Khai thác tư liệu lịch sử toán trong dạy học giải tích theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh trung học phổ thông luận văn thạc sĩ toán học

ĐỖ THỊ THANH THẢOKHAI THÁC TƯ LIỆU LỊCH SỬ TOÁN TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH THEO HƯỚNG TÍCH CỰC HÓA HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Chuyên n

trờng đại học vinh

ĐỖ THỊ THANH THẢO

KHAI THÁC TƯ LIỆU LỊCH SỬ TOÁN TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH THEO HƯỚNG TÍCH CỰC HểA HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THễNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGHỆ AN, 2012

ĐỖ THỊ THANH THẢO

KHAI THÁC TƯ LIỆU LỊCH SỬ TOÁN

TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH THEO HƯỚNG

TÍCH CỰC HÓA HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA

HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.10

ngêi híng dÉn khoa häc

TS TrÇn Trung

NGHỆ AN, 2012LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Trung, người thầy đãtận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu vàhoàn thành luận văn

tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh đã giúp đỡ tôi trong quá trình nghiêncứu, hoàn thành luận văn.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sài Gòn đã tạo mọi điềukiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luậnvăn

Tôi xin chân thành cảm ơn các Trường THPT trên địa bàn tỉnh Long

An, các đồng chí, đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành luậnvăn này

Do bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi nhữngthiếu sót, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo

và các bạn

Nghệ An, tháng 10 năm 2012

Học viên

Đỗ Thị Thanh Thảo

Viết tắt Viết đầy đủ

1.1 Vấn đề đổi mới phương pháp dạy học 51.2 Tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh 71.3 Những cơ sở của khai thác tri thức lịch sử toán trong dạy học 101.4 Vai trò của tri thức lịch sử toán đối với giáo viên và học sinh 311.5 Thực trạng khai thác tri thức lịch sử toán trong dạy học Giải

2.4 Một số phương thức khai thác tư liệu lịch sử toán trong dạy

học Giải tích cho học sinh Trung học phổ thông 72

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 99

3.1 Mục đích, nhiệm vụ, nguyên tắc thực nghiệm 99

KẾT LUẬN 109 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ

TÀI LIỆU THAM KHẢO 111 PHỤ LỤC 114

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đào tạo những người lao động phát triển toàn diện, có tư duy sáng tạo,

có năng lực thực hành giỏi, có khả năng đáp ứng đòi hỏi ngày càng cao trướcyêu cầu đẩy mạnh công nghiệp hóa - hiện đại hóa gắn với phát triển nền kinh

tế trí thức và xu hướng toàn cầu hóa là nhiệm vụ cấp bách đối với ngành giáodục nước ta hiện nay Để thực hiện được nhiệm vụ đó sự nghiệp giáo dục cầnđược đổi mới Cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mớicăn bản về PPDH Một trong những nhiệm vụ và giải pháp lớn về giáo dục

được đề ra trong Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ X của Đảng là: "Nâng cao

chất lượng giáo dục toàn diện Đổi mới cơ cấu, tổ chức, nội dung, phương pháp dạy và học theo hướng ‘‘chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa” Phát huy trí sáng tạo, khả năng vận dụng, thực hành của người học Đề cao trách nhiệm của gia đình, nhà trường và xã hội".

Toán học là môn học có vai trò rất quan trọng trong chương trìnhTHPT, nó giúp cho HS phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyệncho HS óc tư duy trừu tượng, tư duy chính xác, hợp lôgic, phương pháp khoahọc trong suy luận, trong học tập Nhưng nó cũng là một môn học mang tínhtrừu tượng cao Nhiệm vụ của người GV đứng trên bục giảng là phải làm thếnào để giờ giảng của mình thêm sinh động, thu hút được sự chú ý, tạo đượcnhu cầu khám phá tri thức của HS Để góp phần thực hiện được điều đó, khidạy học đến từng vấn đề cụ thể, GV có thể dành thời gian để giới thiệu về lịch

sử của vấn đề và các nhà toán học có liên quan đến vấn đề đó

Trong chương trình Toán THPT, SGK toán đã giới thiệu sơ lược về cácnhà toán học và một vài kiến thức về lịch sử toán có liên quan đến những nộidung bài học Tuy nhiên, thực trạng dạy học toán ở trường THPT hiện naycho thấy các GV ít quan tâm đến vấn đề này vì các lý do: Thời gian một tiếthọc hạn chế Kiến thức của GV về vấn đề này còn hạn chế, chưa có cơ hội để

tiếp cận và nghiên cứu hay tìm hiểu về vấn đề này mặc dù nó rất quan trọngđối với những người học toán, dạy toán và nghiên cứu toán

Như vậy, việc tìm hiểu những kiến thức về lịch sử toán nói chung, vềkiến thức lịch sử toán liên quan trực tiếp đến chương trình toán THPT nóiriêng là rất cần thiết Hơn nữa, việc tìm tòi phương thức để khai thác nhữngkiến thức lịch sử toán trong dạy học cũng là một vấn đề rất thú vị và quantrọng đối với mỗi người GV Mặt khác, hiện nay tài liệu về lịch sử toán còn ít

và cũng chưa có nhiều công trình nghiên cứu đi sâu tìm hiểu vấn đề này

Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu " Khai thác tư liệu lịch sử toán trong dạy học Giải tích theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh Trung học phổ thông"

2 Mục đích nghiên cứu

Xác định vai trò và nội dung của tri thức lịch sử toán trong dạy họcmôn Toán ở trường THPT, từ đó đề xuất một số phương thức khai thác tư liệulịch sử toán trong dạy học Giải tích nhằm nâng cao hiệu quả dạy học mônToán ở trường THPT

3 Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán ở trường

THPT

3.2 Đối tượng nghiên cứu: Nội dung và phương thức khai thác tri thức

lịch sử toán trong dạy học Giải tích ở trường THPT theo hướng tích cực hóahoạt động học tập của HS

3.3 Phạm vi nghiên cứu: Tư liệu lịch sử toán liên quan một số nội

dung Giải tích ở trường THPT

4 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở nội dung chương trình hiện hành, nếu GV quan tâm đếnviệc xác định những tri thức lịch sử toán có liên quan và tìm được phươngthức khai thác phù hợp trong dạy học thì sẽ phát huy tính tích cực học tập của

HS, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THPT

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu cơ sở lý luận về vai trò của tri thức lịch sử toán trong

dạy học môn Toán ở trường THPT Điều tra, đánh giá thực trạng về việc khaithác tư liệu lịch sử toán trong dạy học Giải tích ở trường THPT hiện nay

5.2 Xác định những nội dung tư liệu lịch sử toán cần được trang bị cho

HS trong dạy học Giải tích, đề xuất các phương thức khai thác tư liệu lịch sửtoán nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh THPT

5.3 Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính cần thiết và khả thi của các

phương thức khai thác tư liệu lịch sử toán được đề xuất

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Làm rõ vai trò của tri thức lịch

sử toán trong dạy học Nghiên cứu nội dung, chương trình SGK Giải tích ởtrường THPT để tìm hiểu lịch sử các vấn đề và các nhà toán học có liên quan

6.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Điều tra, tìm hiểu tình hình

giảng dạy các yếu tố của lịch sử toán trong chương trình Giải tích ở trườngTHPT hiện nay Tham khảo ý kiến GV, HS về vai trò của lịch sử toán trongviệc nâng cao hiệu quả dạy học toán ở trường THPT

6.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư

phạm để đánh giá tính hiệu quả và khả thi của các nội dung được đề xuất.Phân tích kết quả thực nghiệm bằng phương pháp thống kê toán học trongkhoa học giáo dục

7 Đóng góp của luận văn

7.1 Góp phần làm sáng tỏ vai trò của tri thức lịch sử toán trong dạy học

môn Toán ở trường THPT Xác định được những tri thức lịch sử toán cầnđược trang bị cho HS trong dạy học Giải tích ở trường THPT

7.2 Đề xuất được một số phương thức phù hợp để khai thác tư liệu lịch

sử toán trong dạy học Giải tích nhằm nâng cao tính tích cực học tập của họcsinh THPT

7.3 Nội dung tư liệu lịch sử toán là tài liệu tham khảo bổ ích cho GV

trong dạy học Giải tích ở trường THPT

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, nội dung luận văn gồm 3 chương:Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Khai thác tư liệu lịch sử toán trong dạy học Giải tích theohướng tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh THPT

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Luận văn có sử dụng 37 tài liệu tham khảo và kèm theo 2 Phụ lục

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Vấn đề đổi mới phương pháp dạy học

1.1.1 Nhu cầu đổi mới phương pháp dạy học

Nghị quyết Trung ương 2 khoá VIII đã khẳng định: "Phải đổi mới

phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của HS Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh " [1]

Tại điều 5, chương I, Luật Giáo dục đã ghi: "Phương pháp giáo dục

phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê và ý chí vươn lên” [18]

Sự phát triển xã hội và đổi mới đất nước trong thời kỳ hội nhập đangđòi hỏi cấp bách nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo Mục tiêu giáo dụctrong thời đại mới là không chỉ dừng lại ở việc truyền thụ những kiến thức, kỹnăng có sẵn cho HS mà điều đặc biệt quan trọng là phải bồi dưỡng cho HSnăng lực sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề Trong quá trình dạy học, cùngvới những thay đổi về mục tiêu, nội dung, cần có những thay đổi căn bản vềPPDH (hiểu theo nghĩa rộng gồm cả hình thức, phương tiện và kiểm tra, đánhgiá) Tồn tại của PPDH hiện nay là việc GV thường cung cấp cho HS nhữngtri thức dưới dạng có sẵn, thiếu yếu tố tìm tòi, phát hiện; việc GV dạy chay,

áp đặt kiến thức khiến HS thụ động trong quá trình chiếm lĩnh tri thức Đây lànhững lý do dẫn tới nhu cầu đổi mới PPDH nhằm đáp ứng yêu cầu đào tạocon người lao động sáng tạo phục vụ sự nghiệp công nghiệp hóa - hiện đạihóa đất nước

1.1.2 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học

Từ nhu cầu đổi mới PPDH, các nhà khoa học giáo dục nước ta nhưNguyễn Bá Kim [15], Nguyễn Hữu Châu [5], Thái Duy Tuyên [35], Trần

Kiều [14], Trần Bá Hoành [11], đã khẳng định hướng đổi mới PPDH trong

giai đoạn hiện nay là: "Phương pháp dạy học cần hướng vào việc tổ chức cho

học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng

tạo, được thực hiện độc lập hoặc trong hoạt động" [15, tr 112].

Theo Nguyễn Bá Kim [15], định hướng trên có những hàm ý sau đây:Xác lập vị trí chủ thể của HS, đảm bảo tính tự giác, tích cực và sáng tạo củaHS; Quá trình dạy học là xây dựng những tình huống có dụng ý sư phạm cho

HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, được thực hiện độc lập hoặctrong hoạt động; Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạyhọc; Chế tạo và khai thác những phương tiện phục vụ quá trình dạy học; Tạoniềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của HS; Xác định vaitrò mới của GV với tư cách người thiết kế, ủy thác, điều khiển và thể chế hóa

Định hướng đổi mới PPDH liên quan đến một tư tưởng trong quá trình

thực hiện đổi mới PPDH ở nước ta đó là "Dạy học lấy học sinh làm trung

tâm" Theo Trần Kiều [14], những đặc trưng chủ yếu của tư tưởng này bao

gồm: Thừa nhận, tôn trọng, hiểu, đồng cảm với nhu cầu, lợi ích, mục đích cánhân của HS Đạt được độ tin cậy, tạo sức thu hút, thuyết phục, kích thíchđộng cơ bên trong của HS Dựa vào kinh nghiệm của HS, khai thác kinhnghiệm đó, dồn thành sức mạnh trong quá trình tự khám phá Chống gò ép,ban phát, giáo điều, nuôi dưỡng tính sẵn sàng, tính tích cực ý chí của HS đểđạt được mục đích học tập và phát triển cá nhân Phương thức hoạt động chủđạo là tự nhận thức, tự phát triển, tự thực hiện, tự kiểm tra, đánh giá, tự hoànthiện trong môi trường được đảm bảo quyền lựa chọn tối đa của HS Tối đahóa sự tham gia của HS, tối thiểu hóa sự áp đặt, can thiệp của GV Tạo cho

HS tính năng động cải biến hành động học tập, chủ động, tự tin Phát triển tưduy độc lập, sáng tạo, khả năng suy ngẫm, óc phê phán và tính độc đáo củanhân cách Nội dung học tập, môi trường học tập, … về nguyên tắc phải đượckiểm soát bởi chính HS Đảm bảo tính mềm dẻo, tính thích ứng cao của giáodục Hết sức coi trọng vai trò to lớn của kỹ năng

Chúng tôi nhận thấy việc đổi mới PPDH hiện nay cần tiếp cận theonhững định hướng này.

1.1.3 Đặc trưng của phương pháp dạy học tích cực

Một PPDH nếu biết sử dụng đúng lúc, đúng cách đều có thể phát huytính tích cực học tập của HS Theo Trần Bá Hoành [11], PPDH tích cực làthuật ngữ chỉ các PPDH có thế mạnh trong phát huy tính tích cực, chủ động,sáng tạo của HS PPDH tích cực hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa

HS Có thể nêu bốn dấu hiệu đặc trưng cơ bản của PPDH tích cực đó là [11]:

- Dạy và học thông qua tổ chức các hoạt động học tập của HS

- Dạy và học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học

- Tăng cường học tập cá thể, phối hợp với học tập hợp tác

- Kết hợp đánh giá của GV với tự đánh giá của HS

1.2 Tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh

1.2.1 Tính tích cực học tập của học sinh

Tiền đề của tính tích cực học tập là tính tích cực sinh học Hứng thú và

ý chí cá nhân là hạt nhân của tính tích cực Tính tích cực cá nhân là cơ sở, lànền tảng của tính tích cực học tập Có thể nói tính tích cực học tập là dạngphân hóa của tính tích cực cá nhân, nó có vai trò chuyên biệt như một conđường cơ bản để người học đạt được các mục tiêu trong lĩnh vực học tập Khinói đến tính tích cực học tập, trước tiên cần hiểu tính tích cực cá nhân gồm cótính tích cực bên ngoài và tính tích cực bên trong gồm các thành tố cơ bảnnhư: Tính tích cực nhận thức; tính tích cực giao tiếp, hành động và giao lưu

- Tính tích cực nhận thức:

Cấu trúc của hoạt động nhận thức bao gồm năng lực nhận thức và động

cơ nhận thức (thái độ, tình cảm, ý chí, ) Tính tích cực nhận thức đòi hỏi chủthể nhận thức phải năng động linh hoạt thay đổi liên tục mô hình cấu trúc tâm

lý của hoạt động nhận thức

Biểu hiện của tính tích cực nhận thức là: Khả năng định hướng đối vớinhiệm vụ của hoạt động nhận thức và định hướng khi nghiên cứu tài liệu;

hứng thú sâu sắc đối với việc học tập, với đối tượng nghiên cứu; sự tập trungchú ý cao, sự căng thẳng trí tuệ; sự say sưa nhiệt tình đối với nhiệm vụ nhậnthức; có ý chí kiên trì, khắc phục khó khăn để hoàn thành nhiệm vụ nhậnthức; khả năng linh hoạt trong quá trình nhận thức như đặt vấn đề, giải quyếtvấn đề, kiểm tra kết quả giải quyết vấn đề Đây là biểu hiện đặc trưng nhấtcủa tính tích cực nhận thức.

Trong hoạt động học tập, tính tích cực nhận thức là cơ sở của tính độclập Tính độc lập lại là cơ sở của tính sáng tạo Tính sáng tạo gồm cả tính độclập và tính tích cực nhận thức

- Tính tích cực giao tiếp, hành động và giao lưu:

Là sự hợp thành của hai yếu tố năng lực giao tiếp, năng lực hành động

và động cơ, ý chí của cá nhân

Biểu hiện của tính tích cực giao tiếp và năng lực giao lưu hành độngcủa cá nhân là: Khả năng định hướng đối với các nhiệm vụ giao tiếp (giao tiếpvới GV, với bạn học, với máy vi tính, với tài liệu học tập, ); hứng thú sâu sắcđối với các đối tượng giao tiếp; sự tập trung cao độ để thực hiện các mục tiêugiao tiếp; phải có ý chí kiên trì khắc phục khó khăn để đạt được các mục tiêugiao tiếp,

Trong quá trình dạy học, tính tích cực học tập của HS là yếu tố quyếtđịnh kết quả cuối cùng của quá trình dạy học, là yếu tố quyết định sự trưởngthành của nhân tố người học

1.2.2 Tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh

Trước tiên chúng tôi hiểu tích cực hóa là tác động để làm cho ai đó, sựvật nào đó trở nên năng động hơn, linh hoạt hơn, thể hiện hoạt tính của chúngnhiều hơn, cao hơn so với trước đây Tác giả Đặng Thành Hưng: Tích cực hóahoạt động của HS có nghĩa là làm cho HS sống và hoạt động, làm việc tớimức tối đa so với tiềm năng và bản chất của mỗi người, so với vốn tri thức,vốn kinh nghiệm và điều kiện thực tế của HS [12] Như vậy, với quan niệm

này thì tích cực hóa hoạt động của HS là quá trình phát huy những năng lựcsẵn có của HS.

Khi quan niệm về tính tích cực hóa hoạt động học tập của HS, tác giảNguyễn Như An: Tích cực hóa hoạt động học tập của HS là hoạt động có mụcđích của người GV nhằm hoàn thiện nội dung, phương pháp, hình thức tổchức dạy học, các phương tiện kỹ thuật dạy học để kích thích hứng thú họctập, nâng cao tính tích cực độc lập, sáng tạo của HS trong việc nắm tri thức,rèn kỹ năng, kỹ xảo, vận dụng tri thức, kỹ năng, kỹ xảo vào thực tế, là quátrình người GV hiểu sâu sắc bản chất quá trình tích cực độc lập sáng tạo của

HS để đề ra các biện pháp lãnh đạo quá trình học tập của HS đạt kết quả tối

ưu [12] Theo tác giả Nguyễn Như An thì bản chất của tích cực hóa hoạt độnghọc tập của HS chính là quá trình GV sử dụng các biện pháp tổ chức dạy họcnhằm phát huy được tính tích cực, tính chủ động, tính độc lập sáng tạo của

HS trong quá trình học tập

Theo chúng tôi, tích cực hóa hoạt động học tập của HS là quá trìnhngười GV sử dụng các PPDH, các hình thức tổ chức dạy học, các biện phápdạy học, các phương tiện kỹ thuật dạy học nhằm chuyển biến vị thế của ngườihọc từ chỗ là chủ thể tiếp nhận học vấn một cách thụ động, một chiều, bảo saonghe vậy trở thành một chủ thể năng động, tích cực, sáng tạo, tự giác, tự lựctiến hành các hành động học tập của mình ở cấp độ hoạt động cá nhân

Một số biện pháp tích cực hóa hoạt động học tập của HS trong dạy họcmôn Toán ở trường THPT như:

- Cá nhân hóa việc học: Sử dụng các biện pháp kỹ thuật cụ thể, chuyênbiệt để tạo ra hoạt động học tập của cá nhân trong môi trường nhóm, lớp cùnghướng vào mục tiêu chung

- Phân hóa dạy học: Nội dung và phương thức hoạt động trong môn họcđược thực hiện theo nhiều hướng khác nhau: chia nhóm năng lực, chia nhómtheo hứng thú, chia nhóm theo nhu cầu, nhóm hợp tác Xây dựng và thựchiện các phương án chương trình và tổ chức các HS khác nhau về trình độ, về

tính chất, về tiến độ, cấu trúc Xây dựng hệ thống các bài tập khác nhau vớinhững đối tượng khác nhau, trong đó có bài tập bắt buộc và bài tập tự chọn.

- Tích hợp trong dạy học: Tích hợp bộ môn Toán với các bộ môn khácnhư Vật lý, Tin học nhằm phát huy tính tích cực học tập của HS

- Sử dụng kỹ thuật tương tác đa phương tiện để kích thích quá trình họctập ở HS: Sử dụng các phương tiện dạy học nhằm cung cấp thông tin cho HS.Công nghệ thông tin trong dạy học vừa là công cụ tổ chức học tập, vừa làcông cụ học tập của người học, vừa là phương tiện hỗ trợ người GV trong quátrình giảng dạy đồng thời lại là đối tượng giao tiếp của người HS Tổ chức cáctình huống dạy học trên máy tính, sử dụng trò chơi trên máy tính

- Sử dụng PPDH thích hợp Tập luyện cho HS thực hiện các hoạt độngtoán học Huy động vốn tri thức, vốn kinh nghiệm sẵn có của HS trong họctập Chú trọng khai thác tri thức lịch sử toán trong dạy học; tăng cường mốiliên hệ giữa kiến thức toán học với thực tiễn,

1.3 Những cơ sở của khai thác tri thức lịch sử toán trong dạy học

1.3.1 Các giai đoạn phát triển tri thức toán học

Theo tư liệu nghiên cứu lịch sử toán, di chỉ khảo cổ có niên đại 30.000năm trước loài người đã có những hiểu biết về toán, đó là đếm và tạo ra dụng

cụ để đếm Tuy nhiên kiến thức toán của nhân loại mỗi thời có những đặcđiểm khác nhau, nội dung tri thức toán mỗi thời cũng khác nhau Căn cứ vào

sự khác nhau đó các nhà nghiên cứu lịch sử toán đã có sự thống nhất với nhau

ở một mức nhất định về sự phân chia lịch sử phát triển của tri thức toán họcthành các giai đoạn:

- Giai đoạn phát sinh toán học Đây là giai đoạn đầu tiên của sự phát

triển hệ thống tri thức toán của nhân loại Tri thức toán của nhân loại tronggiai đoạn này chỉ là những hiểu biết sơ đẳng, riêng lẻ, mang tính thực nghiệm,tính kinh nghiệm của chung cộng đồng dân cư và thường nằm trong khối trithức tổng hợp của nhân loại Đó là những hiểu biết được tích lũy từ hoạt độngthực tiễn, từ nhu cầu của cuộc sống, chẳng hạn như nhu cầu đếm, nhu cầu nhớ

đường đi về, ước lượng khoảng cách trong quá trình dịch chuyển hay săn bắn,nhu cầu đo đạc ruộng đất trong canh tác, nhu cầu xây dựng, Lúc này chưa

có phương pháp riêng, chưa có tính hệ thống và thường không có lập luận,không có giải thích Căn cứ vào các tư liệu còn lại đến ngày nay, các nhànghiên cứu lịch sử toán thống nhất rằng giai đoạn phát sinh toán học kéo dàiđến khoảng thế kỷ VII trước công nguyên Để nghiên cứu nội dung kiến thứctoán của nhân loại trong giai đoạn phát sinh, người ta phân tích các nội dungđược ghi trên các tấm đất sét nung (gọi là plimpton) của người Babylon haycác bản cỏ ép (gọi là papyrus) của người Ai cập Có khoảng nửa triệu tấmplimpton đã được tìm thấy có niên đại khoảng từ năm 2.400 trước côngnguyên đến năm 1.100 trước công nguyên, trong đó có khoảng 300 tấm có ghichép các nội dung về toán Các bản papyrus của người Ai cập có nội dungtoán hiện còn giữ được có niên đại từ năm 1.850 trước công nguyên đến năm1.350 trước công nguyên

- Giai đoạn toán học sơ cấp Tiếp theo giai đoạn phát sinh toán học là

giai đoạn toán học sơ cấp Trong giai đoạn này lượng kiến thức đã khá phongphú, đã có sự giải thích, chứng minh, lập luận trong việc trình bày tri thứctoán, đã có phương pháp nghiên cứu toán riêng Phương pháp suy diễn đã rađời và trở thành phương pháp đặc trưng cho toán học Tuy nhiên giai đoạnnày toán học mới nghiên cứu những đại lượng không đổi, rời rạc, đơn giản.Giai đoạn toán học sơ cấp được bắt đầu bởi những đóng góp của các nhà toánhọc Hy Lạp mà người đầu tiên là Ta-lét (thế kỉ VII trước công nguyên – thế kỉ

VI trước công nguyên) Giai đoạn toán học sơ cấp kéo dài suốt hơn hai nghìnnăm, đến hết thế kỉ XVI sau công nguyên Hầu hết nội dung môn toán trongchương trình phổ thông hiện nay đều đã có từ giai đoạn toán học sơ cấp Cácquốc gia có sự phát triển toán học cao trong giai đoạn toán học sơ cấp là HyLạp, Trung Quốc, Ấn Độ, các nước ở vùng Trung cận đông Đến thế kỷ XIVChâu Âu không phải là nơi có nền toán học phát triển Chỉ từ thời Phục hưng,

toán học Châu Âu mới có sự phát triển đáng kể và dần dần chiếm ưu thế trêntrường quốc tế trong giai đoạn phát triển sau đó của toán học.

- Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển Từ thế kỷ XVII đến đầu thế kỷ

XIX là một giai đoạn phát triển mạnh của toán học Trong giai đoạn này toánhọc đã có sự thay đổi về chất: đối tượng nghiên cứu của toán học là các quátrình liên tục, phương pháp nghiên cứu toán học cũng có sự thay đổi, kết quảnghiên cứu đạt được rất phong phú Hầu hết nội dung toán được giảng dạytrong các trường đại học không chuyên về toán ngày nay là kiến thức toán họccủa giai đoạn này Châu Âu chiếm vị trí phát triển toán học nhất trong giaiđoạn toán học cao cấp cổ điển Những thành tựu nổi bật nhất của giai đoạnToán cao cấp cổ điển là: Sự ra đời của đại lượng biến thiên và Hình học giảitích do Đề-các (Descartes) xây dựng cùng với sự góp công hoàn thiện củanhiều nhà toán học khác; Sự ra đời của phép tính vi phân và phép tính tíchphân do Niu-tơn (Newton) và Lai-bơ-nít (Leibniz) độc lập khám phá; nhữngkết quả về Số học của Phéc-ma (Fermat) trong đó có bài toán nổi tiếng đưa ra

từ thế kỷ XVII mà đến tận cuối thế kỷ XX mới có người giải quyết được; Sự

ra đời của Hình học xạ ảnh khởi đầu bởi công trình của Deusart, sự ra đời củaHình học họa hình do Mon-giơ (Monger) đề xuất

- Giai đoạn toán học hiện đại Giai đoạn toán học hiện đại bắt đầu từ

những năm đầu thế kỷ XIX và từ giữa thế kỷ XIX cho đến nay phát triển hếtsức mạnh Trong giai đoạn này toán học phát triển trên một diện rộng lớn.Nhiều vấn đề toán học được đề xuất nghiên cứu và có sự liên kết giữa các nhàtoán học ở nhiều quốc gia với nhau Khởi đầu của toán học hiện đại là việcgiải quyết ba vấn đề lớn: Nghiên cứu định đề V của Ơ-clit (Euclide) và sự rađời của Hình học Lobashevxky cùng với các Hình học phi Ơ-clit khác; Vấn

đề giải phương trình đa thức bậc lớn hơn 4 với các công trình của A-ben(Abel) và Ga-loa (Galois); Vấn đề xây dựng một hệ thống số thực chặt chẽ đểđảm bảo sự phát triển của Giải tích toán học Nhu cầu thực tiễn sản xuất xãhội và nhu cầu nội tại toán học đã thúc đẩy toán học hiện đại theo các hướng:

xây dựng các lý thuyết tổng quát bao trùm nhiều lĩnh vực nghiên cứu như cáccấu trúc đại số trừu tượng, cấu trúc tô pô, cấu trúc thứ tự, lí thuyết phạm trù;nghiên cứu các lý thuyết toán học hữu hạn, toán học rời rạc, các quá trìnhngẫu nhiên nhằm kiểm soát các hệ thống phức tạp; nghiên cứu lý thuyết tối ưutheo nhiều cách tiếp cận khác nhau; với sự ra đời của máy tính điện tử, lýthuyết ngôn ngữ hình thức, lý thuyết thuật toán ngày càng có những bướcphát triển mạnh mẽ Thực ra thuật ngữ "toán học hiện đại" cũng cần đượchiểu một cách tương đối, có tính chất thời điểm

Phong trào cải cách giáo dục toán học được khởi xướng từ đầu thế kỉ

XX đã đặt ra vấn đề phải làm giảm khoảng cách giữa nội dung môn Toántrong nhà trường với thành tựu phát triển của toán học Một số nhà nghiêncứu toán học và lí luận dạy học đã đưa ra ý kiến cho rằng, cần phải đưa một

số kiến thức toán học hiện đại vào giảng dạy trong các trường phổ thông Tuynhiên, thực tiễn giáo dục đã cho thấy mọi sự cố gắng cải cách một cách triệt

để nội dung dạy học môn Toán trong các trường phổ thông đều không manglại hiệu quả Từ thực tế đó, xu hướng chung được nhiều người thừa nhận lànội dung môn Toán ở trường phổ thông chủ yếu vẫn phải bao gồm các tri thứctoán học truyền thống nhưng cần được trình bày dưới sự soi sáng của toán họchiện đại Với quan điểm đó không cần đưa nhiều kiến thức toán hiện đại vàochương trình dạy học mà vẫn làm cho kiến thức môn Toán tiếp cận được với

xu thế phát triển của toán học Với một chương trình như vậy đòi hỏi người

GV phải có những hiểu biết nhất định về toán học hiện đại để nhìn nhận nộidung dạy học môn Toán phổ thông một cách thống nhất

1.3.2 Sự chuyển hóa sư phạm tri thức toán học và tri thức dạy học

Theo Nguyễn Bá Kim, Bùi Huy Ngọc [16, tr.17], trong lý luận dạy họccần có sự chuyển hóa sư phạm giữa ba bấp độ tri thức:

- Tri thức khoa học: Ở cấp độ các nhà khoa học, người ta nói tới tri

thức khoa học (ở đây được hiểu là tri thức toán học) Đó là đối tượng củanhận thức Hoạt động khoa học liên hệ với lịch sử cá nhân của nhà nghiên

cứu Để thông báo một tri thức, các nhà nghiên cứu thường xóa bỏ lịch sử của

tri thức đó, không nêu lại tình huống cụ thể, tức là đã phi hoàn cảnh hóa; đồng thời bỏ qua những tìm tòi, dự đoán, sai lầm của cá nhân mình, tức là phi

cá nhân hóa Nhà nghiên cứu chỉ thể hiện tri thức đúng đắn mà cuối cùng đã

đạt được, dưới một dạng tổng quát nhất có thể được, theo những quy tắc diễnđạt hiện hành trong cộng đồng khoa học

- Tri thức chương trình: Tri thức khoa học còn phải được sàng lọc, định

mức độ yêu cầu và cách thức diễn đạt cho phù hợp với mục tiêu và điều kiện

xã hội để đảm bảo sự tương hợp của hệ thống dạy học với môi trường của nó

thì mới trở thành tri thức chương trình Công việc này chịu sự tác động củacộng đồng xã hội: Những nhà nghiên cứu chương trình, những nhà giáo dục,những nhà toán học, GV và phụ huynh học sinh, Tri thức chương trình làđối tượng dạy học, là mục tiêu dạy của GV và mục tiêu học của HS

- Tri thức dạy học: Ở cấp độ lớp học, ta nói tới tri thức dạy học Để đạt

được mục tiêu dạy học, GV phải tổ chức lại tri thức quy định trong chươngtrình, SGK và biến thành tri thức dạy học theo khả năng sư phạm của mình,với những ràng buộc của lớp, phù hợp với trình độ HS và những điều kiệnhọc tập khác

Sự chuyển hóa sư phạm bao gồm hai khâu: chuyển tri thức khoa họcthành tri thức chương trình và chuyển tri thức chương trình thành tri thức dạyhọc Do đó để dạy tốt môn Toán ở trường THPT, GV cần hiểu được sựchuyển hóa từ tri thức khoa học (toán học hiện đại) vào tri thức chương trìnhmôn Toán mà mình giảng dạy thì mới có thể tích cực hóa hoạt động học tậpcủa HS GV cần nắm vững các cơ sở Toán học hiện đại của kiến thức mônToán trong chương trình phổ thông như: Tập hợp, ánh xạ, các phép toán đại

số, cấu trúc đại số GV có khả năng vận dụng các kiến thức của Toán caocấp để soi xuống Toán sơ cấp trong chương trình phổ thông, nhìn nhận cácmạch kiến thức Toán ở phổ thông trên quan điểm Toán cao cấp để trong quátrình dạy học tổ chức hướng dẫn HS con đường khám phá tìm kiếm những nội

dung kiến thức thiết thực thông qua các bước chuyển hóa sư phạm giữa các trithức

Theo Nguyễn Chiến Thắng [31], chẳng hạn với khái niệm Giới hạn hàm

số ta có:

- Tri thức khoa học: Trong Toán cao cấp định nghĩa là “Cho hàm số f

xác định trên tập X  ℝ và x 0 là một điểm tụ của tập X Số thực L  ℝ được

gọi là giới hạn của hàm số f khi x dần đến x 0 nếu  > 0, () > 0: x  X

mà 0 < |x - x 0 | <   |f(x) - L| < ”.

- Tri thức chương trình: Tuy nhiên khi đưa khái niệm này vào trong

SGK thì khái niệm này được định nghĩa như sau “Cho khoảng K chứa điểm

x 0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x 0 } Ta nói hàm số y = f(x)

có giới hạn là số L khi x dần tới x 0 nếu dãy số (x n ) bất kì, x n  K\{x 0 } và x n 

x 0 , ta có f(x n )  L” (SGK Đại số và Giải tích 11, NXB Giáo dục, 2007).

Về mặt Toán học, định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ  -  tươngđương với định nghĩa theo ngôn ngữ dãy Điều khác biệt trong hai định nghĩatrên chính là khái niệm “điểm tụ” (hay điểm giới hạn) trong định nghĩa thứhai, đây là một khái niệm của Tôpô trên không gian ℝ, khái niệm này được

định nghĩa trong Toán cao cấp như sau: “x 0  ℝ được gọi là điểm tụ của tập

hợp A nếu và chỉ nếu  > 0, (A\ {x 0 }) )  (x 0 - ; x 0 + )  ”, trong đó,

khoảng (x0 - ; x0 + ) gọi là  - lân cận của x0 và được kí hiệu là U(x0) Tabiết rằng điểm tụ có thể thuộc hoặc không thuộc tập hợp A Như vậy, có một

sự bỏ qua tính chính xác trong định nghĩa vì khái niệm điểm tụ không thểtrình bày chính xác cho HS hiểu được Do đó, khi dạy khái niệm Giới hạnhàm số cần đưa ra các ví dụ yêu cầu HS tính giới hạn của một hàm số tại mộtđiểm liên quan đến đặc điểm của điểm tụ có thể thuộc hoặc không thuộc tậpxác định

- Tri thức dạy học: Từ khái niệm Giới hạn của hàm số, GV có thể truyền

thụ cho HS tri thức phương pháp để vận dụng khái niệm này để giải quyếtmột số dạng toán sau:

Dạng 1: Sử dụng định nghĩa chứng minh hàm số y = f(x) có giới hạn là

L khi x dần tới a

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x)

Bước 2: Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, xn thuộc D, khác a và xn a.

Bước 3: Tính lim ( )f x n

Bước 4: Nếu lim ( )f x n = L thì kết luận lim ( )x a f x L

Dạng 2: Sử dụng định nghĩa chứng minh hàm số y = f(x) không có giới

Bước 1: Nghiên cứu mối quan hệ giữa phần kiến thức Toán phổ thông

với cơ sở lý thuyết trong toán học cao cấp và toán sơ cấp được trang bị ởtrường Sư phạm

Bước 2: Sử dụng góc nhìn và ngôn ngữ của Toán cao cấp để phân tích

kiến thức Toán phổ thông nhằm làm rõ bản chất sâu sắc về khoa học toán học

Bước 3: Thông qua hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ để tiến hành chuyển

hóa sư phạm tri thức khoa học - tri thức chương trình - tri thức dạy học

1.3.3 Mối liên hệ giữa nguồn gốc, lịch sử toán học và thực tiễn

Theo Ăng-ghen, đối tượng của toán học là những quan hệ số lượng vàhình dạng không gian của thế giới hiện thực Do đó, toán học là khoa học về

quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan, được hìnhthành và phát triển trên cơ sở của những hoạt động thực tiễn của xã hội loàingười Toán học là khoa học rất thực tiễn Song đối tượng của toán học khôngphải do thực tại đã cho một cách trực tiếp, mà là kết quả của một sự trừutượng hóa Muốn nghiên cứu một đối tượng hay hiện tượng nào đó bằngphương tiện toán học thì phải gạt bỏ tất cả các đặc điểm về chất của đối tượng

và hiện tượng, mà chỉ giữ lại những đặc trưng về số lượng và hình dạng mà

thôi Làm như vậy, chẳng hạn, ta được điểm là không có kích thước, đường là

không có bề dày và bề rộng, những đại lượng không đổi và những đại lượngbiến thiên Trong quá trình phát triển, toán học khảo sát những đối tượngthuộc về quan hệ số lượng và hình dạng không gian ngày càng trừu tượng.Đối với các lý thuyết toán học hiện đại, các quan hệ và hình dạng đó thườnghết sức trừu tượng: người ta thường nói đến các tập hợp những phần tử mà

các tính chất của chúng và quy tắc tính về chúng được cho bằng một hệ tiên

đề Những quan hệ mới xuất hiện trong quá trình phát triển của một lý thuyết

toán học ra ngoài phạm vi của các tiên đề thì phải được định nghĩa qua cáctiên đề đó

Đối tượng của toán học ngày càng mang tính chất trừu tượng cao độ,nhưng nguồn gốc phát sinh và phát triển bao giờ cũng là thực tiễn Vì vậy,giảng dạy toán cho HS, người GV cần hết sức lưu ý gắn liền với đời sống, vớithực tiễn phong phú của xã hội Tính trừu tượng của toán học chỉ che lấp chứkhông hề làm mất đi tính thực tiễn của nó Với vai trò là môn học công cụ nêncác tri thức, kĩ năng và phương pháp làm việc của môn Toán được sử dụngcho việc học tập các môn học khác trong nhà trường, trong nhiều ngành khoahọc khác nhau và trong đời sống thực tế Chẳng hạn, trong Vật lí chúng ta gặpmối liên hệ giữa quảng đường đi được s và thời gian t trong một chuyển độngđều biểu thị bởi: s = vt, mối liên hệ giữa hiệu điện thế U và cường độ dòngđiện I khi điện trở R không đổi biểu thị bởi: U = I.R; trong Hình học chúng tagặp mối liên hệ giữa chu vi C và bán kính R của đường tròn biểu thị bởi:

C = 2R; trong Hóa học chúng ta gặp mối liên hệ giữa phân tử gam M củamột chất khí với tỉ khối d của chất khí đó đối với không khí biểu thị bởi:

M = 29d; mối quan hệ giữa giá tiền p với chiều dài n của tấm vải biểu thị bởi:

p = a.n;… Bằng cách trừu tượng hóa, gạt ra một bên các đại lượng cụ thể vàchỉ chú ý tới quan hệ của các đại lượng đó, chúng ta có hàm số y = a.x

Do vậy, có thể nói rằng, môn Toán có nhiều tiềm năng liên hệ với thựctiễn trong dạy học Theo [11, tr 71] thì liên hệ với thực tiễn trong quá trìnhdạy học Toán là một trong ba phương hướng thực hiện Nguyên lí giáo dục nóitrên Cụ thể là cần liên hệ với thực tiễn qua các mặt sau:

- Nguồn gốc thực tiễn của Toán học: số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm,

hình học xuất hiện do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất sau những trận lụt bên bờsông Nil (Ai cập), …

- Sự phản ánh thực tiễn của Toán học: khái niệm véctơ phản ánh những

đại lượng đặc trưng không phải chỉ bởi số đo mà còn bởi hướng, chẳng hạnvận tốc, lực,… khái niệm đồng dạng phản ánh những hình đồng dạng nhưngkhác nhau về độ lớn… trong Toán học có chứng minh thuận, chứng minh đảothì trong cuộc sống ta thường khuyên nhau: "nghĩ đi rồi phải nghĩ lại", "cóqua có lại", "sống phải có trước có sau", …

- Các ứng dụng thực tiễn của Toán học: Ứng dụng lượng giác để đo

khoảng cách không tới được, đạo hàm được ứng dụng để tính vận tốc tức thời,tích phân được ứng dụng để tính diện tích, thể tích…

Muốn vậy, GV cần quan tâm tăng cường cho HS nắm bắt tri thức lịch

sử toán để hiểu được nguồn gốc của toán học, giá trị của tri thức toán họctrong giải quyết những bài toán có nội dung thực tiễn Lịch sử toán học đãchứng tỏ rằng toán học chỉ có thể phát triển mạnh mẽ nếu nó đi sâu nghiêncứu các hiện tượng trong thực tiễn của đời sống Ở A-ten, vào thế kỉ thứ Vtrước công nguyên, toán học phát triển được chủ yếu là do cuộc đấu tranhthắng lợi của quan điểm duy vật – mà đứng đầu là nhà triết học Đê-mô-crít

chống quan điểm duy tâm Ở “thời đại hoàng kim” của toán học, Ac-si-mét,Ê-stô-ten và nhiều nhà toán học khác ở A-lec-xăng-dri đã xây dựng toán họctrên cơ sở thực tiễn, và do đó đã thúc đẩy khoa học rất nhiều Trong thời kì

“đêm trường trung cổ” của Châu Âu, khi toàn bộ khoa học bị tập trung vàonhà thờ, thì toán học hoàn toàn không phát triển được

Mãi đến thế kỉ XVI, toán học mới lại phát triển, do yêu cầu của sức sảnxuất của xã hội tư sản mới phôi thai Và cùng với sự phát triển của sản xuất,của khoa học kĩ thuật, các quan điểm duy vật trong toán học ngày càng đượcchứng minh Nhà vật lý học Ga-li-lê đã xác nhận giá trị khách quan của toánhọc trong những dòng sau đây: “Vật lý và thiên văn học viết trong những sáchdày bao giờ cũng rộng mở cho mọi người Vật lý và thiên văn học được diễn

tả bằng ngôn ngữ của toán học, và cách kí hiệu của nó là những hình tamgiác, hình tròn và những hình toán học khác”

Đối với Niu-tơn thì thời gian và không gian tồn tại khách quan, vànghiên cứu cái đó là vấn đề của toán học và cơ học Nhà toán học vĩ đại Ơ-le

đã nhấn mạnh nhiều lần rằng “cảm giác chỉ cung cấp cho chúng ta những cáitồn tại thực tế bên ngoài”, và “con người có khả năng trừu tượng hóa từ cáithực tế bên ngoài, và chính theo đường lối đó mà các khái niệm được hìnhthành, đặc biệt là khái niệm về số và hình”

Trên đây chỉ là một vài vấn đề rất sơ lược về triết học trong toán học,việc hiểu biết lịch sử toán cũng như về triết học trong toán học là rất cần thiếtđối với người dạy toán và học toán Việc hiểu biết về các quan điểm duy vậttrong toán học càng giúp cho người học hiểu rõ thêm về vai trò của thực tiễnđối với sự phát triển của toán học

Ta có thể nhận thấy được tác dụng trực tiếp của những vấn đề khoa học

tự nhiên đến sự phát triển của toán học trong suốt quá trình lịch sử của toánhọc Chẳng hạn như phép tính vi phân và tích phân ở dạng đầu tiên được xuấthiện từ phương pháp tổng quát nhất để giải các bài toán cơ học, cơ học vũ trụ

Lý thuyết các đa thức, sai ít nhất so với số không, đã được viện sĩ Nga

Sê-Bư-Sép nghiên cứu khi nghiên cứu vấn đề về máy hơi nước Ngày nay,

do ảnh hưởng trực tiếp từ những nhu cầu trong các lĩnh vực mới về kỹ thuật,

mà nhiều ngành toán học đã phát triển rất mạnh mẽ: các phương pháp giải gầnđúng phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình tích phân, cácphương pháp của lý thuyết nhóm,

Ngược lại thì thực tiễn, đặc biệt là kỹ thuật, lại là một phương tiện hỗtrợ không thể thay thế được trong việc nghiên cứu toán học và có tác dụnglàm thay đổi nhiều bộ mặt của toán học Các máy tính điện tử đã mở ra mộtkhả năng vô hạn để mở rộng loại các bài toán, giải được bằng phương tiện củatoán học, và làm thay đổi mối quan hệ giữa các phương pháp tìm lời giải đúng

và gần đúng

Từ những điều đó HS hiểu rõ được tính chất thực tiễn của toán học,cũng như các môn khoa học khác như vật lý, hóa học, sinh học, toán họccũng phát sinh và phát triển trên cơ sở nhu cầu thực tiễn của con người và đểthỏa mãn những nhu cầu ấy Khi học toán, nếu các em biết được trong điềukiện thực tế nào, những nguyên nhân khách quan nào đã làm phát sinh kháiniệm này hay khái niệm khác, hoặc đã thúc đẩy sự phát triển của một lýthuyết toán học nào thì sẽ bồi dưỡng được quan điểm duy vật cho HS, đã pháluận điệu duy tâm cho rằng toán học là sự sáng tạo tùy ý của con người,không liên quan gì đến thế giới hiện thực Điều đó góp phần xây dựng tưtưởng vô thần, chống mê tín, dị đoan, dần dần xây dựng cơ sở thế giới quankhoa học cho HS

Quá trình phát triển của các toán học phản ánh các quy luật của biệnchứng Ví dụ: Từ lớp 5 đến lớp 12, khái niệm về số liên tục được mở rộng, từ

số tự nhiên đến số nguyên dương, số hữu tỉ, số thực và cuối cùng là số phức.Khái niệm về số đã phát triển dần dần do nhu cầu của thực tiễn và được mởrộng là để giải quyết mâu thuẫn phát sinh trong thực tiễn Coi số không là một

số, ta giải quyết được mâu thuẫn của phép đếm: Khi có các vật để đếm thìbiểu thị bằng các số tự nhiên, khi không có vật để đếm thì biểu thị bằng số

không; khái niệm phân số giải quyết mâu thuẫn của phép chia; khái niệm số

âm giải quyết mâu thuẫn của phép trừ; khái niệm số vô tỉ giải quyết mâuthuẫn của phép khai phương (trừ phép khai phương bậc chẵn của số âm); kháiniệm số ảo giải quyết mâu thuẫn phép khai phương bậc chẵn của số âm TheoĂng-ghen thì trong toán học sơ cấp và cao cấp đều đầy dẫy mâu thuẫn Haimặt của mâu thuẫn vừa đối lập với nhau vừa dựa vào nhau mà tồn tại và đềutrong một khối thống nhất, đó là sự thống nhất của các mặt đối lập Ví dụnhư: hai số đối nhau, +a và –a lại đều là căn bậc hai (đại số) của a2; không có

số âm thì không có cái gọi là số dương, và các số âm và số dương cùng thốngnhất trong trường số hữu tỉ; tương tự như vậy, số hữu tỉ và số vô tỉ cùng thốngnhất trong trường số thực; số thực và số ảo cùng thống nhất trong trường sốphức;…Mỗi một phép tính cũng đều có một phép tính đối lập với nó nhưnhân và chia, cộng và trừ, Nhưng những phép tính đó lại có thể chuyểnhóa lẫn cho nhau

Ví dụ trừ đi một số có nghĩa là cộng với số đối của số đó, chia cho một

số có nghĩa là nhân với nghịch đảo của số đó, HS hiểu và nắm được quyluật phát triển của toán học không nằm ngoài quy luật phát triển khách quancủa thế giới, tức là quy luật của biện chứng, chúng ta phải luôn luôn xem xét

sự vật trong trạng thái chuyển động và biến hóa, phải phân tích mâu thuẫn nộitại của các sự vật, Như vậy là đã xây dựng cơ sở thế giới quan Mác Lê-nincho HS, nhất là đã giúp các em tự vận dụng được quan điểm và phương pháp

ấy để quan sát vấn đề, suy xét vấn đề, phân tích vấn đề và giải quyết vấn đềmột cách độc lập

Qua lịch sử toán học, giáo dục cho HS lòng tôn trọng và yêu quý sựnghiệp của các nhà toán học vĩ đại đã góp phần cống hiến cho kho tàng vănhóa chung của nhân loại Tiểu sử của họ thường là những gương sáng đấutranh cho tư tưởng tiến bộ, là những trí óc thông minh lỗi lạc, lao động cần cù,nhẫn nại, say sưa với khoa học đã để lại cho chúng ta những di sản văn hóa đồ

sộ như ngày nay và do đó có tác dụng giáo dục đạo đức rất lớn đối với HS

Việc hiểu biết về lịch sử toán học cũng như quá trình phát triển của nó trongthực tiễn, trong lao động sản xuất cũng giáo dục cho HS tình yêu và niềm tinvào cuộc sống, vào lao động.

1.3.4 Một số yếu tố tác động đến lịch sử phát triển toán học

Từ khi hình thành như một khoa học, toán học đã trãi qua nhiều thời kỳphát triển khác nhau Mỗi thời kỳ lịch sử đó đều ghi đậm những dấu ấn quantrọng về vai trò của toán học đối với sự phát triển của các khoa học khác,đồng thời toán học cũng chịu sự tác động không nhỏ của các khoa học khácđến quá trình phát triển của mình Việc tìm hiểu, nghiên cứu những yếu tố tácđộng đến sự phát triển của toán học không chỉ đơn thuần là để minh chứngcho tính khách quan của các tri thức toán học, mà quan trọng hơn, là để chỉ rađộng lực phát triển của toán học Trên cơ sở phân tích bản chất của các trithức toán học và mối quan hệ qua lại của nó với các khoa học khác, chúng ta

có thể phân chia tất cả những yếu tố quan trọng nhất có tác động đến sự pháttriển của toán học thành các yếu tố bên ngoài và các yếu tố bên trong

Những yếu tố bên trong thể hiện lôgíc nội tại của sự phát triển toánhọc; chúng được thể hiện rõ nét từ thời điểm toán học được hình thành nhưmột khoa học lý thuyết Những yếu tố bên trong liên quan đến việc hệ thốnghóa và chỉnh lý các tư liệu hiện thực đã được tích lũy, liên quan đến việc hoànthiện và phát triển các phương pháp, khái niệm, lý thuyết cùng với nhữngnghịch lý xuất hiện trong toán học Đồng thời, tất cả các nhu cầu của sản xuất

xã hội, của kinh tế, kỹ thuật, của khoa học xã hội – nhân văn và khoa học tựnhiên đều liên quan đến những yếu tố bên ngoài đối với sự phát triển của toánhọc Trên thực tế, triết học, hệ tư tưởng thống trị và môi trường văn hóa củathời đại cũng có ảnh hưởng to lớn đến sự phát triển của khoa học nói chung,của toán học nói riêng

Trước hết, toán học cũng như tất cả các khoa học khác, sự xuất hiệncủa nó nhất thiết phải đáp ứng nhu cầu của sản xuất xã hội Điều này được thểhiện rất rõ từ thời Ai Cập cổ đại, trong đó toán học mang tính thực dụng thuần

túy, đa số các phương pháp toán học được sử dụng là để giải quyết các nhiệm

vụ do nhu cầu thực tiễn của việc đo đạc đất đai, tính toán thể tích của các vậtthể và xây dựng các công trình văn hóa, chẳng hạn như công trình nổi tiếngKim tự tháp v.v Rõ ràng là, từ cội nguồn xuất phát đó, các phép đếm sơ đẳng

và những cách đo đạc đã được sử dụng trong nhiều thế kỷ Nhưng cùng với sựxuất hiện các nền văn minh, sự phát triển tiếp theo của toán học đã diễn ratrong sự tác động qua lại, gắn bó hữu cơ với tự nhiên học

Lịch sử toán học và văn hóa nói chung đã tích lũy được một khối tưliệu khổng lồ, trong đó chứng tỏ một cách chắc chắn rằng, những khái niệmxuất phát và những phương pháp của những ngành cổ xưa nhất của toán học

có nguồn gốc từ thực tiễn, cụ thể như số học và hình học Trên thực tế, nhữngkhách thể toán học trừu tượng, như các số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, sốthực, số ảo, các hình hình học, v.v đã được hình thành dưới ảnh hưởng của cácnhu cầu sản xuất xã hội, kinh tế, kỹ thuật, thương mại, quân sự, v.v., và hiệntại, đa số các nhà khoa học không phủ nhận điều đó

Trong lịch sử khoa học, đặc biệt trong triết học, đã có không ít các nhà

tư tưởng xem xét sự xuất hiện của đối tượng toán học độc lập với bất cứ kinhnghiệm và thực tiễn nào Những quan điểm về tính chất tiên nghiệm của đốitượng toán học đã được truyền bá rộng rãi trong triết học duy tâm, kể cả trong

xã hội hiện đại Về vấn đề này, có những nhà hoạt động khoa học đã có quanniệm sai lầm rằng, một khi những khách thể toán học mới được thiết lập cùngvới việc giải quyết những vấn đề của khoa học - kỹ thuật và tự nhiên, thì điều

đó dường như chứng tỏ toán học đã phát triển trên cơ sở những tài liệu của tựnhiên học và các khoa học cụ thể khác chứ không phải từ sản xuất, kinh tế, kỹthuật, v.v Trên thực tế, các nhu cầu của sản xuất, kỹ thuật và kinh tế đãthường xuyên được phản ánh thông qua các nhu cầu của các khoa học gần gũivới sản xuất, nhưng chính điều đó lại hoàn toàn không phải là cơ sở để loạitrừ sự tác động của thực tiễn đối với sự ra đời của các khách thể toán học mới.Đồng thời, nó cũng không chứng tỏ rằng, toán học được phát triển chỉ dựa

trên cơ sở những tư liệu của tri thức thuần túy Điều quan trọng nhất là chúng

ta phải lý giải được sự cần thiết về việc tác động của các nhu cầu sản xuất, kỹthuật và kinh tế đối với sự phát triển của toán học Sự tác động đó đang trởnên gián tiếp và ngày càng phức tạp

Ở đây, phải nói rằng, toán học phát triển được là dựa trên cơ sở cáckhoa học tự nhiên, khoa học kỹ thuật và các khoa học khác, nhưng các khoahọc này lại khai thác tư liệu và đưa ra các mục đích của mình từ thực tiễn.Chẳng hạn, sự xuất hiện của phép tính vi phân và tích phân là do sự tác độngcủa các khoa học, như cơ học, vật lý học, thiên văn học, v.v Cho dù các khoahọc đó có tính độc lập tương đối, có lôgic nội tại của sự phát triển các kháiniệm và lý thuyết của mình thì cũng không phải vì thế mà nghi ngờ mối quan

hệ của chúng với sản xuất xã hội, với kỹ thuật và kinh tế bị giảm bớt Trong

tác phẩm nổi tiếng – Biện chứng của tự nhiên, Ph.Ăng-ghen đã viết: “Trước

hết là thiên văn học, một ngành đã vì thời tiết mà tuyệt đối cần thiết cho những dân tộc chăn nuôi và làm ruộng Thiên văn học chỉ có dựa vào toán học mới phát triển được Do đó mà người ta phải nghiên cứu cả toán học Sau đó, đến một giai đoạn phát triển nhất định của nông nghiệp và trong những khu vực nhất định (đưa nước lên để tưới ruộng ở Ai Cập), và nhất là cùng với sự xuất hiện những thành phố, những công trình xây dựng lớn, và cùng với sự phát triển của thủ công nghiệp thì cơ học cũng phát triển theo Chẳng bao lâu, cơ học lại trở nên cần thiết cho cả hàng hải và chiến tranh Cơ học cũng cần sự giúp đỡ của toán học và do đó thúc đẩy toán học phát triển Như thế là ngay từ đầu, sự phát sinh và phát triển của các ngành khoa học đã

do sản xuất quy định”.

Mặt khác, do bản chất trừu tượng của toán học và việc tuân thủ nghiêmngặt các quy luật lôgic của các phép chứng minh toán học, sự tác động củacác yếu tố bên trong đối với sự phát triển của toán học đã trở nên rất mạnh

mẽ Chính vì vậy, người ta thường vịn vào tình tiết đó như một chứng cớ đểkhẳng định rằng, sự phát triển của toán học diễn ra độc lập với thực tiễn Từ

lập trường duy vật biện chứng, chúng ta có đủ cơ sở để khẳng định rằng,những biến đổi căn bản trong toán học, về nhiều mặt, đã được quyết định bởinhu cầu của khoa học tự nhiên, kỹ thuật và qua đó, chúng được quyết định bởinhu cầu của sản xuất xã hội Chẳng hạn, trong toán học, việc đưa các đạilượng biến thiên vào đã dẫn đến sự ra đời của môn giải tích toán học mà cơ sởcủa nó là phép tính vi phân, tích phân Điều căn bản là ở chỗ, sự chuyển biếnnày đã được quyết định trước hết bởi nhu cầu của cơ học, của thiên văn học

và kỹ thuật Cụ thể hơn, vấn đề nghiên cứu sự vận động và quá trình biến đổicủa các sự vật, hiện tượng trong thế giới khách quan đã tạo ra sự phát triểnđối với các khoa học nói trên, trong đó hệ thống tri thức toán học về các đạilượng biến thiên đã được thiết lập để phân tích chúng Tiếp theo, nhu cầu củalực lượng sản xuất cũng như việc chuyển từ lao động chân tay sang lao động

cơ khí trong xã hội tư bản đã kích thích cơ học và thiên văn học phát triển.Chính những điều đó đã nói lên cuộc cách mạng mới nhất trong toán học,trong đó phạm vi nghiên cứu của toán học đã được mở rộng Toán học đãchuyển từ việc nghiên cứu tính phụ thuộc giữa các đại lượng sang việc nghiêncứu các cấu trúc trừu tượng của những hình dạng không gian và những quan

hệ số lượng phức tạp nhất Việc thành lập bộ môn kỹ thuật điện toán đã mởrộng một cách đáng kể khả năng áp dụng phương pháp toán học trong khoahọc, trong kinh tế và kỹ thuật Có thể nói, sự phát triển của toán học ở mộttrình độ cao hơn đã mang lại khả năng áp dụng các phương pháp toán họcngày càng rộng rãi và rốt cuộc, đã dẫn đến cuộc cách mạng khoa học và côngnghệ hiện đại

Sự tác động của những yếu tố bên ngoài, như triết học và văn hóa tinhthần, nhìn chung được thể hiện ở các nguyên tắc lập luận của toán học, ở bảnchất của những giá trị khoa học trong các lý thuyết toán học Đặc biệt, sự tácđộng đó còn thể hiện ở việc giải thích những vấn đề cơ bản nhất của toán học,như mối quan hệ hữu cơ giữa vô hạn và hữu hạn, giữa biến thiên và bất biến,giữa tất nhiên và ngẫu nhiên, v.v Trên thực tế, những vấn đề nói trên thường

là vũ đài của các cuộc tranh luận về các chương trình khác nhau của lập luậntoán học Chẳng hạn, trong việc giải quyết các nghịch lý xuất hiện ở lý thuyếttập hợp, bản thân triết học đã có vai trò rất lớn, nó đã chỉ rõ thực chất của cáccuộc tranh luận giữa các trường phái khác nhau về bản chất của tập hợp vàcác trừu tượng toán học khác Tiếp đó, trước sự phát minh ra hình học phiƠ-clit thì triết học tiên nghiệm và kinh nghiệm đã thể hiện rõ thái độ tiêu cực;trái lại, chủ nghĩa duy vật biện chứng coi sự phát minh ra hình học phi Ơ-clit

đã chứng tỏ tính đúng đắn về sức sáng tạo của tri thức lý luận, về con đườngbiện chứng của nhận thức qua những chân lý tương đối

Để chứng minh cho ảnh hưởng to lớn của triết học và văn hóa tinh thầnđến sự phát triển của toán học, chúng ta hãy xem xét một vài ví dụ trong lịch

sử khoa học Trước hết là hoạt động của nhà khoa học vĩ đại Hy Lạp cổ đại –Đê-mô-crít Ông là nhà khoa học đầu tiên sử dụng có kết quả phép phân chiacác vật thể thành những lớp mỏng để tính thể tích của chúng Về thực chất,phương pháp này liên hệ chặt chẽ với học thuyết về cấu tạo nguyên tử của cácvật thể mà Đê-mô-crít đã phát triển sau Lơ-xip Bằng phương pháp đó,Đê-mô-crít đã chứng minh các định lý về tính thể tích của hình chóp, hình trụ,hình nón và hình cầu và nhờ đó, đã khắc phục được khó khăn mà trước đó,những đại diện của trường phái Pi-ta-go không thể vượt qua được

Nhà toán học Hy Lạp cổ đại nổi tiếng là Ac-si-mét đã đánh giá đúng tácdụng của phương pháp Đê-mô-crít, phát triển phương pháp đó và sử dụng nó

để giải những bài toán tĩnh học và hình học phức tạp nhất Nhưng trong thờiđại của Đê-mô-crít, chủ nghĩa duy tâm thần bí giữ vai trò hệ tư tưởng thốngtrị, vì vậy các công trình của ông đã không được phép xuất bản, thậm chí còn

bị thủ tiêu một cách không thương tiếc Rõ ràng, điều đó đã cản trở lớn đến sựtruyền bá rộng rãi tư tưởng tiến bộ của Đê-mô-crít, đặc biệt là những tư tưởngduy vật của ông về vô hạn toán học

Một sự thật lịch sử nữa là, vào thời kỳ phong kiến, đặc biệt là ở cácnước Tây Âu, do sự thống trị của giáo hội, người ta đã ban hành các đạo luật

trừng phạt rất nặng các nhà khoa học đi ngược lại với lý thuyết thần học.Dưới các đạo luật đó, không phải chỉ một mình nhà khoa học Bru-nô bị chếttrong lửa thiêu Cơ sở hiện thực của những sự kiện dã man đó là, trong thời

kỳ phong kiến, ngoài những nhận thức về chính trị và lý luận khác nhau,những yêu cầu của sản xuất đối với toán học nói chung là rất nhỏ, không đáng

vô hạn thì đặc điểm số lượng của tập hợp tất cả những vật thể đó, cũng nhưtập hợp những phần của một vật thể không thể biểu diễn bằng bất cứ số tựnhiên nào Đó là một quan điểm đúng và để mô tả cho nội dung của nó thì dứtkhoát phải sử dụng số vô hạn, nhưng Cô-si lại khẳng định rằng, không thể cóđược ý kiến về số vô hạn những sự vật cùng tồn tại mà lại không rơi vào mâuthuẫn hiển nhiên Theo Cô-si, mâu thuẫn của khái niệm tập hợp vô hạn là ởchỗ, nếu một tập hợp đối tượng là vô hạn thì ta có thể sắp đặt tất cả các đốitượng đó theo một dãy nào đó và có thể đánh số chúng sao cho những số hiệucủa chúng lập thành một dãy số tự nhiên: 1, 2, 3,…, n,… và khi đó, phải giảthiết rằng dãy số này kéo dài đến vô hạn Cô-si cho rằng, điều giả thiết này là

vô lý Ông đã lập luận như sau: nếu dãy số tự nhiên kéo dài đến vô hạn thì

một mặt, có bao nhiêu số tự nhiên là có bấy nhiêu số tự nhiên chính phương,

bởi với mỗi số tự nhiên n tương ứng với một số n2 và ngược lại Mặt khác,

nếu số tự nhiên n càng lớn thì tỷ số giữa các số chính phương từ 1 đến n càngtrở nên nhỏ đi Từ đó phải kết luận rằng, nếu dãy số tự nhiên có thể kéo dàiđến vô hạn thì bình phương của dãy số đó chỉ là một bộ phận vô cùng nhỏ bé

của nó Theo Cô-si, chính giả thiết dãy số tự nhiên kéo dài đến vô hạn đã dẫnđến mâu thuẫn quá rõ ràng, cho nên cần phải bác bỏ giả thiết đó Đó là lý do

vì sao Cô-si không bao giờ nghiên cứu tính chất của tập hợp vô hạn Đối vớiông, vô hạn chỉ là vô hạn tiềm năng Kết luận của Cô-si không đúng ở chỗ, đãxuất phát từ việc đồng nhất tính chất của những tập hợp vô hạn và tập hợphữu hạn một cách không có căn cứ Điều khẳng định của Cô-si không thể phủnhận được tính khách quan của tập hợp vô hạn, mà chỉ chứng tỏ rằng, các tậphợp hữu hạn và vô hạn có nhiều tính chất khác nhau Chẳng hạn, điều khẳngđịnh “toàn thể lớn hơn mỗi bộ phận của nó” chỉ đúng với những tập hợp hữuhạn mà không đúng với những tập hợp vô hạn

Lịch sử phát triển của toán học đã ghi nhận công lao to lớn của Cô-sitrong toán học giải tích Nhưng vì sao Cô-si lại phản bác phương pháp luậnkhoa học về bản chất của tập hợp vô hạn? Điều này cũng dễ hiểu, bởi Cô-si làmột tín đồ tôn giáo, mà theo lời dạy của tôn giáo về nguồn gốc của thế giới thì

đã có một con người đầu tiên, một khoảnh khắc đầu tiên khi Trái đất xuất hiệntrong không gian và bắt đầu tồn tại Điều này hoàn toàn trái ngược với việccông nhận sự tồn tại của tập hợp vô hạn những đồ vật Có thể nói, thần bí luận

đã ngăn cản Cô-si nhìn thấy công cụ có hiệu quả của toán học giải tích trongkhái niệm vô hạn thực tại Thần bí luận không chỉ cản trở một mình Cô-si, màcòn ngăn cản nhà toán học Can-to hoàn thiện lý thuyết tổng quát về tập hợp.Công trình khoa học về lý thuyết tập hợp của Can-to đã liên tiếp bị công kích.Nhưng trong thời đại của Can-to, lý thuyết tập hợp đã trở nên rất cần thiết cho

sự phát triển của toán học Chính vì vậy, ông đã bất chấp mọi sự công kíchcủa thần học để tiếp tục hoàn thiện công trình nghiên cứu của mình Nhưngkhi xuất hiện những nghịch lý của tập hợp thì những nhà thần học lại một lầnnữa công kích kịch liệt khái niệm vô hạn thực tại

Tuy nhiên, cần thấy rằng, các tư tưởng thần học và hệ tư tưởng thốngtrị của các giai cấp bóc lột đã ảnh hưởng tiêu cực đến sự phát triển của khoahọc nói chung, của toán học nói riêng, song điều đó không thể buộc khoa học

đi ngược lại quy luật khách quan của nó Điều này dễ nhận thấy trong xã hội

tư bản công nghiệp Khi nhu cầu sử dụng một cách tự giác nội dung kháchquan của khoa học tự nhiên và toán học đã trở nên vô cùng cần thiết cho sự

phát triển của sản xuất, thần học đã phải hạn chế tham vọng của mình Một

mặt, những nhà duy tâm thần học vẫn nắm lấy những lý luận mà theo họ, là

khoa học để phủ định những chân lý toán học nhằm bảo vệ học thuyết của

mình Mặt khác, họ vẫn để cho các nhà tư bản có khả năng sử dụng toán học

theo sự cần thiết thực tế

Điều đáng nói ở đây là, những chân lý của khoa học tự nhiên cũng nhưcủa toán học có tính chất khách quan và phải được thực tiễn kiểm nghiệm,nên chủ nghĩa duy vật luôn là cơ sở triết học của chúng Những thành tựu rực

rỡ nhất của khoa học tự nhiên và toán học gắn liền với một thực trạng là,trong thực tiễn hoạt động khoa học, các nhà bác học đã và đang được nhữngquan điểm duy vật về đối tượng nghiên cứu của mình chỉ đạo Tiếp đó, chúng

ta nhận thấy rằng, trong bất cứ xã hội nào, đặc biệt là xã hội được xây dựngtrên cơ sở áp bức và bóc lột quần chúng lao động, bao giờ cũng có nhữngngười tiến bộ so với thời đại của mình Những người đó đã nhận thức rõ vaitrò cao cả của khoa học trong sự nghiệp phục vụ nhân dân một cách vô tư vàkiên quyết đấu tranh chống lại việc sử dụng khoa học vào mục đích có hại choloài người, đồng thời phản đối lại sự xuyên tạc nội dung của khoa học

Toán học không bao giờ dừng chân tại chỗ, nó phát triển mạnh mẽ dướiảnh hưởng của thực tiễn và của các khoa học khác, cũng như những nhu cầuphát triển nội tại Sự phát triển của toán học, sự phát minh ra các công cụ toánhọc mới phù hợp với những ứng dụng trong các lĩnh vực mới của khoa học đãtạo khả năng cho toán học thâm nhập vào các ngành khoa học khác nhau

Trong bối cảnh toàn cầu hóa hiện nay, không ai có thể nghi ngờ về vaitrò quan trọng của toán học trong đời sống xã hội cũng như trong sự phát triểncủa khoa học, của kinh tế và kỹ thuật, v.v Chính sự thâm nhập ngày càng sâurộng của toán học vào hầu hết các lĩnh vực của khoa học hiện đại là bằng

chứng sinh động nhất để khẳng định điều đó, đặc biệt là khi loài người đãbước sang thế kỷ XXI, kinh tế tri thức đã bắt đầu phát triển và có ảnh hưởngmạnh mẽ trong phạm vi quốc tế Đặc điểm nổi bật của kinh tế tri thức là vaitrò ngày càng to lớn của những đổi mới liên tục về công nghệ sản xuất và vịtrí chủ đạo của thông tin và tri thức với tư cách nguồn lực cơ bản tạo nên sựtăng trưởng và năng lực cạnh tranh của nền kinh tế

Chúng ta không thể phủ nhận được một thực tế là, kinh tế tri thức đãthúc đẩy toán học phát triển lên một tầm cao mới Sự phát triển đó là một đòihỏi khách quan, bởi trong nền kinh tế hiện đại luôn xuất hiện các yếu tố phituyến, nghĩa là xuất hiện các mô hình không thể giải được nếu chỉ vận dụngcác công cụ suy luận phân tích và tính toán định lượng của toán học truyềnthống Ở đây, để toán học phát huy được sức mạnh của mình trong việc giảiquyết các nhiệm vụ kinh tế - xã hội hiện đại thì nhất thiết khi xây dựng các

mô hình, toán học phải có sự kết hợp với các phương pháp khoa học khác,đặc biệt là coi trọng việc kết hợp với phương pháp tin học Nếu thực hiện sựkết hợp này, thì những khó khăn nảy sinh do sự xuất hiện các yếu tố phi tuyến

sẽ được khắc phục nhờ các phương pháp mô hình hóa và mô phỏng bằng đồhọa máy tính

Trong bối cảnh hiện nay, giữa toán học và khoa học máy tính có mốiquan hệ hết sức bền chặt Trên thực tế, lý thuyết automat và toán học rời rạc

đã đi vào cơ sở lý thuyết của khoa học máy tính như một tất yếu Khoa họcmáy tính đã thực sự trở thành một công cụ tính toán mạnh, việc sử dụng nó đãlàm tăng năng suất và hiệu quả của các giải pháp toán học trong mọi lĩnh vựcứng dụng, từ đó góp phần phát triển ngành toán học tính toán, xây dựng cácphương pháp số, các phương pháp xấp xỉ và gần đúng để giải nhiều loại bàitoán khác nhau, hỗ trợ việc phát triển sâu rộng các ứng dụng toán học đối vớikhoa học nói chung Sự phát triển của toán học hiện đại đã góp phần nâng caokhả năng nhận thức của con người nhờ vào sự trực cảm và sự suy luận địnhtính

Không chỉ thế, trong bối cảnh hiện nay, toán học đã bước sang một giaiđoạn phát triển mới, mà đặc điểm nổi bật nhất của nó là sự hợp tác và tươngtác ngày càng sâu rộng hơn với các ngành khoa học khác, trong đó phải kể cảcác ngành khoa học xã hội - những ngành mới đối với các ứng dụng toán học.

1.4 Vai trò của tri thức lịch sử toán đối với giáo viên và học sinh

1.4.1 Vai trò của tri thức lịch sử toán đối với giáo viên

Chủ nghĩa Mác-Lênin đã chứng minh rằng toàn bộ hệ thống lôgic củamọi khoa học, cấu trúc của nó, mối liên hệ và ngay cả sự tồn tại của cácngành riêng biệt của khoa học, không phải là một cái gì bất biến mà là kết quảcủa sự phát triển lịch sử Vì vậy, không một người nào làm công tác khoa họcsáng tạo mà lại không nắm được đối tượng và nguồn gốc phát sinh và pháttriển của khoa học mình Người GV dạy toán, trước hết, phải là người làmcông tác toán học, cho nên, cần phải có những hiểu biết nhất định về sự pháttriển của toán học, giúp hiểu biết đúng đắn và thực chất của toán học

Khi tìm hiểu tri thức lịch sử toán, GV sẽ thấy được các khái niệm,phương pháp và tư tưởng toán học đã phát sinh như thế nào? các lý thuyếttoán học khác nhau đã hình thành ra sao trong lịch sử GV sẽ có những hiểubiết về nguyên nhân lịch sử của cấu trúc lôgic của toán học hiện đại và nắmđược phần nào mối quan hệ giữa các bộ phận của toán học, nhận ra ít nhiềunhững điều đã qua, những bước đang đi, con đường sẽ tới của toán học

Đối với người làm công tác giáo dục, việc hiểu rõ các sự kiện lịch sử cơbản của bộ môn mình giảng dạy, hiểu rõ các quy luật phát triển của khoa họcliên quan đến bộ môn là rất cần thiết Mỗi chúng ta khi đọc một tài liệu vềtoán học đều thấy thích thú với những nét phác họa về lịch sử phát triển củavấn đề, về những ứng dụng của nó vào việc giải quyết các bài toán được đặt

ra trước xã hội loài người, về ý nghĩa của những vấn đề trong thực tiễn đờisống đối với sự phát triển của toán học Và chúng ta đã biết rằng các bài toán

mà người xưa đã giải hàng trăm năm trước đây cũng là những bài toán rất lýthú đối với HS

Thầy giáo dạy toán cần biết được các vấn đề như: con người đã laođộng như thế nào để sáng tạo ra các khái niệm toán học? Các hình ảnh cụ thểtrực quan là cần thiết như thế nào trong các bước đầu tiên? Các lý thuyết toánhọc trừu tượng và các chứng minh chặt chẽ đã được xây dựng và tích lũy nhưthế nào? v.v… Lịch sử toán học cho ta thấy một cách sâu sắc những khó khănđặc biệt mà loài người đã phải vượt qua trong quá trình phát triển toán học.

Lịch sử toán học có thể giúp cho thầy giáo toán trong quá trình dạy học

là biến toán học thành một môn học hấp dẫn, lôi cuốn đối với HS, làm chocác giờ học toán không phải là một gánh nặng đối với HS, mà là một nguồnvui, một cái gì đẹp đẽ, có thể giúp ích cho HS trong cuộc sống, trong công tácsau này

Để giúp HS hiểu rõ lịch sử toán, người GV có thể tích hợp vào các bàigiảng của mình lời giới thiệu ngắn gọn, đúng lúc những nét lịch sử của vấn

đề, làm cho giờ học thêm sinh động Các buổi nói chuyện về lịch sử toán học

- lịch sử phát minh, tiểu sử các nhà toán học lớn sẽ có tác dụng trong việckhêu gợi khả năng sáng tạo của HS, động viên các em, giúp các em củng cốlòng tin ở bản thân mình

Vì vậy, việc tìm hiểu các kiến thức về lịch sử toán nói chung và lịch sửcủa vấn đề có liên quan đến chương trình toán THPT nói riêng là một trongnhững nhiệm vụ tự học, tự bồi dưỡng của một người GV toán

1.4.2 Vai trò của tri thức lịch sử toán đối với học sinh

Trong quá trình học toán, khi tiếp cận với các phần kiến thức toán, hầuhết HS đều ở thế bị động, HS nắm bắt vấn đề một cách thụ động, máy móc

mà có thể không biết được bản chất của vấn đề, nguồn gốc của vấn đề đó xuấtphát từ đâu, khi nào và GV chỉ yêu cầu HS nắm được kiến thức, khái niệm đểgiải quyết những bài toán cụ thể có liên quan

Ví dụ : Trong chương trình hình học lớp 8, HS phải công nhận và thuộccông thức tính chu vi đường tròn C = 2лR, công thức tính diện tích hình tròn:

S = лR2 mà không cần biết lịch sử số л Nếu HS có thắc mắc thì rất ít thầy cô

giáo có thể giải thích được Đến khi HS học đại số lớp 10, chương 6, ở bàiđầu tiên, HS được làm quen với khái niệm mới về số đo góc và cung lượnggiác là radian, công thức đổi số đo từ độ sang radian và ngược lại

Khi dẫn dắt HS đến công thức này, GV phải sử dụng đến công thứctính chu vi đường tròn C = 2лR Từ công thức này, HS có thể đổi số đo củamột góc từ độ sang radian, từ radian sang độ nhưng các em cũng không biếtđược nguồn gốc của số л xuất phát từ đâu

Khi học về lượng giác, ngoài những chỉ dẫn trong SGK, nếu được bổsung thêm các kiến thức về lịch sử của vấn đề HS sẽ thấy rõ rằng lượng giácxuất phát từ nhu cầu của thực tế và những kiến thức đó được sử dụng để tínhtoán trong các ngành thiên văn, vật lý, kỹ thuật,… qua đó nảy sinh động cơhọc tập cho HS Nhờ những kiến thức về lịch sử toán HS thấy rằng toán họcphát sinh và phát triển do nhu cầu thực tế của con người Thực tế cho thấy cómột số HS đã ảo tưởng cho rằng toán học là độc lập với thực tại không liên hệ

gì với thực tê ́

Trong khoa học cũng như trong cuộc sống, chúng ta thường phải xâydựng số phần tử của tập hợp Nếu số phần tử không nhiều thì ta có thể đếmtrực tiếp số phần tử của nó bằng cách liệt kê, tuy nhiên nếu số phần tử củamột tập hợp là rất lớn thì cách đếm trực tiếp là không khả thi hoặc phải tínhtoán xem khả năng này có xảy ra hay không? Ngoài ra cần phải biết táchnhững vật đã được đếm ra khỏi những vật khác, phân biệt chúng với nhau loại

ra tất cả các tính chất khác của vật và phải biết thành lập sự tương ứng mộtgiữa nhiều phần tử của các nhóm đồ vật khác nhau Nhưng những khả năngnày không phải do bẩm sinh và không phải tự nó thấm vào nhận thức của conngười, nó là sản phẩm của sự phát triển trong hàng thế kỉ của tư duy conngười, xuất phát từ hoạt động thực tiễn của họ

Ăng-ghen đã chỉ ra rằng những khái niệm toán học ban đầu – Kháiniệm về số tự nhiên, về đại số và hình học được con người trừu tượng hóa từtrong thế giới hiện thực do những nhu cầu thực tiễn của con người, chứ không

phải là do phát sinh từ trí não của con người, do tư duy thuần túy Nhữngngón tay, ngón chân, những hòn đá nhỏ, nhờ đó người ta học đếm, những đốitượng có hình dạng khác nhau mà người ta so sánh, những mảnh đất trên đóngười ta đo diện tích… đó chính là một bộ phận của nhiều sự vật cụ thể đãgiúp con người hoàn thiện được khái niệm về số tự nhiên, về đại lượng, vềhình học Con người đã nghiên cứu tất cả những sự vật đó, số lượng, hìnhdạng, thể tích, diện tích của chúng trong khi giải quyết những bài toán mà họgặp nhiều nhất và nhiều lần trong hoạt động thực tiễn của họ Khái niệm số tựnhiên đã được nhiều dân tộc phát triển trong thời gian hàng ngàn năm cùngvới những nhu cầu trong cuộc sống hàng ngày Những nhu cầu đó đã đề ranhiều đòi hỏi ngày càng cao đối với kỹ thuật khoa học nhất là kỹ thuật tínhtoán Khái niệm số là kết quả trừu tượng hóa một số tính chất của các nhómđối tượng và vì vậy mà ngược lại nó có thể sử dụng được để làm công cụ tínhtoán Khái niệm về hình học và khái niệm về đại lượng đã được hình thành vàphát triển trong hoạt động lao động của con người Thực tế cho thấy, sau khiphát sinh, lý thuyết của toán học có ảnh hưởng trực tiếp hay gián tiếp đến sựphát triển của các lực lượng sản xuất, đến các khoa học khác và triết học nếunhư có những điều kiện xã hội hưởng ứng Ăng-ghen đã viết: “Cũng như mọingành khác của tư duy, những qui luật trừu xuất từ thế giới hiện thực đến mộtmức độ phát triển nào đó sẽ tách khỏi thế giới hiện thực, đối lập với nó như làmột cái gì độc lập, như là những qui luật từ ngoài đưa đến mà thế giới bắtbuộc phải phù hợp Điều đó đã xảy ra với xã hội và nhà nước, cũng như vớitoán học thuần túy; toán học thuần túy được áp dụng vào thế giới mặc dầurằng nó bắt nguồn từ chính thế giới ấy và chỉ là biểu thị một bộ phận củanhững hình thức liên hệ của thế giới”

Toán học có nguồn gốc thực tiễn và là "chìa khóa" trong hầu hết cáchoạt động của con người Nó có mặt ở khắp nơi Toán học là kết quả của sựtrừu tượng hóa các sự vật hiện tượng trong thực tiễn trên những bình diệnkhác nhau và có vai trò rất quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung

của giáo dục phổ thông Mặc dù là ngành khoa học có tính trừu tượng caonhưng Toán học có mối liên hệ chặt chẽ với thực tiễn và có thể ứng dụng rộngrãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau: là công cụ để học tập các môn học trongnhà trường, nghiên cứu nhiều ngành khoa học và là công cụ để hoạt độngtrong sản xuất và đời sống thực tế

Như vậy, kiến thức về lịch sử toán học rất quan trọng, khi nắm đượcnguồn gốc xuất phát những kiến thức, HS sẽ hiểu rằng: toán học luôn luônxuất phát từ thực tế, từ đời sống của con người, nó quay trở lại phục vụ cuộcsống của con người và toán học rất gần gũi với thực tế chứ nó không xa rờithực tế như HS vẫn lầm tưởng

1.4.3 Khai thác một số nguồn tư liệu lịch sử toán trong dạy học ở trường Trung học phổ thông

Việc biên soạn tư liệu lịch sử toán học để phục vụ cho nghiên cứu,giảng dạy và học tập môn toán ở trường đại học và trường phổ thông đã đượcnhiều nhà khoa học, nhà giáo dục quan tâm Có thể kể đến 2 hình thức tổnghợp nguồn tư liệu lịch sử toán chủ yếu là: Các tài liệu khảo cứu và cácwebsite chuyên đề lịch sử toán được cộng đồng toán học đóng góp Đây lànhững nguồn tư liệu tốt để giúp GV khai thác nhằm tích cực hóa hoạt độnghọc tập của HS trong dạy học môn Toán ở trường THPT

- Khai thác lịch sử toán qua các tư liệu khảo cứu:

Một trong những tài liệu lịch sử toán nước ngoài được dịch sang tiếng

Việt và sử dụng nhiều trong dạy học hiện nay là cuốn "Giới thiệu lịch sử toán

học" của Howard Eves (Trường Đại học tổng hợp Maine) Cuốn sách dài 518

trang nhằm giới thiệu những vấn đề cốt lõi của lịch sử toán Nội dung chủ yếugiới hạn ở toán học cơ sở, tức là toán học thông qua những phần tính toán banđầu Thông qua nội dung của cuốn sách, tác giả nhấn mạnh rằng, toán họckhông thể được đánh giá đúng mức nếu chí ít GV và HS không có hiểu biết

về lịch sử của nó Những tư liệu lịch sử trình bày trong cuốn sách này theomột thứ tự thời gian Vì vậy để hiểu nội dung của 9 chương đầu, nói chung