Rèn luyện một số thành tố tư duy toán học trong học sinh trung học phổ thông qua việc dạy học phương trình ở lớp 10 luận văn thạc sỹ toán học

Về mục tiêu giáo dục phổ thông là "Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạođức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân,tính năng động và sáng t

TRẦN PHƯỚC TIẾN

RÈN LUYỆN MỘT SỐ THÀNH TỐ TƯ DUY TOÁN HỌC TRONG HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA VIỆC DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH Ở LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Nghệ An, 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRẦN PHƯỚC TIẾN

RÈN LUYỆN MỘT SỐ THÀNH TỐ TƯ DUY TOÁN HỌC TRONG HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA VIỆC DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH Ở LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

CHUYÊN NGÀNH LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

MÃ SỐ: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học GVCC TS LÊ HIỂN DƯƠNG

Nghệ An, 2012LỜI CÁM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo trong chuyên ngành Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán, Trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy

và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban chủ nhiệm cùng các Thầy Cô khoa Sau đại học,Trường Đại học Vinh Phòng Tổ chức cán bộ Trường ĐH Sài Gòn, Ban giám hiệu cùng bạn bè đồng nghiệp Trường THPT Hàm Thuận Nam đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè thân thích - nguồn cổ vũ động viên để tôi thêm nghị lực hoàn thành luận văn.

Dù đã rất cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi mong nhận được sự góp ý chân thành của Quý Thầy, Cô giáo và các bạn.

Nghệ An, tháng 10 năm 2012

Tác giả Trần Phước Tiến

NHỮNG TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

MỤC LỤC Trang

THCS Trung học Cơ sở HĐKT Huy động kiến thức

1.2 Tư duy toán học 71.3 Quan điểm cơ bản của việc phát triển tư duy cho HS lớp 10

THPT qua dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình 101.4 Một số nguyên tắc để phát triển tư duy toán học cho học sinh

1.5 Các phương pháp suy luận quan trọng thường gặp trong quá

1.6 Thực trạng rèn luyện một số thành tố tư duy trong học sinh

Chương 2 Phát triển tư duy trong học sinh lớp 10 THPT qua

dạy học nội dung cụ thể của phần phương trình của chương

trình toán lớp 10

40

2.1 Một số định hướng về phát triển tư duy toán học trong học sinh

THPT khi dạy nội dung phương trình, hệ phương trình ở lớp 10 402.2 Một số biện pháp phát triển tư duy toán học trong học sinh lớp

10 THPT khi dạy học phương trình ở lớp 10 41

MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

1 Luật giáo dục(2005), điều 28.2, đã ghi rõ "Phương pháp giáo dục phổ

thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; phù hợpvới đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả nănglàm việc theo nhóm, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác độngđến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh"

Về mục tiêu giáo dục phổ thông là "Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạođức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân,tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủnghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tụchọc lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng bảo vệ tổ quốc chươngtrình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo quyết định số 16/2006/QQDD -BDGĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo cũng đã nêu: "Phảiphát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặctrưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡnghọc sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiếnthức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và tráchnhiệm học tập cho học sinh"

Xuất phát từ mục tiêu của nhà trường Việt Nam, từ các đặc điểm, vai trò, vị trí vàý nghĩa của môn toán, sau khi tốt nghiệp nhà trường phổ thông, học sinh cần đạt cácmục tiêu chung sau:

- Cung cấp cho học sinh những kiến thức, kỹ năng, phương pháp toán họcphổ thông cơ bản, thiết thực;

- Góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khảnăng suy luận đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc sống;

- Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao độngkhoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen tự học thường xuyên;

Tất cả các mục tiêu trên tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học đại học, cao đẳng,trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động theo định hướngphân ban: Ban Khoa học tự nhiên và Ban Khoa học Xã hội và Nhân văn.

Các mục tiêu này là những yêu cầu cần đạt về các mặt:

- Tri thức và kỹ năng

Như vậy, để đạt được những mục tiêu đã nêu ở trên thì vấn đề phát triển tưduy cho học sinh là một mục tiêu quan trọng trong quá trình dạy học môn toán

2 Môn Toán ở trường trung học phổ thông có khả năng to lớn góp phần thực

hiện mục tiêu nêu trên, phát triển tư duy cho học sinh Mục tiêu phát triển tư duycho học sinh cần được thực hiện một cách có ý thức, có hệ thống, có kế hoạch chứkhông phải là tự phát Muốn vậy, người thầy giáo cần có ý thức đầy đủ về các mặt:Thứ nhất là coi trọng rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác cho học sinh;Thứ hai là phát triển ở học sinh khả năng suy đoán và tưởng tượng; Thứ ba là coitrọng rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản; thứ tư là hình thành ở học sinhnhững phẩm chất trí tuệ

Nội dung, chương trình môn toán ở Trung học Phổ thông có nhiều chủ đềkiến thức khác nhau Nội dung chủ đề phương trình, hệ phương trình ở lớp 10 cóvai trò quan trọng trong quá trình phát triển tư duy toán học trong học sinh Khigiải các phương trình đòi hỏi người học sinh phải biết định hướng và sử dụng mộtcách tổng hợp các thao tác tư duy để mục đích cuối cùng là tìm được nghiệm củachúng Kiến thức về phương trình ở lớp 10 cùng với hệ thống bài tập của nó cũngkhá phong phú về chủng loại với các mức độ khó khác nhau phù hợp với các đốitượng học sinh có trình độ nhận thức có kỹ năng rèn luyện Từ đó tư duy được bồidưỡng nhờ vào năng lực giải toán Vì vậy đây là một trong số lĩnh vực có thể khaithác để rèn luyện một số thành tố tư duy cho học sinh trong quá trình dạy học

4 Mặc dù có nhiều công trình liên quan đến rèn luyện và phát triển tư duy toán

học cho học sinh, nhưng việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy của học

sinh khi học phương trình ở lớp 10 vẫn là vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu cả vềphương diện lý luận và triển khai trong thực tiễn dạy học.

Từ những lý do trên đây, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu của luận văn

tốt nghiệp thạc sĩ là: “Rèn luyện một số thành tố tư duy toán học trong học sinh THPT qua việc dạy học phương trình số lớp 10”.

II Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu và đề xuất các biện pháp sư phạm màngười giáo viên toán thực hiện nhằm góp phần phát triể tư duy toán học trong học sinhlớp 10 THPT qua việc dạy học phương trình, hệ phương trình ở đại số lớp 10

III Nhiệm vụ nghiên cứu

1.Nghiên cứu tổng hợp một số lý luận cơ bản về tư duy, tư duy toán học, cácquan điểm cơ bản về phát triển tư duy trong học sinh;

2 Nghiên cứu nội dung chương trình toán phổ thông để xác định chủ đề kiếnthức phương trình ở lớp 10 có tiềm năng phát triển tư duy toán học trong học sinhTHPT;

3 Đề xuất các biện pháp sư phạm mà người giáo viên toán cần thực hiện để pháttriển tư duy toán học cho học sinh lớp 10 THPT qua dạy học phần phương trình ởđại số lớp 10;

4 Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện thực,tính hiệu quả của đề tài

IV Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

1 Đối tượng nghiên cứu

- Tư duy và vấn đề phát triển tư duy cho HS lớp 10 thông qua dạy học nội dungphương trình và hệ phương trình lớp 10 THPT

Khách thể nghiện cứu: Học sinh lớp 10 THPT Hàm Thuận Nam

2 Phạm vi nghiên cứu

- Khảo sát thực tế trên địa bàn các trường THPT ở tỉnh Bình Thuận

V Phương pháp nghiên cứu

1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

2 Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn

3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

4 Xử lý số liệu bằng phương pháp thống kê toán

VI Giả thuyết khoa học

Nếu trong quá trình dạy học môn toán, người giáo viên nghiên cứu đề xuất vàthực hiện những biện pháp sư phạm thích hợp để phát triển tư duy trong học sinh

thì có thể góp phần nâng cao chất lượng dạy học nội dung phương trình, hệ phương

trình ở lớp 10 nói riêng và các nội dung, chương trình toán trong trường trung họcphổ thông nói chung

VII Dự kiến đóng góp của luận văn

1 Hệ thống hóa các cơ sở khoa học và các quan điểm chủ đạo về tư duy toán học

trong phạm vi của dạy học môn toán THPT

2 Đề xuất những quan điểm đối với việc rèn luyện tư duy toán học trong học sinh

qua việc dạy học phương trình ở lớp 10

3 Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán THPT.

VIII Dự kiến cấu trúc của luận văn

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm 3chương sau:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Phát triển tư duy trong học sinh lớp 10 THPT qua dạy học nội dung cụ thể của phần phương trình của chương trình toán lớp 10

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Quá trình tư duy

1.1.1 Khái niệm tư duy

Trí tuệ, tư duy, ý thức là những thuật ngữ mà chúng ta hay dùng nhiều là nhữngtổng hợp trội lên bắt nguồn từ những vô số tương tác giữa những hoạt động → suy nghĩ

do não người tạo ra Trí tuệ, tư duy, ý thức của con người phụ thuộc lẫn nhau, mỗi cáigiả định và bao hàm những cái khác; do đó khi nghiên cứu chúng, phải cố xác địnhbằng cách vừa để chúng dựa vào nhau, vừa phân biệt những tính cách riêng của mỗi cái

Có thể chúng ta xác định trí tuệ như là nghệ thuật chiến lược, tư duy như là nghệ thuật đối thoại và nghệ thuật quan niệm, còn ý thức thì như là nghệ thuật suy nghĩ.

Tư duy là một hoạt động đặc thù của tinh thần con người, nó được triển khaitrong lĩnh vực ngôn ngữ, logic và ý thức Có nhiều quan niệm về tư duy:

Theo Từ điển Triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chứcmột cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trongcác khái niệm, phán đoán, lý luận Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sảnxuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiệnnhững mối liên hệ hợp quy luật Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể táchrời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loàingười cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lờinói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho tư duy

là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên là nhữngvấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết, những ýniệm Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”

Theo Từ điển Bách khoa toàn thư Việt Nam, tập 4: Tư duy là sản phẩm caonhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt  Bộ não người  Tư duy phản ánhtích cực hiện thực khách quan dưới dạng các khái niệm, sự phán đoán, lý luận, …

“Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những bản chất, những mối quan hệ

có tính chất qui luật của sự vật hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa biết” (TrầnThúc Trình 1998, tr.1)

Theo Nguyễn Quang Uẩn: Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh nhữngthuộc tính, bản chất mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vậthiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết.

1.1.2 Đặc điểm của tư duy

Nhiều nghiên cứu của các nhà khoa học đã đi đến những đặc điểm của tưduy: (i) Tính “có vấn đề” của tư duy: Tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những hoàncảnh, những tình huống “có vấn đề”; (ii) Tính gián tiếp của tư duy; (iii) Tính trừutượng và khái quát của tư duy Tính trừu tượng và khái quát của tư duy giúp conngười không những giải quyết được nhiệm vụ ở hiện tại mà còn có thể giải quyếtđược nhiệm vụ ở tương lai; (iv) Tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ mật thiết vớinhau Muốn phát triển tư duy phải gắn với trau dồi ngôn ngữ Tuy nhiên ngôn ngữkhông phải là tư duy, ngôn ngữ chỉ là phương tiện của tư duy; (v) Tư duy có mốiquan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính Tư duy thường bắt đầu từ nhận thức cảmtính, trên cơ sở đó mà nảy sinh “tình huống có vấn đề”; (vi) Tư duy được xét nhưmột quá trình, nghĩa là tư duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc Quá trình này đượcminh hoạ bởi sơ đồ (do K Plantônôv đưa ra):

Sơ đồ 1 (Dẫn theo Nguyễn Văn Thuận (2004), tr 10)

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Chính xác hóa

Giải quyết vấn đề Hoạt động tư duy

mới

(vi) Quá trình tư duy là một hành động trí tuệ: quá trình tư duy được diễn ra bằng

cách chủ thể tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định như: phân tích, tổng hợp, sosánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá

1.2 Tư duy toán học

1.2.1 Một số quan điểm cơ bản về tư duy toán học

Cho đến nay, vẫn chưa có một định nghĩa thống nhất về tư duy toán học vàchưa có công trình nghiên cứu đầy đủ về tư duy toán học Trên thực tế, để có mộtđịnh nghĩa thống nhất và có được những công trình nghiên cứu đầy đủ về tư duy hay

tư duy toán học là một ảo tưởng Bởi tư duy nói chung, tư duy toán học là lĩnh vực

mở, đa dạng, nhiều chiều, bất định, luôn luôn vận động, biến đổi không ngừng, Conngười sống chung và hòa nhập vào thế giới hiện thực, tác động và đối thoại với đốitượng thế giới hiện thực, trong đó có nhiều đối tượng toán học, từ đó có tư duy trong

đó có tư duy toán học Cũng thật khó mà phân biệt một hoạt động tư duy của conngười chỉ có thuần tuy tư duy toán học Não người là “một cỗ máy siêu phức hợp”thực sự mang tính vật lý – hóa học trong những tương tác của nó; thật sự là sinh học

trong tổ chức của não; thực sự là con người trong những hoạt động, suy nghĩ và có ý

thức Do vậy, ta nhận thấy tư duy là một lĩnh vực đa chiều, theo nghĩa cùng lúc nó làvật lý, hóa học, sinh học, não, tinh thần, văn hóa, xã hội, không tách rời nhau Tư duytoán học mà ta đang nói đến cũng như vậy Như đã xác định ở trên, để nghiên cứu tưduy toán học bằng cách vừa để chúng dựa vào nhau, vừa phân biệt những tính cáchriêng của mỗi cái Từ đó ta có thể dẫn ra một số tác giả có nói về tư duy toán học

Viện Sĩ Gonhedenco đã dùng cụm từ “những yêu cầu đối với tư duy toán họccủa học sinh”, những yêu cầu đó là: (i) Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng củaquá trình suy luận, thấy được sự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứngminh; (ii) Sự cô đọng; (iii) Sự chính xác của các ký hiệu; (iv)Sự phân chia rõ ràngtiến trình suy luận; (v) Thói quen lý lẽ đầy đủ về mặt logic

Viện Sĩ KhinSin thì nói đến độc đáo của tư duy toán học đó là (i) Suy luậntheo sơ đồ logic chiếm ưu thế; (ii) Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất đểdẫn đến mục đích; (iii) Phân chia rành mạch các bước suy luận; (iv) Sử dụng chính

xác các ký hiệu, mỗi một ký hiệu toán học có một ý nghĩa xác định chặt chẽ;(v)Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận.

Theo Viện sĩ Maccusevic thì những kỹ năng phải được bồi dưỡng học sinhtrong dạy học toán là (+) Kỹ năng loại bỏ những chi tiết không căn bản để chỉ giữlại những cái bản chất của vấn đề, chẳng hạn kỹ năng trừu tượng hóa; (+) Kỹ năngrút ra hệ quả logic từ những tiền đề đã cho; (+) Kỹ năng phân tích một vấn đề thànhnhững trường hợp riêng, phân biệt khi nào đã bao quát được mọi khả năng, khi nàochỉ ra vấn đề chưa bao quát được mọi khả năng; (+) Kỹ năng khai thác hóa các kếtquả đạt được và đặt ra vấn đề mới ở dạng khái quát; (+) Kỹ năng xác định sơ đồ củahiện tượng sao cho trong đó chỉ giữ lại yếu tố cần thiết cho việc giải thích vấn đề vềmặt toán học; (+) Kỹ năng vận dụng các kết luận được rút ra từ các suy luận, biếtđối chiếu các kết quả đó với các vấn đề đã dự kiến, kỹ năng đánh giá ảnh hưởng củaviệc thay đổi các điều kiện đến độ tin cậy các kết quả

Viện sĩ Cruchetxki có một công trình khoa học rất nổi tiếng với tên gọi là “Tâm lýnăng lực toán học của học sinh” công trình này khá đồ sộ và mục đích của nó là xem xétcấu trúc của năng lực toán học Tác giả này không đi sâu vào tư duy toán học mà tập trungvào những năng lực cần thiết được thể hiện qua môn toán chẳng hạn năng lực sau đây: (i)Năng lực tri giác hóa tài liệu toán học, năng lực nắm được cấu trúc hình thức của bài toán;(ii) Năng lực tư duy logic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và các quan hệ không gian,các ký hiệu dấu và các khái niệm số, năng lực suy nghĩ với các ký hiệu toán học; (iii) Nănglực khái quát nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng, quan hệ, các phép toán của toán học;(iv) Năng lực rút ngắn các quá trình toán học và hệ thống các phép toán tương ứng…

Viện Sĩ Konmogrop cho rằng: Trong thành phần của năng lực toán học có: (i)

Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức phức tạp; (ii) Năng lực tìm được con đường giải phương trình không theo quy tắc chuẩn; (iii) Năng lực trí tưởng tượng hình học; (iv) Nghệ thuật suy luận logic theo các bước phân chia một cách đúng đắn đặc biệt có những kỹ năng vận dụng đúng đắn phương pháp quy nạp toán học

Trên đây chúng ta đã dẫn ra ý kiến của một số nhà toán học về vấn đề liên quanđến tư duy toán học nhưng thực ra các tác giả trên đây cũng chưa đi sâu vào các thành

phần của tư duy toán học mà mới chỉ đề cập những kỹ năng cần thiết hoặc những cáimặt quan trọng trong quá trình nghiên cứu toán hoặc học toán

Một nhóm tác giả người Nga, lần đầu tiên vào năm 1977 có viết một cách đầyđủ và hệ thống về tư duy toán học đó là tác giả Koliagin, Oganhexian Trong tài liệu

“Phương pháp giảng dạy toán ở trường trung học” cuốn sách này có thể chưa được hoànhảo nhưng đó là cuốn sách đầu tiên và duy nhất cho tới bây giờ nghiên cứu sâu về cácthành phần của tư duy toán học chứ không phải là chỉ dừng lại ở mức độ chung chung.Bản thân các tác giả cũng thừa nhận rằng sự phân loại các thành phần như trong cuốn sáchnày chỉ là tương đối và cũng không phải là đầy đủ bao quát mọi khía cạnh Trong quá trìnhthực tế của tư duy toán học, tất cả những thành phần của tư duy đã được phân chia sẽ tácđộng qua lại một cách hữu cơ với nhau kết cấu chặt chẽ với nhau trong những thao tác tưduy này hoặc thao tác tư duy khác Sự phân chia cho một quá trình phức tạp như tư duytoán học bằng cách xét các thành phần riêng lẻ của nó chẳng qua do ý muốn nghiên cứucác biểu hiện riêng biệt của tư duy toán học trong quá trình giảng dạy toán, chỉ có như vậyngười giáo viên mới có điều kiện thúc đẩy sự phát triển nếu không được toàn diện thì cũng

là sự phát triển từng phần tư duy toán học cho học sinh

1.2.2 Vai trò của tư duy toán học

Giáo dục toán học cho học sinh là một quá trình phức tạp bao gồm những bộphận như sau: (+) Truyền thụ cho học sinh một hệ thống nhất định những sự kiện vànhững khái niệm toán học; (+) Rèn luyện những kỹ năng, kỹ xảo toán học, ứngdụng vào thực tiễn; (+) Phát triển tư duy toán học

Những nghiên cứu của các nhà giáo dục học đã chỉ ra rằng, tư duy toán họckhông chỉ là một trong những thành phần quan trọng của sự hoạt động hiểu biết ởhọc sinh, mà còn là thành phần, nếu thiếu sự phát triển có phương hướng rõ rệt, thìkhông thể đạt được những kết quả hữu hiệu trong việc giảng dạy hệ thống các kiếnthức, kỹ năng và kỹ xảo toán học A N Lêônchiép đã nhiều lần vạch ra rằng việcgiảng dạy và sự phát triển trí tuệ ở trẻ có liên quan mật thiết với nhau, và dù rằng trẻphát triển đồng thời với học tập, nhưng phát triển trí tuệ của nó độc lập một cáchtương đối

Như vậy, những khái niệm toán học không hình thành ở học sinh một cách táchbiệt khỏi quá trình nhận thức, mà dần dần được xác định với những mức độ khác nhau,trên những giai đoạn cụ thể của việc giảng dạy Nói cách khác, học sinh có tư duy toánhọc phát triển kém thì không thể hiểu được những khái niệm toán học Để hiểu đượckhái niệm toán học một cách thực chất, HS phải chính mình phát triển những khả năngthao tác trí tuệ nhất định; chỉ có học sinh mới có thể tích cực và tự giác tiếp thu kiếnthức mới trong khi trực tiếp hay không trực tiếp tham gia vào sự sáng tạo cái mới đó.

1.3 Quan điểm cơ bản của việc phát triển tư duy cho HS lớp 10 THPT qua dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình

1.3.1 Đặc điểm thể chất, xã hội, tâm lý lứa tuổi của học sinh lớp 10 THPT

Học sinh lớp 10 THPT thuộc lứa tuổi từ 15 đến 16, đây là tuổi trong giaiđoạn của “thế giới thứ ba” (từ 14, 15 đến 18 tuổi) theo nghĩa đen của từ này, tồn tạigiữa tuổi trẻ em và tuổi người lớn Cái giới hạn có tính chất sinh lý và tính xã hộituy ngắn trong đời người nhưng lại rất quan trọng và nói lên tính phức tạp đa chiềucủa xã hội Thời kỳ này đạt được sự trưởng thành về mặt thể lực, nhưng sự pháttriển cơ thể còn kém so với cơ thể của người lớn Sự phát triển thần kinh có nhữngthay đổi quan trọng do cấu trúc bên trong của não phức tạp và các chức năng củanão phát triển Cấu trúc của tế bào bán cầu đại não có những đặc điểm như trongcấu trúc bán cầu đại não của người lớn Số lượng dây thần kinh liên hợp tăng lên,liên kết các phần khác nhau của vỏ não lại Điều này tạo tiền đề cần thiết cho sựphức tạp hóa các hoạt động phân tích, tổng hợp, của vỏ bán cầu đại não trong quátrình học tập

Trong gia đình các em đã có nhiều quyền lợi và trách nhiệm người lớn, phụhuynh đã bắt đầu trao đổi với các em một số vấn đề của gia đình và các em cũng đãbiết quan tâm đến nhiều mặt sinh hoạt trong gia đình Các em đã gia nhập đoàn thể,tham gia công tác tập thể, công tác xã hội một cách độc lập và có trách nhiệm hơn

Tuổi học sinh ở lớp 10 này có hình dáng người lớn, có những nét người lớn,nhưng chưa phải là người lớn Các em còn phụ thuộc vào người lớn, người lớnthường quyết định nội dung và xu hướng chính của hoạt động của các em

Nội dung và tính chất của hoạt động học tập của HS lớp 10 khác rất nhiều sovới hoạt động học tập của HS THCS Sự khác nhau không chỉ ở nội dung học sâuhơn, mà còn ở chỗ đòi hỏi hoạt động học tập của HS lớp 10 THPT phải có tính năngđộng và tính độc lập cao hơn nhiều, đồng thời đòi hỏi các em muốn nắm vững kiếnthức học tập sâu sắc thì phải phát triển tư duy lý luận.

Thái độ học tập có ý thức đã thúc đẩy sự phát triển có tính chủ định của cácquá trình nhận thức và năng lực điều khiển bản thân của HS lớp 10 nói riêng và HSTHPT nói chung trong hoạt động học tập Thái độ học tập của các em được thúcđẩy bởi động cơ học tập có cấu trúc khác với thời kỳ THCS Lúc này có ý nghĩanhất là động cơ thực tiễn, động cơ nhận thức, sau đó là ý nghĩa xã hội của môn học,rồi mới đến động cớ cụ thể khác Nhưng, thái độ học tập ở một bộ phận khôngnhỏ HS có nhược điểm là học lệch Giáo viên cần làm cho HS hiểu được chức năngý nghĩa của giáo dục phổ thông đối với một môn học

Thời kỳ này, tính chủ định được phát triển mạnh ở tất cả các quá trình nhậnthức Tri giác có mục đích đã bước đầu đạt mức cao Quan sát trở nên có mục đích,

có hệ thống và toàn diện hơn Quá trình quan sát đã chịu sự điều khiển của hệ thốngtín hiệu thứ hai nhiều hơn và không tách khỏi tư duy ngôn ngữ Tuy vậy, các emvẫn phải rất cần sự hướng dẫn của giáo viên Ghi nhớ có chủ định đã giữ vai trò chủđạo trong hoạt động trí tuệ của các em, đồng thời vai trò ghi nhớ logic trừu tượng,ghi nhớ ý nghĩa ngày một tăng Các em đã tạo được tâm thế phân hóa trong ghi nhớ,

đã biết tài liệu nào cần ghi nhớ từng câu từng chữ, tài liệu nào chỉ cần hiểu màkhông cần nhớ Nhưng, một bộ phận HS vẫn còn tính qua loa đại khái, do lỗ hổngcủa phát triển tư duy thời kỳ THCS để lại

Hoạt động tư duy của các em có sự thay đổi quan trọng, các em có khả năng

tư duy lý luận, tư duy trừu tượng một cách độc lập sáng tạo trong những đối tượng

đã được học hoặc chưa được học Suy luận của các em chặt chẽ hơn, có căn cứ vànhất quán hơn Đồng thời tính phê phán của tư duy cũng phát triển Những đặc điểmnày là tiền đề tạo điều kiện cho HS lớp 10 nói riêng, HS THPT nói chung có đượcnhững thao tác tư duy toán học phức hợp trong quá trình học toán

Tuy vậy, số học sinh lớp 10, đầu cấp THPT đạt mức tư duy đặc trưng cho lứatuổi như trên chưa nhiều Nhiều khi các em chưa chú ý phát huy hết năng lực độclập suy nghĩ của bản thân, còn kết luận vội vàng theo cảm tính, Vì vậy, vai tròcủa giáo viên toán trong việc phát triển tư duy tư duy cho HS là vô cùng quan trọng.

1.3.2 Quan điểm cơ bản của việc phát triển tư duy cho HS lớp 10 THPT

Do đặc điểm tâm lý lứa tuổi học sinh THPT mà chúng ta không thể biên soạnmột chương trình bồi dưỡng hay phát triển tư duy toán riêng đưa vào chính khóacho học sinh, mà việc phát triển tư duy cho HS chỉ có thể tiến hành thông qua hoạtđộng dạy học vững chắc các tri thức toán học cho HS

Quá trình vận động của tư duy gắn chặt với quá trình phát triển vận động của mâuthuẫn biện chứng Trong quá trình vận động biến đổi không ngừng đó, tư duy là một dạngthức đối logic phức hợp của hoạt động và những thao tác, sử dụng những năng lực bổsung hay đối kháng của bộ não, và theo nghĩa đó, tư duy là sử dụng đầy đủ đối lập biệnchứng (đối logic) những năng lực suy nghĩ tinh thần của con người Dạng thức mà ta gọi

là đối logic này xây dựng, tổ chức và phát triển theo lối khái niệm diễn tả bởi những thuậtngữ Chẳng hạn, những đối logic của tư duy như: phân biệt - liên hệ; phân hóa - thốngnhất; phân tích – tổng hợp; đặc biệt hóa - khái quát hóa; trừu tượng - cụ thể; riêng biệt hóa

phổ biến hóa; chính xác mơ hồ; tất định bất định; diễn dịch qui nạp; khách thể hóa chủ thể hóa; Mọi quá trình tư duy không được xem xét theo cách đối logic (tức là chỉxem xét một bề) thì dẫn tới chỗ hoang tưởng, mù quáng Vì thế, việc phát triển tư duytoán học cho HS lớp 10 thông qua dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình, phải coitrọng phát triển ngôn ngữ toán học cho HS, mà cụ thể ở đây là những ngôn ngữ trong khidạy học phương trình, hệ phương trình ở lớp 10

-Tư duy tự sinh ra từ vận động mâu thuẫn biện chứng không ngừng, tạo thànhmột vòng “xoáy ốc” Trong quá trình vận động theo vòng xoáy này, tư duy tồn tại

“xa sự cân bằng” động một cách tất yếu Tư duy cần sự điều tiết thường xuyên vàtìm thấy sự điều tiết đó ở sự đối thoại với hiện thực bên ngoài (khái niệm, tri thứctoán) và tìm thấy sự điều tiết ở ngay nội tại của tư duy bởi sự “xoáy ốc” của đối lập

có tính biện chứng (phân tích - tổng hợp; hiểu-giải thích; suy diễn-quy nạp, v.v )

Quá trình tự vận động ấy là quá trình “xoáy ốc”, là quá trình sản sinh cái mới

đó là tư duy mới, tức là biến cái biết thành cái hiểu, cái được quan niệm, nghĩa làcái được tư duy Có thể tìm thấy trong ý tưởng về quan niệm: ý tưởng về sản sinhcái mới; ý tưởng về sự hình thành khái niệm; ý tưởng về tạo nên một mô hình, một

hệ thống các phương pháp (phương pháp giải một dạng phương trình nào đó) Từ

đó, để phát triển tư duy toán học trong HS lớp 10 thì cần phát triển ở HS nhữngquan niệm về các đối tượng, phương pháp trong dạy học chủ đề phương trình, màtrước hết là những phạm trù, khái niệm hay là những phương pháp

Những khái niệm, phạm trù là hình thức cơ bản của tư duy, mà nhờ đó tư duykhông ngừng đi sâu vào bản chất của thế giới vật chất Hoạt động của tư duy còn làhoạt động sử dụng, vận dụng những khái niệm, phạm trù đã có để sáng tạo ra nhữngkhái niệm, phạm trù mới, để phản ánh các quan hệ tất yếu, các quy luật của thế giớikhách quan Chính vì thế, các hình thức tư duy trong môn Toán là khái niệm toánhọc, các định lý, nguyên lý toán học, các suy luận, suy lý Giáo viên Toán cần hiểu

rõ, sâu sắc các vấn đề: con người đã lao động, sáng tạo như thế nào để có được kháiniệm toán học, các tính chất, định lý, các lý thuyết toán học trừu tượng và cácchứng minh chặt chẽ được xây dựng và tích lũy như thế nào trong lịch sử

Với sự phân tích ở trên, chúng ta cũng rút ra rằng, để phát triển tư duy toán họctrong HS lớp 10 THPT cần coi trọng rèn luyện các phương pháp suy luận thường gặp

và những năng lực tư duy cần có khi học và giải toán phương trình Các suy luận đó là:quy nạp và diễn dịch; phương pháp suy diễn; phương pháp phản chứng; phân tích vàtổng hợp; tương tự hóa; tổng quát hóa, đặc biệt hóa; trừu tượng hóa, cụ thể hóa;

1.4 Một số nguyên tắc để phát triển tư duy toán học cho học sinh trong dạy học toán

1.4.1 Một số nguyên tắc tư duy cơ bản (hay theo Polya gọi là kỷ luật trí óc) cần

hình thành cho học sinh

1.4.1.1 Tập trung suy nghĩ vào mục đích

Khi suy nghĩ về một vấn đề, HS cần phải xác định mục đích của vấn đề vàtập trung suy nghĩ vào mục đích ấy Chẳng hạn, khi giải một phương trình cần tập

trung suy nghĩ vào yêu cầu của phương trình, hai vế của phương trình, rồi huy độngkiến thức, vận dụng các phương pháp đã biết, các giả thiết đã cho trong bài toán suynghĩ tìm ra cách giải phương trình.

Ví dụ 1: Giải phương trình: 1

x 1

2 x 1

1 x - 1

x - 1

4 1 x 1

2 x - 1

4 2







1.4.1.2 Đặt câu hỏi và tìm cách trả lời câu hỏi

Khi cần tìm hiểu một vấn đề hay giải một bài toán HS nên biết rèn luyện đặt

ra những câu hỏi liên tiếp và suy nghĩ tìm ra câu trả lời cho chúng Đặt câu hỏi vàtìm cách trả lời là một nguyên tắc của tư duy đồng thời cũng là phương pháp rènluyện cách phát triển tư duy Quá trình tư duy để phát hiện một vấn đề hay giải mộtbài toán được thể hiện ở những câu hỏi đặt ra liên tiếp và ở việc huy động kiến thứckinh nghiệm để trả lời những câu hỏi ấy

Ví dụ 2: Giải phương trình x(x+2)(2x – 3) – x3 = 8 (2)

Người giải có thể đặt câu hỏi: Dạng của phương trình? Bậc của phươngtrình? Phương trình dạng này có cách giải chung chưa? Để giải phương trình nàycần phải thực hiện những hoạt động nào? Mối quan hệ giữa các thừa số có trongphương trình như thế nào?

Với phương trình này, nếu học sinh thực hiện theo thói quen là bỏ ngoặc,thực hiện các phép toán để biến đổi phương trình thì dẫn đến một phương trình bậc

ba gây ít nhiều khó khăn cho học sinh khi tìm nghiệm chính xác của phương trình (2)  (x2 +2x)(2x – 3) – x3 – 8 = 0  2x3 – 3x2 +4x2 – 6x –x3 – 8 = 0

 x3 + x2 – 6x – 8 = 0

Dùng máy tính điện tử cầm tay tìm được x1 = 2.5616; x2 = –2; x3 = –1.5616

Nếu học sinh thành thạo hằng đẳng thức đáng nhớ và chịu khó quan sát bàitoán, nhìn bài toán ở góc độ khác bằng cách đưa phương trình đã cho về dạngphương trình tích nhờ phát hiện nhân tử chung là (x + 2) do áp dụng được hằngđẳng thức a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) thì việc tìm nghiệm của phương trình ít gặpkhó khăn hơn.

0 2 x

x

2 x

1.4.1.3 Đánh giá khả năng phương án giải quyết

Để giải quyết một vấn đề đặt ra (có thể là một bài toán, một định lý cầnchứng minh hay một điều dự đoán cần khẳng định) ta có thể có nhiều phương án.Học sinh cần suy nghĩ thấu đáo để đánh giá được phương án nào có nhiều khả năng,phương án nào sát với đích hơn Muốn làm được điều đó cần có kiến thức vữngvàng, cần có kinh nghiệm qua rèn luyện nhiều và thường xuyên, và cần có kỹ năngvận dụng các thao tác tư duy

(3)  5(x3 + 1) = 2(x2 + 2)2  4x4 – 25x3 + 16x2 – 9 = 0

Phép biến đổi này đã dẫn đến một phương trình bậc bốn đầy đủ không cócách giải tổng quát do đó dẫn đến sự bế tắc

Hướng 2: Nếu nhìn phương trình theo một góc độ khác, xem xét các mối

quan hệ ẩn chứa trong phương trình thì có thể đưa ra một hướng giải quyết khácnhư sau:

Điều kiện: x3 +1 0  x3  –1  x  –1

1 x x 1 x ) 1 x x )(

1 x ( 1

5 3

5 

hoặc x =

2

5 3

1.4.1.4 Phải biết thăm dò, dự đoán

Đối với bài toán tổng quát phải biết cách thử các trường hợp riêng, từ đó dựđoán rút ra được cái chung Đối với vấn đề hay bài toán có thể đưa ra nhiều phương

án giải quyết, nếu chưa khẳng định được phương án nào có nhiều triển vọng thì cầnbiết cách thăm dò để phát hiện được những khả năng hiện thực hoặc những trở ngạikhông thể vượt qua Trong những trường hợp vấn đề có liên quan đến nhiều kiếnthức phải biết thăm dò vùng kiến thức gần nhất với mục đích yêu cầu của bài toán,huy động kiến thức và thử vận dụng các kiến thức, nếu chưa được thì lại thử vậndụng kiến thức khác Đối với bài toán có nhiều giả thiết cần suy nghĩ việc sử dụngnhững giả thiết nào trước, giả thiết nào sau

Ví dụ 4: Xét bài giải hệ bất phương trình

rằng: có phải bất phương trình (2) nó phụ thuộc vào bất phương trình (1) hay không,chứ nếu mà chúng hoàn toàn độc lập thì làm sao ta có điều kiện để giải (2) rồi sau

đó phối hợp nghiệm Nói cách khác là xuất hiện một sự nghi ngờ dẫu rằng có thểmang tính chất cảm tính rằng mọi x thuộc khoảng (– 4, –1) phải chăng tự động thỏamãn bất phương trình (2)? (Cảm tính) Theo đuổi “nghi ngờ” đó thì ta sẽ tìm cáchchứng minh   x ( 4; 1)   x3  3 x2  9 x  10 0  Nếu đã có kiến thức về đạo

hàm và cực trị thì ta khảo sát học sinh f(x) trong khoảng [– 4, –1] ta thấy

Bây giờ đặt vào hoàn cảnh học sinh lớp 10 khi chưa học đạo hàm và cực trị

thì làm sao có thể chứng minh mọi x thuộc (– 4, –1) thì f(x) dương.

Để chứng minh f(x) > 0 x(– 4; –1) thì đầu tiên cũng phải xuất hiện một

thăm dò cảm tính rằng biểu thức ấy sẽ được biến đổi theo cách thêm bớt cho nó xuất

cảm thấy rằng f(x) là đạt min tại –1, do đó phải biến đổi f(x) để làm xuất hiện nhân

tử x+1 Có một phát biểu rất nổi tiếng của nhà toán học và là nhà sư phạm ngườiMỹ G.Polia: “Toán học là khoa học của suy diễn, nhưng mà dự đoán là đóng vai tròtrung tâm Phải dự đoán được định lý trước khi đi vào chứng minh nó, phải dự đoánđược cách giải bài toán trước khi bắt tay vào giải nó”

1.4.1.5 Phải biết nghi ngờ: Biết cách nghi ngờ là một biểu hiện tư duy vận động.

Khi các phương án đề ra chưa thể hiện triển vọng rõ ràng hoặc đã suy nghĩ nhiều

mà chưa có phương án thì có thể nghi ngờ lật ngược vấn đề và suy nghĩ về bài toánlật ngược ấy Rất có thể ta sẽ phát hiện được những điều vô lý của bài toán lậtngược ấy, nhiều khi nhờ đó mà ta phát hiện ra những thiếu sót trong cách tư duyban đầu; từ đó, có thể tìm ra cách giải quyết vấn đề hay bài toán đặt ra Khi giải mộtbài toán, các câu hỏi sẽ là: Cách giải này đã tối ưu chưa? Có cách nào giải bài toántốt hơn không? Có thể phát biểu bài toán dạng khác không?

1.4.1.6 Phải vừa kiên trì, vừa mềm dẻo

Vừa kiên trì, vừa mềm dẻo là các phẩm chất của người có tư duy Khi đã cómột phương án mà ta cho là hợp lý thì phải kiên trì theo đuổi và mỗi khi gặp trởngại khi thực hiện giải quyết vấn đề thì ta cần suy nghĩ để tìm ra thiếu sót, sai lầmđể hoàn thiện phương án giải quyết Trong trường hợp suy nghĩ mãi, lâu dài mà vẫnchưa khắc phục được trở ngại thì ta cần mềm dẻo có thể tạm bỏ qua phương án ấyhoặc gạt bỏ hoàn toàn để tìm một phương án khác; thậm chí có thể tạm gác lại bàitoán ấy một thời gian để tránh lối mòn của tư duy cũ

1.4.1.7 Những quy tắc ưu tiên khi tư duy về một vấn đề (theo Polya đúc kết)

Polya đã đúc kết thành những quy tắc ưu tiên khi tư duy một vấn đề và cũng

là quy tắc ưu tiên khi phát triển năng lực HĐKT: (i) Cái dễ đi trước cái khó Khâunào dễ của vấn đề thì giải quyết trước; kiến thức nào dễ huy động, dễ vận dụng thìdùng trước Giải quyết xong vấn đề dễ có thể có được gợi ý ra cách giải quyết vấn

đề tiếp theo, vấn đề khó hơn; (ii) Cái quen biết đi trước cái xa lạ; (iii) Cái toàn bộ đitrước cái bộ phận Khi nghiên cứu cách giải quyết một vấn đề ta cần nghiên cứu vấn

đề đó một cách tổng thể trước, không để những chi tiết vụn vặt chi phối sự tập trung

vào mục đích chính của vấn đề Sau khi hiểu sâu vấn đề, chúng ta sẽ suy nghĩ về cácchi tiết của nó để sắp đặt một trình tự nghiên cứu, tìm hiểu vai trò của một chi tiếtđối với vấn đề đặt ra.

1.4.2 Một số nguyên tắc cơ bản của việc phát triển tư duy cho HS trong dạy học chủ đề phương trình nói riêng, trong dạy học môn toán THPT nói chung

1.4.2.1 Hiểu thấu và nắm vững kiến thức

(1) Nền tảng của tư duy trong học tập toán và giải toán là hiểu thấu và nắm vững kiến thức

Trong hoạt động tư duy khi học toán, kiến thức, đặc biệt là kiến thức toán học là cơ

sở, nền tảng để tư duy đúng đắn Sự hiểu biết càng rộng, càng sâu sắc thì tư duy càngchính xác, càng phát triển Kiến thức càng vững vàng thì quá trình tư duy càng mạch lạc

Trong việc hiểu thấu và nắm vững kiến thức thì việc hiểu thấu và nắm vững cáckhái niệm đóng vai trò hàng đầu, bởi vì từ những định nghĩa của mỗi khái niệm màngười ta phát hiện được những tính chất của nó và những mối quan hệ giữa các kháiniệm hình thành nên tri thức môn học Nhiều trường hợp chỉ vì không hiểu thấu và nắmvững khái niệm mà HS đã giải sai bài toán hoặc bế tắc không tìm được cách giải Hơnnữa, không hiểu khái niệm trước đó thì không thể hiểu và nắm vững khái niệm sau, từ

đó quá trình tư duy gặp trở ngại Việc hình thành các khái niệm cho học sinh là vấn đềtrung tâm, cho phép đạt được các mục tiêu này

Theo tác giả Hoàng Chúng: “Trong việc dạy học toán, cũng như việc dạy học bất

cứ một khoa học nào khác ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức Toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh… ”

Sai lầm về các khái niệm toán học, đặc biệt là các khái niệm ban đầu có tínhchất nền tảng, sẽ dẫn đến hệ quả tất yếu là học kém toán Vì vậy, có thể nói sự mấtcăn bản của học sinh về kiến thức Toán học trước hết là do không nắm vững bảnchất các khái niệm Từ nhiều nguyên nhân khác nhau có thể dẫn tới sự nhận thức

khái niệm một cách hình thức, được biểu hiện ở chỗ: (i) Học sinh không nắm vữngnội hàm và ngoại diên của khái niệm nên nhận dạng và thể hiện khái niệm sai; (ii)Hiểu sai ngôn ngữ, kí hiệu trong định nghĩa khái niệm nên diễn đạt và vận dụng saikhái niệm khi biến đổi, tính toán, khi suy luận chứng minh

(2) Hiểu thấu và nắm vững kiến thức đã học là cơ sở của tiếp nhận tri thức mới

và để phát triển tư duy

Đặc điểm của toán học là hệ thống và liên tục Các kiến thức toán học đượcsắp xếp theo một hệ thống chặt chẽ, kiến thức sau dựa vào kiến thức trước Phảihiểu những khái niệm trước đó và các tính chất của nó mới hiểu được và nắm vữngnhững khái niệm tiếp theo Quá trình học tập liên tục này là cơ sở quan trọng đểphát triển tư duy toán học

Khi dạy học các khái niệm, định lý giáo viên phải dành thời gian thích đángđể học sinh nắm vững định lý, khái niệm, nhằm phòng tránh sai lầm trong quá trìnhnhận thức và vận dụng khái niệm, định lý

Chẳng hạn, do HS chưa hiểu thấu định lý, dẫn đến vận dụng định lý một cách

máy móc, đưa ra những điều kiện không cần thiết, như đối với bài toán: Tìm điều

kiện của tham số để phương trình bậc hai (có chứa tham số) ax2 + bx + c = 0, a0

có hai nghiệm phân biệt trái dấu, học sinh vẫn thường đưa ra điều kiện thỏa mãn bàitoán như sau 

0 4ac b

, trong hệ điều kiện này, điều kiện > 0 đã bị

thừa Sự dư thừa này tuy không sai nhưng đôi khi gặp phải những bất lợi, ví dụ nhưkhi biệt số  có giá trị là biểu thức phức tạp thì có thể bị thất bại ngay từ việc tìmđiều kiện của tham số để > 0

Nói cách khác, ở bài toán trên, điều kiện > 0 là không cần thiết, lẽ ra khôngcần quan tâm đến thì trái lại học sinh hướng vào việc tìm điều kiện của tham số để 

> 0, mà nhiều khi điều này lại không vượt qua nổi nên phải chấp nhận thất bại

Ví dụ 5: Cho phương trình x2 + m(m+1)x + 2m + 1 = 0 (5) Tìm m đểphương trình có hai nghiệm trái dấu

Một học sinh đã đưa ra lời giải như sau:

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

0 1) 4(2m 1)

(m m

1.4.2.2 Phát triển tư duy dựa trên việc thực hành và vận dụng kiến thức thường xuyên

Muốn phát triển tư duy trên cơ sở hiểu thấu và nắm vững kiến thức thì phảithực hành và vận dụng kiến thức thường xuyên Kiến thức sẽ được củng cố ngàycàng vững chắc khi học sinh thực hiện làm bài tập thường xuyên, bởi vì khi đó kiếnthức được luôn luôn huy động Việc luyện tập giải bài tập toán là cơ hội để HS rènluyện và phát triển tư duy

Chẳng hạn, qua việc vận dụng thực hành giải phương trình, hệ phương trìnhmột cách thường xuyên, HS sẽ thấy rõ tầm quan trọng của việc rèn luyện kỹ năngbiến đổi phương trình, hệ phương trình Hầu như khi tiến hành giải phương trình, hệphương trình ta thường tìm cách biến đổi phương trình, hệ phương trình đó bằngnhững phép biến đổi đồng nhất, phép biến đổi tương đương, phép biến đổi hệ quảđưa phương trình, hệ phương trình đã cho về phương trình, hệ phương trình đơngiản hơn và cuối cùng dẫn đến phương trình, hệ phương trình đã biết cách giải Lưuý rằng, quá trình biến đổi phương trình, hệ phương trình là quá trình mang tínhđộng, cái thay đổi trong quá trình biến đổi đó là hình thức, là dạng, là loại phươngtrình, hệ phương trình Mục đích của sự biến đổi là giảm nhẹ khó khăn, quy lạ vềquen và giữ bất biến tập nghiệm hay kiểm soát được sự thay đổi tập nghiệm (sự

thay đổi nếu có đều được kiểm tra để loại bỏ nghiệm ngoại lai hay vớt lại cácnghiệm đã bị gạt bỏ trong quá trình biến đổi).

1.4.2.3 Tích lũy kinh nghiệm để phát triển tư duy

Việc tích lũy kinh nghiệm ở HS rất cần thiết cho việc phát triển tư duy Việcđúc rút kinh nghiệm vừa tạo cơ hội cho việc rèn luyện óc suy nghĩ và vừa giúp HSrèn luyện các thao tác tư duy và đẩy nhanh việc phát triển tư duy ở các em Polya đãnói: “Chúng ta học tập xuất phát từ kinh nghiệm, hay nói đúng hơn, chúng ta phảihọc tập từ kinh nghiệm Sử dụng kinh nghiệm một cách hiệu quả nhất là nhiệm vụquan trọng của con người…”

Ví dụ 6: Giải phương trình 2x  8  3x  4 (6)

Một học sinh đã làm như sau: Điều kiện: x  – 4

(6)  2x + 8 = (3x + 4)2 (6’)

 2x + 8 = 9x2 + 24x + 16  9x2 + 22x + 8 = 0  x = – 94 hoặc x = –2

Do chưa tích lũy được kinh nghiệm khi giải phương trình có căn thức nên HSkhông nắm được khái niệm phương trình hệ quả, phương trình tương đương nên các

em không ý thức được sự diễn biến của tập nghiệm khi biến đổi phương trình Ởđây phép biến đổi từ (6) sang (6’) là phép biến đổi hệ quả vì đã bình phương hai vếcủa phương trình (6) mà không đặt điều kiện cho hai vế đều không âm, do đó phảithay dấu “  ” từ (6) sang (6’) thành dấu “  ” và như vậy phải có ý thức thử lạinghiệm vào phương trình đã cho để loại bỏ nghiệm ngoại lai (nếu có) đồng thờichọn nghiệm của phương trình

Lưu ý rằng, để phép biến đổi từ (6) sang (6’) là tương đương cần phải cóthêm điều kiện 3x + 4  0

Có thể hướng dẫn học sinh sửa chữa sai lầm trên theo hai hướng sau:

Thử lại ta thấy x = – 94 là nghiệm và x = – 2 không là nghiệm của phươngtrình.

Kết luận: phương trình (6) có một nghiệm là x = – 94

8 2x

0 4 3x

0 8 2x

4 x

 x = –

9 4

1.4.2.4 Huy động kiến thức và kinh nghiệm – Tổ chức vận dụng kiến thức và kinh nghiệm vào việc phát triển tư duy

Để việc tích lũy và huy động kiến thức mang lại hiệu quả trong học tập toán,trong việc phát triển tư duy toán học thì HS phải biết huy động kiến thức và tổ chứckiến thức và kinh nghiệm đó Kiến thức toán học và kinh nghiệm giải toán thì cónhiều và được tích lũy, ghi nhớ trong đầu óc HS Nhưng khi phải chiếm lĩnh một trithức mới hay giải một bài toán thì phải huy động kiến thức gì? Huy động phươngpháp gì? Tức là ta phải biết huy động được những kiến thức và kinh nghiệm thíchhợp Ở trên ta đã chỉ ra, nếu như HS khi học toán học tập với phong cách thườngxuyên tích lũy, rút kinh nghiệm thì quá trình huy động kiến thức sẽ mau lẹ và nhữngkiến thức huy động được thực sự là những kiến thức cần thiết

Theo chỉ dẫn của Polya, muốn huy động và tổ chức vận dụng được kiến thức

và kinh nghiệm thì HS phải biết cách (dẫn theo Nguyễn Duy Thuận -Giáo trình pháttriển tư duy toán học):

+) Khoanh vùng kiến thức tương ứng với điều mới mẻ hay bài tập đang quan tâm; +) Nhận biết được những điều mới mẻ ấy liên quan đến những khái niệm,

tính chất hay định lý nào, bài toán ấy thuộc dạng nào hoặc có liên quan đến mộtdạng bài tập nào đã biết;

+) Hồi tưởng lại những khái niệm, tính chất, định lý hay những dạng bài tập

tương tự và phương pháp giải chúng

Sau khi đã hồi tưởng lại những khái niệm, tính chất, định lý hay những dạng

bài tập tương tự và phương pháp giải chúng nhiều khi chúng ta cần:

+) Bổ sung thêm một vài yếu tố nào đó để hiểu rõ hơn con đường đi tới điềumới mẻ hoặc hiểu rõ hơn quy trình giải bài toán

Đối với những vấn đề hoặc những bài toán phức tạp có thể có những chi tiết

mà ta có thể nghĩ rằng đó là điểm mấu chốt, ta có thể:

+) Cách ly tạm thời yếu tố đó để tập trung nghiên cứu nó, rồi sau đó lại:+) Liên kết nó với toàn bộ bài toán

Mối liên hệ giữa các biện pháp nói trên được Polya mô tả bằng sơ đồ sau:

Quy nạp là suy luận đi từ việc khẳng định trên một số trường hợp riêng ta rút

ra kết luận chung cho mọi trường hợp Có hai loại quy nạp: quy nạp hoàn toàn vàquy nạp không hoàn toàn

Quy nạp hoàn toàn là phép quy nạp mà kết luận chung được khẳng định chotất cả các trường hợp được xét bằng một chứng minh chặt chẽ (chúng minh bằngphương pháp quy nạp toán học) hoặc bằng cách thử nghiệm trực tiếp tất cả cáctrường hợp (nếu có thể được)

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học như sau: Giả sử P(n) là mộtkhẳng định đối với số tự nhiên n Để chứng minh rằng P(n) đúng với mọi n  N, ta

sử dụng phương pháp quy nạp toán học theo n, gồm hai bước như sau:

(i) Thử nghiệm rằng với n = 1 thì P(n) đúng;

(ii) Giả sử P(n) đã đúng với n = k, chứng minh P(n) đúng với n = k + 1

Từ đó suy ra P(n) đúng với mọi n  N

Quy nạp không hoàn toàn là phép quy nạp mà kết luận tổng quát được khẳngđịnh từ một số trường hợp cụ thể Do đó, kết luận của phép quy nạp hoàn toàn cóthể đúng, có thể sai, có thể chưa biết đúng sai

Ví dụ 7: Từ nhận xét 11 = 3 + 3 + 5, 13 = 3 + 5 +5, 15 = 3 + 5 + 7,

17 = 3 + 7 + 7, 19 = 5 + 7 + 7, 21 = 7 + 7 + 7, 23 = 5 + 7 + 11, … Ta suy ra(quy nạp không hoàn toàn) rằng: “Mỗi số lẻ lớn hơn 9 đều là tổng của ba số 3 nguyêntố” (Bài toán Golback từ 1742) Kết luận này đến nay vẫn chưa biết là đúng hay sai

Ngược lại với phép quy nạp là phép diễn dịch, quy nạp và diễn dịch là haimặt đối lập của một quá trình tư duy thống nhất Cơ sơ của phép diễn dịch là quytắc sau: Nếu biết rằng thuộc tính P thuộc về (hay không thuộc về) mỗi đối tượnghợp thành lớp đã cho thì thuộc tính đó thuộc về (hay không thuộc về) mọi đối tượng

cá thể bất kỳ trong lớp đó Quy tắc này còn được gọi là tiên đề của luận ba đoạn(hay tam đoạn luận)

1.5.2 Phương pháp phản chứng

Ta biết rằng, hai mệnh đề A, B được gọi là tương đương, ký hiệu A  B(hoặc A  B) nếu A  B và B  A Nói khác đi, nếu A và B luôn cùng đúnghoặc luôn cùng sai.

Giả sử A là mệnh đề đã cho Ta gọi mệnh đề phủ định của A ký hiệu là A làmệnh đề đúng khi A sai và sai khi A đúng Giả sử A, B là các mệnh đề đã cho Nếu

A  B là mệnh đề thuận thì B  A được gọi là mệnh đề đảo, A  B là mệnh

đề phản, B  A gọi là mệnh đề phản đảo Ta có thể chứng minh được các mệnh

đề thuận và phản đảo là tương đương, các mệnh đề đảo và phản là tương đương

Cơ sở của phương pháp chứng minh phản chứng, một phương pháp suy luậntoán học quan trọng là: (A  B)  B  A Để chứng minh mệnh đề A  B, tagiả sử rằng B sai và sau một loạt trung gian ta đi tới A sai, như vậy phép chứngminh được thực hiện

Trong hoạt động giải toán, trước hết phải nhìn nhận một cách tổng hợp đểxem bài toán đó thuộc loại gì, dạng nào, cần huy động những kiến thức ở vùng nào,

có thể sử dụng những phương pháp nào, sau đó phải phân tích cái đã cho và cái phảitìm, hoặc phân tích ra nhiều bài toán nhỏ hơn, phân tích mối liên hệ giữa các yếu tốcủa bài toán để tìm ra lời giải Sau khi tìm ra lời giải của bài toán bộ phận, phải tổnghợp lại để được lời giải của bài toán đang xét Thông thường khi tìm tòi lời giải, tadùng phương pháp phân tích nhiều hơn, nhưng khi trình bày lời giải ta dùng phươngpháp tổng hợp cho ngắn gọn, cho dù đôi khi có vẻ thiếu tự nhiên Các kiến thứctrong SGK toán thường được trình bày theo phương pháp tổng hợp để đảm bảo tính

ngắn gọn, cô đọng, nhưng khi giảng bài giáo viên toán dùng phương pháp phân tíchcần có những câu hỏi gợi mở để dẫn dắt đi đến những kết luận đó sao cho quá trình

đi đến kiến thức không gò bó áp đặt

Học sinh phổ thông đã được làm quen với hoạt động phân tích và tổng hợp

“Phân tích và tổng hợp là bản chất của hoạt động tư duy nói chung, của khái quát hóa

và những hoạt động trí tuệ có liên quan nói riêng Khái quát hóa và những hoạt động trítuệ có liên quan chỉ là những dạng xuất hiện của phân tích và tổng hợp Vì vậy, khi tậpluyện cho học sinh khái quát hóa và những hoạt động trí tuệ có liên quan, cần có ý thứcrèn luyện cho họ khả năng phân tích và tổng hợp, coi đó là cơ sở để thực hiện các hoạtđộng trí tuệ Nếu học sinh gặp khó khăn khi tiến hành một hoạt động nào đó thì cầnquay lại cơ sở của hoạt động đó là phân tích và tổng hợp.”

Chú ý: Phương pháp tổng hợp còn được gọi là phương pháp phân tích đi lên, còn phương pháp phân tích còn được gọi là phương pháp phân tích đi xuống.

Ví dụ 8: Chứng minh rằng nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì:

cosA + cosB + cosC

này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức cosB + cosC với công thức

cosa + cosb = 2cos

2

a bcos2

a b

B C 3

2



B C + 1  0

2

B C

Bất đẳng thức (8’) luôn đúng, nên (8) đúng

Theo G Pôlya: “Phân tích và tổng hợp là 2 động tác quan trọng của trí óc.Nếu đi vào chi tiết thì có thể bị ngập vào đấy Những chi tiết quá nhiều và quá nhỏmọn làm cản trở ý nghĩ, không tập trung vào điểm căn bản Đó là trường hợp củamột người chỉ thấy cây mà không thấy rừng Trước hết, phải hiểu bài toán như mộtcái toàn bộ Khi đã hiểu rõ thì ta dễ có điều kiện hơn để xem xét những điểm chi tiếtnào là căn bản Ta phải nghiên cứu thật sát và phân chia bài toán thành từng bước

và chú ý, không đi quá xa khi chưa cần thiết” [23, tr 74]

Khi bài toán cần giải đã được hiểu trên toàn bộ (theo nghĩa xác định rõ giảthiết kết luận), đã tìm hiểu được mục đích, ý chủ đạo, thì cần phải đi vào chi tiết.Đặc biệt nếu bài toán khá khó khăn thì đôi khi cần thiết phải thực hiện xa hơn nữaviệc phân chia và khảo sát chi tiết nhỏ hơn

Ví dụ 9: Giải phương trình: 3(9x 9 ) 10(3x x 3 ) 9 0x

Đây là bài toán giải phương trình không dễ dàng với học sinh mới học, mà nóđòi hỏi một khả năng vận dụng thành thạo kỹ năng phân tích để có thể đi tới đíchbằng cách dùng nhiều lần phép rút gọn Bên cạnh đó nó còn đòi hỏi học sinh phải cókiến thức về một số dạng phương trình đơn giản, một suy nghĩ đúng hướng thì mớiphát hiện ra: 9x (3 )x 2

Rõ ràng phương trình (9’) đơn giản hơn phương trình (9) Tiếp tục phân tích:

2 1

2 2

 

z y

y ta có:

3z2 10z30 (9’’)

Phép phân tích chấm dứt ở đây, bởi học sinh đã biết giải phương trình bậc 2.Sau khi đã phân chia bài toán, ta cố gắng tổ hợp lại một cách khác các yếu tốcủa nó Chẳng hạn, ta có thể tạo nên một bài toán mới, dễ hơn mà trong trường hợpcần thiết có thể dùng như một bài toán phụ Đối với một bài toán trong đó có giảthiết và kết luận thì sự phân tích phải hướng vào mục đích tìm cho ra các mắt xíchlôgic nối giả thiết với kết luận

1.5.4 Tổng quát hóa, đặc biệt hóa

Tổng quát hóa là suy luận chuyển từ việc khảo sát một tập hợp đối tượng đếnviệc khảo sát một tập hợp đối tượng lớn hơn, chứa tập hợp ban đầu làm tập con Nhờtổng quát hóa, có thể đề xuất được những giả thuyết, những dự đoán Tổng quát hóamột bài toán có thể đưa tới một bài toán rộng hơn (có thể đúng hoặc không đúng,hoặc không giải được) Có khi tổng quát hóa lại giúp ta tìm tòi lời giải thuận lợi hơn,

dễ dàng hơn đối với bài toán đã cho Tổng quát hóa còn được gọi là khái quát hóa

Đối lập logic với tổng quát hóa là đặc biệt hóa Đó là suy luận chuyển từ việckhảo sát một tập hợp sang việc khảo sát tập hợp con của tập hợp ban đầu Đặc biệthóa có tác dụng để kiểm nghiệm lại kết quả trong những trường hợp riêng hoặc đểtìm ra những kết quả khác (thường là sâu sắc hơn) Trong giải toán, việc xét cáctrường hợp đặc biệt có khi gợi ý cho ta tìm được lời giải của bài toán đang xét hoặcthấy được cách giải Tổng quát có ý nghĩa to lớn trong toán học cũng như các khoahọc khác Tổng quát hóa và đặc biệt hóa cũng là hai mặt đối lập của một quá trình

3

,

2   

x

Từ việc giải thêm một số bài toán như (10) ta dự đoán tổng quát hóa thànhbài toán sau:

Ví dụ 11: Chứng minh rằng điều kiện đủ để phương trình

có thể giúp ta nhanh chóng tìm ra lời giải

Để phát triển tư duy cho HS và để nâng cao độ tin cậy của các kết luận bằngphương pháp suy luận tương tự, cần lưu ý những điểm sau:

(i) Cần cố gắng xác lập càng nhiều càng tốt các dấu hiệu chung cho các đốitượng được so sánh

(ii) Cần chọn sao cho các dấu hiệu chung của các đối tượng được so sánh là điểnhình nhất đối với các đối tượng đó

(iii) Cần chọn sao cho các dấu hiệu chung xác lập giữa các đối tượng được sosánh là càng cùng kiểu càng tốt với dấu hiệu được chuyển từ đối tượng này sang đốitượng kia, tức là với dấu hiệu mà kết luận bằng tương tự đã xác nhận là vốn có của đốitượng này hay đối tượng khác

(iv) Cần cố gắng sao cho các dấu hiệu chung của các đối tượng được so sánh làđặc trưng, riêng biệt đối với chúng

1.5.6 Trừu tượng hóa, cụ thể hóa

Trừu tượng hóa và cụ thể hóa là hai mặt đối lập (đối hợp logic) của quá trình

thống nhất trong sự vận động biến đổi không ngừng của tư duy Trừu tượng hóa được coi là năng lực tinh thần cơ bản nhất của tư duy con người Năng lực trừu

tượng hóa toán học là một năng lực đặc biệt Năng lực trừu tượng hóa toán học của

HS THPT thể hiện biết tách bản chất khỏi hiện tượng, cái chung khỏi cái riêng, vàliên kết lại thành các vấn đề toán học thành một hệ thống chỉnh thể, từ đó đi đến tưtưởng quan niệm về các đối tượng toán học Để phát triển tư duy cho HS, bản thânngười giáo viên toán phải rèn luyện NLTD trừu tượng, biểu hiện ở sự đi sâu suynghĩ, ở trí tưởng tượng, ở việc nắm vững bản chất và quy luật của các vấn đề toánhọc, vận dụng một cách sáng tạo vào GQVĐ trong thực tiễn Để phát triển tư duy

trừu tượng cho HS giáo viên toán cần: (i) GV phải nắm vững những phương pháp

tư duy toán học thường dùng như phân tích và tổng hợp, quy nạp và diễn dịch, tổng quát hóa và đặc biệt hóa,… (2) Tự giác vận dụng quy luật tư duy, các khái niệm, định lý, công thức, quy tắc trong toán học để phán đoán và suy luận chính xác, chứng minh một cách hợp lý; (3) Suy nghĩ đặt vấn đề một cách độc lập, tự tìm cách giải quyết và lựa chọn phương án tối ưu; (4) Bồi dưỡng và vun đắp cho sức tưởng tượng cần thiết cho đặt và phát hiện vấn đề (PHVĐ), GQVĐ, nghiên cứu khoa học.

Từ đó, có biện pháp từ bước phát triển tư duy trừu tượng trong HS

Việc giải các bài toán có nội dung thực tế cũng minh họa sâu sắc cho tínhtrừu tương và cụ thể trong tư duy

Ví dụ 12: Người ta trộn lẫn 8 gam dung dịch A với 6 gam dung dịch B cókhối lượng riêng nhỏ hơn nó là 200 kg/m3 để được một dung dịch có khối lượngriêng là 700 kg/m3 Tìm khối lượng riêng của mỗi dung dịch

Phân tích và hướng dẫn: Đây là bài toán hỗn hợp, trộng hai dung dịch A và Bđể được một dung dịch mới Gọi khối lượng riêng của dung dịch A là x kg/m3, khốilượng riêng của dung dịch B sẽ là x – 200 kg/m3 Ta sẽ đi tính thể tích của dungdịch A và thể tích của dung dịch B, ta đi tính tiếp khối lượng của hỗn hợp và thểtích của hỗn hợp Từ đó, ta lập phương trình của bài toán

1.6 Thực trạng rèn luyện một số thành tố tư duy trong học sinh THPT qua việc dạy học phần phương trình

1.6.1 Tổng quan về nội dung, vị trí của phần chương trình ở lớp 10 THPT

1.6.1.1 Tổng quan về nội dung

Phần này gồm có 3 bài

Bài Đại cương về phương trình có những kiến thức sau: khái niệm phươngtrình một ẩn, nghiệm của phương trình, nghiệm gần đúng của phương trình, giảiphương trình, điều kiện xác định của một phương trình, phương trình nhiều ẩn,phương trình có tham số; khái niệm phương trình tương đương, khái niệm phépbiến đổi tương đương các phương trình, định lý về các phép biến đổi tương đương,khái niệm phương trình hệ quả, khái niệm nghiệm ngoại lai, vận dụng phép biến đổitới phương trình hệ quả vào giải phương trình

Bài Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai có những kiến thứcsau: Khái niệm phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, định lý Vi-ét, một sốdạng phương trình quy về phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai, phươngtrình chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa ẩntrong biểu thức dưới dấu căn

Bài Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn có những kiến thứcsau: Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn, biểu diễn hình học của phương trìnhbậc nhất hai ẩn, nghiệm và giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn; Khái niệm hệ baphương trình bậc nhất ba ẩn, nghiệm của hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn, giải hệ

ba phương trình bậc nhất ba ẩn dạng tam giác và giải hệ ba phương trình bậc nhất

ba ẩn bằng phương pháp khử dần ẩn số đưa về phương trình dạng tam giác

1.6.1.2 Vai trò, vị trí của chủ đề phương trình và hệ phương trình

Chủ đề Phương trình là một chủ đề lớn trong toán học nói chung và trong giáo

trình toán học ở phổ thông nói riêng Chủ đề này có nhiều ý nghĩa về mặt lý thuyết và thựctiễn

Về mặt lý thuyết, từ lâu các nhà toán học lớn đã rất quan tâm nghiên cứu nhưnhà toán học Đi-ô-phăng, Vi-et, Đê-cac, Fecma, Từ việc nghiên cứu lý thuyết

phương trình đã giúp cho một ngành toán học phát triển đó là Đại số và Số học cổđiển (Đại số cao cấp) Cũng từ đó lý thuyết phương trình đã xâm nhập vào cácngành khác của toán học và đã hình thành lý thuyết riêng cho các ngành như lýthuyết về: Phương trình vi phân; Phương trình tích phân; Phương trình toán lí;Phương trình đạo hàm riêng; Phương trình hàm;

Về mặt thực tiễn, lý thuyết phương trình trở thành công cụ nghiên cứu nhiềuvấn đề trong toán học ở giáo trình phổ thông cũng như trong thực tiễn Chủ đềPhương trình và hệ phương trình ở trường THPT chứa đựng nhiều tiềm năng to lớntrong việc phát huy năng lực nhận thức và sáng tạo của học sinh Đây là một chủ đềhay và khó với hệ thống lý thuyết và bài tập phong phú, đa dạng; có nhiều sự độcđáo trong phương pháp giải tạo nên sự say mê, hấp dẫn đối với học sinh Các kiếnthức về Phương trình và Hệ phương trình được áp dụng để giải quyết khá nhiều cácloại bài toán, chẳng hạn: Giải các bài toán kinh tế; Bài toán về tìm giao điểm củacác đường; Biện luận số giao điểm của đồ thị hàm số với các trục toạ độ Chính vìvậy mà ở trường THPT chương Phương trình và hệ phương được phân bố ngay sauchương Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai Với mục đích giúp học sinh tìm toạ độgiao điểm; biện luận số giao điểm của các đồ thị hàm số thông qua số nghiệm tìmđược của phương trình và hệ phương trình tương ứng

1.6.2 Thực trạng về rèn luyện và phát triển tư duy trong học sinh lớp 10 qua dạy học phần nội dung phương trình

Phương trình và hệ phương trình là một trong những nội dung cơ bản củachương trình môn Toán ở nhà trường phổ thông Những vấn đề lí luận như kháiniệm phương trình, hệ phương trình; quan hệ tương đương đối với hai phương trình;phương pháp giải phương trình, hệ phương trình được đưa dần ở mức độ thích hợpvới từng cấp bậc có phần lặp đi lặp lại và nâng cao dần qua các lớp từ lớp 8 đến lớp

10 Đồng thời học sinh cũng được dần dần làm việc với từng loại phương trình, hệphương trình thích ứng với những yếu tố nội dung đã học

Ở đầu bậc THPT, cụ thể là SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao, học sinhđược học về khái niệm phương trình, hệ phương trình và cũng được giới thiệu về

phương trình, hệ phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn cùng cách giải chúng Nếu

là một người đọc “thờ ơ” thì có thể rút ra kết luận: kiến thức này là sự trình bày lại

những gì mà học sinh đã được làm quen ở bậc THCS Thực chất ở đây có sự lặp lại

về hình thức nhưng lại có sự khác biệt về nội dung

Xem xét sự khác nhau về khái niệm phương trình và hệ phương trình đượctrình bày ở cấp THCS và cấp THPT Trong mục này chúng tôi nói đến Phương trìnhcòn Hệ phương trình có sự tương tự

Sự khác biệt là khá lớn ở hai cấp học THCS và THPT thể hiện ngay ở kháiniệm phương trình:

SGK Toán 8, Tập hai, định nghĩa: “Một phương trình ẩn x có dạng A(x) =B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x”

Ở SGK Đại số 10 - Nâng cao, định nghĩa: “Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có tập xác định lần lượt là D f và D g Đặt D = D f D g , mệnh đề chứa biến “f(x)

= g(x)” được gọi là phương trình một ẩn, x gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình Số x 0 thuộc D gọi là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) nếu “f(x 0 ) = g(x 0 )” là mệnh đề đúng”.

Ở SGK Đại số 10 – Cơ bản, định nghĩa: “Phương trình ẩn x là mệnh đề chứabiến có dạng

f (x) = g(x) (1)

trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là

vế phải của phương trình (1)”

Nếu có số thực x0 sao cho f(x0 ) = g(x0 ) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi làmột nghiệm của phương trình (1)

Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm)

Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm

(hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng)

Ở định nghĩa phương trình và hệ phương trình ở bậc THPT có đưa vào kháiniệm mới là mệnh đề chứa biến, đây là khái niệm không được xây dựng ở THCS.Bậc THPT khái niệm tập xác định của phương trình đã được đưa vào, điều này là

một điểm mới so với bậc THCS Dễ nhận thấy khái niệm phương trình ở bậc THPT

là sự kế thừa và phát triển khái niệm phương trình ở bậc THCS Với sự chính xác vàkhoa học của khái niệm phương trình ở bậc THPT đã tạo điều kiện thuận lợi choviệc đi sâu nghiên cứu các phép biến đổi phương trình, hiểu đầy đủ hơn về kháiniệm nghiệm của phương trình Những khái niệm này ở bậc THCS được hiểu mộtcách rất trực quan, chẳng hạn như khái niệm nghiệm của phương trình được hiểuthông qua hoạt động: “Khi x = 6, hãy tính giá trị mỗi vế phương trình: 4x + 6 = 4(x+ 1) + 2” và học sinh sẽ tự hiểu nôm na: nghiệm của phương trình là số nào đó màkhi ta thay vào hai vế của một phương trình thì giá trị của hai vế bằng nhau Còn ởbậc THPT nhờ khái niệm mệnh đề chứa biến mà khái niệm nghiệm của phươngtrình được đưa vào khá lôgic và hợp lý

Chính Sách giáo viên Toán 8, tập hai, cũng đã viết: “Các tác giả đã chọnphương án không xây dựng khái niệm phương trình một cách hoàn chỉnh mà chỉgiới thiệu thuật ngữ phương trình thông qua ví dụ cụ thể Ngay cả “tập xác định củaphương trình” – cũng chỉ đề cập đến một cách đơn giản (gọi là điều kiện xác định) ởvào những thời điểm thích hợp, đó là khi nói về giải phương trình có ẩn ở mẫu”

Việc đưa ra khái niệm phương trình, hệ phương trình như trong SGK Đại số 10

-Cơ bản và Nâng cao rất thuận lợi cho việc chứng minh đầy đủ và chặt chẽ định lý vềphép biến đổi tương đương

SGK Đại số 10 - Nâng cao đã đưa ra định lý về phép biến đổi tương đươngnhư sau:

“Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định là D; y = h(x) là một hàm sốxác định trên D (h(x) có thể là một hằng số) Khi đó trên D, phương trình đã chotương đương với phương trình sau:

1) f(x) + h(x) = g(x) + h(x)

2) f(x).h(x) = g(x).h(x) nếu h(x) ≠ 0 với mọi x thuộc D”

Định lý này hoàn toàn hợp lý với những gì học sinh được học ở cấp THCS,SGK Đại số 10 Nâng cao, đã viết: “Hai qui tắc biến đổi phương trình đã biết ở lớpdưới (qui tắc chuyển vế và qui tắc nhân với một số khác 0) là những phép biến đổi