Tính chất mở rộng tương đẳng đối với nửa nhóm đơn hoàn toàn luận văn thạc sĩ toán học

MỞ ĐẦUKhái niệm nửa nhóm có tính chất mở rộng tương đẳng được Day và Alan đưa ra đầu tiên vào năm 1971: Một nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng tương đẳng nếu đối với mỗi nửa nhó

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐẶNG MINH ĐỨC

TÍNH CHẤT MỞ RỘNG TƯƠNG ĐẲNG ĐỐI VỚI NỬA NHÓM ĐƠN HOÀN TOÀN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Vinh – 2012

MỞ ĐẦU

Khái niệm nửa nhóm có tính chất mở rộng tương đẳng được Day và

Alan đưa ra đầu tiên vào năm 1971: Một nửa nhóm S được gọi là có tính

chất mở rộng tương đẳng nếu đối với mỗi nửa nhóm con T của S và mỗi

tương đẳng σ trên T tồn tại một tương đẳng σ* trên S sao cho

σ * (∩ ×T T)=σ Tương đẳng σ * được gọi là một mở rộng σ Khái niệm

này liên quan với khái niệm nửa nhóm có tính chất mở rộng iđêan

Trong công trình The congruence extension property for algebraic

semigroups đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 43 năm 1991(Xem[6] ),

Garcia đã khảo sát một số lớp nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳngnhư nửa nhóm xyclic, nửa nhóm iđêan và các nhóm

Gần đây, trong công trình The ideal extension property in compact

semigroups của Xiaojiang Guo đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 66

năm 2004(Xem[7] ), các nửa nhóm tôpô với tính chất mở rộng tương đẳngcũng được xét đến

Luận văn của chúng tôi dựa trên các công trình trên để tìm hiểu tínhchất mở rộng tương đẳng đối với các nửa nhóm đơn hoàn toàn, đó là lớpnửa nhóm đơn với các lũy đẳng nguyên thủy

Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 Nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn.

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất củanửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn

Chương 2 Tính chất mở rộng tương đẳng đối với nửa nhóm đơn hoàn toàn.

Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu điều kiện để nửa nhóm đơnhoàn toàn có tính chất mở rộng tương đẳng

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh , dưới sự hướngdẫn của PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơnchân thành và sâu sắc tới PGS TS Lê Quốc Hán Thầy đã định hướngnghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, cùng nhữnglời đông viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số

- khoa Toán - Trường Đại học Vinh đã động viên, giúp đỡ tác giả trong quátrình viết và chỉnh sửa luận văn này

Tác giả cũng xin cảm ơn khoa Sau đại học – Trường Đại học Vinh

và Trường Đại học Sài Gòn đã tạo mọi điều kiện để chúng tôi hoàn thànhchương trình học tập cũng như bản luận văn này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏinhững điều thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đónggóp của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc

Vinh,Tháng 02 năm 2012

Tác giả

CHƯƠNG 1 NỬA NHÓM 0 – ĐƠN HOÀN TOÀN

1.1 Iđêan và các quan hệ Grin trên nửa nhóm

1.1.1 Định nghĩa Giả sử I là một tập con khác rỗng của nửa nhóm S Khi

đó :

i) I được gọi là một iđêan trái( tương ứng phải) của S nếu S.I ⊆I

(tương ứng, I S⊆I ).

ii) I được gọi là iđêan của S nếu I vừa là iđêan trái vừa là là iđêan

phải của S Ký hiệu I < S

Từ định nghĩa trực tiếp suy ra :

1.1.2 Hệ quả Giả sử I là một tập con khác rỗng của nhóm S Thế thì

1) I là iđêan trái( tương ứng phải) của S nếu với mọi a∈I, với mọi

∈

x S có xa I ( tương ứng ∈ ax I ).∈

2) Nếu I là một iđêan trái( phải, hai phía) của S thì I là nửa nhóm con

của S.

3) Nếu I và J là các iđêan trái( phải) của S với I ∩ ≠ ∅J thì I J∩

cũng là một iđêan trái( tương ứng phải) của S.

1.1.3 Định nghĩa Một iđêan của nửa nhóm S được gọi là iđêan tối tiểu

nếu với mọi iđêan J của S, J I kéo theo J = I.⊆

1.1.4 Mệnh đề Giả sử I là iđêan tối tiểu của S và J là một iđêan tùy ý của

S Thế thì I J ⊆

Chứng minh Trước hết, I ∩ ≠ ∅J Thật vậy, vì I và J là những iđêan của

S nên IJ ⊆ ∩I J Hơn nữa I ≠ ∅, J ≠ ∅, nên IJ ≠ ∅, Do đó I∩ ≠ ∅J Mặt khác, I J I và∩ ⊆ I J là iđêan của S nên từ tính tối tiểu của I suy ra∩

∩ =

I J I và do đó I J ⊆

Từ mệnh đề 1.1.4 trực tiếp suy ra

1.1.5 Hệ quả Nếu một nửa nhóm S có iđêan tối tiểu thì iđêan tối tiểu của S

là duy nhất.

1.1.6 Chú ý Một nửa nhóm có thể có hoặc không có iđêan tối tiểu Xét nửa

nhóm cộng các số tự nhiên ¥ Các iđêan của( ¥ ,+) là các tập con

n + ¥ = {n k k+ / ∈¥ } với n∈¥ Hơn nữa m+ ⊆ +¥ n ¥ nếu và chỉ nếu

≥

m n Do đó( ¥ ,+) không có iđêan tối tiểu.

Mọi nửa nhóm hữu hạn S đều có iđêan tối tiểu, đó chính là iđêan có

số phần tử ít nhất( iđêan như vậy tồn tại vì S là một iđêan của S và S chỉ có

Đảo lại, giả thiết rằng với mọi x S có S S S∈ × = Khi đó nếu I là một

iđêan của S và x I nào đó thì S S S I∈ = × ⊆ nên I S Vậy S đơn =

1.1.9 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm, ta định nghĩa các quan hệ

L, R, J sau đây trên S

a Lb ⇔S 1 a = S 1 b

a Rb⇔aS 1 =bS 1

a Jb⇔S 1 aS 1 = S 1 bS 1

trong đó S 1 a, aS 1 , S 1 aS 1 tương ứng là các iđêan chính trái, chính phải và

iđêan chính của S sinh bởi a.

1.1.10 Chú ý Theo định nghĩa, a Lb ⇔ ∃s, s’∈S , a = sb, b = s’a

aℜb ⇔ , '∃r r S a br b ar∈ : = , = '

Từ định nghĩa trực tiếp suy ra các quan hệ L, ℜ, J là các quan hệ

tương đương trên S Hơn nữa, L là một tương đẳng phải và ℜ là một

tương đẳng trái trên S

Với mỗi a S , ký hiệu L∈ a là L – lớp tương đương chứa a: L a=

{x S x∈ | L a }

Tương tự Ra và Ja là ký hiệu lớp tương đương theo ℜ và J chứa a.

1.1.11 Mệnh đề Các quan hệ L và ℜ giao hoán : L0ℜ= ℜ0 L

Chứng minh Giả sử (x,y) ∈ L 0ℜ Thế thì có một phần tử z∈S sao cho x

Lz, zℜy, do đó tồn lại các phần tử , ', , 's s r r S∈ sao cho

1.1.12 Định nghĩa Giả sử L và ℜ là các quan hệ tương đương đã được

xác định trong Định nghĩa 1.1.9 Ta xác định các quan hệ trên S:

D = L 0ℜ=ℜ0 L và H = L ∩ ℜ=ℜ ∩ L

Khi đó các quan hệ L, ℜ , J ,D và H được gọi là các quan hệ Grin trên S.

Theo lý thuyết tập hợp, H là quan hệ tương đương lớn nhất đượcchứa trong L và ℜ Ta chứng minh D là quan hệ tương đương bé nhất

chứa cả L và ℜ

Thật vậy, vì L vàℜ là các quan hệ tương đương nên D =L 0ℜ=ℜ0

L cũng là quan hệ tương đương Hơn nữa x L x và xℜx với mọi x∈S

nên L ⊆ D và ℜ ⊆ D Nếu C là một quan hệ tương trên S chứa L và ℜ

thì D⊆C, nên D là quan hệ tương đương bé nhất chứa cả L vàℜ

Biểu đồ bao hàm của các quan hệ Green trên cùng một nửa nhóm S

được cho bởi hình sau với chú ý D⊆J.

J D

HVới mỗi a∈S , ký hiệu các D –lớp và H – lớp chứa a tương ứng bởi Da và Ha

1.2 Nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn.

Trong tiết này ta sẽ xét các nửa nhóm với phần tử zero 0 Các kết quả tương ứng về nửa nhóm không chứa phần từ zero hoàn toàn tương tự

1.2.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử zero 0 Một iđêan

hai phía( trái, phải) M của S được gọi là iđêan hai phía( trái, phải) 0 – tối tiểu nếu M≠{ }0 và 0 là Iđêan hai phía( trái, phải) duy nhất của S thực sự chứa trong M.

1.2.2 Chú ý Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm zero nếu S2=0, nghĩa

là xy =0 với mọi x,y ∈S.

•Nếu M là iđêan hai phía( trái, phải) 0 – tối tiểu của một nửa nhóm S với phần tử zero 0 thì M 2 là iđêan cùng kiểu với M và được chứa trong M,

do đó hoặc M = 0 hoặc M 2 = 0( nghĩa là M là nửa nhóm zero).

•Rõ ràng, giao của hai iđêan 0 – tối tiểu bất kỳ của nửa nhóm S bằng 0.

1.2.3 Định nghĩa Giả sử S là nửa nhóm với phần từ zero 0 Khi đó S được

gọi là nửa nhóm 0 – đơn( 0 – đơn trái, 0 – đơn phải) nếu S2≠ 0 và { }0 là

iđêan hai phía( trái, phải) thực sự duy nhất của S Các kết quả sau đây đã

được chứng minh chi tiết trong [ 1, trang 117–122]

1.2.4 Mệnh đề

1) Giả sử M là iđêan( hai phía) 0 – tối tiểu của nửa nhóm S với phần

tử zero 0 Thế thì hoặc M 2 =0 hoặc M là nửa nhóm con 0 – đơn của S.

2) Nếu S là một nửa nhóm 0 – đơn phải( trái) thì S\0 là một nửa nhóm

con đơn phải( trái) của S.

3) Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử zero 0 và M là một iđêan 0

– tối tiểu của nó chứa ít nhất một iđêan trái 0 – tối tiểu Khi đó M là tập hợp của tất cả các iđêan 0 – tối tiểu của S.

4) Giả sử M là một iđêan trái 0 – tối tiểu của một nửa nhóm S với

phần tử zero 0 sao cho M 2 ≠ 0 Giả thiết rằng M chứa ít nhất một iđêan trái

0 – tối tiểu của S Khi đó mỗi iđêan trái của M cũng là một iđêan trái của S.

Bây giờ ta chuyển sang xét các nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn.

1.2.5 Chú ý Giả sử E là tập hợp các lũy đẳng của nửa nhóm S Trên E xác

định quan hệ ≤ cho bởi e ≤ f nếu và chỉ nếu ef = fe = e Thế thì ≤ là một

thứ tự bộ phận trên E ( và được gọi là thứ tự bộ phận tự nhiên trên E).

Thật vậy, vì e ∈E nên e 2 = e, do đó e ≤ e nên ≤ phản xạ Nếu e ≤ f và

f ≤ e thì ef = fe = e và fe = ef = f nên e = f, do đó ≤ phản xứng Nếu e ≤ f

và f ≤ G thì ef = fe = e và gf = fg = f nên eg = (ef)g = e(fg) = ef = e và

ge = g(fe) = (gf)e = fe, do đó e ≤ G nên ≤ bắc cầu

Nếu S chứa phần tử zero 0 thì e0 = 0e = 0 với mọi e∈E nên 0 ≤ e

( chú ý 0 2 = 0 nên 0 ∈ E) Từ đó ta đưa đến khái niệm: Lũy đẳng f thuộc

nửa nhóm S với phần tủ zero 0 được gọi là lũy đẳng nguyên thủy nếu f ≠0

và nếu e ≤ f thì hoặc e = 0 hoặc e = f

1.2.6 Định nghĩa Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm đơn( 0 – đơn) hoàn

toàn nếu S là một nửa nhóm đơn( 0 – đơn) và S chứa lũy đẳng nguyên thủy.

1.2.7 Nhận xét Từ Định nghĩa 1.2.6 suy ra rằng nửa nhóm đơn( 0 – đơn)

hữu hạn là đơn( 0 – đơn) hoàn toàn

Thật vậy, S hữu hạn nên S chứa lũy đẳng, do đó E = E(S) ≠ ∅ Hơn

nữa, E ≠{ }0 vì nếu trái lại mỗi phần tử của S là lũy linh( nghĩa là với mọi

a ∈S tồn tại số nguyên dương n sao cho a n = 0), do đó( vì S hữu hạn) nên

S lũy linh nghĩa là tồn tại số nguyên dương m để Sm = { }0 , trái giả thiết S2

= S ( vì S đơn) Khi đó tập sắp thứ tự bộ phận hữu hạn E \ { }0 chứa một

phần tử tối tiểu chính là lũy đẳng nguyên thủy của S.

Từ Định nghĩa 1.2.6 cũng trực tiếp suy ra: Nếu S là một nửa nhóm

0 – đơn hoàn toàn thì S \ { }0 là một nửa nhóm đơn hoàn toàn

Kết quả sau đây đã được chứng minh trong [1, trang 136]

1.2.8 Mệnh đề

1) Giả sử S là một nửa nhóm 0 – đơn Khi đó S là 0 – đơn hoàn toàn

nếu và chỉ nếu S chứa ít nhất một iđêan trái 0 – tối tiểu và ít nhất một iđêan phải 0 – tối tiểu.

2) Một nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn là hợp của các iđêan trái( phải)

0 – tối tiểu của nó.

1.2.9 Định nghĩa.

1) Một nửa nhóm S được gọi là D – đơn hoặc song đơn nếu S chỉ gồm một D – lớp, trong đó D là quan hệ Grin trên S.

2) Một nửa nhóm S được gọi là chính quy nếu mọi phần tử của S đều

là phần tử chính quy( nghĩa là với mọi a∈S, tồn tại x S sao cho axa = a).∈

Ta chú ý rằng một nửa nhóm đơn trái( phải) nếu và chỉ nếu nó chỉ

gồm một L – lớp( R – lớp) và một nửa nhóm là đơn nếu và chỉ nếu nó chỉgồm một T – lớp Vì D⊆ J nên mỗi nửa nhóm song đơn là một nửa nhóm

đơn Hơn nữa, R⊆D, L⊆D nên mỗi nửa nhóm đơn phải và mỗi nửa nhóm

đơn trái đều là nửa nhóm song đơn

1.2.10 Định lý Mỗi nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn đều là nửa nhóm 0

– song đơn và chính quy.

Chứng minh Giả sử S là một nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn Giả sử a và b là

các phần tử khác 0 của S Ta chứng minh aDb Theo Mệnh đề 1.2.8, a thuộc một iđêan trái 0 – tối tiểu L nào đó của S và b thuộc một iđêan phải 0 – tối tiểu R nào đó của S, hơn nữa L = Sa và R = bS, L a = L\ { }0 và R b =R\

{ }0 Từ a L và ∈ b R suy ra ∈ bSa R L Vì S là nửa nhóm đơn và⊆ ∩

0, 0

a≠ b≠ nên SaS = S và SbS = S

Do đó S = S 2 = SbS SaS ⊆S bSa S nên ( ) bSa≠0 Vì R L chứa tập∩ a

con khác rỗng bSa\ 0{ } nên aDb.

Theo định nghĩa của nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn D - lớp S \ 0{ }

chứa lũy đẳng( nguyên thủy), do đó mỗi phần tử thuộc S \ 0 đều chính{ }

quy Vì 0 = 0.0.0 nên 0 cũng là phần tử chính quy Do đó S là nửa nhóm

chính quy 

Ta nhắc lại rằng một nửa nhóm bicyclic C (p,q)= C là nửa nhóm

đơn với đơn vị sinh bởi hai ký hiệu p,q và cho bởi một hệ thức xác định

pq = 1 Hai kết quả sau đây được chứng minh trong[ 1, trang 140–142].

1.2.11 Mệnh đề Nửa nhóm bicyclic C = C(p,q) là một nửa nhóm ngược song đơn chứa đơn vị Các lũy đẳng của nó là các phần tử e n = q n p n ( n = 0,1,2…) Chúng thỏa mãn các bất đẳng thức 1= >e0 e1 > >e n Vì vậy T không chứa lũy đẳng nguyên thủy( và do đó C = C (p,q) không phải là nửa nhóm đơn hoàn toàn).

1.2.12 Nhận xét Nếu e là một lũy đẳng khác không tùy ý của một nửa

nhóm 0 – đơn không phải là 0 – đơn hoàn toàn, thì S chứa một nửa nhóm

con bicyclic trong đó e là phần tử đơn vị.

1.2.13 Định lý Một nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn khi và chỉ khi một lũy

thừa nào đó của mỗi phần tử của S nằm trong một nhóm con của S.

Chứng minh Nếu S là 0 – đơn hoàn toàn thì bình phương của mỗi phần tử

thuộc S nằm trong một nhóm con của S( theo [1, trang 137]).

Đảo lại, giả sử một lũy thừa nào đó của mỗi phần tử thuộc S nằm trong một nhóm con của S Trước hết ta chứng tỏ rằng trong S tồn tại phần

tử không lũy linh

Giả sử a≠0 và a S∈ Thế thì a SaS nên ∈ a xay với ,= x y S nào đó.∈

Nhân bên trái với x và bên phải với y một số lần ta được a x by với mỗi= n n

số dương n vì a≠0, nên x n ≠0với mỗi n, nghĩa là x không lũy linh.

Nửa nhóm S phải chứa lũy đẳng khác không Thật vậy, nếu x là phần tử không lũy linh thuộc S thì( theo giả thiết) x thuộc một nhóm con n

G của S với n nguyên dương nào đó và rõ ràng đơn vị của nhóm G không

bằng 0

Giả sử e là lũy đẳng khác không của S Nếu S là nửa nhóm 0 – đơn không phải là 0 – đơn hoàn toàn thì theo mệnh đề 1.2.12, S chứa nửa nhóm con bicyclic <p,q> với đơn vị e, trong đó pq = e và qp ≠ e Ta chứng minh

điều đó không thể được

Theo giả thiết, phần tử p thuộc một nhóm con G nào đó của S với n

n thích hợp Giả sử f là đơn vị của G và r là nghịch đảo của p trong G n

Từ p n q = e suy ra n fe fp q= n n = p q n n =e

Từ rp n = f suy ra fe rp e rp= n = n = f

Do đó e f và vì vậy = q n =eq n = fq n =rp q n n = = =re rf r

Nhưng khi đó q p n n =rp n = =f e

Trong khi đó q p n n <e trong nửa nhóm bicyclic <p,q> theo Mệnh đề 1.2.11

Mâu thuẫn nhận được chứng tỏ S là nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn. 

1.2.14 Hệ quả Mọi nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn( đặc biệt, mọi nửa nhóm 0

– đơn hữu hạn) là 0 – đơn hoàn toàn.

Chứng minh Giả sử S tuần hoàn Khi đó mỗi phần tử a s đều được chứa∈

trong một nhóm con xyclic hữu hạn <a> Gọi Ka là nhóm con tối đại của <a>.

zero 0 bằng cách ghép thêm phần tử zero 0.

Giả sử X là một tập hợp nào đó và iai là một ánh xạ từ X vào G0

Nếu ai = 0 với mỗi i X thì ta định nghĩa∈ i 0

Giả sử X và Y là các tập hợp nào đó Ta định nghĩa X, Y ma trận trên

G0 là ánh xạ A: X.Y  G0 nếu ( , )i j ∈X Y và a ij = A i j thì ta có thể viết( , )

( )

= ij

A a và nói rằng a là một phần tử thuộc A nằm ở dòng thứ i và cột ij

thứ j của nó Giả sử X, Y, Z là các tập hợp A=( )a là X.Y ma trận trên G ij 0

và B=( )b là Y.Z ma trận trên G jk 0 Nếu mỗi cặp ( , ) i k ∈X Z xác định đượctổng ∑i Y∈ a b thì ta định nghĩa ma trận tích C = AB của hai ma trận A và ij jk

B là X Z ma trận C= ( )C ik trên G0, trong đó C ik =

∈

∑ ij jk

k Y a b

Giả sử S là tập các X X× ma trận trên G0 sao cho nếu A và B thuộc S thì AB tồn tại và thuộc S Khi đó S là một nửa nhóm, tính kết hợp được

chứng minh như đối với ma trận trên một vành

Ma trận A trên G 0 được gọi là ma trận đơn thức theo dòng nếu mỗi dòng của A chứa nhiều nhất một phần tử khác không thuộc G 0 Tập hợp các

X X× ma trận đơn thức theo dòng là một nửa nhóm

Bây giờ ta trình bày một loại nửa nhóm khác gồm các ma trận trên

G0 đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết đại số các nửa nhóm

1.3.2 Định nghĩa Giả sử I và Λ là các tập hợp tùy ý, các phần tử thuộc I

sẽ được ký hiệu bởi , , ;i j k các phần tử thuộc Λ được ký hiệu bởi λ,µ,

…Ta định nghĩa I×Λ ma trận Ress là I×Λ ma trận trên G0 có không quámột phần tử khác không Nếu a G i I r∈ , ∈ , ∈Λ thì ( )a iλlà ký hiệu I×Λ

ma trận Rees trên G có a nằm ở dòng i cột λ còn các vị trí khác bằng 0.

Với mỗi i I∈ , λ Λ∈ ta ký hiệu ( ) là I 0 iλ ×Λ ma trận không, cũng còn được

ký hiệu bởi 0.

Giả sử P =( )Pλi là một I×Λ ma trận tùy ý nhưng cố định trên G0

Ta cũng P để định nghĩa một phép toán hai ngôi trên tập hợp các I×Λ ma

trận trên G như sau : AoB APB=

Nếu A và B là các I×Λ ma trận Rixơ trên G 0 thì AoB cũng vậy.

Thật vậy, nếu A=( ) ,a iλ B=( )b jµthì ( ) ( ) (a iλ b jµ a b p iλ ) với ,a b G i j I∈ ; , ∈

và ,λ µ Λ∈ Hơn nữa phép toán o có tính kết hợp( ) ( ) ( ) ( )

Vì vậy, tập hợp tất cả các I×Λ ma trận Rixơ trên G 0 là một nửa

nhóm đối với phép toán o; ta gọi nó là nửa nhóm ma trận Rixơ trên nhóm

với phần tử zero G 0 và với ma trận đệm P Ký hiệu nửa nhóm đó là µ0(, , ,

G I Λ P ) ta gọi G là nhóm cơ sở của µ0

1.3.3 Chú ý.

(a) Ta nêu lên một cách tiếp cận khác đối với nửa nhóm ma trậnRixơ bắt đầu từ tập G o× ×I Λ, gồm các bộ ba( a;i;λ) với a G i I∈ , ∈ ,λ∈

Λvà định nghĩa phép toán trên G o× ×I Λ bởi ( ; ; ).( ; , ) (a i λ b j µ = a b i pλ ; , )µ

Để thử tính kết hợp của phép toán đó Tiếp theo ta nhận xét rằng tập

hợp O I× ×Λ gồm các bộ ba ( ; , )o i λ là một iđêan của nửa nhóm G I o× ×Λ đó,

và ta lấy nửa nhóm thương Rixơ theo iđêan đó Kết quả ta được nửa nhóm

0( ; ; ; )G I P

µ Λ ( Về nửa nhóm thương Rixơ xem thêm 2.2.2)

(b) Nếu P không chứa phần tử không nào cả thì trong nửa nhóm

0( ; , )G I

µ Λ không chứa ước của không Nửa nhóm µ0|0 sẽ được gọi là nửanhóm I×Λ ma trận Rixơ không chứa phần tử không trên nhóm G với ma trận đệm P và được ký hiệu bởi µ0( ; ; ; )G I Λ P nó có thể xem như nửanhóm G o× ×I Λ các bộ ba ( ; ; )a i λ với phép nhân xác định như trên.Nhưng nếu muốn xem bộ ba ( ; ; )a i λ như ma trận ( )a iλthì ta phải thêm phần

tử zero vào G

(c) Về sau ta sẽ dùng cả hai ký hiệu ( )a iλ và ( ; ; )a i λ tùy theo sự thuậntiện và ta sẽ không phân biệt “ma trận Rixơ” với “bộ ba” Tương tự ta sẽđồng nhất các bộ ba dạng ( ; ; )0 i λ cũng như các ký hiệu ( )0 iλ với I×Λ matrận không

(d) Ta cũng chú ý rằng: Từ mỗi định lý về nửa nhóm ma trận Rixơ ta

có thể thu được ngay một định lý về nửa nhóm Rixơ không có phần tửzero

1.3.4 Bổ đề Nửa nhóm I×Λ ma trận Rees µ0( ; , )G I Λ là nửa nhóm chính quy nếu và chỉ nếu mỗi dòng và mỗi cột của P chứa một phần tử khác zero Chứng minh Giả sử P=( ); ,P a b G i j Iλi ∈ ; ; ∈ và ,λ µ Λ∈ Khi đó

( ) ( ) ( )a iλ b jµ a iλ =(a b b p jλ µi )iλ Vế phải bằng ( )a iλ khi và chỉ khi

1.3.5 Chú ý Do Bổ đề 1.3.4, ta sẽ gọi ma trận trên một nhóm với phần tử

không là chính quy nếu và chỉ nếu mỗi dòng và mỗi cột của P chứa một

phần tử khác không

Từ đây về sau ta sẽ dùng các ký hiệu sau đây đối với nửa nhóm

I×Λma trận Rees µ0 ( ; ; ;G I Λ P ) trên một nhóm với phần tử không G 0 với

ma trận đệm p=( )pλi Ký hiệu các phần tử của M 0 là ( )a iλ, trong đó, ,

(i) Với mỗi i I R∈ , i0là Iđêan phải của µ0 , hai phần tử R – tương đương của µ0 \0 phải thuộc cùng một R i với i I nào đó.∈

(ii) Nếu P chính quy thì với mỗi i I R∈ , i0 là iđêan 0 – tối tiểu của µ0

Bây giờ ta trình bày định lý chính của tiết này

1.3.7 Định lý Nửa nhóm ma trận 0 – đơn khi và chỉ khi nó chính quy, và

lúc đó nó là đơn hoàn toàn.

Chứng minh Giả sử µ0( ; , ; )G I Λ P là nửa nhóm ma trận Rixơ Trước hết giả

sử µ0 không chính quy, khi đó theo Bổ đề 1.3.4 tồn tại một dòng hay mộtcật toàn phần tử zero, chẳng hạn cột thứ i:pλi =0với mọi i∈Λ Do Bổ đề1.3.6 (iii), R là iđêan lũy linh khác không của i0 µ0, do đó µ0 không thể lànửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn

Đảo lại, giả sử µ0 chính quy Giả sử ( )a iλ và ( )b jµlà hai phần tử tùy

ý thuộc µ0 với a≠0 Theo Bổ đề 1.3.4 tồn tại v∈Λvà k I sao cho∈

nếu nếu

= .Tồn tại một phần tử như vậy với mọi cặp i, (λ i I∈ ,λ Λ∈ )

sao cho pλi ≠0.Nếu e e iλ jµ =e e jµ iλ =e jµthì i j= ;λ µ= nên e iλ =e jµ Vậy

mỗi lũy đẳng khác không của µ0 là nguyên thủy và do đó µ0 là nửa nhómđơn hoàn toàn 

Dùng biểu diễn bởi ma trận trên các nhóm với phần tử không[1, trang 148-157], ta chứng minh được kết quả sau đây

1.3.8 Định lý Rixơ Một nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn khi và chỉ khi nó

đẳng cấu với nửa nhóm ma trận chính quy trên một nhóm với phần từ không.

CHƯƠNG 2

TÍNH CHẤT MỞ RỘNG TƯƠNG ĐẲNG ĐỐI VỚI CÁC NỬA NHÓM ĐƠN HOÀN TOÀN

2.1 Tính chất mở rộng tương đẳng đối với các nửa nhóm.

2.1.1 Định nghĩa Một nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng tương

đẳng (congruence extension property – CEP) nếu đối với mỗi nửa nhóm

con T của S và một tương đẳng σ trên T, tồn tại một tương đẳng σ* trên S

sao cho σ*∩ ×(T T) =σ Tương đẳng σ* được gọi là mở rộng của σ.

2.1.2 Chú ý Giả sử σ là một quan hệ hai ngôi trên nửa nhóm S Khi đó giao của tất cả các tương đẳng trên S chứa σ và đó tương đẳng nhỏ nhất

trên S chứa σ Tương đẳng này được gọi là tương đẳng sinh bởi σ và được

ký hiệu là σ

Từ đó suy ra : Nếu T là một nửa nhóm con của S và σ là một tương

đẳng trên T, thế thì σ có một mở rộng lên S nếu và chỉ nếu σ là một mở

rộng củaσ

Như vậy để thiết lập sự tồn tại của một mở rộng( của σ ) chỉ cầnchứng minh σ ∩ × ⊆(T T) σ

Chúng ta sẽ ký hiệu tương đẳng được sinh bởi σtrên S là <σ>s và

tương đẳng được sinh bởi cặp (a,b) trên S là σs(a,b)