Bài 4 TÍNH TOÁN SAI số và BIỂU DIỄN kết QUẢ đo

 Kĩ năng + Biết cách xác định được chữ số có nghĩa trong một số, biết cách làm tròn số và viết kết quả của phép đo.. Cách tính sai số trực tiếp Trong thực nghiệm, để xác định giá trị

BÀI 4: TÍNH TOÁN SAI SỐ VÀ BIỂU DIỄN KẾT QUẢ ĐO Mục tiêu

 Kiến thức

+ Hiểu được các khái niệm, đại lượng cơ bản về sai số khi thực hiện đo đạc 1 đại lượng vật lí nào

đó

+ Phân biệt được các loại sai số thường gặp: Sai số tuyệt đối, sai số ngẫu nhiên, sai số tương đối (tỉ đối), sai số dụng cụ đo,

 Kĩ năng

+ Biết cách xác định được chữ số có nghĩa trong một số, biết cách làm tròn số và viết kết quả của phép đo

+ Thực hành xác định được sai số của phép đo trực tiếp và phép đo gián tiếp

Trang 2

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Cách tính sai số trực tiếp

Trong thực nghiệm, để xác định giá trị của một đại

lượng vật lý nào đó chúng ta cần tiến hành đo đại

lượng đó nhiều lần rồi xác định giá trị trung bình của

chúng Giá trị đó sẽ càng gần với giá trị thực của đại

lượng cần xác định khi phép đo được thực hiện càng

nhiều lần Chẳng hạn, đa số chúng ta đều biết xác suất

mặt ngửa và mặt sấp của một đồng xu là 50 %, để kết

luận được điều đó chúng ta phải thực hiện việc tung

đồng xu đó càng nhiều lần thì số lần đồng xu sấp và số

lần đồng xu ngửa sẽ xấp xỉ bằng nhau Do vậy, việc

xác định sai số của đại lượng vật lý nào đó là rất quan

trọng Đặc biệt trong các tính toán đòi hỏi độ chính

xác cao

Muốn đo đại lượng vật lý A, trong thực nghiệm chúng ta đo giá trị đó n lần và được các kết quả A1, A2, ,

An Khi đó kết quả đo đại lượng A được viết:

 4.1

4.2

n

A

n



là giá trị trung bình của đại lượng vật lý cần đo (là giá trị gần đúng nhất với giá trị thực của đại lượng cần đo)

Và A được gọi là sai số tuyệt đối của phép đo và được xác định bằng tổng của sai số ngẫu nhiên và sai

số dụng cụ đo:

 4.3

dc

    

Sai số ngẫu nhiên

 

4.4

n

A

n

     

còn gọi là sai số tuyệt đối trung bình của phép đo với   A1 A A1 ,   A n A A n là các sai số tuyệt đối của mỗi lần đo

- Thông thường, sai số dụng cụ đo Adc có thể được lấy bằng nửa hoặc một độ chia nhỏ nhất trên dụng cụ

đo

- Độ chia nhỏ nhất là khoảng giá trị bé nhất trên dụng cụ đo đọc được, ví dụ thước có chia vạch 1 mm thì

độ chia nhỏ nhất (độ chính xác) của dụng cụ đo được hiểu là 1 mm

- Kết quả thu được là bội số của độ chia nhỏ nhất

Ngoài các sai số trên, để đánh giá mức độ chính xác của phép đo, người ta sử dụng sai số tương đối (sai

số tỉ đối) của phép đo và được xác định:

.100%

A

A

A

  

Sai số tỉ đối càng nhỏ thì phép đo càng chính xác

2 Viết kết quả đo

Kết quả đo đại lượng A được viết dưới dạng A  A A trong đó A được lấy tối đa đến hai chữ số có

nghĩa còn A được viết đến bậc thập phân tương ứng

Cần đo chiều dài của cây bút chì bằng thước kẻ học sinh, sau 5 lần đo của 5 bạn học sinh khác nhau, thu được các kết quả sau:

GTTB

7,1 7, 0 7, 2 7, 3 7,1

5 7,14 7,1

l

cm



Bước sóng: a i.

D



Gia tốc trọng trường: g 4 l2

T





Lưu ý, các em cần nắm chắc các quy tắc làm tròn chữ số thập phân Trong ví dụ trên, chúng ta cần làm tròn sau dấu phẩy một chữ số, thì có thể áp dụng quy tắc sau:

- Nếu chữ số liền sau “số 1” lớn hơn hoặc bằng 5 thì cộng một đơn vị vào “số 1” (sẽ thành 2)

- Nếu chữ số liền sau “số 1” nhỏ hơn 5 thì giữ nguyên “số 1”

Trong trường hợp không cho phép thực hiện phép đo nhiều lần (n < 5) người ta không lấy sai số ngẫu nhiên bằng cách lấy trung bình như công thức (4.4), mà chọn giá trị cực đại AMax trong số các giá trị sai

số tuyệt đối thu được làm sai số ngẫu nhiên

Độ chia nhỏ nhất của thước kẻ trong ví dụ trên là 1 mm

Độ chia nhỏ nhất của đồng hồ bấm giây là 1/100 giây

Các đại lượng cần xác định sai số gián tiếp thường là:

Các đại lượng X Y Z, , là các giá trị trung bình được cho sẵn ở đề bài dưới dạng sai số từ phép đo trực tiếp X  X  X Y,   Y Y Z,   Z Z

Do đó, ta dễ dàng xác định được giá trị trung bình của B và sai số tuyệt đối B

3 Cách tính sai số gián tiếp

Thực tế, chúng ta thường gặp bài toán xác định một đại lượng nào đó mà đại lượng đó khó hoặc không thể đo trực tiếp được, chẳng hạn: bước sóng, tốc độ âm thanh, gia tốc trọng trường g, v.v Do đó, để xác định các đại lượng này cần phải dùng đến các công thức liên hệ với những đại lượng có thể đo trực tiếp

- Sai số tuyệt đối của một tổng hay hiệu thì bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số hạng

- Sai số tỉ đối của một tích hay thương thì bằng tổng sai số tỉ đối của các thừa số

Cách xác đinh sai số gián tiếp của một đại lượng vật lý:

Không mất tính tổng quát, giả sử chúng ta có một đại lượng vật lý được xác định bởi công thức

 

3

XY

B

Z

 Ta tìm sai số của đại lượng B như sau:

Bước 1: Tính giá trị trung bình của B từ công thức  * ,B X Y23

Z

 và thực hiện làm tròn số

Bước 2: Lấy logarit Nêpe (ln) hai vế (*)

2

Z

Bước 3: Lấy vi phân hai vế (1)

 

Bước 4: Đổi tất cả các “dấu trừ” trong biểu thức vi phân (2) thành dấu “cộng”

 

Bước 5: Tính sai số tuyệt đối của đại lượng B

Kết quả đo được viết: B  B B

Lưu ý khi viết kết quả đo, giá trị trung bình làm tròn bao nhiêu chữ số thì sai số tuyệt đối cũng làm tròn bấy nhiêu chữ số

Chú ý, Khi tính sai số tuyệt đối B của đại lượng B, các đại lượng B, X, Y, Z trong công thức (3) được viết và thay thế bằng giá trị trung bình của đại lượng tương ứng

Bước 4 và 5 có thể dồn lại thành một, nhưng chú ý phải đổi dấu trong biểu thức

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Phương pháp giải

Thông thường, với một kết quả đo được viết dưới dạng chữ số thập phân, đôi khi chúng ta nhận được một dãy số rất dài, và làm thế nào để xác định được số chữ số có nghĩa?

Một cách ngắn gọn, “số các chữ số có nghĩa là tất cả các chữ số còn lại tính từ trái sang phải trong dãy số

từ chữ số khác 0 đầu tiên.”

Bước 1: Xác định chữ số khác không đầu tiên

Bước 2: Đếm số chữ số từ số có nghĩa đầu tiên đến chữ số cuối cùng bên phải

Ví dụ: Khối lượng của một hạt electron tính theo đơn vị khối lượng nguyên tử (u) gần đúng là

0,000548579909070

e

m  u Có bao nhiêu chữ số có nghĩa trong chuỗi số trên?

Hướng dẫn giải

Nhìn vào chuỗi số m e 0,000548579909070 u chúng ta thấy 4 số 0 đầu tiên không được tính là chữ số

có nghĩa Chữ số khác 0 đầu tiên là số 5 tính từ trái sang phải

Từ số 5 đến số cuối cùng bên phải có 12 chữ số Chọn C

Trang 4

Giá trị trung bình

của phép đo

B1: Tính giá trị trung bình từ công thức B



n

  

A

Trang 6

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Dùng một thước có độ chia nhỏ nhất đến milimet để đo 10 lần khoảng cách d giữa hai điểm A, B

đều cho một giá trị như nhau bằng 301 mm Kết quả đo được viết đúng là

A d = (301 ± 0,5) mm B d = (0,301 ± 0,001) m

C d = (0,301 ± 0,0005) m D d = (301 ± 2)mm

Hướng dẫn giải

Cả 10 lần đo đều cho kết quả khoảng cách trung bình là d301mm0,301m

Sai số tuyệt đối của phép đo trong trường hợp này bằng sai số dụng cụ đo   d ddc 1mm0, 001m

Do đó, kết quả đo được viết là: d0, 301 0, 001 m 

Chọn B

Lưu ý:

Độ chia nhỏ nhất của thước thường được lấy là sai số dụng cụ đo

Chú ý việc đổi đơn vị của các đại lượng, giá trị trung bình và sai số tuyệt đối phải cùng một đơn vị đo

Ví dụ 2: Một học sinh thực hiện đo gia tốc trọng trường tại phòng thí nghiệm, phép đo gia tốc trọng

trường này sau nhiều lần đo được giá trị trung bình và sai số tuyệt đối trung bình lần lượt là

2

g 0, 057421m / s

  Kết quả đo được viết là:

A g = 9,86 ± 0,05 m/s2 B g = 9,87 ± 0,06 m/s2

C g = 9,86 ± 0,06 m/s2 D g = 9,87 ± 0,05 m/s2

Hướng dẫn giải

Giá trị trung bình và sai số tuyệt đối trung bình của g đề bài đã cho biết, thông thường các kết quả đo được làm tròn đến 1 % tức là lấy sau dấu phẩy 2 chữ số Do đó, kết quả của bài toán được viết là:

g = 9,87 ±0,06 m/s2

Chọn B

Dạng 2 Viết kết quả đo của phép đo trực tiếp

Phương pháp giải

- Áp dụng các quy tắc để tính sai số trực tiếp

- Áp dụng quy tắc làm tròn số

Ví dụ: Một học sinh dùng đồng hồ bấm giây để đo chu kỳ dao động điều hòa T của một con lắc đơn bằng

cách đo thời gian mỗi dao động toàn phần Sau ba lần đo cho kết quả thời gian của mỗi dao động lần lượt

là 2,02s; 2,12s; 1,99s; 2,00s; 2,04s Thang chia nhỏ nhất của đồng hồ bấm giây là 0,01s Kết quả của phép

đo chu kỳ được biểu diễn bằng:

A T = (2.03 ± 0,09)s B T = (2,04 ± 0,05)s

C T = (2.03 ± 0,04)s D T = (2,03 ± 0,05)s

Hướng dẫn giải

Bước 1: Tính giá trị trung bình

Thực hiện các quy tắc làm tròn số sau dấu phẩy thập phân

T

5

2, 02 2,12 1, 99 2 2, 04

2, 034 2, 03s 5



Bước 2: Tính sai số tuyệt đối từng phép đo

Bước 3: Tính sai số tuyệt đối trung bình

Bước 4: Sai số tuyệt đối của phép đo

dc

Bước 5: Viết kết quả phép đo

T 2, 03 0, 05 s

Chọn D

Ví dụ mẫu

khi bấm và sai số dụng cụ) Theo kết quả trên thì cách viết giá trị của chu kỳ T nào sau đây là đúng nhất?

A T = 2,06 ± 0,20 s B T = 2,13 ± 0,02 s

C T = 2,00 ± 0,02 s D T = 2,06 ± 0,02 s

Hướng dẫn giải

Giá trị trung bình của phép đo 1 T1 T2 T3 T4

Và sai số tuyệt đối T 1 0, 2 0, 02s

10

Nếu lấy hai chữ số có nghĩa ở sai số tuyệt đối thì kết quả phép đo được viết là T2, 06 0, 02s.

Chọn D

Ví dụ 1: Một bạn học sinh dùng đồng hồ bấm giây để đo chu kỳ dao động của con lắc đơn bằng cách xác

định khoảng thời gian để con lắc thực hiện được 10 dao động toàn phần Kết quả 4 lần đo liên tiếp của bạn học sinh này là: 21,2 s; 20,2 s; 20,9 s; 20,0 s Biết sai số tuyệt đối khi dùng đồng hồ này là 0,2s (bao gồm sai số ngẫu nhiên

Trang 8

Ví dụ 2: Học sinh thực hành đo chu kì dao động của con lắc đơn bằng đồng hồ bấm giây bằng cách đo

thời gian thực hiện một dao động toàn phần Kết quả 5 lần đo như sau:

Cho biết thang chia nhỏ nhất của đồng hồ là 0,02 s Kết quả của phép đo chu kì T của con lắc:

A 2,04 ± 1,96% (s) B 2,04 ± 2,45% (s)

C 2,04 ± 1,57% (s) D 2,04 ± 2,85% (s)

Hướng dẫn giải

- Sai số dụng cụ là: 0,02 s

- Giá trị trung bình: T 2, 01 2,11 2, 05 2, 03 2, 00 2, 04s

5

- Sai số tuyệt đối trung bình:

2, 01 2, 04 2,11 2, 04 2, 05 2, 04 2, 00 2, 04 2, 01 2, 04

T

5

0, 03s

 



- Sai số tuyệt đối: T 0, 03 0, 02 0, 05s

- Sai số tỉ đối của phép đo: T T.100% 0, 05.100% 2, 45%

2, 04 T



 Kết quả phép đo chu kì T được viết: T2, 04 2, 45%.

Chọn B

Dạng 3 Viết kết quả đo của phép đo gián tiếp

Phương pháp giải

- Viết được công thức tính giá trị trung bình và sử dụng công thức đó để áp dụng trong quy trình tính sai

số gián tiếp của phép đo

- Áp dụng lý thuyết, các bước tiến hành xác định sai số của phép đo gián tiếp

Ví dụ: Một học sinh dùng một con lắc đơn để xác định gia tốc trọng trường g tại lớp học của mình Bằng

cách đo trực tiếp thì học sinh xác định được chu kỳ và chiều dài của con lắc đơn bằng cách thước dây và đồng hồ bấm giây có sẵn ở phòng thí nghiệm, học sinh xác định được chu kì và chiều dài con lắc lần lượt

là T = (1,79 ± 0,03) (s) và l = (0,800 ± 0,004) (m) Gia tốc rơi tự do tại nơi làm thí nghiệm có giá trị là

A 9,79 ± 0,30 (m/s2) B 9,86 ± 0,42 (m/s2)

C 9,86 ± 0,38 (m/s2) D 9,79 ± 0,38 (m/s2)

Hướng dẫn giải

Bước 1: Tính giá trị trung bình g

 

2 2

2

4

9,8569 9,86 / s

1, 79

l

T





Bước 2: Lấy logarit nêpe (ln) hai vế (*)

  2  2    2  

2

4

l

T

Bước 3: Lấy vi phân hai vế (1)

2

g l T

Bước 4: Đổi tất cả các “dấu trừ” trong biểu thức vi phân (2) thành dấu “cộng”

2

g l T

Bước 5: Tính sai số tuyệt đối

2

0, 004 0, 03

0,800 1, 79

g9,86 0, 38 m / s 

Chọn C

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Một học sinh thực hiện thí nghiệm đo bước sóng ánh sáng bằng phương pháp giao thoa bằng khe

Y-âng Học sinh đó đo được khoảng cách giữa hai khe là a = 1,20 ± 0,03 (mm); khoảng cách từ hai khe đến màn quan sát là D = 1,60 ± 0,02 (m) và độ rộng của 11 vân sáng liên tiếp trên màn là L = 8,00 ± 0,15 (mm) Sai số tương đối của phép đo này là

Hướng dẫn giải

11 vân sáng liên tiếp ứng với 10 khoảng vân 10iL hay i L

10

+ Bước sóng trong thí nghiệm Y-âng xác định: ai aL  

*

10D

+ Lấy vi phân hai vế (**) và đổi dấu trừ trong công thức thành dấu cộng



+ Sai số tương đối của phép đo là 0, 03 0, 02 0,15 0, 05625 5, 63%

1, 20 1, 60 8, 00



Trang 10

Chọn B

Lưu ý:

- Các đơn vị của a, D, i, L không cần thiết phải đổi ra đơn vị cơ bản SI mà có thể áp dụng luôn vào công thức để tính  hoặc sai số tuyệt đối, tương đối

- Chú ý đến vi phân của các hằng số thì luôn bằng 0

Ví dụ 2: Một học sinh dùng cân và đồng hồ đếm giây để đo độ cứng của lò xo Dùng cân để cân vật nặng

khối lượng m = 100 g ± 2% Gắn vật vào lò xo và kích thích cho con lắc dao động rồi dùng đồng hồ đếm giây đo thời gian của một dao động cho kết quả T = 2 s ± 1% Bỏ qua sai số của  (coi như bằng 0) Sai

số tương đối của phép đo là

Hướng dẫn giải

Ta có

2 2



Lấy ln hai vế:    2    

ln k ln 4 ln m 2 ln T

Lấy vi phân và đổi dấu trừ thành công: k m 2 T

Với A A,

A



  suy ra sai số tương đối của phép đo độ cứng k là:

Chọn D

Lưu ý:

- Kết quả đo có thể được viết dưới dạng A  A A

- Để ý đến vi phân của hằng số  2

ln 4 0

Hướng dẫn giải

T



      suy ra giá trị trung bình của tốc độ v  .f 0, 75.440330m



Ví dụ 3: Tiến hành thí nghiệm đo tốc độ truyền âm trong không khí, một học sinh đo được bước sóng của

sóng âm là  = 75 ± 1 (cm), tần số dao động của âm thoa là f = 440 ± 10 (Hz) Tốc độ truyền âm tại nơi làm thí nghiệm là

A 330,00 ± 11,99 (m/s) B 330,00 ± 11,0 (m/s)

C 330,00 ± 11,0 (cm/s) D 330,00 ± 11,99 (cm/s)

 

v

v v 0, 036.330 11,99m

v v v 330 11,99 m

Chọn A

Bài tập tự luyện

Bài tập cơ bản

Câu 1: Kết quả đo dòng điện chạy qua một điện trở trong một đoạn mạch điện bằng ampe kế điện tử cho

kết quả là I = 0,02501 A Có bao nhiêu chữ số có nghĩa

Câu 2: Tiến hành thí nghiệm đo gia tốc trọng trường g bằng con lắc đơn, một học sinh đo được chiều dài

con lắc là l  l l m Chu kì dao động nhỏ của nó là   T  T T s  bỏ qua sai số của số  Sai số tuyệt đối của gia tốc trọng trường g là

A g T 2l

g T l

g  T  l

2

g  T l

Câu 3: Dùng một thước có độ chia đến milimét đo 5 lần khoảng cách d giữa hai điểm A và B đều cho

cùng một giá trị là 1,345 m Lấy sai số dụng cụ là một độ chia nhỏ nhất Kết quả đo được viết là

A d =1345 ± 2 (mm) B d = 1,345 ± 0,001 (m)

C d = 1345 ± 3 (mm) D d = 1,345 ± 0,0005 (m)

Câu 4: Một học sinh làm thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng để đo bước sóng ánh sáng Khoảng

cách hai khe sáng là a = 1,00 ± 0,05 (mm) Khoảng cách từ mặt phẳng chứa hai khe đến màn đo được là

D = 2,00 ± 0,01 (m), khoảng cách giữa 10 vân sáng liên tiếp đo được là L = 10,80 ± 0,14 (mm) Bước sóng bằng

A 0,54 ± 0,03 (m) B 0,54 ± 0,04 (m) C 0,60 ± 0,03 (m) D 0,60 ± 0,04 (m)

Câu 5: Để đo tốc độ truyền sóng v trên một sợi dây đàn hồi AB, người ta nối đầu A vào một nguồn dao

động có tần số f = 100 Hz ± 0,02% Đầu B được gắn cố định Người ta đo khoảng cách giữa hai điểm

trên dây gần nhất không dao động với kết quả l = 0,02 m ± 0,82% Tốc độ truyền sóng trên sợi dây AB là

A v = 4 m/s ± 0,84% B v = 4 m/s ± 0,016%

C v = 2 m/s ± 0,84% D v = 2 m/s ± 0,016%

Bài tập nâng cao

Câu 6: Một học sinh tiến hành thí nghiệm đo bước sóng ánh sáng bằng phương pháp giao thoa khe

Y-âng Học sinh đó đo được khoảng cách giữa hai khe a = 1,50 ± 0,01 (mm), khoảng cách từ hai khe đến màn D = 580 ± 1 (mm) và khoảng cách giữa 3 vân sáng liên tiếp là L= 5,00 ± 0,02 (mm) Sai số tỉ đối (tương đối) của phép đo là

Câu 7: Trong bài thực hành đo gia tốc trọng trường của Trái Đất tại phòng thí nghiệm Một học sinh đo

chiều dài con lắc đơn có kết quả là l = 0,8000 ± 0,0002 (m) thì chu kỳ dao động T = 1,7951 ± 0,0001 (s)

Gia tốc trọng trường tại đó là

A g = 9,801 ± 0,0023 (m/s2) B g = 9,801 ± 0,0035 (m/s2)

C g = 9,801 ± 0,0003 (m/s2) D g = 9,801 ± 0,0004 (m/s2)