chuyên đề toán học về dãy số lí thuyết bài tập và lời giải

Chuyên đề Toán học về dãy số chương trình THPT cơ bản đến nâng cao lớp 11, 12 được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết từng bài. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức toán học về dãy số và để ôn thi THPQG và thi đại học.

CH Đ : Ủ Ề DÃY S - C P S C NG VÀ Ố Ấ Ố Ộ

N i dung ph ng pháp quy n p toán h cộ ươ ạ ọ

Cho là m t s nguyên d ng và ộ ố ươ là m t m nh đ có nghĩa v i m i s t ộ ệ ề ớ ọ ố ự nhiên N u ế

th s d ng ph ng pháp quy n p nh sauể ử ụ ươ ạ ư

B ướ c 1: Ki m tra ể có đúng hay không N u b c này đúng thì ta ế ướ

chuy n qua b c haiể ướ

Hay (**)

Khai tri n (**) , bi n đ i và rút g n ta thu đ cể ế ổ ọ ượ

BĐT này hi nểnhiên đúng Đ ng th c có ẳ ứ

V y bài toán đ c ch ng minh.ậ ượ ứ

Chú ý: Trong m t s tr ng h p đ ch ng minh m nh đ ộ ố ườ ợ ể ứ ệ ề đúng v i m iớ ọ

s t nhiên ố ự ta có th ch ng minh theo cách sauể ứ

B ướ c 1: Ta ch ng minh ứ đúng v i ớ và

B ướ c 2: Gi s ả ử đúng v i ớ , ta ch ng minh ứ đúng v i ớ Cách ch ng minh trên đ c g i là quy n p theo ki u Cauchy (Cô si).ứ ượ ọ ạ ể

CÁC BÀI TOÁN LUY N T P Ệ Ậ

Bài 1 Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên ứ ằ ớ ọ ố ự , ta luôn có

2 D đoán công th c tính ự ứ và ch ng minh b ng ph ng pháp qui n p.ứ ằ ươ ạ

Bài 9 Cho hàm s ố , là s nguyên Ch ng minh r ng n uố ứ ằ ế

V y ậ chia h t cho 9 v i m i s t nhiên ế ớ ọ ố ự

Ví d ụ 3 Cho là s t nhiên d ng Ch ng minh r ng:ố ự ươ ứ ằ

V y bài toán đ c ch ng minh.ậ ượ ứ

Ví d ụ 4 Trong m t m t ph ng cho n đi m r i nhau (n > 2) t t c không n m ặ ặ ẳ ể ờ ấ ả ằtrên m t đ ng th ng Ch ng minh r ng t t c các đ ng th ng n i hai ộ ườ ẳ ứ ằ ấ ả ườ ẳ ố

đi m trong các đi m đã cho t o ra s đ ng th ng khác nhau không nh h n ể ể ạ ố ườ ẳ ỏ ơn

L i gi i ờ ả

Gi s m nh đ đúng v i ả ử ệ ề ớ đi m ể

Ta ch ng minh nó cũng đúng cho ứ đi m ể

Ta có th ch ng minh r ng t n t i ít nh t m t đ ng th ng ch ch a có hai ể ứ ằ ồ ạ ấ ộ ườ ẳ ỉ ứ

đi m Ta kí hi u đ ng th ng đi qua hai đi m ể ệ ườ ẳ ể và là N u ế

nh ng đi m ữ ể n m trên m t đ ng th ng thì s l ng các đ ngằ ộ ườ ẳ ố ượ ườ

th ng s đúng là ẳ ẽ : G m ồ đ ng th ng n i ườ ẳ ố v i các đi mớ ể

và đ ng th ng chúng n i chung N u ườ ẳ ố ế không

n m trên m t đ ng th ng thì theo gi thi t quy n p có n đ ng th ng khác ằ ộ ườ ẳ ả ế ạ ườ ẳnhau Bây gi ta thêm các đ ng th ng n i ờ ườ ẳ ố v i các đi m ớ ể

Vì đ ng th ng ườ ẳ không ch a m t đi m nào trong ứ ộ ể , nên đ ng th ng này khác hoàn toàn v i n đ ng th ng t o ra b iườ ẳ ớ ườ ẳ ạ ở

Nh v y s đ ng th ng t o ra cũng không nh h n ư ậ ố ườ ẳ ạ ỏ ơ

Ví d ụ 5

Ch ng minh r ng t ng các trong m t n – giác l i ứ ằ ổ ộ ồ b ng ằ

L i gi i ờ ả

V i ớ ta có t ng ba góc trong tam giác b ng ổ ằ

Gi s công th c đúng cho t t c k-giác, v i ả ử ứ ấ ả ớ , ta ph i ch ng minh ả ứ

m nh đ cũng đúng cho n-giác Ta có th chia n-giác b ng m t đ ng chéo ệ ề ể ằ ộ ườthành ra hai đa giác N u s c nh c a m t đa giác là k+1, thì s c nh c a đa ế ố ạ ủ ộ ố ạ ủgiác kia là n – k + 1, h n n a c hai s này đ u nh h n n Theo gi thi t quy ơ ữ ả ố ề ỏ ơ ả ế

n p t ng các góc c a hai đa giác này l n l t là ạ ổ ủ ầ ượ và

T ng các góc c a n-giác b ng t ng các góc c a hai đa giác trên, nghĩa làổ ủ ằ ổ ủ

Suy ra m nh đ đúng v i m i ệ ề ớ ọ

CÁC BÀI TOÁN LUY N T P Ệ Ậ

Bài 1 Cho n là s nguyên d ng.Ch ng minh r ng:ố ươ ứ ằ

1 Ch ng minh r ng v i ứ ằ ớ , ta luôn có chia

h t cho ế

2 Cho là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ

Đ t ặ Ch ng minh r ng v i m i s nguyên d ng n thì ứ ằ ớ ọ ố ươ là

m t s nguyên không chia h t cho 715 ộ ố ế

3 Cho hàm s ố th a ỏ và

4 Cho là s nguyên t th ố ố ứ Ch ng minh r ng: ứ ằ

5 Ch ng minh r ng m i s t nhiên không v t qua ứ ằ ọ ố ự ượ đ u có th bi u di nề ể ể ễthành t ng c a không quá ổ ủ c s đôi m t khác nhau c a ướ ố ộ ủ

Bài 3 G i ọ là hai nghi m c a ph ng trình : ệ ủ ươ Đ tặ

Ch ng minh r ng :ứ ằ

2 là m t s nguyên và ộ ố không chia h t cho 5 v i m i ế ớ ọ

Bài 4

1 Trong không gian cho m t ph ng phân bi t (ặ ẳ ệ ), trong đó ba m t ặ

ph ng luôn c t nhau và không có b n m t ph ng nào có đi m chung H i ẳ ắ ố ặ ẳ ể ỏ

m t ph ng trên chia không gian thành bao nhiêu mi n?ặ ẳ ề

2 Cho n đ ng th ng n m trong m t ph ng trong đó hai đ ng th ng b t kìườ ẳ ằ ặ ẳ ườ ẳ ấluôn c t nhau và không có ba đ ng th ng nào đ ng quy Ch ng minh r ngắ ườ ẳ ồ ứ ằ

đ ng th ng này chia m t ph ng thành ườ ẳ ặ ẳ mi n.ề

Bài 5

1 Cho là các s t nhiên sao cho ố ự , , chia h t ếcho Ch ng minh r ng ứ ằ chia h t cho ế v i m i s t ớ ọ ố ựnhiên

2 Ch ng minh r ng t ứ ằ ừ s b t kì trong ố ấ s t nhiên đ u tiên luôn tìm ố ự ầ

đ c hai s là b i c a nhau.ượ ố ộ ủ

1 Dãy s là t p h p các giá tr c a hàm s ố ậ ợ ị ủ ố

Đ c s p x p theo th t tăng d n liên ti p theo đ i s t nhiên ượ ắ ế ứ ự ầ ế ố ố ự :

Ta kí hi u ệ b i ở và g i là ọ s h ng th n ố ạ ứ hay s h ng t ng quát ố ạ ổ c a ủdãy s , ố đ c g i là s h ng đ u c a dãy s ượ ọ ố ạ ầ ủ ố

Ta có th vi t dãy s d i d ng khai tri n ể ế ố ướ ạ ể ho c d ng rút ặ ạ

g n ọ

2 Ng i ta th ng cho dãy s theo các cách: ườ ườ ố

Cho s h ng t ng quát, t c là: cho hàm s u xác đ nh dãy s đóố ạ ổ ứ ố ị ố

Cho b ng công th c truy h i, t c là:ằ ứ ồ ứ

* Cho m t vài s h ng đ u c a dãyộ ố ạ ầ ủ

* Cho h th c bi u th s h ng t ng quát qua s h ng (ho c m t vài s ệ ứ ể ị ố ạ ổ ố ạ ặ ộ ố

h ng) đ ng tr c nó.ạ ứ ướ

3 Dãy s tăng, dãy s gi m ố ố ả

Dãy s ố g i là dãy tăng n u ọ ế

Dãy s ố g i là dãy gi m n u ọ ả ế

4 Dãy s b ch nố ị ặ

Dãy s ố g i là dãy b ch n trên n u có m t s th c ọ ị ặ ế ộ ố ự sao cho

Dãy s ố g i là dãy b ch n d i n u có m t s th c ọ ị ặ ướ ế ộ ố ự sao cho

Dãy s v a b ch n trên v a b ch n d i g i là dãy b ch n, t c là t n t i ố ừ ị ặ ừ ị ặ ướ ọ ị ặ ứ ồ ạ

s th c d ng ố ự ươ sao cho

V n đ 1 Xác đ nh s h ng c a dãy s ấ ề ị ố ạ ủ ố

Các ví dụ

Ví d ụ 1 Cho dãy s có 4 s h ng đ u là: ố ố ạ ầ Hãy tìm m t quy lu t ộ ậ

c a dãy s trên và vi t s h ng th 10 c a dãy v i quy lu t v a tìm ủ ố ế ố ạ ứ ủ ớ ậ ừ

2 Ta có: , do đó nguyên khi và ch khi ỉ nguyên hay

là c c a 5 Đi u đó x y ra khi ướ ủ ề ả

V y dãy s có duy nh t m t s h ng nguyên là ậ ố ấ ộ ố ạ

2 Ta ch ng minh bài toán b ng ph ng pháp quy n pứ ằ ươ ạ

V y s h ng th ậ ố ạ ứ c a dãy s không chia h t cho 7.ủ ố ế

Ví d ụ 4 Cho hai dãy s ố đ c xác đ nh nh sau ượ ị ư và

CÁC BÀI TOÁN LUY N T P Ệ Ậ

Bài 1 Cho dãy s ố có s h ng t ng quát ố ạ ổ

1 Vi t năm s h ng đ u c a dãy s ế ố ạ ầ ủ ố

2 Tìm s h ng th 100 và 200ố ạ ứ

3 S ố có thu c dãy s đã cho hay khôngộ ố

4 Dãy s có bao nhiêu s h ng là s nguyên.ố ố ạ ố

Bài 2 Cho dãy s ố xác đ nh b i: ị ở

3 Dãy s đã cho có bao nhiêu s h ng là s nguyên.ố ố ạ ố

Bài 4 Cho dãy s ố xác đ nh b i: ị ở

1 Tìm 5 s h ng đ u c a dãyố ạ ầ ủ

2 Ch ng minh r ng ứ ằ

3 Tìm s d c a ố ư ủ khi chia cho 3

Bài 5 Cho dãy s ố :

1 Ch ng minh r ng dãy ứ ằ là dãy không đ iổ

2 Bi u th ể ị qua và tìm CTTQ c a dãy s ủ ố

Bài 6 Cho dãy s ố :

1 Ch ng minh r ng dãyứ ằ là dãy không đ i ổ

2 Tìm công th c t ng quát c a dãy ứ ổ ủ

Bài 7 Cho dãy s ố đ c xác đ nh b i ượ ị ở

1 Tìm 6 s h ng đ u c a dãy;ố ạ ầ ủ

2 Ch ng minh r ng ứ ằ v i ớ ;

3 S h ng có 3 ch s l n nh t c a dãy là bao nhiêu?ố ạ ữ ố ớ ấ ủ

Bài 8 Cho dãy s ố có 4 s h ng đ u là :ố ạ ầ

1 Hãy tìm m t quy lu t c a dãy s trên;ộ ậ ủ ố

2 Tìm ba s h ng ti p theo c a dãy s theo quy lu t v a tìm trên.ố ạ ế ủ ố ậ ừ

Bài 10 (Dãy Fibonacci)

Cho dãy s ố đ c xác đ nh b i ượ ị ở và

Theo nguyên lí quy n p ta có ạ

Theo ch ng minh trên, ta có: ứ

Cũng b ng quy n p ta ch ng minh đ c ằ ạ ứ ượ , h n n a ơ ữ

Nên dãy là dãy b ch n.ị ặ

CÁC BÀI TOÁN LUY N T P Ệ Ậ

Bài 1 Xét tính tăng gi m c a các dãy s sauả ủ ố

2 Cho dãy s ố : Ch ng minh r ng dãy ứ ằtăng và b ch n.ị ặ

3 Cho dãy s ố

a) Khi , hãy tìm 5 s h ng đ u c a dãyố ạ ầ ủ

b) Tìm đ dãy s đã cho là dãy s tăng.ể ố ố

b) Ch ng minh dãy ứ là dãy tăng

3 Cho dãy s ố đ c xác đ nh b i :ượ ị ở

a) Ch ng minh r ng dãy ứ ằ là dãy gi mả

b) Tìm ph n nguyên c a ầ ủ v i ớ

4 Cho dãy s ố đ c xác đ nh b i:ượ ị ở

a) G i ọ là hai nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ Ch ng minh r ng:ứ ằ

Xét dãy s ố Ch ng minh r ng dãy ứ ằ là m t tăng và b ch n.ộ ị ặ

2 Cho dãy s nguyên d ng ố ươ th a : ỏ

Ch ng minh r ng: ứ ằ v i m i s t nhiên ớ ọ ố ự

3 Cho dãy s ố đ c xác đ nh b i: ượ ị ở

Ch ng minh r ng dãy s ứ ằ ố là dãy s nguyên.ố

4 Cho dãy s ố đ c xác đ nh b i: ượ ị ở

Ch ng minh r ng ứ ằ là s t nhiên ch n và ố ự ẵ là s t nhiên l ố ự ẻ

5 Cho hai dãy s ố xác đ nh :ị

6 Cho dãy s s ố ố đ c xác đ nh b i:ượ ị ở

Ch ng minh r ng: ứ ằ là m t s chính ph ng ộ ố ươ

Ví d ụ 5 Cho m t c p s c ng ộ ấ ố ộ có và t ng 100 s h ng đ u b ngổ ố ạ ầ ằ Tính

CÁC BÀI TOÁN LUY N T P Ệ Ậ

Bài 1 Dãy s ố có ph i là c p s c ng không ? N u ph i hãy xác đ nh s ả ấ ố ộ ế ả ị ốcông sai ? Bi t:ế

Bài 2 Dãy s ố có ph i là c p s nhân không ? N u ph i hãy xác đ nh s ả ấ ố ế ả ị ốcông b i ? Bi t:ộ ế

Bài 6 Cho dãy s ố v i ớ

1 Ch ng minh dãy s (uứ ố n) là c p s nhân ấ ố

3 Cho b n s nguyên d ng, trong đó ba s đ u l p thành m t c p s c ng, ố ố ươ ố ầ ậ ộ ấ ố ộ

ba s sau l p thành c p s nhân Bi t t ng s h ng đ u và cu i là 37, t ng haiố ậ ấ ố ế ổ ố ạ ầ ố ổ

s h ng gi a là 36, tìm b n s đó ố ạ ữ ố ố

Bài 8

1 Cho c p s c ng (uấ ố ộ n) th a mãnỏ Tìm ?

2 Cho c p s c ng (uấ ố ộ n) có công sai ; Hãy tìm s h ng ố ạ

t ng quát c a c p s c ng đó ổ ủ ấ ố ộ

3 G i ọ là t ng ổ s h ng đ u c a m t c p s c ng Ch ng ố ạ ầ ủ ộ ấ ố ộ ứminh r ng: ằ

S d ng công th c t ng quát c a c p s , chuy n các đ i l ng qua s h ngử ụ ứ ổ ủ ấ ố ể ạ ượ ố ạ

đ u và công sai, công b i.ầ ộ

Theo phân tích bài trên, ta có:

Hay ph ng trình đã cho có nghi m ươ ệ , t c là:ứ

Bài toán đ c ch ng minh.ượ ứ

Ví d ụ 4 Ch ng minh r ng v i m i cách chia t p ứ ằ ớ ọ ậ thành hai

t p con r i nhau luôn có m t t p ch a ba s l p thành c p s c ng.ậ ờ ộ ậ ứ ố ậ ấ ố ộ

L i gi i ờ ả

Ta ch ng minh bài toán b ng ph ng pháp ph n ch ngứ ằ ươ ả ứ

Gi s ả ử đ c chia thành hai t p con A và B đ ng th i trong A và B không cóượ ậ ồ ờ

Vì c p (3;5) và (5;7) hkoogn cùng thu c m t t p nên ta suy raặ ộ ộ ậ

(3;7) thu c A, 5 thu c B Khi đó ta xét các tr ng h p sauộ ộ ườ ợ

Bài 7 Cho hai s t nhiên ố ự th a ỏ

1 Ch ng minh r ng t n t i không quá hai giá tr c a ứ ằ ồ ạ ị ủ sao cho , và

Nên (2) đúng Suy ra đ ng th c cho đúng v i m i ẳ ứ ớ ọ

Bài 4 * V i ớ ta có: nên đ ng th c cho đúng.ẳ ứ

V y đ ng th c cho đúng v i ậ ẳ ứ ớ , nên đ ng th c cho cũng đúng v i m iẳ ứ ớ ọ

s nguyên d ng ố ươ

Bài 5

1 Ta ch ng minh ứ (1) b ng ph ng pháp quy ằ ươ

n p theo ạ Sau đó cho ta có (7)

Hay .

V y bài toán đ c ch ng minh.ậ ượ ứ

Chú ý: Ch ng minh t ng t ta cũng có bài toán sauứ ươ ự

V i ớ bài toán hi n nhiên đúng.ể

Gi s bài toán đúng v i ả ử ớ , ta ch ng minh bài toán đúng v i ứ ớ

N u ế thì bài toán hi n nhiên đúngể

Vì nên v i ớ là các c đôi m t khác ướ ộnhau c a ủ

Vì là các c đôi m t khác nhau c a ướ ộ ủ

V y bài toán đ c ch ng minh.ậ ượ ứ

Và không chia h t cho 5ế

* Gi s ả ử và không chia h t cho 5 v i m i ế ớ ọ

Ta ch ng minh ứ và không chia h t cho 5 ế

s chia mi n đó thành 2 mi n, nên s mi n có thêm làẽ ề ề ố ề Do v y, ta có:ậ

V i ớ ta th y bài toán hi n nhiên đúngấ ể

Gi s bài toán đúng v i ả ử ớ , có nghĩa là: t ừ s b t kì trong ố ấ s tố ựnhiên đ u tiên luôn tìm đ c hai s là b i c a nhau.ầ ượ ố ộ ủ

Ta ch ng minh bài toán đúng v i ứ ớ , t c là: t ứ ừ s b t kì trong ố ấ s t ố ựnhiên đ u tiên luôn tìm đ c hai s là b i c a nhau.ầ ượ ố ộ ủ

Ta ch ng minh b ng ph n ch ng:ứ ằ ả ứ

Gi s t n t i m t t p con ả ử ồ ạ ộ ậ có ph n t c a t p ầ ử ủ ậ sao chohai s b t kì trong ố ấ không là b i c a nhau.ộ ủ

Ta s ch ng minh r ng có m t t p con ẽ ứ ằ ộ ậ g m ồ ph n t c a t pầ ử ủ ậ

sao cho hai ph n t b t kì c a ầ ử ấ ủ không là b i c a nhauộ ủ

Đ ch ng minh đi u này ta xét các tr ng h p sau đâyể ứ ề ườ ợ

Ta b đi ph n t ỏ ầ ử thì ta thu đ c t p ượ ậ g m ồ ph n t và là t p con c aầ ử ậ ủ

mà hai ph n t b t kì thu c ầ ử ấ ộ không là b i c a nhau.ộ ủ

TH 3: ch a ứ mà không ch a ứ

Ta b đi ph n t ỏ ầ ử thì ta thu đ c t p ượ ậ g m ồ ph n t và là t p con ầ ử ậ

c a ủ mà hai ph n t b t kì thu c ầ ử ấ ộ không là b i c a nhau.ộ ủ

TH 2: ch a ứ và

Vì không ch a hai s là b i c a nhau nên ứ ố ộ ủ không ch a ứ và c c a ướ ủ(Vì n u ch a c c a ế ứ ướ ủ thì s đó là c c a ố ướ ủ )

Bây gi trong ờ , ta b đi hai ph n t ỏ ầ ử và r i b sung thêm ồ ổ vào thì ta thu đ c t p ượ ậ g m ồ ph n t và là t p con c a ầ ử ậ ủ mà hai

ph n t b t kì thu c ầ ử ấ ộ không là b i c a nhau.ộ ủ

Nh v y ta luôn thu đ c m t t p con ư ậ ượ ộ ậ g m ồ ph n t c a t pầ ử ủ ậ

mà các ph n t không là b i c a nhau Đi u này trái v i gi ầ ử ộ ủ ề ớ ảthi t quay n p.ế ạ

V y bài toán đ c ch ng minh theo nguyên lí quy n p.ậ ượ ứ ạ

Khi đó, theo công th c truy h i ta có:ứ ồ

ph ng trình này vô nghi mươ ệ

V y không có s h ng nào c a dãy nh n giá tr nguyên.ậ ố ạ ủ ậ ị

Theo bài ra ta có h ph ng trình :ệ ươ

Nên là m t dãy th a đ bài.ộ ỏ ề

2 Ta có ba s h ng ti p theo c a dãy là: ố ạ ế ủ

Bài 9

1 Đ t ặ Khi đó:

2 Ta ch ng minh đ c: ứ ượ T đây suy ra đpcm.ừ

3 Ta ch ng minh bài toán b ng ph ng pháp ph n ch ngứ ằ ươ ả ứ

Gi s dãy ả ử có h u h n các s ch n, gi s ữ ạ ố ẵ ả ử là s h ng l n nh t c aố ạ ớ ấ ủdãy là s ch n Khi đó ố ẵ l v i ẻ ớ

Nên dãy ch a vô h n s ch n.ứ ạ ố ẵ

Ch ng minh t ng t ta cũng có dãy ứ ươ ự ch a vô h n s l ứ ạ ố ẻ

Gi s t n t i ả ử ồ ạ đ ể và Khi đó

Ta gi s ả ử , suy ra:

đi u này vô lí.ề

Do v y t n t i duy nh t dãy nguyên d ng ậ ồ ạ ấ ươ (đó chính là dãy ) th a ỏmãn (1)

b) T ng t ta ch ng minh đ c t n t i dũy nh t các dãy nguyên d ng ươ ự ứ ượ ồ ạ ấ ươ

dãy là dãy s tăng.ố dãy b ch n d i.ị ặ ướ

3 Ta có: b ch n d i; dãy ị ặ ướ không b ch n trên.ị ặ

4 Ta có: b ch n trên; dãy ị ặ không b ch n ị ặ

B ng quy n p ta ch ng minh đ c ằ ạ ứ ượ

nên

4.

a) Ta ch ng minh bài toán b ng quy n pứ ằ ạ

V i ớ

Gi s ả ử

Khi đó:

b) Ta có:

Bài 8 1 Ta có

M t khác: ặ V y dãy ậ là dãy tăng và b ch n.ị ặ 2 Ta có:

M t khác: ặ và khi n càng l n thì ớ càng l n.ớ

V y dãy ậ là dãy tăng và b ch n d i.ị ặ ướ

3 Tr c h t b ng quy n p ta ch ng minh: ướ ế ằ ạ ứ

Đi u này đúng v i ề ớ , gi s ả ử ta có:

Ta có:

V y bài toán đ c ch ng minh.ậ ượ ứ

2 T cách cho dãy s , ta th y dãy ừ ố ấ luôn t n t i và duy nh t.ồ ạ ấ

Ở b i ở ta đ c:ượ

(2)

T (1) và (2) suy ra ừ là hai nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ

2 Ta có: là h ng sằ ố

Suy ra dãy là c p s c ng v i công sai ấ ố ộ ớ

3 Ta có: ph thu c vào ụ ộ Suy ra dãy không ph i là c p s c ng.ả ấ ố ộ

Dãy là CSC có công sai

3 Ta có: Dãy là CSC có công sai

4 Ta có: không là CSC

5 T ng t ý 4 dãy ươ ự không là CSC

6 T ng t ý 4 dãy ươ ự không là CSC

Bài 4

1 Ta có: là CSN v i công b i ớ ộ

2 Ta có: là CSN v i công b i ớ ộ

3 Ta có: không ph i là CSN ả

Ta ch ng minh t p ứ ậ ch a không quá hai s khác ứ ốnhau Th t v y, gi s ậ ậ ả ử là ba s khác nhau ố

Khi đó, t n t i ba CSC: ồ ạ

, ,

Đi u này trái v i k t qu câu ề ớ ế ả

Do và là các s t nhiên liên ti p nên ta có:ố ự ế