Khảo sát ảnh hưởng của trường kích thích lên một số thông số của môi trường thông qua phương trình ma trận mật độ

Khảosát tương tác của trường kích thích với hệ lượng tử, chúng ta tìm được thayđổi của các thông số đặc trưng cho hệ thông qua việc giải phương trìnhchuyển động.. Tuy nhiên, việcgiới thi

phạm thị quỳnh nga

khảo sát ảnh hởng của trờng kích thích lên một số thông số của môi trờng thông qua phơng trình ma trận mật độ

Luận văn thạc sĩ vật lý

Vinh - 2007

Mở đầu 1

Chương 1: Tổng quan về toán tử mật độ và phương trình ma trận mật độ 4

1.1 Khái niệm về sự pha trộn thống kê các trạng thái và ma trận mật độ 4

1.2 Các trạng thái thuần khiết 5

1.3 Sự pha trộn thống kê các trạng thái 13

1.4 Ứng dụng của toán tử mật độ 17

Chương 2: Khảo sát ảnh hưởng của trường kích thích lên một số thông số vĩ mô của môi trường 21

2.1 Hamiltonian tương tác 21

2.2 Phương trình Bloch quang học 22

2.3 Phổ hấp thụ: Tính bão hòa và sự mở rộng cường độ 24

2.4 Sự lan truyền của trường, độ cảm, hệ số khúc xạ và hệ số hấp thụ của môi trường 29

2.5 Tính trong suốt điện từ 33

Chương 3: Khảo sát ảnh hưởng của trường kích thích và chân không ngẫu nhiên lên phổ huỳnh quang cộng hưởng của hệ lượng tử ba mức năng lượng 45

3.1 Phương trình Bloch quang học đối với hệ hai mức khi có mặt trường kích thích và chân không ngẫu nhiên 45

3.2 Phương trình đối với nguyên tử ba mức trong sự có mặt của chân không ngẫu nhiên 51

Kết luận 66

Tài liệu tham khảo 68

Tôi xin đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn thầy giáo PGS.TS Nguyễn Huy Công, ngời đã giúp tôi định hớng đề tài, tận tình, chu đáo và dành nhiều công sức chỉ dẫn cho tôi trong quá trình làm luận văn

Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, khoa Vật lý, các thầy giáo: PGS.TS Đinh Xuân Khoa, PGS.TS Hồ Quang Quý, TS Vũ Ngọc Sáu

và các thầy cô đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong học tập và nghiên cứu

Xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, tạo điều kiện cho tôi trong thời gian hoàn thành luận văn.

Vinh, tháng 10 năm 2007.

Tác giả

MỞ ĐẦU

Trong thế kỷ XX, chúng ta đã được chứng kiến hai sự kiện quan trọng có

ý nghĩa trong lĩnh vực quang học, đó là phát hiện ra bản chất lượng tử của ánhsáng và phát hiện ra Laser

Năm 1900, nhà vật lý người Đức Max Planck phát minh ra thuyếtlượng tử, nó đánh dấu thời kỳ phát triển của Vật lý học nói chung và Quanghọc nói riêng

Bình thường, nguyên tử ở trạng thái cơ bản, khi có tác động của trườngkích thích có tần số tương ứng với sự chuyển mức thì các nguyên tử chuyểnsang trạng thái kích thích Sau một thời gian rất ngắn, hoặc có một tác độngnào đó, các nguyên tử ở trạng thái kích thích sẽ chuyển về trạng thái thấp hơn

và đồng thời phát ra các photon thứ cấp Một số photon thứ cấp lại bị cácnguyên tử ở mức dưới hấp thụ để chuyển lên trạng thái kích thích rồi sau đólại trở về làm phát xạ các photon mới Đó chính là hiệu ứng huỳnh quangcộng hưởng Bằng cách sử dụng các máy quang phổ, chúng ta có thể thu đượchình ảnh của phổ huỳnh quang, đó chính là phổ của các photon phát xạ ở cáctần số khác nhau

Một trong những vấn đề quan trọng nhất của quang học lượng tử lànghiên cứu tương tác của hệ lượng tử với trường ánh sáng kích thích Khảosát tương tác của trường kích thích với hệ lượng tử, chúng ta tìm được thayđổi của các thông số đặc trưng cho hệ thông qua việc giải phương trìnhchuyển động Đó là phương trình liên quan đến thay đổi các thông số đặctrưng cho hệ theo thời gian

Do tính phức tạp của hệ lượng tử nên khi nghiên cứu tương tác của hệlượng tử với trường kích thích cho đến nay, thông thường chúng ta hay sửdụng phép gần đúng nguyên tử hai mức Như chúng ta đã biết, trong hệ lượng

tử có rất nhiều mức năng lượng Nếu để ý đến tất cả các mức, chúng ta sẽ vấp

phải khó khăn về mặt toán học buộc chúng ta phải sử dụng các điều kiện gầnđúng

Trường hợp đơn giản nhất là sử dụng hệ lượng tử gần đúng hai mức Khi

sử dụng sự gần đúng này trong việc khảo sát ảnh hưởng của các thăng giángcủa trường kích thích lên hệ lượng tử chúng ta đã thu được nhiều kết quả phùhợp với thực nghiệm Trong một số công trình khoa học [6], [7], [8], người

ta đã đề cập đến việc tính phổ công suất, tính được hiệu mật độ cư trú giữa haimức thông qua việc giải phương trình đối với toán tử mật độ Tuy nhiên, việcgiới thiệu một cách đầy đủ về toán tử mật độ cũng như trình bày về việc sửdụng nó để đặc trưng cho các thông số của hệ lượng tử thì chưa được đề cậpmột cách đầy đủ và chi tiết Vì vậy trước khi đi sâu vào việc khảo sát tươngtác của trường và hệ lượng tử, trong chương đầu tiên của luận văn, chúng tôitrình bày tổng quan về toán tử mật độ Từ đó, sử dụng toán tử mật độ để mô tảtrạng thái của các thông số vật lý của hệ Cũng có thể việc nghiên cứu về toán

tử mật độ đã được nhiều tài liệu đề cập tới, song ở đây chúng tôi cố gắng đềcập một cách đầy đủ và giải thích vì sao chúng ta có thể dùng ma trận mật độ

để nghiên cứu các đặc trưng cho sự thay đổi của các thông số của hệ lượng tửkhi có mặt trường kích thích

Trong chương hai của luận văn, chúng tôi khảo sát ảnh hưởng củatrường điện từ lên độ cảm điện môi của môi trường

Trên cơ sở phương trình Hamiltonian của hệ hai mức, chúng tôi tiếp tụckhảo sát một số thông số khác của hệ hai mức như khảo sát hệ không tự phân

rã, tự phân rã kết hợp với việc khảo sát tốc độ phát xạ tự phát, khảo sát sự lantruyền của trường kích thích trong môi trường, khảo sát sự thay đổi của độ cảmđiện môi, của hệ số khúc xạ, hệ số hấp thụ của hệ lượng tử (của môi trường)

Mở rộng những kết quả tính toán cho nguyên tử hai mức (hệ hai mức),chúng tôi khảo sát tương tác của trường kích thích với hệ lượng tử ba mức.Trong chương này, chúng tôi đề cập đến sự thay đổi của độ cảm điện môi khi

có mặt của sự trong suốt gây ra do cảm ứng điện từ Khái niệm trong suốt

điện từ có nghĩa là trong hệ lượng tử, dù có trường điện từ kích thích vẫnkhông có hiện tượng hấp thụ xảy ra.

Trong chương ba của luận văn, chúng tôi đề cập đến vấn đề tính phổhuỳnh quang cộng hưởng trong hệ lượng tử hai và ba mức khi có mặt chânkhông ngẫu nhiên Đối với hệ hai mức, trong thời gian qua đã có nhiều côngtrình nghiên cứu đề cập tới song đối với hệ ba mức thì hầu như chưa có mấy

ai đề cập Vấn đề đặt ra ở đây là liệu sử dụng phương pháp ma trận mật độ,chúng ta có thể tính toán và vẽ đồ thị hàm phổ của chúng hay không?

Từ việc tính phổ cho hệ hai mức, chúng tôi đã thiết lập được phươngtrình cho hệ ba mức và từ đó tìm được phương trình tiến hóa theo thời giancho các thông số của hệ lượng tử ba mức Từ đó có thể sử dụng phương phápảnh Laplace tìm biểu thức của hàm phổ huỳnh quang của hệ lượng tử ba mức

Chương 1TỔNG QUAN VỀ TOÁN TỬ MẬT ĐỘ

VÀ PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN MẬT ĐỘ

Như chúng ta đã đặt vấn đề ở trên, một trong những công cụ toán họctiện lợi trong cơ học lượng tử và điện động lực học lượng tử để khảo sát sựthay đổi của các thông số của hệ nguyên tử là sử dụng phương trình tốc độcủa ma trận mật độ Bởi vậy trước khi đề cập đến những ứng dụng của nó,trong phần đầu của bản luận văn này, chúng tôi xin được trình bày một cáchtổng quan về khái niệm ma trận mật độ

1.1 Khái niệm về sự pha trộn thống kê các trạng thái và ma trận mật độ

Theo [6], [7], khi xem xét các hệ lượng tử, ta cần phải xử lý hai loại bấtđịnh Loại bất định thứ nhất thể hiện ở chỗ không thể đo chính xác đồng thờimột cặp đại lượng vật lý khi các toán tử tương ứng của chúng không giaohoán với nhau Loại bất định thứ hai xảy ra khi không có thông tin đầy đủ đểxác định trạng thái của hệ lượng tử Điều này có nghĩa là thông tin được biết

về hệ không cho phép ta xác định chính xác hàm sóng của nó Loại bất địnhthứ hai này sẽ được xử lý bằng cách dùng ma trận mật độ

Hình thức luận ma trận mật độ là phương pháp dùng để tính giá trị kỳvọng của các toán tử trong những trường hợp không biết hàm sóng một cáchchính xác Để đưa vào khái niệm này, chúng ta xét một hệ lượng tử ở trạngthái  r, t

Như chúng ta đã biết, đối với một hệ lượng tử, nếu chúng ta có thông tinđầy đủ về hệ thì trạng thái của hệ có thể được mô tả bằng véctơ trạng thái(hàm sóng), ký hiệu là  Một trạng thái như vậy được gọi là một trạngthái thuần khiết

Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, chúng ta không biết véctơ trạng tháichính xác của hệ Trong trường hợp này, chúng ta nói rằng không có đầy đủthông tin về hệ Chẳng hạn, photon được phát ra bởi nguồn sáng tự nhiên có

thể có bất kỳ trạng thái phân cực với xác suất bằng nhau Tương tự, trong

trường hợp hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt (ở nhiệt độ T), có xác suất tồn tại hệ

ở trạng thái có năng lượng E n tỷ lệ với 

Nói một cách tổng quáthơn, sự không đầy đủ thông tin về trạng thái của hệ thông thường được thểhiện ở chỗ là trạng thái của một hệ như vậy có thể đồng thời bao gồm trạngthái  1 với xác suất p1 hay trạng thái  2 với xác suất p2, Dĩ nhiênchúng ta phải có:

1

2

1    

k k p

p p

Khi đó chúng ta nói rằng có sự pha trộn thống kê của các trạng thái  1

,  2 , với các xác suất p1, p2, Sự pha trộn thống kê của các trạng thái

đó không phải là một trạng thái thuần khiết mà là một trạng thái mới gọi làtrạng thái hỗn hợp Trong trường hợp tổng quát, một trạng thái lượng tử cóthể là trạng thái thuần khiết hay trạng thái hỗn hợp

Chúng ta cũng cần lưu ý để không nhầm lẫn hệ được mô tả bởi các trạngthái pha trộn thống kê với hệ mà trạng thái của nó là sự chồng chập tuyến tínhcủa các trạng thái:

Đối với tổ hợp tuyến tính các trạng thái, nói chung, có tồn tại các hiệuứng giao thoa giữa các trạng thái này Các hiệu ứng đó xuất hiện là do có sựtồn tại của các số hạng dạng k

*

k C

C có mặt khi lấy bình phương môđun củacác biên độ xác suất Trong lúc đó, đối với các trạng thái pha trộn thống kê,chúng ta không bao giờ có các số hạng thể hiện sự giao thoa giữa các trạngthái đó

1.2 Các trạng thái thuần khiết

Trước hết, chúng ta nghiên cứu trường hợp đơn giản ở đó véctơ trạngthái của hệ là hoàn toàn đã biết, tức là, tất cả các xác suất p k khác đều bằng 0

chỉ trừ một giá trị xác suất bằng 1 Trạng thái đó của hệ được gọi là trạng tháithuần khiết.

1.2.1 Mô tả bằng véctơ trạng thái (hàm sóng)

Trạng thái thuần khiết của hệ có thể được mô tả bằng véctơ trạng thái(hàm sóng), ký hiệu  Chúng ta thừa nhận rằng:

C tức là thể hiện trạng thái

 là hàm sóng đã được chuẩn hóa

Sự biến đổi của trạng thái  theo thời gian được thể hiện bằngphương trình Schrödinger:

*

C A

Đây là hệ lượng tử đơn giản nhất Hệ này có 2 mức năng lượng dừng,được ký hiệu E a  wa(mức trên) và E b  wb(mức dưới) Các hàm sóng củahai mức này được ký hiệu bởi các véctơ sóng a (mức trên) và b (mứcdưới) Các véctơ sóng đã được chuẩn hóa và trực giao với nhau, nghĩa là:

1



b b a

Nói chung, bất cứ một véctơ trạng thái (hàm sóng) nào của hệ hai mứccũng có thể viết dưới dạng:

b C a

* b ab b

* a bb b aa

C A

Hamiltonian toàn phần là:

I

H H

ở đây H0 là Hamiltonian tự do của hệ lượng tử (không có tương tác) và H t

là Hamiltonian tương tác của hệ lượng tử với trường kích thích Phần tự dođược đưa ra bởi:

b b a

d

w



 w



nghĩa là có thể biểu diễn các hệ số khai triển C a t và C b t dưới dạng:

Ta thấy rằng hệ thức    

n , m

mn n

*

C A

, m

Phép tính này gọi là phép tính lấy vết của ma trận và được ký hiệu ngắngọn là ‘Tr’ Với ký hiệu đó ta viết lại công thức trên như sau:

Tr Kết quả này được suy ra từđiều kiện chuẩn hóa

Kiểu lấy trung bình ở trên với một gạch ngang ở trên đầu là lấy trungbình theo tập hợp Quá trình lấy trung bình theo tập hợp về mặt vật lý có thểgiải thích như sau: Người ta tạo ra một tập hợp gồm N hệ (N đủ lớn) sao chocác hệ này gần như đồng nhất với nhau, theo mức độ mà các thông tin khôngđầy đủ có được cho phép Sau đó để các hệ này tiến hóa theo thời gian Nhưvậy, mỗi hệ được đặc trưng bởi một hàm trạng thái:

r t C  t U n r

n

j n j

j n

* j m n

* m

N t C t C t

1

1

Khi đó trung bình theo tập hợp chính là trung bình trên tất cả N hệ

Theo cách lý giải vật lý đó thì ma trận mật độ biểu diễn một số khía cạnhxác suất của tập hợp đang xét với phần tử đường chéo nn chính là xác suất

để một trong các hệ đó ở trạng thái U n r Các phần tử nằm ngoài đườngchéo bằng trung bình theo tập hợp của C * m C n, nó có liên quan với lưỡng cựcphát xạ của tập hợp các hệ đang xét

Chúng ta cũng có thể biểu diễn các biểu thức dạng toàn phương n

Bởi vậy một lẽ rất tự nhiên là chúng ta đồng nhất các thành phần của matrận toán tử   với các thành phần của toán tử mật độ ở trên, nghĩa là:

Trước hết, chúng ta thấy rằng từ toán tử mật độ ta có thể tìm được dạngcủa định luật bảo toàn xác suất Cụ thể là:

A C C A

A

nm

nm mn nm

nm m

1.2.3 Các tính chất của toán tử mật độ trong trường hợp trạng thái thuần khiết

Ngoài những tính chất của toán tử mật độ cho cả trường hợp trạng tháithuần khiết và trạng thái pha trộn thống kê (hỗn hợp)

,

1.2.4 Ưu điểm của sự mô tả các đại lượng bởi toán tử mật độ

Như vậy là một trạng thái thuần khiết có thể được mô tả bởi toán tửvéctơ mật độ cũng như bằng véctơ trạng thái (hàm sóng) Cả hai cách mô tảđều tương đương Tuy nhiên, khi sử dụng toán tử mật độ chúng ta nhận thấy

có thêm một số ưu điểm sau đây:

Trước tiên, chúng ta thấy rằng hai véctơ trạng thái  và e i  sẽcùng biểu diễn một trạng thái lượng tử Nói cách khác, có tồn tại một thừa sốpha tùy ý của véctơ trạng thái Tuy nhiên, các véctơ trạng thái  và e i 

đều cùng mô tả bởi một toán tử mật độ Do đó thông thường chúng ta loại bỏthừa số pha

Ưu điểm thứ hai là từ phương trình:

 A

Tr A

A C C A

A

nm

nm mn nm

nm m

Dưới đây để minh hoạ chúng ta khảo sát toán tử mật độ ứng với trạngthái thuần khiết của hệ 2 mức.

Trạng thái thuần khiết của hệ hai mức được mô tả bằng véctơ trạng thái(hàm sóng) như sau:

ab C C

* a b

* ab

ab aa

Rõ ràng aa và bb là xác suất hệ ở trạng thái trên và trạng thái dưới(hệ lượng tử tồn tại ở mức trên và mức dưới) Để hiểu rõ ý nghĩa vật lý củacác phần tử ngoài đường chéo của ma trận mật độ, chúng ta sử dụng biểu thứcdiễn tả độ phân cực của nguyên tử hai mức:

 a b ab

ab bb

dt

d

; dt

d

; dt

d

 w

 w

Nghiệm của các phương trình trên là:

ab bb

k k k

p p

ở đây k là toán tử mật độ tương ứng với trạng thái k , tức là:

k k

k

dt d

Tương tự, k cũng thỏa mãn phương trình tiến hóa theo thời gian, vớichú ý có sự khác nhau giữa k và k ở chỗ là trong lúc k là hàm sóngthì k là toán tử, nghĩa là phương trình đối với k là phương trình toán tử:

, ,

1 ,

d i

A Tr A

Tr A

p chúng ta thấy rằng đối với bất kỳ véctơ két

k

p u

nn  n  n  k n k n

k

2

k n

Từ đó ta có:  

k n k

c   Khi đó phương trình cho nn trở thành:

Từ phương trình này ta thấy nn là một số thực dương Môđun bìnhphương  k 2

n

c chính là xác suất của u n trong trạng thái thuần khiết k

Vì thế, phương trình đối với nn ở trên có nghĩa rằng nn chính là xác suấtcủa u n trong trạng thái  Từ đó nn được gọi là độ cư trú của trạng thái

n c

c là số hạng pha tạp Nó biểu diễn các hiệu ứng giao thoagiữa các trạng thái u n , u m , xuất hiện khi trạng thái k là sự chồng chậptuyến tính kết hợp giữa các trạng thái Theo phương trình trên nm là trungbình của các số hạng pha tạp, bao gồm tất cả các trạng thái hỗn hợp khả dĩ.Nếu nmbằng 0, điều đó có nghĩa rằng sự lấy trung bình thống kê đã loại

bỏ mọi hiệu ứng giao thoa giữa các trạng thái u n , u m Ngược lại, nếu nm

khác 0, ta nói rằng tồn tại một sự giao thoa kết hợp cụ thể nào đó giữa cáctrạng thái này Điều này giải thích vì sao các phần tử ngoài đường chéo của

ma trận mật độ thông thường được gọi là các yếu tố kết hợp

Ở đây chúng ta cần lưu tâm về một số điểm sau đây:

a) Sự khác biệt giữa khái niệm độ cư trú và khái niệm độ kết hợp phụthuộc rõ ràng vào sự lựa chọn hệ véctơ cơ sở  u n  Vì rằng  là hermitic nên

ta có thể chắc chắn tìm được hệ cơ sở trực chuẩn  n  sao cho ở đó  làchéo Ta khai triển  trong hệ cơ sở này:

l l l

b) Khi thừa nhận Hamiltonian H không phụ thuộc thời gian thì nếu như

các trạng thái u n là các trạng thái riêng của H, ta có:

n n

Từ bất phương trình trên chúng ta thấy rằng  cần phải có độ kết hợpgiữa các trạng thái mà ở đó độ cư trú là khác 0.

1.4 Ứng dụng của toán tử mật độ

Dưới đây, chúng ta đề cập đến một số ứng dụng của ma trận mật độ khikhảo sát một số quá trình vật lý

1.4.1 Hệ cân bằng nhiệt

Trước hết, chúng ta để ý đến các trạng thái trong cơ học thống kê lượng

tử Khảo sát hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt với môi trường có nhiệt độ tuyệt

đối T Theo cơ học thống kê lượng tử, toán tử mật độ của hệ là:

kT / H

kT / H n

nm Z u e u (với n  m)

Ở trạng thái cân bằng nhiệt, độ cư trú của các trạng thái dừng là nhữnghàm giảm theo số mũ của năng lượng còn độ kết hợp giữa các trạng thái dừngbằng 0

1.4.2 Mô tả từng phần của hệ vật lý

Ứng dụng quan trọng nhất của toán tử mật độ được thể hiện khi xem nónhư là công cụ mô tả các hệ con của hệ lượng tử phức hợp Sự mô tả như vậyđược thực hiện bởi toán tử mật độ thu gọn Toán tử mật độ thu gọn là khôngthể thiếu trong việc phân tích các hệ lượng tử phức hợp

Giả sử chúng ta có một tổ hợp của các hệ vật lý A và B, bao gồm cáctrạng thái được mô tả bởi toán tử mật độ AB

 Chúng ta thừa nhận chỉ cóphần A của tổ hợp đó là quan sát được, còn thông tin về phần B không có

Nghĩa là chúng ta có một sự phát hiện không đầy đủ Khi đó buộc chúng taphải lấy trung bình thống kê đối với phần B Trạng thái ở phần A được diễn tảbằng toán tử mật độ thu gọn:

Chúng ta khảo sát hệ nguyên tử hai mức Nếu nguyên tử là hoàn toàn tự

do thì hệ đó sẽ không có tương tác và không có bức xạ ngẫu nhiên thì sự thayđổi (sự tiến hóa) của ma trận mật độ của nguyên tử được mô tả bởi phươngtrình Schrödinger tổng quát:



i dt

a

H0   wa   wb Khi có mặt bức xạ ngẫu nhiên, sự tiến hóa của ma trận mật độ  củanguyên tử không thể được mô tả bằng phương trình Schrödinger Theo lýthuyết Weisskopf - Wigner, lúc này sự tiến hóa của toán tử mật độ thu gọn 

của nguyên tử được xác định bằng phương trình toán tử như sau:

w



ở đây de a rb được gọi là mômen lưỡng cực của nguyên tử và wab  wa  wb

được gọi là hiệu tần số (độ lệch tần) hay còn gọi tần số chuyển nguyên tử.Phương trình trên của  có thể được biểu diễn dưới dạng:

p

dt

d dt

d dt

dt

d dt

d dt

,,

i dt

Để khảo sát ảnh hưởng của trường điện từ lên độ cảm điện của môitrường khi trường đó lan truyền trong môi trường, chúng ta sẽ xuất phát từviệc nghiên cứu quá trình tương tác của các nguyên tử của môi trường vớitrường điện từ Trong quá trình khảo sát này, chúng ta giả sử môi trường làmột hệ lượng tử hai mức (hình 2)

Hamiltonian của nguyên tử hai mức trong trường là:

I

H H

ở đây cũng như ở trên, H0 là Hamiltonian tự do của hệ lượng tử (không cótương tác) và được xác định bởi:

b b a

a

còn H t là Hamiltonian tương tác của hệ lượng tử với trường điện từ Riêngđối với phần Hamiltonian tương tác này, chúng ta giả sử rằng trường là phâncực tuyến tính dọc theo trục x Khi đó Hamiltonian này có dạng:

ở đây chúng ta đã sử dụng tính chất x aa x bb  0 và đưa vào ký hiệu d  x ex ab

được gọi là yếu tố ma trận của mômen lưỡng cực nguyên tử Để đơn giản,chúng ta giả thiết x ab, tương ứng với d x là những thông số thực

Hình 2 Tương tác của các nguyên tử hai mức và trường ánh sáng

Chúng ta biểu diễn thành phần điện của trường ánh sáng dưới dạng:

1

E e e t cos E



 w

Khi đó nếu ký hiệu  d x E0/ ( được gọi là tần số Rabi) thì chúng ta

có biểu thức của Hamiltonian tương tác:

Chúng ta đã biết là đối với nguyên tử tự do, trong biểu diễn Heisenberg,

sự thay đổi theo thời gian của các toán tử  a b và  b a được biểudiễn dưới dạng e iwab t và eiwab t tương ứng Bởi vậy các số hạng a b e iwt

ứng Chúng ta bỏ qua các số hạng biến thiên nhanh a b e iwt

và b a eiwt

.Phép tính gần đúng này được gọi là sự gần đúng sóng quay Kết quả là:

a

b



w

  i t i t  i t i t

 w



 w





(2.6)

2.2 Phương trình Bloch quang học

2.2.1 Các phương trình tiến hóa đối với hàm sóng

Chúng ta giả sử rằng trạng thái của nguyên tử là trạng thái thuần khiết

b C a

d

I

0

1 1



Để thu được các phương trình tiến hóa đối với các phần tử ma trận của 

chúng ta có thể sử dụng trực tiếp phương trình trên Một cách đơn giản và nhanhchóng hơn là sử dụng phương trình đối với hàm sóng  với các định nghĩa:

2 2

b bb a

aa C ,  C

* ab ba

* b a

2.2.3 Các phương trình tiến hóa của ma trận mật độ của hệ có tự phân rã

Chúng ta khảo sát sự bức xạ tự phát của nguyên tử Trong trường hợpnày, trạng thái của nguyên tử được xem như là một toán tử mật độ rút gọn 

thỏa mãn phương trình tổng quát:

2.3 Phổ hấp thụ: Tính bão hòa và sự mở rộng phổ của cường độ

Chúng ta đưa ký hiệu: hiệu mật độ cư trú:

bb aa

1

,

i c

ở đây s là tham số bão hòa và được cho bởi:

2 0 2

2

2 2

2

2 1 4

2 2

trong đó s0là tham số bão hòa cộng hưởng và được định nghĩa là:

2

2 0

0E c

I  

là cường độ của chùm laser, và 2

2 2 0

I     là cường độ bão hòa

Theo lý thuyết Weisskopf - Wigner ta có:

3 0

2 3 0 3 0

2 3 0

d c

Để tiện lợi, ở đây chúng ta đưa vào ký hiệu mới w0  wab  wa  wb Khi đó

từ biểu thức của thông số , chúng ta thu được:

hc hc

2 1

2

1 2

/ s s

s w

/ s

aa

Chú ý ở đây, ở cường độ cao, t đạt giá trị bảo hoà tới /2 Khi đóphương trình cho t được viết viết lại là:

0

0

2 1

2

' / s

/ s

aa t

Sự phụ thuộc của tốc độ phát xạ tán xạ t vào độ lệch tần   w  wab

được biểu diễn ở hình 3 với nhiều giá trị khác nhau của thông số bão hòa s0

Sự phụ thuộc này diễn tả phổ hấp thụ Độ rộng của đỉnh phổ được đặc trưngbởi  ' Ta có nhận xét rằng độ rộng  ' tăng với sự tăng của cường độ trường.Hiện tượng này được gọi là sự mở rộng phổ công suất

Đồ thị dưới đây cho ta thấy sự phụ thuộc của tốc độ phát xạ t vàothông số s0 Rõ ràng là vận tốc phát xạ photon càng lớn khi thông số s0cànglớn

Sự phát xạ photon gây nên sự hao phí cường độ khi chùm tia di chuyểnqua mẫu nguyên tử Giá trị công suất phát xạ trong một đơn vị thể tích là

t

n w , ở đây n là mật độ nguyên tử Như vậy, chúng ta có:

/ /

t

s dI

2 2 0

x



thì ta có thể viết lạibiểu thức đối với  như sau:

2 0

1 2

d n

2

1

Ở chế độ này, hệ số hấp thụ  là không phụ thuộc vào cường độ trường I

Do đó, nghiệm của cường độ trường là:

Khi đó, phương trình đối với dz dI trở thành:

 / z n

I dz

dI

2

 w

P t t

c

2 2 0 2

2 0 2 2 2 2

trong đó w và k  w/ c là tần số và số sóng của trường tương ứng

Chúng ta đưa vào biến số mới:

z

  ,

t z c

   Khi đó phương trình cho E , P trở thành:

2 2 0 0 2

2

2

2 1

2 2

P i

c

E c

và thời gian Khi đó chúng ta chỉ giữ lại số hạng bậc thấp nhất ở mỗi phía củaphương trình trên Kết quả là:

0 0

0 2 c P

i E

i E

2.4.2 Độ cảm điện môi, hệ số khúc xạ và hệ số hấp thụ

Chúng ta có độ phân cực điện môi được biểu diễn qua biên độ trườngkích thích và độ cảm điện môi là:

0 0

0 E

với  là độ cảm điện môi Ta biểu diễn  dưới dạng phức:

' i ' 







Phần thực ' xác định sự thay đổi của số sóng trong trường, trong khi

đó phần ảo  ' xác định độ hấp thụ Hệ số khúc xạ của môi trường được tínhqua ' như sau:

2

n k   ,còn hệ số hấp thụ lại được tính toán qua  ' như sau:

0

/ z z n

Biểu thức này của E cho phép chúng ta giải thích vì sao n kđược gọi là

hệ số khúc xạ và  được gọi là hệ số hấp thụ của môi trường

Vấn đề bây giờ là chúng ta sẽ khảo sát sự phụ thuộc của các hệ số ,

c ~ e 

 w , ta biểu diễnđược độ phân cực của môi trường P0 dưới dạng:

Mặt khác, từ biểu thức định nghĩa của độ phân cực điện môi: P0   0 E0

ta suy ra được giá trị của độ cảm được là:

x

nd P

nd n

2 1

2 2

0

1