Với giá trị nào của n thì hệ vô nghiệm... Chứng tỏ hệ phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.. Tìm m để phương trình có nghiệm x0,y0 sao cho x0 đạt giá trị lớn nhất.. Tìm giá trị c
Trang 1MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH –
THCS THÁI THỊNH
I - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
Dạng 1: Giải hệ phương trình cơ bản và đưa được về dạng cơ bản
Bài 1.Giải hệ phương trình :
x y
b)
6 3
1 2 7
y x
y x
0 2
3
y x
y x
d)
7 3
8 2
y x
y x
1
x y
x y
1 3
1 3 2 2
y x
y x
x y
x y
x y
x y
x y
x y
k) 3 2 11
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
10 0
x y
x y
x y
x y
x y
x y
3x 2y 4
o)
2x y 5
4x 2y 3 r)
6x 3y 5
2x 3y 5 v)
4x 6y 10
3x 4y 2 0 j)
5x 2y 14
Bài 2.Giải hệ phương trình :
x y
x y
2) 0,3 0, 5 3
1, 5 2 1,5
x y
4) 2 3 11
x y
5)
3
x y
6)
2
1 5
x y
x y
7)
x y
8) 0, 2 0,1 0,3
x y
9)
0, 2 1, 7 18,1
3, 2 20, 6
x y
10)
5 1,5 4,5
x y
x y
x y
14 5
x y
x y
14) 2,3 0,8 5
x y y
x y
x y
6
x y
x y
Trang 217) 3 2 13
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
22) 1,3 4, 2 12 0,5 2,5 5,5
23) 1, 7 2 3,8 2,1 5 0, 4
x y
x y
10 11 31
x y
x y
26) 0,35 4 2, 6
0, 75 6 9
x y
x y
27) 3,3 4, 2 1
15 21 0,5
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
Bài 3 Giải hệ phương trình
3x 2 2y 3 6xy
1)
4x 5 y 5 4xy
2x-3 2y 4 4x y 3 54 2)
x 1 3y 3 3y x 1 12
2y-5x y 27
3)
x 1 6y 5x
y
7x 5y-2
8
x 3y 4)
6x-3y 10
5 5x 6y
5)
6)
7)
2 2
8)
3 7 2 5 2 1 3
9)
4
1
10)
1
s
t
3x 2 2y 3 6xy
11)
4x 5 y 5 4xy
2x-3 2y 4 4x y 3 54 12)
x 1 3y 3 3y x 1 12
2y-5x y 27
13)
x 1 6y 5x
y
7x 5y-2
8
x 3y 14)
6x-3y 10
5 5x 6y
Dạng 2: Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Trang 3Bài 4 Giải hệ phương trình bằng đặt ẩn phụ:
3
x 2y y 2x
1)
1
x 2y y 2x
x 1 3y
7
x 1 y 2 3)
4
x 1 y 2
3x 2
4
x 1 y 4 2)
2x 5
9
x 1 y 4
x 1 3y
7
x 1 y 2
3)
4
x 1 y 2
2
2
2 x 2x y 1 0 4)
3 x 2x 2 y 1 7 0
5 x 1 3 y 2 7
5)
2 4x 8x 4 5 y 4y 4 13.
1 2 6)
5 2
x y
x y
2 7)
1, 7
x x y
x x y
7
8)
4
Bài 5 Giải hệ phương trình:
a)
2
5 0
x y
b)
0 1
3 3
xy
xy y x
c)
8
16
2 2
y x
y x
Bài 6 Giải hệ phương trình:
1,
xy y y
xy y y
2,
1 1
3 2 2
2 2
1 1 1
x y
y
7
5
2 2
xy y x
xy y x
4,
y y
x
x
y
x
2 2
2
2
1
5,
2
6,
0 4 4
3 2 5
2
2 2
xy y
y xy x
7,
3
1
x y x y
x y x y
8,
( ) 12 ( ) 30
xy x y
yz y z
zx z x
9,
1 1
3 2 2
2 2
1 1 1
x y
y x
Trang 410,
2
2
x y
x y
xy
xy
11,
7 28 7
x xy y
y yz z
z xz x
y x
x y
13,
2
2
1
3 1
3
x x
x x
14,
7 21
x xy y
x x y y
3 2
y x
16,
3 3
2 2
8
2 2
2 2
15 3
x y x y
x y x y
18,
2 2
4 0
19,
x yx
y xy
2 2
3 3
1 3
x y xy
21,
22, 22 2
2 3 2
x y
3 5 34
x y
x y
24,
3 2 22
7 5 10
x y
x y
Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước
Bài 6 Tìm m để hệ phương trình vô nghiệm ? Có vô số nghiệm ?
m y x
y x
2 2 2
2 4 4
Bài 7 Cho hệ phương trình :
a y x
a y
x
2
3 3 2
1.Tìm a biết y=1
2.Tìm a để : x2 + y2 =17
Bài 8: Cho hệ phương trình :
3 1
1 2
mx y
x y
(I)
Trang 51 Giải hệ phương trình (1) khi 3
2
m
2 Tìm m để hệ phương trình (1) có nghiệm 2
2
x y
Bài 9: Cho hệ phương trình 2
x m y
1.Giải hệ với m = 1
2 Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm
Bài 10 Cho hệ phương trình:
1
x my
(m là tham số) 1.Giải hệ với m = -2
2.Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn y = x2
Bài 11 Cho hệ phương trình
( 1) 3 1
x y m
a) Giải hệ phương trình với m = 2
b)Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ
nhất
Bài 12 Cho hệ phương trình:
a y ax
y x a
2
4 1
(a là tham số)
1 Giải hệ khi a=1
2 Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, hệ luôn có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x + y ≥ 2
Bài 13 Cho hệ phương trình(ẩn là x, y ):
a y x
a ny x
3
7 2
2 19
1 Giải hệ với n = 1
2 Với giá trị nào của n thì hệ vô nghiệm
Trang 6
Bài 14 Cho hệ phương trình:
1 2
1
2
z xy
z y x
(ở đó x, y, z là ẩn)
1 Trong các nghiệm (x0; y0; z0) của hệ phương trình, hãy tìm tất cả những nghiệm có z0 = - 1
2 Giải hệ phương trình trên
Bài 15 Cho hệ phương trình:
2 2
1 2
m y mx
1 Chứng tỏ hệ phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m
2 Gọi (x0;y0) là nghiệm của phương trình, chứng minh với mọi giá trị của
m luôn có: x0
2
+ y0
2
= 1
Bài 16 Cho hệ phương trình:
0 1
1 2 1
2
y x y
x m y x
y x
1 Tìm m để phương trình có nghiệm (x0,y0) sao cho x0 đạt giá trị lớn nhất Tìm nghiệm ấy?
2 Giải hệ phương trình khi m = 0
Bài 17 Cho hệ phương trình :
2
5 3 2
y x
a y x
Gọi nghiệm của hệ là ( x , y ) , tìm giá trị của a để biểu thức P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 18 Cho hệ phương trình:
1 2
2
y ax
ay x
(x, y là ẩn, a là tham số)
1 Giải hệ phương trình trên
2 Tìm số nguyên a lớn nhất để hệ phương trình có nghiệm (x0,y0) thoả mãn bất đẳng thức P = x0y0 < 0
Trang 7
Bài 19 Cho hệ phương trình:
1
2
2
a xy
y x
trong đó x, y là ẩn, a là số cho trước
1 Giải hệ phương trình đã cho với a=2011
2 Tìm giá trị của a để hệ phương trình đã cho có nghiệm
Bài 20 Cho hệ phương trình:
24 12 1
12 1 3
y x m
y m x
1 Giải hệ phương trình
2 Tìm m để hệ phương trình có một nghiệm (x; y) sao cho x < y
Bài 21 Cho hệ phương trình:
80 50 ) 4 (
16 ) 4 ( 2
y x n
y n x
1 Giải hệ phương trình
2 Tìm n để hệ phương trình có một nghiệm (x; y) sao cho x + y > 1
Bài 22 Cho hệ phương trình:
2
2 1 1
a xy
a y x
a) Giải hệ phương trình với a = 1
b)Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất
Bài 23 Cho hệ phương trình :
1 3
5 2
y mx
y mx
a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m
c)Tìm m để hệ phương trình có một nghiệm (x; y) sao cho x – y = 2
Bài 23 Cho hệ phương trình :
6 4
3
y mx
my x
a)Giải hệ khi m = 3
Trang 8b)Tìm m để hệ phương trình có một nghiệm (x; y) sao cho x > 1 , y > 0
Bài 25 Cho hệ phương trình
n y x
ny mx
2
5
a)Giải hệ khi m = n = 1
b)Tìm m , n để hệ phương trình có một nghiệm (x; y) sao cho
1 3
3
y x
Bài 26.Cho hệ phương trình :
2
y x
m my x
a) Giải hệ khi m = 1
b) Giải và biện luận hệ phương trình
Bài 27 Cho hệ phương trình :
1 3
5 2
y mx
y mx
a) Giải hệ phương trình với m = 1
b) Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m
c) Tìm m để hệ phương trình có một nghiệm (x; y) sao cho x2 + y2 = 1
Bài 28 Cho hệ phương trình
5 3
3
my x
y mx
a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Tìm m để hệ phương trình có một nghiệm (x; y) sao cho 1
3
) 1 ( 7
m
m y x
Bài 29.Cho hệ phương trình
1 2
7
2
y x
y x a
a) Giải hệ phương trình khi a = 1
b) Gọi nghiệm của hệ phương trình là ( x , y) Tìm các giá trị của a để x + y = 2
Bài 30 Cho hệ phơng trình :
Trang 9
2
y x
m my x
a) Giải hệ khi m = 1
b) Giải và biện luận hệ phương trình
Bài 31 Cho hệ phương trình :
1 3
5 2
y mx
y mx
a) Giải hệ phương trình với m = 1
b) Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m
c) Tìm m để hệ phương trình có một nghiệm (x; y) sao cho x2 + y2 = 1
Bài 32 Cho hệ phương trình
1 2
7
2
y x
y x a
a) Giải hệ phương trình khi a = 1
b) Gọi nghiệm của hệ phương trình là ( x , y) Tìm các giá trị của a để x + y = 2
Bài 33 Cho hệ phương trình :
1 3
5 2
y mx
y mx
a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m
c) Tìm m để x – y = 2
Bài34 Cho hệ phương trình :
6 4
3
y mx
my x
a) Giải hệ khi m = 3
b) Tìm m để hệ phương trình có một nghiệm (x; y) sao cho x > 1 , y > 0
II - Một số hệ bậc hai đơn giản:
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I
Ví dụ: Giải hệ phương trình
28 y x 3 y x
11 xy y x
2 2
Bài tập tương tự:
Giải các hệ phương trình sau:
Trang 102 2
2 2
x y x y 8
1)
x y xy 7
x xy y 4 2)
x xy y 2
xy x y 19 3)
x y xy 84
x 3xy y 1
4)
3x xy 3y 13
x 1 y 1 8 5)
x x 1 y y 1 xy 17
x 1 y 1 10 6)
x y xy 1 3
2 2
x xy y 2 3 2
7)
2
x xy y 19 x y 8)
x xy y 7 x y
2
2 2
9)
5 x y 5xy
x y y x 30 10)
x x y y 35
Dạng 2: Hệ đối xứng loại II
Ví dụ: Giải hệ phương trình
x
2 1 y
2y 1 x 3 3
Bài tập tương tự:
Giải các hệ phương trình sau:
2
2
1)
x y 2 y 2)
3 3
3)
2
2
4)
5)
y
x 3y 4
x 6)
x
y 3x 4
y
2x
7)
2y
3 3
8)
3x 7y y
3y 7x x 10) x 3y y
y 3x x 9)
3 3 2
2
Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số
Giải các hệ phương trình sau:
2
1)
x y
x xy
12 2)
8
x xy y
xy x y
2 2
3)
xy x x
x xy y x
4)
4
x y xy
xy y x
5)
x y
7)
x y
y x
Trang 112 0
8)
x y
x y
9)
x y xy
x y xy y
6)
x y
10)
11)
12)
13)
14)
15)
III - Bài tập tổng hợp:
Bài 1: Cho hệ phương trình:
1
my x
m y x
( m là tham số )
1, Giải hệ phương trình với m = - 2
2, Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: y = x2
Bài 2: Cho hệ phương trình:
m y x
y
( m là tham số )
1, Giải hệ phương trình với m = 3
2, Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: 2y = x
Bài 3: Cho hệ phương trình:
m y x
m y x
2
3 3
2
( m là tham số )
1, Tìm m biết y = 1
2, Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: x2 + y2 = 17
3, Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) Khi đó tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức P = x.y
Bài 4: Cho hệ phương trình:
1 2
2
y mx
my x
( m là tham số )
1, Giải hệ phương trình với m = 2
2, Tìm các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: x > 0
và y > 0
Bài 5: Cho hệ phương trình:
m y x
my
( m là tham số )
1, Giải hệ phương trình với m = - 2
Trang 122, Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: y = x2
Bài 6: Cho hệ phương trình:
4
8 4
y mx
my x
( m là tham số )
1, Giải hệ phương trình với m = -1
2, Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: x + y = 2
Bài 7: Cho hệ phương trình:
6 1 2
2
y m x
my x
( m là tham số )
1, Giải hệ phương trình với m = 1
2, Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm
Bài 8: Cho hệ phương trình:
1
y mx
m y x
2
1 ( m là tham số )
1, Giải hệ phương trình với m = 1
2, Tìm các giá trị của m để hai đường thẳng có phương trình (1) và (2) cắt nhau tại một điểm trên Parabol y = - 2x2
Bài 9: Cho hệ phương trình:
334 3 2
1
y x
y mx
( m là tham số )
1, Giải hệ phương trình với m = 1
2, Tìm các giá trị của m để hệ vô nghiệm
Bài 10: Cho hệ phương trình:
4
4
y x
m y x
( m là tham số )
1, Giải hệ phương trình với m = 1
2, Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: y = x2
3, Tìm các giá trị của m để hai đường thẳng thuộc hệ cắt nhau tại điểm M (x; y) sao cho điểm M cách gốc toạ độ O một khoảng là OM 5
Bài 11: Cho hệ phương trình:
1 2
1 2
y mx
my x
( m là tham số )
1, Giải hệ phương trình với m = - 3
2, Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn:
2
1
2 2
y x
Trang 13Bài 12: Cho hệ phương trình:
m y x
my x
2
1 2
( m là tham số )
1, Giải hệ phương trình với m = -3
2, Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: x + y =
2
1
Bài 13: Cho hệ phương trình:
m y x
my
( m là tham số )
1, Giải hệ phương trình với m = - 3
2, Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: x2 + y2 = 17
Bài 14: Cho hệ phương trình:
2
3
2
m y mx
m my x
( m là tham số )
1, Giải hệ phương trình với m = - 1
2, Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: x2- 2x- y > 0
Bài 15: Cho hệ phương trình:
1 2
2
a y x
a y ax
( với a là tham số )
1, Giải hệ phương trình khi a = - 2
2, Tìm giá trị của a để hệ có nghiêm duy nhất (x; y) thoả mãn: x - y = 1
Bài 16: Cho hệ phương trình:
6 4
3
y ax
ay x
( với a là tham số )
1, Giải hệ phương trình khi a = - 3
2, Tìm giá trị của a để hệ có nghiêm duy nhất (x; y)
Bài 17: Cho hệ phương trình:
1
1
y x
y kx
( với k là tham số )
1, Tìm các giá trị của k để hệ nhận x = -1 ; y = 0 là nghiệm
2, Tìm giá trị của k để hệ có nghiêm duy nhất (x; y)