TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
PHÒNG GD VÀ ĐT TIỀN HẢI ĐỀ HSG TOÁN 7 NĂM 2020-2021
Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1(5 điểm)
1) Tính
A
2) So sánh các số a, b biết:
;
a b
3) Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau.
Bài 2 (4 điểm)
1) Tìm x, y biết:
x y
2) Cho 4 số khác 0 là a, b, c, d và b+c+d khác 0 thỏa mãn b2 = ac; c2 = bd
Chứng minh:
3
a a b c
d b c d
Bài 3(4 điểm)
1) Cho hàm số: f(x) = -2020x Tìm m để f(m+1) = 2020
2) Tìm 2 số khác 0 biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng tỉ lệ với 4;1;45
Bài 4 (6 điểm)
Cho tam giác ABC (AC<BC) Qua A vẽ đường thẳng xy song song với BC Từ điểm M trên cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt xy theo thứ tự tại D và E
2) Gọi O là giao điểm của AM và CE Chứng minh 3 điểm B, O, D thẳng hang
3) Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để AM vuông góc với CE
Bài 5(1 điểm)
Cho A là một tập hợp gồm 607 số nguyên dương đôi một khác nhau và mỗi số nhỏ hơn 2021 Chứng minh rằng trong tập hợp A luôn tìm được hai phần tử x, y (x>y) thỏa mãn x− y ∈ { 3 ;6 ;9 }
……….Hết………
Trang 2ĐÁP ÁN Bài 1( 5 điểm)
1) Tính
A
2) So sánh các số a, b biết:
;
a b
3) Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau.
1
(2đ
)
.
A
0,5
( 1).( 2).( 3) ( 2020)
2.3.4 2021
1.2.3 2020
2.3.4 2021
1
2021
2)
(2đ
)
Ta có
42
42
;
a
b
1,0
Vi a b
1,0
3)
(1đ
)
Gọi số chính phương cần tìm là aabb với 1 a b ; 9 và a;b là các số tự nhiên
Do aabb là số chính phương nên
0,5
Trang 32 * 2
2
aabb n n N
aabb n a a b b a b
Do n 11nên n 33; 44;55;66;77;88;99
Thử chọn ta được aabb 882 7744
0,5
Bài 2( 4 điểm)
3) Tìm x, y biết:
x y
4) Cho 4 số khác 0 là a, b, c, d và b+c+d khác 0 thỏa mãn b2 = ac; c2 = bd
Chứng minh :
3
a a b c
d b c d
1)
(2đ)
Vì
1 0
Mà
x y
suy ra
x y
0,5
1,0
Vậy các cặp (x;y) thỏa mãn là (5;1) và (-5;1)
Tìm được 1 cặp được 0,25
0,5 2)
(2đ)
Vì
2
2
a b
b ac
b c
b c
c bd
c d
a b c
b c d
0,5
Đặt a b c k a bk b ck c dk ; ;
b c d
0,5
Ta có
3
a bk ckk
k
d d d
0,5
3
( a b c ) bk ck dk k
b c d b c d
0,5
Trang 4Vậy
3
a a b c
d b c d
Bài 3 (4 điểm)
1) Cho hàm số: f(x) = -2020x Tìm m để f(m+1) = 2020
2) Tìm 2 số khác 0 biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng tỉ lệ với 4;1;45
1)
(2đ
)
2)
(2đ
)
Gọi 2 số cần tìm là x và y (x;y khác 0 và x>y)
x y x y xy
0,5
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
2 (2)
2 (3)
x y x y x y x y x
x y x y x y x y y
1,0
Từ (1); (2) và (3) suy ra
x y xy x y xy suy ra x y xy x y x y
1,0
Bài 4 (6 điểm)
Cho tam giác ABC (AC<BC) Qua A vẽ đường thẳng xy song song với BC Từ điểm M trên cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt xy theo thứ tự tại D và E
2) Gọi O là giao điểm của AM và CE Chứng minh 3 điểm B, O, D thẳng hang
3) Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để AM vuông góc với CE
m
Vẽ
hình
và ghi
GT;
KL
0,5đ
1)
(2,0đ)
Vì xy // BC nên
( )
MAD AMB slt
MD AB AMD AMB slt
0,5
Trang 5Chứng minh tương tự AME MAC c g c ( ) ME AC MC ; AE 0,5
.
MB MC AE AD
BC DE
ABC MDE
0,5
2)
Vì AOD MOB AOD MOB
Mà AOD MOD 1800 MOB MOD 1800 hay BOD 1800
Vậy ba điểm B; O; D thẳng hàng
1,0
3)
(1đ) AOC MOC c g c ( ) Vì có OA = OM; gócAOC = gócMOC = 900; OC chung
1,0
Bài 5 (1 điểm)
Cho A là một tập hợp gồm 607 số nguyên dương đôi một khác nhau và mỗi số nhỏ hơn 2021 Chứng minh rằng trong tập hợp A luôn tìm được hai phần tử x, y(x>y) thỏa mãn x− y ∈ { 3 ;6 ;9 }
1đ Chia dãy số nguyên dương từ 1 đến 2020 thành 202 đoạn:
[1;10]; [11;20]; …[2011;2020]
0,25
Vì A có 607 số nguyên dương khác nhau và chia thành 202 đoạn nên theo nguyên lý
Đi-rich- lê tồn tại ít nhất 1 đoạn chứa 4 số trong 607 số trên
0,25
Vì trong 4 số trên luôn tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 3, gọi 2 số đó là x và
y(x>y) suy ra x – y chia hết cho 3 mà x – y nhỏ hơn hoặc bằng 9
0,25