Một số tính chất của hệ nghiệm
Chương 2 tập trung vào lý thuyết cấu trúc của đại số Lie nửa đơn và biểu diễn bất khả quy của chúng theo trọng và vectơ trọng Nội dung được phân loại thành các phần, bao gồm việc phân loại đại số nửa đơn và sử dụng phần mềm trực tuyến Lie để liệt kê các biểu diễn bất khả quy cho đại số Lie nửa đơn có số chiều thấp.
Biểu diễn trực giao và đối ngẫu
2.5 Biểu diễn bất khả quy của đại số Lie sl 2
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của Thầy giáo TS Nguyễn Quốc Thơ Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy vì sự hỗ trợ quý báu trong suốt quá trình hoàn thành luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy (Cô) trong Chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, cùng với các Thầy (Cô) trong ngành Toán của Viện Sư phạm tự nhiên, Phòng đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu và các Phòng ban chức năng của Trường ĐH Vinh đã hỗ trợ tác giả trong quá trình hoàn thành nhiệm vụ học viên cao học Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các Thầy (Cô) và đồng nghiệp nơi tác giả giảng dạy đã tạo điều kiện thuận lợi, cổ vũ và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, những người đã là chỗ dựa tinh thần vững chắc giúp tác giả vượt qua khó khăn trong quá trình học tập Món quà tinh thần này được dành tặng cho gia đình yêu quý Mặc dù đã nỗ lực hết mình, luận văn vẫn còn một số hạn chế do năng lực còn hạn chế Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ các nhà khoa học và đồng nghiệp để hoàn thiện luận văn tốt hơn.
Nghệ An, ngày 5 tháng 7 năm 2017
Chương 1 Đại số Lie nửa đơn
Trong chương này, chúng tôi hệ thống hóa các khái niệm cơ bản và tổng quát về đại số Lie, đại số Lie nửa đơn, đại số Cartan và hệ nghiệm.
1.1 Đại số Lie nửa đơn
Không gian vectơ G trên trường K được định nghĩa là một đại số Lie nếu nó được trang bị một phép nhân gọi là tích Lie.
(X, Y) 7−→ [X, Y] sao cho các điều kiện sau đây thỏa mãn:
L 1 Tích Lie là toán tử song tuyến tính, tức là:
L 2 Tích Lie phản xứng, tức là:[X, Y] = −[Y, X],[X, X] = 0, ∀X, Y ∈ G.
L 3 Tích Lie thỏa mãn đẳng thức Jacôbi, tức là:
Số chiều của đại số Lie G chính là số chiều của không gian vectơ G. Đại số Lie G được gọi là giao hoán nếu [X, Y] = [Y, X],∀X, Y ∈ G.
Ví dụ 1 Cho (A, ) là đại số kết hợp trên trường K Ta định nghĩa phép toán
Khi đó (A,[−,−]) trở thành một đại số Lie trên trường K Nói riêng ta có đại số
M at(n,K) các ma trận vuông cấp n phần tử trên K là môt đại số Lie với tích Lie được xác định:
[A, B] = A.B−B.A, ∀A, B ∈ M at(n,K), trong đó phép nhân ''.'' là phép nhân các ma trận Đại sốM at(n,K) được ký hiệu là gl(n,K) hay đơn giản là gl(n).
Ví dụ 2 Các không gian vectơ dưới đây đều là các đại số Lie với tích Lie được xác định: [A, B] = AB −BA, vớiA, B là các ma trận vuông cấpn.
(1) Đại số Lie tuyến tính đặc biệt sl n = {A ∈ M at(n,K) | T r(A) = 0}
(2) Đại số Lie trực giao o(n) ={A ∈ M at(n,K) | A+A T = 0}
(3) Đại số Lie unitary u n = {A ∈ M at(n,K) | A+A ∗ = 0}
(4) Đại số Lie unitary đặc biệtsu n = {A∈ u n | T r(A) = 0}
Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều trên C Xét A = End(V) là đại số các toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V Khi đó, End(V) trở thành một đại số Lie, với tích Lie được xác định.
Đại số Lie tuyến tính tổng quát được định nghĩa qua phép toán [f, g] = g.f − f.g cho mọi f, g thuộc End(V), trong đó phép nhân '' '' là phép hợp thành hai toán tử tuyến tính trên không gian V Khi hiểu A là một đại số Lie, ta ký hiệu gl(V) thay cho End(V) Nếu cố định một cơ sở của V, ta có thể đồng nhất gl(V) với gl(n,C), tức là đại số các ma trận vuông cấp n với các phần tử trên C, và có dimgl(V) = dimgl(n,C) = n² Phép hợp thành hai toán tử tuyến tính trên V tương ứng với phép nhân của hai ma trận Từ đó, ta xác định tích Lie trên gl(n,C).
Cơ sở {e ij} của không gian ma trận gl(n,C) được định nghĩa với mỗi ma trận e ij có phần tử tại vị trí (i, j) bằng 1 và các phần tử khác bằng 0 Phép nhân giữa hai ma trận trong cơ sở này được quy định là e ij e kl = δ jk e il, trong đó δ jk là 1 nếu k = j và 0 nếu k khác j.
0nếu k 6= j là ký hiệu Kronecker.
Để xác định tích Lie trong không gian tuyến tính, ta chỉ cần dựa vào cơ sở {e_ij} Cụ thể, công thức cho tích Lie được biểu diễn như sau: e_ij, e_kl = e_ij e_kl - e_kl e_ij = δ_jk e_il - δ_li e_kj, trong đó các thành phần của ma trận là 0, 1 và -1.
Ví dụ 4 ChoAlà đại số trên trườngKvà ϕ∈ End K (A).Khi đó toán tử tuyến tính ϕ: A −→ Ađược gọi là toán tử vi phân trên Anếu nó thỏa mãn công thức Leibniz: ϕ(x.y) =ϕ(x).y −x.ϕ(y).
Tập các toán tử vi phân trênAđược ký hiệu là Der(A) Khi đó ∀ϕ, ϕ 0 ∈ Der(A), ta cã:
Do đó[ϕ, ϕ 0 ] ∈ Der(A) Vậy Der(A) là đại số Lie con của gl(A).
Đại số Lie G và không gian vectơ con H của G được định nghĩa là H là đại số Lie con của G nếu H đóng với tích Lie.
Ví dụ 5 Xét đại số Liegl(n) Ký hiệu sl(n) = nA = [a ij ] n ∈ gl(n) | T r(A) : n
X i=1 a ii = 0o là tập hợp các ma trận vuông cấp n, phần tử phức và có vết bằng không Khi đó sl(n) là không gian vectơ con củagl(n),vì:
T r([A, B]) = T r(AB−BA) =T r(AB)−T r(BA) = 0,∀A, B ∈ sl(n,C).
Vậy, sl(n) là đại số Lie con của gl(n).
1.1.3 Định nghĩa ChoG là đại số Lie và I là không gian vectơ con của G.Không gian conI được gọi là iđêan củaG, nếu:
Ví dụ 6 Cho G là đại số Lie ĐặtZ(G) = {z ∈ G | zx = xz,∀x ∈ G} gọi là tâm củaG Khi đó Z(G) là iđêan của G Ta có G giao hoán khi và chỉ khi Z(G) = G.
Ví dụ 7 Cho I,J là hai iđêan của đại số Lie G Khi đó:
[I,J] = nXx i y j | x i ∈ I, y j ∈ Jo cũng là iđêan củaG.
Đại số dẫn xuất của nhóm G, ký hiệu là [G,G] = {[x, y] | x, y ∈ G}, có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết nhóm Nhóm G được gọi là giao hoán nếu và chỉ nếu [G,G] = 0 Nếu đại số G không có iđêan nào khác ngoài hai iđêan tầm thường {θ} và G, thì G được xem là đơn, tức là [G,G] 6= {θ} Ngoài ra, nếu G là đơn, thì trung tâm của G, Z(G), sẽ bằng {θ} và [G,G] sẽ bằng G.
Đại số Lie G và iđêan thực sự I khác không của G cho phép chúng ta xem xét không gian vectơ thương G/I, trong đó mỗi phần tử có dạng x+I với x thuộc G Không gian này G/I cũng trở thành một đại số Lie, với tích Lie được xác định rõ ràng.
[x+I, y+I] = [x, y] +I ∀x+I, y+I ∈ G/I. Đại số Lie G/I xây dựng như trên được gọi là đại số Lie thương của đại số Lie G theo iđêanI.
N G (K) là chuẩn tắc hóa của đại số con K trong đại số Lie G, được định nghĩa là N G (K) = {x ∈ G | [x,K] ⊂ K} Nó không chỉ là đại số con của G mà còn là đại số con lớn nhất của G chứa K như một iđêan Thật vậy, nếu x, y ∈ N G (K), thì điều này cho thấy N G (K) giữ vai trò quan trọng trong cấu trúc của đại số Lie G.
∀k ∈ K : [x, k],[y, k] ∈ K, ta có theo đồng nhất thức Jacôbi
Ngoài ra, theo định nghĩa thì K là iđêan của N G (K), và cũng theo định nghĩa của N G (K) thì N G (K) là đại số con lớn nhất của G chứa K như một iđêan Khi
K = N G (K), ta gọi K là tự chuẩn tắc.
Tâm của tập hợp con X ⊂ G, ký hiệu là C G (X), được xác định như sau:
C G (X) = {x ∈ G | [x, X] = θ} Theo đồng nhất thức Jacôbi, tương tự trên, ta có C G (X) là đại số con củaG Khi X = G, thì C G (G) = Z(G).
1.1.5 Định nghĩa Cho G 1 ,G 2 là hai K− đại số Lie và φ : G 1 −→ G 2 là một ánh xạ Khi đó ánh xạ φ được gọi là đồng cấu đại số Lie nếu:
(i) φ là ánh xạ K−tuyến tính,
(ii) φ bảo tồn tích Lie, tức là: φ([x, y]) = [φ(x), φ(y)] ∀x, y ∈ G 1
Nếu φ là đồng ánh (toàn ánh hoặc song ánh), thì đồng cấu đại số Lie φ được gọi là đơn cấu (toàn cấu hoặc đẳng cấu) đại số Lie Các đại số Lie trên trường K tạo thành một phạm trù, trong đó các cấu xạ chính là các đồng cấu đại số Lie.
Nếu φ :G 1 −→ G 2 ,là đồng cấu đại số Lie, thì Kerφlà iđêan của G 1 còn Imφ là đại số con củaG 2 Thật vậy:
∀x ∈ Kerφ, y ∈ G 1 , ta có [y, x] ∈ Kerφ, vì φ([y, x] = [φ(y), φ(x)] = 0và với φ(x), φ(y) ∈ Imφ th× [φ(x), φ(y)] = φ([x, y]) ∈ Imφ.
Đại số Lie G và không gian vectơ K V được liên kết thông qua một biểu diễn đồng cấu φ : G −→ gl(V) Trong bối cảnh này, G tác động lên V, tạo ra một mối quan hệ quan trọng giữa hai khái niệm này.
V hoặc V là một G− không gian hoặc là mộtG− môđun.
Theo định nghĩa của tích Lie [., ]trong gl(V), ta có φ là một biểu diễn của đại số Lie G trên V nếu:
Biểu diễn bất khả quy của sl 2
Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu danh sách các biểu diễn bất khả quy V với dim V = d của đại số Lie nửa đơn và phân tích biểu diễn Λ 2 V Chúng tôi sử dụng phần mềm trực tuyến LiE để thực hiện các phép tính và thu được kết quả cần thiết Các ký hiệu sử dụng trong chương trình tương tự như những ký hiệu đã được trình bày trước đó.
Để xây dựng biểu đồ Dynkin, trước tiên cần chọn các nghiệm đơn α1, α2, , αd Các đỉnh trong biểu đồ sẽ được gán nhãn tự nhiên bằng các nghiệm này, và các trọng cơ bản ω1, ω2, , ωd sẽ được xác định hoàn toàn Biểu diễn bất khả quy tương ứng với các trọng n1ω1 + n2ω2 + + ndωd được ký hiệu là [n1, n2, , nd] Đặc biệt, ký hiệu [0, 0, , 0] dùng để chỉ biểu diễn tầm thường một chiều.
Trong luận văn này, chúng tôi thực hiện tính toán tường minh các biểu diễn bất khả quy cho đại số Lie A1 = sl2 Được biết, có hai nhóm Lie liên thông với sl2 là SL2 và PSL2.
Nhóm Lie thứ nhất SL 2 có biểu diễn tự nhiên W, từ đó sinh ra một biểu diễn tự nhiên của sl 2 Tất cả các biểu diễn khác của sl 2 đều được tạo ra từ W thông qua các phép toán đại số tuyến tính như tích tensor, tích ngoài, hàm tử Hom, và phép lấy ngẫu nhiên Đối với nhóm Lie P SL 2, các biểu diễn bất khả quy được xác định bởi tập hợp {[2n] | n ≥ 0} Các biểu diễn này cũng cảm sinh một cách tự nhiên, cho phép các biểu diễn của sl 2 và các biểu diễn khác của sl 2 được sinh ra từ các biểu diễn dạng này thông qua các phép toán đại số tuyến tính đã nêu.
Chẳng hạn, ta có thể thu được biểu diễn [2] từ biểu diễn [2n] với n > 1 Thật vËy, ta cã Λ 2 [2n] = ⊕ n k=1
Tương tự như trên, ta xét biểu diễn [2n + 1] với n > 0 Khi đó ta có sym 2 [2n+ 1] = n+1 ⊕ k=1
[4k−2] và do đó ta thu được biểu diễn [2].
Hơn nữa, từ [2]⊗[2k + 1] = [2k−1] ⊕[2k + 1]⊕[2n+ 3] ta thu được biểu diễn[2k −1] Theo cách này, biểu diễn [1] có được từ biểu diễn [2n+ 1] qua các phép toán của đại số tuyến tính.
Các công thức tính toán được trình bày trong bài viết này được phát triển từ các tính chất của tích tensor Đối với đại số Lie sl n với n > 2, chúng ta sẽ không xem xét phép đối ngẫu của các biểu diễn và cũng sẽ bỏ qua phép tích phân đối xứng Để phân biệt các biểu diễn khác nhau, chúng ta sẽ phân tích chúng thông qua lũy thừa bậc hai đối xứng (sym 2) và lũy thừa bậc hai của tích ngoài (Λ 2).
Chúng tôi tiến hành tính toán cho các biểu diễn có thể được thể hiện qua các biểu diễn có chiều thấp hơn Kết quả được trình bày trong bảng phân loại các biểu diễn bất khả quy với chiều d ≤ 6, bao gồm đại số Lie và biểu diễn Λ² sym².
Sau đây cho ta bảng các biểu diễn bất khả quy có chiều từ 7−11.
• sl 3 biÓu diÔn [1,1] (dim 8), biÓu diÔn[3,0] (dim10)
• sl 2 ×sl 2 biÓu diÔn[1]⊗[3] (dim 8), biÓu diÔn[2]⊗[2] (dim 9), víi biÓu diÔn[1] ⊗[4] (dim 10)
• sl 2 ×sl 3 biÓu diÔn[2]⊗[1,0] (dim 9)
• sl 2 ×sl 4 biÓu diÔn[1]⊗[1,0,0] (dim 8)
• sl 2 ×sp 4 biÓu diÔn [1]⊗[1,0] (dim8), biÓu diÔn [1]⊗[0,1] (dim10)
• sl 2 ×sl 5 biÓu diÔn[1]⊗[1,0,0,0] (dim 10)
• sl 3 ×sl 3 biÓu diÔn[1,0] ⊗[1,0] (dim 9)
• sl 2 ×sl 2 ×sl 2 biÓu diÔn [1]⊗[1]⊗[1] (dim8)
Luận văn đã tìm hiểu và trình bày một số vấn đề sau:
1 Trình bày tổng quan về lý thuyết đại số Lie và các khái niệm liên quan.
2 Trình bày chi tiết biểu diễn của sl 2 , mô tả chi tiết biểu diễn bất khả quy của sl 2 theo trọng và hệ nghiệm.
3 Trình bày chi tiết lý thuyết cấu trúc của đại số Lie nửa đơn.
Lý thuyết biểu diễn bất khả quy của các đại số Lie nửa đơn liên quan đến việc phân tích các trọng và vectơ trọng, giúp xác định cấu trúc và tính chất của các đại số này Việc phân loại các đại số Lie nửa đơn được thực hiện dựa trên các yếu tố như số chiều, đặc trưng và mối quan hệ giữa chúng, từ đó cung cấp cái nhìn sâu sắc về cách chúng tương tác và ứng dụng trong các lĩnh vực toán học và vật lý.
Sử dụng phần mềm trực tuyến Lie để tính toán và lập bảng kết quả cho các đại số Lie nửa đơn có số chiều không quá 11, giúp liệt kê các biểu diễn bất khả quy một cách hiệu quả.