BÀI 4 ỨNG DỤNG của HÌNH học OXYZ

ỨNG DỤNG CỦA HÌNH HỌC OXYZ MỤC TIÊU 1.Kiến thức 1.Nắm vững các kiến thức về hình học không gian Oxyz, các công thức về khoảng cách, góc.. 2.Nắm vững cách xác định khoảng cách, xác địn

Trang 1

BÀI 4 ỨNG DỤNG CỦA HÌNH HỌC OXYZ

MỤC TIÊU

1.Kiến thức

1.Nắm vững các kiến thức về hình học không gian Oxyz, các công thức về khoảng cách, góc

2.Nắm vững cách xác định khoảng cách, xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa mặt phẳng

và mặt phẳng; giữa hai đường thẳng

Biết cách gắn hệ trục tọa độ vào hình học không gian

2.Kỹ năng

Vận dụng được các Công thức tính góc và khoảng cách

CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Bài toán hình học

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O Gọi M và N lần

lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC, biết 6

2

a

MN  Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng

MN và mặt phẳng (SBD) bằng

A. 2

3

5

Hướng dẫn giải

Gọi I hình chiếu của M lên (ABCD), suy raI là trung điểm của AO

a

CI  AC

Xét CNI có , 45 0

2

a

Áp dụng định lý cosin ta có:

2 2

2 cos 45

NI CN Cl CN C

Xét MIN vuông tại I nên

2 2

a a a

MI  MN NI   

Trang 2

a

MI SO MI  SOSO

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:

Ta có (0; 0; 0), 0; 2; 0 , 0; 2; 0 , 2; 0; 0 , 2; 2; 0 ,



         

2

Suy ra

2 7

3 6 | |

7

2

MN n

MN SBD

MN n



Chọn B

Ví dụ 2 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của A' lên

mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB Cho AB2 ;a AD4 ; a AA' 8 a Gọi E,N,M lần lượt là trung điểm của BC,DE,A'B Gọilà góc giữa MN và AD

Tỉnhtan

A.tan 2. B.tan  2. C.tan 2

2

  D tan  2.

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, chọn a là 1 đơn vị độ dài

Có A( 1; 0; 0), (1; 0; 0), (1; 4; 0), B C D( 1; 4; 0), A' 0; 0; 63 ,  B' 2; 0; 63

'(1; 4; 63); '(0; 4; 63); (1; 2; 0); (0;3; 0); ; 0;

Trang 3

MN AD

MN AD



  

cos



Chọn A

Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với

mặt phẳng đáy Gọi M là trung điểm cạnh SD Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng

A. 3

2 3

5

2 5

5

Hướng dẫn giải

Để thuận tiện trong việc tính toán ta chọna1 Trong không gian, gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ sao cho gốc O trùng với điểm A, tia Ox trùng với tia AB, tia Oy trùng với tia AD, tia Oz trùng với tia AS

Khi đó (0;0;0), (1;0;0), (1;1;0), (0;0;2), (0;1;0)A B C S D

Vì M là trung điểm SD nên tọa độ M là 0; ;1 1

2

M 

 

(0;1;0) sBC

SB

BC



(1;1; 0)

AMC

AC

       





Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (AMC và () SBC )

( ) ( )

( ) ( )

5

3

SBC AMC

5 5

3

 

 

 

Chọn D

Trang 4

Ví dụ 4 Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC,SAAB3cm BC, 5cm và diện

tích tam giác SAC bằng 6cm Một mặt phẳng (d) thay đổi qua trọng tâm G của tứ diện cắt các cạnh AS,

17

m

144

m

10

m

34

m

Hướng dẫn giải

Gắn trục tọa độ Ox,Oy,Oz như hình vẽ Vì tam giác SAC vuông tại A

2

4

SAC

S

SA



Vì AC2AB2BC2 nên tam giác ABC vuông tại A

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ

Ta có A(0;0;0), (3;0;0), (0; 4;0), (0;0;3).B C S

Vì G là trọng tâm của tứ diện S.ABC nên ta có:

3

3

G

G

A S

G

C

x x x x

x

y y y y

z z z z

z











Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng   Theo tính chất của tam diện vuông ta có:

T

17

Dấu “=” xảy ra khi H G tức mặt phẳng   đi qua điểm G và vuông góc với đường thẳng OG

Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 8

17

Chọn A

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân, ABACa AA, 'h ( ,a h0).Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB' và BC theo a,h '

Trang 5

A.

2 2

5

ah

a  h B. 2 2

5

ah

a h



2

ah

a h D. 2ah 2

a h

Câu 2 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm

1;1;1 , 2; 0; 2 ,  1; 1; 0 , 0;3; 4 

A B C   D Trên các cạnh AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B C D sao ', ', '

AB  AC  AD  và tứ diện AB C D có thể tích nhỏ nhất Phương trình mặt phẳng (BC'D') là ' ' '

A.16x40y44z390 B.16x40y44z390.

C.16x40y44z390. D.16x40y44z390

Câu 3 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của

A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm O của cạnh AB Góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (A'B'C')

là 60 Gọi I là trung điểm cạnh B'C' Khoảng cách từ I đến đường thẳng 0 A C bằng '

A. 21

4

a

6

a

6

a

8

a

Bài tập nâng cao

Câu 4 : Trong không gian Oxyz, cho điểm A1; 0; 2 , B 2; 0;5 , C 0; 1; 7   Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy một điểm S Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB,

SC Biết khi s di động trên d S(  A) thì đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định D Tính độ dài đoạn thẳng AD

A.AD3 3. B.AD6 2. C.AD3 6. D.AD6 3.

ĐÁP ÁN

Dạng 2 Bài toán đại số

Ví dụ Có bao nhiêu số thực m để hệ phương trình 2 2 1 0

x y z

x m y mz m

   



Hướng dẫn giải

Để hệ phương trình 2 2 1 0

x y z

x m y mz m

   



( ) :P x2y2z 1 0phải song song với mặt phẳng

( ) : 2Q x(m2)y2mz m 0

Mặt phẳng  P :x2y23 1 0 có một vectơ pháp tuyến là n p (1; 2; 2).

Mặt phẳng  Q : 2x m 2y2mx m 0 có một vectơ pháp tuyến là

0 (2; 2; 2 )

2

m

m





        

Trang 6

Do đó không có giá trị thực của m thỏa mãn yêu cầu đề bài

Chọn B

Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1 : Tìm số thực a,b để hệ phương trình 2 4 3 0

x by z

ax y z

   



    

A.a1;b 6 B.a 1;b 6 C 3; 9

2

Bài tập nâng cao

Câu 2 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình



  

đúng một nghiệm

C m1 hoặcm21 D m 9 hoặc m31

ĐÁP ÁN 1-B 2-C