các chuyên đề giải tích lớp 12 lí thuyết bài tập và lời giải

Các chuyên đề Toán học về giải tích chương trình THPT cơ bản đến nâng cao lớp 12 được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết từng bài. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức toán học về giải tích và để ôn thi THPQG và thi đại học.

NGUYỄN PHÚ KHÁNH NGUYỄN TẤT THU – NGUYỄN TẤN SIÊNG NGUYỄN ANH TRƯỜNG – ĐẬU THANH KỲ ( Nhóm giáo viên chuyên toán THPT )

Dành cho thí sinh lớp 12 ôn tập và thi Đại học,

Cao đẳng.

Biên soạn theo nội dung và cấu trúc đề thi

của Bộ GD &ĐT.

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Lời nói

đầu

Các em học sinh thân mến!.

“ Bài giảng trọng tâm theo chuyên đề giải

tích 12 – tập 2 “ là một trong những cuốn thuộc bộ

sách “ Bài giảng trọng tâm theo chuyên đề :

lớp 10,11,12 “, do nhĩm tác giả chuyên tốn

THPT biên soạn

Với cách viết khoa học và sinh động giúp bạn đọc tiếp cận với mơn tốn một cách tự nhiên, khơng áp lực, bạn đọc trở nên tự tin và năng động hơn; hiểu

rõ bản chất, biết cách phân tích để tìm ra trọng tâm của vấn đề và biết giải thích, lập luận cho từng bài tốn Sự đa dạng của hệ thống bài tập và tình

huống giúp bạn đọc luơn hứng thú khi giải tốn.

Tác giả chú trọng biên soạn những câu hỏi mở, nội dung cơ bản bám sát sách giáo khoa và cấu trúc đề thi Đại học, đồng thời phân bài tập thành các dạng tốn cĩ lời giải chi tiết Hiện nay đề thi Đại học khơng khĩ, tổ hợp của nhiều vấn đề đơn giản,

nhưng chứa nhiều câu hỏi mở nếu khơng nắm chắc

lý thuyết sẽ lúng túng trong việc tìm lời giải bài tốn Với một bài tốn, khơng nên thỏa mãn ngay với một lời giải mình vừa tìm được mà phải cố gắng tìm nhiều cách giải nhất cho bài tốn đĩ, mỗi một cách giải sẽ cĩ thêm phần kiến thức mới ơn tập

Môn Toán là một môn rất ưa phong cách tài tử, nhưng phải là tài tử một cách sáng tạo và thông minh Khi giải một bài toán, thay vì dùng thời gian để lục lọi trí nhớ, thì ta cần phải suy nghĩ phân tích để tìm ra phương pháp giải quyết bài toán đó Đối với Toán học, không có trang sách nào là thừa Từng trang, từng dòng đều phải hiểu Môn Toán đòi hỏi phải kiên nhẫn và bền bỉ ngay từ những bài tập đơn giản nhất, những kiến thức cơ bản nhất Vì chính những kiến thức cơ bản mới giúp bạn đọc hiểu được những kiến thức nâng cao sau này.

Giờ đây, chúng tôi chợt nhớ tới câu nói của Ludwig Van Beethoven: “ Giọt nước có thể làm mòn tảng

đá, không phải vì giọt nước có sức mạnh, mà do nước chảy liên tục ngày đêm Chỉ có sự phấn đấu không mệt mỏi mới đem lại tài năng Do đó ta có thể khẳng định, không nhích từng bước thì không bao giờ có thể đi xa ngàn dặm”.

Mặc dù tác giả đã dành nhiều tâm huyết cho cuốn sách, song sự sai sót là điều khó tránh khỏi Chúng tôi rất mong nhận được sự phản biện và góp ý quý báu của quý độc giả để những lần tái bản sau cuốn sách được hoàn thiện hơn.

Thay mặt nhóm biên soạn Chủ biên: Nguyễn Phú Khánh.

HÀM S MŨ VÀ HÀM S LOGARIT Ố Ố

HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1 Lũy thừa với số mũ nguyên:

a Định nghĩa: Cho n là số nguyên dương và số thực a Khi đó:

n m mn

n m= thì n p n q

3 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

a Định nghĩa: Cho số thực a 0> và số hữu tỉ r m

b Tính chất: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có đầy đủ các tính chất

như lũy thừa với số mũ nguyên

4 Lũy thừa với số mũ thực

a Định nghĩa: Cho số thực dương a và α là số vô tỉ Khi đó tồn tại dãy số hữu tỉ ( )r có giới hạn n α và rn

n

→+∞

b Tính chất: Lũy thừa với số mũ thực có đầy đủ các tính chất

như lũy thừa với số mũ nguyên

Lưu ý :

∗ Lũy thừa với số mũ hữu tỉ và số thực thì cơ số dương

• Nếu α là số nguyên dương thì tập xác định là ¡

• Nếu α nguyên âm hoặc bằng 0 thì tập xác định là \ {0}¡

• Nếu α không là số nguyên thì tập xác định là (0;+∞)

u(x)α ' u'(x) u(x) α−

u'(x)u(x) '

1 0,25

3 5 2

6log a 6log a

6log alog a 1

1 Tính log 24, biết 36 log 27 a12 =

2 Tính log 15 theo a,b, biết 24 log 5 a,2 = log 3 b5 =

3 Tính log 24 theo a,b, biết 25 log 15 a,6 = log 18 b12 =

4 Tính log126150 theo a,b,c , biết log 3 a,2 = log 5 b,3 = log 7 c.5 =

Vậy, log 24 3log 2 log 336 36 36 9 a

a log 15 log 3 log 5

log 2 log 2 log 3 x y1

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:

15 theo a,b Biết log 2 a,log 3 b5 = 5 =

3 Biết log 15 a; log 18 b6 = 12 = Tính log 24 theo a,b25

4 Biết a log 3; b log 7= 2 = 3 Tính log 14 theo a,b.24

Bài 3: Tìm m,n để các biểu thức sau không phụ thuộc vào a,b 0>

3 2 log 3 và2

3

log 4

Lời giải.

1

1 2

1 2

Ví dụ 2.2.1 Tìm a,b thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

2a 3b 21+ = và 2lg(a 3b) lg4 lga logb− − = +

Lời giải.

Điều kiện: a 3b 0> >

Ta có: 2lg(a 3b) lg4 lga logb− − = +

⇔lg(a 3b)− 2=lg(4ab)⇔ −(a 3b)2=4ab

1 Điều kiện: x,y 0>

Giả thiết có x2+4y2=12xy⇔x2+4y2+4xy 16xy=

x x 2 2

1 Gọi c là cạnh huyền, a và b là hai cạnh góc vuông của một tam

giác vuông, trong đó c b 1,a 1± ≠ ≠ Chứng minh rằng:

c b c b c b c b

log + a log+ − a 2log= + a.log − a

2 Cho a,b 0> thỏa mãn a2+b2=7ab Chứng minh rằng:

6 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác ABC∆ với 0 c b 1< − ≠ và

c b 1+ ≠ Chứng minh logc b+ a log+ c b− a 2log= c b+ alogc b− a⇔ ∆ABC

vuông tại C

CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC

Bài 3:

1 Cho logabc2012 log 2012 log 2012 log 2012= a + b + c Chứng minh rằng: trong bà số a,b,c luôn tồn tại một số nhỏ hơn 1.

2 Cho a,b 0> thỏa mãn a2+b2=14ab Chứng minh rằng:

Bài 5: Cho các số thực a,b,c 2≥ Chứng minh bất đẳng thức:

Bài 7:

1 Chứng minh rằng: 3sin x2 +3cos x2 ≥2 3 với x∀ ∈¡

2 Cho logabc2010 log 2010 log 2010 log 2010= a + b + c Chứng minh rằng trong bà số a,b,c luôn tồn tại một số nhỏ hơn 1

3 Cho a,b 0> thỏa mãn a2+b2=14ab Chứng minh rằng:

x 3

x 12

CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC

Bài 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

y= f x  ta lấy loganepe hai về

rồi lấy đạo hàm Cụ thể: lny g x lnf x( ) ( ) y' g x lnf x '( ) ( )

Vậy a 6,b 1= = thoả yêu cầu bài toán.

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Tìm các giới hạn sau :

Vậy phương trình cho không có nghiệm thực

2 Đặt t e= x bài toán trở thành “ Chứng minh rằng t 0∀ > luôn có

= − với 0 x 1< < Tương tự trên, hàm số f x ( )

nghịch biến trên khoảng ( )0;1 , suy ra f x( ) ( )>f 1 =0, bất đẳng thức đẳng thức đã cho đúng

Ví dụ 4.5.1 Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn z y z 3+ + = Tìm giá trị nhỏ nhất của:

1 Nếu y e= sinx thì y'cosx y.sinx y" 0− − =

2 Nếuy ln cosx= ( ) thì y'tanx y" 1 0− − =

Bài 3:

1 y xlog 2= x (x 0,x 1> ≠ ) Giải bất phương trình: y' 0≤

2 y e= − +x2 x.Giải phương trình: y'' y' 2y+ + =0.

3 y ln x=  + x2+1÷

Bài 4: Xét tính đơn điệu của hàm số : y ln x= (− −4 3x2+4)

101

m

332

5 log a log c 2log bx + x = x ⇔log ac log bx = x 2⇔ac b= 2

6 logc b+ a log+ c b− a 2log= c b+ alogc b− a

Tương tự: alog cb +blog ac ≥2a; blog ac +clog ba ≥2b

Cộng ba BĐT trên lại với nhau, ta có:

log cb log ac log ba 3

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho vế trái,

ta được điều phải chứng minh

(3)3

(4)2

0 x

1 Ta có y' cosx.e= sinx⇒y''= −sinx.esinx+cos x.e2 sinx

y'' sinx.y cosx.y' y'cosx y.sinx y" 0

Lập bảng biến thiên, ta có được :

Vậy f t nghịch biến trên ( ) (0;+∞) mà x y 0> > ⇒f x( ) ( )<f y vậy ( )1 đúng nên bất đẳng thức được chứng minh.

PHƯƠNG TRÌNH MŨ - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

Dạng 1 Biến đổi, quy về cùng cơ số Phương pháp:

Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau:

Vì các cơ số của các lũy thừa đều viết được dưới dạng lũy thừa cơ số

2 nên ta biến đổi hai vế của phương trình về lũy thừa cơ số 2 và so sánh hai số mũ

4 + + = ⇒1 2x +6x 5 0+ = , phương trình này vô nghiệm.

Vậy, phương trình cho có 2 nghiệm x 1,= x 2=

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Giải các phương trình:

Dạng 2 Đặt ẩn phụ Phương pháp:

( ) ( )

2f x f x

Dạng 2: m.af x( ) +n.bf x( ) + =p 0 , trong đó a.b 1=

Vậy, phương trình cho có nghiệm x 1=

Ví dụ 2.2.2 Giải các phương trình:

Vậy phương trình có 2 nghiệm x= −1,x 2=

Chú ý: Để ý bài toán cho không có tham số nên ta sử dụng điều kiện

cho ẩn phụ chỉ là t 0> và nếu t 1

2

tham số thì điều kiện đúng của t :

1 2



Vậy, phương trình đã cho có nghiệm x 1, x 4= =

3 Điều kiện để phương trình có nghĩa :

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Giải các phương trình:

1 101 x+ 2−101 x− 2=99 2 252x x 1− +2 +92x x 1− +2 =34.152x x− 2

3

2 2x x 2

1 Phương trình

2 2

Chú ý: Lấy logarit 2 vế, bài toán cho lời giải đẹp.

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm x log 7 2= 2 − , x 2=

3 Lấy logarit hai vế với cơ số 8, ta được

Vậy phương trình có nghiệm: x= −1,x 1 log 8= − 5

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Giải các phương trình:

Phương pháp:

Giải phương trình: ax=f x( ) (0 a 1< ≠ ) ( )∗

( )∗ là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị y a= x

(0 a 1< ≠ ) và y f x= ( ) Khi đó ta thực hiện 2 bước:

Do đó, đồ thị của 2 hàm số f x và ( ) g x cắt nhau tại hai giao điểm( )

có hoành độ x 0= và x 1= Như vậy, x 0= và x 1= là nghiệm phươngtrình

Vậy, phương trình cho có 3 nghiệm: x 0= , x 1= , x 2=

Ví dụ 1.4.2 Giải phương trình: 2x x 2 x3 2 x 2 x3 4x 4

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 1,x 2= =

Chú ý: Ta có thể giải phương trình 2 x 2 4 x+ + = 3 (1) như sau

[ 4;+∞) Suy ra (1) có nghiệm duy nhất x 2=

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Giải các phương trình:

11 5.32x 1− −7.3x 1− + 1 6.3− x+9x 1+ =0

Dạng 5 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Phương pháp:

Đoán nghiệm Chứng minh nghiệm duy nhất.

Chuyển phương trình đã cho về dạng f x( ) =k

Nhẩm 1 nghiệm x x= 0, ta chứng minh x x= 0 là nghiệm duy nhất.Với x x= 0⇒f x( ) ( )=f x0 =k, suy ra x x= 0 là nghiệm phương trình Với x x> 0⇒f x( ) ( )>f x0 =k, suy ra phương trình vô nghiệm

Với x x< 0⇒f x( ) ( )<f x0 =k, suy ra phương trình vô nghiệm

Tính chất 1: Nếu hàm số y f x= ( )luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên ( )a;b thì số nghiệm của phương trình : f x( )=k (trên ( )a;b )không nhiều hơn một và f u( ) ( )=f v ⇔ =u v ∀u,v∈( )a;b

Chứng minh: Ta giả sử f là hàm đồng biến trên ( )a;b

• Nếu u v> ⇒f u( ) ( )>f v

• Nếu u v< ⇒f u( ) ( )<f v

Tính chất 2: Nếu hàm số y f x= ( ) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số y g x= ( )liên tục và luôn nghịch biến (hoặcluôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình :

* Nếu x x> 0⇒f x( ) ( ) ( ) ( )0 >f x0 =g x0 >g x ⇒PT:f x( ) ( )=g x vô nghiệm

* Nếu x x< 0⇒f x( ) ( ) ( ) ( )<f x0 =g x0 <g x ⇒PT:f x( ) ( )=g x vô nghiệmVậy x x= 0 là nghiệm duy nhất của phương trình f x( ) ( )=g x

Tính chất 3: Nếu hàm số y f x= ( ) luôn đồng biến( hoặc luôn nghịch biến) trên D thì f u( ) ( )>f v ⇔ >u v (u v) u,v D< ∀ ∈

Tính chất 4: Cho hàm số y f x= ( ) liên tục trên a;b và có đạo hàm trên khoảng ( )a;b Nếu f a( ) ( )=f b thì phương trình f' x( )=0 có ít nhấtmột nghiệm thuộc khoảng ( )a;b

Điều này trái với giả thiết f a( ) ( )=f b

Vậy phương trình f' x( ) =0 có ít nhất một nghiệm trên ( )a;b

Từ định lí này, ta có được hai hệ quả sau:

Hệ quả 1: Nếu phương trình f x( ) =0 có m nghiệm thì phương trình

( )

f' x =0 có m 1− nghiệm

Hệ quả 2: Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm đến cấp k liên tục trên

( )a;b Nếu phương trình ( )k ( )

trình f( )k 1− ( )x =0 có nhiều nhất là m 1+ nghiệm

Thật vậy: Giả sử phương trình ( )k 1 ( )

f − x =0 có nhiều hơn m 1+ nghiệm thì phương trình f' x( ) =0 có nhiều hơn m nghiệm, điều này trái với giảthiết bài toán.Từ hệ quả 2 ⇒ nếu f' x( )=0 có một nghiệm thì f x( ) =0

có nhiều nhất hai nghiệm

2 Nhận xét x 1= là nghiệm của phương trình đã cho vì 41+51=9

Ta chứng minh phương trình cho có nghiệm duy nhất là x 1=

Thật vậy, xét hàm số f x( ) =4x+5x xác định trên ¡

Vì f' x( ) =4 ln4 5 ln5 0x + x > với mọi x thuộc ¡ nên f x đồng biến trên( )

¡

Do đó :

Với x 1> thì f x( ) ( )>f 1 hay 4x+5x>9, nên phương trình cho không thể có nghiệm x 1>

Với x 1< thì f x( ) ( )<f 1 hay 4x+5x<9, nên phương trình cho không thể

Vậy, phương trình cho có nghiệm: x= −2, x 1=

2 Đặt u x 1,= − v x= 2−x, phương trình cho viết về dạng:

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Giải các phương trình:



Vậy, phương trình cho có 2 nghiệm x= −1 hoặc x 0=

Dạng 7 Tìm tham số thực m thỏa mãn điều kiện I cho

trước

Ví dụ Tìm m để phương trình 1 1 x2 ( ) 1 1 x2

9+ − − m 2 3+ + − +2m 1 0+ = có nghiệm thực

Lời giải.

Điều kiện: 1 x 1− ≤ ≤

Đặt 1 1 x2

t 3= + − , với 1 x 1− ≤ ≤ ⇒ ∈ t 3;9

Phương trình cho trở thành: t2−(m 2 t 2m 1 0+ ) + + = , với t∈ 3;9,

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Cho phương trình: x2 5x 6 1 x2 6 5x ( )

1 Giải phương trình với m 1=

2 Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Bài 2: Tìm m để phương trình :

3 5x 2mx 2 2+ + − 52x 4mx m 2 2+ + + = x2+ 2mx m + có hai nghiệm phân biệt.

4 (m 3)16+ x+(2m 1)4− x+m 1 0+ = có hai nghiệm trái dấu

5 2x + x= 1 x− 2+x2+m có nghiệm duy nhất

Bài 3: Cho phương trình : 4x−m.2x 1+ +2m 0=

1 Giải phương trinh khi m 2=

2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x ,x sao cho:1 2 x1+x2=3

Vậy, bất phương trình cho có nghiệm là x 0≤

2 Chia hai vế bất phương trình cho 9 ta được:x

Vậy, bất phương trình cho có nghiệm là 0 x 7 3 5

Do đó theo nhận xét trên thì f x( ) ( ) ( )=f x −f 1 sẽ trái dấu với x 1− (do

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: T=¡ \ 0;1{ }.

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Giải các bất phương trình:

a.9 + −(a 1).3+ + − >a 1 0 nghiệm đúng với mọi x

6 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 2sin x2 +3cos x2 ≥m.3sin x2 .

7 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:4x−m.2x+ −3 2m 0≤

4 Cần tìm a,b,c∈¡ sao cho 2 ( 2 ) ( )

x + 5x 1 a 2x + = + 2x + b 8x 4 − + c, đồng nhất thức hai vế ta được a 1,

Vậy, phương trình cho có nghiệm x= −1 hoặc x 1=

2 Phương trình cho tương đương:

Với t 1= tức

2 2x x 0

25

2 2x x 2

Khi đó phương trình cho viết lại:

1 Đặt t 5= x 2− , t 0> Đưa phương trình cho về dạng:

(3t 1 t x 3− ) ( + − =) 0 suy ra x 2= hoặc x 2 log 3= − 5 là nghiệm

2 x.2x=x 3 x( − +) 2 2( x−1)

Rõ ràng f x luôn đồng biến trên ¡ và ( ) g x luôn nghịch biến trên ¡( )

,do đó hàm số f x và ( ) g x có đúng 1 giao điểm, hay nói khác hơn là( )

phương trình

( ) ( )

f x =g x luôn có nghiệm duy nhất

Do đó x 0= là nghiệm duy nhất của ( )∗

Vậy , phương trình đã cho có hai nghiệm x1=0,x2=2

Dạng 5 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

trình bậc hai theo ẩn là 4 nên phương trình này có nhiều nhất là 2 x

nghiệm, suy ra phương trình f x( )=0có nhiều nhất 3 nghiệm, mà ta thấy

1

2

2 Đặt a sinx, b cosx= = ⇒a,b∈ −  1;1.Từ phương trình ta thấy a.b 0>

Nên f t là hàm nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) − 1;0) và (0;1

Kết hợp với điều kiện a.b 0> ta suy ra f a( ) ( )=f b ⇔ =a b

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x= −log 3; x 12 =

4 Xét hàm số f x( )=3x+2x−3x 2− , ta có: f' x( )=3 ln3 2 ln2 3x + x −

Vì f' x là hàm đồng biến, nên ( ) f' x( )=0 có nhiều nhất một nghiệmSuy ra f x( ) =0 có nhiều nhất là hai nghiệm

Mà ta thấy: f 1( ) ( )=f 0 = ⇒ =0 x 0;x 1= là nghiệm của phương trình

Dạng 7 Tìm tham số thực m thỏa mãn điều kiện I cho

trước Bài 1:

Viết lại phương trình ( )1 dưới dạng:

5 Giả sử x là nghiệm của phương trình thì 0 −x0 cũng là nghiệm của phương trình Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì nghiệm đó chỉ có thể là : x 0= Thay vào phương trình ta tìm được m 0=

Vậy, bất phương trình cho có nghiệm 1 x 2− < ≤ hoặc x 3≥

2 Bất phương trình cho viết lại: