Hiệu ứng tương đối tính với cấu tạo của các vạch quang phổ nguyên tử

Khoá luận đợc trình bày theo những nội dung sau: Chơng 1: Khoá luận trình bày phần cơ sở lý thuyết vận dụng vàoviệc giải thích sự chuyển động của các hạt trong điện từ tr ờng, các tínhch

Lời mở đầu

Trong quang học hiện đại việc nghiên cứu các phổ phát xạ, hấpthụ, tán xạ của các hệ nguyên tử là cơ sở trực tiếp của lĩnh vực khoa họcnày Trong đó, nghiên cứu một số tính chất của phổ huỳnh quang là mộttrong những nội dung quan trọng trong chuyên ngành quang học –quang phổ

Ngày nay các khảo sát về quang phổ chiếm một phạm vi khá lớn

và nó đợc ứng dụng một cách rộng rãi trong thực tế và trong nhiềungành khoa học kỹ thuật hiện đại

Một trong những ngành áp dụng rộng rãi quang phổ học đó làthiên văn hiện đại Vật lý thiên văn hiện đại đang sử dụng rộng rãi cácphơng pháp quang và quang phổ để nghiên cứu thành phần, đoán nhậnquá trình diễn biến của thiên thể hay của bầu khí quyển bao quanh nó.Ngành khảo cổ học cũng sử dụng việc phân tích phổ của cácnguyên tử, phân tử trong các nghiên cứu của mình Các nhà khoa học đãdựa vào sự phân tích của các chất phát ra để tìm tuổi thọ của những mẫuvật từ thời tiền sử, xác định cấu tạo của vật chất

Do có nhiều lĩnh vực sử dụng đến phân tích, nghiên cứu một sốtính chất của phổ nguyên tử, phân tử Vì vậy tôi đã chọn đề tài nghiêncứu là: “Hiệu ứng tơng đối tính với cấu tạo của các vạch quang phổnguyên tử”

Hy vọng rằng nội dung của khoá luận sẽ là tài liệu bổ ích cho sinhviên ngành vật lý có thêm tài liệu tham khảo

Khoá luận đợc trình bày theo những nội dung sau:

Chơng 1: Khoá luận trình bày phần cơ sở lý thuyết vận dụng vàoviệc giải thích sự chuyển động của các hạt trong điện từ tr ờng, các tínhchất và cấu trúc các mức năng lợng của nguyên tử

Chơng 2: Nghiên cứu cụ thể về cấu trúc phổ nguyên tử, phân tử, sự

mở rộng của các vạch quang phổ và giải thích dựa trên 2 quan điểm cổ

điển và lợng tử Một số hiệu ứng liên quan đến sự mở rộng phổ

Chơng 3: Là sự nghiên cứu hiệu ứng zeeman và các hiệu ứng t ơng

đối tính liên quan đến cấu tạo siêu tinh tế của các vạch quang phổ Xéthiệu ứng zeeman trong từ trờng mạnh và từ trờng yếu, giải thích hiệuứng trên cả hai phơng diện là sử dụng mẫu vec tơ của nguyên tử và sửdụng lý thuyết cơ lợng tử

Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, bản thânlại còn hạn chế về kiến thức, khả năng trình bày một vấn đề có tínhkhoa học, do đó khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót Cuối cùngtôi xin đợc cảm ơn các thầy cô giáo khoa Vật lý, bạn đồng nghiệp, thầyhớng dẫn đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi để khoá luận đợc hoàn thành.

Ch ơng 1 Phơng trình cơ bản của cơ học lợng tử

Tơng đối tính – ph ph ơng trình dirac

I Phơng trình Dirac.

Phơng trình mô tả tốt nhất các hiện t ợng tơng đối tính và đặc biệt

đợc áp dụng cho chuyển động của eletron là phơng trình Dirac

Phơng trình Dirac đợc thiết lập năm 1928, có dạng nh sau:

, ,

0

z y x i

i

P t

(1.2)

Thông thờng ngời ta còn viết phơng trình Dirac ở dạng tờng minh

t

Trong đó:  c i,  0 m0c2 , c là vận tốc ánh sáng trongchân không

Hàm sóng  trong phơng trình (1.3) mô tả trạng thái tơng đối tínhcủa hạt có năng lợng, xung lợng xác định và là một hàm sóng nhiềuthành phần (với eletron  có dạng là một spinơ)

II Phơng trình Dirac cho một hạt nằm trong trờng ngoài

Phơng trình sóng của hạt tự do thực ra chỉ biểu diễn các tính chất

có liên quan đến đòi hỏi tổng quát của tính đối xứng không thời gian.Những quá trình vật lý xảy ra với các hạt lại phụ thuộc vào tính chất cáctơng tác của chúng Để cụ thể ta xét chuyển động của một hạt nằmtrong một trờng ngoài xuyên tâm, có thế năng U(r)

Khi đó Hamiltonnian của hạt có dạng:

m p c

2 0

2 0

2 1

2

1 2

c m U

P c c m c

m U

P c

Và trong thuyết tơng đối thì E = m0c2 + 

Với m0c2 là năng lợng nghỉ của hạt,  là động năng của hạt

Với độ chính xác đến bậc nhất của tỉ số

2 0

1

2 0

U p

c m

1

2 0

U p

m U

Đối với các ma trận Pauli có hệ thức:

(a) (b) = (ab) + i [ab]ab] (1.10)

( ) )(

( ) ( ) (  p f r)  p f(r)  p  p  i  gradf  p

p gradf i

U i p U c m

U m

p c m

U

0 2

2 0 0

2 2

) ( ] [

4 2

) 2 1 (

0 0

p c

m

p c

m

p c

m

(vì (  p) 2 p2)Xét đến (1.14) và điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng:

1 )

4 1 ( )

p d

(1.15)

Để thuận lợi hơn, thay cho hàm  ngời ta đa vào hàm khác:

 g (1.16) Sao cho:    d    g gd  1

c m

p g

Chọn 

g là toán tử thực, ta có:

2 0

2 2

1

2 2 0

2

8

1 4

1

c m

p c

m

p g

1

2 2

8 1 4

1

c m

p c

m

p g

o o

Phép biến đổi (1.16) phải làm cho toán tử Hamiltonian biến đổi

Dễ dàng thấy đợc điều đó, nếu viết phơng trình (1.1) dới dạng:

Nh vậy toán tử hamiltonian của phơng trình :

U c m c

m

U U

m

p

o

2 2 0

2 2 2 0

2 2

2 0

2

4 8

r U p

r U r U

2 2

2 2 0

p c m

Nh vậy hiệu ứng tơng đối tính cho toán tử Hamiltonian trong

chuyển động phi tơng đối của hạt có spin

2 0

2 2

2 2

2 1

8 ) ( 8

U U

c m

U c m

8m

U

W   ta thu đợc :

) ( 4 8

1

2 2 2

2 2 0

2 2

m

Z e r

c m

U

2 2 2 0

2 2

r c m

Z e

2

2

) (

c m

là đại lợng hiệu chính đợc gọi là toán tử tơng tác spin- quỹ đạo

Trong trờng xuyên tâm

r r

r r

U gradU

Thay biểu thức này vào (1.23) ta tìm đợc toán tử tơng tác

spin-quỹ đạo cho hạt có spin

U r c m p

r r

U r c m

0 2

2 0

3

2

1

1 4

l ,   

2



s lần lợt là các toán tử mô men quỹ

đạo và toán tử mômen spin của hạt Trong các trạng thái, giá trị trungbình của W3 bằng 0 Cuối cùng ta nhận xét, trong biểu thức củaHamiltonian, số hạng đặc trng cho tơng tác spin- quỹ đạo tỉ lệ bậc nhấtvới spin

III ứng dụng của phơng trình Dirac trong một số bài toán

1 Cấu trúc tinh tế của các mức năng lợng nguyên tử hidro:

Chúng ta đã nghiên cứu chuyển động của electron trong tr ờngculong của hạt nhân không xét đến spin của electron Bây giờ ta xétchuyển động này trên cơ sở của phơng trình Dirac với độ chính xác đến

đứng yên ảnh hởng của chuyển động hạt nhân lên độ lớn các hiệu chính

rất nhỏ có thể bỏ qua Vận tốc của electron trong nguyên tử H:   1

Để xác định các trạng thái dừng của electron trong trờng culonnb

của hạt nhân với thế năng

r

Ze r

U

2

) (   (bỏ qua kích thớc của hạt nhân),cần giải phơng trình:

W W

H0 1 2 3 (1.25)

trong đó:

r

Ze m

p H

2 0

2 2

4 0

2 0

2 n

e m Z

2 0

2 2

2 2m c

r

Ze E

 thay E bằng E ncủa nó trong phép gần

đúng cấp không ta tìm đ ợc hiệu chính năng l ợng En j cho mức 0

nj E E

 (1.28)Phép tính cho ta :

2 1

4 2 4

j

n n

Z R

1 22 2

2

2 2 0

j

n n

Z n

Z R E

E

Với nguyên tử H, lấy Z=1

Từ (1.30) nhận thấy rằng, độ tách các mức tỉ lệ với bình phơng củahằng số cấu trúc tinh tế.

Hệ các mức năng lợng ứng với các giá trị E nj khác nhau ứng vớicùng giá trị 0

n

E nh nhau, đợc gọi là cấu trúc tinh tế

Nh vậy, dãy các mức năng lợng của nguyên tử H có xét đến cấutrúc tinh tế nh sau:

1 ;2 1

; 2 1

2s ;

2 1

2 p ; 2 ;

2 3

p 3 ;

2 1

s 3 ;

2 1

p 3 ;

2 3

p 3 ;

2 3

d

; 3

2 5

Các trạng thái có năng lợng nh nhau đợc gạch dới Mức có số lợng

tử chính n tách thành n thành phần của cấu trúc tinh tế Cụ thể mức cón=1 có một thành phần, mức n=2 có hai thành phần, mức n=3 táchthành ba thành phần nh chúng ta thấy rõ từng dãy các mức nh hình bên

Khoảng cách giữa các thành phần riêng lẻ của cấu trúc tinh tế tỉ lệvới bình phơng của hằng số cấu trúc tinh tế, nghĩa là có cấp độ lớn 5.10-

4 đơn vị nguyên tử năng lợng

Cuối cùng cần chú ý rằng khi tính các hiệu chính t ơng đối tính dẫn

đến cấu trúc tinh tế của phổ năng lợng electron trong nguyên tử, ta đãcoi trờng hạt nhân trong nguyên tử, ta đã coi tr ờng hạt nhân nguyên tử

là đối xứng xuyên tâm Tuy nhiên, hạt nhân nguyên tử H và nhiều hạtnhân nguyên tử khác có mômen từ Tơng tác của các momen từ electronvới hạt nhân dẫn đến sự tách các mức năng lợng suy biến của nguyên tử.Vì mômen từ hạt nhân nhỏ hơn mômen từ quỹ đạo của electron khoảng

103 lần, nên độ tách mức gây bởi mômen từ hạt nhân nhỏ hơn khoảng

103 lần so với độ tách mức gây bởi tơng tác spin quỹ đạo (cấu trúc tinhtế) Do đó sự tách mức năng lợng gây bởi mômen từ hạt nhân đợc gọi là

sự tách siêu tinh tế Việc đo độ tách siêu tinh tế của các mức năng l ợngnguyên tử là một trong những phơng pháp đo spin và mômen từ của hạtnhân.

2 Sự chuyển từ phơng trình Dirac về phơng trình Pauli Mômen từ của hạt.

Ta khảo sát dạng của phơng trình Dirac tại giới hạn ngần đúngphi tơng đối tính Ta xét trờng hợp tổng quát khi hạt chuyển động trongmột trờng động từ, có thể vectơ A và thế vô h ớng V Ta có từ phơngtrình Dirac cho hạt điện trong điện từ:

e p c c

m eV

m eV

E   , nghĩa là vận tốc củaelectron và trờng gây bởi thế V đủ nhỏ Khi đó hệ phơng trình (1.31)chuyển thành hệ

e p c m eV

c m

A c

e p c

eV A

c

e p c

2 0 2

1 2

(1.32a)

Thay  từ phơng trình thứ hai của (1.32a) vào phơng trình thứ nhất

ta tìm đợc phơng trình chỉ chứa hàm spin :

A c

e p

e p A

rotA (1.33)

Thay (1.33) vào (1.32b) ta đợc phơng trình tơng đối tính cho

chuyển động của hạt có spin

e eV c

m

A c

e p

0 2

e eV c

m

A c

e p t

i

0 0

2

2 2

) (

động chuyển thành phơng trình Pauli Từ đó thấy rằng ph ơng trình

Dirac không những suy ra đợc sự tồn tại của spin (bằng

3 Hiệu ứng zeeman dị thờng.

Lý thuyết đầy đủ về hiệu ứng zeeman dị thờng hay hiệu ứng

zeeman thờng chỉ có thể đợc xây dựng trên cơ sở của lý thuyết Dirac,trong đó không những xét đến các hiệu ứng t ơng đối tính mà cả hiệuứng spin nữa Để hiệu rõ bản chất hiện t ợng này, chúng ta nhớ lại rằng,khi nguyên tử đặt trong từ trờng, năng lợng của nó gồm hai phần: nộinăng của nguyên tử và năng lợng tơng tác của mômen từ nguyên tử với

từ trờng Độ lớn của năng lợng tơng tác xác định bằng cờng độ từ trờng,

sự định hớng và độ lớn của mômen từ Nếu từ trờng không lớn lắm, tơngtác spin quỹ đạo trong nguyên tử lớn hơn t ơng tác của mômen từ quỹ

đạo và mômen từ spin riêng lẻ trong từ tr ờng ngoài Trong từ trờng yếu,năng lợng tơng tác của mômen từ với từ trờng sẽ nhỏ hơn năng lợng t-

ơng tác spin- quỹ đạo Hiện tợng tách các vạch phổ trong từ trờng ngoàiyếu đợc gọi là hiệu ứng zeeman dị thờng

Từ lý thuyết Dirac ngời ta đã xây dựng đợc công thức về độ táchcác mức năng lợng:

c m

H e E

1 1

1 1

j j

l l s s j j

Đối với hạt không có spin (s=0) thừa số Landé g=1, trong tr ờnghợp này khoảng cách giữa các mức bị tách đều nhau, không phụ thuộc

vào đặc tính của trạng thái và bằng

c m

H e E

Kết luận:

Do ảnh hởng của các hiệu ứng tơng đối tính lên chuyển động củacác hạt, đặc biệt đối với các electron hoá trị (lớp vỏ điện tử hoá trị) đãdẫn đến sự thay đổi nghiệm của phơng trình Dirac và vì vậy lời giải chonăng lợng của các phân tử sẽ có những kết quả khác nhau Cuối cùngbức tranh phổ năng lợng sẽ đợc quan sát một cách chính xác và đầy đủkhi bài toán bức xạ năng lợng nguyên tử đã tính đến các hiệu ứng lợng

tử tơng đối tính và sẽ đợc trình bày chi tiết trong các chơng sau

Ch ơng II Cấu trúc phổ nguyên tử, phân tử

Trong chơng này chúng tôi sẽ nghiên cứu nội dung cơ bản củaquang phổ nguyên tử Và những vấn đề liên quan đến cấu trúc phổnguyên tử

1 Khái niệm về cờng độ vạch phổ.

Ngời ta gọi cờng độ của vạch I là một đại lợng tỉ lệ với công suấtbức xạ trong một đơn vị thể tích, khi bỏ qua các hiện t ợng khác nh sựhấp thụ hay tán xạ xẩy ra trên thể tích nói trên

Trong trờng hợp vạch có độ rộng của vạch, cụ thể là:

I N k A ki hki (2.1) Trong thực tế không thể xác định cờng độ tuyệt đối các vạch phổ

mà thờng dùng phép đo tỉ số cờng độ của 2 vạch và khi lấy cờng độ củamột vạch làm chuẩn, dể dàng tìm đợc vạch kia

Nh vậy ta có thể rút ra định nghĩa cờng độ vạch nh sau:

Cờng độ của vạch I là một đại lợng tỉ lệ với công suất bức xạ trongmột đơn vị thể tích, khi bỏ qua các hiện t ợng khác nhau nh sự tự hấp thụhay tán xạ xẩy ra trong thể tích nói trên.

2 ảnh hởng của các quá trình kích thích lên cờng độ vạch phổ.

Từ quan điểm lợng tử, cờng độ của vạch trong bức xạ tự động tỉ lệvới số nguyên tử bị kích thích ở các mức trên Nk theo hệ thức:

Trong kích thích nhiệt luôn luôn có sự công bằng nhiệt động, khi

đó các nguyên tử kích thích Nk tuân theo phân bố Boltzman về năng l ợng

exp W W

g

g N

ở đây N0 và g0 là số nguyên tử và trọng lợng thống kê ở mức ờng, Nk, gk, Wk là các đại lợng tơng ứng ở mức k cờng độ sáng Iik trongkích thích nhiệt sẽ có dạng:

ki k W k W A ki h ki

g

g N

Bây giờ nếu ta tiếp tục tăng nhiệt độ sễ dẫn đến sự ion hoá vì nhiệt.Lúc này số nguyên tử N0 sẽ giảm Do N0 giảm, cờng độ của vạch cũnggiảm Vậy ở kích thích nhiệt mỗi vạch quang phổ của nguyên tử trunghoà lúc đầu cờng độ đợc tăng tơng ứng với công thức (2.2) đạt tới cực

đại và sau đó sẽ giảm

Trong thực tế, nguồn kích thích nhiệt có thể nguồn lò King, lò chânkhông ở nhiệt độ cao, hồ quang điện trong áp suất thờng

Kích thích do va chạm:

Kích thích do va chạm là loại kích thích trong các nguồn không cócân bằng nhiệt độ ở các nguồn, việc xác lập các trạng thái giữ vai tròquan trọng

Có các loại kích thích do va chạm nh:

Kích thích do va chạm của nguyên tử với điện tử:

Trong quá trình kích thích này, các nguyên tử đợc dịch chuyển từtrạng thái thấp i sang trạng thái k nhờ va chạm điện tử có vận tốc xác

định v

3 Sự mở rộng các mạch quang phổ.

Có nhiều nguyên nhân dẫn đến hệ nguyên tử bức xạ không phải là mộttần số Vạch thu đợc có một công tua hửu hạn Đó là sự mở rộng của vạch.Trong chơng này ta sẽ xét một số nguyên nhân chính trên cả hai quan điểm cổ

điểm và lợng tử Ta xét cụ thể từng sự mở rộng nh sau:

2

2

0

2 4

e

2

2 2 2

Ngời ta định nghĩa độ rộng của một vạch quang phổ là độ rộng của

công tua nó tại giá trị:

2

0

I

I 

2 2



 tn (2.4)

Với  có giá trị bằng số suy ra:

e tn

m c

e

3

2 2 2

c

e

e tn







Vậy trong thang bớc sóng, theo quan điểm của điện động lực học

cổ điển, độ rông tự nhiên của vạch không phụ thuộc bớc sóng, mọi vạch

đều có độ rộng nh nhau và không bằng 1,17.10-12 cm

Theo quan điểm lợng tử:

Theo quan điểm lợng tử độ mở rộng tự nhiên của vạch suy ra từ hệthức bất định và cặp năng lợng- thời gian : W ~  / t

ở đây t là thời gian sống của hệ tại mức năng lợng có giá trị W Nếu gọi tổng xác xuất dịch chuyển từ mức k xuống các mức d ới k

ik k

i i

ki ki

ki

f c m

e g

g A t

3

2 2

8

1 1

Mức năng lợng bị mở rộng ra một khoảng W (phần chấmchấm).

Do sự mở rộng này, vạch không là đơn sắc mà ứng với một khoảngtần số nào đó Độ mở rộng phụ thuộc ki của hai mức dịch chuyển

i k ki lt

2

2 4

) 2 (

ki o

So sánh hai giá trị  nt và  lt ta thấy:

Giá trị  nt cổ điển là đại lợng không đổi, không phụ thuộc vạch Giá trị  lt phụ thuộc giá trị xác xuất dịch chuyểnki giữa hai mứcứng với vạch phổ và vì xác suất dịch chuyển này rất khác nhau đối vớinhững mức khác nhau nên  lt phụ thuộc vạch quang phổ

Theo quan điểm cổ điển, từ các công thức (2.3) và (2.4) giữa c ờng

độ vạch và độ rộng  lt trong thang tần số có một liên hệ đơn giản  

 ,I  và ngợc lại Theo quan điểm lợng tử thì không có đợc hệ thứcnày Độ rộng của vạch có thể nh nhau nhng cờng độ lại rất khác nhau

b Mở rộng Doppler.

k

lm



k