TOÀN văn LUẬN án TIẾN sĩ TOÁN học CN TOÁN GIẢI TÍCH

Năm 2003, trong công trình [19], M.El Kadiri đưa ra khái niệm các hàm F-đa điều hòa dưới được định nghĩa trên các tập F-mở và nghiên cứu các tính chất cơ bản của các hàm này.. Trong Luận

Tôi xin cam đoan Luận án này được thực hiện bởi chính tác giảtại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.Nguyễn Xuân Hồng; đề tài của Luận án là mới, các kết quả của Luận

án hoàn toàn mới và các công trình được sử dụng trong Luận án chưatừng được công bố trước đó

Nghiên cứu sinh

Hoàng Văn Cần

Bằng tất cả lòng kính trọng của mình, tôi xin gửi lời cảm ơn chânthành nhất đến PGS.TS Nguyễn Xuân Hồng, người Thầy đã dìu dắt,hướng dẫn tôi trong quá học tập và nghiên cứu Thầy đã tạo nhiều điềukiện tốt nhất cho tôi trong quá trình làm nghiên cứu sinh Tôi thực sựcảm thấy rất may mắn và hạnh phúc khi được Thầy hướng dẫn.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn GS.TS Nguyễn Quang Diệu, trưởng

bộ môn Lý Thuyết Hàm, đã tạo điều kiện, góp ý cho tôi trong quá trìnhhọc tập và nghiên cứu

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các Thầy Cô trong bộ môn

Lý Thuyết Hàm, các Thầy Cô giáo khoa Toán-Tin Trường Đại học Sưphạm Hà Nội đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong học tập và nghiêncứu tại Trường

Hà Nội, tháng 7 năm 2021

NCS Hoàng Văn Cần

Kí hiệu 5

1 Nghiệm yếu của phương trình Monge-Ampère phức trong

1.1 Miền F-siêu lồi bị chặn và các lớp Cegrell 161.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán M A(Ω, µ) 24

2 Tính ổn định nghiệm của phương trình Monge-Ampère

2.1 Sự hội tụ F-địa phương và dung lượng cho các tập F-mở 362.2 Tính ổn định nghiệm của bài toán M A(Ω, µ) 46

3.1 Một số tính chất của các hàm trong lớp F (Ω) 543.2 Xấp xỉ các hàm trong lớp F (Ω) 57

Danh mục các công trình sử dụng trong luận án 69

3

Tài liệu tham khảo 70

trong Cn

• B(a, r) := {z ∈ Cn : |z − a| < r}: Hình cầu mở tâm a bán kính r

• C0∞(Ω): Tập hợp các hàm trơn vô hạn có giá compact trên Ω

• L∞(Ω): Không gian các hàm đo được Lebesgue, bị chặn hầu khắpnơi trên Ω

• L∞loc(Ω): Không gian các hàm đo được Lebesgue, bị chặn địa phươngh.k.n trên Ω

• Lp(Ω): Không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω

• Lploc(Ω): Không gian các hàm khả tích địa phương bậc p trên Ω

• SH(Ω): Tập hợp các hàm điều hòa dưới trên Ω

• SH−(Ω): Tập hợp các hàm điều hòa dưới âm trên Ω

• P SH(Ω): Tập hợp các hàm đa điều hòa dưới trên Ω

• P SH−(Ω): Tập hợp các hàm đa điều hòa dưới âm trên Ω

• F-P SH(Ω): Tập hợp các hàm F-đa điều hòa dưới trên Ω

• F-P SH−(Ω): Tập hợp các hàm F-đa điều hòa dưới âm trên Ω

• QB(Cn): σ-đại số trên Cn sinh bởi các tập Borel và các tập con đacực của Cn

• QB(Ω): là tập hợp tất cả các tập có dạng A ∩ Ω trong đó A ∈QB(Cn)

• GF: Bao đóng của tập G trong F-tôpô

• G: Bao đóng của tập G trong tôpô Euclid

• ∂FG: Biên của tập G trong F-tôpô

• ∂G: Biên của tập G trong tôpô Euclid

• (ddcu)n = ddcu ∧ · · · ∧ ddcu: Độ đo Monge-Ampère phức của u

• N P (ddcu)n: Phần không đa cực của độ đo Monge-Ampère (ddcu)n

• M A (Ω, µ): Phương trình Monge-Ampère phức cho các hàm F-đađiều hòa dưới được xác định trên một tập F-mở Ω với µ là một độ

đo không âm cho trước

• uj % u: Dãy {uj} hội tụ tăng tới u

• uj & u: Dãy {uj} hội tụ giảm tới u

• uj → u: Dãy {uj} hội tụ tới u

• j % +∞: Cho j tăng tới +∞

• Capn(E, Ω): Dung lượng tương đối của tập E ⊂ Ω

• supp µ: Giá của độ đo µ

• supp f: Giá của hàm f

• δa: Độ đo Dirac tại điểm a

• 1E: Hàm đặc trưng của tập E

• h.k.n: Hầu khắp nơi

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình Monge-Ampère phức là một trong các vấn đề trọng tâmtrong Lý thuyết đa thế vị, được rất nhiều nhà toán học trên thế giới quantâm như E Bedford, B.A Taylor, Z B locki, U Cegrell, S Ko lodziej vàmột số nhà toán học khác Hướng nghiên cứu chính trong Luận án lànghiên cứu phương trình Monge-Ampère phức trong Lý thuyết F-đathế vị Lý thuyết đa thế vị dựa trên cấu trúc tôpô Euclid thông thườngtrong Cn, còn Lý thuyết F-đa thế vị dựa trên cấu trúc tôpô plurifine.Tôpô plurifine (kí hiệu F-tôpô) trên một miền Ω ⊂ Cn là tôpô yếu nhấttrên Ω làm cho tất cả các hàm đa điều hòa dưới trên Ω là liên tục M.ElKadiri, I.M Smit, S.El Marzguioui, và J Wiegerinck là những ngườiđặt nền móng cơ bản cho Lý thuyết F-đa thế vị và trong những nămgần đây, N.X Hồng và một số tác giả đã phát triển sâu rộng hơn về Lýthuyết F-đa thế vị Năm 2003, trong công trình [19], M.El Kadiri đưa

ra khái niệm các hàm F-đa điều hòa dưới được định nghĩa trên các tập

F-mở và nghiên cứu các tính chất cơ bản của các hàm này Năm 2014,trong công trình [22], M.El Kadiri và J Wiegerinck định nghĩa toán tửMonge-Ampère phức cho các hàm F-đa điều hòa dưới hữu hạn, và họ

đã chứng minh được rằng nó là những độ đo không âm triệt tiêu trên tất

cả các tập đa cực Họ cũng định nghĩa phần không đa cực N P (ddcu)n

của một hàm F-đa điều hòa dưới xác định trên F-miền Ω được cho bởiZ

F-miền, trong công trình [37], tác giả đã đưa ra một điều kiện đủ trên

µ để phương trình có nghiệm

Hướng nghiên cứu chúng tôi quan tâm là nghiên cứu phương trìnhtrên miền F-siêu lồi bị chặn và tính ổn định nghiệm của phương trìnhđó

Một trong các ứng dụng quan trọng nhất của phương trình Ampère phức là để giải quyết các bài toán xấp xỉ Trong Luận án này,chúng tôi nghiên cứu sự xấp xỉ của các hàm trong lớp F (Ω) khi Ω làmột miền F-siêu lồi bị chặn

• Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình M A(Ω, µ).

• Ứng dụng để nghiên cứu bài toán xấp xỉ các hàm trong lớp F (Ω)

• Tiếp tục nghiên cứu tìm hiểu, để tìm ra những vấn đề nghiên cứumới

3 Đối tượng nghiên cứu

• Các hàm F-đa điều hòa dưới, miền F-siêu lồi bị chặn

• Các lớp Cegrell cho các hàm F-đa điều hòa dưới

• Toán tử Monge-Ampère phức cho các hàm F-đa điều hòa dưới

• Phương trình Monge-Ampère phức và nghiệm của chúng trên cáclớp hàm Cegrell cho các hàm F-đa điều hòa dưới

4 Phương pháp nghiên cứu

• Dùng các công cụ và các kĩ thuật cơ bản trong Lý thuyết đa thế vị

và Lý thuyết F-đa thế vị, các kiến thức cơ bản của Giải tích hàm,Giải tích phức

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của Luận án

Lý thuyết đa thế vị và Lý thuyết F-đa thế vị là những hướng nghiêncứu đang được nhiều tác giả quan tâm bởi những ứng dụng của chúngtrong giải tích phức nhiều biến, hình học vi phân phức, phương trìnhđạo hàm riêng phức, các hệ động lực học phức, giải tích hyperbolic, Kết quả của Luận án góp phần nghiên cứu phát triển lý thuyết F-đathế vị cũng như các kỹ thuật trong hướng nghiên cứu này

6 Cấu trúc luận án

Ngoài các phần: Mục lục, Mở đầu, Tổng quan các vấn đề nghiên cứu,Kết luận và kiến nghị, Danh mục các công trình sử dụng trong Luận án,Tài liệu tham khảo, nội dung chính của Luận án bao gồm ba chương:

• Chương 1 Nghiệm yếu của phương trình Monge-Ampère phức trongmiền F-siêu lồi bị chặn

Trong chương này, đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số các khái niệmquan trọng trong lí thuyết F-đa thế vị, ví dụ như hàm F-đa điềuhòa dưới, toán tử Monge-Ampère phức cho các hàm F-đa điều hòadưới hữu hạn, miền F-siêu lồi bị chặn, Tiếp theo, chúng tôi đưa

ra một nguyên lí so sánh cho một số các hàm trong lớp Cegrell chocác hàm F-đa điều hòa dưới, đó là một trong những công cụ sửdụng trong chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán M A(Ω, µ).Sau đó, chúng tôi đưa ra một trong những kết quả chính của Luận

án, đó là chỉ ra tính giải được của bài toán M A(Ω, µ) trong miền

F-siêu lồi bị chặn và chứng minh kết quả đó

• Chương 2 Tính ổn định của nghiệm phương trình Monge-Ampèrephức trong miền F-siêu lồi bị chặn

Phần đầu của chương, chúng tôi mở rộng khái niệm dung lượng chocác tậpF-mở trong Cn và giới thiệu khái niệm hội tụ F-địa phươngtrong dung lượng của dãy các hàm F-đa điều hòa dưới Chúng tôinghiên cứu mối liên hệ giữa sự hội tụF-địa phương trong dung lượngcủa dãy các hàm F-đa điều hòa dưới với sự hội tụ F-địa phươngcủa dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng Sau đó, chúng tôi

sử dụng kết quả đó để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của bài toán

M A(Ω, µ)

• Chương 3 Xấp xỉ các hàm trong lớp F (Ω)

Trong chương này, phần đầu chúng tôi đưa ra một số tính chất đặctrưng của các hàm trong lớp F (Ω) với Ω là một miền F-siêu lồi

bị chặn Phần cuối, chúng tôi nghiên cứu bài toán xấp xỉ các hàm

F-đa điều hòa dưới Định lí 1.1 trong [46] đã chỉ ra rằng khi Ω làmột miềnF-siêu lồi bị chặn có tính chấtF-xấp xỉ thì các hàm tronglớp Fp(Ω) có thể được xấp xỉ bởi một dãy tăng các hàm đa điềuhòa dưới xác định trên các lân cận Euclid của Ω Mục đích chínhcủa chúng tôi trong chương này là chỉ ra rằng định lí vẫn đúng đốivới các hàm trong lớp F (Ω)

Trong không gian tôpô thông thường của Cn không phải mọi hàm đađiều hòa dưới đều liên tục, ví dụ như lấy dãy {aj} trù mật trong đĩađóng đơn vị D(0, 1) ⊂C, xét hàm

C đó là tôpô yếu nhất trên C làm cho tất cả các hàm điều hòa dưới

là liên tục Năm 1986, B Fuglede lần đầu tiên đưa ra khái niệm tôpôplurifine (ta kí hiệu F-tôpô) là tôpô yếu nhất trên Cn làm cho tất cảcác hàm đa điều hòa dưới là liên tục Sau đó vào thập kỉ 80 của thế kỉtrước, E Bedford và B.A Taylor đã sử dụng F-tôpô để nghiên cứu sựhội tụ yếu của độ đo Monge-Ampère của những hàm đa điều hòa dưới

F-tôpô tiếp tục được phát triển bởi S.El Marzguioui và J Wiegerinck.Một cách tự nhiên M.El Kadiri và J Wiegerinck đã đưa ra định nghĩacác hàm F-đa điều hòa dưới là mở rộng tự nhiên của các hàm đa điềuhòa dưới J Wiegerinck và các cộng sự đã chứng minh được hầu hếtcác tính chất quan trọng của các hàm F-đa điều hòa dưới, trong đó có

tính chất mọi hàm F-đa điều hòa dưới đều liên tục theo F-tôpô, điều

đó có nghĩa sẽ không có khái niệm tôpô "siêu fine" Năm 2014, trên cơ

sở tính chất tựa-Lindel¨of của F-tôpô, M.El Kadiri và J Wiegerinck đãđịnh nghĩa toán tử Monge-Ampère phức cho các hàm F-đa điều hòadưới hữu hạn, họ chỉ ra rằng nó định nghĩa một độ đo không âm và triệttiêu trên các tập đa cực Định nghĩa này mở ra nhiều hướng nghiên cứumới trong Lý thuyết F-đa thế vị, đó là đi tìm câu trả lời cho câu hỏi:các kết quả trong Lý thuyết đa thế vị có mở rộng được trong Lý thuyết

F-đa thế vị không? Chẳng hạn như trong Lý thuyết đa thế vị chúng

ta biết rằng mọi hàm đa điều hòa dưới cực đại, bị chặn địa phương u

đều được đặc trưng bởi (ddcu)n = 0 thì câu hỏi: trong Lý thuyết F-đathế vị có kết quả tương tự không? Câu hỏi này đã được trả lời bởi I.M.Smit và M.El Kadiri vào năm 2014 Gần đây, N.X Hồng và một số tácgiả đã gặt hái được rất nhiều kết quả trong Lý thuyết F-đa thế vị vềtính cực đại địa phương của các hàm F-đa điều hòa dưới bị chặn, xấp

xỉ các hàm F-đa điều hòa dưới, phương trình Monge-Ampère phức chocác hàm F-đa điều hòa dưới

Một trong các hướng nghiên cứu chính trong Luận án là nghiên cứu

về phương trình Monge-Ampère phức cho các hàm F-đa điều hòa dưới.Cho Ω ⊂ Cn là một tập F-mở và µ một độ đo không âm được địnhnghĩa trên QB(Ω) và triệt tiêu trên tất cả các tập con đa cực của Ω,phương trình Monge-Ampère phức cho các hàm F-đa điều hòa dưới làbài toán tìm hàm u thỏa mãn:

như là bài toán Dirichlet cho các hàm đa điều hòa dưới khi Ω là mộttập mở Euclid, nó được nghiên cứu và phát triển bởi các nhà toán họcnhư E Bedford, B.A Taylor, S Ko lodziej, U Cegrell và một số nhàtoán học khác Đặc biệt, khi Ω là một miền siêu lồi thì U Cegrell [15]

và một số các tác giả khác đã chỉ ra rằng bài toán M A(Ω, µ) có thể giảiđược khi độ đo µ thỏa mãn một vài điều kiện Năm 2017, N.X Hồng[37] nghiên cứu bài toán M A(Ω, µ) khi Ω là một miền F-mở Trong đó,N.X Hồng đã chỉ ra rằng nếu bài toán M A(Ω, µ) có dưới nghiệm thì

nó cũng có nghiệm Cụ thể, N.X Hồng chỉ ra điều kiện đủ cho độ đo µ

để bài toán M A(Ω, µ) có nghiệm đó là tồn tại một hàm F-đa điều hòa

âm hữu hạn w sao cho

0 ≤ µ ≤ (ddcw)n trên QB(Ω)

Trong Luận án này chúng tôi nghiên cứu bài toán M A(Ω, µ) trên miền

F-siêu lồi bị chặn, cụ thể chúng tôi chỉ ra rằng trên miền F-siêu lồi bịchặn thì điều kiện đủ cho độ đo µ để bài toán M A(Ω, µ) có nghiệm là

µ triệt tiêu trên các tập đa cực và thỏa mãn điều kiện

Hướng nghiên cứu tiếp theo trong Luận án, chúng tôi nghiên cứu tính

ổn định của bài toán M A(Ω, µ), nghĩa là chúng tôi chỉ ra rằng khi độ

đo µ0 đủ gần độ đo µ theo một nghĩa nào đó thì chúng ta vẫn tìm đượcnghiệm u0 của bài toán M A(Ω, µ0) sao cho u0 rất gần với u theo mộtnghĩa nào đó

Hướng nghiên cứu thứ ba trong Luận án, chúng tôi nghiên cứu bàitoán xấp xỉ các hàm F-đa điều hòa dưới Cho Ω là một tập F-mở trong

Cn và u : Ω → [−∞, +∞) là một hàm F-đa điều hòa dưới, một vấn đềđặt ra là tìm điều kiện của u và Ω sao cho chúng ta có thể tìm được mộtdãy tăng các hàm đa điều hòa dưới xác định trên các lân cận Euclid của

Ω, hội tụ hầu khắp nơi tới u trên Ω Có hai cách tiếp cận cho bài toánxấp xỉ trên, thứ nhất theo kết quả của N Sibony [[45], Định lí 2.2] chỉ

ra rằng khi Ω là một miền giả lồi với biên trơn và u ∈ P SH(Ω) ∩ C(Ω)

thì u có thể được xấp xỉ đều trên Ω bởi một dãy các hàm đa điều hòadưới liên tục được xác định trên các lân cận củaΩ Sau đó J.E Fornaess

và J Wiegerinck [[26], Định lí 1] đã tổng quát kết quả của N Sibonytrên một miền bị chặn với biên lớp C1 Hướng tiếp cận thứ hai cho bàitoán xấp xỉ trên là sử dụng toán tử Monge-Ampère phức, phương trìnhMonge-Ampère phức để xấp xỉ các hàm trong các lớp Cegrell xác địnhtrên các miền siêu lồi bị chặn Kết quả đầu tiên trong hướng này là kếtquả của S Benelkourchi [[9], Định lí 1.1] năm 2006, tác giả chỉ ra khi

Ω là miền siêu lồi bị chặn chặt, có tính chất F-xấp xỉ và u ∈ Fa(Ω)

(Fa(Ω)là tập các hàm thuộc lớp F (Ω) mà triệt tiêu trên các tập đa cựccủa Ω) Sau đó U Cegrell và L Hed [[17], Định lí 2.2] tiếp tục mở rộngcác kết quả của S Benelkourchi cho các hàm thuộc các lớp Cegrell khác.Gần đây, trong công trình [46], N.X Hồng và các cộng sự nghiên cứubài toán xấp xỉ trên các tập F-mở trong Cn, các tác giả đã chỉ ra rằngtrên các miền F-siêu lồi bị chặn có tính chất F-xấp xỉ và u ∈ Fp(Ω)

thì sự xấp xỉ là có thể Một trong các kết quả chính trong Luận án làchúng tôi mở rộng kết quả trong [46] cho các hàm thuộc lớp F (Ω)

Nghiệm yếu của phương trình

Monge-Ampère phức trong F -siêu lồi bị chặn

Cho Ω ⊂ Cn là một tập F-mở và µ là một độ đo không âm đượcxác định trên QB(Ω) và triệt tiêu trên tất cả các tập con đa cực của Ω.Phương trình Monge-Ampère phức cho các hàm F-đa điều hòa dưới làbài toán tìm hàm u thỏa mãn:

Trong chương này, chúng tôi sẽ chứng minh rằng khi Ω là một miền

F-siêu lồi bị chặn và độ đo µ thỏa mãn một số điều kiện thì bài toán

M A(Ω, µ) có nghiệm

1.1 Miền F -siêu lồi bị chặn và các lớp Cegrell

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại định nghĩa miền F-siêu lồi bị chặnđược giới thiệu trong công trình [46] như một mở rộng tự nhiên của

16

miền siêu lồi bị chặn, bên cạnh đó là các lớp Cegrell cho các hàm F-đađiều hòa dưới xác định trên các miền F-siêu lồi bị chặn Trong mụcnày, chúng tôi cũng đưa ra một nguyên lí so sánh cho một số lớp hàmCegrell mở rộng, đó cũng là một công cụ quan trọng trong chứng minh

sự tồn tại nghiệm của bài toán M A(Ω, µ) Đầu tiên, chúng tôi nhắc lạiđịnh nghĩa về hàm F-đa điều hòa dưới như một mở rộng tự nhiên củacác hàm đa điều hòa dưới, định nghĩa này được giới thiệu trong [19] bởiM.El Kadiri vào năm 2003

Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω là một tập con F-mở của C Một hàm

u : Ω → [−∞, +∞) được gọi là F-điều hòa dưới nếu mỗi điểm của Ω

có một F-lân cận compact K ⊂ Ω sao cho trên K thì u là giới hạn đềucủa một dãy các hàm điều hòa dưới ϕn xác định trên các lân cận Euclid

Wn của K

Định nghĩa 1.1.2 Cho Ω là một tập con F-mở của Cn Một hàm

u : Ω → [−∞, +∞) được gọi là F-đa điều hòa dưới nếu u là F-nửa liêntục trên và với mọi đường thẳng phức l trong Cn thì u hạn chế trên mọi

F-thành phần của tập con F-mở l ∩ Ω của l hoặc là F-điều hòa dướihoặc đồng nhất bằng −∞

Tập tất cả các hàmF-đa điều hòa dưới (tương ứngF-đa điều hòa dướiâm) xác định trên một tập F-mở Ω được kí hiệu bởi F-P SH(Ω)(tươngứng F-P SH−(Ω))

Nhận xét 1.1.3 Từ định nghĩa chúng ta suy ra một hàm đa điều hòadưới định nghĩa trên một tập mở Euclid thì nó sẽ là hàm F-đa điều hòadưới Hơn nữa, nếu một hàm u ∈ F-P SH(Ω) và Ω là một tập con mởEuclid của Cn thì u ∈ P SH(Ω)

Định nghĩa 1.1.4 Cho Ω ⊂ Cn là một tập F-mở và u ∈ F-P SH(Ω)

Kí hiệu QB(Cn) là không gian đo được của Cn sinh bởi các tập Borel

và các tập con đa cực của Cn, kí hiệu QB(Ω) = {A ∩ Ω|A ∈ QB(Cn)}.(i) Nếu u là một hàm hữu hạn thì tồn tại một tập đa cực E ⊂ Ω, mộtdãy các tập con F-mở {Oj} và các hàm đa điều hòa dưới fj, gj đượcđịnh nghĩa trên các lân cận Euclid của Oj sao cho Ω = E ∪S∞

Định nghĩa 1.1.5 ChoΩlà một tậpF-mở trong Cnvàu ∈ F-P SH(Ω).Chúng ta nói rằng u là F-cực đại trên Ω nếu với mọi tập bị chặn F-mở

G của Cn với G ⊂ Ω, và với mọi hàm v ∈ F-P SH(G) bị chặn trêntrong G và mở rộng F-nửa liên tục trên tới GF sao cho v ≤ u trên ∂FG

thì suy ra v ≤ u trên G

Trong [21], các tác giả M.El Kadiri và I.M Smit đã đưa ra một số cáctính chất của các hàm F-đa điều hòa dưới F-cực đại, trong đó các tácgiả chứng minh được rằng nếu u là một hàm F-đa điều hòa dưới F-cựcđại hữu hạn được xác định trên một tập F-mở trong Cn thì(ddcu)n = 0.Sau đó, N.X Hồng và một số tác giả tiếp tục nghiên cứu về các hàmnày, họ đã chỉ ra rằng trong trường hợp u là một hàm bị chặn thì trong

kết quả trên có chiều ngược lại, kết quả này chúng tôi nhắc lại ở mệnh

đề sau

Mệnh đề 1.1.6 Giả sử Ωlà một tập F-mở trong Cn vàu ∈ F-P SH(Ω)

là bị chặn Khi đó, u là F-cực đại trong Ω khi và chỉ khi (ddcu)n = 0

trên QB(Ω)

Chứng minh Xem Định lí 4.8 trong [40]

Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại định nghĩa miền F-siêu lồi bị chặn Ω

và các lớp Cegrell của những hàm F-đa điều hòa dưới xác định trên cácmiền F-siêu lồi bị chặn, những lớp này tương tự như các lớp được giớithiệu trong [14] cho các hàm đa điều hòa dưới xác định trên các miềnsiêu lồi bị chặn

Định nghĩa 1.1.7 Một tập F-mở Ω trong Cn được gọi là một miền

F-siêu lồi bị chặn nếu nó thỏa mãn

i) Ω là bị chặn;

ii) tồn tại một miền siêu lồi bị chặn Ω0 và một hàm γΩ ∈ P SH(Ω0) ∩

L∞(Ω0) sao cho Ω = Ω0 ∩ {γΩ > −1} và −γΩ là một hàm F-đa điềuhòa dưới trong Ω

Định nghĩa trên được giới thiệu trong [46], lớp các miền F-siêu lồi bịchặn là rộng hơn lớp các miền siêu lồi bị chặn vì từ định nghĩa trên chúng

ta có thể suy ra mọi miền siêu lồi bị chặn đều là miền F-siêu lồi bị chặn.Thật vậy, trong định nghĩa ta chỉ cần chọnΩ0 = ΩvàγΩ = −1

2 Hơn nữa,

một tập mở Euclid bị chặn trong Cn là miền F-siêu lồi bị chặn chỉ khi nó

là một miền siêu lồi bị chặn Thật vậy, giả sử Ω là một tập mở Euclid bịchặn và là F-siêu lồi, theo định nghĩa tồn tại một miền siêu lồi bị chặn

Ω0 và một hàm γΩ ∈ P SH(Ω0) ∩ L∞(Ω0) sao cho Ω = Ω0∩ {γΩ > −1}

và −γΩ ∈ F-P SH(Ω) Vì Ω là mở Euclid nên −γΩ ∈ P SH(Ω), suy

Khi nghiên cứu về sự xấp xỉ các hàm F-đa điều hòa dưới, trong côngtrình [46], các tác giả đã đưa ra định nghĩa về các lớp Cegrell của cáchàm F-đa điều hòa dưới xác định trên miền F-siêu lồi bị chặn

Định nghĩa 1.1.8 Cho Ω là một miền F-siêu lồi bị chặn và p ≥ 0.(i) Hàm bị chặnu ∈ F-P SH−(Ω)là thuộc lớpE0(Ω)nếuRΩ(ddcu)n <+∞ và với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho

ii) E0(Ω) 6= ∅

iii) E0(Ω) ⊂ F (Ω) và Fp(Ω) ⊂ Fq(Ω) ⊂ F (Ω) với mọi 0 < q < p.Chứng minh Đầu tiên, chúng ta chứng minh i) Khi Ω là một miền siêulồi bị chặn và u ∈ E0(Ω) thì ta có lim

z→∂Ωu = 0, suy ra với mọi ε > 0 thì

{0}ddcu = 1 nên Mệnh đề 3.2 trong [11] suy ra u 6∈ Fp(Ω).

Chú ý 1.1.10 KhiΩlà một miền siêu lồi bị chặn thì mọi hàmu ∈ F (Ω)

Tiếp theo chúng tôi đưa ra một nguyên lí so sánh, đây là một công cụ

sử dụng trong chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán M A(Ω, µ)

Mệnh đề 1.1.11 Giả sử Ω b Cn là một miền F-siêu lồi bị chặn Giả

sử u ∈ F1(Ω)là bị chặn và v ∈ F-P SH−(Ω)sao cho (ddcu)n ≤ (ddcv)n

trong Ω ∩ {v > −∞} Khi đó, u ≥ v trong Ω

Chứng minh Vì u bị chặn nên ta có thể giả sử −1 ≤ u ≤ 0 trên Ω Cho

Vì u bị chặn nên u ∈ Fp(Ω), do đó Mệnh đề 4.4 trong [46] suy rau ≥ vj

trong Ω Cho j → +∞ chúng ta được u ≥ v trong Ω

1.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán M A(Ω, µ)

Trong phần này, chúng tôi chỉ ra rằng khi Ω là một miền F-siêu lồi

bị chặn và một điều kiện chặt cho độ đo µ thì bài toán M A(Ω, µ) cónghiệm Cách đây khoảng từ hai đến ba thập kỉ, bài toán M A(Ω, µ)

được biết như là bài toán Dirichlet cho các hàm đa điều hòa dưới khi

Ω là một tập mở Euclid, nó được nghiên cứu và phát triển bởi các nhàtoán học như E Bedford, B.A Taylor, U Cegrell, S Ko lodziej và một

số nhà toán học khác Đặc biệt, khi Ω là một miền siêu lồi thì U Cegrell[15] và một số các tác giả khác đã chỉ ra rằng bài toán M A(Ω, µ) có thểgiải được khi độ đo µ thỏa mãn một vài điều kiện Gần đây, trong [37],N.X Hồng đã nghiên cứu bài toán M A(Ω, µ) khi Ω là một tập F-mởtrong Cn Cụ thể, tác giả đã chỉ ra rằng nếu bài toán M A(Ω, µ) có dướinghiệm thì nó cũng có nghiệm Định lí sau đây chính là định lí chínhtrong [37]

Định lí 1.2.1 Giả sử Ω là một F-miền trong Cn và v, w ∈ F-P SH(Ω)

là các hàm hữu hạn thỏa mãn w ≤ −v Giả sử µ là một độ đo xác địnhtrên QB(Ω) với 0 ≤ µ ≤ (ddcw)n Khi đó tồn tại một hàm F-đa điềuhòa dưới u xác định trên Ω sao cho w ≤ u ≤ −v và

µ để bài toán M A(Ω, µ) có nghiệm, điều kiện này là tương đối khác so

với điều kiện dưới nghiệm trong định lí trên Hơn nữa, trong kết quảcủa chúng tôi thì nghiệm thu được không cần phải hữu hạn.

Định lí 1.2.2 Giả sử Ω là một miền F-siêu lồi bị chặn trong Cn và µ

là một độ đo không âm trên QB(Ω) thỏa mãn

(i) µ(A) = 0 với mọi tập đa cực A ⊂ Ω;

(ii) Tồn tại một hàm ψ ∈ F-P SH−(Ω) sao cho RΩ(−ψ)dµ < +∞

Khi đó, tồn tại một hàm u ∈ F-P SH−(Ω) sao cho N P (ddcu)n = µ

trên QB(Ω)

Để chứng minh định lí trên chúng ta cần bổ đề sau:

Bổ đề 1.2.3 Giả sử D là một miền siêu lồi bị chặn trong Cn và Ω b D

là một miền F-siêu lồi bị chặn Nếu u ∈ E0(Ω) và

trên Ω, do đó theo định nghĩa của w ta có w ≥ g trên D

Để chứng minh (ddcw)n ≤ 1Ω(ddcu)n trong D ta sẽ chứng minh

(ddcw)n ≤ (ddcu)n trên Ω ∩ {w = u} (1.1)và

(ddcw)n ≤ 1Ω(ddcu)n trên D\(Ω ∩ {w = u}) (1.2)

Để chứng minh (1.2) ta khẳng định rằng (ddcw)n = 0 trên D\(Ω ∩ {w =u}) Thật vậy, vì u là một hàm F-liên tục trên Ω, nên hàm

là một hàm đa điều hòa dưới trên D Vì G ⊂ V ⊂ D ∩ {w < a} và

ϕ = w trên D\G nên theo nguyên lí cực đại ϕ < a trên G Do đó

ϕ < a < h trên G Mặt khác, theo định nghĩa của các hàm w và h ta

có w ≤ h trên D, vì vậy ϕ ≤ h trên D Từ đó suy ra ϕ ≤ u trên Ω, do

đó theo định nghĩa của hàm w ta có ϕ ≤ w trên D Suy ra, v ≤ w trên

G Do đó, w là một hàm F-cực đại trong V Vì vậy, w là hàm F-địaphương F-cực đại trong U, Định lí 1 trong [40] suy ra

(ddcw)n = 0 trên U

Mặt khác, do D\(Ω ∩ {w = u}) ⊆ U nên

(ddcw)n = 0 trên D\(Ω ∩ {w = u})

Tiếp theo, chúng ta chứng minh (1.1) Vì Ω là một miền F-siêu lồi bịchặn nên tồn tại miền siêu lồi bị chặn Ω0 trong Cn và γΩ ∈ P SH−(Ω0) ∩

δ, do đó Mệnh đề 2.3 trong [21] suy ra f, fj

là các hàm F-đa điều hòa dưới Vì Ω0 là một tập mở Euclid nên theoMệnh đề 2.14 trong [20] ta có f, fj ∈ P SH(Ω0) Do −12 ≤ u < 0 nêntrên {γΩ > −1 + δ} ta suy ra u = f −1δγΩ, max(u, w +2j1 ) = fj− 1δγΩ,

nên Ω ∩ {w = u} ⊂ Ω ∩ {u < −ε} ⊂ {γΩ > −1 + 2δ}, do đó tồn tạimột dãy giảm các hàm F-liên tục bị chặn {χk} với giá compact trong

{γΩ > −1 + δ} sao cho χk & 1K khi k % +∞

Vậy, (ddcw)n ≤ (ddcu)n trên Ω ∩ {w = u}.

Bây giờ, chúng tôi chứng minh Định lí 1.2.2

Chứng minh Bằng cách thay thế ψ bởi max(ψ, h) với h ∈ E0(Ω) nênkhông mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sửψ ∈ E0(Ω)và−1 ≤ ψ <

0 trong Ω Vì Ω là miền bị chặn nên tồn tại r > 0 sao cho Ω b B(0, r).Cho j ≥ 1 là một số tự nhiên Ta có

Theo Định lí 1.1 trong [37], chúng ta có thể tìm được uj ∈ F-P SH(Ω)

sao cho j max(Pj

Thật vậy, trước tiên ta thấy ajj(j + 1)ψ ∈ E0(Ω) và

trên Ω ∩ {ψ > −12} Do đó, áp dụng Mệnh đề 3.4 trong [46] chúng ta cóZ

wj := sup{ϕ ∈ P SH−(B(0, r)) : ϕ ≤ vj trên Ω}

thuộc E0(B(0, r)) và (ddcwj)n ≤ 1Ω(ddcvj)n trong B(0, r) Hơn nữa, do

vj giảm nên wj cũng giảm trên B(0, r) Do đó w := limj→+∞wj ∈

Vì vậy, theo Định lí 2.3 trong [20] chúng ta suy ra tập B(0, r) ∩ {w =

−∞} không có điểm F-trong

Giả sử, u ≡ −∞ trên G, suy ra w ≡ −∞ trên G vì w ≤ v = u

trên G Do đó, G ⊂ B(0, r) ∩ {w = −∞}, điều này mâu thuẫn với

B(0, r) ∩ {w = −∞} không có điểm F-trong Vì vậy, u 6≡ −∞ trên Ω

Mệnh đề 1.2.4 Giả sử Ω là một miền F-siêu lồi bị chặn trong C màkhông có điểm trong Euclid Khi đó, tồn tại một độ đo không âm µ xácđịnh trên QB(Ω) sao cho

(i) µ triệt tiêu trên tất cả các tập con đa cực của Ω;

(ii) RΩ(−ψ)dµ < +∞ với ψ ∈ F-P SH−(Ω);

(iii) Mọi hàm điều hòa dưới w trên một lân cận Euclid của Ω đềukhông thỏa mãn phương trình

Vì B(aj, rj) ∩ {ϕj > −1} là một tập F-mở, nên theo Hệ quả 3.10 trong[20] chúng ta có uj,k ∈ SH−(Ω0) Mệnh đề 3.2 trong [21] suy ra uj,kj

là F-cực đại trên F-phần trong của Ω0\(B(aj, rj) ∩ {ϕj > −1}) Do

B(aj, rj) ∩ {ϕj ≥ −1} là một tập F-đóng, nên theo Định lí 4.8 trong[21] (hoặc xem trong [40]) chúng ta có

ddcuj,kj = 0 trên Ω0\(B(aj, rj) ∩ {ϕj ≥ −1}) (1.5)Bây giờ, chúng ta chỉ ra rằng uj,k & uj trong Ω0 khi k % +∞ Thậtvậy, vì uj ≤ uj,k+1 ≤ uj,k trong Ω0 nên vj := limkuj,k ∈ SH−(Ω0) và

vj ≥ uj Theo Bổ đề 3.3 trong [1] ta có RΩ0 ddcvj ≤ R

Ω 0 ddcuj Mặt khác,bởi vì uj = vj trên B(aj, rj) ∩ {ϕj > −1} nên theo Định lí 1.1 trong[29] chúng ta có

trong Ω0 Theo Định lí 3.6 trong [1] chúng ta có vj = uj trong Ω0, và do

đó, uj,k & uj trên Ω0 khi k % +∞ Vì vậy, Hệ quả 3.4 trong [1] suy ra

Kết luận của Chương 1

Trong chương này, chúng tôi đã trình bày một số kiến thức về miền

F-siêu lồi bị chặn và các lớp Cegrell cho các hàm F-đa điều hòa dướixác định trên các miền F-siêu lồi bị chặn Hơn nữa, chúng tôi đã đưa

ra một điều kiện đủ trên miền Ω và độ đo µ để bài toán M A(Ω, µ) là

có nghiệm

Tính ổn định nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trên

miền F -siêu lồi bị chặn

Phương trình Monge-Ampère phức cũng là một dạng của phươngtrình đạo hàm riêng Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trìnhMonge-Ampère phức được một số các nhà toán học trên thế giới quantâm như U Cegrell, S Ko lodziej, Y Xing và một số nhà toán học khác.Trong chương một của Luận án chúng tôi đã chỉ ra sự tồn tại nghiệm củabài toán M A(Ω, µ) trên miền F-siêu lồi bị chặn Mục đích của chúngtôi trong chương này là nghiên cứu tính ổn định nghiệm của bài toán

M A(Ω, µ) trên miền F-siêu lồi bị chặn

2.1 Sự hội tụ F -địa phương và dung lượng cho các tập F -mở

Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của bài toán M A(Ω, µ) chúng tôicần sự hội tụ của dãy độ đo xác định trên các tập F-mở Năm 2014,trong [21], M.El Kadiri và I.M Smit nghiên cứu tính cực đại của các

36