Tổng trực tiếp và modul các đồng cấu của modul chia bậc

Ch ơng 1 : Kiến thức cơ sở Trong chơng này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản và cầnthiết nh: Môđun, môđun con, đồng cấu môđun, tổng trực tiếp của một họ cácnhóm Aben, tổng trự

Luận văn tốt nghiệp

Lời nói đầu

Môđun chia bậc là một trong những khái niệm quan trọng của Đại sốhiện đại Một khái niệm liên quan đến khái niệm này là khái niệm tổng trựctiếp của một họ các môđun

Mục đích của khoá luận là hệ thống lại và bổ sung thêm một số tính chấtcủa môđun chia bậc

Khoá luận đợc trình bày trong 3 chơng

Ch

ơng 1 : Kiến thức cơ sở

Trong chơng này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản và cầnthiết nh: Môđun, môđun con, đồng cấu môđun, tổng trực tiếp của một họ cácnhóm Aben, tổng trực tiếp của một họ các môđun, dãy nửa khớp các nhómAben và dãy nửa khớp các môđun Chúng tôi đã chứng tỏ đợc tập hợp tất cả các

đồng cấu của môđun lập thành một môđun trên vành giao hoán R cho trớc,chứng minh đợc tổng trực tiếp của một họ các môđun trên vành R cho trớc làmột môđun trên R và một số tính chất

ơng 3 : Tổng trực tiếp và môđun các đồng cấu của môđun chia bậc.

Trong chơng này, chúng tôi đã chứng minh một cách chi tiết một sốmệnh đề nh: điều kiện để một môđun là một môđun chia bậc, chứng minh tổngtrực tiếp của hai môđun chia bậc với cùng tập D các bậc là một môđun

chia bậc , chứng minh tổng trực tiếp của một họ các môđun chia bậc vớicùng tập D các bậc là một môđun chia bậc

Các kết quả chính của chơng 3 là:

*Mệnh đề 3.1

*Mệnh đề 3.2 *Mệnh đề 3.4

*Mệnh đề 3.5

Luận văn tốt nghiệp

Nội dung của 3 chơng trong khoá luận này liên quan với nhau khá chặtchẽ, nội dung của chơng trớc chính là cơ sở cho nội dung chơng sau Tất cả cácvành đợc xét trong khoá luận là vành giao hoán có đơn vị

Khoá luận này đợc thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán - Trờng Đạihọc Vinh Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hớngdẫn: PGS_TS Ngô Sỹ Tùng Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo,cô giáo trong Khoa Toán và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt bốn năm học Rấtmong đợc sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên để khoá luậnnày đạt kết quả tốt hơn

*Giả sử R là một vành tuỳ ý cho trớc với đơn vị 1

Một nhóm Aben cộng X cùng với một hàm  : R  X  X đợc gọi là mộtmôđun trái trên R (hay R-môđun trái) nếu các điều kiện sau đợc thoả mãn 1) Hàm  là song cộng tính

Với   ,  R và  x, y  X ta có:

  ( + , x) =  (, x) +  (, x)

Luận văn tốt nghiệp

  (, x + y) =  (, x) +  (, y) 2)Với  ,  R và  x  X ta có:

 (,  (, x)) =  (, x) 3)Với  x X ta có:

(1,x) = x *Để gọn ta viết  (r, x) = rx  ;  r  R,  x  X

Khi đó, X đợc gọi là một môđun trái trên R nếu các điều kiện sau đợc thoảmãn:

1)Với  ,   R và  x,y  X ta có:

 ( + ) x = x + x

 (x+y) = x + y 2)Với ,   R và  x  X ta có:

(x) = ()x

3)Với  x  ta có:

1x = x *Tơng tự ta có định nghĩa môđun phải trên R

1.1.2-Định nghĩa môđun con

*Định nghĩa 2

Một tập con không rỗng A của X là một môđun con của X nếu và chỉ nếu A

là một nhóm con của nhóm Aben cộng X và là ổn định dới phép nhân vô hớngcủa X, tức là:

Nh vậy, f là một đồng cấu của môđun X vào môđun Y nếu và chỉ nếu các

điều kiện sau đợc thoả mãn:

f (u + v) = f (u) + f(v)

;    R,  u,v  X f(u) = f(u)

1.2.2-Mệnh đề

Giả sử X và Y là các môđun trên một vành R cho trớc với đơn vị 1.

Ký hiệu  = Hom R(X,Y) là tập hợp tất cả các đồng cấu của môđun X vàomôđun Y

Khi đó, nếu R là một vành giao hoán thì Hom R(X,Y) lập thành một môđuntrên R đối với phép cộng các hàm và phép nhân vô hớng các hàm

Chứng minh

*Trớc hết ta chứng minh Hom R(X,Y) là một nhóm Aben cộng

Để chứng minh Hom R(X,Y) lập thành một nhóm Aben đối với phép cộng cáchàm ta chứng minh Hom R(X,Y) là một nhóm con của nhóm Aben Hom(X,Y).Thật vậy

Giả sử f và g là hai phần tử bất kỳ thuộc 

Khi đó:

Với u, v  X ta có:

(f + g) (u + v) = f (u + v)+g(u+v)

= [f(u) + f(v)] + [g(u) + g(v)], vì f và g là các đồngcấu của nhóm Aben cộng X vào nhóm Aben cộng Y

=[f(u) + g(u)] + [f(v) + g(v)]

=(f + g) (u) +( f + g) (v) Với    R và  u   ta có:

(f + g) (u) = f(u) + g(u)

=f(u) + g(u); vì f và g là các đồng cấu của môđun  vào môđun 

=[f(u) + g(u)]; vì f(u), g(u) Y_Y là môđun trên R

Luận văn tốt nghiệp

= [ (f+g) (u)]

 f + g  

Do đó  = Hom R(X,Y) lập thành một nhóm Aben đối với phép cộng các hàm

*Ta chứng minh  là ổn định dới phép nhân vô hớng

Với    R và f   ta định nghĩa hàm

f: X  Y

đợc xác định nh sau:

(f) (x) = [f(x)] ; x  XTrớc hết ta chứng minh f  Hom R(X,Y)

 [ (f + g)] (x) =  [(f + g) (x) ]

= [f(x) + g(x)]

= [f(x) + [g(x)] ;vì f(x)_ là môđun trên R

Luận văn tốt nghiệp

=(f)(x) + (g) (x) =(f + g) (x) ;  x  X   (f + g) = f + g

3)Với  f  ta có:

(1f)(x) = 1 [f(x)]

=f(x), vì f(x)  Y _ Y là môđun trên R;  x  X  1f = f

Vậy  = HomR (X,Y) là môđun trên R

1.3-Tổng trực tiếp của một họ các nhóm Aben

*Tập con W của P gồm tất cả các f P sao cho f() = e, với e là phần tử đơn

vị của X, đợc gọi là tích trực tiếp yếu của họ F

1.3.2-Tổng trực tiếp của một họ các nhóm Aben.

*Xét một họ chỉ số hoá tuỳ ý cho trớc những nhóm Aben

F = X    M Khi đó tích trực tiếp yếu W của họ F đợc gọi là tổng trực tiếp của họ F đã cho

Luận văn tốt nghiệp

Ký hiệu

W =  X

  M *Nói riêng, tổng trực tiếp của hai nhóm Aben A và B đợc ký hiệu là:

A  B *Một nhóm Aben X đợc gọi là phân tích đợc thành tổng trực tiếp của hai nhómcon A và B nếu:

 A + B = X

 A  B = 0

1.4-Tổng trực tiếp của một họ các mô đun

Xét một họ chỉ số hoá tuỳ ý cho trớc những môđun

F = X    M  Khi đó tích trực tiếp P = 

  X M

 của các nhóm Aben X nh đã định nghĩa ởtrên là một nhóm Aben

Định nghĩa một hàm  : R  P  P đợc xác định nh sau:

Với mỗi (, f)  R  P ta có hàm f: M  X cho bởi:

(f) () =  f()] ;    M Khi đó P là một môđun trên R

Kiểm tra các điều kiện của định nghĩa môđun đối với P ta thấy thoả mãn Thật vậy

1)Với  ,   R và  f, g  P ta có:

 [( + ) ] () = ( + )[f ()]

= [f()] + [f()];vì f()  X _Xlà môđun trên R = (f) () + (f)()

=(f + f) ();    M  ( + ) f = f + f

 [(f + g)] () = [ (f + g) ()]

=[f() + g()]

= [f() + [g()], vì f() + g()X _X là môđun trên R

Luận văn tốt nghiệp

=()[f()], vì f()  X _X là mô đun trên R

=[()f] ();   M

ff 3)Với f ta có:

(1f)()=1f()

=f() ; vì f()_ là môđun trên R

1f=fVậy P là một môđun trên R và P gọi là tích trực tiếp của họ F các môđun trên

Nh vậy, dãy là nửa khớp nếu và chỉ nếu cái hợp thành g0f của bất kỳ hai

đồng cấu liên tiếp nào f và g trong dãy đều là đồng cấu tầm thờng 0

*Trong một dãy nửa khớp tuỳ ý cho trớc

f g C:

những đồng cấu của nhóm Aben, nhóm thơng Ker (g)/Im(f) gọi là nhóm dẫnxuất của dãy C tại nhóm Y

1.5.2.Định nghĩa 2

Các nhóm Aben của dãy nửa khớp C thờng đợc chỉ số hoá bởi các số

nguyên giảm hoặc bởi các số nguyên tăng

*Trong trờng hợp các số nguyên giảm đợc dùng làm chỉ số thì dãy nửa khớp C

đợc gọi là một dãy dới và các đồng cấu trong C đều đợc ký hiệu bởi cùng một

ký hiệu 

Luận văn tốt nghiệp

Vậy một dãy dới có dạng sau:

    C: Cn+1 CnCn-1

với o = 0 Trong trờng hợp này:

 Các phần tử của Cn gọi là các dãy chuyền n chiều của C

 Các đồng cấu  gọi là các toán tử bờ

 Hạt nhân của  trong Cn đợc ký hiệu là Zn (C) và gọi là nhóm các chutrình n chiều của C

 ảnh của  trong Cn đợc ký hiệu là Bn (C) và gọi là nhóm các bờ n chiềucủa C

Nhóm dẫn xuất của C tại nhóm Cn đợc ký hiệu là:

Hn (C) = Zn(C)/Bn(C)

và gọi là nhóm đồng điều n chiều của C

*Trong trờng hợp các số nguyên tăng đợc dùng làm chỉ số, dãy nửa khớp C đợcgọi là một dãy trên và các đồng cấu trong C đều đợc ký hiệu bởi cùng một kýhiệu 

Nh vậy, một dãy trên C có dạng sau:

Nhóm dẫn xuất Hn (C) = Zn(C)/Bn(C) gọi là nhóm đối đồng điều n chiều của C

1.6-Dãy nửa khớp các mô đun

1.6.1-Định nghĩa 1

Một dãy hữu hạn hoặc vô hạn

f g 

những đồng cấu của môđun gọi là nửa khớp nếu và chỉ nếu ảnh của đồng cấuvào nằm trong hạt nhân của đồng cấu ra tại mọi nhóm khác với hai đầu (nếucó) của dãy

1.6.2-Định nghĩa 2

*Với mỗi số nguyên n  Z, Cn là một môđun trên R ,

: Cn  Cn-1 là đồng cấu môđun thoả mãn  = 0

Luận văn tốt nghiệp Khi đó một dãy nửa khớp C có dạng sau:

    C:Cn+1CnCn-1

đợc gọi là một dãy dới

*Tơng tự ta có định nghĩa dãy trên các môđun

X





của một họ những môđun con Xd của X chỉ số hoá bởi D

*Giả sử X là một môđun chia bậc trên R với D là tập hợp các bậc của nó Một phần tử x của X gọi là thuần nhất nếu và chỉ nếu d  D để x Xd Trong trờng hợp x  Xd, ta nói x là thuần nhất bậc d

Phần tử 0 là thuần nhất bậc bất kỳ, vì 0  Xd;  d  D

Trong trờng hợp x  Xd, ta nói d là bậc của x, ký hiệu là deg (x)

Từ định nghĩa trên ta suy ra:

Một phần tử x của X đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dới dạng

Luận văn tốt nghiệp

x = 

D

d d

x ; xd là thuần nhất bậc d

Phần tử xd gọi là thành phần thuần nhất bậc d của phần tử x

2.1.2-Định nghĩa về môđun con thừa nhận đợc.

Một môđun con A của X gọi là thừa nhận đợc nếu và chỉ nếu x A kéo theocác thành phần thuần nhất xd của x đều thuộc A

Luận văn tốt nghiệp

x = 



n i i

i x

1

 ; với i R, xi  Xd A Mặt khác: xi  Xd  A  xi  Xd

 xi là thành phần thuần nhất của x

Do đó A đợc sinh ra bởi tập hợp những phần tử thuần nhất của X

Điều đó chứng tỏ (ii)  (iii)

*(iii)  (i)

Giả sử A đợc sinh ra bởi một tập S những phần tử thuần nhất của X

Ta chứng minh A là môđun con thừa nhận đợc

i s

1

 ; với i R, i = 1 ,n

Do đó với mỗi d  D, các thành phần thuần nhất xd của x đợc cho bởi:

xd = 

d si

i

i s

) deg(



Suy ra: xd A;  d  D

Do đó A là mô đun con thừa nhận đợc

Điều đó chứng tỏ (iii)  (i)

Vậy 3 mệnh đề đã cho là tơng đơng

2.2.2-Định lý 2

2.2.2.1-Định nghĩa

Giả sử X là một môđun chia bậc trên R với D là tập hợp các bậc của nó,

A là một môđun con thừa nhận đợc tuỳ ý cho trớc của X

Vì X là tổng trực tiếp của các môđun con Xd nên từ (ii) ta suy ra A có thể phântích thành tổng trực tiếp :

Dễ dàng chứng minh đợc Ad là mô đun con của A với  d  D

Do đó A là một môđun chia bậc trên R với cùng tập các bậc D

Xét môđun thơng X/A cùng với phép chiếu tự nhiêm p: X  X/A

2.2.2.2- Định lý

Luận văn tốt nghiệp

Thơng X/A của một môđun chia bậc X trên R với D là tập các bậc của nó trênmột môđun con thừa nhận đợc A, là một môđun chia bậc trên R với cùng tập Dcác bậc và với một sự phân tích thành tổng trực tiếp :

*Ta chứng minh X/A là tổng trực tiếp của các môđun con p (Xd)

Giả sử y là phần tử tuỳ ý của X/A

Vì p là toàn ánh nên x  X sao cho : p (x) = y

Vì X là môđun chia bậc trên R với D là tập các bậc của nó nên x = 

D

d d

X p





Điều đó chứng tỏ X/A là tổng của các môđun con p(Xd) với  d  D

Ta còn phải chứng minh tổng đó là tổng trực tiếp

x là một phần tử của X thoả mãn:

p(x) = p (

D

d d

y

Luận văn tốt nghiệp =0

Suy ra: x  A, vì A là hạt nhân của p:   X/A

Vì môđun con A là thừa nhận đợc nên từ x  A ta suy ra xd  A; d  D

Do đó:

yd = p(xd) = 0 ;  d  D

Điều này chứng tỏ X/A là tổng trực tiếp của các môđun con p(Xd)

Vậy X/A là một môđun chia bậc trên R với cùng tập D các bậc và vớimột sự phân tích thành tổng trực tiếp:

X/A = ( d)

D d

X p

*Trớc hết ta chứng minh Im f là môđun con của 

Vì f :X   là một đồng cấu của môđun X vào môđun  nên f là đồng cấu củanhóm Aben cộng X vào nhóm Aben cộng Y, do đó Imf là nhóm con của Y.Vì thế ta còn phải chứng minh Imf là ổn định dới phép nhân vô hớng

Thật vậy

Lấy bất kỳ y  Imf

Khi đó : x  X sao cho f(x) = y

Do đó với   R ta có:

Luận văn tốt nghiệp

y = f(x)

= f(x), vì f là đồng cấu môđun  y  Imf

Vậy Imf là một môđun con của Y

*Chứng minh tính thừa nhận đợc của Imf

Giả sử y là một phần tử tuỳ ý của Imf

Khi đó x  X sao cho f(x) = y

Xét các thành phần thuần nhất xd của x (d  D)

Vì f là đồng cấu thuần nhất bậc r nên f(Xd)  Y d+r ;  d  D

Suy ra: f(xd) là thành phần thuần nhất bậc d + r của y = f(x)

Vì f(xd)  Imf ;  d  D nên ta suy ra Imf là môđun con thừa nhận đợc

Vậy Imf = f(X) là một môđun con thừa nhận đợc của Y

(ii)Chứng minh Ker f = f -1 (0) là môđun con thừa nhận đ ợc của môđun

chia bậc X.

*Trớc hết ta chứng minh Ker f là một môđun con của môđun X

Vì f: X  Y là một đồng cấu của môđun X vào môđun Y nên f là đồng cấu củanhóm Aben cộng X vào nhóm Aben cộng Y, do đó Ker f là nhóm con của X.Vì thế ta còn phải chứng minh Ker f là ổn định dới phép nhân vô hớng

Vậy Ker f là một môđun con của X

*Chứng minh tính thừa nhận đợc của Ker f

Lấy bất kỳ x thuộc Ker f

Khi đó: f(x) = 0

Với  d D ta xét thành phần thuần nhất xd  Xd của x

Vì f là đồng cấu thuần nhất bậc r nên f(xd) là thành phần thuần nhất bậc d + rcủa f(x) = 0

Suy ra: f(xd) = 0 ;  d  D

 xd  Ker f;  d  D

Do đó Ker f là một môđun con thừa nhận đợc

Vậy Ker f = f -1 (0) là một môđun con thừa nhận đợc của môđun chia bậc X

những đồng cấu của các môđun trên vành R cho trớc.

Lấy tổng trực tiếp của các môđun với  n  Z ta đợc:

C = n

Z n

Tổng trực tiếp của các đồng cấu môđun : Cn Cn-1;  n  Z, là một tự

đồng cấu thuần nhất  : C  C của môđun chia bậc C trên R

Ta thấy:  là đồng cấu thuần nhất bậc - 1, vì  (Cn)  Cn-1;  n  Z

và thoả mãn  = 0

Nh vậy, khái niệm về dãy dới các đồng cấu môđun đợc quy về khái niệm mộtmôđun chia bậc C với tập các số nguyên Z làm bậc cùng với một tự đồng cấuthuần nhất  của C bậc - 1 và thoả mãn  = 0

b)Hoàn toàn tơng tự ta có:

Khái niệm về dãy trên các đồng cấu môđun có thể đợc quy về khái niệm mộtmôđun chia bậc C với tập các số nguyên Z làm bậc cùng với một tự đồng cấuthuần nhất  của C bậc 1 và thoả mãn = 0

2.3.2-Định nghĩa

2.3.2.1-Định nghĩa về môđun vi phân

*Một môđun C trên R đợc gọi là môđun vi phân trên R nếu C cùng với một tự

đồng cấu d của môđun C thoả mãn dd= 0

*Trong trờng hợp này ta có:

Im (d)  Ker (d) Thật vậy

Lấy bất kỳ y  Im(d)

Khi đó  x  C sao cho: y = d(x)

Ta có:

d(y) = d[d(x)]

= (dd)(x)

= 0, vì dd= 0;  x  C

Luận văn tốt nghiệp

 y  Ker (d) Vậy Im (d)  Ker (d)

2.3.2.2-Định nghĩa về môđun dẫn xuất

Môđun thơng H (C) = Ker (d)/Im(d) đợc gọi là môđun dẫn xuất của môđun

vi phân C đó

*Trong trờng hợp C là môđun chia bậc trên R dựng từ một dãy dới và d = thì môđun dẫn xuất cũng là môđun chia bậc với một sự phân tích thành tổngtrực tiếp:

H(C) = Hn(C )

Z n





trong đó Hn(C) là đẳng cấu với môđun đồng điều n chiều của dãy dới đã cho *Trong trờng hợp C là môđun chia bậc trên R dựng từ một dãy trên và d = thì môđun dẫn xuất cũng là môđun chia bậc với một sự phân tích thành tổngtrực tiếp:

H(C) = Hn(C )

Z n