Bài 6 bài TOÁN đồ THỊ TRONG DAO ĐỘNG điều hòa

Phương trình được biểu diễn bởi đồ thị li độ theo thời gian là một đường hình sin và gọi là dao động hình sin.. Độ lệch pha của hai dao động Xét hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần

CHƯƠNG 1 BÀI 6: BÀI TOÁN ĐỒ THỊ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA Mục tiêu

 Kiến thức

+ Trình bày được cách vẽ đồ thị hình sin trong dao động điều hòa và đồ thị mối quan hệ giữa các

đại lượng dao động điều hòa

+ Trình bày được hai cách xác định được độ lệch pha giữa hai dao động từ đồ thị

 Kĩ năng

+ Rèn luyện được kĩ năng quan sát, phân tích, so sánh, tư duy logic

+ So sánh được pha của hai dao động từ đồ thị

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Bài toán đồ thị hình sin trong dao động điều hòa

Hình dáng đồ thị dao động

Xét một chất điểm dao động điều hòa

xA cos   t Phương trình được biểu diễn bởi đồ

thị li độ theo thời gian là một đường hình sin và gọi là

dao động hình sin

Trục tung biểu diễn li độ của dao động biến thiên trong

khoảng từ A đến A, trục hoành là trục thời gian, với T

là chu kì của dao động

Một số vị trí đặc biệt trên đồ thị

Vị trí ban đầu t0có li độ x bất kì 0

0 0

x

x A cos arccos

A

Nếu sau đó đồ thị đi lên (x tăng) thì  0 còn nếu đồ thị

sau đó đi xuống (x giảm) thì  0

 Thời điểm t có li độ 1 x A

 Thời điểm t có li độ 2 x 0 cos   t2  0

 Thời điểm t có li độ 3 x  A cos    t3  1

Từ các mối quan hệ suy được trên sẽ suy ra được các đại

lượng cần tìm

Tuy nhiên, khi làm các bài toán về đồ thị, thường sử

dụng mối quan hệ giữa chuyển động tròn đều và dao

động điều hòa để xử lí nhanh hơn

Một số thời điểm đặc biệt trên đồ thị và đường tròn

Xét một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình

xA cos   t

 Tại t0, nếu xx0 0 và đồ thị hướng lên vị trí

ban đầu M của chuyển động tròn đều tương ứng thuộc 0

góc phần tư thứ IV, dao động tới biên dương tại thời

điểm t , qua vị trí cân bằng lần đầu tiên tại thời điểm 1

2

t , rồi về tới biên âm tại thời điểm t 3

 Tại t0, nếu xx0 0 và đồ thị hướng lên vị trí

ban đầu M của chuyển động tròn đều tương ứng thuộc 0

góc phần tư thứ III, dao động tới vị trí cân bằng tại thời

điểm t , lên tới biên dương lần đầu tiên tại thời điểm 1 t , 2

rồi về vị trí cân bằng lần thứ hai tại thời điểm t 3

 Tại t0, nếu xx0 0 và đồ thị đi xuống thì vị trí

ban đầu M của chuyển động tròn đều tương ứng thuộc 0

góc phần tư thứ I, dao động qua vị trí cân bằng lần đầu

tiên tại thời điểm t , tới biên âm tại thời điểm 1 t , rồi 2

qua vị trí cân bằng lần thứ hai tại thời điểm t 3

 Tại t0, nếu xx0 0 và đồ thị đi xuống thì vị trí

ban đầu M của chuyển động trò đều tương ứng thuộc 0

góc phần tư thứ II, dao động tới biên âm tại thời điểm

1

t , qua vị trí cân bằng tại thời điểm t , rồi về tới biên 2

dương tại thời điểm t 3

2 So sánh hai đồ thị hình sin trong dao động cơ học

Độ lệch pha của hai dao động

Xét hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số trên

trục Ox có đồ thị dao động như hình vẽ

Có hai cách xác định độ lệch pha:

Dựa vào t , t thuộc hai đỉnh gần nhau nhất của hai đồ 1 2

thị:

Độ lệch pha:   t2t1

Dựa vào giao điểm x của 2 đồ thị Đường tròn trong có 0

biên độ nhỏ A biểu diễn cho dao động (1), đường tròn 1

ngoài A biểu diễn cho dao động (2) 2

Xác định vị trí giao x trên trục Ox, dựng đường vuông 0

góc tại x cắt đường tròn (1) tại 0 M ở nửa trên theo 1

chiều âm (do đồ thị (1) đang đi xuống qua x ); cắt 0

đường tròn (2) tại M ở nửa dưới theo chiều dương (do 2

đồ thị (2) đang đi lên qua x ) 0

Từ hình vẽ ta có độ lệch pha:

cos , cos

3 Đồ thị sự phụ thuộc của các đại lượng dao động

điều hòa

Các đại lượng dao động điều hòa theo thời gian có sự

phụ thuộc vào nhau theo một biểu thức độc lập với thời

gian, khi đó ta có thể vẽ được đồ thị sự phụ thuộc nếu

biết dạng biểu thức

Nếu hai đại lượng b và c vuông pha (x và v, v và a,…) ta

có sự phụ thuộc là

1

phụ thuộc có dạng hình elip

Nếu hai đại lượng b và c cùng pha hoặc ngược pha (x và

a ngược pha, a và F cùng pha,…) ta có sự phụ thuộc

dạng bkc với k là hệ số phụ thuộc nên đồ thị sự phụ

thuộc có dạng đoạn thẳng đi qua gốc tọa độ

Đồ thị sự phụ thuộc của một số đại lượng:

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Bài toán 1: Bài toán đồ thị các đại lượng dao động điều hòa theo thời gian

Phương pháp giải

Xét đại lượng b (b có thể là x, v, a,…) dao động điều

hòa với phương trình bB cos  t 

Đồ thị của b có dạng hình sin theo thời gian

Ta cần đọc được giá trị biên độ B, chu kì T và pha

ban đầu  từ đồ thị

- Xác định biên độ B: Đọc giá trị B trên trục b ứng

với điểm cao nhất của đồ thị

- Xác định pha ban đầu :

Xét tại thời điểm t0: Đồ thị cắt trục b tại điểm b , 0

suy ra b0 Bcos Kết hợp với hình ảnh đồ thị sau

t0 thì b tăng hay giảm để chọn nghiệm 

Nếu b tăng thì  0 còn b giảm thì  0

- Xác định T: Nhìn vào các giá trị đề bài đã cho biết

trên trục thời gian t để tìm khoảng thời gian tương

ứng, từ đó xác định được T

Ví dụ: Tìm phương trình dao động có đồ thị như

sau:

Phương trình dao động có dạng

xA cos   t

Từ đồ thị ta thấy:

Biên độ A 5cm

Ở thời điểm t0 vật ở vị trí thấp nhất

0

x      A Trên trục t cho biết ở thời điểm t1s vật đang ở

vị trí cao nhất, vậy khoảng thời gian t1s ứng với thời gian vật đi từ vị trí biên âm tới biên dương nên

T

2

Vậy ta có phương trình dao động:

x5 cos   t cm

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa

trên trục Ox có đồ thị biểu diễn sự

phụ thuộc của li độ x vào thời gian t

như hình vẽ, pha ban đầu của dao

động là

A 10 t

2



  B 10 t

2



 

C

2



2





Hướng dẫn giải

Từ đồ thị ta thấy ban đầu ( t0) vật ở vị trí x0, đồ thị hướng xuống

nên x đang giảm   0

Ta có: x A cos 0

 

Chọn D

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa trên trục Ox có đồ thị biểu diễn sự

phụ thuộc của li độ x vào thời gian t như hình vẽ Viết phương trình dao

động

A x 4 cos t cm

4



   

  B x 2 cos t 4 cm



   

C x 4 cos t cm

4



   

  D x 2 cos t 4 cm



   

Hướng dẫn giải

Dựa vào hình vẽ ta thấy biên độ A4cm

Ở thời điểm t0, chất điểm ở vị trí có trạng thái:

x 2 2 4 cos

rad 4



   

Thời gian vật đi từ vị trí ban đầu tới vị trí biên gần nhất:

1 T

Vậy phương trình dao động của vật: x 4 cos t cm

4



   

Chọn A

Ví dụ 3: Một chất điểm dao động điều

hòa có đồ thị li độ như hình vẽ Tìm

phương trình dao động của vật?

A x 4 cos 2 t 2 cm

3



B x 4 cos t 7 cm

4



C x 4 cos 2 t 3 cm

4



D x 4 cos t 3 cm

4



Hướng dân giải

Biên độ dao động A 4cm

Vị trí x2 2 cm trên đường tròn biên độ 4 cm rad

2



  

24 24 2



      

Ban đầu có li độ âm và đồ thị giảm nên

được biểu diễn bởi điểm M trên đường 0

tròn

Pha dao động tại N:

13

              

2

rad

3



Vậy phương trình dao động: x 4 cos 2 t 2 cm

3



Chọn A

Ví dụ 4: Một chất điểm dao động điều hòa theo trục Ox với O trùng với vị

trí cân bằng của chất điểm Đường biểu diễn sự phụ thuộc li độ chất điểm

theo thời gian t cho ở hình vẽ Phương trình vận tốc của chất điểm là:

A v 30 cos 5 t cm/s

6



  B v 60 cos 10 t 3 cm/s



C v 60 cos 10 t cm/s

6





Hướng dẫn giải

Từ đồ thị, ta thấy điểm cao nhất của đồ thị ứng với x6cmA

Tại thời điểm ban đầu (t0) vật đi qua vị trí x 3cm theo chiều

dương, sau khoảng thời gian 0,2 s thì trạng thái này lặp lại Vậy chu kì của

dao động: T 0, 2s 2 10 rad/s

T



Trạng thái của vật tại thời điểm ban đầu: x 3 6 cos 2

   

 

 Phương trình dao động của vật:

2

x 6 cos 10 t cm v 60 cos 10 t cm/s

Chọn C

Bài toán 2: Đồ thị của nhiều đại lượng dao động trên cùng một hình vẽ

Phương pháp giải

Để xác định độ lệch pha giữa hai dao động từ đồ

thị, ta dựa vào lý thuyết sau:

 Nếu đồ thị cho biết hai thời điểm t và 1 t ứng 2

với hai đỉnh gần nhau nhất của hai đồ thị, ta áp

dụng công thức:   t2t1

 Nếu đồ thị cho biết vị trí gặp nhau thì ta làm theo

các bước sau:

Bước 1: Xác định A , A , x từ đồ thị 1 2 0

Ví dụ: Hai chất điểm tham gia đồng thời hai dao

động điều hòa cùng phương có đồ thị như hình vẽ Tìm độ lệch pha của hai dao động?

Hướng dẫn giải

Bước 1: Từ hình vẽ ta thấy:

A 8cm, A 10cm, x 4cm

Bước 2: Tìm  1, 2:

0 1 1 0 2 2

x cos

A x cos

A







Bước 3: Độ lệch pha     1 2

Nếu bài yêu cầu tính khoảng cách xa nhất của hai

chất điểm thì áp dụng công thức (đã học ở bài 5):

 

max A1 A2 2A A cos1 2

Bước 2: Ta có:

1

1

2 2

4 cos

8

3 4

1,16 cos

10



Bước 3: Độ lệch pha:

1 2 1,16 2, 2 rad

3



Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho đồ thị li độ hai dao động điều hòa với chu kì 1,2 s Tìm

khoảng cách xa nhất giữa hai chất điểm trên phương dao động?

Hướng dẫn giải

Từ đồ thị ta thấy hai đỉnh gần nhau nhất của hai đồ thị ứng với thời điểm

1

t 0,3s và t2 0, 7s

Độ lệch pha của hai dao động:  2 1  

Khoảng cách xa nhất giữa hai chất điểm trên phương dao động:

 

2

3



Chọn C

Ví dụ 2: Hai chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng

phương có đồ thị như hình vẽ Tìm khoảng cách xa nhất trên phương dao

động?

A 2 cm B 4 cm C 6 cm D 4 3 cm

Hướng dẫn giải

Từ đồ thị ta thấy hai vật giao nhau ở tọa độ x02cm, hai chất điểm dao

động cùng biên độ A 4cm

Như vậy tại cùng một thời điểm t có điểm cắt

1

M thuộc (1) theo chiều âm, điểm cắt M thuộc 2

(2) theo chiều dương

x 1



         

Độ lệch pha của hai dao động: 1 2 2 rad

3



      Khoảng cách xa nhất của hai vật trên phương dao động:

max

2

16 16 2.4.4 cos 4 3 cm

3



Chọn D

Ví dụ 3: Hai chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng

phương và có đồ thị như hình vẽ Tìm khoảng cách xa nhất giữa hai chất

điểm

A 3 2 cm B 3 cm C 3 3 cm D 6 cm

Hướng dẫn giải

Từ đồ thị ta có A13cm, A26cm, x03cm

Tại thời điểm t hai vật gặp nhau tại x có 0

2

2 2

A

x x

2

3 0









  



Độ lệch pha của hai dao động: 2 1 rad

3



      Khoảng cách xa nhất giữa hai chất điểm:

 

max A1 A2 2A A cos1 2 9 36 2.3.6 cos 3 3 cm

3



Chọn C

Bài toán 3: Đồ thị mối quan hệ giữa các đại lượng x, v, a

Phương pháp giải

Để vẽ được đồ thị cũng như đọc được các giá trị từ đồ thị đã cho, ta cần tìm được sự phụ thuộc giữa các đại lượng và nhận biết được hình dáng đồ thị tương ứng với sự phụ thuộc đó

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa li độ và vận tốc của một vật

dao động điều hòa có dạng

A đường hyperbol B đường thẳng

C đường elip D đường parabol

Hướng dẫn giải

Từ phương trình li độ và vận tốc, ta thu được:

0

0

1



Sự phụ thuộc của x và v có dạng:

1

    

Vậy đồ thị biểu diễn mối quan hệ x và v có dạng elip

Chọn C

Ví dụ 2: Một vật có khối lượng m0, 01kg dao động điều hòa quanh vị

trí x0 dưới tác dụng của lực được

chỉ ra trên đồ thị như hình vẽ Chu

kì dao động của vật bằng:

A 0,256 s B 0,152 s

C 0,314 s D 1,255 s

Hướng dẫn giải

Ta có mối quan hệ giữa lực kéo về và li độ x là:

mx



Dựa vào đồ thị ta thấy ở thời điểm li độ x0, 2 m thì lực kéo về có giá

trị là F 0,8 N Thay vào biểu thức mối quan hệ trên ta có:

F 0,8

20 rad/s

mx 0, 01.0, 2



Chu kì của dao động: T20,314s

Chọn C

Bài tập tự luyện

Câu 1: Vận tốc của một vật dao động điều hòa phụ thuộc vào thời gian theo đồ thị như hình vẽ Mốc thời

gian được chọn là lúc chất điểm

A ở biên dương

B qua vị trí cân bằng theo chiều dương

C ở biên âm

D qua vị trí cân bằng theo chiều âm

Câu 2: Cho một chất điểm dao động điều hòa, sự phụ thuộc của li độ vào thời gian được biểu diễn trên đồ

thị như hình vẽ Lấy gần đúng 2

10

  Phương trình gia tốc của chất điểm là

a 20 cos t cm/s

6



B a 20 cos t 5 cm/s2

6



C a 40 cos t 5 cm/s2

6



D a 40 cos t 5 cm/s2

Câu 3: Đồ thị li độ theo thời gian của chất điểm 1 (đường 1) và chất

điểm 2 (đường 2) như hình vẽ, tốc độ cực đại của chất điểm 2 là

3 cm/s Không kể thời điểm t0, thời điểm hai chất điểm có cùng li

độ lần thứ 4 là

A 4,0 s B 3,25 s

C 3,75 s D 4,67 s

Câu 4: Cho một chất điểm dao động điều hòa, sự phụ thuộc của li độ vào thời gian được biểu diễn trên đồ

thị như hình vẽ Phương trình li độ của chất điểm là

A x 6 cos 1, 25 t cm

3



B x 6 cos 2, 5 t cm

3



C x 6 cos 5 t cm

3



D x 6 cos 2, 5 t cm

3



Câu 5: Đồ thị biểu diễn sự biến thiên của vận tốc theo li độ trong dao động điều hòa có hình dạng nào sau

đây?

Câu 6: Đồ thị nào sau đây cho biết mối liên hệ đúng giữa gia tốc a và li độ x trong dao động điều hòa của

một chất điểm?

Câu 7: Một vật dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng, đồ

thị biểu diễn sự phụ thuộc của vận tốc vào li độ như trên hình

vẽ Chu kì dao động của vật bằng:

A 0, 5 s B  s

C 0, 5 s  D 1 s 

Câu 8: Hai vật có cùng khối lượng 100g dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song

song kề nhau và song song với trục Ox Vị trí cân bằng của hai

dao động đều nằm trên một đường thẳng qua O và vuông góc với

Ox Đồ thị (1), (2) lần lượt biểu diễn mối quan hệ giữa lực kéo về

kv

F và li độ x của vật 1 và vật 2 Biết tại thời điểm t, li độ của vật

1 bằng đúng biên độ của vật 2 Tìm tốc độ của vật 1 ở thời điểm t

đó?

A 10 3 cm/s B 10 cm/s

C 20 3 cm/s D 20 cm/s

Câu 9: Hai vật M và 1 M dao động điều hòa cùng tần số Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của 2

li độ x của 1 M và vận tốc 1 v của 2 M theo thời gian t Hai dao động của 2 M và 2 M lệch pha nhau: 1

A

3



3



C 5

6



6



Câu 10: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa mà sự phụ thuộc của li độ vào thời gian

được biểu diễn trên đồ thị như hình vẽ Lấy gần đúng 2

10

  Phương trình dao động của chất điểm là

A x9 cos 3 t   cm

B x10 cos 3 t 1, 45 cm   

C x9 cos 3 t 1, 45 cm   

D x10 cos 3 t   cm

ĐÁP ÁN

1 - D 2 - C 3 - A 4 - D 5 - C 6 - A 7 - A 8 - A 9 - C 10 - B