Bài 5 KHẢO sát DAO ĐỘNG điều hòa BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTO QUAY

CHƯƠNG 1 BÀI 5: KHẢO SÁT DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTO QUAY Mục tiêu  Kiến thức + Phát biểu được các công thức tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số.. Tổng

CHƯƠNG 1 BÀI 5: KHẢO SÁT DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTO QUAY Mục tiêu

 Kiến thức

+ Phát biểu được các công thức tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số

+ Viết được điều kiện để hai dao động gặp nhau hoặc xa nhau nhất

 Kĩ năng

+ Biểu diễn được dao động điều hòa bằng vecto quay

+ Sử dụng thành thạo máy tính để giải nhanh bài toán tổng hợp dao động điều hòa

+ Vẽ được hình giản đồ vecto khi hai chất điểm dao động gặp nhau hoặc cách xa nhau nhất + Giải được các bài tập về dao động điều hòa

A TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG CÙNG TẦN SỐ

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Tổng hợp dao động điều hòa bằng phương pháp

vecto quay

Biểu diễn dao động điều hòa bằng vecto quay

Như ta biết, dao động điều hòa là một hiện tượng tự nhiên,

trong quá trình nghiên cứu hiện tượng, chúng ta cần “ghi

lại” nó Có nhiều cách thực hiện việc ghi lại dao động điều

hòa, trong đó có 3 cách ta cần lưu ý:

 Ghi lại dao động điều hòa bằng một phương trình lượng

giác :

 Ghi lại bằng một chuyển động tròn đều

 Ghi lại bằng một vecto quay

Trong phép ghi dao động điều hòa bằng vecto quay, chúng

ta thay thế điểm M trong chuyển động tròn đều bằng

chuyển động quay đều của vecto OM Hình chiếu P của

ngọn vecto M xuống trục Ox chính là dao động điều hòa

cần biểu diễn

xA cos   t

 Phép biểu diễn vecto quay có một số đặc điểm sau:

 Độ dài vecto bằng biên độ A của dao động

 Tốc độ góc quay của vecto đúng bằng tần số góc  của

dao động

 Góc ban đầu chính là pha ban đầu  của dao động

Như vậy, về bản chất, biểu diễn vecto quay không khác gì

so với biểu diễn chuyển động tròn đều

Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần

số

Khi một chất điểm tham gia đồng thời nhiều dao động điều

hòa cùng phương, cùng tần số thì dao động của chất điểm

là dao động tổng hợp Trường hợp đơn giản nhất là một

chất điểm tham gia đồng thời hai dao động có phương

trình: x1A cos1   t 1 và x2 A cos2   t 2, khi

đó để tìm phương trình dao động (tổng hợp) của chất điểm,

chúng ta có hai cách:

 Cộng lượng giác: xx1x2, cách này rất tiện dụng khi

tổng hợp hai dao động cùng biên độ

 Cộng vecto quay: Biểu diễn mỗi dao động thành phần

thành một vecto, khi đó vecto tổng sẽ biểu diễn dao động

tổng hợp của chất điểm, AA1A2 Phương pháp cộng

vecto rất trực quan, dễ hiểu, nên được trình bày chi tiết

trong hình vẽ

Dao động tổng hợp của chất điểm cũng là một dao động

điều hòa cùng tần số, có dạng xA cos  t , trong đó:

Một số trường hợp đặc biệt cần lưu ý:

 Hai dao động thành phần cùng pha:

Ta có thể ghi lại vecto A bằng nhiều cách:

 Ghi bằng tọa độ điểm ngọn: x, y trong đó xA cos

là hoành độ, y Asin  là tung độ

 Ghi bằng tọa độ cực ở dạng: A

Ví dụ: Xét một dao động điều hòa có

Biểu diễn tọa độ Đề-các: x, y2, 2 3

Biểu diễn tọa độ cực: A 4

 Ghi bằng một số phức: x yi với x là phần thực (hoành

độ) và y là phần ảo (tung độ)

Các cách biểu diễn này hoàn toàn tương đương nhau, biết

cách này có thể sẽ dễ dàng suy ra các cách còn lại

Ứng dụng quan trọng của các phép biểu diễn dạng tọa độ

cực và biểu diễn số phức là có thể sử dụng máy tính điện tử

để tổng hợp nhanh dao động điều hòa bằng phép cộng số

phức đơn giản

Tổng hợp nhanh dao động điều hòa bằng máy tính điện

tử

Trong máy tính điện tử, chế độ tính toán số phức

(COMPLEX) cho phép sử dụng hỗn hợp hai dạng biểu diễn

tọa độ cực và số phức Kết quả tính toán luôn được trả về ở

dạng số phức, nhưng có thể dễ dàng chuyển đổi sang tọa độ

cực

Khi sử dụng máy tính để tính toán số phức, ta cần lưu ý hai

điểm sau (đúng cho máy tính CASIO fx-570ES Plus và các

máy tính thông dụng trên thị trường):

 Chuyển máy sang chế độ góc tính bằng Radian:

 SHIFT MODE 4

 Chuyển máy tính toán bằng số phức: MODE 2

 Hiển thị kết quả dạng tọa độ cực: SHIFT 2 3 

 Hiển thị kết quả dạng số phức: SHIFT 2 4 

 Để tổng hợp hai dao động điều hòa bằng phép tính số

phức, ta làm như sau:

 Biểu diễn các dao động thành phần dưới dạng tọa độ cực

(hoặc số phức)

Cộng hai tọa độ cực (hoặc hai số phức) ta thu được kết quả

là một số phức biểu diễn cho dao động tổng hợp, chuyển số

phức này sang tọa độ cực, rồi viết phương trình dao động

Ví dụ: Một vật đồng thời thực hiện hai dao động

điều hòa cùng phương, biểu thức có dạng

Hướng dẫn giải Cách 1: Áp dụng công thức thuần túy:

1 2

xx x

Phương pháp tổng hợp vecto

Giải nhanh bằng máy tính cầm tay

Biểu diễn vecto

- Tìm : 1 1 2 2

A sin A sintan

Bước 2: Bấm SHIFT MODE 4 để tính góc theo

rad, hoặc SHIFT MODE 3 để tính góc theo độ

Bước 3: Nhập số liệu bấm

A SHIFT    A SHIFT   SHIFT 2 3 

Kết quả sẽ hiển thị ở dạng A, từ đó tìm được

biểu thức của dao động tổng hợp

Chú ý:

+ Ở bước 2 ta để máy ở chế độ do góc theo đơn vị

radian hay độ thì khi nhập góc  1, 2 cũng nhập

đúng theo đơn vị đo đó

+ Khi tổng hợp nhiều dao động, ta sử dụng Cách 2 là

cách bấm máy tính để cho kết quả nhanh nhất

0,12rad

   Vậy phương trình dao động tổng hợp là:

x5 cos 2 t 0,12 cm

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương,

có phương trình lần lượt là: x1 7 cos 6 t  cm

A A  A A A

Ví dụ 3: Một vật đồng thời tham gia ba dao động cùng phương, cùng tần số có

phương trình dao động lần lượt là x1 2 3 cos 2 t cm

Ví dụ 4: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng

tần số có phương trình dao động lần lượt là x1 6 cos 5 t cm

Dựa vào phương trình của hai dao động x và 1 x ta thấy hai dao động cùng pha 2

nên biên độ dao động tổng hợp AA1A2  6 4 10cm

Khi đó tốc độ cực đại của vật trong quá trình dao động là

max

v   A 10.5  50 cm/s

Chọn B

Ví dụ 5: Cho một vật m200g tham gia đồng thời 2 dao động điều hòa cùng

phương cùng tần số với phương trình lần lượt là x1 3 sin 20t cm

Ví dụ 6: Hai dao động điều hòa có

đồ thị li độ - thời gian như hình vẽ

Tổng vận tốc tức thời của hai dao

2max 2

x 6cmA 6cm

Ở thời điểm t0: x10, x2  A x1 và x vuông pha với nhau 2

Suy ra biên độ của dao động tổng hợp: 2 2 2 2

Hướng dẫn giải Cách 1:

Bước 1 + 2: Vẽ giản đồ vecto:

Bước 3: Dựa vào giản đồ vecto Áp dụng định lý hàm

số sin cho OAA2:

2

2

Asin

Cách 1: Sử dụng phương pháp giản đồ vecto

Bước 1: Từ các phương trình đã biết, biểu diễn

thành các vecto trên cùng một hình vẽ

Bước 2: Dùng quy tắc tổng hợp hình bình hành

để xác định vecto còn thiếu

Bước 3: Áp dụng định lý hàm sin hoặc cosin

trong tam giác để tìm ra mối quan hệ giữa các

đại lượng và rút ra các đại lượng cần tìm

Bước 2: Đánh giá phương trình (1) dựa vào các

kiến thức toán học (tam thức bậc hai đạt cực

Tại đỉnh của parabol có:

A  3 6.3 36 3 3 cm

x A cos t cm, và người ta thu được

biên độ dao động tổng hợp là 2,5cm Biết A đạt cực đại Tìm phương trình 1

dao động tổng hợp

Vẽ giản đồ vecto như hình vẽ:

Theo định lý hàm số sin cho OAA1:

Ví dụ 2: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng

phương, cùng tần số, có phương trình là x1 A cos1 t cm

  Dao động tổng hợp có biên độ 4 3 cm Khi A 1

đạt giá trị cực đại thì A có giá trị là 2

x A cos  t 0, 35 cm và x2 A cos2  t 1, 57 cm Dao động tổng hợp

của hai dao động này có phương trình là x20 cos  t cm Giá trị cực

đại của A1A2 gần giá trị nào nhất sau đây?

Câu 3: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số nhưng vuông pha Tại thời điểm t giá trị tức thời

của hai li độ là 6 cm và 8 cm Giá trị của li độ tổng hợp tại thời điểm đó là:

Câu 6: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, có phương trình

dao động lần lượt là x1 7 cos 5t  1cm; x2 3cos 5t  2cm Gia tốc cực đại lớn nhất mà vật có thể đạt là?

    (t tính bằng s) Mốc thế năng tại vị trí cân bằng

Cơ năng của vật

Câu 8: Một vật tham gia đồng thời 2 dao động thành phần cùng chu kì, cùng phương Biên độ của các

dao động thành phần và dao động tổng hợp bằng nhau Cho biết phương trình dao động tổng hợp là

Câu 12: Dao động của vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình lần lượt

là x1 8sin  t  cm và x2 4 cos  t cm Biên độ dao động của vật bằng 12 cm thì:

Câu 13: Cho một vật m200g tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số với phương trình lần lượt là x1 3 sin 20t cm

Câu 20: Khi tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có biên độ thành phần 4 cm và

4 3 cm được biên độ tổng hợp là 8 cm Hai dao động thành phần đó sẽ

A vuông pha với nhau B cùng pha với nhau

B VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI CHẤT ĐIỂM

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Khoảng cách giữa hai dao động cùng tần số

Xét 2 chất điểm dao động điều hòa cùng tần số trên

cùng một trục Ox, quanh vị trí cân bằng là gốc O,

với phương trình x1A cos1   t 1 và

x A cos   t Trong quá trình dao động,

hai chất điểm sẽ cách nhau một đoạn   x1x2

Biểu diễn hai dao động bằng vecto quay A , A1 2 ta

có thể thấy tam giác OA A không bị biến dạng 1 2

trong quá trình quay

Khoảng cách giữa hai chất điểm  chính là hình

chiếu của  xuống trục Ox

Khoảng cách giữa hai chất điểm cực đại max  

Giá trị này đạt được khi đoạn  song song với trục

Ox

Thời điểm hai chất điểm ở xa nhau nhất

Khoảng cách giữa hai chất điểm xa nhau nhất

đương với thời gian T

2 thì khoảng cách giữa hai chất điểm lại xa nhau nhất lần tiếp theo, do đó thời

Hai chất điểm gặp nhau

Hai chất điểm gặp nhau, khoảng cách giữa chúng

bằng 0 (x1x2) khi đoạn  vuông góc với trục

Ox tại vị trí gặp nhau

Từ thời điểm ban đầu đến thời điểm gặp nhau lần

đầu, chất điểm thứ nhất quay được góc

2 thì hai chất điểm lại gặp nhau tại vị trí

đối ứng với vị trí gặp nhau trước đó qua gốc tọa độ:

: Khoảng cách giữa hai

 Để tìm khoảng cách giữa hai dao động x và 1 x 2

ta chú ý rằng: khoảng cách của hai dao động x và 1

Do xx1x2 nên có thể coi như x chính là dao

động tổng hợp của hai dao động x và 1 x2

Ví dụ: Hai chất điểm dao động điều hòa trên trục

Ox với O là vị trí cân bằng theo các phương trình

Hai chất điểm xa nhau nhất

Khi  song song với Ox

Hai chất điểm gặp nhau

Khi  vuông góc với Ox

Vậy ta có hai cách để tìm x là dùng công thức hoặc

bấm máy tính giống như trong bài toán 1

Chú ý: Nếu bài cho rõ thời gian t thì ta sẽ thay trực

tiếp t vào phương trình x và 1 x , từ đó xác định 2

được x , x và x 1 2

Bước 2: Tìm 

Sử dụng công thức   x để tìm ra đại lượng đề

bài yêu cầu

* Tìm khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm:

Hoặc bấm máy tính tìm biên độ A của dao động x

* Tìm thời điểm hai chất điểm ở xa nhau nhất:

Bước 1: Tính khoảng cách xa nhất của hai chất

Ví dụ 1: Hai chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với O là vị trí cân

bằng theo các phương trình x1 2 cos t cm

  Giả thiết trong quá trình dao động hai chất điểm

không va chạm vào nhau Tìm khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm trong

quá trình dao động của chúng?

Ví dụ 2: Cho hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một trục Ox quanh

vị trí cân bằng chung gốc O, với phương trình dao động là

Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm là biên

độ của dao động

1 2

xx x

Ví dụ: Cho hai chất điểm dao động điều hòa trên

trục Ox, quanh vị trí cân bằng O, với phương trình

Để tìm vị trí và thời điểm hai chất điểm gặp nhau,

ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Tìm khoảng cách lớn nhất của hai chất

điểm 

Bước 2: Vẽ hình minh họa thời điểm t hai chất G1

điểm gặp nhau và từ hình vẽ tìm pha của x là 1 1G1

4

Bước 3: Thời điểm gặp nhau lần thứ nhất:

1G1 1 G1

Ví dụ 1: Cho hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một trục Ox quanh

vị trí cân bằng chung O, với phương trình dao động là

Ví dụ 2: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng

phương, có phương trình li độ x1 8 cos 2 t

x và x tính bằng cm, t tính bằng s Tại các thời điểm mà 2 x1x2 và gia tốc

của chúng đều âm thì li độ của dao động tổng hợp là

A 9,6 cm B 10,38 cm C –9,6 cm D –10,38 cm

Hướng dẫn giải

Hai dao động vuông pha với nhau

Để gia tốc âm thì x1x2 0 nên ta có hình vẽ:

Ví dụ 3: Hai chất điểm m và 1 m dao động điều hòa với chu kì bằng 2 giây, 2

dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ

Ox Vị trí cân bằng của m và của 1 m đều ở trên một đường thẳng qua gốc 2

tọa độ và vuông góc với Ox Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất

giữa m và 1 m theo phương Ox là 6 cm Tính từ thời điểm hai vật gặp nhau, 2

hỏi sau khoảng thời gian ngắn nhất là bao nhiêu thì khoảng cách giữa chúng

bằng 3 cm

A 1 s B 1s

1s

1s

phương trình khoảng cách có dạng:  6 cos  t 

Thời điểm hai vật gặp nhau là x1x2 suy ra 0

2





      được biểu

diễn bởi hai điểm G và 1 G 2

Khi khoảng cách bằng 3 cm thì max

Câu 1: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số trên hai trục Ox và Oy vuông góc với nhau (O là vị

trí cân bằng của cả hai chất điểm) Biết phương trình dao động của hai chất điểm lần lượt là

Câu 2: Hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một trục tọa độ Ox, coi trong quá trình dao động hai

chất điểm không va chạm vào nhau Biết phương trình dao động của hai vật là x 5 3 cos 6 t cm

1s

  Tính từ lúc t0, thời điểm khi hai chất điểm ở

xa nhau nhất lần đầu tiên là

A 1 s

1s

1s

1s24

Câu 6: Cho hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một trục Ox với phương trình

32s

56s