên trục nào thì giữ nguyên tọa độ trục đó còn hai tọa độ còn lại bằng 0)

Có SA⊥(ABC) nên AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng

(ABC)(SB ABC,( ) )=(SB AB, )=SBA

Mặt khác có ABC vuông tại C nên AB= AC2 +BC2 =a 3

3

SA SBA

− + =  =   =  =

Câu 26: Đáp án A

Câu 27: Đáp án C

Ta có: d1 qua M1(0;1; 2 − ) và có vectơ chỉ phương u1 =(2;1;3)

Suy ra y= 1,y= − 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận

Sử dụng máy tính:

Nhập biểu thức

2 1 1

x y x

Nhập giá trị 1 10 + −9 và bấm bằng ta thấy giá trị rất lớn (tiến ra dương vô cùng)

Nhập giá trị 1 10 − −9 và bấm bằng ta thấy giá trị rất nhỏ (tiến ra âm vô cùng)

AB +AC = a +a = a =BC nên tam giác ABC vuông tại A

Vì SA=SB=SC nên hình chiếu của S trên (ABC) là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC Mặt khác ABC vuông tại A, suy ra I là

trung điểm của BC

Câu 37: Đáp án B

Chiều dài hình chữ nhật bằng đường sinh hình trụ nên chiều dài bằng 6a

Chiều rộng bằng nửa chiều dài nên chiều rộng bằng 3a suy ra 3

( ) ( ) ( ) ( )

1 0

Phương trình mặt phẳng ( )Q đi qua I(1;2;3) và vuông góc với AB là x− +y 2z− = 5 0

Phương trình đường thẳng AB đi qua B(0;1;0) và nhận vectơ chỉ phương AB= −( 3;3; 6 − = −) 3 1; 1;2( − ) là

Lấy I làm trung điểm BC, kẻ AH⊥SI tại H (1)

Ta có: AI⊥BC (do ABC đều), mà

Xét SAI vuông tại A có đường cao AH: 2 2 2 2 2 2 ( ( ) )

1 1

m m

+ +

y=ax +bx +cx+d, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị (nếu có) là dư trong phép chia đa

thức y cho đa thức y’

Hàm phân thức ( )

( )

A x y

B x

= , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị (nếu có) là ( )

( )

' '

A x y

B x

Câu 1 Cho hàm số y= f x( ) có bảng xét dấu của đạo hàm y= f( )x như sau

( )

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên (−1;3) B Hàm số nghịch biến trên (− −; 1)

C Hàm số đồng biến trên (−1;3) ( ) 1;3 D Hàm số nghịch biến trên (1; +)

Câu 2 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số có bao nhiêu cực trị?

Câu 3 Tập xác định của hàm số

3 2

Câu 15 Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a BC, =2a, chiều cao SA=a 6 Thể tích của khối chóp là

a

2

22

  Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm

số nghịch biến trên tập xác định của nó?

Câu 18 Cho F x( ) là một họ nguyên hàm của hàm số f x( )=e x+2x thỏa mãn ( ) 5

02

x y x

+

=+

Câu 30 Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z2+6z + = Điểm M biểu diễn 13 0

a

336

a

363

a

Câu 32 Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = và 0 x = , biết rằng khi cắt bởi mặt 4

phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 x 4) thì được thiết diện là nửa hình tròn

có bán kính R=x 4−x

Câu 37 Một miếng tôn hình chữ nhật có kích thước là 4  6 được dùng để làm mặt trụ của một cái xô

hình trụ, có hai phương án làm với chiều cao lần lượt là h = và 4 h = làm được xô có thể tích tương 6đương là V1 và V2 Bỏ qua độ dày mép dán, tỉ số 1

Câu 41 Cho hàm số bậc bốn y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ Số giá

trị nguyên của tham số m để phương trình f (x+m)=m có 4

nghiệm phân biệt là

Câu 42 Một lô hàng có 20 sản phẩm, trong đó có 4 phế phẩm Lấy tùy ý 6 sản phẩm từ lô hàng đó Xác

suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm là

A m  0 B m  1 C m  2 D m  0

Câu 44 Trong mặt phẳng ( )P cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 5

và đường tròn ( )C có tâm A, đường kính 10 Thể tích V của vật thể tròn

xoay được tạo thành khi quay mô hình quanh trục là đường AC bằng

  Đường thẳng đi qua tâm đường

tròn nội tiếp tâm giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) có phương trình là

Câu 47 Điều kiện của tham số m để phương trình log 3 log 3

8 x−3.2 x = có nhiều hơn một nghiệm là m

A m  − 2 B m  2 C 2−   m 0 D 2−   m 2

Câu 48 Có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng (−10;10) để hàm số

+

=+ có đồ thị ( )C Tổng các giá trị của tham số m để đường thẳng

11-D 12-B 13-B 14-A 15-C 16-A 17-D 18-A 19-B 20-A

21-B 22-D 23-D 24-A 25-D 26-B 27-D 28-D 29-A 30-A

31-A 32-D 33-D 34-D 35-A 36-A 37-D 38-D 39-A 40-B

Mẹo: Với x là một số thực x0, giá trị y tương ứng là vô cùng thì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x=x0

2 4

122

Giả sử hình chóp tứ giác đều là S.ABCD

Gọi O là giao điểm của BD và AC

Ta có: SO⊥(ABCD), SAO= 60

22

Chú ý: Khi phân tích có dạng tích của 2 trong các loại hàm lượng giác, mũ, logarit, hàm đa thức… thì ta

dùng phương pháp tích phân từng phần Các bài toán này không nhất thiết dùng MTCT

Câu 41: Đáp án D

Từ đồ thị của hàm y= f x( ), ta suy ra đồ thị của hàm số y= f ( )x

như hình bên:

Đồ thị của hàm số y= f ( x+m) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị

hàm số y= f ( )x dọc theo trục Ox (theo chiều ngang) nên số

nghiệm của phương trình f (x+m)=m bằng số nghiệm của phương trình f ( )x =m

Do đó phương trình f ( )x =m có 4 nghiệm phân biệt  Đồ thị của hàm số y= f ( )x và đường thẳng

y=m cắt nhau tại 4 điểm phân biệt

134

m m

Lấy 6 sản phẩm từ 20 sản phẩm lô hàng có C =206 38760 cách, suy ra n  =( ) 38760

Gọi X là biến cố 6 sản phẩm lấy ả có không quá 1 phế phẩm Khi đó, ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: 6 sản phẩm lấy ra không có phế phẩm nào, có 6

Vậy thể tích khối nón xoay cần tìm là 500 375 2

30

3 4 5

45.0 4.2 3

3

3 4 5

85.0 4.1 3

31

Gọi n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB) Khi đó: n=OA OB, =(4; 8;8− ) (=4 1; 2; 2− )

Gọi ( ) là đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng (OAB)

Suy ra vectơ chỉ phương của ( ) : u=(1; 2; 2− )

Kết luận: Phương trình chính tắc của ( ) 1 1

Do ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD nên

tứ giác ABCD cũng nội tiếp đường tròn đường kính AD Gọi I là

trung điểm AD thì các tam giác IAB, IBC, ICD đều cạnh a và

Vậy với mọi m  thì đường thẳng d y: = + cắt đồ thị x m ( )C tại hai điểm phân biệt A và B Khi đó

(Đề thi có 06 trang)

(Đề có lời giải)

Môn: Toán Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ Hàm số đã cho đồng

biến trên khoảng nào dưới đây?

a a a

−

Câu 3 Phần ảo của số phức z= − là 2 3i

Câu 4 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị lớn nhất của hàm số y= f x( ) trên đoạn  1; 2 bằng

4log

1log

27 a

Câu 8 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) :x+ + − =y z 6 0 Điểm nào dưới đây không thuộc

A I −( 1; 2;1) và R = B 3 I(1; 2; 1− − ) và R = C 3 I −( 1; 2;1) và R = D 9 I(1; 2; 1− − ) và R = 9

Câu 10 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn  a b; Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hàm số y= f x( ), trục hoành, đường thẳng x=a và đường thẳng x= là b

A b ( )

a

b a

Câu 11 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

t

2 0

t

I e dx



=

Câu 14 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;1; 3 ,− ) ( B 4; 2;1) Véctơ nào dưới đây là véctơ chỉ

phương của đường thẳng đi qua hai điểm A và B?

A u = − −1 ( 2; 1; 4) B u =2 (2;1; 4) C u = −3 ( 2;1; 4− ) D u = −4 ( 2;1; 4)

Câu 15 Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 3 5

x y

x

−

=+ là

Câu 19 Cho hàm số bậc bốn y= f x( ) có đồ thị như trong hình bên Số

nghiệm phân biệt của phương trình f x =( ) 2 là

y x

x y x

+

=

21

a T a

+

=

21

a T a

−

=+

Câu 27 Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn cho hai số phức z1= +1 i và z2 = −3 5i Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB Khi đó M là điểm biểu diễn cho số phức nào dưới đây?

Việt Nam là 93 671 600 người (Tổng cục Thống kê, Niên giám thống kê 2017, Nhà xuất bản thống kê

Tr.79) Giả sử tỉ lệ tăng dân số hằng năm không đổi là 0,81%, dự báo dân số Việt Nam năm 2035 là bao

nhiêu người (kết quả làm tròn đến chữ số hàng trăm)?

1 109.10

−

10 2019

10 19.10

−

Câu 34 Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

Câu 35 Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AC=2a , SA vuông góc với đáy,

SA = , I là trung điểm của SB Thể tích của khối chóp S.ACI bằng a

a

312

a

39

Câu 39 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như

hình vẽ dưới đây Số cực trị của hàm số y= f ( )x là

Câu 40 Biết

ln 2 2 0

ln1

x x

Câu 41 Xét các số phức z thỏa mãn (z+2i) ( )z+ là số thuần ảo Biết rằng tập hợp tất cả các điểm 2

biểu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A (1; 1− ) B (− −1; 1) C (−1;1) D ( )1;1

Câu 42 Tập nghiệm của bất phương trình 9x+1−13.6x+4x+1 là 0

A (− − ; 2) (0;+) B ( )0; 2 C (−2; 0) D (−; 0) ( 2;+)

Câu 43 Một vật trang trí bằng pha lê gồm hai hình nón ( ) ( )H1 , H2 xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán

kính đáy và chiều cao tương ứng là r h r h1, 1, 2, 2 thỏa mãn 1 1 2, 1 1 2

r = r h = h (như hình vẽ) Biết thể tích toàn phần của toàn bộ khối pha lê là 100cm Thể tích của khối 3 ( )H1 bằng

Câu 47 Cho hình chóp S.ABCD có các mặt phẳng (SAB) (, SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng

(ABCD), đáy là hình thang vuông tại các đỉnh A và B, có AD=2AB=2BC=2 ,a SA=AC Khoảng

cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng

Câu 49 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y mx 4

x m

+

=+ nghịch biến trên khoảng (0; +)?

Câu 50 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn 0;7

Dựa vào đồ thị ta thấy hai đồ thị giao nhau tại 5 điểm

Vậy phương trình f x =( ) 2 có 5 nghiệm phân biệt

x x

y y

a a a

Câu 27: z1= + 1 i A( )1;1 , z2 = − 3 5i B(3; 5− ) nên tọa độ trung điểm M của AB là M(2; 2− )

Vậy điểm M biểu diễn cho số phức 2 2i−

Câu 28: Ta có f x ( ) 0 trên đoạn  a b; và f x ( ) 0 trên đoạn  b c; Vậy diện tích hình phẳng được

gạch chéo trong hình là c ( ) b ( ) c ( )

Câu 29: Tập xác định của hàm số 2 1

1

x y x

Câu 31: Từ năm 2017 đến năm 2035, số năm là n =2035 2017 18− =

Dân số Việt Nam năm 2035 là S=93671600.e18.0,0081108374700 (người)

Câu 32: Tứ giác ABCD là hình bình hành

Câu 34: Hình lăng trụ có 4 mặt đối xứng gồm:

 3 mặt là mặt phẳng chứa một cạnh bên và hai trung điểm của 2 cạnh đáy không chung đỉnh với cạnh bên đó

 Mặt phẳng chứa trung điểm của 3 cạnh bên của hình lăng trụ

Câu 35: Ta có .

.

12

Câu 36: Ta thấy hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC) là AC nên (SC ABC, ( ))=SCA

Mà AC= AB2+BC2 =2a nên tanSCA SA 1

AC

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 45

Câu 37: Tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh BC=4a suy ra

2

AI =BI =CI = a

Diện tích xung quanh của hình tròn xoay tạo thành khi quay tam

giác ABC quanh trục AI là diện tích xung quanh của hình nón có

đường cao AI, bán kính đáy R=BI =2a

Đường sinh AB=2 2a, suy ra S xq = R =4 2 a2

Câu 38: Mặt phẳng ( )P có véctơ pháp tuyến là n = P (2; 1; 1− − và đường thẳng d có véctơ chỉ phương là ) (1; 2; 3)