Khảo sát biến dạng xung lan truyền trong sợi quang tán sắc vận tốc nhóm của một số xung cơ bản luận văn thạc sỹ vật lý

Như ta đã biết một khi cường độ ánh sáng đạt đến một mức giới hạn nào đó, phản ứng của môi trường trở thành phi tuyến, các hệ số phản xạ và hấp thụ phụ thuộc vào cường độ ánh sáng, ta có

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGHỆ AN - 2012

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại khoa Sau Đại học -

Trường ĐH Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, PGS TS Vũ Ngọc Sáu

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo hướng dẫn vì những giúp đỡ mà thầy đã giành cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo PGS TS

Hồ Quang Quý, TS Chu Văn Lanh, cùng các thầy, cô giáo ở khoa Vật lý,

khoa đào tạo Sau Đại học, các cán bộ tham gia giảng dạy tại lớp cao học và các bạn học viên đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tác giả cám ơn những quan tâm, chăm sóc và động viên của gia đình trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đã qua.

Cuối cùng xin gửi đến các thầy giáo, bạn hữu và người thân lòng biết

ơn chân thành cùng lời chúc sức khỏe và thành công trong cuộc sống.

Vinh, tháng 9 năm 2012

Đoàn Thế Anh

MỞ ĐẦU 4

Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ XUNG NGẮN LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG 6

1.1 Phương trình lan truyền xung trong sợi quang 6

1.1.1 Sự phân cực phi tuyến của môi trường 6

1.1.2 Phương trình sóng phi tuyến 8

1.2 Các mode sợi quang 11

1.2.1 Phương trình trị riêng 12

1.2.2 Điều kiện đơn mode 14

1.2.3 Đặc điểm của mode cơ bản 15

1.3 Tán sắc trong sợi quang 18

1.3.1 Tán sắc vận tốc nhóm 19

1.3.2 Tán sắc vật liệu 21

1.3.3 Tán sắc ống dẫn sóng 22

1.3.4 Tán sắc bậc cao 23

1.4 Sự lan truyền xung ngắn trong môi trường phi tuyến 24

1.5 Kết luận chương 1 31

Chương 2 KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG TÁN SẮC VẬN TỐC NHÓM (GVD) LÊN CÁC DẠNG XUNG LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG 32

2.1 Các cơ chế lan truyền khác nhau 32

2.2 Quá trình tán sắc tác động lên các dạng xung lan truyền 35

2.3 Khảo sát ảnh hưởng của GVD lên quá trình lan truyền xung Gauss 36

2.4 Khảo sát ảnh hưởng của GVD lên quá trình lan truyền xung Gauss chirp 44

2.5 Khảo sát ảnh hưởng của GVD lên quá trình lan truyền xung secant- hyperbole 49

2.6 Kết luận chương 2 53

KẾT LUẬN CHUNG 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

MỞ ĐẦU

Nghiên cứu quá trình lan truyền xung ánh sáng trong môi trường vật chất là một trong những vấn đề cơ bản của ngành Quang học Kể từ khi laser

ra đời vào năm 1960, quang học phi tuyến đã có những phát triển vượt bậc

và có nhiều ứng dụng quan trọng trong khoa học và công nghệ, trong đó có thông tin quang Trong lĩnh vực này, truyền tải và xử lý thông tin sẽ là đối

tượng trực tiếp của các quá trình nghiên cứu Sự ra đời của nó đã cải tạo mạng lưới thông tin trên toàn thế giới Nhờ đó, một số lượng tín hiệu hình, tín hiệu âm thanh có thể truyền đi một cách nhanh chóng và có hiệu quả bởi

do tốc độ truyền thông tin là rất lớn, sự tổn hao trong quá trình lan truyền thấp Đặc biệt, tính ổn định của tín hiệu được truyền đi là rất cao và hầu như không bị méo

Như ta đã biết một khi cường độ ánh sáng đạt đến một mức giới hạn nào đó, phản ứng của môi trường trở thành phi tuyến, các hệ số phản xạ và hấp thụ phụ thuộc vào cường độ ánh sáng, ta có thể quan sát được những sự biến đổi phi tuyến của vectơ phân cực Pur của môi trường theo cường độ điện trường Eur của ánh sáng Vì vậy các sóng ánh sáng đơn sắc khác nhau lan truyền trong trong môi trường sẽ bị ảnh hưởng lẫn nhau dẫn đến xuất hiện hàng loạt các hiệu ứng phi tuyến như hiệu ứng suy hao, hiệu ứng tự điều biến pha (SPM), hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm (GVD) Dưới tác dụng của các hiệu ứng này tín hiệu sẽ bị méo hoặc bị phá hủy làm ảnh hưởng đến chất lượng thông tin và tốc độ truyền tin

Tán sắc làm giãn bề rộng xung ánh sáng truyền trong sợi quang làm giới hạn hoạt động của hệ thống truyền dẫn quang Tán sắc trong quang sợi đơn mode là một trong những hiện tượng vật lý ảnh hưởng nghiêm trọng đến chất lượng của mạng thông tin quang tốc độ cao dùng bước sóng ánh sáng vùng cửa sổ 1550nm Nó làm tăng tỉ lệ lỗi bit, giới hạn tốc độ hoặc khoảng cách truyền của mạng Để xây dựng hoặc nâng cấp những mạng thông tin quang kích thước lớn (vài nghìn km), tốc độ cao (vài chục Gbit/s) và hiện đại hoá mạng lưới thông tin, đảm bảo thông tin liên lạc trong mọi tình huống, chất lượng ngày càng cao, thì một vấn đề quan trọng phải giải quyết đó là giảm thiểu ảnh hưởng của độ tán sắc trong sợi cáp quang Để tham gia và

đóng góp vào những nghiên cứu trên chúng tôi chọn đề tài “Khảo sát biến

dạng xung lan truyền trong sợi quang tán sắc vận tốc nhóm của một số xung

cơ bản” làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình.

Cấu trúc luận văn được trình bày như sau:

Phần mở đầu

Phần nội dung

Chương 1: Một số vấn đề về xung ngắn lan truyền trong sợi quang

Trình bày một số vấn đề cơ sở về môi trường phi tuyến, sự phân cực điện môi và một số vấn đề về xung lan truyền trong sợi quang, bên cạnh đó tìm hiểu về các mode sợi quang, điều kiện đơn mode và tán sắc trong sợi quang

Chương 2: Khảo sát ảnh hưởng của hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm (GVD) lên các dạng xung lan truyền trong sợi quang

Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng tán sắc và phi tuyến lên quá trình lan truyền xung trong sợi quang Đi sâu vào khảo sát ảnh hưởng của tán sắc vận tốc nhóm lên một số dạng xung cơ bản lan truyền trong sợi quang như xung Gauss, Gauss chirp và xung secant- hyperbole

Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ XUNG NGẮN LAN TRUYỀN

TRONG SỢI QUANG

1.1 Phương trình lan truyền xung trong sợi quang

1.1.1 Sự phân cực phi tuyến của môi trường

Như chúng ta đã biết khi trường ánh sáng lan truyền trong môi trường điện môi, chúng sẽ kích thích các phân tử và sinh ra các phân cực vi mô Khi cường độ điện trường là nhỏ, độ phân cực điện môi của môi trường phụ thuộc

tuyến tính vào cường độ điện trường tác động lên chất điện môi Nếu cường

độ điện trường tác động lên môi trường vật chất là lớn thì sự đáp ứng của bất

kì chất điện môi nào với trường quang học có cường độ lớn đều trở nên phi tuyến và được đặc trưng bởi vector phân cực toàn phần Pr Trường hợp trường quang học có công suất lớn lan truyền trong môi trường điện môi, khi

đó vectơ phân cực là phi tuyến và liên hệ với vectơ cường độ điện trường Ertheo công thức [1],[2]:

(1) (2) (2) (3) (3)P(t)r = ε χ0[ E(t)r + χ Er (t)+ χ Er (t) ]+

P (t) P (t) P (t)

=r +r +r + (1.1) trong đóε0 là hằng số điện môi trong chân không, (j)χ là độ cảm điện môi bậc

j, (1)χ là độ cảm điện môi tuyến tính, biểu diễn phần đóng góp lớn nhất của vector phân cực Pr, các hiệu ứng của nó thể hiện sự phụ thuộc của chiết suất vào tần số n( )ω χ(2)mô tả các hiệu ứng phi tuyến bậc hai như phát hoà âm bậc hai, phát tần số tổng, phát tần số trừ…

Sự đóng góp thành phần phi tuyến lớn nhất kể đến trong vector phân cực Prlà của χ(3)các thành phần bậc cao khác có thể bỏ qua do chúng quá bé Thành phần bậc ba của vector phân cực phi tuyến tương ứng với các hiện tượng như phát hoà âm bậc ba, hiệu ứng trộn bốn sóng và khúc xạ phi tuyến Khi mà điều kiện hợp pha được thỏa mãn, các quá trình phi tuyến này sẽ dẫn đến hiện tượng phát các tần số mới, điều này là không thuận lợi cho quá trình truyền thông tin trong sợi quang

Các sợi quang được chế tạo từ hỗn hợp Ôxit-silic là một chất điện môi Hầu hết các hiện tượng phi tuyến xảy ra trong sợi quang đều bắt nguồn

từ sự khúc xạ phi tuyến, một hiện tượng mô tả liên hệ giữa sự phụ thuộc của

chiết suất phi tuyến n( , E )% ω 2 vào tần số ωvà cường độ trường, được mô tả

như sau [2]:

2

n( , E ) n( ) n E ,% ω = ω + (1.2)trong đó n( ) ω là chiết suất tuyến tính, thoả mãn:

n ( ) 1ω = + χ , (1.3)

và n2 là chiết suất phi tuyến cho bởi :

(3) 2

3

8n

trong đa số trường hợp n2 là đại lượng dương [2]

Chiết suất phi tuyến phụ thuộc vào cường độ trường, dẫn đến một số lượng lớn các hiện tượng phi tuyến đáng chú ý Khi đó pha của một xung quang học biến đổi theo biểu thức:

1.1.2 Phương trình sóng phi tuyến

Giống như tất cả các hiện tượng điện từ, sự lan truyền của các trường quang học trong sợi quang được chi phối bởi các phương trình Maxwell (Trong hệ thống đơn vị SI), những phương trình này là [3] :

(1.7)

∇ = Dur ρf (1.8)

∇ = Bur 0 (1.9)trong đó Eur và Huur tương ứng là vectơ cường độ điện trường và cường độ từ trường, Dur và Bur tương ứng là mật độ thông lượng điện (độ điện thẩm) và vector cảm ứng từ Vector mật độ dòng Jur và mật độ điện tích ρf đại diện cho nguồn gốc của các trường điện từ Trong trường hợp không có các điện tích tự

do trong một môi trường như là sợi quang, Jur= 0 và ρ =f 0 Mật độ thông

lượng của Dur và urB xuất hiện đáp ứng với điện trường và từ trường Eur, Huur lan truyền trong môi trường có mối liên hệ với chúng thông qua hệ phương trình được đưa ra bởi [3]

Dur= ε 0E Pur ur+ , (1.10)

Bur= µ 0uur uurH M+ , (1.11)

ở đây ε0 là độ điện thẩm chân không, μ0 là độ từ thẩm chân không, Pur và Muur là vector phân cực điện và vector phân cực từ Đối với một môi trường không chứa điện tích tự do như sợi quang học, Muur= 0 Phương trình Maxwell có thể

sử dụng để có được phương trình lan truyền sóng ánh sáng trong sợi quang Bằng cách lấy rôta của phương trình (1.6) và sử dụng các phương trình (1.7), (1.10), và (1.11), ta có được

0 0 1 c

µ ε = được sử dụng

để mô tả mối quan hệ giữa phân cực cảm ứng Pur và điện trường urE Nói chung, để khảo sát Pur đòi hỏi phải tiếp cận phương pháp cơ học lượng tử Cách tiếp cận như vậy là cần thiết khi tần số quang học gần môi trường cộng hưởng Đây là trường hợp của sợi quang học trong khoảng bước sóng 0,5 - 2

m

µ là mối quan tâm cho việc nghiên cứu các hiệu ứng phi tuyến Nếu chúng

ta chỉ xét các hiệu ứng phi tuyến bậc ba chi phối bởi χ( )3 , Sự phân cực gây ra bao gồm hai phần sao cho

để nghiên cứu các hiệu ứng phi tuyến bậc ba trong sợi quang học Bởi vì sự phức tạp của chúng, do đó chúng ta cần thiết phải thực hiện đơn giản hóa một

số giả thiết ban đầu Phân cực phi tuyến urP NLtrong (1.13) được coi là một sự thay đổi nhỏ về sự phân cực cảm ứng tổng urP NL <<PurL Điều này là hợp lý bởi

vì những tác động phi tuyến tương đối yếu trong sợi silica Do đó, bước đầu tiên bao gồm giải phương trình (1.12) với urP NL = 0 Bởi vì phương trình (1.12)

là tuyến tính trong Eur, nó rất có ích để viết trong miền tần số như sau :

( ) ° ( )1 ( )1

Từ phương trình (1.18) và (1.19), n và α có liên quan χ( )1 thông qua các phương trình sau:

so với phần thực Vì vậy, chúng ta có thể thay thế ε(ω) bởi n2(ω) trong phần trình bày sau đây về mode sợi quang Thứ hai, vì n(ω) thường độc lập có toạ

độ không gian trong lõi và lớp vỏ của sợi quang có chiết suất bước, người ta

1.2 Các mode sợi quang

Tại bất kỳ tần số ω nào, sợi quang học có thể hỗ trợ một số hữu hạn các mode theo phân bố không gian, ur rE r( ), ω là lời giải của phương trình sóng

(1.23) và đáp ứng tất cả các điều kiện biên thích hợp Ngoài ra, sợi quang có thể hỗ trợ liên tục của các mode bức xạ không điều khiển

Mặc dù sự bao gồm của mode bức xạ là rất quan trọng trong các vấn đề liên quan đến chuyển giao công suất giữa mode bức xạ và mode bị chặn [6],

chúng không đóng một vai trò quan trọng trong phần thảo luận về hiệu ứng phi tuyến

° z( , ) ( ) ( )exp( )exp( )

E r ω = A ω F ρ ±imφ i zβ (1.26)trong đó A là một hằng số chuẩn hóa, β là hằng số lan truyền, m là một số nguyên, và F(ρ) là lời giải của phương trình

ở đây chỉ số khúc xạ n n= 1 cho một sợi có bán kính lõi (ρ ≤a) nhưng có giá

trị n2 ở bên ngoài lõi ( ρ >a) Phương trình (1.27) là khác biệt với các phương

trình cho hàm Bessel Lời giải chung của nó bên trong lõi có thể được viết như sau:

F ρ =C j κρ +C N κρ (1.28)

m

J là hàm Bessel, Nm là hàm Neumann, và

của các thành phần trường này khi ρ =a dẫn đến một phương trình trị riêng có

lời giải xác định hằng số lan truyền β cho các mode sợi quang

Chúng ta viết phương trình trị riêng trực tiếp dưới dạng sau [3], [5]:

Biểu thị một sự khác biệt trong mối liên quan với đối số và chúng tôi đã

sử dụng mối quan hệ quan trọng sau:

mode cụ thể hỗ trợ bằng sợi quang Dạng phân bố trường tương ứng được lấy

từ phương trình (1.26) Nó chỉ ra rằng [3]-[5] có hai loại mode sợi quang, được chỉ định là HE mn và EH mn Đối với m = 0, các mode này tương tự như các mode điện ngang (TE) và từ ngang (TM) của một ống dẫn sóng phẳng bởi

vì trục các thành phần của điện trường hoặc từ trường biến mất Tuy nhiên, với m > 0, mode sợi quang trở nên lai tạp, nghĩa là tất cả sáu thành phần của trường điện từ khác không

1.2.2 Điều kiện đơn mode

Số lượng các mode hỗ trợ bởi một sợi quang cụ thể tại một bước sóng nhất định phụ thuộc vào các thông số thiết kế của nó, cụ thể là sự chênh lệch chiết suất lõi và lớp vỏ n1 −n2 Đây là một thông số quan trọng cho mỗi mode tần

số cắt Tần số này được xác định bởi điều kiện γ = 0 Giá trị của κ khi γ = 0 cho một mode nhất định, xác định tần số cắt từ phương trình (1.34) Nó rất có ích để xác định một tần số V được chuẩn hóa bởi biểu thức sau:

sợi đơn mode có thể thu được bằng cách sử dụng k0 = 2 π λcvà V = 2.405 trong phương trình (1.35)

1.2.3 Đặc điểm của mode cơ bản

Các trường phân bố E r tur r( ), tương ứng với mode HE11 có ba thành phần khác không E Eρ, φ và E z, hoặc trong tọa độ Đề-các E E x, yvà E z Trong số này, hoặc là E x hoặc E y chi phối Như vậy, đến một mức độ tốt của gần đúng, mode cơ bản sợi quang là phân cực thẳng hoặc x hoặc y hướng phụ thuộc vào việc chi phối của E x hoặc E y Về mặt này, ngay cả một sợi quang dơn mode không thực sự đơn mode bởi vì nó có thể hỗ trợ hai mode phân cực vuông góc Ký hiệu LP mn đôi khi được sử dụng để biểu thị mode phân cực tuyến tính,

đó là những giải pháp gần đúng của phương trình (1.24) Các mode cơ bản 11

HE tương ứng với LP01 trong các ký hiệu [4]

Hai mode phân cực vuông góc của sợi quang đơn mode suy biến (ví dụ, chúng có cùng một hằng số lan truyền) trong điều kiện lý tưởng Trong thực

tế, những bất thường như thay đổi ngẫu nhiên trong hình dạng lõi và kích thước dọc theo chiều dài sợi quang phá vỡ suy biến này một chút, kết hợp hai thành phần phân cực một cách ngẫu nhiên, và cạnh tranh sự phân cực của ánh sáng tới khi nó lan truyền xuống các sợi Sự phân cực, bảo toàn các loại sợi quang có thể duy trì sự phân cực tuyến tính nếu ánh sáng được đưa ra với sự phân cực của nó dọc theo một trong các trục chính của sợi Giả sử rằng ánh sáng tới là phân cực dọc theo một trục chính (lựa chọn để trùng với trục x), điện trường cho mode cơ bản sợi quang HE11 xấp xỉ được đưa ra bởi

° ( , ω) = $x A{ ( ) (ω F x y, )exp iβ ω( )z}

E r (1.36)trong đó A(ω) là một hằng số chuẩn hóa Sự phân bố ngang bên trong lõi được tìm thấy là

F x y =J κρ ρ ≤a (1.37)

ở đây K m( )γρ trong phương trình (1.31) là gần đúng bằng hệ số đầu trong việc

mở rộng tiệm cận của nó và một yếu tố không đổi đã được bổ sung để đảm bảo sự cân bằng của F(x,y) tại ρ = a Hằng số lan truyền β ω( ) trong phương

trình (1.36) thu được bằng cách giải các phương trình trị riêng (1.33) Kết quả

sự phụ thuộc tần số không chỉ từ sự phụ thuộc tần số của n1 và n2 mà còn từ

sự phụ thuộc tần số của κ Trước đây được gọi là tán sắc vật liệu sau này được gọi là tán sắc ống dẫn sóng Tán sắc vật liệu thường chiếm ưu thế, trừ khi các bước sóng ánh sáng là gần bước sóng không tán sắc Để đánh giá β(ω) ta cần giải phương trình (1.33) bằng phương pháp số mắc dù biểu thức giải tích gần đúng có thể thu được trong trường hợp cụ thể [3] Chỉ số hiệu dụng mode liên quan đến β bởi neff = β k0.

Khi sử dụng phương thức phân bố F(x, y) được đưa ra bởi phương trình (1.37) và (1.38) là phức tạp trong thực tế, mode cơ bản sợi quang thường gần đúng bằng phân bố dạng Gauss

Lưu ý rằng w có thể lớn hơn đáng kể đối với V < 1.8 Việc sử dụng gần đúng Gauss có giá trị thực tế đáng kể bởi vì tính tương đối đơn giản của nó.

Hình 1.1 Biến đổi của w tham số độ rộng mode với V thu được bằng cáchphù hợp mode cơ bản sợi quang với một phân bố Gauss Hình bên phải ở trên

cho thấy mức độ phù hợp cho V = 2.4

1.3 Tán sắc trong sợi quang

Đặc tính truyền dẫn của hệ thống bị tác động từ nhiều yếu tố, nhất là các hệ thống được lắp đặt cho các tuyến có dung lượng lớn và cự li xa Mặt khác, hầu hết các tuyến truyền dẫn lại sử dụng sợi quang đơn mode Như vậy, tán sắc trong sợi đơn mode trở thành yếu tố hết sức quan trọng, và việc xem xét ảnh hưởng của nó một cách đầy đủ nhằm đáp ứng phù hợp cho mạng thông tin quang hiện đại đòi hỏi phải có một cách nhìn tổng thể Chính vì vậy, chúng ta tiến hành phân tích tán sắc theo một cách tiếp cận đầy đủ và chỉ xét đến sợi đơn mode

Tuy nhiên, trước khi phân tích về sợi đơn mode, ta sẽ xét một số nét chung về tán sắc trong sợi quang Tín hiệu dọc theo sợi dẫn quang sẽ bị méo

do tán sắc bên trong mode và hiệu ứng trễ giữa các mode gây ra Các hiệu ứng tán sắc được giải thích nhờ việc khảo sát trạng thái tán sắc vận tốc nhóm của các mode truyền dẫn Ở đây vận tốc nhóm là tốc độ mà tại đó năng lượng

ở trong mode riêng biệt lan truyền dọc theo sợi Tán sắc bên trong mode là sự giãn xung tín hiệu ánh sáng xảy ra ở trong một mode Vì tán sắc bên trong mode phụ thuộc vào bước sóng cho nên ảnh hưởng của nó tới méo tín hiệu tăng lên theo sự tăng của độ rộng phổ nguồn phát Độ rộng phổ là dải các bước sóng mà nguồn quang phát tín hiệu ánh sáng trên nó Có thể mô tả sự giãn xung bằng công thức sau [8]:

trong đó L là độ dài của sợi dẫn quang,

τnlà trễ nhóm đối với một đơn vị độ dài,

λS là bước sóng trung tâm,

σλ là độ rộng căn quân phương (RMS) của phổ nguồn phát

Như vậy tán sắc tổng cộng trên sợi dẫn quang gồm hai thành phần chính là tán sắc giữa các mode (tán sắc mode) và tán sắc bên trong mode (bao gồm tán sắc vật liệu và tán sắc dẫn sóng).

Do vậy, có thể thấy tán sắc tổng cộng trên sợi dẫn quang gồm:

Tán sắc mode + Tán sắc vật liệu + Tán sắc dẫn sóng

Tán sắc mode chỉ phụ thuộc vào kích thước sợi, đặc biệt là đường kính lõi của sợi, nó tồn tại trên các sợi đa mode vì các mode trong sợi này sẽ lan truyến theo các đường đi khác nhau, dẫn đến cự li lan truyền và thời gian lan truyền cũng khác nhau Các sợi đơn mode không có tán sắc mode [8]

Tán sắc vật liệu là một hàm của bước sóng và do sự thay đổi về chỉ số chiết suất của vật liệu lõi tạo nên Nó làm cho bước sóng luôn phụ thuộc về vận tốc nhóm của bất kỳ mode nào

Tán sắc dẫn sóng là do sợi đơn mode chỉ giữ được khoảng 80% năng lượng ở trong lõi, vì vậy còn khoảng 20% năng lượng ánh sáng truyền trong

vỏ nhanh hơn năng lượng ở trong lõi Tán sắc dẫn sóng phụ thuộc vào thiết kế

sợi vì hằng số lan truyền mode β là một tham số của

λ

a

, nó thường được bỏ qua trong sợi đa mode nhưng được quan tâm ở sợi đơn mode Tổng tán sắc ở sợi đa mode như sau [8]:

Tán sắc tổng = [(Tán sắc mode)2 + (Tán sắc bên trong mode)2]1/2

Trong sợi đơn mode không có tán sắc mode, chỉ có tán sắc vật liệu và tán sắc dẫn sóng Trong phạm vi luận văn này chủ yếu xem xét và phân tích tán sắc trong sợi đơn mode

1.3.1 Tán sắc vận tốc nhóm

Trong sợi quang đơn mode không còn tồn tại tán sắc mode nhưng sự giãn xung không hoàn toàn mất đi Vận tốc nhóm kết hợp với mode cơ bản là một đặc trưng phụ thuộc tần số Vì vậy các thành phần phổ khác nhau của

xung sẽ lan truyền với vận tốc khác nhau, hiện tượng này gọi là tán sắc vận tốc nhóm GVD (Group - Velocity - Dispersion), tán sắc bên trong mode hay còn gọi là tán sắc sợi.

Chúng ta khảo sát một sợi quang đơn mode độ dài L Nguồn phát có tần

số trung tâm ω0 đi từ đầu vào tới đầu ra sau một thời gian trễ

d

ω β

n g (1.42)

Việc vận tốc nhóm phụ thuộc vào tần số sẽ làm giãn xung đơn giản chỉ

là do các thành phần phổ khác nhau của xung bị phân tán trong khi lan truyền trong sợi quang và không đến đồng thời một lúc tại đầu ra của sợi Gọi ∆ω là

độ rộng phổ của xung thì khoảng thời gian của độ giãn xung khi truyền qua

sợi có độ dài L được viết như sau [10]:

ω

∆βω

∆ω

βω

∆ω

ω

∆ω

g

L d

d L v

L d

d d

Trong một số hệ thống thông tin quang, sự trải tần số ∆ω được xác định bằng dải các bước sóng ∆λ thay cho ∆ω Chúng ta sử dụng công thức:

∆λ

v

L d

d T

2 2 g

c 2 v

L d

Tham số D gọi là hệ số tán sắc, trong hệ SI nó có đơn vị là ps/km.nm

Hệ số tán sắc D phụ thuộc vào bước sóng được chi phối từ sự phụ thuộc vào tần số của chỉ số chiết suất n Như vậy từ phương trình (1.46) và (1.42) chúng

ta có thể viết D như sau:

dn 2

2 v

1 d

d c 2 D

ω

ωωλ

πω

λ

π

(1.47)

Nếu sử dụng điều kiện ngưỡng của tần số chuẩn thì tham số D có thể

được viết dưới dạng tổng:

λω

λ

π

d

dn c

1 d

dn 2

Dưới góc độ đơn giản, tán sắc vật liệu liên quan đến đặc tính tần số cộng hưởng mà tại đó vật liệu sẽ hấp thụ bức xạ điện từ Chỉ số chiết suất

1 ) ( n

ωω

ω

ω , (1.50)trong đó ωj là tần số cộng hưởng và B là cường độ dao động Các tham số j j

B và ωj thu được từ thực nghiệm thông qua các đường cong tán sắc, và thay vào biểu thức (1.50) với M= 3.

Chỉ số chiết suất n và chiết suất nhóm n g thay đổi theo bước sóng đã

gây ra tán sắc vật liệu Tán sắc vật liệu D M có liên hệ với đường bao của n g

λ tại bước sóng λ =1 , 276µm Bước sóng này được coi là

bước sóng có tán sắc bằng không λZD đối với thuỷ tinh tinh khiết Tham số tán

sắc D M có giá trị âm tại bước sóng λ<λZD và dương với bước sóng λ>λZD

1.3.3 Tán sắc ống dẫn sóng

Tương tự như tán sắc vật liệu, tán sắc dẫn sóng D W là một thành phần

đóng góp vào tham số tán sắc D, nó phụ thuộc vào tần số chuẩn hoá V của sợi

quang và được viết như sau:

dn dV

Vb Vd n

n 2

2 2

2

2 g 2 w

ωω

λ

∆π

, (1.51)

trong đó

2 2

2 1

2 2 2

2 2

n n

n k V

ua 1 b

với

2 2 1 2 2

a là bán kính lõi sợi quang,

b là hằng số lan truyền chuẩn hoá,

n là chiết suất nhóm của vật liệu vỏ, g

1

2 1

n

n

n −

=

∆ được giả thiết không phụ thuộc tần số.

Số hạng thứ ba của phương trình (1.51) được coi như là tán sắc vật liệu

vi phân nên được thêm vào (1.48) khi mà 0

d

d ≠ω

∆

, tuy nhiên nó có đóng góp đáng kể

Vì tán sắc dẫn sóng D phụ thuộc vào các tham số sợi quang như bán w kính lõi a, sự khác nhau về chỉ số chiết suất ∆ nên cho phép có thể thiết kế sợi để sao cho λZD được dịch sát tới bước sóng 1 , 55µm Các sợi như vậy gọi

là sợi tán sắc dịch chuyển

1.3.4 Tán sắc bậc cao

Ta biết rằng tích tốc độ-cự li BL của sợi quang đơn mode có thể bằng

vô hạn khi hệ thống hoạt động tại bước sóng có tán sắc bằng không λZD nơi

mà D=0 Tuy nhiên, các hiệu ứng tán sắc vẫn không hoàn toàn mất đi tại

ZD

λ

λ = Các xung quang vẫn còn phải chịu sự giãn do các hiệu ứng tán sắc

bậc cao hơn Đặc trưng này có thể hiểu rằng tán sắc D không thể đạt được giá

trị bằng không tại tất cả các bước sóng được chứa đựng trong phổ xung có tâm tại λZD Rõ ràng là sự phụ thuộc của tán sắc D vào bước sóng sẽ tham gia

vào quá trình giãn xung Các hiệu ứng tán sắc bậc cao hơn được cho bởi đường bao tán sắc như sau:

2

c 4 c

2

λ

πβ

3 2 3

d

d d

d

ω

βω

β

Tại λ =λZD, β2 =0 và S tỷ lệ với β3 Đối với các nguồn phát có độ rộng phổ ∆λ, giá trị hiệu dụng của tham số tán sắc trở thành D=S ∆λ Tích tốc độ-cự li có thể được xác định bởi biểu thức [8]:

1 D

BL ∆λ< (1.56)Hoặc với D=S ∆λ ta có thể áp dụng biểu thức sau:

1 ) ( S

BL ∆λ 2 < (1.57)

1.4 Sự lan truyền xung ngắn trong môi trường phi tuyến

Để nghiên cứu các hiệu ứng phi tuyến trong sợi quang cần thiết phải dùng các xung ngắn Các xung quang học được gọi là xung ngắn khi độ rộng của nó

cỡ picô-giây từ : 10ns đến 10fs Khi các xung lan truyền bên trong sợi quang, cả hai hiệu ứng tán sắc và phi tuyến đều ảnh hưởng đến hình dạng và phổ của chúng Trong phần này chúng tôi đưa ra phương trình lan truyền cơ bản điều chỉnh tán sắc phi tuyến của xung quang học lan truyền trong sợi quang

Từ phương trình sóng (1.12), bằng cách sử dụng phương trình (1.13) và (1.22) phương trình truyền sóng có thể được viết dưới dạng

2 2

2 2

là ω 0 và độ rộng phổ ∆ ω thoả mãn ∆ω ω <<0 1, phản ứng phi tuyến của môi trường với sóng là tức thời Điều này cho phép ta áp dụng phép gần đúng hàm bao biến đổi chậm Ta có thể biểu diễn xung ánh sáng dưới dạng trường có đường bao biến đổi chậm như sau:

1E(r, t) x E(r, t)exp( i t)+cc

Thành phần phân cực phi tuyến P L và P NL có thể biểu diễn tương tự dưới dạng

xˆ 2

1 ) t , r (

P L = L − ω0 + (1.60)

xˆ 2

1 ) t , r (

P NL = NL − ω0 + (1.61)Thành phần phân cực tuyến tính có thể được viết lại bằng cách thay (1.14) vào (1.60) ta được

τ τ ω τ

τ χ

ε ( t ) E ( r , ) exp[ i ( t )] d )

t r (

NL

P r tr =ε χ E r t E r t E r tr r r (1.64)

Thay phương trình (1.59) vào phương trình (1.64), tìm được P NL ( r t, )

dao động với tần số ω0 (thành phần dao động với tần số 3ω0 có thể bỏ qua từ điều kiện hợp pha) Biến đổi phương trình (1.61), P NL ( r t, ) được xác định:

) t, r ( E )

t, r (

P NL ≈ε0εNL , (1.65)trong đó sự đóng góp phi tuyến của hằng số điện môi được xác định:

2 )

3 (

NL E ( r t, ) 4

3

χ

ε = (1.66)Trong phép tính gần đúng, εNL được xem như một hằng số trong suốt quá trình lấy đạo hàm của phương trình truyền xung [12], [13]

Thay phương trình (1.59), (1.61) vào (1.58), biến đổi Fourier

) ,

r (

E ~ ω ω0 ω ω0 , (1.67)tìm ra được phương trình Helmholtz:

)

ε = + + (1.70)

là hằng số điện môi phụ thuộc tần số, với εNL được xác định bởi phương trình (1.66)

Hằng số điện môi có thể được liên hệ bởi phần thực và phần ảo trong biểu thức của chiết suất n (ω) và hệ số hấp thụ α(ω) được xác định:

2

2

c i

ε (1.71)

Từ (1.71) hằng số điện môi có thể được dùng để xác định chiết suất n~

và hệ số hấp thụ α~ Tuy nhiên, cả n~ và α~ đều phụ thuộc vào εNL Thông thường đưa ra:

2

2 E n n n~= + , (1.72)

( )( 3 )

n 8

) ,

z ( A

~ ) y , x ( F ) ,

r (

E ~ ω −ω0 = ω −ω0 β0 , (1.76)trong đó A ~ ( z ,ω) là hàm biến thiên chậm của z , và β0 là số sóng Phương trình (1.68) có thể dẫn ra hai phương trình sau đây cho F ( x , y ) và A ~ ( z ,ω):

y

F x

0 2

∂

∂+

∂

∂ ε ω β , (1.77)

(~ )A ~ 0 z

A ~ i

Trong phương trình (1.78), đạo hàm bậc hai của hàm bao biến thiên

Hằng số điện môi trong phương trình (1.77) có thể viết gần đúng:

k 2

~ i E n

bố F ( x , y ) và số sóng β ω( ) tương ứng Đối với một sợi đơn mode, F ( x , y )

tương ứng với cách thức phân bố của mode cơ bản HE11 được đưa ra bởi phương trình (1.37) và (1.38), hoặc gần đúng Gauss (1.39)

Trong nguyên lý nhiễu loạn bậc nhất n∆ không ảnh hưởng tới cách thức phân bố F ( x , y ) [14] Tuy nhiên, giá trị riêng β~ trở thành

β

∆ωβω

β~ ( )= ( )+ , (1.81)trong đó

∫ ∫

∫ ∫

∞ +

y , x ( F

dxdy )

y , x ( F n k

1 ) t, r (