LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, được xác định bởi hai điểm: điểm đầu A và điểm cuối B Khi chọn A làm điểm đầu và B là điểm cuối, đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B, tạo thành một vectơ.
Nếu chỉ rõ điểm đầu là A và điểm cuối là B, ta có
Nếu không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối, ta dùng cỏc chữ cỏi thường để kớ hiệu Vớ dụ #ằa ,#ằ b ,#ằx ,
1.1.2 Vectơ cùng phương, cùng hướng Định nghĩa 1.1.3 Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ đó.
Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Khi hai vectơ cùng phương, chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
• Cỏc cặp vec tơ cựng phương: #ằa và #ằ b; #ằa và #ằ f; #ằ d và #ằe,
• Cỏc cặp vec tơ cựng hướng: #ằa và #ằ b; #ằc và #ằ d.
• Cỏc cặp vec tơ ngược hướng: #ằa và #ằ f; #ằc và #ằe; #ằ d và #ằe;
1.1.3 Vectơ bằng nhau Định nghĩa 1.1.4 Độ dài vectơ là khoảng cách từ điểm đầu đến điểm cuối của vec tơ đó.
Chú ý. Độ dài #ằa, kớ hiệu|#ằa|; Độ dài # ằ
AB|. Vec tơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.
Hai vec tơ bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ lớn.
Ví dụ:Cho hình bình hành ABCD tâm O, ta có vài kết quả sau
1.1.4 Vectơ-không Định nghĩa 1.1.5 Véc-tơ không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
BB ; Độ dài vectơ-không bằng0, nghĩa là
Qui ước:Vec tơ-không cùng phương và cùng hướng với mọi véc tơ.
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 1.1 Xác định một véc-tơ
Cho bốn điểm phân biệtA,B,C,D Xác định được bao nhiêu véc-tơ khác véc-tơ-không có đỉnh là các điểm nói trên.
Các véc-tơ khác véc-tơ-không có đỉnh là các điểmA,B,C,Dlà
AB,BA,AC,CA,AD,DA,BC,CB,BD,DB,CD,DC.
Cho ba điểm A, B, C phân biệt Có tất cả bao nhiêu véc-tơ khác véc-tơ- không và có điểm đầu, điểm cuối là hai điểm trong ba điểmA,B,C ?
Dạng 1.2 Sự cùng phương và hướng của hai véc-tơ
Chọn mệnh đề saitrong các mệnh đề sau đây.
A #ằ0 cựng hướng với mọi vộc-tơ B #ằ0 cựng phương với mọi vộc-tơ.
>0là mệnh đề sai, vì khiA≡B thì
Cho ba điểm phõn biệtA, B, C sao cho # ằ
AC ĐiểmAnằm trong đoạnBC thìk phải thỏa mãn
Lời giải Điểm Anằm trong đoạnBC sao cho # ằ
AC thỡ hai vộc-tơ # ằ
Cho hai vộc-tơ #ằa và #ằ b là cỏc vộc-tơ khỏc #ằ
0 và #ằa là vộc-tơ đối của #ằ b Chọn khẳng định sai?
A #ằa và #ằ b cựng độ dài B #ằa và #ằ b ngược hướng.
C #ằa và #ằ b cựng phương D #ằa và #ằ b cùng hướng.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Có vô số vectơ cùng phương với mọi véc-tơ.
B Không có vectơ nào cùng phương với mọi véc-tơ.
C Có ít nhất 2 vectơ cùng phương với mọi véc-tơ.
D Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi véc-tơ.
0 cùng phương, cùng hướng với mọi véc-tơ.
Cho ba vektơ #a, #b, #c đều khác nhau và biết rằng hai vektơ #a, #b cùng ngược hướng với vektơ #c Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
A #ằa = #ằ b B #ằa và #ằ b ngược hướng.
C #ằa và #ằ b cựng hướng D |#ằa|
Hai véc-tơ cùng ngược hướng với một véc-tơ khác véc-tơ-không thì cùng hướng với nhau.
Ví dụ 6 Cho vộc-tơ # ằ
M N 6= #ằ0 Số vộc-tơ cựng phương với vộc-tơ # ằ
Có vô số véc-tơ cùng phương với một véc-tơ khác véc-tơ-không cho trước.
Dạng 1.3 Hai véc-tơ bằng nhau, độ dài của véc-tơ
AB khỏc #ằ0 và cho điểmC Cú bao nhiờu điểmDthỏa
C 2điểm D Không có điểm nào.
Suy ra tập hợp các điểmDlà đường tròn tâmC bán kínhAB.
Cho hình bình hànhABCD GọiOlà giao điểm củaAC vàBD Hãy chọn khẳng định đúng.
Ta cú: O là trung điểm củaAC ⇒ # ằ
Cho4ABC vuông cân tạiA,H là trung điểmBC, đẳng thức nào sau đây là đúng?
AC sai vỡ hai vộc-tơ # ằ
CH sai vỡ hai vộc-tơ # ằ
AH sai vỡ hai vộc-tơ # ằ
HC đúng vìHlà trung điểm của BC.
Cho tam giỏc ABC cõn tại A, cạnh AB = 5, BC = 8 Độ dài của vộc-tơ # ằ
GọiAH là đường cao của tam giácABC đã cho.
Cho hình bình hànhABCD Trong các khẳng định sau hãy tìm khẳng địnhsai?
Cho ba điểm phân biệt A,B,C thẳng hàng Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây làđúng?
Ba điểmA,B,C phõn biệt thẳng hàng thỡ # ằ
Ví dụ 7 Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để # ằ
A AB vàAB //CD B ABDC là hình bình hành.
C ADvàBC có cùng trung điểm D ABCD là hình bình hành.
Xét từng phương án, ta có
Phương ỏn “AB = CD và AB //CD” sai vỡ khiAB = CD và AB //CD thỡ # ằ
CD có thể không cùng hướng Chẳng hạn, trong hình bình hànhABCD.
Các phương án “ABDC là hình bình hành”, “ABCD là hình bình hành” đều sai vì khi # ằ
CD thì bốn điểmA, B, C, D có thể thẳng hàng.
Vậy phương án “ADvàBC có cùng trung điểm” là đúng Thật vậy, gọiIlà trung điểm của
ADvàK là trung điểm củaBC ta có
Cho tam giácABC vàM là một điểm không thuộc các cạnh của tam giác GọiD, E,
F lần lượt là trung điểm củaAB,BC,CA Vẽ điểmP đối xứng vớiM quaD, điểmQ đối xứng vớiP quaE, điểmN đối xứng vớiQquaF Chứng minh rằng # ằ
Theo giả thiết ta cú tứ giỏc AN CQlà hỡnh bỡnh hành Suy ra # ằ
Theo giả thiết ta cú tứ giỏc AM BP là hỡnh bỡnh hành Suy ra # ằ
Theo giả thiết ta cú tứ giỏc P BQC là hỡnh bỡnh hành Suy ra # ằ
Trong tam giác ABC, ta vẽ các điểm D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của A, B, C qua B, C, A Gọi G là giao điểm của trung tuyến AM của tam giác ABC và trung tuyến DN của tam giác DEF Đồng thời, I và K là trung điểm của GD và GA Cần chứng minh rằng a không bằng ằ.
G V : LÊ QU AN G XE a Xét tam giácF CE cóN,A lần lượt là trung điểm củaF E vàF C nên
Hơn nữaN A//EC, màEC ≡M B nênN A//M B.
Suy ra tứ giácABM N là hình bình hành.
N M. b Xét tam giácGADcóI,K lần lượt là trung điểm GD,GAnên IK = 1
2AD. Lại cóAB=N M Suy raIK =M N.
DoABM N là hình bình hành nênAB//M N.
Do đó tứ giácIKN M là hình bình hành.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN THEO MỨC ĐỘ
Câu 1 Cho ba điểmA, B, C phân biệt Có tất cả bao nhiêu véc-tơ khác véc-tơ – không có điểm đầu, điểm cuối là hai điểm trong ba điểmA, B, C?
Hỷỳỏng dờợn: Cỏc vộc-tơ cần tỡm là: # ằ
CB, có6véc-tơ thỏa mãn. Chọn đáp án D
Câu 2 Cho ngũ giácABCDE Có bao nhiêu véc-tơ khác véc-tơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của ngũ giác đó.
Câu 3 Chọn khẳng định đúng.
A Véc-tơ là một đoạn thẳng không phân biệt điểm đầu và điểm cuối.
B Véc-tơ là một đoạn thẳng có hướng.
C Véc-tơ là một đường thẳng có hướng.
D Véc-tơ là một đoạn thẳng.
Cõu 4 Cho tứ giỏc ABCD Cú bao nhiờu vộc-tơ khỏc #ằ
0 có điểm đầu, điểm cuối là hai trong số bốn đỉnh của tứ giác?
Hỷỳỏng dờợn: Cú12vộc-tơ, gồm: # ằ
Câu 5 Điền từ thích hợp vào dấu ( ) để được mệnh đề đúng.
Hai véc-tơ ngược hướng thì
A Bằng nhau B Cùng độ dài.
C Cùng phương D Cùng điểm đầu.
Câu 6 Cho lục giác đềuABCDEF tâm O Số các véc-tơ khác véc-tơ không, cùng phương với # ằ
OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là
Cỏc vộc-tơ thỏa món yờu cầu bài toỏn là: # ằ
Câu 7 Cho ba điểm M, N,P thẳng hàng, trong đó điểm N nằm giữa hai điểm M và P. Khi đó các cặp véc-tơ nào sau đây cùng hướng?
Từ hỡnh vẽ trờn ta thấy # ằ
M P là hai véc-tơ cùng hướng.
Cõu 8 Cho lục giỏc đềuABCDEF tõmO Ba vộc-tơ bằng vộc-tơ # ằ
A Dựa vào hỡnh vẽ ta cú # ằ
0 và cho điểmC Có bao nhiêu điểmDthỏa
C 2điểm D Không có điểm nào.
Suy ra tập hợp các điểmDlà đường tròn tâmC bán kínhAB.
Câu 10 Cho hình bình hànhABCD Đẳng thức nào sau đâysai?
BD là đẳng thức sai vì độ dài hai đường chéo của hình bình hành không bằng nhau.
Câu 11 Hai véc-tơ được gọi là bằng nhau nếu
A Chúng có độ dài bằng nhau và ngược hướng.
B Chúng có độ dài bằng nhau.
C Chúng có độ dài bằng nhau và cùng phương.
D Chúng có độ dài bằng nhau và cùng hướng.
Hỷỳỏng dờợn:Theo lý thuyết giỏo khoa ta cú “Hai vộc-tơ bằng nhau khi chỳng cựng hướng và cùng độ dài”.
Cõu 12 Cho đoạn thẳngABvà điểmI thoả món # ằ
0 Hình nào dưới đây mô tả đúng giả thiết này?
A Hình3 B Hình2 C Hình1 D Hình4. Hỷỳỏng dờợn: Ta cú # ằ
IBngược hướng vàIA= 3IB. Chọn đáp án C
Câu 13 Cho hình bình hànhABCDtâmO Đẳng thức nào sau đây đúng?
0. Hỷỳỏng dờợn: Ta cúABCDlà hỡnh bỡnh hành tõmO Khi đú # ằ
Câu 14 Cho tam giácABC Gọi A 0 ,B 0 , C 0 lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA,
A 0 B 0 cùng hướng với véc-tơ nào sau đây?
Ta cóA 0 B 0 là đường trung bình của4ABC
M N 6= #ằ0 Số vộc-tơ cựng hướng với vộc-tơ # ằ
Hỷỳỏng dờợn:Cú vụ số vộc-tơ cựng hướng với một vộc-tơ khỏc vộc-tơ-khụng cho trước. Chọn đáp án D
Câu 16 Cho ba vectơ #a, #b và #c đều khác vectơ không Trong đó, hai vectơ #a và #b cùng hướng, trong khi hai vectơ #a và #c đối nhau Khẳng định nào sau đây đúng?
A Hai vộc-tơ #ằ b và #ằc bằng nhau.
B Hai vộc-tơ #ằ b và #ằc ngược hướng.
C Hai vộc-tơ #ằ b và #ằc đối nhau.
D Hai vộc-tơ #ằ b và #ằc cựng hướng.
Hỷỳỏng dờợn: Do #ằa, #ằ b cựng hướng mà #ằa, #ằc đối nhau suy ra #ằ b và #ằc ngược hướng nhau. Chọn đáp án B
Cho lục giác đềuABCDEF có tâmO (như hình vẽ) Đẳng thức nào sau đây là sai?
Ta có tứ giácABCDEF là lục giác đều có độ dài hai cạnh kề bằng nhau.
EDvì hai véc-tơ cùng hướng và cùng độ dài.
OE là hai véc-tơ đối nhau nên hai véc-tơ này không bằng nhau.
Câu 18 Cho hình thoi ABCD cạnh a và BAD’ = 60 ◦ (như hình vẽ) Đẳng thức nào sau đây đúng?
Hỷỳỏng dờợn: Cỏc hệ thức # ằ
DAđều sai, vì các cặp véc-tơ tương ứng không cùng hướng.
=ađúng DoABvàBAD’ = 60 ◦ nên tam giácABDlà tam giác đều.
BC, mệnh đề nào trong các mệnh đề sau làsai?
A ABCD là hình bình hành B BADC là hình bình hành.
Cho tứ giỏc ABCD cú # ằ
BC nên ABCD là hình bình hành, suy raBADC là hỡnh bỡnh hành, # ằ
Câu 20 Cho hình bình hànhM N P Q, khi đó
Do M N P Q là hỡnh bỡnh hành nờn # ằ
Chọn đáp án D ĐÁP ÁN BÀI 1
BÀI 2 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
2.1.1 Vectơ bằng nhau, vectơ đối nhau Định nghĩa 1.2.1.
Hai vec tơ bằng nhau nếu chúng có cùngđộ lớnvàcùng hướng.
Hai vec tơ đối nhau nếu chúng có cùng độ lớnnhưngngược hướng.
Ví dụ:Cho hình bình hànhABCD tâm O, ta có vài kết quả sau
Phép cộng hai vectơ có tính chất giao hoán, nghĩa là thứ tự cộng không ảnh hưởng đến kết quả Để thực hiện phép toán này, cần chú ý đến các quy tắc cơ bản liên quan đến việc cộng các vectơ.
Với ba điểmA, B, C bất kì, ta luôn có
• Dấu hiệu nhận biết là "điểm liên tiếp nhau".
• Các hệ thức tương tự
Quy tắc hình bình hành:
Xét hình bình hành ABCD, ta luôn có
• Dấu hiệu nhận biết là "cùng gốc".
• Các hệ thức tương tự
Quy tắc cộng vectơ đối:
• Nếu #ằa và #ằ b đối nhau thỡ #ằa + #ằ b = #ằ
• Trong Hỡnh 1 ở trờn, ta cú # ằ
2.1.3 Phép toán hiệu hai vectơ Định nghĩa 1.2.3.
AB (dùng để làm mất dấu trừ trước vectơ).
Với ba điểmA, B, C bất kỡ, ta luụn cú # ằ
2.1.4 Công thức trung điểm, trọng tâm Định nghĩa 1.2.4.
• NếuM là trung điểm của đoạnABthỡ # ằ
• NếuGlà trọng tõm của tam giỏcABC thỡ # ằ
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 2.1 Tổng của hai véc-tơ, tổng của nhiều véc-tơ
Cho hình vuôngABCD tâmO Đẳng thức nào sau đây làsai?
NếuN là trung điểm củaAB thì
Theo tớnh chất trung điểm của đoạn thẳng thỡ ta cú # ằ
Cho hình bình hànhABCD, tâm O, gọiG là trọng tâm tam giácABD Tìm mệnh đề sai?
Cho tam giácABC Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho tam giác ABC GọiM, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB,AC, BC Tổng
Ta có tứ giácM AN P là hình bình hành.
Ví dụ 6 GọiGlà trọng tâm tam giác vuôngABC với cạnh huyềnBC = 45 Tính
GọiI là trung điểm củaBC Có
Cho hình bình hànhABCDcó tâmOvàGlà trọng tâm của tam giácBCD Đẳng thức nào sau đây sai?
Cho tam giácM N P và một điểmA tùy ý Mệnh đề nào sau đây làđúng?
Cho hình bình hànhABCD tâmO Đẳng thức nào sau đâysai?
Dạng 2.2 Chứng minh đẳng thức véc-tơ
ChoI là trung điểm của đoạn thẳngAB (Akhác B) Mệnh đề nào sau đây đúng?
Lời giải ĐiểmI là trung điểm của đoạnABthỡ # ằ
Cho hình bình hànhABCD.Phát biểu nàosai?
Câu 39Cho tam giácABCcóM là trung điểm củaBC,Glà trọng tâm tam giácABC. Đẳng thức nào dưới đây làsai?
0. Theo tớnh chất trọng tõm của tam giỏc, ta cú # ằ
Theo tính chất trung điểm, ta cóM B+M C = 0.
Cho hình vuôngABCD tâmO Đẳng thức nào sau đâysai?
= BD = AC suy ra đáp án A đúng.
OB suy ra đáp án B đúng. ®ABAB//DC ⇒ # ằ
DCsuy ra đáp án C đúng.
DC suy ra đáp án D sai.
Cho hình hộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 Gọi M là trung điểm của AD Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Cho4điểm bất kìA, B, C, D Đẳng thức nào sau đây sai?
Cho hình chữ nhậtABCD Khẳng định nào sau đây là sai
Cho tam giác ABC với M,N, P lần lượt là trung điểm củaBC, CA, AB Tính tổng
Dễ dàng cú BP N M là hỡnh bỡnh hành suy ra # ằ
N A vìN là trung điểm củaCA Do đó
Cho7điểmA,B,C,D,E,F,G Chứng minh rằng a # ằ
Ví dụ 10Cho tam giác ABC Gọi M, N lần lượt là trung điẻm của các cạnh BC, CA, AB.Chứng minh rằng: a # ằ
0. c VỡN là trung điểmAC nờn # ằ
Từ giả thiết suy ra tứ giỏcN P BM là hỡnh bỡnh hành, suy ra−# ằ
0. d ViP là trung điểmAB nờn # ằ
0. e ViP là trung điểmAB nờn # ằ
M, P lần lượt là trung điểm của BC và AB nên M P là đường trung bình của tam giác ABC nênP M//AC vàP M = 1
CM (2) Cộng(1) và(2) theo vế ta cú2# ằ
AC, doM là trung điểm củaAB nờn # ằ
G V : LÊ QU AN G XE g Ta có
CBọ Cộng theo vế cỏc đẳng thức trờn, ta cú # ằ
0. h Từ giả thiết ta cú # ằ
P C. Dạng 2.3 Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véc-tơ
Ví dụ 1 Xỏc định vị trớ của ba điểmA, B, C thỏa món hệ thức # ằ
A A là trung điểm củaBC B Tam giácABC cân.
C Ba điểmA, B, C thẳng hàng D Điểm Ctrùng với điểm B.
Hệ thức đó cho tương đương với # ằ
AC Điều này xảy ra khi và chỉ khi A là trung điểm củaBC.
Cho hai điểm phân biệtAvàB Điều kiện cần và đủ để điểmIlà trung điểm của đoạn
IB ngược hướng vàIA =IB ⇔I là trung điểmAB.
Ví dụ 3 Điều kiện cần và đủ đểO là trung điểm đoạnABlà
Ta cúO là trung điểm đoạnAB ⇔ # ằ
Cho tam giỏcABC và điểmM thỏa món2# ằ
CA Khẳng định nào sau đây là đúng?
A M là trọng tâm của tam giácABC B M trùngB.
M C #ằ0. Đẳng thức này chứng tỏ điểmM là trọng tâm của tam giácABC.
Cho tam giác ABC với I là trung điểm của cạnh BC Điểm G cần thỏa mãn điều kiện nào để trở thành trọng tâm của tam giác ABC?
Theo tớnh chấtGlà trọng tõm của tam giỏcABC thỡ: # ằ
Cho bốn điểm A,B,C, Dphõn biệt thỏa món # ằ
CD Khẳng định nào sau đây đúng?
CD suy ra4điểmA, B, C, D thẳng hàng hoặcABCD là hình bình hành.
Cho4ABC vuông tạiAvớiM là trung điểm củaBC Câu nào sau đây đúng?
Ta cúM là trung điểm củaBC ⇔ # ằ
Ví dụ 8 Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn đẳng thức
A đường tròn đường kính AB B đường tròn bán kínhAB.
C đường trung trực của đoạnAB D Không có điểmM nào thỏa mãn.
⇔M A⊥M B ⇔÷AM B = 90 ◦ Vậy tập hợp các điểmM là đường tròn đường kínhAB.
Ví dụ 9 Cho tam giỏcABC Nếu điểmM thỏa món điều kiện # ằ
BC Tìm vị trí điểmM
Ví dụ 10 Cho tam giỏcABC và điểmM thỏa món # ằ
AB Tìm vị trí điểmM.
M C = #ằ0. Suy raM là trung điểmAC.
Dạng 2.4 Tìm véc-tơ đối, hiệu của hai véc-tơ
Ví dụ 1 Hai véc-tơ có cùng độ dài và ngược hướng gọi là
A hai véc-tơ bằng nhau B hai véc-tơ đối nhau.
C hai véc-tơ cùng hướng D hai véc-tơ không cùng phương.
Hia véc-tơ cùng độ dài và ngược hướng là hai véc-tơ đối nhau.
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nàosai?
A Hai véc-tơ bằng nhau thì cùng phương.
B Hai véc-tơ đối nhau thì cùng độ dài.
C Hai véc-tơ cùng hướng thì cùng phương.
D Hai véc-tơ cùng phương thì cùng hướng.
Hai véc-tơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng.
Cho hai vộc-tơ #ằa và #ằ b là cỏc vộc-tơ khỏc #ằ
0 và #ằa là vộc-tơ đối của #ằ b Chọn khẳng định sai?
A #ằa và #ằ b cựng độ dài B #ằa và #ằ b ngược hướng.
C #ằa và #ằ b cựng phương D #ằa và #ằ b cùng hướng.
Cho hình bình hànhABCD tâmO Tìm khẳng địnhsaitrong các khẳng định sau:
GọiM là trung điểmAB, ta cú: # ằ
Gọi Olà tõm hỡnh vuụngABCD Tớnh # ằ
Cho hình bình hànhM N P Q Tìm đẳng thức đúng
Theo cụng thức hỡnh bỡnh hành ta cú # ằ
Ví dụ 7 Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ đểI là trung điểm của đoạn thẳngAB?
Với đoạn thẳngABcho trước, ta có
I là trung điểm của đoạn thẳngAB⇔ # ằ
Ví dụ 8 Rỳt gọn biểu thức vộc-tơ # ằ
AC ta được kết quả đúng là
Ví dụ 9 Cho hình bình hànhABCD GọiGlà trọng tâm của tam giácABC Mệnh đề nào sau đây đúng?
VỡGlà trọng tõm của tam giỏc ABC nờn # ằ
Ví dụ 10 Cho hỡnh bỡnh hànhABCD, khi đú # ằ
Theo quy tắc ba điểm ta cú # ằ
CB. Dạng 2.5 Tính độ dài tổng và hiệu các véc-tơ
Ví dụ 1 Cho tam giác đềuABC có cạnh bằng a Giá trị
Gọi M là trung điểm của BC và D là điểm đối xứng với A quaM.
Ta cóABDC là hình bình hành.
Do tam giácABC đều cạnhanên
Cho hình thang ABCD có hai đáy AB = a, CD = 2a Gọi M, N là trung điểm của
Cho tam giỏc đều ABC cú cạnh a Độ dài của tổng hai vectơ # ằ
Cho hình vuôngABCD tâmO cạnhOA=a Tính
Vỡ làABCDhỡnh vuụng nờn ta cú # ằ
Ví dụ 5 Cho ba lực #ằ
M C cùng tác động vào một vật tại điểmM và vật đứng yờn Cho biết cường độ lực #ằ
F2 đều bằng 60N và tam giácM AB vuông tạiM Tỡm cường độ lực #ằ
Lời giải Để vật đứng yên thì
⇒ M D =M C, D là đỉnh thứ tư của hình bình hànhAM BD.
DoM A=M B = 60và÷AM B = 90 ◦ , suy raAM BDlà hình vuông, suy raM D = 60√
Ví dụ 6 Cho tam giácOAB vuông cân tạiO, cạnhOA= 4 Tính
Trên tiaOAlấy điểmCsao choAlà trung điểmOC.
Ví dụ 7 Cho ba lực # ằ
M C cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yờn Cho biết cường độ của # ằ
F2 đều bằng25N và gúc ữAM B = 60 ◦ Khi đú cường độ lực của # ằ
Vật đứng yờn nờn ba lực đó cho cõn bằng Ta được # ằ
Dựng hỡnh bỡnh hành AM BN Ta cú−# ằ
Cho tam giỏc đềuABC cạnh4a Độ dài của vộc-tơ hiệu # ằ
Cho hình bình hànhABCD cóO là giao điểm của hai đường chéo Chứng minh rằng a # ằ
CD thìABCDlà hình chữ nhật.
VỡABCD là hỡnh bỡnh hành nờn # ằ
Do đóABCDlà hình chữ nhật.
Cho tam giỏc đềuABC cú cạnha, I là trung điểm củaBC, độ dài của # ằ
Lấy điểmDsao choABDI là hình bình hành.
GọiK là giao điểm củaADvàBI.
2ãAK. Áp dụng định lý Py-ta-go vào4AIK vuông tạiI ta có
BÀI TẬP TỰ LUYỆN THEO MỨC ĐỘ
BDvới4điểm bất kìA,B,C,D Chọn khẳng địnhđúng?
Câu 2 Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm của đoạn thẳngAB.
0. Hỷỳỏng dờợn: Ta cú O là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi # ằ
OB là hai vộc-tơ đối nhau⇔ # ằ
Câu 3 ChoI là trung điểm của đoạn thẳngAB Hỏi đẳng thức nào đúng?
Câu 4 Cho hình bình hànhABCD có tâmO Khẳng định nào sau đây làđúng?
A AB−AC B AO+AC =BO.
CB DoABCDlà hỡnh bỡnh hành nờn # ằ
Câu 5 Cho hình bình hànhABCDvớiIlà giao điểm của hai đường chéo Khẳng định nào sau đây là khẳng địnhsai ?
ABCD là hình bình hành với I là giao điểm của hai đường chéo nên I là trung điểm của
AC và BD nờn ta cú # ằ
BD khác phương nên không bằng nhau.
Câu 6 Cho ba điểmA,B,C Đẳng thức nào dưới đây đúng?
Câu 7 ChoABCDlà hình bình hành Khẳng định nào sau đây làsai?
AD: quy tắc hình bình hành.
Câu 8 Cho ba điểm phân biệtA,B,C Đẳng thức nào sau đây đúng?
Câu 9 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A Hai véc-tơ đối nhau thì cùng phương.
B Hai véc-tơ cùng phương thì đối nhau.
C Hai véc-tơ có cùng độ dài thì bằng nhau.
D Hai véc-tơ cùng hướng thì bằng nhau.
Hỷỳỏng dờợn: Hai vộc-tơ đối nhau là hai vộc-tơ ngược hướng và cú cựng độ dài nờn hai véc-tơ đó cùng phương.
Câu 10 Cho ba điểmA, B, C Đẳng thức nào sau đây đúng?
Hỷỳỏng dờợn: Theo quy tắc hiệu hai vộc-tơ, ta cú: # ằ
Câu 11 Trong các phát biểu sau đây, phát biểu nàođúng?
A Hai véc-tơ không bằng nhau thì có độ dài không bằng nhau.
B Hiệu của hai véc-tơ có độ dài bằng nhau là véc-tơ-không.
C Tổng của hai véc-tơ khác véc-tơ-không là một véc-tơ khác véc-tơ-không.
D Hai véc-tơ cùng phương với một véc-tơ khác véc-tơ không thì chúng cùng phương.Hỷỳỏng dờợn:
Câu 12 Cho hình bình hành ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm BC và AD Tính
Câu 13 Cho6điểmA,B,C,D,E,F Đẳng thức nào sau đây đúng?
Câu 14 Cho 4 điểm bất kỳA,B,C,O Đẳng thức nào sau đây là đúng?
Câu 15 Cho các điểm phân biệt A, B, C, D Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau
Cõu 16 Cho hỡnh chữ nhậtABCD Vectơ nào sau đõy bằng vectơ # ằ
Hỷỳỏng dờợn: Áp dụng quy tắc hỡnh bỡnh hành # ằ
Câu 17 Trong mặt phẳng cho bốn điểm bất kìA, B, C, O Đẳng thức nào sau đây là đúng?
Hỷỳỏng dờợn: Nhắc lại lý thuyết: Với3điểmO, A, B bất kỡ:
ABvà một điểmC Cú bao nhiờu điểmDthỏa món # ằ
Với ba điểm A, B, C đã cho, có một điểm D duy nhất thỏa mãn đẳng thức liên quan Theo sách giáo khoa Hình học 10, khi có một vectơ và điểm O, luôn tồn tại một điểm A duy nhất sao cho vectơ này tương ứng với điểm A.
Cõu 19 Cho tam giỏcABC và điểmM thỏa món # ằ
M C = #ằ0 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A M là trọng tâm tam giácABC B M là trung điểm củaAC.
C ABCM là hình bình hành D ABM C là hình bình hành.
CM ⇔ABCM là hình bình hành. Chọn đáp án C
Câu 20 Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ đểI là trung điểm của đoạn thẳngAB?
Ta cúI là trung điểm của đoạn thẳngAB⇔ # ằ
Câu 21 Cho hình bình hànhABCD tâm O, ABCDkhông là hình thoi Trên đường chéo
BD lấy2 điểmM,N sao choBM = M N = N D GọiP,Qlà giao điểm của AN vàCD;
CM vàAB Tìm mệnh đề sai.
A M là trọng tâm tam giácABC.
D M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC.
Vì nếu M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác suy ra
M A = M C nên tam giác M AC cân tại M suy ra M O vuông góc AC suy raABCDlà hình thoi (vô lý).
Cõu 22 Cho hỡnh bỡnh hànhABCD Vộc-tơ # ằ
AB bằng véc-tơ nào dưới đây?
Cõu 23 Cho tam giỏcABC Vị trớ của điểmM sao cho # ằ
B M là đỉnh thứ tư của hình bình hànhCBAM.
D M là đỉnh thứ tư của hình bình hànhCABM.
VậyM thỏa mãnCBAM là hình bình hành.
Một giá đỡ dựa vào bức tường như hình vẽ, tam giác ABC vuông cân ở đỉnhC Người ta treo vào điểmAmột vật có trọng lượng10N.
Khi đó lực tác động vào bức tường tại hai điểm B vàC có cường độ lần lượt là
Lực tác dụng lênB là T = CA
2N. Lực tác dụng lênC làN =P = 10N.
Cõu 26 Với hai vộc-tơ #ằa và #ằ b bất kì, khẳng định nào sau đây đúng?
Theo bất đẳng thức tam giác thìAC ≤AB+BC ⇔
Câu 27 Cho tam giácABC đều cạnha Khi đó
GọiM là trung điểm củaBC Khi đóAM = a√
Câu 28 Cho ABCD là hình bình hành Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tớnh # ằ
Câu 29 Cho hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm Đẳng thức nào sau đây là sai?
0. Hỷỳỏng dờợn: GọiGlà trọng tõm của 2 tam giỏcABC vàDEF.
Cõu 30 Cho4ABC và một điểm M thoả # ằ
0 Mệnh đề nào sau đây sai?
BC D M ABC là hình bình hành.
Hỷỳỏng dờợn: Theo giả thiết: # ằ
Xột phương ỏnD:M ABC là hỡnh bỡnh hành⇔ # ằ
Câu 31 Cho hai điểmA, B phân biệt và cố định, vớiI là trung điểm củaAB Tìm tập hợp
G V : LÊ QU AN G XE các điểmM thỏa mãn đẳng thức
A Đường tròn tâmI, đường kính AB
B Đường tròn đường kính AB.
C Đường trung trực của đoạn thẳngAB.
D Đường trung trực của đoạn thẳng IA.
2 Tập hợp các điểmM là đường tròn tâmI, bán kính AB
Cõu 32 Cho tam giỏcABC đều, cạnh2a, trọng tõmG Độ dài của vộc-tơ # ằ
CG GọiE là giao điểm của
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên AG AB 2 cos 30 ◦ 2a√
Câu 33 Cho hình vuôngABCD có cạnh bằng3 Khi đó
2 Hỷỳỏng dờợn: GọiE là điểm đối xứng vớiC quaD.
Ta cóABDE là hình bình hành tâmI vớiI là trung điểm củaAD.
F2 cựng tỏc động vào một vật M đặt cố định Biết lực # ằ
F1 có cường độ là 40N, lực # ằ
F2 có cường độ là 30N và hai lực hợp với nhau một góc 90 ◦ Tìm cường độ của lực tổng hợp của chúng tác động vàoM.
F2 nên tứ giácM ACB là hình chữ nhật.
Vậy cường độ lực tổng hợp là 50N.
Chọn đáp án B ĐÁP ÁN BÀI 2
BÀI 3 TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
Tích của một vectơ \(\vec{a}\) với một số thực \(k \neq 0\) tạo ra một vectơ mới, ký hiệu là \(k\vec{a}\) Nếu \(k > 0\), vectơ \(k\vec{a}\) cùng hướng với vectơ \(\vec{a}\) Ngược lại, nếu \(k < 0\), vectơ \(k\vec{a}\) sẽ ngược hướng với vectơ \(\vec{a}\) Độ dài của vectơ \(k\vec{a}\) được tính bằng giá trị tuyệt đối của \(k\), tức là \(|k|\).
. Theo hỡnh vẽ bờn, thỡ #ằ b = 3#ằa; #ằc =−2#ằa;
3.1.2 Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm tam giác Định nghĩa 1.3.2.
Trung điểm của đoạn thẳng:
• NếuI là trung điểm của đoạnABvới mọi điểm M ta cú # ằ
Trọng tâm của tam giác:
• NếuGlà trọng tõm của tam giỏcABC thỡ với mọi điểm M ta cú # ằ
3.1.3 Điều kiện để hai vectơ cùng phương Định nghĩa 1.3.3. Điều kiện cần và đủ để #ằa và #ằ b 6= #ằ
0 cựng phương là cú một số thựck để #ằa =k#ằ b. Nhận xột: Ba điểm phõn biệt A,B,C thẳng hàng khi cú số thựck để # ằ
3.1.4 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương Định nghĩa 1.3.4.
Cho hai vectơ #a và #b không cùng phương, mọi vectơ #c đều có thể phân tích một cách duy nhất theo hai vectơ #a và #b Điều này có nghĩa là tồn tại một cặp số h và k duy nhất sao cho vectơ #c có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của #a và #b.
• Theo quy tắc hình bình hành, ta có
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 3.1 Xỏc định vộc-tơ k#ằa, tớnh độ dài vộc-tơ
Cho hình vuôngABCD cạnha Tính
Cho tam giácABC cóGlà trọng tâm,I là trung điểmBC Tìm khẳng địnhsai?
Vỡ I là trung điểm của BC nờn # ằ
Từ tính chất của trọng tâm Gta có2AI = 3GA.
Như thế, các khẳng định đúng là
Cho tam giácABCđều có cạnhAB= 5,H là trung điểm củaBC Tính
= 2CE (vớiE là trung điểm củaAH).
2 (∆ABC đều,AH là đường cao).
Trong tam giácHEC vuông tạiH, có:
AC Khẳng định nào sau đây làsai?
BA = #ằ0. Vậy mệnh đề sai là “2# ằ
Cho tam giácABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm củaAB, BC, AN Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho hình vuôngABCD cạnh2a Tính
= 2AC. Đường chéoAC của hình vuông có độ dài làAC = 2a√
Cho tam giácABC cóD, E, F lần lượt là trung điểm củaBC, CA, AB Đẳng thức nào dưới đây là đúng?
Ví dụ 8 Cho tam giácOAB vuông cân tạiO, cạnhOA= 4 Tính
Cho hình chữ nhật ABCD tâm O Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA và CD. Biết # ằ
Dạng 3.2 Chứng minh các đẳng thức véc-tơ, thu gọn biểu thức
Cho hai tam giác ABC vàA 0 B 0 C 0 lần lượt có trọng tâm làGvàG 0 Đẳng thức nào sau đây là sai?
Cho tam giỏcABC GọiI,J là hai điểm xỏc định bởi # ằ
Gọi CM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của CM Đẳng thức nào sau đây sai?
Cho tam giácABC cóGlà trọng tâm Mệnh đề nào sau đâysai?
Ví dụ 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho #ằa = (1; 2), #ằ b = (2; 3), #ằc = (−6;−10) Hóy chọn đẳng thức đúng.
A #ằa + #ằ b và #ằc cựng hướng B #ằa + #ằ b và #ằa − #ằ b cùng phương.
C #ằa − #ằ b và #ằc cựng hướng D #ằa + #ằ b và #ằc ngược hướng.
Ta cú #ằa +#ằ b = (3; 5)⇒ #ằc =−2Ä#ằa +#ằ bọ
⇒ #ằa + #ằ b và #ằc ngược hướng.
Cho tam giác ABC, có M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AM Tìm khẳng định đúng dưới đây.
VỡM là trung điểm của BC nờn # ằ
Cho hình bình hành ABCDcó tâm là O Gọi M,N lần lượt là trung điểm củaBC và
M a Theo quy tắc hỡnh bỡnh hành ta cú # ằ
OC = #ằ0. b VìM là trung điểm củaBC nên
Cho tam giác ABC, gọiM là trung điểmAB,D là trung điểmBC, N là điểm thuộc
N A GọiK là trung điểm củaM N Chứng minh rằng: a # ằ
Lời giải a M là trung điểmABnờn # ằ
Cho tam giác ABC với O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm I là tâm đường tròn đi qua các trung điểm của ba cạnh Cần chứng minh rằng a không bằng ằ.
GọiM là trung điểm củaBC.
GọiDlà điểm đối xứng của AquaO Khi đó ®BH//CD (vì cùng vuông góc vớiAC)
CH//BD (vì cùng vuông góc vớiAB).
Suy raCHBDlà hình bình hành Do đóM là trung điểm củaHD.
Suy raOM là đường trung bình của tam giácDHA.
Mặt khỏc,Glà trọng tõm của tam giỏcABC nờn # ằ
Mặt khỏc,Glà trọng tõm của tam giỏcABC nờn # ằ
Xét tam giácM N P, cóOlà trực tâm vàGlà trọng tâm vàI là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Theo kết quả câua, suy ra
Mặt khác, ta cóOH = 3OG (theo câu a).
Cho M là điểm di động trên đường tròn cố định (O;b) nằm trong tam giác ABC Gọi A0, B0, C0 lần lượt là chân các đường vuông góc từ M đến các cạnh BC, CA, AB của tam giác G0 là trọng tâm của tam giác A0B0C0 Chứng minh rằng # ằ.
M O. b Chứng minh rằngG 0 di động trên đường tròn cố định.
B 0 là một điểm trên đường thẳng, nơi M vẽ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác và cắt các cạnh tại các điểm tương ứng Các tam giác M B1C1, M C2A2 và M A3B3 được tạo thành là các tam giác đều, với M A 0, M B 0, M C 0 lần lượt là các đường cao và đường trung tuyến của chúng.
M G 0 ⇒G 0 là trung điểm củaOM Do đóG 0 thuộc đường tròn tâmO bán kính b
2. Dạng 3.3 Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véc-tơ
Ví dụ 1 Điều kiện nào dưới đây là cần và đủ để điểmM là trung điểm của đoạnAB?
Lời giải Điều kiện cần và đủ để điểmM là trung điểm của đoạnAB là # ằ
Ví dụ 2 Cho tam giácABC GọiM là điểm trên cạnhBC sao choM B = 2M C Khi đó
Cho4ABC, tập hợp các điểmM thỏa mãn
A Đường trung trực đoạn BC.
B Đường tròn tâmI, bán kínhR = AB
2 vớiI là đỉnh hình bình hànhABIC.
C Đường thẳng song song vớiBC.
D Đường tròn tâmI, bán kínhR = AB
2 vớiI là đỉnh hình bình hànhABCI.
Vậy tập hợp điểmM là đường tròn tâmIbán kínhR= AB
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC;BD của hình bình hành ABCD Đẳng thức nào sau đâysai?
Câu 6Cho tam giácABC GọiGlà trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC Tìm mệnh đề đúng?
Gọi M là trung điểm đoạnAB Khẳng định nào sau đây làsai?
M B, vì khi đó hai điểmAvàB sẽ trùng nhau, điều này là vô lý.
Cho tam giácABC có trọng tâmGvà tam giácA 0 B 0 C 0 có trọng tâmG 0 a Chứng minh hệ thức # ằ
GG 0 b Suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm.
Lời giải a GọiGlà trọng tõm tam giỏcABC, khi đú # ằ
GG 0 b Suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giỏc cú cựng trọng tõm là # ằ
Cho điểm A,B Xỏc định điểmM biết:2# ằ
Khi đó điểmM được xác định như sau:
M nằm trờn đường thẳng AB và nằm ngoài đoạn AB, gần B Hai vộc-tơ # ằ
AB cùng hướng. Độ dài AM = 3AB, nghĩa là điểmB chiaAM ra3đoạn bằng nhau.
Cho4ABC Gọi M là trung điểm của ABvàN thuộc cạnhAC, sao choN C = 2N A. Hãy xác địnhK vàDkhi a 3# ằ
Lời giải a Xỏc định điểm K thỏa:3# ằ
AK = #ằ0 (1) Theo giả thiết thì:
Thay (2) và (3) vào (1) ta được: 6# ằ
ANọ Suy raK là trung điểm củaM N.
AK (5) Mà theo (4)suy ra # ằ
AC (6) Thay(6)vào(5)ta được: # ằ
AC (7) Thay (7) vào (4) ta được 3# ằ
ACọ Suy raDlà trung điểm củaBC.
Dạng 3.4 Phân tích một véc-tơ theo hai véc-tơ không cùng phương
Ví dụ 1 Cho tam giácABC có trọng tâmG Khẳng định nào sau đây làđúng?
GọiM là trung điểm cạnhBC Cú # ằ
Ví dụ 2 Điều kiện nào sau đâykhông phảilà điều kiện cần và đủ đểGlà trọng tâm tam giác ABC (vớiM là trung điểm của BC)
VỡGlà trọng tõm tam giỏcABC nờn ta cú2# ằ
Cho tam giác ABC có I, D lần lượt là trung điểm AB, CI Đẳng thức nào sau đây đúng?
VìI,Dlần lượt là trung điểmAB,CI nên ta có
Cho tam giỏcABC cú trọng tõmG Đặt # ằ
Cho tam giác ABC Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho BM = 2M C Trên đoạn
AM, xỏc định cỏc điểm I,J sao choAI =IJ =JM Đặt # ằ
CJ Tính giá trị của biểu thứcT = 2x+y.
Ta cú M ∈ BC sao cho BM = 2M C nờn # ằ
Ta cóI,J lần lượt là trung điểm củaAJ,IM Khi đó ta suy ra
CJ (2) Từ(1)và(2) suy ra
Ví dụ 6 Cho tam giỏcABC GọiM,N là cỏc điểm thỏa # ằ
BP Tìmk để ba điểmM,N,P thẳng hàng.
Lời giải Trường hợp 1:Nếuk = 0thỡ # ằ
* Ba điểm M, N, P thẳng hàng khi # ằ
Cho4ABC cú trọng tõmG GọiDlà điểm đối xứng vớiAquaB Phõn tớch # ằ
Ta cúDđối xứng vớiAquaB ⇒B là trung điểm củaAD⇒ # ằ
Cho tứ giỏc ABCD, trờn cạnh AB,CD lấy lần lượt cỏc điểm M, N sao cho3# ằ
DC Biểu diễn vộc-tơ # ằ
Cho tam giỏcABC GọiDvàI là hai điểm thỏa món : 3# ằ
AC. b Chứng minh rằng ba điểm A, I, Dthẳng hàng. c Gọi M là trung điểm của AB, N thuộc AC sao cho # ằ
AC Tìm k để ba đường thẳngAD, M N, BC đồng quy.
AD Do đú hai vộc-tơ # ằ
AD cùng phương, suy ra
A, I, Dthẳng hàng. c Ta cóD∩BC.
Nên suy raAD, M N, BC đồng quy khi và chỉ khiD, M, N là thẳng hàng.
VỡM là trung điểm củaAB nờn # ằ
Cho tam giácABC, gọiGlà trọng tâm,M là điểm đối xứng của B quaG. a Biểu diễn # ằ
CM qua cỏc vộc-tơ # ằ
AB, # ằ AC. b GọiI là trung điểm củaBC Chứng minh rằng # ằ
I a Biểu diễnAM,CM qua các véc-tơAB,AC.
AI# ằ (vớiI là trung điểm củaBC)
Dạng 3.5 Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song, hai điểm trùng nhau
Cho ba điểm A, B, C phân biệt Tìm khẳng định sai khi nêu điều kiện cần và đủ để ba điểmA,B,Cthẳng hàng.
Lời giải Đú là khẳng định∀M: # ằ
Cho hình bình hànhABCDtâmO Hai điểmM,N lần lượt nằm trên hai đường thẳng
AD vớix, y 6= 0 Khi M, N,C thẳng hàng, tìm phát biểu đúng trong các phát biểu dưới đây?
AD. ĐểC,M,N thẳng hàng thỡ # ằ
CN cùng phương, do đó ta có x−1
Cho hình bình hànhABCD cóAB= a,AB ⊥BD, BAD’ = 60 ◦ Gọi E,F lần lượt là trung điểm củaBD,AD Độ dài vộc-tơ # ằ
Ví dụ 4 Cho 4ABC Gọi M, N là cỏc điểm thỏa món # ằ
BP Tìmk để ba điểmM,N,P thẳng hàng.
Lời giải Cách tự luận.
B C P Để ba điểmM,N,P thẳng hàng thỡ∃m∈R: # ằ
2. Theo định lí Menelaus, ba điểm M,N,P thẳng hàng khi
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(m−1; 2),B(2; 5−2m)và C(m−3; 4) Tìm giá trịm đểA,B vàC thẳng hàng.
AC = (−2; 2). Để A, B, Cthẳng hàng thỡ # ằ
Cho tam giỏc ABC Dựng cỏc điểmM, N sao cho # ằ
Cho 4ABC có M là trung điểm của cạnh BC Các điểm D, E thỏa mãn đẳng thức
Ta cúM là trung điểm củaBC nờn # ằ
AM. Suy ra hai vộc-tơ # ằ
AM cùng phương VậyDE//AM A
Ví dụ 8 Cho tam giỏc ABC Cỏc điểm D, E, G được xỏc định bởi cỏc hệ thức 2# ằ
GC GọiM là trung điểm củaBC Chứng minh BE//CD và ba điểmA,G,M thẳng hàng.
Từ cách xác định các điểm ta có ngay D là trung điểm củaAB,C là trung điểm củaAE cònGlà trọng tâm tam giácABC.
Do đóCD là đường trung bình của tam giácABE ⇒CD//BE.
Lại cóM là trung điểmBC,Glà trọng tâm tam giácABC nênA,G,M thẳng hàng.
AM Suy ra ba điểmA,G,M thẳng hàng.
Cho tam giỏcABC Dựng cỏc điểmI,J sao cho # ằ
AC Chứng minh rằngIC//BJ.
Cho hai điểm cố định A, B, gọi I là trung điểm AB Tập hợp các điểm M thỏa
A đường tròn đường kínhAB B đường trung trực củaAB.
C đường tròn tâmI, bán kính AB D nửa đường tròn đường kinhAB.
2 nên tập hợp điểmM là đường tròn tâmI, bán kínhR = AB
Cho hình chữ nhậtABCD và số thựck >0 Tìm tập hợp các điểmM thỏa mãn đẳng thức
A Một đường thẳng B Một đường tròn.
C Một điểm D Một đoạn thẳng.
GọiO là tâm của hình chữ nhậtABCD, khi đó
Vậy tập hợp các điểmM cần tìm là đường tròn tâmO bán kínhR = k
Ví dụ 3 Cho tam giỏcABC cú trọng tõmG, tập hợp cỏc điểmM sao cho|# ằ
A Đường thẳng quaGsong song vớiAB.
Vậy tập hợp các điểmM là đường tròn tâmGbán kính2.
Cho hai điểm cố định A,B Tìm tập hợp các điểmM sao cho a
Lời giải a Gọi I là trung điểm AB ta có
2 Suy raM thuộc đường tròn đường kínhAB. b GọiI,J là hai điểm thỏa mãn2IA+IB = 0 vàJA+ 2JB = 0.
Suy raM thuộc đường trung trực củaIJ.
3 nên trung điểm của IJ cũng là trung điểm của AB Do đó, trung trực của IJ chính là trung trực củaAB.
Cho4ABC Lấy hai điểmM,N di động trên các cạnhABvàACsao cho AM
CA. Dựng hình bình hành M N CP Tìm tập hợp các điểmP.
CA GọiIlà trung điểmBCta cú# ằ
VậyP nằm trên đường thẳng chứa trung tuyếnAI.
Trong mặt phẳng cho hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 2), B(1;−3), C(−2; 2) Điểm M thuộc trục tung sao cho
M C nhỏ nhất có tung độ là
GọiG là điểm thỏa món # ằ
0 nênG là trọng tâm của tam giácABC ⇒ G Å1
M C nhỏ nhất thìM Gnhỏ nhất.
Do điểmM thuộc trục tung nênM là hình chiếu của điểmGlên trục tung.
Ví dụ 2 Cho 4ABC cú trọng tõm G và H là chõn đường cao kẻ từ A sao cho # ằ
HC. ĐiểmM di động trờnBC sao cho # ằ
Gọi E, D lần lượt là trung điểm
BG và J là trung điểm
GI Khi đó tứ giác BGIM là hình bình hành, suy ra
GC nhỏ nhất xảy ra khi M J đạt giá trị nhỏ nhất, cụ thể là khi M J = d (BC, GI) với BC song song GI Điều này dẫn đến M J vuông góc với GI, và trong tứ giác BGM, điểm M là điểm cân bằng Gọi K là chân đường cao từ G trong tứ giác BGM.
BM = 2BK = 2(BH+HK) = 2BH+2HK = 2ã1
Cho tam giác ABC có A(1; 4), B(−3; 2), C(3; 1) Tìm M thuộc Oy sao cho
Gọi M(0;a) thuộc Oy Khi đú # ằ
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi8−4a = 0⇔a= 2.
Ví dụ 4 Cho4ABC cú trọng tõmG,H là chõn đường cao kẻ từAsao cho # ằ
M di động trờnBC sao cho # ằ
GC nhỏ nhất khi GI nhỏ nhất hay I là hình chiếu của GtrênBC.
HC suy ra:H là trung điểm củaBF (1).
Từ (1)và (2)suy ra: BI = 5
Cho tứ giácABCD và một đường thẳngd Tìm điểm M thuộc đường thẳngdsao cho
M D có giá trị nhỏ nhất.
M J (vớiI,J lần lượt là trung điểm củaAB,CD)
M H (vớiH là trung điểm củaIJ).
M H nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của H trên đường thẳngd.