Tài liệu Chương 4 - Biểu diễn tín hiệu bằng chuỗi fourier pptx

CHƯƠNG IV BIỂU DIỄN TÍN HIỆU BẰNG CHUỖI FOURIER Lê Vũ Hà ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Công nghệ 2009... Tín hiệu ra có cùng tần số với tần số của tínhiệu vào dạng sin.. Sự thay

CHƯƠNG IV BIỂU DIỄN TÍN HIỆU BẰNG

CHUỖI FOURIER

Lê Vũ Hà

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Công nghệ

2009

Xem xét một hệ thống tuyến tính bất biến có đáp

ứng của hệ thống được tính như sau:

y(t) = h(t) ∗ x(t) =

−∞

h(τ )e jω(t−τ ) d τ

−∞

h(τ )e −jωτ d τ = H(ω)e jωt

ở đó, H(ω) là đáp ứng tần số:

H(ω) =

−∞

h(τ )e −jωτ d τ

đặc trưng cho đáp ứng của hệ thống với tần số

Tín hiệu ra có cùng tần số với tần số của tín

hiệu vào dạng sin

Sự thay đổi về biên độ và pha của tín hiệu ra so với tín hiệu vào được đặc trưng bởi đáp ứng tần

số H(ω) với hai thành phần sau đây:

|H(ω)| =

q

được gọi là đáp ứng biên độ, và

Re[H(ω)]

được gọi là đáp ứng pha của hệ thống

Khi đó, ta có thể biểu diễn tín hiệu ra dưới dạng sau đây:

y(t) = |H(ω)|e jφ(ω) e jωt = |H(ω)|e j[ωt+φ(ω)]

nghĩa là, so với tín hiệu vào thì tín hiệu ra có

biên độ lớn gấp |H(ω)| lần và lệch pha đi một

góc là φ(ω)

Một tín hiệu x(t) tuần hoàn với chu kỳ T có thể

biểu diễn được một cách chính xác bởi chuỗi Fourier dưới đây:

x(t) =

∞

X

k=−∞

c k e jkω0t

x(t).

Nói cách khác, mọi tín hiệu tuần hoàn đều có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu dạng sin phức có tần số là một số

nguyên lần tần số cơ bản

Điều kiện để sai số bình phương trung bình giữa

x(t) và biểu diễn chuỗi Fourier của x(t) bằng

không là x(t) phải là tín hiệu công suất, nghĩa là:

1

T

0

Điều kiện hội tụ tại mọi điểm (điều kiện

Dirichlet):

x(t) bị chặn.

Số điểm cực trị trong một chu kỳ của x(t) là hữu hạn.

Số điểm không liên tục trong một chu kỳ của x(t) là

hữu hạn.

Đáp ứng của một hệ thống tuyến tính bất biến

có đáp ứng tần số là H(ω) với mỗi thành phần

với tín hiệu vào x(t) sẽ biểu diễn được như sau:

y(t) =

∞

X

k=−∞

c k H(kω0)e jkω0t

Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Tính trực giao của các thành phần {e }

Hai tín hiệu f (t) và g(t) tuần hoàn với cùng chu

kỳ T được gọi là trực giao nếu điều kiện sau đây

được thỏa mãn:

0

f (t)g∗(t)dt = 0

∀k 6= l :

0

e jkω0t e −jlω0t dt = 0

Các hệ số của chuỗi Fourier của tín hiệu tuần

hoàn x(t) được tính bằng cách sử dụng tính

chất trực giao của các tín hiệu thành phần

0

x(t)e −jkω0t dt =

0

∞

X

l=−∞

c l e jlω0t e −jkω0t dt

=

∞

X

l=−∞

c l

0

e jlω0t e −jkω0t dt

T

0

x(t)e −jkω0t

dt

Tính tuyến tính:

x(t) =

∞

X

k=−∞

∞

X

k=−∞

d k e jkω0t

→ αx(t) + βz(t) =

∞

X

k=−∞

(αc k + βd k)e jkω0t

Dịch thời gian:

x(t) =

∞

X

k=−∞

c k e jkω0t

∞

X

c k e −jkω0t0
e jkω0t

Đạo hàm:

x(t) =

∞

X

k=−∞

c k e jkω0t → dx(t)

∞

X

k=−∞

(jkω0c k)e jkω0t

Tích phân:

x(t) =

∞

X

k=−∞

c k e jkω0t

→

−∞

x(τ )d τ =

∞

X

k=−∞

c k jkω0e

jkω0t

Công thức Parseval:

1

T

0

∞

X

k=−∞

|c k|2

x(t) → hàm biểu diễn giá trị |ck|2 theo tần số

ωk = kω0 (k ∈ Z ) cho ta biết phân bố công suất

của tín hiệu x(t) và được gọi là phổ mật độ công suất của x(t).

Chú ý: phổ mật độ công suất của tín hiệu tuần

hoàn là một hàm theo tần số rời rạc

Tính đối xứng: với tín hiệu tuần hoàn x(t) có

biểu diễn chuỗi Fourier

x(t) =

∞

X

k=−∞

c k e jkω0t

phổ mật độ công suất của x(t) là một hàm chẵn,

Nếu x(t) là tín hiệu thực: ∀k : c k =c∗

−k.

Nếu x(t) là tín hiệu thực và chẵn: ∀k : c k =c −k.

Nếu x(t) là tín hiệu thực và lẻ: ∀k : c k = −c −k.