Điểm bất động bộ đôi và điểm trùng nhau bộ đôi của các ánh xạ kiểu α ᴪ co trong không gian mêtrich thứ tự

Bộ Giáo dục và Đào tạoTrường Đại học VinhNguyễn Xuân Quý Điểm bất động bộ đôi và điểm trùng nhau bộ đôi của các ánh xạ kiểu α -ψ -co trong không gian mêtric thứ tự Luận văn Thạc sỹ Toán

Bộ Giáo dục và Đào tạoTrường Đại học Vinh

Nguyễn Xuân Quý

Điểm bất động bộ đôi và điểm trùng nhau

bộ đôi của các ánh xạ kiểu α -ψ -co

trong không gian mêtric thứ tự

Luận văn Thạc sỹ Toán học

Nghệ An - 2017

Bộ Giáo dục và Đào tạoTrường Đại học Vinh

Nguyễn Xuân Quý

Điểm bất động bộ đôi và điểm trùng nhau

bộ đôi của các ánh xạ kiểu α -ψ -co

trong không gian mêtric thứ tự

Luận văn Thạc sỹ Toán họcChuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

Cán bộ hướng dẫn khoa họcPGS TS Trần Văn Ân

Nghệ An - 2017

Lời cảm ơnLuận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫntận tình chu đáo của thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân, tác giả xin bày tỏ sự biết

ơn sâu sắc tới Thầy Nhân dịp này em xin chân thành cám ơn Viện Sư phạm Tựnhiên, Phòng đào tạo Sau đại học, quý thầy, cô giáo trong tổ Giải Tích - Viện Sưphạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh đã tận tình giúp đỡ em trong quá trìnhhọc tập và hoàn thành luận văn Cuối cùng tôi xin chân thành cám ơn gia đình

và các anh chị học viên cao học khoá 23 Giải Tích tại Trường Đại học Vinh vàgia đình đã tạo điều kiện thuận lợi nhất để giúp tôi hoàn thành tốt nhiệm vụtrong quá trình học tập

Mặc dù đã tích cực đầu tư và có nhiều cố gắng trong nghiên cứu, thựchiện đề tài, song luận văn không tránh khỏi những sai sót Tác giả mong nhận

được những ý kiến đóng góp của quý Thầy, Cô và bạn đọc để luận văn đượchoàn thiện

Tác giả

Mục Lục

TrangMục lục iLời nói đầu iiiChương I Điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ kiểu α-ψ-co trong không

1.1 Các kiến thức chuẩn bị 1

1.2 Điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ kiểuα-ψ-co trong không gianmêtric thứ tự 14Chương II Điểm bất động bộ đôi và điểm trùng nhau bộ đôi của các ánh xạkiểuα-ψ-co trong không gian mêtric thứ tự 23

2.1 Điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ kiểu α-ψ-co suy rộng trongkhông gian mêtric thứ tự 23

2.2 Điểm trùng nhau bộ đôi của các ánh xạ kiểu α-ψ-co trong khônggian mêtric thứ tự 34

Mở đầu

Lý thuyết điểm bất động là sự kết hợp giữa Giải tích, Tôpô và Hình học Lýthuyết điểm bất động đã đóng góp vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu cáchiện tượng phi tuyến Đặc biệt, lý thuyết điểm bất động đã được áp dụng trongcác lĩnh vực đa dạng như Sinh học, Hóa học, Kinh tế, Kỹ thuật, Lý thuyết tròchơi và Vật lý Sự hữu ích của các ứng dụng càng tăng lên nhờ sự phát triển củakhoa học kỹ thuật, kỹ thuật máy tính để tính toán chính xác điểm bất động.Kết quả quan trọng đầu tiên phải kể đến trong lý thuyết điểm bất động

là nguyên lí ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ của Banach Sau đó,Nguyên lý ánh xạ co Banach đã trở thành một công cụ phổ dụng để giải quyếtcác bài toán về sự tồn tại trong nhiều chuyên ngành của Giải tích toán học và cónhiều ứng dụng quan trọng trong phương pháp số như Phương pháp Newton-Raphson, thiết lập các định lý liên quan đến sự tồn tại và tính duy nhất nghiệmcủa phương trình vi phân, sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân và hệphương trình tuyến tính Vì thế đã có một số lớn các mở rộng của định lý nàycho các lớp ánh xạ và không gian khác nhau, bằng cách điều chỉnh điều kiện cocơ bản hoặc thay đổi không gian

Năm 2006, Bhaskar và Lakshmikantham đã giới thiệu khái niệm điểm bất

động bộ đôi của các ánh xạ thỏa mãn tính đơn điệu trộn trong không gian mêtricthứ tự và thu được một số kết quả về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm của bàitoán giá trị biên tuần hoàn Năm 2009, Lakshmikantham và Ciri'c đã chứngminh định lý về điểm trùng nhau bộ đôi và điểm bất động bộ đôi của các ánhxạ co phi tuyến trong không gian mêtric đầy đủ thứ tự bộ phận Năm 2010,Chudhury và Kundu đã chứng minh các kết quả về điểm trùng nhau bộ đôi củacác ánh xạ tương thích trong các không gian mêtric đầy đủ Năm 2012, Samet

và cộng sự đã đưa ra khái niệm ánh xạ α-ψ-co, ánh xạα-chấp nhận và chứngminh các định lý điểm bất động cho các ánh xạ này trong không gian mêtric đầy

đủ Sau đó, Karapinar và Samet đã đưa ra khái niệm ánh xạ kiểuα-ψ-co và thu

được những kết quả mới về điểm bất động cho lớp các ánh xạ này

Mục đích của luận văn là nghiên cứu các định lý về điểm bất động bộ đôi củacác ánh xạ kiểuα-ψ-co, các định lý về điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ kiểu

α-ψ-co suy rộng, một số định lý điểm trùng nhau bộ đôi của các ánh xạ kiểu

α-ψ-co trong không gian mêtric thứ tự và một số ví dụ minh họa cho các kếtquả đó

Luận văn gồm 2 chương: Chương 1 với nhan đề Điểm bất động bộ đôi củacác ánh xạ kiểuα-ψ-co trong không gian mêtric thứ tự Trong chương này, ởmục 1 chúng tôi giới thiệu qua một số kiến thức làm cơ sở cho việc trình bàyluận văn bao gồm một số khái niệm: không gian mêtric, không gian mêtric đầy

đủ, không gian mêtric thứ tự, các ánh xạ kiểuα-ψ-co, ánh xạα-chấp nhận, ánh

xạα-ψ-co suy rộng, ánh xạα-ψ-co suy rộng loại I, ánh xạα-ψ-co suy rộng loại

II, ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn, ánh xạ tương thích, điểm bất động của ánhxạ, điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ co, điểm trùng nhau điểm bất động bộ

đôi của các ánh xạ co, một số kết quả về điểm bất động của các ánh xạ α-ψ-co

và một số ví dụ minh họa cho các kết quả đó Mục 2 dành để trình bày một số

định lý điểm bất động bộ đôi của các ánh kiểu α-ψ-co trên không gian mêtricthứ tự Chương 2 với nhan đề Điểm bất động bộ đôi và điểm trùng nhau bộ

đôi của các ánh xạ kiểuα-ψ-co trong không gian mêtric thứ tự Trong mục 1chúng tôi trình bày một số định lý về điểm bất động bộ đôi của ánh xạα-ψ-co,

ánh xạα-chấp nhận, ánh xạα-ψ-co suy rộng loại I, ánh xạα-ψ-co suy rộng loại

II trong không gian mêtric thứ tự và các hệ quả của chúng Mục 2 dành để trìnhbày một số định lý điểm trùng nhau bộ đôi của các ánh xạ đơn điệu trộn, ánhxạ kiểuα-ψ-co, ánh xạ α-chấp nhận cùng với các hệ quả của chúng và một số

ví dụ minh họa

Nghệ An, ngày 30 tháng 7 năm 2017

Nguyễn Xuân Quý

chương 1

Điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ kiểu

α - ψ -co trong không gian mêtric thứ tự

1.1 Các kiến thức chuẩn bị

Phần này chúng tôi giới thiệu qua một số kiến thức làm cơ sở cho việc trìnhbày của luận văn Các nội dung gồm: Không không gian mêtric, không gianmêtric đầy đủ, không gian mêtric thứ tự, các ánh xạ co, ánh xạ kiểuα-ψ-co, ánhxạα-chấp nhận, ánh xạα-ψ-co suy rộng, ánh xạα-ψ-co suy rộng loại I, ánh xạ

α-ψ-co suy rộng loại II, ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn, ánh xạ tương thích,

điểm bất động của ánh xạ, điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ co, điểm trùngnhau điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ co, một số kết quả về điểm bất độngcủa các ánh xạα-ψ-co và một số ví dụ minh họa cho các kết quả đó

1.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho tập hợpX Hàmd : X ì X → Rđược gọi là mộtmêtric trênX nếu thỏa mãn các điều kiện:

(1) d(x, y) ≥ 0với mọix, y ∈ X và d(x, y) = 0nếu và chỉ nếux = y.(2) d(x, y) = d(y, x)với mọix, y ∈ X

(3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)với mọix, y, z ∈ X

Tập X cùng với một mêtricd trên nó được gọi là một không gian mêtric

và kí hiệu là(X, d)hay đơn giản là X Số d (x, y) gọi là khoảng cách từ điểm

xđến điểmy

1.1.2 Ví dụ 1) Xét X = R Hàm d : R ì R → Rcho bởid (x, y) = |x − y|,với mọix, y ∈ R Khi đódlà một mêtric trênR

1.1.3 Định nghĩa ([1]) Cho không gian mêtric(X, d), dãy{xn} ⊂ X được gọi

là hội tụ về điểm x ∈ X nếu với mọi ε > 0 tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho với mọi

1.1.4 Nhận xét 1) Nếu dãy {xn}hội tụ thì nó là dãy Cauchy

2) Nếu dãy{xn}là dãy Cauchy trong không gian mêtricX và có dãy con{xnk}hội tụ về điểm x ∈ X thì dãy{xn}cũng hội tụ vềx

1.1.5 Định nghĩa ([1]) Không gian mêtric(X, d) được gọi là đầy đủ, nếu mọidãy Cauchy trong nó đều hội tụ

Tập con M của không gian mêtric (X, d)được gọi là đầy đủ, nếu khônggian conM với mêtric cảm sinh là không gian đầy đủ

1.1.6 Ví dụ 1) Tập hợp các số thựcRvới mêtric d (x, y) = |x − y|, x, y ∈ R

là không gian mêtric đầy đủ

2) Tập hợpRngồm tất cả các bộnsố thực, với mêtricd1(x, y),d2(x, y)làcác không gian mêtric đầy đủ

3) X = C[a, b] là tập hợp tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b] vớimêtricd(x, y) = max {|x(t) − y(t)| : t ∈ [a, b]}là không gian mêtric đầy đủ

4) lp = {x = (xn)n : P∞1 |xn|p < ∞}, p ≥ 1, với mêtric định bởi: x = (xn)n, y = (yn)n tronglp ta định nghĩa

.

(lp, d)là không gian mêtric đầy đủ

1.1.7 Định nghĩa ([1]) Cho các không gian mêtric (X, d) và (Y, ρ) ánh xạ

f : (X, d) → (Y, ρ)được gọi là ánh xạ co nếu tồn tạik ∈ [0, 1)sao cho

ρ[f (x) , f (y)] ≤ k d (x, y) , với mọix, y ∈ X.

1.1.8 Định lý ([1]) (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử (X, d)là không gian mêtric

đầy đủ,f : X → X là ánh xạ co từX vào chính nó Khi đó tồn tại duy nhất

điểmx∗ ∈ X sao cho f (x∗) = x∗

Điểmx∗ ∈ X có tính chấtf (x∗) = x∗ được gọi là điểm bất động của ánhxạf

1.1.9 Định nghĩa ([18]) Cho (X, ≤)là một tập được sắp thứ tự và F : X −→

X là một ánh xạ.ánh xạF được gọi là không giảm, nếu với mọix, y ∈ X, x ≤

y kéo theo F (x) ≤ F (y) Tương tự, F được gọi là không tăng, nếu với mọi

x, y ∈ X, x ≤ y kéo theoF (x) ≥ F (y)

Trong [8], T G Bhaskar và V Lakshmikantham đã đưa ra các khái niệmdưới đây về ánh xạ đơn điệu trộn và điểm bất động bộ đôi và thu được một sốkết quả sau

1.1.10 Định nghĩa ([18]) Cho (X, ≤) là một tập hợp được sắp thứ tự và F :

X ì X −→ X ánh xạ F được gọi là có tính chất đơn điệu trộn, nếu F đơn

điệu không giảm theo biến thứ nhất và đơn điệu không tăng theo biến thứ haicủa nó, nghĩa là với mọi x1, x2 ∈ X, x1 ≤ x2 suy ra F (x1, y) ≤ F (x2, y) với

bất kỳ y ∈ X và với mọiy1, y2 ∈ X, y1 ≤ y2 suy ra F (x, y1) ≥ F (x, y2) vớibất kỳx ∈ X.

1.1.11 Định nghĩa ([18]) Phần tử(x, y) ∈ X ì X được gọi là điểm bất động

bộ đôi của ánh xạF : X ì X −→ X nếuF (x, y) = xvàF (y, x) = y

1.1.12 Định nghĩa ([13]) Cho(X, ≤)là một tập có thứ tự Dãy{xn} ⊂ X đượcgọi là không giảm đối với quan hệ thứ tự≤ nếu xn ≤ xn+1, dãy {xn} ⊂ X

được gọi là không tăng đối với quan hệ thứ tự≤nếuxn ≥ xn+1với mọin ∈ N

1.1.13 Định lý ([8]) Cho (X, ≤)là một tập sắp thứ tự vàdlà một mêtric trên

X sao cho(X, d)là một không gian mêtric đầy đủ Giả sửF : X ì X −→ X

là ánh xạ liên tục có tính chất đơn điệu trộn trênX và giả sử tồn tạik ∈ [0, 1)sao cho

d (F (x, y), F (u, v)) ≤ k

2 [d(x, u) + d(y, v)] , với mọi x ≥ uvà y ≤ v.Nếu tồn tạix0, y0 ∈ X sao cho

x0 ≤ F (x0, y0) và y0 ≥ F (y0, x0),thì tồn tạix, y ∈ X sao cho F (x, y) = xvà F (y, x) = y

sử tồn tạik ∈ [0, 1)sao cho

d (F (x, y), F (u, v)) ≤ k

2 [d(x, u) + d(y, v)] , với mọi x ≥ uvà y ≤ v.

Nếu tồn tạix0, y0 ∈ X sao cho

x0 ≤ F (x0, y0) và y0 ≥ F (y0, x0),thì tồn tạix, y ∈ X sao cho F (x, y) = xvà F (y, x) = y

Trong [15], V Lakshmikantham và L Ciric đã mở rộng khái niệm ánh xạ

có tính chất đơn điệu trộn như sau

1.1.15 Định nghĩa ([15]) Cho(X, ≤)là một tập được sắp thứ tự và các ánh xạ

F : X ì X −→ X và g : X −→ X ánh xạ F được gọi là có tính chất g

-đơn điệu trộn nếuF là ánh xạg- đơn điệu không giảm theo biến thứ nhất và là

g- đơn điệu không tăng theo biến thứ hai của nó, nghĩa là với mọi x1, x2 ∈ X,

mà g(x1) ≤ g(x2) suy ra F (x1, y) ≤ F (x2, y), đối với bất kỳ y ∈ Y và vớimọi y1, y2 ∈ X, màg(y1) ≤ g(y2) suy raF (x, y1) ≥ F (x, y2), đối với bất kỳ

x ∈ X

Rõ ràng, nếu g là ánh xạ đồng nhất, thì từ Định nghĩa 1.1.15 ta thu được

Định nghĩa 1.1.10

1.1.16 Định nghĩa ([15]) Phần tử(x, y) ∈ X ìX được gọi là điểm trùng nhau

bộ đôi của các ánh xạF : X ì X −→ X vàg : X −→ X nếu F (x, y) = g(x)

vàF (y, x) = g(y)

1.1.17 Định nghĩa ([10]) Cho (X, d) là một không gian mêtric và các ánh xạ

F : X ì X −→ X và g : X −→ X Khi đó, F vàg được gọi là tương thíchnếu

lim

n→+∞d (g(F (xn, yn)), F (g(xn), g(yn))) = 0và

lim

n→+∞d (g(F (yn, xn)), F (g(yn), g(xn))) = 0với các dãy bất kỳ{xn}và{yn}trongX, sao cho lim

1.1.18 Định nghĩa ([13]) Cho (X, ≤) là một tập có thứ tự và d là một mêtrictrênX Ta nói rằng(X, ≤, d)là không gian chính quy, nếu với mọi dãy khônggiảm {xn} trong X mà xn −→ x ∈ X khi n −→ ∞ thì tồn tại một dãy con{xn(k)}của{xn}màxn(k) ≤ x, với mọik ∈ N.

1.1.19 Định nghĩa ([3]) Giả sử (X, ≤)là một tập khác rỗng được sắp thứ tự.Quan hệ thứ tự≤2 trênX2 = X ì X được xây dựng dựa vào quan hệ thứ tự

≤trênX theo cách sau:

(x, y), (u, v) ∈ X2, (x, y) ≤2 (u, v) ⇔ x ≤ u và y ≥ v (1.1)

Ta nói rằng phần tử (x, y) ∈ X2 so sánh được với phần tử (u, v) ∈ X2,nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện(x, y) ≤2 (u, v)hoặc (u, v) ≤2 (x, y).Dãy {(xn, yn)} ⊂ X2 là không giảm đối với thứ tự ≤2 trên X2 nếu(xn, yn) ≤2 (xn+1, yn+1), với mọin ∈ N

1.1.20 Định nghĩa ([3]) Cho không gian mêtric trên(X, d) TrênX2 ta xét cácmêtricd2, dmax : X2ì X2 → Rđược cho như sau: với mọi(x, y), (u, v) ∈ X2

d2((x, y), (u, v)) = d(x, u)+d(y, v); dmax((x, y), (u, v)) = max(d(x, u), d(y, v)).

Không gian (X2, ≤2, d2) được gọi là chính quy nếu với mọi dãy khônggiảm{(xn, yn)} ⊂ X2 mà(xn, yn) → (x, y) ∈ X2 khin → ∞,thì tồn tại dãycon(xn(k), yn(k)) của{(xn, yn)} thỏa mãn (xn(k), yn(k)) ≤2 (x, y), với mọi

k ∈ N

Bây giờ, với ánh xạF : X2 −→ X, ánh xạTF : X2 −→ X2 xác định bởi

TF(x, y) = (F (x, y), F (y, x)), với mọi(x, y), ∈ X2.Khi đó, ta dễ dàng thu được kết quả sau

1.1.21 Bổ đề ([3]) Các khẳng định sau luôn đúng:

(a) Nếu(X, d)là không gian đầy đủ, thì (X2, d2) và (X2, dmax) cũng đầy

đủ;

(b) ánh xạ F có tính chất đơn điệu trộn trên (X, ≤)nếu và chỉ nếu TF là

ánh xạ đơn điệu không giảm đối với thứ tự≤2;

(c) Điểm (x, y) ∈ X2 là điểm bất động bộ đôi của F nếu và chỉ nếu(x, y)

là điểm bất động củaTF

1.1.22 Ký hiệu ([17]) Ký hiệu Ψ là họ các hàm ψ : [0, +∞) −→ [0, +∞)không giảm sao

∞

X

n=1

ψn(t) < ∞với mọit > 0 trong đóψnlà tích của nhàmψ

và thỏa mãn các điều kiện

1.1.24 Định nghĩa ([12]) Cho (X, d) là không gian mêtric và T : X −→ X

là ánh xạ cho trước Ta nói rằng T là một ánh xạ α-ψ-co nếu tồn tại hai hàm

α : X ì X → [0, +∞)vàψ ∈ Ψsao cho

α(x, y) d(T x, T y) ≤ ψ(d(x, y)), với mọix, y ∈ X (1.2)

Rõ ràng rằng, một ánh xạ co bất kỳ (theo Định nghĩa 1.1.7 với hệ số k ∈ (0, 1)) đều là ánh xạ α-ψ-co vớiα(x, y) = 1với mọix, y ∈ X vàψ(t) = ktvớimọit ≥ 0

1.1.25 Định nghĩa ([12]) Cho T : X −→ X vàα : X ì X −→ [0, +∞) Tanói rằngT là ánh xạα-chấp nhận được, nếu với mọix, y ∈ X màα(x, y) ≥ 1thì ta cóα(T (x), T (y)) ≥ 1.

Năm 2012, Samet và cộng sự đã thu được các kết quả sau đây

1.1.26 Định lý ([21]) Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ và T :

X −→ X là ánh xạα-ψ-co Giả sử rằng

(i) T là α-chấp nhận được;

(ii) tồn tại x0 ∈ X sao choα(x0, T (x0)) ≥ 1;

(iii) T liên tục

Khi đó, tồn tạiu ∈ X sao cho T (u) = u

1.1.27 Định lý ([21]) Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ và T :

X −→ X là ánh xạα-ψ-co Giả sử rằng

(i) T là α-chấp nhận được;

(ii) tồn tại x0 ∈ X sao choα(x0, T (x0)) ≥ 1;

(iii) nếu {xn}là một dãy trong X sao cho α(xn, xn+1) ≥ 1 với mọi n ≥ 1

vàxn −→ x ∈ X khin −→ ∞, thì α(xn, x) ≥ 1với mọi n ≥ 1.Khi đó, tồn tạiu ∈ X sao cho T (u) = u

1.1.28 Định lý ([21]) Nếu thêm vào giả thiết của các Định lý 1.1.26 và Định

lý 1.1.27 điều kiện " Với mọix, y ∈ X tồn tại z ∈ X sao cho α(x, z) ≥ 1 vàα(y, z) ≥ 1", thì tồn tại duy nhất u ∈ X sao cho T (u) = u

Năm 2012, trong ([13]) các tác giả Karapinar và Samet đã mở rộng và tổngquát những kết quả trên bằng cách đưa ra các định nghĩa sau đây

1.1.29 Định nghĩa ([13] Cho (X, d)là một không gian mêtric và T : X → X

là một ánh xạ cho trước Ta nói rằngT là ánh xạ α-ψ-co suy rộng loại I, nếutồn tại hai hàmα : X ì X → [0, +∞)vàψ ∈ Ψsao cho với mọix, y ∈ X, tacó

α(x, y) d(T x, T y) ≤ ψ(M (x, y))

trong đóM (x, y) = max

n d(x, y), d(x, T x) + d(y, T y)

d(x, T y) + d(y, T x)

2

o

1.1.30 Định nghĩa ([13]) Cho(X, d)là một không gian mêtric và T : X → X

là một ánh xạ cho trước Ta nói rằng T là ánh xạ α-ψ-co suy rộng loại II nếutồn tại hai hàmα : X ì X → [0, +∞)vàψ ∈ Ψsao cho với mọix, y ∈ X, tacó

α(x, y) d(T x, T y) ≤ ψ(N (x, y))

trong đóN (x, y) = max

n d(x, y), d(x, T x) + d(y, T y)

2

o

1.1.31 Nhận xét Rõ ràng, từ tính chấtψkhông giảm ta suy ra mỗi ánh xạα-ψ

-co là một ánh xạα-ψ-co suy rộng loại I và loại II Đồng thời mỗi ánh xạ α-ψ-cosuy rộng loại II cũng là ánh xạα-ψ-co suy rộng loại I

1.1.32 Định lý ([13]) Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ Giả sửrằng T : X → X là một ánh xạ α-ψ-co suy rộng loại I ( tương ứng loại II)thỏa mãn các điều kiện sau

(i) T là ánh xạ α-chấp nhận được;

(ii) tồn tại x0 ∈ X sao choα(x0, T (x0)) ≥ 1;

(iii) T là liên tục

Khi đó, tồn tạiu ∈ X sao cho T (u) = u

1.1.33 Định lý ([13]) Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ Giả sửrằng T : X → X là một ánh xạ α-ψ-co suy rộng loại I (tương ứng loại II)thỏa mãn các điều kiện sau

(i) T là ánh xạ α chấp nhận được;

(ii) tồn tại x0 ∈ X sao choα(x0, T (x0)) ≥ 1;

(iii) nếu {xn} là một dãy trong X thỏa mãn α(xn, xn+1) ≥ 1 với mọi

n ∈ N và xn → x ∈ X khi n → ∞, thì tồn tại một dãy con {xn(k)}của{xn}sao cho α(xn(k), x) ≥ 1 với mọi k ∈ N

Khi đó, tồn tạiu ∈ X sao cho T (u) = u

Đối với tính duy nhất của điểm bất động của ánh xạ α-ψ-co suy rộng, taxét giả thiết sau đây, trong đó ký hiệu Fix(T) là tập hợp tất cả các điểm bất độngcủa ánh xạT

(H)Với mọix, y ∈Fix(T), tồn tạiz ∈ X sao choα(x, z) ≥ 1vàα(y, z) ≥

1.1.35 Định nghĩa ([21]) Cho các ánh xạF : X2 −→ X và α : X2 ì X2 −→ [0, +∞) ánh xạF được gọi làα-chấp nhận được nếu với mọix, y, u, v ∈ X,

ta có

α((x, y), (u, v)) ≥ 1 ⇒ α(F (x, y), F (y, x), F (u, v), F (v, u)) ≥ 1.

1.1.36 Định nghĩa ([14]) Cho (X, d) là một không gian mêtric thứ tự và ánhxạ F : X ì X → X ánh xạ F được gọi là α-co nếu tồn tại hai hàm α :

X2ì X2 −→ [0; +∞)vàψ ∈ Ψsao cho

α ((x, y), (u, v)) d (F (x, y), F (u, v)) ≤ ψ  d(x, u) + d(y, v)

2

 ,với mọix, y, u, v ∈ X, màx ≥ uvày ≤ v

1.1.37 Định nghĩa ([14]) Cho (X, d) là một không gian mêtric thứ tự và hai

ánh xạF : X ì X → X vàg : X → X Các ánh xạF vàg được gọi là (α-ψ)-conếu tồn tại hai hàmα : X2 ì X2 −→ [0; +∞)vàψ ∈ Ψsao cho

α ((g(x), g(y)), (g(u), g(v))) d (F (x, y), F (u, v)) ≤ d(g(x), g(u)) + d(g(y), g(v))

với mọix, y, u, v ∈ X,vớig(x) ≥ uvàg(y) ≤ g(v).

1.1.38 Định nghĩa ([14]) Cho các ánh xạF : X ì X −→ X, g : X −→ X và

α : X2ì X2 −→ [0; +∞) Các ánh xạF vàg được gọi là(α)-chấp nhận đượcnếu

α ((g(x), g(y)), (g(u), g(v))) ≥ 1 ⇒ α (F (x, y), F (u, v)) ≥ 1,

với mọix, y, u, v ∈ X

1.1.39 Định lý ([22]) Cho(X, d)là một không gian mêtric đầy đủ vàT : X →

X là một tự ánh xạ thỏa mãn bất đẳng thức:

ψ (d (T x, T y)) ≤ ψ (d (x, y)) − ϕ (d (x, y)) , với mọi x, y ∈ X,

trong đóψ, ϕ : [0, +∞) → [0, +∞)là các hàm liên tục, đơn điệu không giảm

vàψ(t) = ϕ(t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0 Khi đóT có một điểm bất động duynhất

1.1.40 Định nghĩa ([2]) Cho X là một tập khác rỗng, F : X ì X −→ X và

g : X −→ X.Ta nói rằngF vàg là giao hoán nếu

g(F (x, y)) = F (g(x), g(y)), với mọix, y ∈ X.

1.1.41 Định nghĩa ([2]) Cho tập hợp sắp thứ tựX được trang bị bởi mêtricd.

Ta nói rằngX có tính chất (∗)nếu các điều kiện sau thỏa mãn

(i) nếu một dãy không giảm{xn} −→ x, thìxn ≤ xvới mọin,

(ii) nếu một dãy không tăng{yn} −→ y, thì y ≤ ynvới mọin.

Bây giờ chúng tôi giới thiệu một số kết quả về điểm bất động thu được bởi

V Lakshmikantham, L Ciric và N V Luong, N X Thuan

1.1.42 Định lý ([15]) Cho(X, ≤)là một tập được sắp thứ tự và giả sử có mộtmêtric d trên X sao cho (X, d) là một không gian mêtric đủ Giả sử có mộthàm sốϕ : [0; ∞) −→ [0; ∞) với ϕ(t) < t và lim

r→t +ϕ(t) < t với mỗi t > 0 vàcũng giả sửF : X ì X −→ X và g : X −→ X sao choF có tính chấtg- đơn

(a) F là liên tục, hoặc (b) X có tính chất(∗).

Nếu tồn tạix0, y0 ∈ X sao cho

g(x0) ≤ F (x0, y0) và g(y0) ≥ F (y0, x0),thì tồn tạix, y ∈ X sao cho

g(x) = F (x, y) và g(y) = F (y, x),nghĩa là, F vàg có một điểm trùng nhau bộ đôi

1.1.43 Định lý ([16]) Cho (X, ≤) là một tập hợp được sắp thứ tự và giả sử

có một mêtricd trênX sao cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ Cho

F : X −→ X là một ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn trênX sao cho tồn tại

hai phần tử x0, y0 ∈ X với x0 ≤ F (x0, y0) và y0 ≥ F (x0, y0). Giả sử tồn tạicác hàmϕ, ψ : [0, ∞) −→ [0, ∞) sao cho

với mọix, y, u, v ∈ X với x ≥ uvà y ≥ v, trong đó

(i) ϕlà liên tục và không tăng,

(ii) ϕ(t) = 0nếu và chỉ nếut = 0,

(iii) ϕ(t + s) ≤ ϕ(t) + ϕ(s) với mọit, s ∈ [0, ∞),

và hàm sốψ thỏa mãn lim

t→rψ(t) > 0 với mọi r > 0và lim

t→0 +ψ(t) = 0.

Giả sử rằng hoặc

(a) F là liên tục hoặc (b) X có tính chất(∗).

Khi đó, tồn tạix, y ∈ X sao cho

x = F (x, y) vày = F (y, x),nghĩa làF có một điểm bất động bộ đôi trênX

1.2 Điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ kiểuα-ψ-co trongkhông gian mêtric thứ tự

Trong phần này chúng tôi trình bày một số kết quả về điểm bất động bộ

đôi các ánh xạ đơn điệu hỗn hợp trên không gian mêtric thứ tự, các hệ quả củachúng và các ví dụ minh họa

1.2.1 Định lý ([17]) Cho(X, ≤)là tập thứ tự và giả sử có một mêtric d trênXsao cho(X, d)là không gian mêtric đầy đủ ChoF : X ì X → X là một ánhxạ có tính đơn điệu trộn Giả sử rằng tồn tạiψ ∈ Ψvàα : X2ìX2 → [0, +∞)sao cho với mọi x, y, u, v ∈ X mà x ≥ u và y ≤ v điều kiện sau đây đượcthỏa mãn

α ((x, y), (u, v)) d (F (x, y), F (u, v)) ≤ ψ  d(x, u) + d(y, v)

2

 (1.3)

(iii) F liên tục

Khi đó, F có điểm bất động bộ đôi

Chứng minh Giả sửx0, y0 ∈ X thỏa mãn

α((x0, y0), (F (x0, y0), F (y0, x0))) ≥ 1, α ((y0, x0), F (y0, x0), F (x0, y0)) ≥ 1

và x0 ≤ F (x0, y0) và y0 ≥ F (y0, x0) Đặt x1 = F (x0, y0), y1 = F (y0, x0).Khi đó ta cóx0 ≤ x1 vày0 ≥ y1 Đặt x2 = F (x1, y1) vày2 = F (y1, x1) Tiếp

tục quá trình này ta có thể xây dựng được hai dãy{xn}vàyn trongX như sau

xn+1 = F (xn, yn) và yn+1 = F (yn, xn),với mọin ≥ 0

Ta sẽ chỉ ra rằng

xn ≤ xn+1, yn ≥ yn+1, với mọin ≥ 0 (1.4)

Để chứng minh điều này ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp toán học Với

n = 0, theo chứng minh trên ta cóx0 ≤ x1, y0 ≥ y1 Do đó, (1.4) đúng chotrường hợpn = 0 Bây giờ giả sử rằng (1.4) đúng với số tự nhiên n ≥ 0 Khi

đó, vìxn ≤ xn+1, yn ≥ yn+1 và nhờ tính đơn điệu trộn củaF, ta có

α ((x0, y0), (x1, y1)) = α ((x0, y0), (F (x0, y0), F (y0, x0))) ≥ 1

⇒ α ((F (x0, y0), F (y0, x0)) (F (x1, y1), F (y1, x1))) ≥ 1.Vì thế, bằng quy nạp toán học, ta có

α ((xn, yn), (xn+1, yn+1)) ≥ 1 (1.5)

và tương tự ta có

α ((yn, xn), (yn+1, xn+1)) ≥ 1, (1.6)

víi mäin ∈ N. Sö dông(1.3)vµ(1.5), ta thu ®­îc

Từ điều này ta suy ra rằng

Do đó{xn}và{yn}là dãy Cauchy trong(X, d) Do(X, d)là không gian mêtric

đầy đủ, nên{xn}và{yn}đều hội tụ trong(X, d) Vì vậy, tồn tạix, y ∈ X saocho lim

n→∞(xn) = xvà lim

n→∞(yn) = y.Vì F liên tục vàxn+1 = F (xn, yn) và yn+1 = F (yn, xn) lấy giới hạn khi

n → ∞,ta có

x = lim

n→∞xn = lim

n→∞F (xn−1, yn−1) = F (x, y)và

y = lim

n→∞yn = lim

n→∞F (yn−1, xn−1) = F (y, x).

Vì thế, ta cóF (x, y) = xvàF (y, x) = y và do đóF có điểm bất động bộ đôi

Trong định lý tiếp theo, chúng ta bỏ qua các giả thiết về tính liên tục của

ánh xạF

1.2.2 Định lý ([17]) Cho (X, ≤) là tập thứ tự và d là một mêtric trên X saocho(X, d)là không gian mêtric đầy đủ Cho ánh xạ F : X ì X → X là đơn

điệu trộn Giả sử tồn tạiψ ∈ Ψ và ánh xạ α : X2 ì X2 → [0, +∞) sao cho

α ((x, y), (u, v)) d (F (x, y), F (u, v)) ≤ ψ  d(x, u) + d(y, v)

2

 ,

với mọix, y, u, v ∈ X mà x ≥ uvà y ≤ v Giả sử rằng

(i) các điều kiện (i) và (ii) của Định lý 1.2.1 vẫn con đúng;

(ii) nếu {xn}, và{yn}là hai dãy trong X sao cho

Khi đó, tồn tại x, y ∈ X mà F (x, y) = x và F (y, x) = y, nghĩa là,F có

điểm bất động bộ đôi trong X

Chứng minh Bằng cách chứng minh tương tự như trong chứng minh Định

lý 1.2.1, ta có{xn}, {yn}là dãy Cauchy trong không gian mêtric đầy đủ(X, d).Khi đó, tồn tạix, y ∈ X sao cho

< d (xn, x) + d (yn, y)

2 + d(xn+1, x).

Tương tự như vậy, sử dụng(1.11), ta thu được

d (F (y, x), y) ≤ d(F (y, x), F (yn, xn)) + d(yn+1, y)

≤ α ((yn, xn), (y, xy)) d (F (yn, xn), F (y, x)) + d(yn+1, y)

≤ ψ  d (yn, y) + d (xn, x)

2

 + d(yn+1, y)

< d (yxn, y) + d (xn, x)

2 + d(yn+1, y).

Lấy giới hạn khin → ∞trong hai bất đẳng thức trên, ta có

d (F (x, y), x) = 0 và d (F (y, x), y) = 0.

Vì thế,F (x, y) = xvàF (y, x) = y, nghĩa là F có điểm bất động bộ đôi

1.2.3 Định lý ([17]) Ngoài các giả thiết của Đinh lý 1.2.1, giả sử rằng với mọi(x, y), (s, t) ∈ X ì X, tồn tại (u, v) ∈ X ì X, sao cho thỏa mãn điều kiện

α ((x, y), (u, v)) ≥ 1 và α ((s, t), (u, v)) ≥ 1

và cũng giả sử rằng (u, v) là so sánh được với (x, y) và (s, t) Khi đó, F códuy nhất điểm bất động bộ đôi

Chứng minh Từ Định lý 1.2.1, tập hợp các điểm bất động bộ đôi là khácrỗng Giả sử(x, y), (s, t)là các điểm bất động bộ đôi của ánh xạF : X ì X →

X, nghĩa làx = F (x, y), y = F (y, x)vàs = F (s, t), t = F (t, s) Nhờ giả thiếttồn tại(u, v)trong X ì X mà (u, v)so sánh được với x, y)và (s, t) Đặtu =

u0, v = v0 và chọnu1, v1 ∈ X sao cho u1 = F (u0, v0)vàv1 = F (v0, u0) Nhưvậy, ta có thể thành lập được 2 dãy{un}và{vn}như sauun+1 = F (un, vn)và

vn+1 = F (vn, un)với mọi n ∈ N, n ≥ 0.Do(u, v)so sánh được với(x, y)nên

dễ dàng thấy rằngx ≤ u1 vày ≥ v1 Vì thếx ≤ un vày ≥ vn với mọin ≥ 1.Vì với mỗi(x, y), (s, t) ∈ X ì X, tồn tại(u, v) ∈ X ì X sao cho

α ((x, y), (u, v)) ≥ 1 và α ((s, t), (u, v)) ≥ 1 (1.12)