Tính ổn định p moment của phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước nhảy

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh1.5 Tính ổn định với xác suất 1 của hệ phơng trình vi phân... Do đó, tính ổn định của hệ thống liênquan chặt chẽ đến tính ổn định của hệ phơng tr

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh

1.5 Tính ổn định với xác suất 1 của hệ phơng trình vi phân

2.1 Các khái niệm 27

2.3 Các điều kiện đủ của tính ổn định p-môment đều 31

Bất kì một hệ thống nào, dù là hệ thống kĩ thuật, hệ sinh thái hay hệ thốngkinh tế – xã hội,… bao giờ cũng tồn tại và phát triển ở trạng thái ổn định nhất bao giờ cũng tồn tại và phát triển ở trạng thái ổn định nhất

Đó là trạng thái mà khi có nhiễu bé kéo hệ ra khỏi trạng thái ban đầu thì hệ có

xu hớng quay trở lại trạng thái cân bằng vốn có Mọi hệ thống đều có thể mô tảbởi một hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên Do đó, tính ổn định của hệ thống liênquan chặt chẽ đến tính ổn định của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên

Phơng trình vi phân ngẫu nhiên đã và đang đợc phát triển rộng lớn và đóngmột vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực nh dự đoán sự phát triển của dân số.Vì vậy tầm quan trọng của phơng trình vi phân ngẫu nhiên rất rõ ràng Gần đây,tính ổn định của phơng trình vi phân ngẫu nhiên với 1 bớc nhảy đã đợc nhiều nhàtoán học quan tâm Chẳng hạn Ji, Chizeek và Mariton đã nghiên cứu tính ổn địnhcủa phơng trình vi phân ngẫu nhiên với 1 bớc nhảy dạng:

0( ) ( ( )) ( ),

t x t r A t

ở đây, r(t) là một xích Markov nhận giá trị trong S ={1, 2, … bao giờ cũng tồn tại và phát triển ở trạng thái ổn định nhất }

Mao đã nghiên cứu tính ổn định mũ của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiênphi tuyến với

.

)) t ( r , ), t ( x ( g dt )) t ( r , ), t ( x ( f )

t

(

dx

t dw

t

(

Luận văn gồm 2 chơng:

Chơng I: trình bày tính ổn định của hệ phơng trình vi phân và sai phân

Ch-ơng này đa ra khái niệm và các tính chất cơ bản của lí thuyết ổn định, xét tính ổn

định của hệ tuyến tính, hệ phi tuyến và hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên

Chơng II: nghiên cứu tính ổn định p-moment của hệ phơng trình vi phân

ngẫu nhiên phi tuyến dạng:

2 1 x

) t ( x

, i , t ), ), ( x , ( I ) ( x

t , dW )) t ( x , ( b dt )) t ( x , ( a ) t ( dx

i i

i i i i

i t

ở đây, i là dãy ngẫu nhiên và {i} là một dãy số

Luận văn đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn trực tiếp của

T.S Phan Lê Na và sự giúp đỡ của PGS.TS Phan Đức Thành Tác giả xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy và Cô về sự quan tâm nhiệt tình mà Thầy và Cô

đã dành cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trờng

Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn Quảng,PGS.TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hoà, cùng các thầy cô giáo ở bộmôn xác suất thống kê và ứng dụng, Khoa toán, Khoa sau đại học – trờng Đạihọc Vinh

Vinh, tháng 10 năm 2009 Tác giả

1.1 Các khái niệm cơ bản

ds )) s ( x , s ( f x

x  

0 0

Nếu giả thiết thêm f(t,0) = 0 thì x = 0 là nghiệm tầm thờng hay trạng thái cân

bằng của hệ

Trong trờng hợp đó, ta nói hệ (1.1) là ổn định thay cho nghiệm x = 0 của hệ là

ổn định

Bây giờ ta xét hệ với f(t,0) = 0, t  R + Ta có các định nghĩa sau:

1.1.1 Định nghĩa Hệ (1.1) đợc gọi là ổn định nếu  > 0, t 0  R + ,  (phụ thuộc vào , t 0 ) sao cho bất kì nghiệm x(t): x(t 0 ) = x 0 thoả mãn x 0  <  thì

x(t) < , t  t 0

1.1.2 Định nghĩa Hệ (1.1) đợc gọi là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và 

> 0 sao cho: nếu x 0  <  thì l im x ( t )

1.1.3 Định nghĩa Hệ (1.1) là ổn định mũ nếu  M > 0,  > 0 sao cho nghiệm

của hệ (1) với x(t 0 ) = 0 thoả mãn:

) (

0

) (t M e t t

x     , t  t 0.Tức là nghiệm không của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm của

nó tiến tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ

Thí dụ: Xét phơng trình vi phân

x t a t

0

) ( ) (





- Hệ là ổn định nếu   (t ).

t )d a(

0 0

Μμ τ τ

- Hệ là ổn định đều nếu (t 0 ) không phụ thuộc t 0

- Hệ là ổn định tiệm cận nếu   - .

t t )d a(

0

τ τ

0

0 ) (t x e A t t

x   , t  t 0

1.2.1 Định lý (Tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov)

Hệ (1.3) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của A là âm, tức là:

2

x x

x x

Ta thấy

 0

2

1 0 A

1 a

a a det D

k

a

a a

a a a

a a a a det

D

et

d

0 0 0

1 0

1

3 2 1

2 2 4

2

1 2 5

3 1

, k =1, 2, , n

và a r = 0 nếu r > n

Xét phơng trình Lyapunov dạng A X+XA = -Y’X+XA = -Y (LE)

X,Y là ma trận (nxn) chiều gọi là cặp nghiệm của (LE)

Xét hệ (1.2), ta nói ma trận A là ổn định nếu phần thực tất cả giá trị riêngcủa A là âm  (1.2) ổn định tiệm cận

1.2.3 Định lý Ma trận A là ổn định khi và chỉ khi mọi ma trận Y đối xứng, xác

định dơng, phơng trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng, xác định dơng X.

1.3 ổn định của hệ tuyến tính không dừng

(1.3) t ), t ( x ) t ( A )

) s , (  A ( t  s )



1.3.1 Định lý Xét hệ (1.3) trong đó A(t) =A+c(t) Giả sử A là ma trận ổn định

và giả sử c(t) là khả tích trên R + và:

a t

c( )  , a > 0 Khi đó, hệ ổn định tiệm cận với a > 0 đủ nhỏ.

x

t sin x

x x

2 1

1

2 2

1 2

4 1 3 1

4 1 2 1 5 1

1

0 3

2

sin 4 1

cos 4

1 ) (

Vì (A) =-1/3, -1/2 < 0 nên A là ma trận ổn định

M =1,  =1/2

2

1 4

x x

t x

x x

2 2 1 1

2 2 2

2

sin 2

1

sin 2

1 2

0 1

t x x

t

g

2 2

sin 2 1

sin 2

1 ) , (

2 2

2 1

khi đó hệ là ổn định tiệm cận.

1.5 TíNH ổn định VớI XáC SUấT 1 CủA Hệ PHƯƠNG TRìNH VI PHÂN NGẫU NHIÊN

1.5.1 Định nghĩa Quá trình W = (W t , t > 0 ) xác định trên không gian xác suất

ii) (Wt) là quá trình có gia số độc lập , tức với mọi t 1 < t 2 < t 3 < t 4 các

biến ngẫu nhiên W t4 W t3 và W t2  W t1 độc lập

iii) Biến ngẫu nhiên W t – W s ( 0 < s < t ) có phân phối chuẩn với trung

quá trình ngẫu nhiên Y t = g(t,X t ) có vi phân Itô đợc tính theo công thức sau đây

đ-ợc gọi là qui tắc vi phân Itô:

dt B x

g dX

x

g dt t

Nghiệm x(t) = 0 của hệ đợc gọi là ổn định với xác suất 1 theo Liapunov

nếu M > 0,  > 0 sao cho xác suất có điều kiện của biến cố sup x ( t ) M

t t

1.5.6 Mệnh đề ( Ghiman) Nếu đối với hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên Itô

(1.6) tồn tại hàm Liapunov xác định dơng V(x(t)) sao cho V(0) = 0 và kì vọng của đạo hàm toàn phần theo biến thời gian của V lấy dọc theo nghiệm của hệ là

âm thì nghiệm không của hệ ổn định tiệm cận với xác suất 1.

1.5.7 Định lí Giả sử ma trận A ổn định khi đó nghiệm x = 0 của hệ (1.6) ổn

định tiệm cận với xác suất 1 nếu ma trận A T H + HA+ B T HB (hoặc ma trận B T HB

G ) xác định âm, trong đó H

A T H + HA = - G với G là ma trận xác định dơng, đối xứng tùy ý ( có thể lấy G = I ).

1.5.8 Định lí Giả sử ma trận A Hurwitz Khi đó, điều kiện đủ để nghiệm không

của hệ (1.6) ổn định tiệm cận với xác suất 1 là tồn tại ma trận xác định dơng H thỏa mãn phơng trình Sylvester:

A T H + HA+ B T HB = - G trong đó G là ma trận đối xứng, xác định dơng, chọn tùy ý ( đặc biệt có thể lấy G

= I là ma trận đơn vị ).

1.5.8 Định lí Giả sử ma trận A ổn định và ma trận B không suy biến Khi đó

điều kiện đủ để nghiệm x = 0 của hệ (1.6) ổn định tiệm cận với xác suất 1 là ma trận H - E xác định âm, trong đó H thỏa mãn phơng trình Sylvester:

A T H + HA = - B T B.

1.5.9 Định lí Giả sử ma trận A ổn định và ma trận B không suy biến Khi đó

điều kiện đủ để nghiệm x = 0 của hệ (1.6) ổn định tiệm cận với xác suất 1 là vết

H < 1, trong đó H thỏa mãn phơng trình Sylvester:

1.6.1.1 Định nghĩa Hệ rời rạc (1.7) gọi là hệ ổn định nếu với  > 0, k 0 Z + , 

> 0 (phụ thuộc vào k 0 , ) sao cho mọi nghiệm x(k) của hệ với ‌ x( 0 )   thì



 )

(k

x , k ≥ k 0

1.6.1.2 Định nghĩa Hệ (1.7) là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và có một số

 > 0 sao cho:

0 ) (





k x

R A

Z k

R x

(1.8)

với x(0) = x 0 thì nghiệm của (1.8) là:

x(k) = A k x 0

1.6 2.1 Định lí Hệ rời rạc (1.8) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi một trong

hai điều kiện sau đợc thoã mãn:

0

1 1

1 1

0

0 )

k

r x

T r

r T x k A k

 0

0 

x k

Vì A k x0  A k x0 nên 0

0 

x k

Vậy hệ ổn định tiệm cận

(+) Nếu r  1 , r  r(A) thì theo trên

0 1 1

0

0

0 )

r

r T x A

k

x

k n

0 )

n k

k n

k ( x ) k

(

x

) k ( x ) k ( x ) k

(

x

1 1

2 1

2

2 1 1

3 1 4

0 2

A(k) q , k  Z +

ii) Nếu A(k) = A + C(k)

trong đó A là ma trận ổn định và C ( k )  a. Khi đó hệ sẽ ổn định tiệm cận nếu

0

1

0 A A i A x i x

i k

A

k

x

1 ( )

0

k i

i k

) 1

( )

(

0

k i

k

p q p p

x k

, k

) q p p ( x ) k

khi đó hệ (1.9) trở thành:

x(k+1) = Ax(k+1)+C(k).x(k).

Với x(0) = x 0 thì nghiệm của hệ trên là:

) ( ).

( )

0

1

0 A C i x i x

1 ( ) )

(

0

k i

i k

p k

x

Sử dụng bất đẳng thức Gronwall dạng rời rạc với:

) k ( x q )

) 1 ( )

(

0

k i

k

q

a q

x k

, x ) a q

x A )

k

(

x

k i

i k k

1

0

Vì A là ma trận ổn định nên

0

k i

i k k

)) i ( x ( g q

x q )

i k k

1

0

Sử dụng bất đẳng thức Gronwall dạng rời rạc với:

) k ( x q )

) 1 ( )

(

0

k i

k

q

a q

x k

x ) a q

1

k k k

k

x

x E

B A x

x )

1.6.4.1 Mệnh đề Nghiệm không của hệ phơng trình (1.11) ổn định tiệm cận

Lyapounov khi và chỉ khi nghiệm không của (1.11 ) ổn định tiệm cận’X+XA = -Y

E E

A A

k h

1

1

0 0

0

0 0

12

Khi đó, hệ (1.12) có dạng y k+1 = ãy k , (1.12’X+XA = -Y)

ã R (h+1)nx(h+1)n

y k = (x k ,x k-1 , ,x k-h ) T R (h+1)n

Từ đó ta có :

1.6.4.2 Mệnh đề Nghiệm không của hệ phơng trình (1.12) ổn định tiệm cận

Lyapounov khi và chỉ khi nghiệm không của (1.12 ) ổn định tiệm cận Lyapounov’X+XA = -Y

tức là r j(A~)  1 , với:

E E

A A

A A

1.6.5.2 Mệnh đề Nghiệm không của hệ phơng trình (1.13) ổn định tiệm cận

Lyapounov bình phơng trung bình nếu a 2 + b 2 < 1.

Chứng minh: Bình phơng 2 vế, ta có:

x k+1 2 = (a + bk ) 2 x k 2 = (a 2 + 2abk + b 2k 2 ) x k 2

2 2 2 2

2 2 2

1 (a b )E x (a b ) E x

x

k k

1.6.6 Tiêu chuẩn hệ số đại số đối với hệ phơng trình sai phân tất định

1.6.6.1 Định lí Nếu  một hàm số xác định dơng v: R n R + sao cho

v(x k ) = v(x k+1 )-v(x k ) < 0 thì nghiệm không của hệ phơng trình sai phân

x k+1 = Ax k A  R nxn

, x k  R n x(0) = x 0

1.6.6.2 Mệnh đề Nghiệm không của hệ phơng trình (1-4) ổn định tiệm cận

Lyapounov nếu tồn tại một ma trận đối xứng xác định dơng H > 0 thoả mãn

ph-ơng trình:

A T HA – H = -E (1.14 )’X+XA = -Y

Chứng minh: Giả sử tồn tại ma trận H nh trong mệnh đề Xây dựng hàm

Lyapounov nh sau:

V(x k ) = x k T Hx k

Khi đó:

v(x k ) = v(x k+1 )-v(x k ) = x k+1 T Hx k+1 - x k T Hx k = x k T (A T HA – H)x k

Vì A T HA – H = -E.

 v(x k ) = x k T (–E)x k < 0.

Vậy nghiệm không của hệ phơng trình (1.14) ổn định tiệm cận

Bài toán 5.

Xét hệ phơng trình sai phân 2 bớc

) (

x

) ( x

R x , R B , A

Bx Ax x

n k nxn

k k k

15

1

1 1



















1.6.6.3 Mệnh đề Nghiệm không của hệ phơng trình (1.15) ổn định tiệm

cậnLyapounov nếu tồn tại một ma trận đối xứng xác định dơng H > 0 thoả mãn:

A T HA + B T HB –H + E + B T HAA T HB < 0 (1.15 )’X+XA = -Y

Chứng minh:

Giả sử tồn tại ma trận H > 0 thoả mãn điều kiện trong mệnh đề.

Xây dựng hàm Lyapounov nh sau:

V(x k ) = x k T Hx k + x k-1 T Qx k-1 với Q = B T HB + E.

Khi đó:

v(x k ) = v(x k+1 )-v(x k ) = x k+1 T Hx k+1 + x k T Qx k - x k T Hx k - x k-1 T Qx k-1

T T

T T

E HA

B

HB A E H -HB B HA A y

















ở đây y k = (x k ; x k-1 ) T , mặt khác ta có:

A T HA + B T HB –H + E + B T HAA T HB < 0

0 E HA

B

HB A E H -HB B HA A

T

T T

T



















 v(x k ) < 0 suy ra điều phải chứng minh.

Bài toán 6 Xét hệ phơng trình sai phân

) (

x

R

x , R B

,

A

Bx Ax x

n k nxn

h k k k

Giả sử tồn tại ma trận H > 0 thoả mãn các điều kiện của mệnh đề.

Xây dựng hàm Lyapounov nh sau:

h k i

i

T i k

T k

k

h k i k

h k i

)

i T i k

T k i T i 1

k T 1

x

k T

T T

T T

E HA

B

HB A E H - HB B HA A y

Theo giả thiết : A T HA + B T HB –H + E + B T HAA T HB < 0

 v(xk) < 0 suy ra điều phải chứng minh

) ( x

R

x , R A , , A , A

x A

x A Ax x

n k nxn p

h k p h

k k

0 1

1 1

0

1

1.6.6.5 Mệnh đề Nghiệm không của hệ phơng trình (1.17) ổn định tiệm cận

Lyapounov tồn tại một ma trận đối xứng xác định dơng H > 0 thoả mãn:

0 E

HA A HA

-A HA

A

HA A HA A HA

A HA

A

HA A HA A HA

A pE HA A H

-HA

A

p T 1 - p p

T 1 p

T

1 T p 1 T 1 - p 1

T 1 1

T

T p T

1 - p T

1 p

1 i

i T i T

Giả sử tồn tại ma trận H thoả mãn các điều kiện của mệnh đề

Xây dựng hàm Lyapounov nh sau:

1 k

h k i

i j

T i k

T k k

j x Q x Hx

x )

với Q A HA E; j 1,p.

j T

1 k

h k i

i j T i k

T k p

1 j k

h 1 k i

i j T i 1

k T 1 k

j j

x Q x Hx

x - x Q x Hx

x

k p

T 1 - p p

T 1 p

T

1 T p 1 T 1 - p 1

T 1 1

T

T p T

1 - p T

1 p

1 i

i T i T

T

E - HA A HA

A HA

A

HA A HA A HA

A HA

A

HA A HA A HA

A pE HA A H

Từ giả thiết suy ra v(x k ) < 0.

Vậy hệ đã cho là ổn định tiệm cận Lyapounov

1.6.7 Tiêu chuẩn hệ số đại số đối với hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên Bài toán 8 Xét phơng trình sai phân ngẫu nhiên

trắng ồn

là

R x , R B

A,

x ) B (A x B Ax x

k

n k nxn

k k k

k k 1

k

ξ

ξ ξ

1.6.7.1 Định lí.

Nghiệm không của hệ phơng trình (1.18) ổn định tiệm cận Lyapounov bình

ph-ơng trung bình nếu ma trận A hội tụ và tồn tại một ma trận

đối xứng xác định dơng H > 0 thoả mãn phơng trình sylvester:

(1.18 ) ’X+XA = -Y

Bài toán 9 Xét phơng trình sai phân ngẫu nhiên đa bớc

k h k h k

k h

k h k

1 k

k h 1

h k

1 k

k h k

1 h k

k

1 k

x

x x

0 0

0

0 0

0

B B

B

x

x x

0 E 0

0

0 0

E

A A

y    ξ (1.19’X+XA = -Y) Nếu nghiệm không của hệ (1.19’X+XA = -Y) ổn định tiệm cận Lyapounov bình phơngtrung bình thì nghiệm không của hệ phơng trình (1.19) ổn định tiệm cậnLyapounov bình phơng trung bình

1.6.7.2 Định lí Nghiệm không của hệ phơng trình (1.18) ổn định tiệm cận

Lyapounov bình phơng trung bình nếu ma trận A hội tụ và tồn tại ma trận đối xứng xác định dơng H > 0 thoả mãn phơng trình sylvester:

ATHABTHB H E.

1.6.9 Tính ổn định tiệm cận bình phơng trung bình của một lớp phơng trình sai phân (PTSP) tuyến tính ngẫu nhiên Trong phần này ta xét hệ phơng trình sai phân tuyến tính ngẫu nhiên (1.20)

Z.

i ,

x i l i 





k

j

j -i j 1

x

0

với điều kiện ban đầu xi = i, i  Z0

trong đó I là biến rời rạc

i  ZZ 0 với Z = {0,1,2, …}; };

Z 0 = {-h, …}; ,0} ; h = max{k,l}.

Giả sử (, F, P) là không gian xác xuất, (f i F)

i  Z là dãy các  đại số;

0 , 1,… bao giờ cũng tồn tại và phát triển ở trạng thái ổn định nhất là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập;

i là dãy các biến ngẫu nhiên phù hợp với f i+1 và độc lập với f i , Ei = 0, Ei 2 = 1

1.6.9.1 Định nghĩa Nghiệm không của hệ phơng trình trên đợc gọi là ổn định

bình phơng trung bình nếu  > 0,  > 0 sao cho



2 i 2

i Z

i

2

Ex E

Sup

0





Nếu ngoài ra lim Ex2i 0

i





 thì nghiệm x= 0 của (1) đợc gọi là ổn định bình phơng

trung bình

Trong phần này trớc hết chúng tôi sử dụng định lí sau:

1.6.9.2 Định lí Giả sử tồn tại hàm không âm V i = V(i,x -h , …}; ,x i ) ; i  Z thoả mãn

các điều kiện:

;

2 1 i

x

E Vi  -c 2 E 2

i

x ; i Z;

trong đó V i = V i+1– V i c 1 > 0 , c 2 > 0

Khi đó phơng trình trên có nghiệm x= 0 ổn định tiệm cận bình phơng trung bình.

Bây giờ chúng ta sẽ thiết lập điều kiện đủ để nghiệm x = 0 của hệ (1.20) ổn

định tiệm cận bình phơng trung bình

Đặt x(i) = (x i-k , , x i-1 , x i ) T

b = (0, , ) T

là các véctơ cột k+1 chiều.

Đặt ma trận vuông