Các phép toán về số tự nhiên
Các định luật số học
Số học là lý thuyết toán học về các số tự nhiên, dựa trên các định luật liên quan đến phép cộng và phép nhân Để diễn đạt các định luật này một cách tổng quát, chúng ta không thể sử dụng các ký hiệu cụ thể như 1, 2, 3, mà thay vào đó là các ký hiệu như a, b, c Ví dụ, khẳng định 1 + 2 = 2 + 1 chỉ là một trường hợp cụ thể của định luật tổng quát rằng tổng của hai số không phụ thuộc vào thứ tự Khi thỏa thuận về cách ký hiệu này, việc diễn đạt năm định luật cơ bản của số học trở nên dễ dàng và quen thuộc với người đọc.
Hai định luật đầu tiên trong số học, bao gồm định luật giao hoán của phép cộng và phép nhân, cho phép thay đổi thứ tự các số trong phép toán mà không ảnh hưởng đến kết quả Định luật thứ ba, tức định luật kết hợp của phép cộng, khẳng định rằng khi cộng ba số, kết quả luôn giống nhau, bất kể thứ tự cộng Tương tự, định luật kết hợp của phép nhân cũng áp dụng cho phép nhân Cuối cùng, định luật phân phối cho phép nhân một tổng với một số nguyên bằng cách nhân từng số hạng với số đó và cộng các tích lại Mặc dù các định luật này có vẻ hiển nhiên, nhưng chúng không nhất thiết áp dụng cho các đối tượng không phải số tự nhiên Ví dụ, trong hóa học, nếu a và b là các chất hóa học, thì định luật giao hoán của phép cộng có thể không đúng, như khi đổ acid sulfuric vào nước so với việc đổ nước vào acid sulfuric, có thể gây nguy hiểm Do đó, có thể tồn tại những hệ thống số học mà một hoặc một số định luật này không áp dụng.
Các hệ thống số học đã được nghiên cứu trong toán học hiện đại, với cơ sở là mô hình cụ thể của khái niệm số nguyên Thay vì sử dụng các ký hiệu thông thường như 1, 2, 3, chúng ta biểu thị số lượng đối tượng trong một tập hợp, ví dụ như số quả táo trên cây, bằng hệ thống điểm trong hộp, mỗi điểm tương ứng với một đối tượng Khi thao tác với các hộp này, chúng ta có thể nghiên cứu các định luật số học của số nguyên Để cộng hai số nguyên a và b, chúng ta chỉ cần đẩy hai hộp tương ứng sát lại với nhau và bỏ vách ngăn đi.
Để nhân a với b, chúng ta sắp xếp các điểm trong hai hộp thành hàng và tạo ra một hộp mới với a hàng ngang và b hàng dọc Các quy tắc từ 1 đến 5 thể hiện những tính chất trực giác rõ ràng của các phép toán với các ngăn kéo mà chúng ta đã đề cập.
1.2 CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ TỰ NHIÊN 3
Hình 1.3: Định luật phân phối
Dựa vào định nghĩa của phép cộng hai số nguyên, chúng ta có thể định nghĩa bất đẳng thức Hai khẳng định a < b (a nhỏ hơn b) và b > a (b lớn hơn a) cho thấy rằng hộp b có thể được tạo ra từ hộp a bằng cách thêm vào một hộp thứ ba c, sao cho b = a + c Do đó, chúng ta có thể viết c = b - a, từ đó định nghĩa phép toán trừ.
Phép cộng và phép trừ là hai phép toán đối lập; ví dụ, nếu bạn cộng một số vào số a và sau đó trừ đi số d từ kết quả, bạn sẽ trở lại số a.
Số b - a chỉ được xác định khi b > a Nếu b < a, ký hiệu này sẽ được hiểu là số nguyên âm Ký hiệu b ≥ a (b lớn hơn hoặc bằng a) hoặc a ≤ b (a nhỏ hơn hoặc bằng b) thường được sử dụng để thể hiện sự phủ định của a > b Do đó, có thể khẳng định rằng 2 ≥ 2 và cũng có thể viết 3 ≥ 2.
Chúng ta có thể mở rộng phạm vi các số nguyên dương được biểu diễn bằng các hộp điểm bằng cách đưa vào số nguyên không, được biểu diễn bởi ngăn kéo hoàn toàn rỗng, ký hiệu là 0 Theo định nghĩa của phép cộng và phép nhân, với mọi số a, ta có các hệ thức: a + 0 = a và a × 0 = 0.
Thực tế, a + 0 thể hiện việc thêm một ngăn kéo rỗng vào ngăn kéo a, trong khi a.0 biểu thị một ngăn kéo hoàn toàn trống rỗng Do đó, việc mở rộng định nghĩa phép trừ là hợp lý nếu giả định rằng a - a = 0 với mọi a, điều này phản ánh những tính chất số học đặc trưng của số không.
Các mô hình hình học như ngăn kéo điểm đã được sử dụng phổ biến trong tính toán số học cho đến cuối thời kỳ Trung cổ Sau đó, chúng dần được thay thế bởi các phương pháp ký hiệu tiên tiến hơn, dựa trên hệ thập phân.
Biều diễn các số nguyên bằng các ký hiệu (phép viết số)
Cần phân biệt cẩn thận giữa số nguyên và ký hiệu (ví dụ: 5, V, v.v.) khi viết Trong hệ thập phân, số không và chín số tự nhiên đầu tiên được ký hiệu bằng các chữ 0, 1, 2, 3, , 9 Số lớn hơn, chẳng hạn như ba trăm bảy mươi hai, được viết dưới dạng:
Số tự nhiên trong hệ thập phân, chẳng hạn như 372, được viết bằng các ký hiệu mà giá trị của từng chữ số (3, 7, 2) phụ thuộc vào vị trí của chúng trong số Cụ thể, vị trí của các chữ số quyết định chúng thuộc hàng đơn vị, hàng chục hay hàng trăm Theo nguyên tắc vị trí, chúng ta có thể biểu diễn bất kỳ số tự nhiên nào chỉ với mười chữ số qua các tổ hợp khác nhau Quy tắc chung về cách biểu diễn này được minh họa bằng sơ đồ.
Z =a.103 +b.102 +c.10 +d trong đó a, b, c, d là các số nguyên từ số không đén số chín Lúc này số Z được biểu diễn vắn tắt bằng ký hiệu abcd.
Tiện thể, chúng ta lưu ý thêm rằng các hệ số d, c, b, a chẳng qua là các số dư trong phép chia liên tiếp số Z cho 10 Chẳng hạn:
Để biểu thị các số lớn hơn mười nghìn, chúng ta cần sử dụng năm chữ số hoặc nhiều hơn Nếu Z là số nằm trong khoảng từ mười nghìn đến một trăm nghìn, nó có thể được biểu diễn theo cách phù hợp.
Z =a.104 +b.103 +c.102 +d.10 +evà ký hiệu là abcde.
Một khẳng định tương tự cũng áp dụng cho các số trong khoảng từ một trăm nghìn đến một triệu Việc tìm ra một phương pháp tổng quát để diễn đạt kết quả bằng một công thức duy nhất là điều vô cùng quan trọng.
Để đạt được mục đích này, chúng ta có thể biểu thị các hệ số khác nhau như e, d, c bằng cách sử dụng một chữ a với các chỉ số khác nhau như a0, a1, a2, v.v Do lũy thừa của 10 có thể lớn tùy ý, chúng ta sẽ không sử dụng các lũy thừa cụ thể như 10^3 hay 10^4, mà thay vào đó viết là 10^n, với n là số tự nhiên tùy ý Như vậy, một số nguyên Z bất kỳ trong hệ thập phân sẽ được biểu thị dưới dạng này.
Z=a n 10 n +a n− 1 10 n− 1 + +a 1 10 +a 0 và được ký hiện là a n a n−a a n− 2 a 1 a 0
Cũng như trong thí dụ đã xét ở trên, chúng ta nhận thấy a 0 , a 1 , a 2 a n là các số dư trong phép chia liên tiếp Z cho 10.
Trong hệ thập phân, số 10 đóng vai trò đặc biệt như là cơ số của hệ thống Mặc dù người bình thường có thể không nhận ra, bất kỳ số nguyên nào lớn hơn 1 cũng có thể làm cơ số Ví dụ, có thể có hệ bảy với cơ số 7, trong đó một số nguyên được biểu thị dưới dạng tổng của các hệ số nhân với các lũy thừa của 7 Số này được viết dưới dạng: b_n b_{n-1} b_1 b_0, với các hệ số b nằm trong khoảng từ 0 đến 6.
Số 109 trong hệ bảy được viết là 214, vì 109 = 2.7^2 + 1.7 + 4 Để chuyển đổi từ cơ số 10 sang cơ số B bất kỳ, bạn cần chia liên tiếp số Z cho B, và các số dư sẽ là các chữ số trong hệ cơ số B.
1.2 CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ TỰ NHIÊN 5
109 (hệ thập phân) = 214 (hệ bảy)
Việc lựa chọn cơ số cho hệ đếm là một vấn đề quan trọng, vì cơ số quá nhỏ có thể gây ra nhiều bất lợi, trong khi cơ số quá lớn lại yêu cầu ghi nhớ nhiều chữ số và bảng nhân phức tạp Hệ cơ số mười hai được ủng hộ vì nó chia hết cho 2, 3, 4 và 6, giúp các phép chia và phân số trở nên đơn giản hơn Tuy nhiên, để biểu thị các số trong hệ mười hai, cần sử dụng thêm hai ký hiệu cho ô số mười và ô số mười một Cụ thể, ô số mười được ký hiệu là α, ô số mười một là β, và do đó, ô số mười hai được viết là 10, ô số hai mươi hai là 1α, ô số hai mươi ba là 1β, còn ô số một trăm ba mươi mốt là αβ.
Cách viết số theo vị trí, dựa trên giá trị của các chữ số, được người Babilon khởi xướng và sau đó được người Ấn Độ phát triển, đã mang lại giá trị to lớn cho lịch sử văn minh nhân loại Các hệ thống số cổ hơn, như số La Mã, chỉ dựa vào nguyên tắc cộng đơn giản, ví dụ như CXVIII biểu thị 100 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 Hệ thống của Ai Cập, Do Thái và Hy Lạp cũng tương tự, nhưng gặp bất tiện do số ký hiệu mới là vô hạn Nhược điểm chính của hệ thống La Mã là quy trình tính toán phức tạp, chỉ có chuyên gia mới có thể giải quyết được những bài toán đơn giản Trong khi đó, hệ thống số vị trí Ấn Độ hiện nay đã khắc phục hoàn toàn những khó khăn này.
Hệ thống số vị trí xuất hiện ở Châu Âu thời Trung cổ nhờ vào thương nhân người Ý và sau đó được người Hồi giáo phát triển Đặc điểm nổi bật của hệ thống này là khả năng biểu diễn mọi số từ nhỏ đến lớn bằng một số ký hiệu hạn chế, như các chữ số Ả Rập từ 0 đến 9 Điều này không chỉ giúp việc tính toán trở nên dễ dàng hơn mà còn mang lại ý nghĩa quan trọng trong giáo dục, khi các quy tắc tính toán có thể được tóm tắt và ghi nhớ dễ dàng Phương pháp tính toán trước đây chỉ được biết đến bởi một số ít người thượng lưu giờ đây đã được đưa vào giảng dạy ở trường cấp một Sự tiến bộ này trong hệ thống số đã có ảnh hưởng sâu sắc đến đời sống thực tiễn và văn hóa.
Các phép tính toán số học trong các hệ đếm không thập phân
Vai trò của hệ thống đếm một chục bắt nguồn từ nền văn minh và có liên quan đến việc đếm bằng ngón tay Tuy nhiên, các ngôn ngữ khác cho thấy sự tồn tại của nhiều cơ số khác như 20 và 12 Trong tiếng Đức và tiếng Anh, các từ biểu thị 11 và 12 không theo nguyên tắc thập phân, cho thấy sự độc lập ngôn ngữ Tiếng Pháp với các từ “vingt” và “quatre-vingt” chỉ ra sự hiện diện của hệ cơ số 20 Tiếng Đan Mạch sử dụng từ halvfirsinds-tyve để biểu thị số 70, cho thấy cách tính từ ba lần hai mươi đến bốn lần hai mươi Người Babylon đã phát triển hệ cơ số 60, lý giải tại sao giờ và độ được chia thành 60 phút Trong các hệ đếm không thập phân, quy tắc số học tương tự như trong hệ thập phân, nhưng bảng cộng và nhân có một chữ số lại khác Do quen thuộc với hệ thập phân, chúng ta sẽ gặp khó khăn khi tính toán theo các hệ thống khác, ví dụ như hệ bảy.
Trước khi bắt chúng tay vào việc, cần viết hai bảng tính nhỏ mà chúng ta sẽ dùng đến.
Trong phép viết số La Mã, yếu tố "vị trí" vẫn có vai trò quan trọng Thứ tự sắp đặt các ký tự ảnh hưởng đến giá trị của số Chẳng hạn, V I được hiểu là V cộng I, trong khi IV lại mang nghĩa V trừ I; tương tự, LX là L cộng X, nhưng XL có nghĩa là L trừ X.
2 Trong tiếng Pháp từ biểu thị 80 có nghĩa là bốn lần hai mươi (ND)
Chúng ta sẽ thực hiện phép nhân 265 với 24 trong hệ bảy, tương đương với phép nhân 145 với 18 trong hệ thập phân Bước đầu tiên là nhân 5 với 4, kết quả thu được là 26 theo bảng nhân.
Khi thực hiện phép cộng, chúng ta cần nhớ chuyển số sang hàng tiếp theo Ví dụ, từ phép cộng 4.6, ta có 33 và 33 cộng 2 bằng 35 Ta viết số 5 vào hàng chục và tiếp tục quá trình này cho đến khi hoàn tất Khi cộng các số 1456 và 5630, ta bắt đầu với hàng đơn vị, 6 cộng 0 bằng 6 Tiếp theo, ở hàng 'bảy', 5 cộng 3 bằng 11, ta viết 1 và nhớ 1 sang hàng tiếp theo.
Trong hàng số ‘bốn mươi chín’, tổng của 1 + 6 + 4 là 14, dẫn đến kết quả cuối cùng là 265.24 = 14016 Để xác minh, chúng ta thực hiện phép tính trong hệ thập phân Để viết số 10416 theo hệ thập phân, ta tìm lũy thừa của 7 đến bậc bốn: 72 = 49, 73 = 343, 74 = 2401 Từ đó, ta có thể suy ra.
Số 10416 trong hệ bẩy tương đương với số 2610 trong hệ thập phân, được xác định qua phép cộng 2401 + 4.49 + 7 + 6 Khi nhân 145 với 18 trong hệ thập phân, kết quả cũng cho ra 2610.
1 Thử tạo ra bảng công và nhân trong hệ cơ số 20 và thử với vài bài tập đơn giản.
2 Biểu diễn ‘ba mươi’ và ‘một tram ba mươi ba’ trong hệ thống cơ số 5, 7, 11, 12.
3 Biểu diễn 111111 và 21212 có nghĩa trong những hệ thống nào?
4 Lập bảng phép cộng và nhân cho cơ số 5, 11, 13.
Hệ thống cơ số 2, hay còn gọi là hệ nhị phân, là hệ thống có cơ số nhỏ nhất với chỉ hai chữ số 0 và 1, trong đó mọi số khác được biểu diễn bằng các tổ hợp của hai ký hiệu này Mặc dù hệ nhị phân đơn giản với các quy tắc cộng và nhân cơ bản, như 1+1=10 và 1.1=1, nhưng việc biểu thị các số lớn trở nên phức tạp với các biểu thức dài Ví dụ, số 79 được viết trong hệ nhị phân là 1001111 Để minh họa tính đơn giản của phép nhân, khi nhân số 7 (111) với 5 (101) trong hệ nhị phân, chúng ta nhận thấy rằng quy tắc 1 + 1 = 10 vẫn được áp dụng.
Kết quả chúng ta được ba mươi lăm như đã biết.
Sự vô hạn của hệ thống các số tự nhiên, phép quy nạp toán học
Nguyên lý qui nạp toán học
Dãy số tự nhiên 1, 2, 3, 4 là một tập hợp vô hạn, bởi vì sau mỗi số tự nhiên n, luôn tồn tại số n+1 Đây là ví dụ đơn giản và tự nhiên nhất về sự vô hạn trong toán học, đóng vai trò quan trọng trong toán học hiện đại Trong cuốn sách này, nhiều khía cạnh sẽ đề cập đến các tập hợp vô hạn khác, như tập hợp điểm trên đường thẳng hoặc tập hợp các tam giác trong mặt phẳng, nhưng dãy số tự nhiên vẫn là minh chứng rõ ràng nhất cho khái niệm này.
Việc chuyển tiếp từ n đến n+1 để tạo ra dãy số tự nhiên vô hạn là nền tảng của nguyên lý qui nạp toán học, một trong những lập luận quan trọng nhất trong toán học Quy nạp thực nghiệm được áp dụng trong các ngành khoa học tự nhiên, dựa trên các quan sát riêng lẻ để xác nhận một quy luật chung cho hiện tượng Độ tin cậy của quy luật này phụ thuộc vào số lượng quan sát và các kết luận rút ra Mặc dù lập luận qui nạp thường đáng tin cậy, như việc Mặt Trời mọc từ hướng Đông, nhưng tính chất xác nhận trong trường hợp này khác với chứng minh định lý bằng lập luận logic chặt chẽ trong toán học.
Phép qui nạp toán học là một phương pháp xác lập tính chân lý của các định lý toán học qua một dãy vô hạn các trường hợp mà không có ngoại lệ Chúng ta có thể biểu thị A là một khẳng định đối với số tự nhiên n bất kỳ, ví dụ như ô Tổng các góc trong một đa giác lồi n+2 cạnh bằng 180°n hoặc ô n đường thẳng trên mặt phẳng không thể chia mặt phẳng đó ra nhiều hơn 2n phần Để chứng minh một định lý cho giá trị n tùy ý, việc chứng minh cho 10 hay 1000 giá trị đầu tiên của n là chưa đủ Nguyên tắc của qui nạp thực nghiệm không thể thay thế cho lập luận toán học chặt chẽ, và chúng ta sẽ làm sáng tỏ đặc điểm của nó thông qua các thí dụ về chứng minh các mệnh đề A và A'.
Trong hình học, tổng các góc trong của tam giác luôn bằng 180° khi n=1 Đối với hình tứ giác (n=2), tổng các góc được xác định bằng cách vẽ đường chéo, phân chia tứ giác thành hai tam giác, dẫn đến tổng góc bằng 180° + 180° = 360° Tương tự, khi phân chia ngũ giác thành một tứ giác và một tam giác, tổng các góc của ngũ giác cũng đạt 540° (180° + 360°) Qua đó, ta có thể tiếp tục áp dụng lập luận này để chứng minh định lý cho các hình đa giác với số cạnh n lớn hơn, cho thấy rằng tổng các góc trong của hình n cạnh luôn có thể được xác định dựa trên các hình đơn giản hơn.
Tình hình cũng xảy ra như vậy đối với mệnh đề A 0 :
Khi n = 1, mọi đường thẳng đều chia mặt phẳng thành hai phần Khi vẽ một đường thẳng thứ hai không song song với đường thẳng đầu tiên, nó sẽ chia mỗi phần trước thành hai phần Dù sử dụng cách nào, kết quả vẫn không thay đổi.
Trong chương 1, chúng ta xem xét số tự nhiên với trường hợp n = 2, dẫn đến không quá 4 phần Khi thêm một đường thẳng thứ ba, mỗi phần có thể được chia thành hai phần hoặc không, do đó số phần mới không vượt quá 2^3 Nếu chấp nhận điều này, chúng ta có thể tiếp tục giải quyết các trường hợp tiếp theo, và quá trình này sẽ không bao giờ kết thúc.
Để chứng minh tính đúng đắn của một định lý A tổng quát cho mọi giá trị của n, chúng ta cần thực hiện việc chứng minh cho một dãy vô hạn các trường hợp riêng biệt A1, A2,
Tính khả hiện của lập luận đó dựa trên hai tiền đề:
(a) Có một phương pháp chung để chứng minh rằng nếu A r đúng thì khẳng định tiếp theo A r +1 cũng đúng.
Khẳng định thứ nhất A1 là cơ sở vững chắc để đảm bảo hai điều kiện cần thiết cho sự đúng đắn của mọi khẳng định A1, A2, A3, v.v Điều này thể hiện một nguyên lý logic có ý nghĩa nền tảng trong toán học, tương tự như các quy tắc cổ điển của logic Aristotelian.
Chúng ta có thể phát biểu nguyên lý rằng để xác lập sự đúng đắn của một dãy vô hạn các mệnh đề toán học A1, A2, A3, , cần chứng minh rằng nếu mệnh đề tổng quát A đúng thì mệnh đề A r +1 cũng đúng với mọi số tự nhiên r.
Nguyên lý qui nạp toán học khẳng định rằng nếu A1 đúng, thì mọi mệnh đề A sẽ được chứng minh Chúng ta chấp nhận nguyên lý này như một nguyên tắc cơ bản trong chứng minh toán học, tương tự như các quy tắc logic thông thường Để xác lập tính đúng đắn của mỗi khẳng định An, chúng ta bắt đầu từ giả thiết A1 đúng và áp dụng giả thiết nhiều lần để chứng minh liên tiếp các khẳng định A2, A3, A4, cho đến An Nguyên lý này xuất phát từ sự kiện rằng sau bất kỳ số nguyên r, sẽ có số tiếp theo là r+1, và từ số tự nhiên 1, chúng ta có thể đạt tới số tự nhiên n qua một số bước hữu hạn.
Nguyên lý qui nạp toán học thường được áp dụng một cách ngầm định trong giảng dạy toán học sơ cấp, nhưng khi chứng minh các định lý phức tạp hơn, cần phải vận dụng nguyên lý này một cách rõ ràng Dưới đây là một số ví dụ đơn giản minh họa cho việc áp dụng nguyên lý qui nạp, mặc dù chúng không hoàn toàn tầm thường.
Cấp số cộng
Tổng 1 + 2 + 3 + n của n số tự nhiên đầu tiên bằng n(n+ 1)
Muốn chứng minh định lý này bằng qui nạp toán học chúng ta phải xác lập sự đúng đắn của các hệ thứcA n với mọi n:
(a) Nếu r là một số tự nhiên nào đó và nếu khẳng địnhA r là đúng, tức là nếu:
Thì thêm vào hai vế của đẳng thức sau này r+1 ta được:
2 (1.3.3) Đó chính là khẳng địnhA r +1
1.3 SỰ VÔ HẠN CỦA HỆ THỐNG CÁC SỐ TỰ NHIÊN, PHÉP QUY NẠP TOÁN HỌC 9
(b) Khẳng địnhA 1 hiển nhiên là đúng vì 1 = 1.2
Theo nguyên lý quy nạp toán học, để khẳng định An đúng với mọi n, điều này cần được chứng minh Ngoài ra, chúng ta còn có thể chứng minh định lý này bằng những phương pháp khác, trong đó có việc viết tổng.
Chúng ta thấy các số nằm trên một hàng dọc cộng lại bằng n+1 Vì có tất cả n hàng dọc, chúng ta suy ra:
Và bây giờ chỉ còn phải chia cho 2 là xong.
Từ công thức1.3.1chúng ta có thể suy ra ngay được công thức tổng quát của tổng (n+1) số hạng đầu tiên của cấp số cộng:
Trong trường hợp a = 0, d = 1, hệ thức sau cùng này trở thành hệ thức1.3.1
Cấp số nhân
Cũng có thể nghiên cứu cấp số nhân (dưới dạng tổng quát) bằng cách như trên Chúng ta sẽ chứng minh rằng với mọi n thì:
(chúng ta giả thiếtq 6= 1 vì nếu không, vế phải của1.3.6 không có nghĩa).
Tất nhiên khẳng định của chúng ta đúng với n=1, vì trong trường hợp này thì:
(1−q) =a(1 +q) (1.3.7) và nếu chúng ta giả định rằng:
G r +1 = (a+aq+aq 2 +ã ã ã+aq r ) +aq r +1 =G r +aq r +1 =a1−q r +1
Mà đó là khẳng định 1.3.6khi n = r+1 Chứng minh kết thúc.
Trong các sách giáo khoa có nêu cách chứng minh khác Chúng ta đặt:
Nhân hai vế với q: qG n =aq+aq 2 +aq 3 +ã ã ã+aq n +1 (1.3.11) Trừ 2 vế của 2 đẳng thức trên:
Tổng n bình phương đầu tiên
Nguyên lý quy nạp toán học cho phép chúng ta khám phá ứng dụng thú vị của tổng n bình phương đầu tiên Qua việc thử nghiệm với một số giá trị nhỏ của n, chúng ta nhận thấy những kết quả thú vị.
Chúng ta sẽ dự đoán công thức đúng với mọi số nguyên dương n và để khẳng định điều này, chúng ta áp dụng nguyên lý quy nạp toán học Trước tiên, chúng ta giả sử rằng công thức đúng với n = r.
Sau khi thêm vào hai vế (r+ 1) 2 ta được:
Khẳng định A r +1 được suy ra từ hệ thức 1.3.13 bằng cách thay n bằng r + 1 Để hoàn tất chứng minh, cần xác nhận A 1 là đúng trong trường hợp này.
Công thức 1.3.13 đúng với mọi n và có thể áp dụng quy nạp cho các luỹ thừa cao hơn Cụ thể, tổng 1^k + 2^k + 3^k + + n^k có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp cho bất kỳ bậc k nguyên dương nào.
Kết luận rằng, mặc dù nguyên lý quy nạp toán học đủ để chứng minh công thức 1.3.16, nhưng chứng minh này không cung cấp những chỉ dẫn quan trọng để hiểu rõ bản chất của công thức, cụ thể là lý do tại sao tổng của n lập phương đầu tiên lại bằng n(n+1).
2 mà không phải là một biểu thức nào khác như n(n+ 1)
Sự lựa chọn trong việc áp dụng các quy tắc logic đơn giản để chứng minh định lý là rất lớn, và điều này không ảnh hưởng đến nguồn gốc của nó trong một tập hợp vô hạn các khả năng Cách đặt ra giả thiết phụ thuộc vào một phạm vi không có quy tắc chung, nơi chúng ta thực hiện các phép thử nghiệm, tương tự và quy nạp kiến thiết Nếu một giả thiết đúng đã được hình thành, nguyên lý quy nạp toán học thường đủ để chứng minh định lý, nhưng vì chứng minh không ảnh hưởng đến con đường phát hiện, nên việc này nên được gọi là một sự kiểm tra lại.
1.3 SỰ VÔ HẠN CỦA HỆ THỐNG CÁC SỐ TỰ NHIÊN, PHÉP QUY NẠP TOÁN HỌC 11
Một bất đẳng thức quan trọng
Trong chương sau chúng ta sẽ cần đến bất đẳng thức:
Đối với mọi giá trị p thỏa mãn điều kiện p ≥ -1 và với mọi n là số nguyên dương, chúng ta dự đoán rằng p có thể là bất kỳ số lớn hơn -1, bao gồm cả p âm và không nguyên Việc chứng minh cho trường hợp này là tương tự và không phụ thuộc vào giá trị cụ thể của p Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp quy nạp toán học để thực hiện chứng minh.
(a) Nếu (1 +p) r ≥1 +p.r, thì nhân 2 vế với số dương (1+p), chúng ta được:
(1 +p)r+ 1≥1 +p.r+p+rp 2 ≥1 +p(r+ 1) (1.3.18) (do số hạngrp 2 không âm) Kết quả thu được chứng tỏ1.3.17đúng cả khi n = r+1.
(b) Hoàn toàn rõ ràng rằng:
Giới hạn p ≥ -1 được đặt ra để đảm bảo rằng (1+p) luôn dương Nếu (1+p) âm, việc nhân cả hai vế của bất đẳng thức với một số âm sẽ làm thay đổi chiều của bất đẳng thức, như trong ví dụ 3 > 2, khi nhân với -1 sẽ dẫn đến -3 < -2.
Định lý nhị thức
Thường phải mở ngoặc một luỹ thừa bậc n của nhị thức dạng (a+b) n Phép tính trực tiếp cho:
• và cứ như thế mãi.
Dưới cụm từ “cứ như thế mãi”, có quy luật chung trong việc tính toán biểu thức (a+b) n Để tính (a+b) 2, ta có thể viết lại thành (a+b)(a+b) và nhân từng số hạng của biểu thức với a và b, sau đó cộng các kết quả lại Quy trình tương tự được áp dụng cho (a+b) 3, (a+b) 4, và tiếp tục cho (a+b) n bằng cách nhân a và b với (a+b) n−1, rồi cộng các kết quả.
Hình 1.5: Sơ đồ định lý nhị thức
Tam giác Pascal giúp phát hiện quy luật chung về cấu tạo các hệ số trong phân tích nhị thức (a+b)^n Sơ đồ này bắt đầu từ các hệ số 1,1 và mỗi số trong tam giác là tổng của hai số đứng trên chúng trong hàng trước.
Các hệ số trong phân tích (a+b) n theo luỹ thừa giảm của a và luỹ thừa tăng của b nằm ở dòng thứ n của sơ đồ này Chẳng hạn như:
Nhờ các ký hiệu có dùng chỉ số trên và chỉ số dưới ngắn gọn, chúng ta viết những số ở dòng thứ n của chúng tam giác Pascal như sau:
Như vậy công thức tổng quát của phân tích (a+b) n có dạng như sau:
Theo quy luật cơ sở cho cấu trúc của chúng tam giác Pascal, chúng ta có hệ thức:
Bạn đọc đã có kinh nghiệm áp dụng phương pháp quy nạp toán học, có thể áp dụng nguyên lý đó (và
C 0 1 =C 1 1 = 1) để chứng minh công thức tổng quát:
Ký hiệu n! (đọc là “n giai thừa”) biểu thị tích của n số nguyên dương đầu tiên, được định nghĩa là n! = 1.2 n Để công thức được áp dụng cho k=0 và k=n, chúng ta quy ước 0! = 1 Định lý về nhị thức, còn được gọi là công thức các hệ số của phân thức nhị thức, là một ứng dụng quan trọng của giai thừa.
1.3 SỰ VÔ HẠN CỦA HỆ THỐNG CÁC SỐ TỰ NHIÊN, PHÉP QUY NẠP TOÁN HỌC 13
Chứng minh bằng quy nạp toán học
Tìm tổng của chuỗi sau:
Nhắc lại thêm về nguyên lý quy nạp toán học
Nguyên lý quy nạp toán học khác biệt hoàn toàn với quy nạp thực nghiệm trong khoa học tự nhiên Việc công nhận một quy luật chung cho một số hữu hạn các trường hợp, dù lớn đến đâu, không thể được coi là chứng minh theo nghĩa toán học, ngay cả khi không có trường hợp ngoại lệ nào.
"Quy luật" trong toán học được coi là giả thuyết của lý trí, có thể thay đổi dựa trên kết quả thí nghiệm sau này Một quy luật chỉ được xem là chứng minh khi nó là hệ quả logic tất yếu từ những tiền đề được thừa nhận Có nhiều ví dụ về các khẳng định toán học đã được kiểm chứng, nhưng vẫn chưa có chứng minh tổng quát Dù một định lý có thể đúng với nhiều trường hợp cụ thể, sự nghi ngờ về tính đúng đắn của nó trong trường hợp tổng quát vẫn tồn tại, dẫn đến ý định chứng minh bằng quy nạp toán học Nếu thành công, tính đúng hay sai của định lý sẽ được xác nhận; nếu không, vấn đề vẫn chưa được giải quyết và có thể được chứng minh hoặc bác bỏ trong tương lai.
Khi áp dụng nguyên lý quy nạp toán học, việc theo dõi cẩn thận các giả thiết a) và b) là rất quan trọng để tránh những kết luận vô lý Chúng tôi khuyến khích bạn đọc tìm ra lỗi sai trong nghịch lý cho rằng hai số nguyên dương bất kỳ đều bằng nhau.
Định nghĩa max(a,b) cho hai số nguyên dương a và b không bằng nhau là số lớn hơn trong hai số đó; nếu a=b thì max(a,b) = a = b Ví dụ, max(3,5) = 5, max(5,3) = 5, và max(4,4) = 4 Chúng ta ký hiệu An là khẳng định rằng: “Nếu a và b là hai số nguyên dương sao cho max(a,b) = n thì a = b.”
Chương 1 Số Tự Nhiên trình bày giả thiết A r đúng, với hai số nguyên dương a và b sao cho max(a,b) = r+1 Khi đó, ta có α = a−1 và β = b−1, dẫn đến max(α, β) = r Trong trường hợp này, α = β, từ đó suy ra a = b.
(b) A 1 dĩ nhiên đúng vì nếu max(a,b) = 1 thì mỗi số a và b (theo giả thiết các số nguyên dương) phải bằng 1.
Như vậy, A n đúng với mọi n theo nguyên lý quy nạp toán học.
Bây giờ, giả sử a và b là 2 số nguyên dương bất kỳ, chúng ta đặt max(a,b) = r Đã chứng minh được A n đúng với mọi n, thì riêngA r cũng đúng Do đó a = b.
BỔ SUNG CHUƠNG 1: LÝ THUYẾT SỐ
Số nguyên tố
Những sự kiện cơ bản
Nhiều khẳng định trong lý thuyết số và toán học không chỉ liên quan đến các đối tượng riêng lẻ mà còn thuộc về các tập hợp có chung một tính chất, chẳng hạn như tập hợp các số chẵn như 2, 4, 6, 8, hoặc tập hợp các số chia hết cho 3.
3,6,9,12 . hay lớp các bình phương của số nguyên
Lớp số nguyên tố đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết số, với nhiều số có thể phân tích thành các thừa số nhỏ hơn, ví dụ như 10 = 2.5 và 144 = 2.2.2.2.3.3 Tuy nhiên, những số không thể phân tích được gọi là số nguyên tố Cụ thể, số nguyên tố là số nguyên p lớn hơn 1 mà không có thừa số dương nào khác ngoài 1 và chính nó Các số như 2, 3, 5, 7, 11 được xem là số nguyên tố, trong khi các số khác không phải là nguyên tố.
Hợp số là các số không nguyên tố, có thể được phân tích thành tích của các số nguyên tố Mỗi số không nguyên tố, khác 0 và 1, có thể được phân tách liên tiếp cho đến khi tất cả các thừa số đều là số nguyên tố Ví dụ, số 360 có thể được phân tích như sau: 360 = 3 × 120 = 3 × 20 × 4 = 3 × 3 × 10 × 2 × 2 = 2^3 × 3^2 × 5.
Một trong những câu hỏi phổ biến khi nghiên cứu về số nguyên tố là liệu có vô hạn hay chỉ có một số hữu hạn các số nguyên tố khác nhau Câu trả lời cho thắc mắc này là có vô hạn số nguyên tố.
Chứng minh sự tồn tại của tập hợp vô hạn số nguyên tố, do Euclid đưa ra, là một ví dụ tiêu biểu cho lập luận toán học thông qua phương pháp gián tiếp Bằng cách giả định rằng chỉ có một số hữu hạn các số nguyên tố, chúng ta dẫn đến một mâu thuẫn, từ đó khẳng định rằng số lượng số nguyên tố là vô hạn.
Trong lý thuyết số, số nguyên tố rất phong phú, có thể lên đến hàng triệu Giả sử có n số nguyên tố được gọi là p1, p2, , pn Tất cả các số khác đều là hợp số, chia hết cho ít nhất một trong các số nguyên tố này Chúng ta sẽ xây dựng một số A khác biệt với tất cả các số nguyên tố đã nêu và không chia hết cho bất kỳ số nào trong số đó.
Số này lớn hơn tất cả các số nguyên tố p1, p2, , pn, do đó nó là hợp số Khi chia cho các số nguyên tố này, số này đều có số dư là 1, nghĩa là không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào Điều này dẫn đến mâu thuẫn, cho thấy giả thiết ban đầu là sai Do đó, điều đối lập với nó là đúng, và định lý đã được chứng minh.
Mặc dù việc chứng minh có tính chất "gián tiếp", nhưng nó mở ra một phương pháp lý thuyết để xây dựng vô hạn các số nguyên tố Bắt đầu từ một số nguyên tố như p1 = 2, chúng ta có thể tìm ra các số nguyên tố tiếp theo như p1, p2, , pn.
Một số nguyên tố mới p n +1 luôn có thể được tìm thấy bằng cách thử trực tiếp, điều này cho thấy rằng dãy số nguyên tố không bao giờ có điểm dừng Qua quá trình này, chúng ta khẳng định rằng không tồn tại số nguyên tố cuối cùng.
1 Xây dựng một tập số nguyên tố dựa trên cấu trúc trên Bắt đầu vớip 1 = 2 vàp 2 = 3.
Khi một số được biểu diễn dưới dạng tích các thừa số nguyên tố, những thừa số này có thể được sắp xếp theo một thứ tự nhất định Phân tích số thành thừa số nguyên tố cho thấy rằng mỗi số tự nhiên N lớn hơn 1 chỉ có thể được phân tích một cách duy nhất, không tính đến thứ tự Mặc dù điều này có vẻ hiển nhiên, nhưng nó cần được chứng minh một cách cẩn thận Chứng minh cổ điển của “định lý cơ bản về số học” do Euclid đưa ra dựa trên thuật toán tìm ước số chung lớn nhất Chúng ta sẽ trình bày một chứng minh mới ngắn gọn hơn và mang tính suy diễn hơn, minh chứng rằng giả thiết về sự tồn tại của một số với hai phân tích khác nhau dẫn đến mâu thuẫn, từ đó khẳng định tính duy nhất trong việc phân tích các số thành thừa số nguyên tố.
Nếu một số có hai phân tích thừa số nguyên tố khác nhau, thì chắc chắn tồn tại một số nguyên nhỏ nhất m được biểu diễn dưới dạng tích của các số nguyên tố, tức là m = p1 p2 pn = q1 q2 qn, trong đó p và q là các số nguyên tố Giả thiết rằng p1 ≤ p2 ≤ ≤ pn và q1 ≤ q2 ≤ ≤ qn.
Lưu ý rằng p1 khác q1, nếu không sẽ dẫn đến việc chia đẳng thức 1.5.1 cho thừa số nguyên tố chung, tạo ra một số nhỏ hơn m với hai phân tích thừa số khác nhau, mâu thuẫn với giả thiết m là số nhỏ nhất Do đó, p1 phải nhỏ hơn hoặc lớn hơn q1 Giả sử p1 < q1, nếu p1 > q1 thì chỉ cần hoán đổi vị trí của p và q Xét số nguyên m0 = m - (p1 q1 q2 qs) Thay m bằng hai biểu thức trong đẳng thức 1.5.1, ta có thể viết số m' dưới hai dạng: m0 = p1 p2 pn - p1 q1 q2 qs.
Từ 1.5.4suy ra m 0 là số dương vì p 1 < q 1 , từ 1.5.2suy ra m 0 < m Do đóm 0 phải phân tích được thành thừa số một cách duy nhất (không kể thứ tự các thừa số) Từ1.5.3 chúng ta thấy thêm rằng p 1 là thừa số của m 0 ; nghĩa làm trong trường hợp này thì từ 1.5.4có thể kết luận p 1 là thừa số của q 1 −p 1 , hoặc của q 2 q 3 q n (Điều này được suy ra từ sự duy nhất của phân tích m 0 thành thừa số nguyên tố) Nhưng điều sau là không thể được vì mọi qi đều lớn hơnp 1 Vì thế pr phải là thừa số của q 1 −p 1 , tức làq 1 −p 1 chia hết cho p 1 Nói cách khác, có một số h q 1 −p 1 =p 1 h hoặcq 1 =p 1 (h+ 1) điều này có nghĩa q 1 chia hết cho p 1 , trái giả thiết q1 là số nguyên tố Mâu thuẫn mà chúng ta đi tới chứng tỏ sự không đúng của giả thiết nêu ra đầu tiên Chứng minh định lý cơ bản về số học kết thúc ở đây.
Định lý cơ bản trong số học chỉ ra rằng nếu một số nguyên tố p là thừa số của tích ab, thì p phải là thừa số của ít nhất một trong hai số a hoặc b Nếu p không phải là thừa số của cả a và b, thì tích ab sẽ không chứa thừa số p Ngược lại, vì p là thừa số của ab, nên tồn tại một số nguyên t sao cho ab = pt.
Khi nhân p với phân tích thừa số nguyên tố của t, chúng ta nhận được phân tích thừa số nguyên tố của ab chứa p Điều này dẫn đến việc có hai phân tích thừa số nguyên tố khác nhau cho số ab, gây mâu thuẫn với định lý cơ bản.
Sự phân bố các số nguyên tố
Có thể lập bảng liệt kê tất cả các số nguyên tố không vượt quá một số N bằng cách viết các số tự nhiên từ 2 đến N, sau đó loại bỏ các bội của 2 (trừ 2), tiếp theo là các bội của 3, và tiếp tục cho đến khi loại bỏ hết các hợp số Quá trình này được biết đến với tên gọi Sàng Eratosthenes.
Phương pháp “sàng Eratosthenes” giúp chúng ta giữ lại tất cả các số nguyên tố và hiện nay, chúng ta đã xây dựng bảng số nguyên tố lên đến 10 triệu nhờ cải tiến kỹ thuật Những bảng số này cung cấp tài liệu phong phú cho việc nghiên cứu sự phân bố và tính chất của số nguyên tố Dựa vào các bảng này, chúng ta có thể đưa ra nhiều giả thuyết hợp lý, khiến lý thuyết số trở thành một lĩnh vực khoa học thực nghiệm, mặc dù việc chứng minh các giả thuyết này thường gặp nhiều khó khăn.
Chúng ta đã nỗ lực tìm ra các công thức để sinh ra các số nguyên tố, mặc dù không cần phải liệt kê tất cả các số nguyên tố Fermat đã đưa ra giả thuyết rằng tất cả các số có dạng nhất định đều là số nguyên tố.
F(n) = 2 2 n + 1 là số nguyên tố Thật vậy, với n =1,2,3,4 chúng ta được:
Vào năm 1732, Euler đã chứng minh rằng F(5) = 2^2^5 + 1 = 6.416.700.417 không phải là số nguyên tố, mở ra việc phát hiện nhiều hợp số khác trong các số Fermat Những thách thức trong việc kiểm tra tính nguyên tố đã dẫn đến sự phát triển của nhiều phương pháp lý thuyết số sâu sắc Một biểu thức đơn giản và nổi bật khác có thể tạo ra nhiều số nguyên tố là f(n) = n^2 - n + 41.
Với n từ 1 đến 40, hàm f(n) cho ra các số nguyên tố, nhưng khi n = 41, f(41) = 41^2 không phải là số nguyên tố Biểu thức n^2 - 79n + 1601 tạo ra các số nguyên tố cho đến n = 79, nhưng khi n = 80, kết quả là hợp số Do đó, việc tìm kiếm các công thức đơn giản để sinh ra số nguyên tố có thể coi là không hiệu quả.
Chứng minh rằng trong dãy số tự nhiên có vô số số nguyên tố là một vấn đề sơ cấp, nhưng việc áp dụng điều này cho các cấp số cộng như 1,4,7,10, hoặc 3,7,11,15,19, gặp nhiều khó khăn Mặc dù có nhiều quan sát cho thấy trong các cấp số này cũng tồn tại vô số số nguyên tố, nhưng việc chứng minh định lý tổng quát này vẫn là một thách thức lớn Lejeune Dirichlet, nhà toán học thế kỷ 19, đã đạt được kết quả quan trọng trong lĩnh vực này bằng cách sử dụng các phương pháp của giải tích toán học thời bấy giờ Tuy nhiên, một thế kỷ trôi qua, chứng minh của Dirichlet vẫn phức tạp và khó tiếp cận cho những ai chưa nắm rõ lý thuyết số Bài viết này không nhằm chứng minh định lý của Dirichlet, mà sẽ mở rộng chứng minh của Euclid về sự tồn tại của vô số số nguyên tố, bao gồm các cấp số đặc biệt như 4n+3 hoặc 6n+5 Trước tiên, cần lưu ý rằng mọi số nguyên lớn hơn 2 đều là số lẻ.
2 do đó có dạng 4n+1 hay 4n+3 (với n nguyên) Tích của các số dạng 4n+1 cũng là một số có dạng như thế bởi vì:
Bây giờ chúng ta thử rằng chỉ có một số hữu hạn số nguyên tố dạng 4n+3, chúng ta biểu thị chúng làp 1 , p 2 , , p n và xét số:
Một số nguyên N có thể là một số nguyên tố hoặc có thể phân tích thành các số nguyên tố, nhưng không thể có thừa số nào là một trong các số p1, p2, , pn, vì những số này chia cho N dư -1 Đáng lưu ý rằng mọi thừa số của N không thể có dạng 4n+1, do N không có dạng này, và tích của các số có dạng 4n+1 cũng sẽ tạo ra số có dạng tương tự Do đó, ít nhất một thừa số của N phải có dạng 4n+3, điều này là khả thi vì không có số p nào là thừa số của N.
Số nguyên tố có dạng 4n+3 đã được sử dụng hết, dẫn đến mâu thuẫn, chứng minh rằng số lượng các số nguyên tố này là vô hạn Điều này liên quan đến định lý về sự phân bố của các số nguyên tố.
Trong nghiên cứu về phân bố số nguyên tố, bước quan trọng là từ bỏ việc tìm công thức toán học đơn giản cho tất cả các số nguyên tố Thay vào đó, các nhà toán học nên tập trung vào việc phân tích sự phân bố trung bình của các số nguyên tố trong tập hợp các số tự nhiên Đối với mỗi số nguyên n, số lượng số nguyên tố từ 1 đến n được ký hiệu là A(n) Khi xem xét dãy số tự nhiên từ 1 đến 19, ta có thể xác định các số nguyên tố trong khoảng này.
1.5 SỐ NGUYÊN TỐ 19 ta đếm được ngay một loạt các giá trị An:
A 13 =A 14 =A 15 =A 16 = 6, A 17 =A 18 = 7, A 19 = 8, Bây giờ chúng ta lấy một dãy giá trị n bất kỳ tăng vô hạn, ví dụ: n= 10,10 2 ,10 3 ,10 4 , ,
Dãy giá trị A_n, với A_1 = 10, A_2 = 10, A_3 = 10, A_4 = 10, sẽ tăng vô hạn, mặc dù với tốc độ chậm hơn Tập hợp số nguyên tố cũng là vô hạn, do đó giá trị A_n sẽ lớn hơn bất kỳ số nào cho trước "Mật độ" phân bố các số nguyên tố trong n số nguyên đầu tiên của dãy số tự nhiên được xác định bởi tỷ lệ A_n/n Nhờ vào bảng số nguyên tố, chúng ta có thể dễ dàng tính toán các giá trị A_n khi n đủ lớn.
Dòng cuối cùng của bảng trên cho thấy xác suất lấy ra từ 10^9 số tự nhiên đầu tiên là số nguyên tố, với A_n là số nguyên tố trong 10^9 lựa chọn Sự phân bố số nguyên tố có tính chất không đều, nhưng khi xem xét phân bố "trung bình" thông qua tỷ số A_n/n, sự không đều này biến mất Định lý về sự phân bố các số nguyên tố, một trong những phát minh nổi tiếng trong toán học, yêu cầu hiểu biết về "logarithm tự nhiên" của n Để minh họa, ta xem quỹ tích các điểm trên mặt phẳng có tích khoảng cách x và y đến hai trục bằng đơn vị, tạo thành hyperbol xy = 1 Định nghĩa ln(x) là diện tích giới hạn bởi hyperbol và hai đường thẳng x = 1 và x = n Gauss, thông qua nghiên cứu bảng số nguyên tố, đã nhận thấy tỷ số A_n/n gần bằng 1/ln(n), với độ chính xác tăng khi n lớn Bảng dưới đây cho thấy sự xấp xỉ này là chấp nhận được với các giá trị n = 1000, 1000000, và 1000000000.
20 BỔ SUNG CHUƠNG 1: LÝ THUYẾT SỐ
Hình 1.7: Diện tích miền có gạch ở dưới hypebol xác định hàm số ln(n)
Gauss đã chỉ ra rằng tỉ số A_n/n xấp xỉ bằng 1/ln(n), có nghĩa là khi n tăng, tỉ số A_n/n sẽ càng gần 1 hơn Cụ thể, nếu chúng ta xem xét các giá trị n lớn như 10, 10^2, 10^3, và 10^4, thì tỉ số này sẽ tiến gần đến 1 khi n đủ lớn Biểu thức A_n/n ∼ 1/ln(n) thể hiện rằng A_n/n dần tiến đến 1 khi n tăng, và việc không thay dấu ∼ bằng dấu = là do A_n luôn là số nguyên, trong khi n ln(n lại không nguyên Điều này cho thấy sự phân bố các số nguyên tố được mô tả tốt bởi hàm logarit, phản ánh mối liên hệ chặt chẽ giữa hai khái niệm toán học không liên quan.
Mặc dù nội dung mệnh đề Gauss không khó hiểu, nhưng vào thời kỳ của ông, việc chứng minh mệnh đề này một cách chặt chẽ về mặt toán học vẫn là một thách thức lớn Để chứng minh định lý phân bố các số nguyên tố, một định lý cơ bản trong toán học, cần phải áp dụng những phương pháp hiện đại nhất Phải mất gần 100 năm sau, Hadamard và Vallé-Poussin mới hoàn thành việc chứng minh này vào năm 1896 Sau đó, Mangoldt và E Landau đã đơn giản hóa và bổ sung những điểm quan trọng cho chứng minh Trước đó, Riemann đã đề xuất những chiến lược quan trọng trong tác phẩm nổi tiếng của mình.
Norbert Wiener, nhà toán học Mỹ, đã có những cải tiến quan trọng trong chứng minh toán học từ năm 1828 đến 1866, giúp loại bỏ việc sử dụng số phức trong các lập luận chính Tuy nhiên, chứng minh này vẫn còn phức tạp đối với những người mới bắt đầu học toán Chúng ta sẽ tiếp tục khám phá chủ đề này trong tương lai Hiện tại, vẫn còn hai bài toán về số nguyên tố chưa được giải quyết.
Mặc dù vấn đề phân bố các số nguyên tố đã được giải quyết, nhưng tính chính xác của nhiều giả thuyết khác vẫn chưa được chứng minh, mặc dù chúng có vẻ hiển nhiên theo thực nghiệm.
