Động lực học của hai mức trong trường điện từ luận văn thạc sỹ vật lý

Đầu tiên là S.Chu và các cộng sự của mình tại phòng thí nghiệm Bell Laboratories đã bẫy đợc những nguyên tử chậm vào trong một trờng quang học.. Trên cơ sở đó nội dung của đề tài đợc trì

Tôi xin phép đợc bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến các thầy giáo trong khoa Vật lý và chuyên ngành Quang học lợng tử đã tạo điều kiện và truyền thụ kiến thức để tôi có thể hoàn thành khoá học.

Tôi xin phép đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đối với thầy giáo TS Võ Thanh Cơng Thầy đã trực tiếp định hớng và giúp tôi về kiến thức, phơng pháp nghiên cứu cũng nh đã giúp tôi vợt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin đợc bày tỏ lòng biết ơn đối với NGƯT PGS TS

Đinh Xuân Khoa, PGS.TS Nguyễn Huy Công, TS Đinh Phan Khôi,

TS Nguyễn Huy Bằng, TS Nguyễn Việt Hng, TS Mai Văn Lu và các thầy trong hội đồng bảo vệ đã có nhiều đóng góp và chỉ dẫn quý báu để giúp tôi hoàn thành luận văn của mình.

Nhân dịp này tôi cũng xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các bạn trong lớp cao học 17 chuyên ngành Quang học đã giúp

đỡ tôi trong suốt khóa học.

Tác giả

Bùi Quốc Dũng

CH¦¥NG II: §éNG LùC HäC TRONG T¦¥NG T¸C GI÷A

TR¦êNG §IÖN Tõ Vµ NGUY£N Tö HAI MøC ë TR¹NG th¸i

2.1 Lùc t¬ng t¸c cña trêng ®iÖn tõ lªn nguyªn tö hai møc 282.2 C¸c lùc trong t¬ng t¸c gi÷a nguyªn tö hai møc víi trêng ®iÖn tõ 32 2.2.1 Lùc gradient vµ ¸p lùc ph©n r· trong t¬ng t¸c gi÷a nguyªn tö

CH¦¥NG III: CHUYÓN §éNG CñA NGUY£N Tö HAI MøC TRONG

3.1 Lùc t¬ng t¸c nguyªn tö hai møc vµ trêng ®iÖn tõ 43

Lời Mở ĐầU

Kề từ khi laser ra đời năm 1960, laser đã phát triển nhanh chóng với mật

độ công suất lớn và tính định hớng cao của chùm laser, trở thành một công cụ mạnh mẽ trong việc khảo sát các hiện tơng mới và đã đợc đề xuất để tiến hành những thí nghiệm trao đổi xung lợng của photon với nguyên tử hoặc phân tử Vì vậy có thể sử dụng ánh sáng laser để làm thay đổi chuyển động (tăng tốc hoặc giảm tốc) của nguyên tử

V S Letokhov đã đề nghị bẫy nguyên tử với trờng điện từ vào năm 1968 Sau đó, năm 1970 A Ashkin dẫn xuất ra lực áp suất ánh sáng trên một nguyên

tử trong cộng hởng với chùm ánh sáng

Làm lạnh bằng laser là hớng nghiên cứu có nhiều thành công lớn trong những năm qua và đợc nhiều ngời quan tâm Để hiểu sâu sắc bản chất của việc

sử dụng laser làm lạnh ta không thể không đề cập đến động lực học của nguyên

tử hai mức trong trờng điện từ (laser) Năm 1975, T W Họnsch và A L Schawlow đã đề xuất rằng ánh sáng laser có thể đợc sự dụng để làm lạnh nguyên tử tự do

Các thử nghiệm thành công đầu tiên của sự làm lạnh bằng laser đợc thực hiện bởi V I Balykin và V S Letokhov tại Moscow và W D Phillips và cộng tác viên của mình tại Gaithersburg những năm 1980 Sự phát triển các phơng pháp làm lạnh bằng laser nhanh chóng xuất hiện, W D Phillips, S Chu và C Cohen-Tannoudji phát triển để làm lạnh khí dới nhiệt độ giới hạn Doppler và có thể làm lạnh hơi kim loại kiềm xuống nhiệt độ khoảng 100nK cần cho sự ngng

tụ Bose -Einstein (BEC)

Đầu tiên là S.Chu và các cộng sự của mình tại phòng thí nghiệm Bell Laboratories đã bẫy đợc những nguyên tử chậm vào trong một trờng quang học Cái bẫy này đã đợc lấp đầy bởi các nguyên tử bị làm lạnh trong một cấu hình laser ba chiều gọi là: “sự quánh quang học”

Do đó nghiên cứu động lực học của nguyên tử chuyển động là một việc làm cần thiết nhất là cho những ngời bắt đầu nghiên cứu vấn đề này Đó là lí do tại sao tôi chọn đề tài: ″Động lực học của nguyên tử hai mức trong trờng

điện từ″

Trên cơ sở đó nội dung của đề tài đợc trình bày trong ba chơng theo bố cục sau: CHƯƠNG I: ĐộNG LựC HọC TRONG TƯƠNG TáC GIữA TRƯờNG

ĐIệN Từ Và NGUYÊN Tử HAI MứC ở TRạNG THáI TĩNH

Trong chơng này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản nh sau:

- Phơng trình Bloch quang học (OBE) đợc xây dựng từ phơng trình dòng Louville -Von Neumann của cơ lợng tử Với cách trình bày này các đại lợng thời gian sống dọc và thời gian sống ngang đợc đa vào phơng trình OBE

- Với phép biến đổi Unitar, phép biến đổi hệ cơ sở của các không gian biểu diễn, chúng tôi đã xây dựng một cách có hệ thống định nghĩa và ý nghĩa toán học cũng nh ý nghĩa vật lí của sóng quay và phép gần đúng sóng quay (RWA)

- Đa ra một giải pháp tìm nghiệm tổng quát của phơng trình OBE bằng cách quy phơng trình OBE về dạng phơng trình vi phân phi tuyến Riccati, từ đó

đa ra lời giải cho một trờng hợp riêng là trờng hợp giao thoa kế Ramsey

- Các loại lực cơ bản để nghiên cứu động học của phơng trình Bloch cũng

đợc định nghĩa và tính toán trong chơng Đề cập tới nguyên tử hai mức trong sóng dừng và các loại lực trong trờng hợp này

CHƯƠNG II: ĐộNG LựC HọC TRONG TƯƠNG TáC GIữA TRƯờNG

ĐIệN Từ Và NGUYÊN Tử HAI MứC ở TRạNG thái CHUYểN ĐộNG Trong chơng này chúng tôi giải quyết các vấn đề sau:

- Với điều kiện nào thì ta có thể đa khái niệm lực vào lý thuyết lợng tử về tơng tác giữa nguyên tử hai mức và trờng điện từ (TTNTHM&TĐT)

- Trờng điện từ không tơng tác với nguyên tử ở trạng thái cơ bản Trạng thái hai mức của nguyên tử không bền vững do đó giá trị moment dipole có thăng giáng lợng tử Chúng tôi biện luận điều kiện cần thiết để xem giá trị moment lỡng cực không đổi.

- Điều kiện để bài toán TTNTHM&TĐT có thể quy về bài toán va chạm giữa hạt photon với nguyên tử hai mức Từ đó giải thích tại sao trong TTNTHM&TĐT chỉ có hai lực là lực gradient và áp lực phân rã và giải thích bản chất của các lực này

- Nh vậy lực phải phụ thuộc vào vận tốc, toạ độ, thời gian và nhiều đại ợng khác Tìm các biểu thức tờng minh của các lực

l Biện luận về các lực trong cơ chế làm lạnh và xét phụ thuộc của lực và thế năng vào dạng trờng bức xạ, ví dụ nh chùm bức xạ có dạng Gao-xơ và chùm bức xạ tạo thành sóng dừng

CHƯƠNG III: CHUYểN ĐộNG CủA NGUYÊN Tử HAI MứC TRONG BẫY CủA TRƯờNG ĐIệN Từ

Dựa trên các kết quả của chơng II chúng tôi đã tính biểu thức chi tiết về các

đại lợng đặc trng cho bẫy trong quá trình làm lạnh nh:

- Hệ số khuếch tán ánh sáng và tính chi tiết cho các trờng hợp hệ số hệ số khuếch tán ánh sáng phụ thuộc vào thông số bão hoà S

- Thời gian c trú trong bẫy, chiều sâu của bẫy

- Tính chi tiết các thông số đó cho các dạng sóng laser bức xạ khác nhau

và đa ra nhận xét loại dạng sóng laser nào làm bẫy tốt hơn

Luận văn đợc hoàn thành dựa trên lý thuyết cơ lợng tử, quang lợng tử và một số kiến thức toán học nh: đại số ma trận, phơng trình vi phân phi tuyến Các kiến thức đa ra đều là kiến thức cơ lợng tử cơ bản cần thiết cho nghiên cứu làm lạnh bằng phơng pháp bức xạ laser lên nguyên tử hai mức Hy vọng các kiến thức đó bổ ích cho sinh viên và học viên cao học khi nghiên cứu về vấn đề này

chơng I

ĐộNG LựC HọC TRONG TƯƠNG TáC GIữA TRƯờNG ĐIệN Từ

Và NGUYÊN Tử HAI MứC ở TRạNG THáI TĩNH

Trong chơng này chúng tôi trình bày một số vẫn đề cơ bản nh ma trận mật

độ, ý nghĩa vật lý và phép biến đổi toán học của phép gần đúng sóng quay,

ph-ơng trình Bolch quang học Phph-ơng trình OBE có thể xây dựng nhiều cách khác nhau và có nhiều phơng pháp giải khác nhau ví dụ nh [1, 2, 3] Trong phần này chúng tôi chọn phơng pháp xây dựng phơng trình OBE theo phơng trình dòng Louville -Neumann của cơ lợng tử Với sự lựa chọn đó các đại lợng thời gian sống dọc, thời gian sống ngang đợc đa vào OBE một cách logic và chọn phơng pháp giải phơng trình OBE bằng cách quy về phơng trình vi phân phi tuyến Riccati, từ đó đa ra lời giải cho một trờng hợp vật lí: trờng hợp giao thao kế của Ramsey Các loại lực cơ bản để nghiên cứu động học của phơng trình Bloch cũng đợc tính toán trong chơng này Phần cuối chơng chúng tôi đề cập tới nguyên tử hai mức trong sóng dừng và các loại lực trong trờng hợp này

ký hiệu của Dirac:

Víi c¸c vÐct¬ Dirac ta cã c¸c kÝ hiÖu sau:

- VÐct¬ liªn hîp ecmit cña | ψ > lµ mét bra vÐct¬:

) ,

, , (

1 Phần tử ρii là xác xuất đo đợc trạng thái | ψ> có giá trị năng lợng εi.

2 Phần tử ρim là xác xuất quan sát tơng tác giữa trạng thái < m| và | i > Các phần tử của ma trận mật độ có một số tính chất sau:

Tính chất 1: Trρ = ∑

n nn

ρ = 1 (xác suất đo trạng thái | ψ > có các giá trị năng lợng ε1,ε2, εn bằng 1)

Tính chất 2: ρmn luôn có giá trị không âm

Tính chất 3: Nếu Aˆ là toán tử mô tả đại lợng A nào đó thì giá trị trung bình của đại lợng A là < Aˆ > = Tr(ρA) trong đó A là ma trận mô tả toán tử ˆA trong năng lợng biểu diễn [16]:

Amn=∫Ψ *n( , , )x y z AàΨm( , , )x y z dV (1.3)trong đó Ψn( , , )x y z (n = 0, 1, 2, …) là hàm riêng của toán tử Haminton trong

Ta lấy liên hợp phức hai vế:

H dt

d

i <Ψ|=< Ψ |

−  (1.8)Nhân tenxơ (1.7) với <ψ| và (1.8) với |ψ>, rồi cộng hai phơng trình trên, kết quả là:

H H

i dt

Phơng trình Louville -Von Neumann thờng đợc sử dụng trong vật lý hạt nhân, quang học, điện học còn đợc gọi là phơng trình Bloch lợng tử (QBE) Với nguyên tử hai mức có thế năng tơng tác là dE t( ), phơng trình (1.9) có thể viết lại dới dạng:

$

L dt

ρ = − ρ− Γρ

h , (1.10)trong đó Γ $ là ma trận biểu diễn toán tử mô tả quá trình thay đổi trên [13].

1.2 Phép gần đúng sóng quay (RWA)

1.2.1 Sóng quay: Theo cơ lợng tử nếu ta dùng một phép biến đổi unitar (phép quay vectơ sóng một góc trong không gian phức và không thay đổi độ lớn của vectơ đó [5]) U UU: + =I hàm sóng qua phép biến đổi là:

Ví dụ: Theo giải thích của Born xác suất quan sát thấy hạt tỉ lệ với bình phơng hàm sóng Véctơ liên hợp ecmit của trạng thái | Ψ > với phép biến đổi unitar U: < Ψ | →U < Ψ | = < Ψ |U+.

Từ đó ta thấy bình phơng hàm sóng là đại lợng bất biến với phép biến đổi unitar

t i t

i L E z t e L e

t z E t z

0 0

0 /  iH0t/ 

I t

= ωe- ωg và cờng độ trờng laser bức xạ không lớn lắm Cụ thể, các thành phần của Hamilton có chứa tần số dao động ωL - ω0 đợc để lại còn các thành phần chứa tần số ωL + ω0 bỏ qua Lúc đó trong phơng trình Bloch quang học các thành phần có chứa exp(2iωLt) đợc bỏ qua và tần số Rabi xem nh không phụ thuộc thời gian

Ta xét nguyên tử ở trạng thái hai mức với ký hiệu | g > trạng thái cơ bản (ground state) và trạng thái kích thích | e > (exited state) Với các trạng thái | e> và | g > có giá trị năng lợng lần lợt εe và εg và khi cha có trờng ngoài:

DÔ thÊy: <e|d|e>=<g|d|g>= 0 vµ to¸n tö m« men lìng cùc cã d¹ng:

, ( ) , (

|).(

|

|

| (

0 0

eg eg

|

| )

(

|

| )

.

0

* 0

*

* 0

E

eg t i eg t

i eg t i

~ (

|

| )

~ ( Ωe i L t + Ωe i L t e>< g − Ω *e i L t + Ω *e i L t g ><e

| )

~ (

H = −  Ω − ∆t + Ω iωL+ ω t >< −  Ω −iωL+ ω t + Ω i∆t+ >< ,

trong đó ∆ = ωL − ω 0 đợc gọi là độ lệch tần (detuning) Chú ý, khi lấy trung bình

toán tử Hamilton với phép RWA, ωL xấp xỉ ω0 lúc đó e−i∆t xấp xỉ bằng 1, còn thành phần chứa ωL+ ω0 có giá trị trung bình bằng không (vì Ω xem nh không phụ thuộc thời gian và E0 rất nhỏ (theo điều kiện RWA) đợc coi là hằng số đợc

đa ra ngoài tích phân nên tích phân tính trung bình là tích phân chứa hàm tuần hoàn đợc tính theo 1 chu kì có giá trị bằng không) Theo công thức (1.11), và ta

có thể tính U =e−iω0t|e><e| và toán tử Hamilton tơng tác ban đầu H I,RWA sau khi

,

0 0

0 0

e g e g

e e e

e g e g

e e

e

e e g e g

e e e

U H

U

H

t i t

i t

i t

t i

t

e e t i t

i t

e e t i RWA

I RWA

I

L

L >< − Ω >< Ω

ω ω

ω ω

ω ω

i t

i t

e e

ω ω

ω L

laserrrr

đợc gọi là véctơ Bloch của phép gần đúng sóng quay

1.3 Phơng trình Bloch quang học cho nguyên tử hai mức

1.3.1 Phơng trình OBE cho nguyên tử hai mức

Xét nguyên tử ở trạng thái hai mức | e> và |g > và hằng số bán rã từ mức | e

ρ = − Γ + Γρ ρ (1.17)

Ph¬ng tr×nh (1.16) vµ ph¬ng tr×nh (1.7) cã thÓ viÕt l¹i díi d¹ng:

[ ] ( )

2 ] , [ ) cos(

, 2

0 0

− +

t idE

cos(

, 2

0

− +

−

− Ω

eg ee

ρ ρ

cos(

, 2

0

− +

−

Γ

− Ω

Bây giờ ta thay các ma trận Pauli và dạng tờng minh của ma trận mật độ vào công thức (1.22), đồng nhất hai vế phơng trình (1.19) kết quả ta đợc:

ee L

ge eg

dt

dρ = Ω ( ρ − ρ ) cos( ω ) − Γ ρ

ee L

ge eg

dt

d

ρ ω

ρ ρ

ρ

1

) cos(

gg ee ge

dt

d

ρ ω

ρ ρ ρ

ω

ρ

2 ) cos(

) (

) (

0

Γ

−

− Ω

−

−

=

eg L

gg ee eg

dt

d

ρ ω

ρ ρ ρ

ω

ρ

2 ) cos(

) (

) (

=Chọn Γ1= Γ và sử dụng phép gần đúng phép quay RWA và đa vào các véc tơ Bloch (1.13), kết quả cuối cùng:

V U

2

&

W V

U t

2 ) (

δ

& (1.24)

W& = − ΩV − ΓW −Γ2

trong đó δL(t) = ωL − ω0(t) là đại lợng phụ thuộc thời gian

Với pha Φ (r,t) của trờng ngoài E(r,t) và tần số Rabi Ω(r)là các hàm phụ thuộc toạ độ rvà thời gian t, bằng phép biết đổi tơng tự hệ phơng trình (1.24) trở thành:

W V

t U

W V

U t

2 ) ) ( ( &

& δ (1.25) W& = − ΩV − ΓW −Γ2

1.3.2 Các lực tác động lên nguyên tử hai mức trong trờng điện từ

Để tìm lực tơng tác trong trờng hợp này, ta sử dụng công thức:

F= −∇ A (1.26)Dới tác dụng của trờng E(r,t), ta có thể biểu diễn Hamilton tơng tác:

tr i

I

etr dE

etr

dE

H (1.27)Xét chuyển động một chiều Thế năng tơng tác đợc tính bởi công thức

trình bức xạ cộng hởng Lực này tỉ lệ với Γ và cờng độ ánh sáng bức xạ.

Sở dĩ các lực này có nhiều tên vì các khái niệm này đợc dùng trong nhiều lĩnh vật vật lí khác nhau, nh trong vật lí hạt nhân hay trong điện học Trong

quang học nh giáo trình nh [7, 10, 18] các lực đó đợc gọi nh trên để ta dễ hiểu bản chất của lực hơn Các vấn đề này sẽ đợc thảo luận kĩ trong chơng II

1.4 Tìm nghiệm tổng quát của phơng trình OBE cho nguyên tử ở trạng thái tĩnh

ở trạng thái tĩnh các phần tử ma trận mật độ chỉ phụ thuộc vào thời gian t Nếu ta xét trờng ngoài để Hamilton có dạng (1.14), phơng trình OBE sẽ có dạng (1.24), hay viết lại dới dạng ma trận:

2

0 2

.

.

.

W V U

W V

Laplace để tìm các nghiệm riêng Trong luận văn này chúng tôi trình bày một cách tìm nghiệm tổng quát của phơng trình (1.30) bằng quy về phơng trình vi phân phi tuyến Ricatti và sẽ biện luận cho các trờng hợp vật lí cụ thể

Γ−

2 0

2

0 2

M-1= 2 2

2 2

det

1

2 2 2

2 2

b a ac bc

ca a ab

bc ba c a

222

22

2 2

2 2

c a ac bc

ac a

ab

bc ab

c a

1 1 1

p

S S S B

S S

gọi là thông số bão hoà Thông số bão hoà là một đại

lợng cần thiết khi tính các lực và các đại lợng đặc trng cho bẫy trong tơng tác giữa nguyên tử hai mức với trờng điện từ

b) Nghiệm của phơng trình vi phân đẳng cấp

h

MB

h h

h

h h

W a V

c U o W

W c V a U b V

V b U a U

h h h

2

.

.

.

.

- ' 1

X + b 2

1

X = c.X1.X2 - b (1.40)

' 2

(t

ϕ đợc cho trớc Xảy ra nhiều trờng hợp ví dụ trờng hợp xác định vân giao thoa kế của Ramsey Giao thoa kế của Ramsey [8] bao gồm hai tia laser chiếu vuông góc với nhau trong môi trờng chứa các nguyên tử hai mức với độ lệch pha δ =π2 , ta thu đợc các vân giao thoa

Theo kết quả ở [4], ta có ϕ(t)= k trong đó:

b

(1.43)

Hệ phơng trình (1.40) và (1.41) trở thành:

- ' 1

X + b 2

1

X = c.k - b (1.40 a)

' 2

1

Z

Z b

− , (1.44)

X2 =

2

' 2

1

Z

Z b

− (1.45)Khi đó các phơng trình (1.40 a) và (1.41a) đợc viết lại:

Z1 - b(c.k - b)Z1 = 0, (1.40b)

Z2 - a '

2

Z + c(c - bk)Z2 = 0 (1.41b)Nghiệm của phơng trình trên là:

2 2 Γ 2

+ Z e at c

v

2 1

Đối với trờng hợp giao thoa kế Ramsey ta xem a = 0 (không có phân rã) Thay k

ở (1.43) vào (1.48) sau các phép biến đổi ta đợc:

2 2cos(2 ) 0 sin( ) 0 (1 cos(2 ))W0

R

Rt bc

V Rt R

b U R

Rt b

c

0 0

0 cos( ) sin( ) )

R

c V Rt U

Rt R

b V t R

c R

Rt bc

1.5 Nguyên tử hai mức trong sóng dừng

Trong trờng hợp này ta giả thiết trờng điện từ đợc viết dới dạng:

) )(

cos(

) ,

e e

r k E

t r

(1.52)Trong đó E0 là biên độ của trờng điện từ và k là véc tơ sóng

2

0 = −

Ω và chú ý Φ (r) = 0, từ (1.29) ta dễ nhận thấy:

thuộc của lực gradient đối với Γ 0t nh hình 2 [15] Khi δ0 bằng tần số Rabi lực gradient có biên độ cực đại và biến đổi tuần hoàn với chu kì tỉ lệ với Γ 0t Các tr-

ờng hợp δ0 khác tần số Rabi biên độ lực Gradient giảm dần, nhng vẫn biến đổi tuần hoàn nhng chu kì cũng giảm dần

Kết luận chơng IChúng tôi đã đạt đợc một số kết quả sau:

- Xây dựng đợc phơng trình OBE trong đó các đại lợng nh thời gian sống dọc, thời gian sống ngang đợc đa vào

- Xây dựng một cách logic về sóng quay, đặc biệt trong đó là trờng hợp sóng quay với trờng ngoài E(z,t) E (z,t)e iωL t E* (z,t)e iωL t

0 0