Phân tích và bình luận các bài toán bất đẳng thức và cực trị trong đề thi HSG toán THCS

Trong chủ đề này, chúng tôi đã tuyển chọn và giới thiệu một số bài toán về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất được trích trong các đề thi học sinh giỏi môn toán cấp tỉnh của các cấp học trong các năm gần đây. Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề này để giúp con em mình học tập. Hy vọng tuyển tập các bài toán về bất đẳng thức này sẽ có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung. Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này

Tailieumontoan.com



PHÂN TÍCH VÀ BÌNH LUẬN

CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

TRONG ĐỀ THI TOÁN THCS

Thanh Hóa, tháng 8 năm 2019

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm đ{p ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về c{c chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em tuyển tập phân tích và lời giải các bài toán bất đẳng thức trong c{c đề thi HSG lớp 9 và Chuyên toán trên cả nước Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề về này nhằm đ{p ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới về bất đẳng thức trong các kì thi gần đ}y.Trong c{c kì thi học sinh giỏi môn To{n c{c cấp, nội dung về bất đẳng thức v| gi{ trị lớn nhất – gi{ trị nhỏ nhất xuất hiện một c{ch đều đặn trong c{c đề thi với c{c b|i to{n ng|y c|ng hay v| khó hơn Trong chủ đề n|y, chúng tôi đã tuyển chọn v| giới thiệu một số b|i to{n về bất đẳng thức v| gi{ trị lớn nhất, nhỏ nhất được trích trong c{c đề thi học sinh giỏi môn to{n cấp tỉnh của c{c cấp học trong c{c năm gần đ}y

Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề n|y để giúp con em mình học tập Hy vọng tuyển tập các bài toán về bất đẳng thức này sẽ có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung

Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!

Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Trong c{c kì thi học sinh giỏi môn To{n c{c cấp, nội dung về bất đẳng thức v| gi{ trị

lớn nhất – gi{ trị nhỏ nhất xuất hiện một c{ch đều đặn trong c{c đề thi với c{c b|i to{n ng|y c|ng hay v| khó hơn Trong chủ đề n|y, chúng tôi đã tuyển chọn v| giới thiệu một số b|i to{n

về bất đẳng thức v| gi{ trị lớn nhất, nhỏ nhất được trích trong c{c đề thi học sinh giỏi môn to{n cấp tỉnh của c{c cấp học trong c{c năm gần đ}y

Bài 1 Cho a, b, c l| c{c số thực dương Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức:

Do bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có điều cần chứng minh

Trở lại bài toán Do a, b, c l| c{c số nguyên dương nên biểu thức P được viết lại th|nh

v| {p dụng một đ{nh gi{ quen thuộc thì được

, dấu bằng xẩy ra khi v| chỉ khi a b c

Vậy gi{ trị nhỏ nhất của P l| 3

16, xẩy ra khi v| chỉ khi a b c

theo c{ch kh{c sau đ}y

Do xyz 1 nên tồn tại c{c số dương m, n, p thỏa mãn x np2 ; ymp2 ; zmn2

mất tính tổng qu{t ta giả sử 0 a b c   Đặt T 3a 23b23c2 4abc

Do a, b, c l| ba cạnh của tam gi{c nên ta có a b c  , do đó từ giả thiết của b|i to{n ta được

Bài 3 Cho c{c số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện      2

Trích đề thi chọn HSG môn Toán 9 Tỉnh Bắc Ninh năm học 2018 – 2019

Cũng từ trên ra được a cx; b cy  , thay v|o biểu thức P ta được

Đến đ}y ta xử lí b|i to{n như sau

Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức P

Vậy gi{ trị lớn nhất của biểu thức P l| 1, đạt được tại a b c

Bài 4 Với c{c số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện 2 2 2 

gi{ trị lớn nhất của biểu thức P ab bc ca abc   

Trích đề thi chọn HSG môn Toán 9 Thành phố Hà Nội năm học 2018 – 2019

1 c 2ab 1 c nên 1 c 2ab   1 2ab c

8 Theo giả sử trên ta có 2a 1 2b 1     0 4ab 1 2 a b     hay 4abc c 2ac 2bc   Kết hợp c{c kết quả trên ta được

Chứng minh tương tự như trên ta được abc 1

Dấu đẳng thức xẩy ra khi v| chỉ khi a  b c 1

Đến đ}y thì ta thu được

Bài 8 Cho a, b, c l| c{c số thực không }m thỏa mãn a b c 3   Chứng minh rằng:

Dấu đẳng thức xẩy ra khi v| chỉ khi a  b c 3

 Nhận xét Đ}y l| một b|i to{n bất đẳng thức khó, lại không thể sử dụng c{c bất đẳng thức quen

thuộc để đ{nh gi{ Để chứng minh được bất đẳng thức trên ta phải thực hiện được c{c công việc như

+ Dự đo{n điểm rơi để quy b|i to{n về chứng minh hai bất đẳng thức

A B A B với hai số A, B cùng dấu Để ý ta thấy trong

ba số a b; b c; c a luôn tồn tại hai số cùng dấu Không mất tình tổng qu{t ta giả sử hai số đó l|   

2 Vậy b|i to{n được chứng minh

Bài 11 Cho a; b;c l| ba số thực dương thoả mãn 2 2 2 

Trích đề thi chọn HSG môn Toán 9 Tỉnh Hải Dương năm học 2016 – 2017

Vậy ta được M 3 , dấu đẳng thức xẩy ra khi v| chỉ khi a  b c 1

Bài 12 Cho c{c số dương a, b,c thỏa mãn a b c 1   Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức:

Với c{c số dương x, y, z ta luôn có

Ta sẽ chứng minh khi 0 x  2 thì 



2 2

Dấu bằng xẩy ra khi x 2; y z 0 v| c{c ho{n vị  

2 , đạt được tại x 2; y z 0 v| c{c ho{n vị  

 Nhận xét C}u a của b|i to{n chính l| gợi ý để tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức P Ngo|i ra ta

có thể tìm gi{ trị lớn nhất của P độc lập với gợi ý ở c}u a như sau

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta được

Vậy gi{ trị nhỏ nhất của P l| 4

3, đạt được tại a b c

Bài Cho a, b, c l| ba số không }m thỏa mãn điều kiện 2 2 2    

r l| ba số thỏa mãn p q r 0   Chứng minh rằng: apq bqr crp 0  

Trích đề thi chọn HSG môn Toán 9 Tỉnh Bình Định năm học 2017 – 2018

Đẳng thức xảy ra khi ab

Đến đ}y thì ta thu được

cạnh của một tam gi{c

Trích đề thi chọn HSG môn Toán 9 Tỉnh Phú Thọ năm học 2017 – 2018

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 17 Cho x, y, z l| c{c số thực dương thỏa mãn xyz 1 Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức:

Trích đề thi chọn HSG môn Toán 9 Tỉnh Nghệ An năm học 2017 – 2018

3 Dấu bằng xẩy ra khi v| chỉ khi x y z 1  

Bài 18 Cho x, y, z l| c{c số thực không }m thỏa mãn x y z 3   Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vậy gi{ trị nhỏ nhất của P l| 1

6, dấu bằng xẩy ra tại x; y; z  0;1; 2 cùng c{c ho{n vị

Bài 19 Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3   Chứng minh rằng:

Bài 20 Cho a, b, c, d l| c{c số thực dương thỏa mãn:    

Bài 21 Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn a b c   3

biểu thức:

2 2

4a 3b 3c4a 3b 3c b c

Cộng vế theo vế c{c bất đẳng thức trên ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong

Bài 23 Cho a, b, c l| c{c số thực không }m sao cho a b c 6   Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do b nằm giữa a v| b

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh xong

Bài 24 Tìm hằng số k lớn nhất sao cho với mọi a, b, c l| c{c số thực không }m thỏa mãn

Hay 1 4ab a b   4bc b c   4ca c a   3abc

Để ý đến giả thiết ta viết lại được bất đẳng thức trên th|nh

Biến đổi tương đương ta được abca b c b c a c a b        

Bất đẳng thức trên l| một bất đẳng thức đúng v| dễ d|ng chứng minh được

Ho|n to|n tương tự ta được

Đ{nh gi{ cuối cùng l| một đ{nh gi{ đúng

Bài 26 Cho x, y, z l| c{c số thực dương thỏa mãn x y z 1   Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức

Bài 29 Cho x, y, z l| c{c số thực dương thỏa mãn  4 4  4  2 2  2 

Trước hết ta đơn giản hóa giả thiết của b|i to{n

Áp dụng một đ{nh gi{ quen thuộc ta có x4y4z4 3 x 2y2 z22

Bài 30 Cho a, b, c l| c{c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

4a 3b 3c4a 3b 3c b c

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong

Bài 31 Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn 2 2 2    

Vậy gi{ trị nhỏ nhất của P l| 2, xấy ra tại a b c

Bài 32 Cho x, y, z l| c{c số thực không }m thỏa mãn điều kiện x2 y2z2 2 Tìm gi{ trị lớn nhất của:

Ta đi chứng minh bất đẳng thức xyz 2 x y z   

 Cách 1 Không mất tỉnh tổng qu{t ta giả sử z l| số lớn nhất trong ba số x, y, z Khi đó từ

Dấu bằng xẩy ra khi v| chỉ khi x 0; y z 1  

Vậy gi{ trị lớn nhất của M l| 1, xẩy ra tại x 0; y z 1   v| c{c ho{n vị

Bài 33 Cho a, b, c l| c{c số thực không }m, trong đó không có hao số n|o đồng thời bằng

0 Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vậy gi{ trị nhỏ nhất của P l| 2, xẩy ra khi ab; c 0 hoặc c{c ho{n vị 

 Lời giải 2 Không mất tính tổng qu{t ta giả sử a b c 0   , khi đó ta có

Vậy phép chứng minh ho|n tất

Bài 35 Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn a b c 3   Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vậy gi{ trị nhỏ nhất của P l| 22, xẩy ra khi v| chỉ khi a  b c 1

Bài 36 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b ta có bất đẳng thức sau:

Điều n|y có nghĩa l| bất đẳng thức cần chứng minh đúng

Bài 37 Cho a, b, c l| c{c số thực thỏa mãn a b b c c a     10 Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 39 Cho x, y, z l| c{c số thực dương thỏa mãn x y z 1   Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức:

Vậy gi{ trị nhỏ nhất của P l| 1

Đến đ}y ta xét hai trường hợp sau

 Trường hợp 1 Nếu cả ba số x, y,a đều }m Khi đó {p dụng bất đẳng thức AM – GM ta được

Do vậy ta được 15 x2y2a2 7 x y a   15 3 x y a3 2 2 2 7.33xya15 3 21 16 

Do đó suy ra P 48 1 49  

 Trường hợp 2 Nếu trong ba số x, y, a có một số }m, hai số dương Không mất tổng qu{t

Trích đề thi chọn HSG môn Toán THPT tỉnh Nghệ An năm học 2015 – 2016

Bài 43 Cho x, y, z l| c{c số thực dương thỏa mãn xyz 1 Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 44 Cho a, b, c l| c{c số thực không }m trong đó không có hai số n|o cùng bằng 0

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Vậy b|i to{n được chứng minh xong

Bài 45 Cho a, b, c l| độ d|i ba cạnh của một tam gi{c v| a b c 1   Chứng minh rằng:

Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Thành Phố Hà Nội năm học 2015 – 2016

 Lời giải 2 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Do đó bất đẳng thức trên đúng Vậy b|i to{n được chứng minh xong

Bài 46 Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn a b c    a b c

Suy ra gi{ trị nhỏ nhất của P l| 3 Đẳng thức xẩy ra khi v| chỉ khi a  b c 1

Bài 47 Cho a, b, c l| c{c số thực không }m Chứng minh rằng:

Vậy b|i to{n được chứng minh xong

Bài 48 Cho x, y, z l| c{c số thực dương thỏa mãn x y z 1   Chứng minh rằng:

 

33

Trở lại bài toán Áp dụng bất đẳng thức trong b|i to{n phụ trên thì ta được

Thật vậy, biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được

Dễ thấy rằng bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi x 0