Ôn thi kỹ sư tài năng vật lý hàm liên tục

Hàm liên tục Hàm số y= f x với miền xác ñịnh D ñược gọi là liên tục tại x nếu thỏa mãn ñồng 0 thời ba ñiều kiện sau: i.. Các ñịnh lý: 1 Tổng, hiệu và tích của một số hữu hạn các hàm l

Hàm liên tục

Hàm số y= f x( ) với miền xác ñịnh D ñược gọi là liên tục tại x nếu thỏa mãn ñồng 0

thời ba ñiều kiện sau:

i Hàm y= f x( ) xác ñịnh tại ñiểm x , nghĩa là 0 x0∈D

ii Tồn tại

0

lim ( )

x x f x

iii

0

0 lim ( ) ( )

x x f x f x

Hàm số y= f x( ) với miền xác ñịnh D liên tục tại x khi và chỉ khi 0

0, 0, x D, x x f x( ) f x( )

Hàm số liên tục trong khoảng

- Hàm số ( )f x ñược gọi là liên tục trong khoảng mở ( )a b nếu nó liên tục tại mọi , ñiểm của khoảng ñó

- Nếu f x xác ñịnh tại x( ) =a và lim ( ) ( )

x a

f x f a

+

→ = , ta nói f x liên tục bên phải ( )

tại ñiểm x=a

- Nếu ( )f x xác ñịnh tại x=b và lim ( ) ( )

x b− f x f a

→ = , ta nói ( )f x liên tục bên trái tại

ñiểm x=b

- Nếu ( )f x liên tục tại mọi ñiểm của khoảng mở ( )a b và tại hai ñiểm biên, ta nói , ( )

f x liên tục trong khoảng ñóng (ñoạn) [ , ] a b

Các ñịnh lý:

1) Tổng, hiệu và tích của một số hữu hạn các hàm liên tục trong miền nào ñó là hàm liên tục trong miền ñó

2) Thương của hai hàm số liên tục trong miền nào ñó là hàm số liên tục tại mọi ñiểm của miền ñó mà mẫu số khác 0

3) Nếu f x liên tục trên khoảng mở ( ) ( )a b và miền giá trị là khoảng mở ( , ), c d ,

hàm ( )ϕ x liên tục trong khoảng mở ( , )c d , thì hàm hợp ϕ(f x( )) liên tục trong khoảng mở ( )a b ,

4) Tất cả các hàm sơ cấp (ña thức, lũy thừa, lô-ga) ñều liên tục tại mọi ñiểm trên miền xác ñịnh của chúng

cuu duong than cong com

5) ðị nh lý Weierstrass 1:

Nếu ( )f x liên tục trong ñoạn [ , ] a b thì nó bị chặn trong ñoạn ñó, nghĩa là:

M x a b f x M

Nếu f x liên tục trong ñoạn [ , ]( ) a b thì nó ñạt GTLN và GTNN trong ñoạn ñó,

nghĩa là: ∃x x1, 2∈[ , ]a b sao cho 1

[ , ]

( ) max ( )

a b

f x = f x và 2

[ , ]

( ) min ( )

a b

f x = f x

Nếu ( )f x liên tục trong ñoạn [ , ] a b và

[ , ]

min ( )

a b

A= f x ,

[ , ]

max ( )

a b

B= f x thì với mọi

C mà A≤ ≤C B, tồn tại ñiểm c∈[ , ]a b sao cho ( )f c =C

Hệ quả: Nếu ( )f x ñổi dấu trong ñoạn [ , ] a b thì ∃ ∈c [ , ]a b sao cho ( )f c =0

Bài toán 1

Giả sử hàm ( )f x liên tục trên ℝ , nhận các giá trị khác dấu Chứng minh rằng tìm ñược

một cấp số cộng , ,a b c ( a< <b c) sao cho ( )f a + f b( )+ f c( )=0

Lời giải

Theo giả thiết, tồn tại ñiểm x mà ( ) f x >0, do ( )f x liên tục nên hàm nhận giá trị dương

trong lân cận ñủ nhỏ của ñiểm này Khi ñó, ta tìm ñược một cấp số cộng a b c mà 1, ,1 1

( ), ( ), ( )

f a f b f c ñều dương

Tương tự, tồn tại một cấp số cộng a b c mà 2, 2, 2 f a( 2), ( ), ( )f b2 f c ñều âm 2

Với tham số t , xét cấp số cộng sau:

( ) (1 )

( ) (1 )

( ) (1 )

a t a t a t

b t b t b t

c t c t c t

Hàm số F t( )= f a t( ) ( ) ( )( ) + f b t( ) + f c t( ) liên tục theo t , F(0)>0 và F(1)<0

Do ñó, tồn tại t sao cho 0 F t( )0 =0, khi ñó cấp số cộng a t( ), ( ), ( )0 b t0 c t0 là một cấp số cộng thỏa mãn

Bài toán 2

Cho ( ), ( )f x g x là hai hàm liên tục, tuần hoàn trên ℝ Biết lim ( ( ) ( )) 0

Chứng minh rằng ( )f x ≡g x( )

Nhận xét

Quan sát ñề bài ta nghĩ ngay ñến hàm ( )h x = f x( )−g x( ) Nếu ( )h x tuần hoàn thì từ

lim ( ) 0

x h x

→+∞ = ta suy ra ngay ( )h x ≡0, ñó là tính chất mấu chốt của bài toán

cuu duong than cong com

Như vậy, khó khăn chủ yếu là việc chứng minh f x g x có cùng chu kỳ Ta “lợi dụng” ( ), ( ) giới hạn ở vô cùng lim( ( ) ( )) 0

→+∞ − = và tính tuần hoàn ñộc lập của mỗi hàm ñể dùng ñược nhận xét vừa nêu

Lời giải.

Trước hết, ta cần phải chứng minh hai hàm ñã cho có cùng chu kỳ

Giả sử hàm f có chu kỳ T

Khi x→ +∞, ( )f x −g x( )→0 và (f x T+ −) g x T( + )→0

Trừ theo vế kết hợp với (f x T+ )= f x( ) ñược:

*

h x =g x T+ −g x → khi x→ +∞

Do g liên tục, tuần hoàn nên h liên tục, tuần hoàn, tiến tới 0 khi x* → +∞, vì vậy

*

( ) 0

h x ≡ , chứng tỏ g cũng tuần hoàn chu kỳ T

Xét hàm ( )h x = f x( )−g x( ) liên tục, tuần hoàn, tiến tới 0 khi x→ +∞ nên ( )h x ≡0

Từ ñó suy ra ñpcm

Các bài toán về hàm liên tục trong khoảng ñóng (trên ñoạn) luôn gắn liền với 2 ñịnh lý Weierstrass và ñịnh lý Bolzano-Cauchy (ñã trình bày ở trên)

Bài toán 3

Tìm tất cả các hàm liên tục f :ℝ→ℝ thỏa mãn: 3 ( )

x x

f x f   f  

    (*), x∀ ∈ℝ

Lời giải

Xét số thực a≥0 tùy ý

Hàm f liên tục trên ñoạn [−a a, ] nên theo ñịnh lý Weierstrass 2, tồn tại x x1, 2∈ −[ a a, ]

sao cho

[ ]

1

,

a a

f x M f x

−

[ ]

2

,

a a

f x m f x

−

Thay x=x1 vào (*) ta có:

1

x x

M f x f  f   M

3 4

x x

a a

∈ −

Thay x=x2 vào (*) ta có:

2

x x

m f x f  f   m

3 4

x x

a a

∈ −

Do ñó, M = =m 0, suy ra ( )f x =0 trên ñoạn [−a a, ], với mọi a≥0

Vậy ( )f x =0, x∀ ∈ℝ

Bài toán 4

Cho f liên tục trên ℝ thỏa mãn f (f x( ))f x( ) 1= x∀ ∈ℝ (*) và (1000)f =999 Tính (500)f

cuu duong than cong com

Hướng dẫn

Dễ thấy nếu có một số α sao cho f( )α =500 thì bằng việc thay x=α vào (*) có thể suy ra ngay (500) 1

500

f = Ta cần chỉ ra có giá trị của f cao hơn 500 và có giá trị bé

hơn 500 đã có (1000)f =999>500, thay x=1000 vào (*) ựược (999) 1 500

999

f = <

Bài toán 5

Cho hàm số ( )f x khả vi liên tục cấp hai trên [0;1], có f′′( )0 =1,f′′( )1 =0

Chứng minh rằng tồn tại c∈( )0;1 sao cho f′′( )c =c

(KSTN 2010)

Lời giải

Xét hàm g( )x = f′′( )x −x

Do ( )f x khả vi liên tục cấp hai trên [0;1] nên ( ) g x liên tục trên [0;1]

Mà (0) 1 0g = > , (1)g = − <1 0,

do ựó tồn tại c∈( )0;1 sao cho ( )g c =0, khi ựó f′′( )c =c

Bài toán 6

Cho các số thực , , , ,a b c d e Chứng minh rằng nếu phương trình

2

0

ax + +b c x+ + =d e

có nghiệm thuộc [1;+∞) thì phương trình

0

ax +bx +cx +dx+ =e

cũng có nghiệm thực

(Olympic SV 2001)

Lời giải

Gọi x0 ≥1 là một nghiệm của phương trình 2 ( )

0

ax + +b c x+ + =d e

( )

f x =ax +bx +cx +dx+e

f x = ax +cx +d + x bx +d

f − x = ax +cx +d − x bx +d

f x f − x = ax +cx +d −x bx +d = bx +d −x ≤

Mà ( )f x liên tục nên phương trình ( ) f x =0 có nghiệm thuộc ựoạn − x0, x0 , suy ra phương trình ax4+bx3+cx2+dx e+ =0 có nghiệm thực

cuu duong than cong com

Bài toán 7

Cho a∈ℝ , tìm tất cả các hàm liên tục f :ℝ→ℝ thỏa mãn ( )f a = +a 1 và

( )

f f x = −x a +a (*), ∀ ∈x ℝ

Lời giải

Giả sử tồn tại hàm liên tục f thỏa mãn ñề bài

Thay x=a vào (*) ta có f (f a( ))=a⇒ f a( + =1) a

Xét hàm g x( )= f x( )−x, liên tục trên ℝ , ( ) 1 0g a = > , (g a+ = − <1) 1 0, nên c∃ ∈ℝ sao cho ( )g c =c Khi ñó, ( )f c =c

Thay x=c vào (*) ñược ( ) ( )2

( )

c= f f c = −c a +a ⇒(c a− )(c a− − =1) 0

c a

⇒ = hoặc c= +a 1, vô lí vì ( )g a ≠g c( )= ≠0 g a( +1)

Vậy không tồn tại hàm liên tục f thỏa mãn ñề bài

Dạng bài chứng minh phản chứng giả sử hàm không ñổi dấu

Bài toán 8

Cho f liên tục trên [0;1], (0) f >0,

1

0

1 ( )

1

f x dx

n

<

+

Chứng minh phương trình ( )f x =x n có nghiệm thuộc (0;1)

(Olympic SV 1998) (KSTN 2008)

Lời giải

Xét hàm ( ) ( ) n

g x = f x −x (x∈[0;1])

Giả sử ( )g x không ñổi dấu trên [0;1]

Ta có (0)g = f(0)>0 nên ( )g x >0 với mọi x∈[0;1]

Khi ñó,

1

1

n

g x dx f x dx x dx f x dx

n

+

suy ra

1

0

1 ( )

1

f x dx

n

>

+

∫ , mâu thuẫn giả thiết

Vậy ( )g x không ñổi dấu trên [0;1], tồn tại c∈[0;1] sao cho ( )g c =0, suy ra ñpcm

cuu duong than cong com

Bài toán 9

Cho f liên tục trên 0;

2

π

 , (0)f >0,

2

0

f x dx

π

<

Chứng minh phương trình ( )f x =sinx có nghiệm thuộc 0;

2

π

 

(Olympic SV 2003) (KSTN 2005)

Lời giải.

Xét hàm ( )g x = f x( ) sin− x 0;

2

x π

∈

Giả sử ( )g x không ñổi dấu trên 0;

2

π

 

Ta có (0)g = f(0)>0 nên ( )g x >0 với mọi 0;

2

x  π

 

Khi ñó,

0 g x dx( ) f x dx( ) sinxdx f x dx( ) 1

suy ra

2

0

f x dx

π

>

∫ , mâu thuẫn giả thiết

Vậy ( )g x không ñổi dấu trên 0;

2

π

 , tồn tại c 0;2

π

  sao cho ( )g c =0, suy ra ñpcm

Bài toán 10

Chứng minh rằng không tồn tại hàm ( )f x liên tục trên ℝ thỏa mãn:

f x+a f x + = −b c (với b>0, b2≤c)

(Olympic SV 2003) (Olympic SVBK 2010)

Lời giải

Giả sử tại hàm ( )f x liên tục trên ℝ thỏa mãn:

Do c≠0 nên ( )f x ≠0 và ( )f x ≠ −b với mọi x∈ℝ

Gọi Im f là tập giá trị của f trên ℝ Do f liên tục trên ℝ nên chỉ có thể xảy ra 1

trong 3 trường hợp sau:

cuu duong than cong com

- Nếu Im f ⊂ −∞ −( , b) thì VT(*) > 0 > −c, vô lý

- Nếu Im f ⊂(0,+∞) thì VT(*) > 0 > c− , vô lý

- Nếu Im f ⊂ −( b, 0) thì − =c f x( +a) f x( )+ <b b2≤c, vô lý

Vậy giả thiết phản chứng sai, suy ra ñpcm

Dạng bài xây dựng tổng f x( )1 + f x( 2)+ +… f x( n)=0

Một hệ quả dễ thấy của ñị nh lý Bolzano – Cauchy:

Cho một hàm ( )f x liên tục trên [ ]a b sao cho tồn tại các số , x x1, 2,…,x n∈[ ]a b, sao cho

f x + f x + +… f x = Khi ñó, phương trình ( )f x =0 có nghiệm trên [ ]a b , (Hệ quả trên dễ dàng chứng minh bằng phản chứng giả sử hàm không ñổi dấu Thêm nữa,

nó có thể ñược phát biểu dưới dạng tích phân: nếu ( ) 0

b

a

f x dx=

∫ thì ∃ ∈c ( )a b, sao cho ( ) 0

f c = )

Bài toán 11

Cho các số thực a b c thỏa mãn 2, , a+ +3b 6c=0 Chứng minh rằng phương trình 2

0

ax + + =bx c có nghiệm trong [ ]0;1

Lời giải

( )

f x =ax + +bx c

Ta có: (0)f =c, (1)f = + +a b c, 1

a b

f   c

= + +

 

Suy ra (0) (1) 4 1 0

2

f f f 

  Vậy phương trình ( )f x =0 có nghiệm trên [ ]0,1

Bài toán 12

Cho hàm f liên tục trên [ ]0; 2 Chứng minh rằng ∃ x x1, 2∈[ ]0; 2 sao cho x2 = +x1 1 và

1 (2) (0) 2

f x − f x = f − f

Lời giải

2

g x = f x+ − f x − f −f , liên tục trên [ ]0;1

cuu duong than cong com

Ta có (0)g +g(1)=0, suy ra ∃ ∈x1 [ ]0;1 sao cho g x( )1 =0

Chọn x2 = +x1 1 Khi ñó, x x1, 2∈[ ]0; 2 và ( ) ( )2 1 ( )

1 (2) (0) 2

f x − f x = f − f

Bài toán 13

Cho các hàm liên tục , :f g ℝ→ℝ thỏa mãn f g x( ( ))=g f x( ( ))

Chứng minh rằng nếu phương trình f (f x( ))=g g x( ( )) có nghiệm thì phương trình ( ) ( )

f x =g x cũng có nghiệm

(OLSV 2009)

Lời giải

Xét hàm ( )h x = f x( )−g x( )

Gọi x là nghiệm của phương trình 0 f(f x( ))=g g x( ( ))

Ta có: h g x( ( 0))= f g x( ( 0)) (−g g x( 0))

( ( 0)) ( ( 0)) ( ( 0))

h f x = f f x −g f x

mà f g x( ( 0))=g f x( ( 0)), f(f x( 0))=g g x( ( 0))

Suy ra h g x( ( 0))+h f x( ( )0 )=0

Vậy phương trình ( )h x =0 có nghiệm, suy ra ñpcm

Bài toán 14

Cho f là một hàm liên tục trên [ ]0;1 thỏa mãn ñiều kiện (0)f = f(1) Chứng minh rằng với bất kì số *

n∈ℕ nào cũng tồn tại một số c∈[ ]0;1 sao cho f c( ) f c 1

n

 

Lời giải

Xét hàm g x( ) f x 1 f x( )

n

Do f liên tục trên [ ]0;1 nên g liên tục trên [ ]0;1

Ta có: g(0) f 1 f(0)

n

 

g f f

n n n

     , … …,

(1)

g f f

Suy ra g(0) g 1 g 2 g n 1 f(1) f(0) 0

−

Vậy tồn tại c∈[ ]0;1 sao cho ( )g c =0 Khi ñó, f c( ) f c 1

n

  cuu duong than cong com

Dạng bài mở rộng hàm liên tục

Ta ñược cho (hoặc tìm ñược) một hàm liên tục xác ñịnh trên một ñoạn nhưng lại cần cả những giá trị của hàm ñó xác ñịnh tại những ñiểm nằm ngoài ñoạn ñang xét Trong nhiều trường hợp, ta cần (bắt buộc) phải mở rộng hàm tại những ñiểm hoặc trên ñoạn mong muốn mà vẫn giữ tính liên tục cho nó

Cách mở rộng chung khá ñơn giản:

( )

f x xác ñịnh và liên tục trên ñoạn [ , ] a b Hàm mở rộng về phía bên phải:

( ) ( )

F x

f x a b f b f a x b

≤ ≤



=

 liên tục trên ñoạn [a;+∞)

Tương tự với hàm mở rộng về phía bên trái Trong trường hợp f a( )= f b( ), hàm mở

rộng như trên là một hàm tuần hoàn có chu kỳ T = −b a

Bài toán 15

Cho a∈( )0;1 Giả sử hàm f x liên tục trên ñoạn ( ) [ ]0;1 thỏa mãn ñiều kiện (0) (1) 0

f = f = Chứng minh rằng tồn tại b∈[ ]0;1 sao cho hoặc f b( )= f b a( − ) hoặc

f b = f b+ −a

(OLSV 2000)

Lời giải

Mở rộng ( )f x ra toàn trục số ñể ñược hàm tuần hoàn chu kỳ T =1, hàm mới vẫn liên tục trên ℝ do (0)f = f(1)=0

Xét hàm ( )g x = f x( + −a) f x( )

Khi ñó,

a

a

g x dx f x a dx f x dx f x dx f x dx

+

Do ñó, c∈[ ]0;1 sao cho 0=g c( )= f c( + −a) f c( )= f c( + − −a 1) f c( )

Dễ thấy 0≤ + ≤c a 2

- Nếu 0≤ + ≤c a 1 thì chọn b= +c a

- Nếu 1≤ + ≤c a 2 thì chọn b=c

Suy ra ñpcm

Bài toán 16

Tìm tất cả các số d∈( )0;1 có tính chất: nếu f x là hàm số tùy ý liên tục trên ( ) [ ]0;1 thỏa mãn (0)f = f(1) thì ∃ ∈x0 [0;1−d] sao cho f x( 0)= f x( 0+d)

Lời giải

Theo bài toán 14, bất kì số d 1

n

= với n∈ℕ cũng ñều thỏa mãn ñiều kiện bài toán * cuu duong than cong com

Ta chứng minh ñó là tất cả các số cần tìm

Giả sử tồn tại số d 1

n

≠ với mọi n∈ℕ thỏa mãn *

Lấy số k∈ℕ sao cho kd < < +1 (k 1)d

Xét một hàm số tùy ý xác ñịnh và liên tục trên ñoạn [ ]0; d thỏa mãn f(0)=0,

f −kd = −k, f d( ) 1= Mở rộng hàm f x ra toàn ñoạn ( ) [ ]0;1 : với mỗi x∈[ ]d;1 ta xác ñịnh ( )f x = f x( − +d) 1, ta ñược hàm mới liên tục, và hơn nữa là thỏa mãn ñiều kiện (0) (1)

f = f vì (1)f = f(1− + =d) 1 f(1 2 )− d + = =2 … f(1−kd)+ = =k 0 f(0)

Nhưng rõ ràng với hàm f vừa ñược xây dựng, mọi x∈[ ]0;1 ñều cho thấy

f x+d = f x + ≠ f x , mâu thuẫn giả thiết

Vậy tất cả các số cần tìm là d 1

n

n∈ℕ

Dạng bài kết hợp tính liên tục và tính ñơn ñiệu

Hàm ñơn ánh:

Hàm f có tập xác ñịnh D , ñược gọi là ñơn ánh nếu:

∀ x x1, 2∈D, x1≠x2 ⇒ f x( )1 ≠ f x( 2) hoặc

∀ x x1, 2∈D, f x( )1 = f x( 2) ⇒ x1=x2

ðịnh lý:

… Hàm liên tục và ñơn ánh thì ñơn ñiệu …

Bài toán 17

Cho hàm liên tục f :ℝ→ℝ thỏa mãn ( ) 2

( )

f f x = −x , x∀ ∈ℝ Chứng minh rằng f x( )≤0, x∀ ∈ℝ

Lời giải

* Ta chứng minh ( )f x ≤0, ∀ ≤x 0

Thật vậy, với x≤0, tồn tại y∈ℝ sao cho x= −y2

f x = f −y = f f f y = − f y ≤

* Ta chứng minh ( )f x ≤0, ∀ >x 0

Thật vậy, giả sử tồn tại x0 >0 sao cho f x( 0)>0

Xét x x1, 2∈ℝ , + ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 2 2

f x = f x ⇒ f f x = f f x ⇒−x = −x ⇒x =x

ðiều ñó chứng tỏ hàm liên tục f ñơn ánh trên ℝ , suy ra f ñơn ñiệu trên + ℝ +

cuu duong than cong com

Do f liên tục trên ℝ nên tồn tại một lân cận + U x( 0)⊂ℝ mà + f nhận giá trị dương tại

mọi ñiểm thuộc U x Khi ñó, do f ñơn ñiệu trên ( 0) ℝ nên hàm + f (f x ñơn ñiệu tăng ( ))

trên U x , nhưng hàm ( )0 −x2 ñơn ñiệu giảm trên U x( 0)⊂ℝ , mâu thuẫn +

Vậy ( )f x ≤0, ∀ >x 0 Suy ra ñpcm

Bài toán 18

Ký hiệu ℝ là tập các số thực dương Giả sử + f :ℝ+ →ℝ là một hàm số liên tục và thỏa +

f f x = x+ + Chứng minh rằng lim ( 1) 1

( )

x

f x

f x

(KSTN 2007)

Lời giải

Xét x x1, 2∈ℝ , +

f x = f x ⇒ f f x = f f x ⇒ x + + = x + + ⇒ x =x

ðiều ñó chứng tỏ hàm liên tục f ñơn ánh trên ℝ , suy ra + f ñơn ñiệu trên ℝ +

Nếu f là hàm giảm, ( ) (5 )5

f f x = x+ + > + >x x (*) nên f (f (f x( )) )< f x( ), nhưng khi thay x bởi ( ) f x trong (*) lại ñược f (f(f x( )) )> f x( ), mâu thuẫn

Vậy f là hàm tăng trên ℝ +

lim ( )

x f x

Ta có f (f x( ))> +x 1 nên:

( ) ( 1)

1

f x

f f f x

f x

f x f x f x

+

( )

Theo nguyên lý kẹp, ta có lim ( 1) 1

( )

x

f x

f x

Hàm liên tục và dãy số

Cho dãy số thực ( )x n hội tụ, lim n

n

a x

→∞

= , hàm ( )f x liên tục tại x=a Khi ñó, lim ( )n lim ( ) ( )

n f x x a f x f a

cuu duong than cong com