mệnh đề tập hợp nội dung bài tập và lời giải

Bài 1.4: a Ta có mệnh đề P �Q đúng vì mệnh đề P �Q Q, � P đều đúng và được phát biểu bằng hai cách như sau: "Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật có

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG I Bài 1.0: Câu không phải mệnh đề là a), b)

Câu d) ,f) là mệnh đề đúng Câu e) sai Câu g) đúng

Bài 1.1: Ta xét dự đoán của bạn Dung

+ Nếu Singgapor nhì thì Singapor nhất là sai do đó Inđônêxia nhì là đúng(mâu thuẫn)

+ Như vậy Thái lan thứ ba là đúng suy ra Việt Nam nhì Singapor nhất và Inđônêxia thứ tư

Bài 1.2: Ta có các mệnh đề phủ định là

:

P " Trong tam giác tổng ba góc không bằng 1800", mệnh đề này sai

:

Q " ( )2

3 - 27 không phải là số nguyên ", mệnh đề này sai

:

R " Việt Nam không vô địch Worldcup 2020", mệnh đề này chưa xác định được đúng hay sai

:

S " 5 2

2

- �- " , mệnh đề này đúng

:

K " Bất phương trình x2013 >2030 có nghiệm ", mệnh đề này đúng

Bài 1.3 a) P �Q: " Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường thẳng

AC và BD vuông góc với nhau", mệnh đề đúng

Q � P : " Nếu tứ giác ABCD hai đường thẳng AC và BD vuông góc với nhau thì tứ giác

ABCD có là hình chữ nhật ", mệnh đề sai

b) P �Q: " Nếu - 3> - 2 thì ( ) (3 )3

- > - ", mệnh đề đúng

P �Q: " Nếu ( ) (3 )3

- > - thì - 3> - 2", mệnh đề sai c) P �Q : " Nếu tam giác ABC có �A =B�+ thì tam giác ABC có C� BC2 =AB2+AC2"

Q � P : "Nếu tam giácABC có BC2 =AB2+AC2 thì �A =B�+ " C�

Cả hai mệnh đề đều đúng

d) P �Q :" Nếu Tố Hữu là nhà Toán học lớn của Việt Nam thì Évariste Galois là nhà Thơ lỗi lạc của Thế giới ", Q � P :" Nếu Évariste Galois là nhà Thơ lỗi lạc của Thế giới thì Tố Hữu là nhà Toán học lớn của Việt Nam " Hai mệnh đề đúng

Bài 1.4: a) Ta có mệnh đề P �Q đúng vì mệnh đề P �Q Q, � P đều đúng và được phát

biểu bằng hai cách như sau:

"Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo

bằng vuông góc với nhau " và

"Tứ giác ABCD là hình vuông nếu và chỉ nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo

bằng vuông góc với nhau "

b) Ta có mệnh đề P �Q sai vì mệnh đề P đúng còn Q sai.

Phát biểu mệnh đề P �Q bằng hai cách

" Bất phương trình x2- 3x+ > có nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình 1 0 x2- 3x+ � 1 0

vô nghiệm"

và " Bất phương trình x2- 3x+ > có nghiệm nếu và chỉ nếu bất phương trình1 0

x - x+ � vô nghiệm"

Bài 1.5:Ta có A và D là các mệnh đề đúng, B và C là các mệnh đề sai Do đó :

26

a) Mệnh đề A� B sai vì A đúng và B sai.

Mệnh đề A� D đúng vì A và D đều đúng

Mệnh đề B� C đúng vì B sai

b) Mệnh đề A � B sai vì mệnh đề A � B sai (Hoặc A đúng và B sai) Mệnh đề B � C đúng vì hai mệnh đề B và C đều sai Mệnh đề A � D đúng vì hai mệnh đề A và D đều đúng

Bài 1.6: a) P �Q: " Nếu tổng 2 góc đối của tứ giác lồi bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn "

Q � P : "Nếu Tứ giác không nội tiếp đường tròn thì tổng 2 góc đối của tứ giác đó bằng 1800"

Mệnh đề P �Q đúng, mệnh đề Q � P sai.

b) P �Q: " Nếu 2- 3> - thì 1 ( )2 ( )2

2- 3 > - 1 "

Q � P : " Nếu ( )2 ( )2

2- 3 � - 1 thì 2- 3> - "1

Mệnh đề P �Q sai vì P đúng, Q sai, mệnh đề Q �P đúng vì P và Q đều đúng

Bài 1.7: a) x = ta có 3 P( )3 : "32- 2.3�0" là mệnh đề đúng

b) n = , 3 c) 1

2

x =

Bài 1.8: a) Mệnh đề " �x �,x3- x2+ >1 0 sai chẳng hạn khi x = - ta có1

( )3 ( )2

Mệnh đề phủ định là $ �x �,x3- x2+ �1 0.

b) Mệnh đề " �x �,x4- x2+ =1 (x2+ 2x+1)(x2- 2x+1) đúng vì

x - x + = x + - x = x + x+ x - x+

Mệnh đề phủ định là $ �x �,x4- x2+ �1 (x2+ 3x+1)(x2- 3x+1) .

c) Mệnh đề $ �x N n, 2+ chia hết cho 4 đúng vì 3 n = �1 N và n + = M 2 1 4 4

Mệnh đề phủ định là "" �x N n, 2+ không chia hết cho 4"3

d) Mện đề $ �q Q q, 2 2- 1= sai Mệnh đề phủ định là 0 " �q Q q, 2 2- 1�0

e) Mệnh đề "$ �n N n n, ( +1) là một số chính phương" đúng Mệnh đề phủ định là "

( )

n N n n

" � + không phải là một số chính phương"

Bài 1.9: a) Sai ; b) Đúng ; c)Sai ; d) Đúng , e) sai

27 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Bài 1.10: a) Ta có : Với n = 2007 thì n2 + 2 = 20072 + 2 là số lẻ nên không chia hết cho 4 Vậy

P(2007) là mệnh đề sai.

b) Xét biểu thức ( 1)

2

n n +

, với n �� ta có :*

Với n = 10 thì ( 1) 55

2

n n + =

: chia hết cho 11 Vậy mệnh đề đã cho là mệnh đề đúng

Bài 1.11: a) Mệnh đề P "" �x R x Q, � �2x Q� " MĐ đúng

P $ �x R x Q� � x�Q MĐ sai

b) MĐ đảo của P là " Với mọi số thực x, x�Q khi và chỉ khi 2x�Q" Hay

"" �x R x Q, � �2x Q� ".

Bài 1.12: a) A(n) � B(n) : “Nếu n là số chẵn thì n2 là số chẵn” Đây là mệnh đề đúng, vì khi đó n

= 2k (k��) � n2 = 4k2 là số chẵn

b) “" �n �, ( )B n �A n( )” : Với mọi số tự nhiên n, nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn

c) “" �n �, ( )A n � B n( )” : Với mọi số tự nhiên n, n là số chẵn khi và chỉ khi n2 là số chẵn

Bài 1.13: a) Mệnh đề P sai vì chẳng hạn x= �1 �,y= �2 � nhưng x+ � y 1

b) Mệnh đề Q đúng vì x= = � + = y 1 x y 2

c) Vì x + = nên với mọi y �� thì luôn tồn tại y 3 x = -3 y do đó mệnh đề R đúng

d) Mệnh đề S đúng

Bài 1.14: Giả sử phương trình vô nghiệm và a,c trái dấu Với điều kiện a,c trái dấu có a.c<0 suy ra

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều này mâu thuẫn với giả thiết phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình vô nghiệm thì a,c phải cùng dấu

Bài 1.15: Giả sử trong hai số nguyên dương a và b có ít nhất một số không chia hết cho 3 , chẳng

hạn a không chia hết cho 3 Thế thì a có dạng: a = 3k+1 hoặc a = 3k+2 Lúc đó a2 =3m+1 , nen nếu b chia hết cho 3 hoặc b không chia hết cho 3 thì a2 + b2 cũng có dạng: 3n+1 hoặc 3n+2, tức là

a2 + b2 không chia hết cho 3, trái giả thiết Vậy nếu a2 + b2 chia hết cho 3 thì cả a và b đều a2 + b2 chia hết cho 3

Bài 1.16: Giả sử c không phải là cạnh nhỏ nhất của tam giác.

Không mất tínhư tổng quát, giả sửaޣ�c a2 c2 (1)

Theo bất đẳng thức trong tam giác, ta có 2 ( )2

b< + �a c b < a+c (2)

4

a� �c a+c � c (3)

Từ (2) và (3) suy ra b2 �4c2 (4)

Cộng vế với vế (1) và (4) ta có a2+b2�5c2 mâu thuẫn với giả thiết

Vậy c là cạnh nhỏ nhất của tam giác

Bài 1.17 Giả sử cả ba bất đẳng thức đều đúng, Khi đó, nhân theo vế của các bất đẳng thức trên ta

được:

28

(1� 1) ( ) ( 1� ) 1 3

4

a b b - c c a >� ��� ��� ���� hay (1� 1) ( ) ( 1� ) 1

64

a a b - b c c > (*)

2

�

2 1

a a a a - ����a- ����

�

4

�

4

4

Nhân theo vế ta được (1� 1) ( ) ( 1� ) 1

64

Bất đẳng thức (**) mâu thuẫn (*),

Vậy có ít nhất một trong các bất đẳng thức đã cho là sai (đpcm)

Bài 1.18: Giả sử cả hai phương trình trên vô nghiệm

Khi đó D1=a12�4b1<0,�D1=a22 �4b2< 0

( ) ( )

1 �41 2 �42 0 1 2 4 1 2 1

a b +a b < �a +a < b +b

�

2

1

a a � �a + a � a a (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2a a1 2 <4(b1+ b2) hay a a1 2 <2(b1+ b2) trái giả thiết.

Vậy phải có ít nhất 1 trong hai số 1 , 2 lớn hơn 0 do đo ít nhất 1 trong 2 phương trình

x +a x+b = x +a x+b = có nghiệm

Bài 1.19: Dễ dàng chứng minh được nếu n là số chẵn thì n là số chẵn2

Giả sử 2 là số hữu tỉ, tức là 2=m n , trong đó m, n  *, (m n = , ) 1

n

 m là số chẵn  m=2 , k k�N*

Từ m2 = 2n2 �4k2 = 2n2 �n2 = 2k2 �n2 là số chẵn  n là số chẵn

Do đó m chẵn, n chẵn, mâu thuẫn với (m n = , ) 1

Vậy 2 là số vô tỉ

Bài 1.20: Giả sử ba số , , a b c không đồng thời là số dương Vậy có ít nhất một số không dương

Do , , a b c có vai trò bình đẳng nên ta có thể giả sử : a � 0

+ Nếu a = thì mâu thuẫn với (3)0

+ Nếu a < thì từ (3)  0 bc <0

Ta có (2)  (a b c+ )> - bc  (a b c+ )> 0

 b c+ <0  a+ + <b c 0 mâu thuẫn (1)

Vậy cả ba số , , a b c đều dương.

Bài 1.21: • Nếu �B > thì ta dựng hình bình C�

hành BEDF như hình vẽ Ta có :

29 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

2 1

3 2 1

2 1

E F

D

C B

A

� �

B > �C B�2 >C�2 �D�1 >C�2 (1)

Ngoài ra, BE = CF � DF = CE

� �D1+D�2 =C�2+C�3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra

D <C � EC <ED �EC <FB

Xét các tam giác BCE và CBF, ta thấy :

BC chung, BE = CF, BF > CE nên � �

C >B � �C > Mâu thuẫn.B�

• Trường hợp �C > , chứng minh hoàn toàn tương tự như trên.B�

Do đó �B =C� Vậy tam giác ABC cân tại A.

Bài 1.22: Trước hết sắp xếp các đoạn đã cho theo thứ tự tăng dần của độ dài a a1, , ,2 a và 7 chứng minh rằng trong dãy đã xếp luôn tìm được 3 đoạn liên tiếp sao cho tổng của 2 đoạn đầu lớn hơn đoạn cuối (vì điều kiện để 3 đoạn có thể ghép thành một tam giác là tổng của 2 đoạn lớn hơn đoạn thứ ba)

Giả sử điều cần chứng minh là không xảy ra, nghĩa là đồng thời xảy ra các bất

đẳng thức sau: a1+a2 �a a3; 2+a3 �a4; ;a5+a6 �a7

Từ giả thiết a a có giá trị lớn hơn 10, ta nhận được 1, 2 a >3 20 Từ a >2 10 và a >3 20 ta nhận được a3>30,a5>50,a6 >80 và a >7 130 Điều a >7 130 là mâu thuẩn với giả thiết các độ dài nhỏ hơn 100 Có mâu thuẩn này là do giả sử điểu cần chứng minh không xảy ra

Vậy, luôn tồn tại 3 đoạn liên tiếp sao cho tổng của 2 đoạn đầu lớn hơn đoạn cuối Hay nói cách khác là 3 đoạn này có thể ghép thành một tam giác

Bài 1.23: a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 là điều kiện

đủ để hai đường thẳng đó song song với nhau

Trong mặt phẳng, hai đường thẳng đó song song với nhau là điều kiện cần để hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3

b) Số nguyên dương có chữ số tận cùng bằng 5 là điều kiện đủ để chia hết cho 5

Số nguyên dương chia hết cho 5 là điều kiện cần để nó có chữ số tận cùng bằng 5

c) Tứ giác là hình thoi là điều kiện đủ để nó có 2 đường chéo vuông góc với nhau

Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện cần để nó là hình thoi

d) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có các góc tương ứng bằng nhau

Hai tam giác có các góc tương ứng bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau

e) Số nguyên dương a chia hết cho 24 là điều kiện đủ để nó chia hết cho 4 và 6

Số nguyên dương a chia hết cho 4 và 6 là điều kiện cần để nó chia hết cho 24

Bài 1.24: a) Một tam giác là tam giác cân là điều kiện cần và đủ để nó có hai góc bằng nhau

b) Tứ giác là hình bình hành là điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

c) x� là điều kiện cần và đủ để y 3x �3y

d) Điều kiện cần và đủ để tứ giác MNPQ là hình bình hành là MNuuur =QPuur

Bài 1.25:a) Một tứ giác là hình vuông là điều kiện đủ để nó có 4 cạnh bằng nhau.

Một tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là điều kiện cần để nó là hình vuông

30

Không có định lí đảo vì tứ giác có 4 cạnh bằng nhau có thể là hình thoi

b) Một tứ giác là hình thoi là điều kiện đủ để nó có hai đường chéo vuông góc

Một tứ giác có hai đường chéo vuông góc là điều kiện cần để nó là hình thoi

Không có định lí đảo vì tứ giác có hai đường chéo vuông góc có thể là hình vuông hoăc một đa giác bất kì có hai đường chéo vuông góc

Bài 1.26: a) M thuộc đường tròn đường kính AB là điều kiện cần để MA vuông góc MB.

Hoặc có thể phát biểu : Điều kiện cần để MA ^MB là M thuộc đường tròn đường kính AB b) a2+b2 > là điều kiện cần để a ≠ 0 hoặc b ≠ 0.0

Bài 1.27: Ta có các tập hợp , ,A B C được viết dưới dạng nêu các tính chất đặc trưng là

{ | 4}

A = xΣ N x , B ={x�N x| là số lẻ nhỏ hơn 10}, C ={ |n2 n là số tự nhiên nhỏ

hơn 6}

Bài 1.28: a) A �B, A �C, D � C

b) {1;2}, {1;2;3}, {1;2;4}, {1;2;5}, {1;2;3;4}, {1;2;3;5}, {1;2;4;5}, {1;2;3;4;5}

Bài 1.29: a) Ta có x � suy ra 0 0 14 146

+ Mặt khác 14

3 x+6�Z nên

14

1

3 x+6= hoặc

14

2

3 x+6=

9

x = hoặc 64

9

x =

Vậy 1 64;

9 9

A = ����� �����

�

b) Tất cả các tập con của tập hợp A là , 1 , 64 , 1 64;

� � �� ��� �� �� ��

Bài 1.30:: Ta có A = -{ 2; 1;1;2- } và B ={0;1;2;3;4}

a) Ta có A B =\ {0;3;4}

Suy ra X �A B\ thì các tập hợp X là

{ } { } { } { } { } { } { }

, 0 , 3 , 4 , 0;3 , 0;4 , 3;4 , 0;3;4

�

b) Ta có A B = -\ { 2; 1- } với X có đúng hai phần tử khi đó X = -{ 2; 1- }.

Bài 1.31: a) Ta có A ={x��(x+1) (x- 1) (x- 5) (x- 8) =0}

{1; 2; 4; 8; 16}

B =

b) Ta cóA B� ={1;8},A� = -B { 1; 1; 2; 4; 5; 8; 16},A B\ = -{ 1; 5}

Bài 1.32: a) Ta có E ={1;2;3;4;5;6} A ={3;6} và B ={2;3;5}

Suy ra A � và B E �E

b) Ta có C A E =E A\ ={1;2;4;5 ; } C B E =E B\ ={1;4;6}

{2;3;5;6} E( ) \ ( ) { }1;4

A� =B �C A�B =E A�B =

31 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

c) Ta có A� =B { }3 �C A E( �B)=E \ (A �B) {= 1;2;4;5;6}

Suy ra E \ (A�B)=(E A\ ) (� \E B)

Bài 1.33: Ký hiệu A là tập hợp những học sinh giỏi Anh, T là tập hợp những học sinh giỏi toán, V

là tập hợp những học sinh giỏi Văn

Theo giả thiết ta có:n( )V = 8, n A( ) =10 , n T =( ) 12,

n �T = n �A = n �A = n A� �B C =

n V � �A T =n V +n A +n T - n V �A - n A�T - n T �V +n V �A T�

8 10 12 3 4 5 2+ + - - - + =20

Vậy nhóm đó có 20 em

Bài 1.34: Ký hiệu A là tập hợp những học sinh giỏi Anh, T là tập hợp những học sinh giỏi toán, V

là tập hợp những học sinh giỏi Văn

Theo giả thiết ta có:n( )V =22, n T( ) =25 , n A =( ) 20,

n V �T = n T �A = n V �A = n A� �B C = .

n V � �A T =n V +n A +n T - n V �A - n A�T - n T �V +n V �A T�

( ) n( A T) n( ) n( ) n( ) n( A) ( ) ( )

40 22 25 20 8 7- - - + + + =6 14

Vậy có 14 em học giỏi cả ba môn

Bài 1.35: Gọi A, B, C lần lượt là tập hợp những học sinh xuất sắc về môn Toán, môn Vật Lý, môn

Văn

Gọi a, b, c lần lượt là số học sinh chỉ đạt danh hiệu xuất sắc một môn về môn Toán, môn Vật Lý, môn Văn

Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc hai môn về môn Toán và môn Vật Lý, môn Vật Lý và môn Văn, môn Văn và môn Toán

Dùng biểu đồ Ven đưa về hệ 6 phương trình 6 ẩn sau:

32

4 48

71 72 62

c y z

� + + + =

�

�

� + + + =

�

�

� + + + =

�

� + + + + =

�

� + + + + =

�

�

� + + + + =

�

28 18 19 6 9 10

a b c x y z

� =

�

�

� =

�

�

� =

�

� �� =

�

� =

�

�

� =

� ĐS: a) 65 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc 1 môn

b) 25 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc 2 môn

c) 94 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc ít nhất 1 môn

12 6

�

M

M M

Suy ra A� =B C do đó A �C và B �C

� Ta có x=4 4M �x�A nhưng 4M6�x = � do đó A4 B �B

6

( 0 ) ( 0 )

11

x= - p+ p+ k - p = p + k - p

Vì k0 � �Z k0- 1� do đó Z x�B suy ra A �B (1)

6

( 0 ) ( 0 )

11

x= p- p+ k + p= - p + k + p

Vì k0 � �Z k0+ � do đó 1 Z x�A suy ra B �A (2)

Từ (1) và (2) suy ra A =B

6

( 0 )

0

2

k

x= - p + -p p+k p = p + - p

Vì k0 � �Z 4k0- 1� do đó Z x�C

Suy ra A � C

Bài 1.38: a) Ta có x x, A C x A

x C

� �

�

" � � � ��� Với x�A vì A � �B x� �B x� �B D

Suy ra A C� � � B D

33 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

b) Ta có x x, A C x A x A

x C

� �

�

� �

�

Vì A � �B x�B

Suy ra A C� �B

B

x B

x C A

x A

x A

x A

�� ��

�

�

Suy ra C A B � =A B

Bài 1.39: a) Ta có , ( \ ) ( \ ) \

\

x A

x A

�� ��

�

�

� �

�

( ) (\ )

x A

x B

�� �

�

��

��

��

�

�� �

��

�

��

Suy ra (A B\ ) (� B A\ ) (= A �B) (\ A �B).

x A

x A

x B

x x A B C

x C

� �

�

" � � � ��� � � � �����

( ) ( )

\

\

x A

x C

�� ��

� �

�

x A

x A

x B

x x A B C

x C

� �

�

( ) ( )

\

\

x A

x C

�� �

���

�

��

��

��

�� �

��

�

��

Bài 1.40: a) Có A = -��1;3�� và B =��1;+�)

)

1;

A� = -B �� +� , \A C = � �, � �1;3 A �B � =C f

34

b) Có A = -��2;2�� và B =��3;+�)

)

2;2 3;

A� = -B �� � �� �� +� , \A C = � �, � �0;2 A �B � =C f

Bài 1.41: a) Ta có: A = - [ 1; 2)={x - 1� <x 2},B = -( 3; 1)={x- 3< <x 1}

b) Ta có A � = -B [ 1;1),B C� = -( 3; 4) \ {1},A B\ =[1; 2)

Bài 1.42: A = ��0;4 ,) B = -��2;2��, A� = -B ��2;4), A� = � �, B � �0;2 A B =\ (2;4)

Bài 1.43: a) A� = -B ��1;0) (�1;5) A C� = -��1;+�) B C = -\ ( 2;0) ( )� 1;2

2

A � =B R � m+ < - � m<

-Bài 1.44: a) Để (1; m��� (2; + � �� thì ) m >2

b) Viết tập A gồm các phần tử x thỏa mãn điều kiện

3

0

x x x

�

� �

�

� + �

�

�

� <

�

dưới dạng tập số

Có

3

0

x

x

x

�

� �

�

� + �

�

�

� <

�

(biểu diễn trên trục số)

Vậy A = -��1; 0 )

1

m n

m n

� - <

-�

� - >

�

Bài 1.46: Điều kiện để tồn tại tập hợp A là 1 1 3

2

m

m- < + � m< (*)

)

1

2

m

� +

Kết hợp với điều kiện (*) ta có m < - là giá trị cần tìm5

b)

2

m

� �

� Kết hợp với điều kiện (*) ta có 1- �m< là giá trị cần tìm3

Bài 1.47: Với A =(m�1;4 , ��B =(�2 ;2m+2) khác tập rỗng, ta có điều kiện

35 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word