Rèn luyện năng lực chuyển đổi ngôn ngữ toán học cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập hình học không gian bằng phương pháp hình học tổng hợp

ý thức đợc tầm quan trọng của việc rèn luyện khảnăng chuyển đổi ngôn ngữ cho học sinh , các giáo viên toán ở trờng phổthông đã có nhiều biện pháp dạy học cụ thể để thực hiện nhiệm vụ này

Khoá luận này đợc hoàn thành với sự hớng dẫn, giúp đỡ của các thầy,cô giáo Bộ môn phơng pháp dạy học Toán, khoa Toán Trờng Đại học Vinh.

Đặc biệt dới sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo PGS-TS Đào Tam

Trong thời gian hoàn thành khoá luận tác giả đã có nhiều cố gắng songvẫn không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận đợc sự thông cảm và đónggóp ý kiến của thầy, cô giáo và các bạn để khoá luận đợc hoàn chỉnh hơn

Xin chân thành cảm ơn!

- Tác giả khoá luận -

Tuy nhiên cùng một tình huống có thể diễn đạt bằng nhiều ngôn ngữtoán học tơng đơng nhau ý thức đợc tầm quan trọng của việc rèn luyện khảnăng chuyển đổi ngôn ngữ cho học sinh , các giáo viên toán ở trờng phổthông đã có nhiều biện pháp dạy học cụ thể để thực hiện nhiệm vụ này nh

"phát biểu một kiến thức toán học bằng nhiều cách tơng đơng, phát biểu dớinhiều hình thức khác nhau (lời, ký hiệu )” Trong hình học giáo viên thờngchỉ chú trọng rèn luyện việc chuyển đổi bài toán từ một ngôn ngữ sang cácngôn ngữ khác nh ngôn ngữ tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ, ngôn ngữ tổnghợp sang ngôn ngữ toạ độ Những biện pháp này đã thu đợc những kết quảkhả quan, tuy nhiên về mặt thực hành dạy học toán, việc rèn luyện năng lựcchuyển đổi ngôn ngữ cho học sinh cha đợc nghiên cứu lâu dài Học sinh khónhận ra mối liên hệ giữa các kiến thức cơ bản của toán học với nhau Khi đứngtrớc một bài toán học sinh thờng chỉ tự bằng lòng với một cách giải cho dùcách giải đó có dài dòng hay phải vận dụng rất nhiều kiến thức mà không cốgắng tìm kiếm những cách giải khác tối u hơn Điều đó dẫn đến sức ỳ trong tduy, không phát huy tối đa năng lực cũng nh khắc sâu kiến thức của học sinhthông qua dạy học giải bài tập toán

Để góp phần giải quyết một phần khó khăn trên, đồng thời phát huytính linh hoạt, sáng tạo của t duy học sinh trong quá trình nhận thức và vậndụng kiến thức vào việc giải toán Trong khuôn khổ cuả khoá luận này tôi

chọn đề tài nghiên cứu của mình là "Rèn luyện năng lực chuyển đổi ngôn ngữ toán học cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập hình học không gian bằng phơng pháp hình học tổng hợp".

II Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của khoá luận là xây dựng nội dung và phơngpháp rèn luyện năng lực chuyển đổi ngôn ngữ toán học cho học sinh thông

qua giải bài tập hình học không gian bằng những định hớng cơ bản của phơngpháp hình học tổng hợp (HHTH).

III Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở tôn trọng nội dung chơng trình sách giáo khoa giáo dục hiệnhành, nếu thờng xuyên quan tâm đúng mức việc rèn luyện năng lực chuyển

đổi ngôn ngữ trên cơ sở xây dựng và vận dụng các biện pháp khác nhau giảicác bài toán hình học không gian bằng phơng pháp hình học tổng hợp thì sẽgóp phần nâng cao hiệu quả trong dạy học môn Toán ở trờng phổ thông trunghọc

IV Nhiệm vụ nghiên cứu

Trong khoá luận này chúng tôi đề ra các nhiệm vụ nghiên cứu bao gồm:

Xác định cơ sở lý luận, cơ sở thực tiễn của việc xây dựng các định h ớng cơ bản trong nội tại hình học tổng hợp để rèn luyện năng lực chuyển đổingôn ngữ

Xây dựng nội dung những định hớng cơ bản để rèn luyện năng lựcchuyển đổi ngôn ngữ trong ngôn ngữ hình học tổng hợp

- Xây dựng hệ thống các dạng bài tập và hình thức tổ chức dạy họcthích hợp theo yêu cầu rèn luyện năng lực chuyển đổi ngôn ngữ

- Tiến hành thực nghiệm s phạm nhằm đánh giá mục đích , giả thuyếtkhoa học của đề tài

V Phơng pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận:

Nghiên cứu sách giáo khoa, sách bài tập hình học 11, những tài liệu về

ph-ơng pháp dạy học toán, các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, lý luận dạyhọc bộ môn Toán, các công trình nghiên cứu liên quan đến đề tài của một sốtác giả Các sách tham khảo

- Điều tra tìm hiểu thông qua dự giờ và trao đổi với các giáo viên toán

VII Cấu trúc đề tài

Phần I Mở đầu.

+ Lý do chọn đề tài

+ Mục đích nghiên cứu

+ Giả thuyết khoa học

+ Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Phơng pháp nghiên cứu

+ Đóng góp của khoá luận

Phần II Nội dung

Chơng I: Cơ sở lý luận và thực tiễn của việc chuyển đổi ngôn ngữ

Đ 1 Một số vấn đề chung.

1.1 Năng lực, năng lực toán học

1.2 Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ toán học trong dạy học hình học.1.3 Những hoạt động của năng lực chuyển đổi ngôn ngữ trong dạy họchình học

Đ2 Cơ sở lý luận của việc chuyển đổi ngôn ngữ.

2.1 Sự cần thiết của việc "Rèn luyện năng lực chuyển đổi ngôn ngữ".2.2 Vai trò của dạy học giải bài tập toán học đối với hoạt động "Rènluyện năng lực chuyển đổi ngôn ngữ"

2.3 Bản chất toán học của kiến thức hình học

2.4 Đặc điểm chơng trình hình học lớp 11

Đ 3 Một số định hớng cơ bản cho việc Rèn luyện năng lực chuyển đổi“Rèn luyện năng lực chuyển đổi

ngôn ngữ thông qua dạy học giải bài tập hình học không gian bằng phơng pháp hình học tổng hợp ’’

3.1 Chuyển việc giải bài toán hình học không gian về việc giải bàitoán trong phẳng

3.2 Xem xét bài toán dới nhiều góc độ

3.3 Dựa trên các bất biến

3.4 Xem hình này là bộ phận của hình kia

Chơng II: Những biện pháp dạy học cụ thể rèn luyện năng lực chuyển

đổi ngôn ngữ toán học cho học sinh.

Đ 1 Chuyển về giải bài toán trong phẳng.

Đ 2 Xem xét bài toán dới nhiều góc độ

Đ3 Dựa trên các bất biến.

Đ4 Xem hình này là bộ phận của hình kia

+ Kết luận

+ Tài liệu tham khảo.

Phần iiNội dungChơng I Một số cơ sở lý luận và thực tiễn của việc

Năng lực có thể chia thành hai loại: Năng lực chung và năng lực riêng

- Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều lĩnh vực hoạt động khácnhau chẳng hạn những thuộc tính về thể lực, trí tuệ (quan sát, trí nhớ, t duy, t-ởng tợng,…))

- Năng lực riêng biệt (năng lực chuyên biệt, năng lực chuyên môn) là sự thểhiện độc đáo các phẩm chất riêng biệt, có tính chuyên môn cao Chẳng hạnnăng lực toán học, năng lực âm nhạc, năng lực thể thao…)

Hai loại năng lực chung và riêng luôn bổ sung , hỗ trợ cho nhau

Hai là theo ý nghĩa năng lực sáng tạo trong hoạt động nghiên cứu toánhọc (khoa học), tức là năng lực đối với hoạt động sáng tạo toán học, tạo ranhững kết quả mới khách quan có ích cho hoạt động của con ngời Nhữngcông trình toán học có giá trị đối với sự phát triển của khoa học nói riêng vàhoạt động thực tiễn của xã hội nói chung

Giữa hai mức độ hoạt động toán học không có một sự ngăn cách tuyệt

đối Nói đến năng lực học tập toán không phải chỉ đề cập đến năng lực sángtạo Có nhiều học sinh có năng lực đã tự tiếp thu kiến thức trong giáo trìnhtoán học một cách độc lập và sáng tạo, đã tự đặt ra và giải các bài toán mới, ởmức độ phổ thông đã tự tìm ra những con đờng, các phơng pháp sáng tạo đểchứng minh định lý, độc lập suy ra đợc các công thức, đa ra những lời giải độc

đáo cho những bài toán không mẫu mực

Năng lực toán học không phải là tính chất bẩm sinh mà đợc tạo thànhtrong cuộc sống, trong hoạt động Sự tạo thành này trên cơ sở một số mầmmống xác định

1.2 Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ toán học trong giảng dạy hình học.

Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ là một trong những năng lực đối với việc họctập toán Nói tới năng lực chuyển đổi ngôn ngữ phải hiểu theo hai phơng diện:

Một là chuyển đổi ngôn ngữ trong nội tại hình học (trong nội tại một sốngôn ngữ hình học: Ngôn ngữ vec tơ, ngôn ngữ toạ độ, ngôn ngữ tổng hợp).Theo phơng diện này, kèm theo sự chuyển tải nội dung và diễn đạt nội dungban đầu theo một ngôn ngữ khác, ký hiệu khác, những hình thức thể hiện khácnhau trong cùng một ngôn ngữ hình học

Hai là chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học này sang ngôn ngữ hình họckhác Theo cách hiểu này thì cùng một nội dung hình học ta có thể diễn đạtbằng những ngôn ngữ khác nhau cùng với hệ thống ký hiệu của ngôn ngữ đó.(Chuyển đổi giữa các ngôn ngữ hình học với nhau: Ngôn ngữ véc tơ, ngôn ngữtoạ độ, ngôn ngữ tổng hợp.)

Việc rèn luyện năng lực chuyển đổi ngôn ngữ là nhiệm vụ quan trọngcủa việc dạy học toán Vì nhờ đó học sinh hiểu sâu sắc kiến thức toán học ởtrờng phổ thông, thấy đợc mối quan hệ biện chứng giữa những nội dung kiếnthức của từng chơng, mục trong SGK, khai thác đợc một cách triệt để logicbên trong và mối quan hệ của các kiến thức toán học đặc biệt là kiến thức hìnhhọc Từ đó giúp học sinh có định hớng tốt, biết huy động một cách tốt nhấtcác tri thức và biết tìm tòi nhiều phơng pháp khác nhau cũng nh nhiều cáchgiải khác nhau cho việc giải bài toán

Thông qua hoạt động này nhằm giúp nhằm rèn luyện và phát triển nănglực nhận thức cho học sinh, từ đó góp phần thực hiện nhiệm vụ dạy học hìnhtheo yêu cầu của bộ môn, góp phần vào quá trình đổi mới phơng pháp dạy họchiện nay

1.3 Những hoạt động của năng lực chuyển đổi ngôn ngữ.

1.3.1 Hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ trong nội tại của một ngôn ngữ hình học.

- Hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ nhìn nhận một nội dung hình học theonhiều góc độ khác nhau

- Hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ dựa trên các bất biến

- Hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ t mô hình toán học này sang mô hình toánhọc tổng quát hơngôn ngữ

1.3.2 Hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ từ ngôn ngữ hình học này sang ngôn ngữ hình học khác.

a) Chuyển đổi trực tiếp :

- Hoạt động chuyển đổi giữa ngôn ngữ hình học tổng hợp và ngôn ngữ vectơ

- Hoạt động chuyển đổi giữ ngôn ngữ hình học tổng hợp và ngôn ngữ tọa độ b) Chuyển đổi gián tiếp :

- Hoạt động chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ toạ độthông qua sử dụng ngôn ngữ vectơ làm phơng tiện trung gian

Đ 2 Cơ sở lý luận của việc chuyển đổi ngôn ngữ

2.1 Sự cần thiết của việc "Rèn luyện năng lực chuyển đổi ngôn ngữ"

Trong giảng dạy toán, vấn đề rèn luyện năng lực chuyển đổi ngôn ngữtoán học cho học sinh là một hoạt động quan trọng bởi hiểu theo nghĩa nào đótoán học cùng là một thứ ngôn ngữ để mô tả những tình huống cụ thể nảy sinhtrong nghiên cứu khoa học hoặc trong hoạt động thực tiễn của hoạt động loàingời Dạy học toán học xét về mặt nào đó cũng là dạy học ngôn ngữ Do vậydạy học rèn luyện năng lực chuyển đổi ngôn ngữ cho học sinh là hoạt động cơbản của việc phát triển năng lực chuyển đổi ngôn ngữ toán học cho học sinh.Hơn nữa, phát triển năng lực chuyển đổi ngôn ngữ toán học cho học sinh còngóp phần rèn luyện kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán, pháttriển các phẩm chất t duy nh linh hoạt, độc lập, sáng tạo …) Thông qua rènluyện năng lực chuyển đổi ngôn ngữ cho học sinh góp phần thực hiện nhiệm

vụ dạy học môn toán trong nhà trờng phổ thông

2.2 Vai trò của dạy học giải bài tập toán học đối với hoạt động "Rèn luyện năng lực chuyển đổi ngôn ngữ ".

ở trờng phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với họcsinh, có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.Các bài toán ở trờng trung học phổ thông là một phơng tiện rất có hiệu quả vàkhông thể thay thế đợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển

t duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn

Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt mục đíchdạy học toán ở trờng phổ thông Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy học giảibài tập toán có vai trò quyết định đối với chất lợng dạy học toán

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học đợc sử dụng với những dụng ýkhác nhau Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ,

để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra …)Tất nhiên, việc dạygiải một bài tập cụ thể thờng không chỉ nhằm một dụng ý đơn nhất nào đó màthờng bao hàm những dụng ý nhiều mặt đã nêu

Mỗi bài tập toán cụ thể đợc đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạyhọc đều chứa đựng một cách tờng minh hay ẩn tàng những chức năng khácnhau Những chức năng này đều hớng đến việc thực hiện mục đích dạy học.Trong môn toán, các bài tập mang các chức năng sau:

Với chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành, củng cố cho học sinhnhững tri trức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

Với chức năng giáo dục, bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giớiquan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức ng-

ời lao động mới

Với chức năng phát triển, bài tập nhằm phát triển năng lực t duy họcsinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chấtcủa t duy khoa học

Với chức năng kiểm tra, đánh giá, bài tập nhằm đánh giá mức độ, kếtquả dạy và học, kiểm tra việc nắm các cơ sở lý thuyết, phơng pháp đánh giákhả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh

Trên thực tế, các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rờinhau Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thểtức là hàm ý nói rằng: Việc thực hiện chức năng ấy đợc tiến hành một cách t-ờng minh và công khai Hiệu quả của việc dạy học toán ở trờng phổ thôngphần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chứcnăng có thể có của một bài tập mà ngời viết sách giáo khoa đã có dụng ýchuẩn bị Ngời giáo viên chỉ có thể khám phá và thực hiện đợc những dụng ý

đó bằng năng lực s phạm và trình độ nghệ thuật thực hiện dạy học của mình"

2.3 Bản chất toán học của kiến thức hình học.

Một nội dung, khái niệm hình học có thể diễn đạt theo những ngôn ngữkhác nhau, ký hiệu khác nhau (ngôn ngữ tổng hợp, ngôn ngữ vec tơ, ngôn ngữtoạ độ, ngôn ngữ biến hình)

Ví dụ: Quan hệ hình học M là trung điểm của AB

 M là trung điểm của AB  MA MB 0 (ngôn ngữ vec tơ)

 M là trung điểm của AB 

2

, 2

B A M B A M

y y y x x

AB MB

C B A G C B

y x x

Một nội dung, khái niệm hình học cũng có thể diễn đạt bằng cáchchuyển tải nội dung và diễn đạt nó bằng một quan hệ hình học tơng đơng cùngmột thứ ngôn ngữ hình học

Ví dụ: Quan hệ hình học ba điểm A, B, C thẳng hàng.

,

) ( ,

,

P C

B A

Q C

B A

trong đó (P), (Q) là hai mặt phẳng phân biệt

 





 //

 (AC, ) = (AB, ) (vị trí đối đỉnh) (H.2)

 là đờng thẳng đi qua B

H.3H.3

thẳng hàng f2:(l2(Q)) biến A,B,C  A'',B",C" mà A",B",C" thẳng hàng.

Trong đó: l1 không song song l2

 có PCSS f: (l ()) A, B, C  O (O là điểm thuộc ()

Ví dụ: Khái niệm tứ diện gần đều: "Tứ diện gần đều là tứ diện có các cặp cạnh

đối đôi một bằng nhau"

 Tứ diện có các mặt có diện tích bằng nhau

 Tứ diện có tổng các góc phẳng của mỗi tam diện tại mỗi đỉnh bằng 1800

 Tứ diện có tâm mặt cầu nội tiếp trùng với tâm mặt cầu ngoại tiếp

 Tứ diện có đoạn thẳng đi qua trung điểm mỗi cạnh và tâm đờng tròn nộitiếp cắt cạnh đối diện

 Tứ diện có trọng tâm của tứ diện trùng với tâm mặt cầu ngoại tiếp

2.4 Đặc điểm chơng trình hình học lớp 11.

Toàn bộ nội dung kiến thức hình học lớp 11 đợc xây dựng bằng phơngpháp tiền đề, kết hợp với phép suy diễn logic Nội dung cơ bản đợc trình bàytrong sách giáo khoa hình học 11(SGK chỉnh lý hợp nhất năm 2000-NXBGiáo dục) là:

- Khoảng cách (khoảng cách giữa hai điểm, khoảng cách từ một điểm tới một

đờng thẳng hoặc tới một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéonhau, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song …))

- Góc (góc giữa hai đờng thẳng, giữa đờng thẳng và mặt phẳng, góc giữa haimặt phẳng…))

- Thể tích của các khối đa diện, diện tích xung quanh và thể tích các khối tròn xoay.Phân phối chơng trình nh sau:

Chơng I Đại cơng về đờng thẳng và mặt phẳng 7 tiết

Ch¬ng III Quan hÖ vu«ng gãc 15 tiÕtCh¬ng IV MÆt cÇu vµ mÆt trßn xoay 13 tiÕtCh¬ng V DiÖn tÝch vµ thÓ tÝch 15 tiÕt

Đ 3 Một số định hớng cơ bản cho việc "Rèn luyện năng lực chuyển đổi ngôn ngữ thông qua dạy học giải bài tập hình học không gian bằng phơng pháp tổng hợp"

Qua nghiên cứu cách trình bày nội dung kiến thức hình học không gian

ở nhà trờng phổ thông, kết hợp với việc tìm hiểu vai trò của dạy học giải bàitập toán chúng tôi thấy Nếu chúng ta biết khai thác cho đúng những tiềmnăng của chơng trình sách giáo khoa cùng với năng lực s phạm của ngời giáoviên thì chúng ta có thể rèn luyện năng lực chuyển đổi ngôn ngữ cho học sinhkhông phải ở một bài tập, một tiết nào đó mà xuyên suốt cả quá trình từ chơngnày đến chơng khác Sau đây là một số "hớng" nhằm rèn luyện năng lựcchuyển đổi ngôn ngữ cho học sinh bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp

3.1 Chuyển việc giải bài toán không gian về việc giải bài toán trong phẳng.

3.1.1 Mối liên hệ giữa hình học không gian và hình học phẳng

Khi nghiên cứu hình học phẳng học sinh chủ yếu làm việc trên hai đối

ợng cơ bản là "điểm " và "đờng thẳng" Do đó mối quan hệ giữa những đối ợng này cha đợc khai thác một cách triệt để

t-Hình học mà học sinh phổ thông trung học nghiên cứu là hình họckhông gian mà trong đó ngoài những đối tợng đã có ở hình học phẳng, hìnhhọc không gian có thêm một đối tợng cơ bản mới là "mặt phẳng" Do vậy mốiquan hệ giữa các đối tợng cơ bản của hình học không gian rộng hơn, phức tạphơn

Trong hình học phẳng mỗi hình đều có thể biểu diễn một cách trựcquan bằng hình vẽ trên không gian hai chiều Những quan hệ hình học tronghình học phẳng đều đợc thể hiện tờng minh và chính xác Bên cạnh đó đối vớihình học không gian chúng ta chỉ có thể thể hiện các quan hệ hình học trongkhông gian ba chiều trên một trang giấy hoặc bảng (không gian hai chiều) Vìvậy những quan hệ thể hiện trên hình vẽ không phản ánh đợc những tính chất

Khi dạy học giải bài toán hình học không gian trong mối liên hệ vớihình học phẳng ta có thể xem mặt phẳng là bộ phận của không gian Việc tách

các bộ phận phẳng ra khỏi không gian không làm thay đổi các sự kiện hìnhhọc ban đầu Do đó học sinh có thể giải quyết yêu cầu của bài toán dựa trênnhững kiến thức hình học phẳng.

Nh vậy, từ bài toán hình học không gian có thể chuyển về các bài toántrong phẳng quen thuộc Từ đó giúp học sinh nhận thức rõ hơn về mối quan hệgiữa hình học phẳng và hình học không gian, học sinh hiểu một cách sâu sắchơn về hình học không gian

Ví dụ 1: (1.7- [1] - Tr 27).

Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lợt là trung điểm của các cạnh AB,

CD và G là trung điểm của đoạn MN

a) Chứng minh rằng đờng thẳng AG đi qua trọng tâm A' của tam giácBCD Phát biểu kết luận tơng tự đối với các đờng thẳng BG, CG và DG

b) Chứng minh GA = 3GA'

Chứng minh:

a) Cách 1 Chứng minh AG, BN, DI đồng

quy (I là trung điểm BC)

Ta dễ chứng minh đợc tứ giác MINJ

là hình bình hành, do đó G  IJ

 AG là giao tuyến của mf(ABN) và mf(ADI)

BN là giao tuyến của mf(ABN) và mf(BCD)

DI là giao tuyến của mf(BCD) và mf(ADI)

Mà BN  DI = A'

Vậy AG, BN, DI đồng quy tại A' hay AG đi qua A' (Đpcm)

Cách 2 (Chuyển về giải bài toán phẳng)

Trong mf(ABN) Gọi A' = BN  AG Ta sẽ chứng minh A' là trọng tâm

BCD  chứng minh

2

1 '

'



B A

N A

Xét MBN A, G, A' thẳng hàng

Theo định lý Menelauyt ta có:

GM

NG N

' 1

'

' 2

N A N

A BA

B

G M

N A'

A

Do BN là trung tuyến của BCD nên từ

2

1 '

'



B A

N A

nh trong hình học phẳng nữa mà nó đòi hỏi ngời làm toán phải có trí tởng tợngkhông gian Học sinh cha biết cách vận dụng những kiến thức, tính chất hìnhhọc không gian để giải bài toán hình học không gian do tính trừu tợng cao của

nó Chính vì vậy để chuyển việc giải bài toán từ hình học không gian sang bàitoán phẳng ta có thể sử dụng phơng pháp khai triển hình

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có các góc phẳng ở đỉnh A = 900,

AB = AC + AD Chứng minh rằng: Tổng các góc phẳng ở đỉnh B bằng 900

Chứng minh

Đặt AC = a; AD = b  AB = a + b

 DC = a 2 b2 (vì ACD vuông tại A)

Trên mặt phẳng bất kỳ đi qua đỉnh B dựng

hình vuông BA1A2A3 với cạnh bằng (a+b)

Trên cạnh A1A2 lấy D' sao cho A1D' = b

A2A3 lấy C' sao cho A2C' = b

D'

 Tổng các góc phẳng ở đỉnh B bằng

900 (Đpcm)

3.2 Nhìn bài toán hình học không gian dới nhiều góc độ khác nhau.

Căn cứ vào bản chất của kiến thức hình học ta nhận thấy mỗi nội dunghình học có thể có nhiều hình thức thể hiện khác nhau ,tuỳ theo cách nhìnnhận nội dung đó nh thế nào để đa ra lời giải nhanh, gọn, tuỳ thuộc vào nănglực phân tích bài toán của ngời làm toán Dựa trên mỗi cách nhìn nhận đó ngờilàm toán chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán đã cho sang ngôn ngữ phù hợp vàthực hiện việc giải bài toán bằng ngôn ngữ đó

Mỗi một vấn đề hình học có thể nhìn theo nhiều góc độ khác nhau.Mộtkhái niệm đợc mô tả, định nghĩa bằng những cách tơng đơng Trên cơ sở cáccách nhìn nhận cách mô tả đó ta có thể huy động những tri thức khác nhau đểgiải quyết bài toán hình học Từ đó nhằm khai thác triệt để logic bên trong nộitại của một thứ hình học, đồng thời giúp học sinh nhìn nhận bài toán trong cácmối liên hệ khác nhau

Nh vậy, khi dạy toán cho học sinh

cần dạy cho học sinh nắm đợc logic của

tri thức toán học dới các khía cạnh khác

nhau của nó thông qua quá trình chuyển

đổi ngôn ngữ

Chẳng hạn đối với bài toán tính

khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo

nhau a, b ta có thể nhìn nhận nó dới các

khía cạnh khác nhau để từ đó định ra

cách giải quyết tơng ứng

Ta xem khoảng cách giữa hai

đ-ờng thẳng chéo nhau a, b là:

+ Độ dài đoạn vuông góc chung MN

1)

N M

M

P

a

N b

(H

2)

b

P a

M

Q N

+ Kho¶ng c¸ch gi÷a hai mÆt (P) vµ (Q) lÇn

lît chøa a, b vµ song song víi nhau (H3)

VÝ dô 3: Cho h×nh chãp SABCD cã

SA mf(ABCD),SA =2 §¸y ABCD lµ

Tõ (1) vµ (2)  PQ lµ ®o¹n vu«ng gãc chung

XÐt AFD vµ CDA cã FDA = DAC (so le), FAD = ACD

b (H4)

H A

H

x

D F

B

C A

H.3

Vậy AFD  CDA 

AC

AD CD

AF

  AF =

10

3

CD AD

36

49 9

10 4 1 1 1

1

2 2

AF SA

7 6

Gọi (P) là mặt phẳng qua SD và Dx, (Q) là mặt phẳng qua AC và (P) // (Q)

Khi đó d(AC, SD) = d((Q), (P)) = d(A,(P)) = AH =

7 6

Cách 4 Xem khoảng cách AC và SD là chiều cao hình chóp có đỉnh A và đáy

là SFD, hình chóp ASFD

Ta có d(AC, SD) =

SFD

ASFD S

9 10

3 2 6

81 13

2 2







 FD SD

S

H

D F

B

C A

9 10

7



Do đó d(AC, SD) =

7 6

Cách 5 Xem khoảng cách AC, SD là chiều cao hình hộp có hai đáy lần lợt

chứa hai cạnh AC, SD

10 = 7

Vậy d(AC, SD) =

7 6

Cũng với cách nhìn nhận theo nhiều

góc độ nh vậy quan hệ hình học ba điểm

+ Đờng thẳng đi qua A, B chứa C

+ Hai góc ở vị trí đối đỉnh tạo bởi đờng

B

D F

Q

C

R A

E

 B

C A

B

C A

Ví dụ 4: ( Trở lại với bài tập 7-[1]-tr27) Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần

l-ợt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN

Chứng minh rằng đờng thẳng AG đi qua trọng tâm A' của BCD Phát biểukết luận tơng tự đối với các đờng thẳng BG, CG, DG

Từ (1) và (2)  A, G, A' thẳng hàng hay AG đi qua A' (Đpcm)

Cách 2 Chứng minh AG đi qua A'.

Trong ABN gọi A'' là giao của BN và AG áp dụng định lí Menelauyt

cho ba điểm A, G, A'' ta có

GM

NG N A

BA AB

AM

'

) 2

1

MN diểm trung

là G (Vi

AB diểm trung

là M (Vi

GM

NG AB AM

Thay vào ta có

AM

AB N

A

BA

 ''

BN A

' 2 ' '

Khi đó MH là đờng trung bình ABA'

 H là trung điểm BA'  BH = HA'

Mặt khác BA' = 2A'N hay 2HA' = 2A'N

 A' là trung điểm NMA  GA' // MH (2)

A'

A M

I

N

G

D B

M

Từ (1) và (2)  A, G, A' thẳng hàng hay AG đi qua A' (Đpcm).

Cách 4 Do A' là trọng tâm BCD  A' = BN  DI (I là trung điểm BC)

Nên A, G, A' thẳng hàng  AG, BN, DI đồng quy

Gọi J là trung điểm AD

Khi đó ta có MINJ là hình bình hành  G  IJ, G  MN  AG là giao tuyếncủa hai mặt phẳng (ABN) và (ADI)

DI là giao tuyến của hai mặt phẳng (ADI) và (BCD)

BN là giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD) và (ABN)

Mà DI  BN = A' (trọng tâm BCD)

Suy ra (theo định luật về giao tuyến của ba mặt phẳng) AG, BN, DI đồng quytại A' hay A, G, A' thẳng hàng

Vậy AG đi qua trọng tâm A' của BCD (Đpcm)

Ví dụ 5: Cho hình lập phơng ABCDA1B1C1D1

Chứng minh A, G, C1 thẳng hàng (G là trọng tâm A1BD)

Chứng minh

Cách 1 A, G, C1 thẳng hàng  A, G, C1

đồng thời thuộc hai mặt phẳng phân biệt

Gọi O là tâm hình vuông ABCD

 A1O  (AA1C1C)

vì G  A1O  G  (AA1C1C)

Vậy A, G, C1  (AA1C1C) (1)

Gọi O1 là tâm của hình vuông ABB1A1

 DO1 là trung tuyến của A1BD  G  DO1  (ADC1B1)  G  (ADC1B1)Vậy A, G, C1  (ADC1B1) (2)

Do mf(ADC1B1) và mf(AA1C1C) là hai mặt phẳng phân biệt nên từ (1) và (2)suy ra A, G, C1 thẳng hàng

Cách 2 A, G, C1 thẳng hàng  AC1 chứa G

Gọi O là tâm hình vuông ABCD Ta có A1O  (AA1C1C)

Gọi G là giao điểm AC1 và A1O

Khi đó G là giao điểm của AC1 và mf(A, BD) Ta sẽ chứng minh G là trọngtâm A1BD  Chứng minh A1G = 2GO

Xét AOG và C1GA1 Có AO // A1C1  21

1 1 1





G A

OG C

A AO

Hay A1G = 2GO Vậy G là trọng tâm A1BD

A

D' G

B O

C' O

1

Cách 3 Vì G là trọng tâm A1BD  G = A1O  DO1

Vậy A1, G, C1 thẳng hàng  AC1, A1O, DO1 đồng quy (O, O1 lần lợt là tâmcủa hình vuông ABCD, ABB1A1)

Ta có: AC1 là giao tuyến của hai mặt phẳng (ADC1B1) và (ACC1A1)

DO1 là giao tuyến của hai mặt phẳng (ADC1B1) và (A1BD)

A1O là giao tuyến của hai mặt phẳng (A1BD) và (ACC1A1)

(vì O1  A1B  DO1  (A1BD), O = AC  BD  A1O  (ACC1A1))

Mà DO1  A1O = G Vậy theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có

AC1, DO1, A1O đồng quy tại G (G là trọng tâm A1BD)

3.3 Chuyển đổi ngôn ngữ dựa trên các bất biến

Đối với mỗi bài toán hình học không gian ngoài những định hớng giải bàitoán nh những mục trên ta cũng có thể xem xét bài toán dựa trên những bấtbiến có mặt trong những quan hệ hình học của bài toán Lớp bài toán minhhọa cho định hớng này là những bài toán có các bất biến Afin

Cơ sở của hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ này là dựa trên những kiếnthức về PCSS đợc trình bày ở phần cuối chơng II (Chơng: Quan hệ song song)SGK hình học 2000 - 2001 và phép chiếu vuông góc đợc trình bày ở chơng III(Chơng: Quan hệ vuông góc) Cụ thể:

3.3.1 Nội dung kiến thức PCSS.

PCSS đợc trình bày trong SGK chỉnh lý hợp nhất 2000 - 2001 [1]

* Định nghĩa PCSS : Cho mặt phẳng (P) và một đờng thẳng l không song

song với mặt phẳng (P) Với mỗi điểm M trong không gian, đờng thẳng đi qua

O

A'

C

G A

C'

M và song song với l sẽ cắt (P) tại điểm M' xác định Điểm M' đợc gọi là hìnhchiếu song song của điểm M trên mặt phẳng (P) theo phơng l.

Mặt phẳng (P) đợc gọi là mặt phẳng

chiếu Phép đặt tơng ứng mỗi điểm M

trong không gian với hình chiếu M' của nó

trên (P) đợc gọi là phép chiếu song song

lên mặt phẳng (P) theo phơng l

Phép chiếu song song lên mặt phẳng

(P) theo phơng l viết tắt là phép chiếu

* Các tính chất của PCSS : (Ta chỉ xét hình chiếu của những đoạn thẳng có

phơng không cùng phơng chiếu l)

Định lí 1: Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba

điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó

Hệ quả 1: Hình chiếu song song của đờng thẳng là đờng thẳng của tia

là tia, của đoạn thẳng là đoạn thẳng

Định lí 2: Hình chiếu song song của hai đờng thẳng song song là hai

đ-ờng thẳng song song hoặc trùng nhau

Hệ quả 2: Hình chiếu của một hình bình hành không nằm trong mặt

phẳng song song với phơng chiếu là một hình bình hành

Định lí 3: Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai

đoạn thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đờng thẳng

Để rèn luyện cho học sinh phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ phépchiếu song song ta đi sâu khái quát bất biến của PCSS

+ Hình chiếu song song của một đoạn thẳng là một đoạn thẳng.

+ Hình chiếu song song của một đoạn thẳng song song với mặt phẳng chiếu là

đoạn thẳng song song và bằng đoạn thẳng ấy

+ Hình chiếu song song của một hình bình hành mà mặt phẳng chứa hình bìnhhành không song song với phơng chiếu là một hình bình hành

(Phép chiếu song song bảo toàn sự thẳng hàng của các điểm)

+ Phép chiếu song song bảo toàn sự thẳng hàng của các điểm

+ Qua phép chiếu song song, trung điểm của một đoạn thẳng có hình chiếu làtrung điểm của đoạn thẳng hình chiếu

+ Qua phép chiếu song song tam giác có hình chiếu tam giác thì trọng tâm củatam giác có hình chiếu là trọng tâm của tam giác hình chiếu

* Định nghĩa phép chiếu vuông góc:

Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phơng l sẽ gọi là phép chiếuvuông góc lên mặt phẳng (P) nếu l  mp (P) Cũng có thể gọi nó đơn giản làphép chiếu lên mặt phẳng (P) (Tr 65-[1])

Mặt phẳng (P) đợc gọi là mặt phẳng chiếu Nếu (H ' ) là hình chiếu

vuông góc của hình (H ) lên mặt phẳng (P) thì ta cũng nói gọn: (H ' ) là

hình chiếu của (H ) lên (P).

Định lí (ba đờng vuông góc)

Cho đờng thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) Một đờng thẳng

b nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với đờng thẳng a khi và chỉ khi b vuônggóc với hình chiếu của a trên mp (P)

Nh vậy phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) khi phơng chiếu lvuông góc với (P) Do tính chất đặc biệt của phép chiếu vuông góc nên phépchiếu vuông góc có thêm bất biến quan trọng đó là:

+ Qua phép chiếu vuông góc, góc vuông biến thành góc vuông khi và chỉ khi

có ít nhất một cạnh song song (hoặc thuộc) mặt phẳng chiếu và cạnh kiakhông vuông góc với mặt phẳng chiếu

3.3.2 Cơ sở của việc giải bài toán hình học không gian bằng ngôn ngữ phép chiếu song song.

PCSS là một loại ánh xạ Afin (Không đẳng cấu Afin) do vậy đối vớinhững bài toán hình học không gian có chứa các yếu tố của bất biến Afin ta

có thể sử dụng ngôn ngữ PCSS

Cụ thể:

Tính thẳng hàng: PCSS biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳnghàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

Tỉ số độ dài hai đoạn thẳng: PCSS không làm thay đổi tỷ số độ dài củahai đoạn thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đờng thẳng

Tính song song, đồng quy: PCSS biến hai đờng thẳng song song (cắtnhau) thành hai đờng thẳng song song (cắt nhau) hoặc trùng nhau

Ngoài ra trong một số trờng hợp đặc biệt bằng những cách chọn phơngchiếu, mặt phẳng chiếu thích hợp, ta cũng có thể sử dụng ngôn ngữ PCSS đểgiải những bài toán tính toán

Chẳng hạn đối với bài toán chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàngngoài những khía cạnh đã xét ở mục 3.2 thì đây cũng là một bài toán chứa bấtbiến Afin do vậy ta cũng có thể chuyển sang ngôn ngữ PCSS để giải

A, B, C thẳng hàng  có PCSS f: để ảnh của A, B, C trùng nhau

 Có PCSS: f1 ((P),l1), f2((Q)l2) sao cho:

ảnh của A, B, C qua PCSS f1 thẳng hàng và ảnh của A, B, C qua PCSS f2 thẳnghàng

A, B, C là ảnh của ba điểm thẳng hàng qua PCSS f nào đó

Ví dụ 6: Cho hình lập phơng ABCDA1B1C1D1 Chứng minh A, G, C1 thẳnghàng (G là trọng tâm A1BD)

Nên nếu gọi O'  A1C1 sao cho C1O' = AO

(O' nằm khác phía A1 đối với C1)

1 1

1

O G A

O A G G f

D' G

B O

C

1  G'

2 2

NÕu gäi A'B' lµ ¶nh cña AB qua PCSS lªn mÆt ph¼ng () th× A'B' = AB

Vµ bµi to¸n quy vÒ viÖc tÝnh A'B' trong ()

§Æc biÖt nÕu chän phÐp chiÕu vu«ng

chính là đờng vuông góc hạ từ ảnh của b

đến a' (a' là ảnh của a qua phép chiếu

vuông góc trên)

Ví dụ 7: (Xét lại ví dụ 3) Cho hình SABCD có SA  (ABCD) và SA = 2 Đáy

ABCD là hình chữ nhật, AB =1, BC =3 Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng

2 2

2

1 1

1

AI AS

AH   trong đó SA = 2

Xét AID và CDA có: IAD = DCA (Cùng phụ DAC)

DAC = IDA (cùng phụ IAD)

 AID  CDA 

Ví dụ 8: Cho hình lăng trụ đáy là hình chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB = a;

BC = b M, N là hai điểm lần lợt thuộc BC1 vàD1C sao cho MN // (ABCD).Tìm độ dài ngắn nhất của MN

Do MN // (ABCD) nên MN = BN'.

 MN ngắn nhất  BN' ngắn nhất  BN'  AC

Khi đó ta có

2 2 2

2 2 2 2 2 2

) (

1 1 1 1 '

1

b a

ab BN

ab

b a b a BC AB

ab

 Đạt đợc khi N có hình chiếu song song lênmf(ABCD) theo phơng BC1là chân đờng vuông góc hạ từ B đến AC hay N làgiao của D1C và NN' trong đó BN' AC, NN' // B1C

M là giao của BC và mặt phẳng qua N,// mf(ABCD)

3.4 Chuyển đổi ngôn ngữ bài toán dựa trên xem xét hình này là bộ phận của hình kia.

Trong chơng trình hình học không gian ở trờng phổ thông Bài toán tronghình hộp và bài toán trong hình tứ diện là một lớp bài toán phong phú, đa dạng

có nhiều ứng dụng trong việc thực hiện các mục đích dạy học Việc giải bàitoán trong hình tứ diện đối với học sinh cũng nh giáo viên không phải lúc nàocũng diễn ra thuận lợi, thậm chí có lời giải rất phức tạp Do vậy, trong quátrình dạy học giải bài toán chúng ta nên định hớng cho học sinh những phơngthức khác nhau để giải bài toán Một trong những hớng giải quyết đó làchuyển việc giải bài toán trong hình tứ diện sang giải bài toán trong hình hộp

* Cơ sở của việc chuyển đổi từ giải bài toán trong hình tứ diện sang bàitoán hình hộp

- Khối hình hộp là hình hợp bởi những hình tứ diện khác nhau, hay ta cũng

có thể xem hình tứ diện nh là một bộ phận của hình hộp

- "Một hình tứ diện luôn đợc chứa trong một hình hộp"

Bài toán: Chứng minh rằng hình không gian đợc giới hạn bởi các cặp mặt

phẳng song song lần lợt chứa các cặp cạnh đối diện của một hình tứ diện làmột hình hộp

Chứng minh

Giả sử (), () là hai mặt phẳng lần lợt qua AB và CD của hình tứ diệnABCD và () // ()

Cặp mặt phẳng song song lần lợt đi

qua AC và BD cắt () theo hai giao tuyến

phẳng song song lần lợt qua AD và BC cắt

() theo hai giao tuyến AM và BN mà MA

//BN Vậy tứ giác AMBN là hình bình

+ Nếu ABCD là tứ diện đều (AB = BC = CD = DA)

khi đó mỗi mặt của hình hộp là hình vuông  AMBNPDQC là hình lập

Ví dụ 9: Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng tổng các bình phơng các cạnh

của tứ diện bằng bốn lần tổng bình phơng các đoạn thẳng nối trung điểm cáccặp cạnh đối diện

P

I B

C

D N

M

A

Cách 2 Đặt tứ diện ABCD trong hình hộp Dựng hình hộp AXBYZDTC ngoại

tiếp tứ diện ABCD bằng cách qua hai cạnh đối của tứ diện dựng cặp mặtphẳng song song Khi đó: Đoạn MN nối trung điểm AB, CD chính là đoạn thẳng nối tâm các đáy của hình hộp và do đó

Bài toán 1: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lợt là trung điểm của các cạnh

AB, CD G là trung điểm IJ Tìm gioe điểm A1 của đờng thẳng AG và mặtphẳng (BCD).Chứng minh A1là trọng tâm BCD?

M

D

a

Q b

C A

BA1= 2A1J khi đó bài toán đã

cho trở thành bài toán phẳng

“Rèn luyện năng lực chuyển đổiCho ABJ Gọi I là trung điểm AB,

G là trung điểm IJ A1 = AG  BJ

BA AB AI

Bài toán 2: Cho hình hộp ABCD A1B1C1D1 có các cạnh bên là AA1,BB1, CC1,

DD1 Xác định giao điểm G của đờng chéo AC1 và mặt phẳng (A1BD)

"Cho hình bình hành ACC1A1 Gọi O là trung điểm AC, G là giao điểm củacạnh AC1 và đoạn thẳng A1O Chứng minh A1G = 2GO"

1





G A

AGO C

Vậy G là trọng tâm A1BD (Đpcm).

Chú ý: Ta cũng có thể chứng minh G là trọng tâm A1BD bằng cách sau:

Cách 2 Gọi G là trọng tâm A1BD Để chứng minh AC1 đi qua G, ta chứng

minh AC1, A1O, DO1 đồng quy (trong đó O1 là trung điểm A,B)

Ta có AC1 là giao tuyến của mf(ACC1A1) và mf(ADC1B1)

A1Olà giao tuyến của mf(A1BD) và mf(ACC1A1)

DO1 là giao tuyến của mf(A1BD) và mf(ADC1B1)

mặt khác A1O  DO1 = G

Vậy AC1 , A1O, DO1 đồng quy tại G

hay giao điểm của AC1và mặt phẳng (A1BD) là trọng tâm A1BD (Đpcm)

Bài toán 3: Cho tứ diện ABCD.

a) Chứng minh rằng các đoạn thẳng nối trung điểm cặp cạnh đối của tứ diện

cắt nhau tại một điểm

b) Gọi A1,B1,C1, D1 lần lợt là các trọng tâm của các mặt của tứ diện tơng ứng

đối diện với các đỉnh A,B,C,D Chứng tỏ rằng AA1, BB1, CC1, DD1đồng quy

1 1

DD

GD BB

GB AA

 MN,IJ cắt nhau tại trung điểm G của chúng

Chứng minh tơng tự ta có:Tứ giác MPNQ là hình bình hành  MN,PQ cắt

nhau tại trung điểm G

Vậy MN,IJ, PQ đồng quy tại G

b) Ta có IJ mf(AID)  G mf(AID)

Gọi A1 là giao điểm AG và TD

D A

J P

B

C

D N

M

A

A

1

AID Gọi J là trung điểm AD, G là

trung điểm IJ

Gọi A1 là giao điểm của cạnh ID và AG Chứng minh rằng A1D = 2A1I và

KD AA

2 2

1 1 1 1 1 1

Gọi M là giao điểm của AH và mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện Nh vậy đờng tròn lớn

của mặt cầu là đờng tròn ngoại tiếp

SAM Việc tính bán kính mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện đa về tính bán kính

đ-ờng tròn ngoại tiếp SAM

M C

Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu ngoại tiếp theo đờng tròn ngoại tiếp ABC điqua điểm M.

áp dụng định lý hàm số Sin trong ABC

1 2

3 2 2

3 2 8

12 4

Ký hiệu R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp SAM áp dụng định lý hàm số

Sin cho SAM ta có:

3 13 2

3 12 131 sin

a SAM

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích là S Gọi N là điểm giữa cạnh

CD Trên đờng vuông góc với mặt phẳng ABCD tại N lấy điểm M sao cho MN

= h Gọi I, K lần lợt là trung điểm của AB, MN

a) Chứng tỏ rằng hai khối KABCD và MICD là tơng đơng

b) Tính thể tích hình chung của hai khối KABCD và MICD

(Hớng dẫn: Xét bài toán trên bộ phận BMN.)

Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và có SA =

b vuông góc với đáy Qua đỉnh A, dựng mặt phẳng (P) song song với đờngchéo BD của đáy cắt cạnh SC tại N sao cho SC = 2NC

a) Chứng minh tiết diện thu đợc là một tứ giác có hai đờng chéo vuông gócnhau

b) Tính diện tích của tiết diện thu đợc theo a và b

(Hớng dẫn: Xét bài toán trên bộ phậm phẳng là SAC.')

O

M A

Bài 3: Trong mặt phẳng (P) cho điểm O cố định và d là đờng thẳng quay

quanh O Lấy S cố định ngoài (P) có hình chiếu trên (P) là H, H  O Qua Sdựng đờng vuông góc với mặt phẳng xác định bởi S và d Đờng thẳng này cắt(P) tại N Tìm quỹ tích của N