Tâm đường tròn nội tiếp tam giác: Lý thuyết các dạng bài tập

Mời quý thầy cô, các em học sinh lớp 9 tham khảo tài liệu Tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Tài liệu tổng hợp toàn bộ kiến thức lý thuyết và các dạng bài tập về tâm đường tròn nội tiếp. Mời các bạn cùng theo dõi tại đây. Xem thêm các thông tin về Tâm đường tròn nội tiếp tam giác: Lý thuyết các dạng bài tập tại đây

Tổng hợp kiến thức tâm đường tròn nội tiếp tam giác

1 Khái niệm đường tròn nội tiếp tam giác

Đường tròn nội tiếp tam giác là khi ba cạnh của tam giác là tiếp tuyến của đường tròn và đường tròn nằm hoàn toàn bên trong tam giác

2 Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Để xác định được không chỉ tâm đường tròn nội tiếp tam giác vuông mà còn tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều nữa thì ta cần ghi nhớ lý thuyết

Với tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác, hoặc có thể là hai đường phân giác

- Cách 1: Gọi D,E,F là chân đường phân giác trong của tam giác ABC kẻ lần lượt từ A,B,C

+ Bước 1 : Tính độ dài các cạnh của tam giác

+ Bước 2 : Tính tỉ số

+ Bước 3 : Tìm tọa độ các điểm D, E, F

+ Bước 4: Viết phương trình đường thẳng AD,BE

+ Bước 5: Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là giao điểm của AD và BE

- Cách 2: Trong mặt phẳng Oxy, ta có thể xác định tọa độ điểm I như sau:

3 Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Tam giác ABC có độ dài lần lượt là a, b, c ứng với ba cạnh BC AC, AB

- Nửa chu vi tam giác

- Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

4 Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

Cho tam giác ABC có

- Cách 1:

+ Viết phương trình hai đường phân giác trong góc A và B

+ Tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên

+ Tính khoảng cách từ I đến một cạnh của tam giác ta được bán kính

+ Viết phương trình đường tròn

- Cách 2:

+ Viết phương trình đường phân giác trong của đỉnh A

+ Tìm tọa độ chân đường phân giác trong đỉnh A

+ Gọi I là tâm đường tròn, tọa độ I thỏa mãn hệ thức

+ Tính khoảng cách từ I đến một cạnh của tam giác

+ Viết phương trình đường tròn

5 Các dạng bài tập về đường tròn nội tiếp tam giác

Dạng 1: Tìm tâm của đường tròn nội tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1;5) B(–4;–5) và C(4;-1).Tìm tâm I của đương tròn nội tiếp tam giác ABC

Giải:

Ta có

Do đó:

Vậy tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I(1;0)

Dạng 2: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;6), B(-3;-4), C(5;0) Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Giải:

Ta có,

Do đó, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là

Dạng 3: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh

Ví dụ: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(11; -7), B(23;9), C(-1,2) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Giải:

Ta có phương trình cạnh BC: 7x-24y+55=0

Phương trình đường phân giác góc A: 7x+y-70=0

Gọi D là chân đường phân giác trong đỉnh A Tọa độ D là nghiệm của hệ:

Gọi I(a,b) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Ta có:

Vậy tọa độ I(10,0)

Bán kính đường tròn nội tiếp: r=d(I,AB)=5

Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC:

Ví dụ 2: Trong tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 7cm, BC = 8cm Bán kính r đường tròn nội

tiếp tam giác ABC bằng?

Hướng dẫn

- Chu vi tam giác ABC: p = 9

- Bán kính:

Ví dụ 3: Cho ba điểm có tọa độ như sau: A(-2; 3); ; C(2; 0) nằm trong mặt phẳng Oxy Hãy tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

6 Bài tập vận dụng đường tròn nội tiếp tam giác

Bài 1

a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm

b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a)

c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O; r)

Vẽ hình minh họa

a) Chọn điểm O là tâm, mở compa có độ dài 2cm vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm b) Vẽ đường kính AC và BD vuông góc với nhau Nối A với B, B với C, C với D, D với A ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (O; 2cm)

c) Vẽ OH ⊥ BC

⇒ OH là khoảng cách từ từ tâm O đến BC

Vì AB = BC = CD = DA ( ABCD là hình vuông) nên khoảng cách từ tâm O đến AB, BC, CD,

DA bằng nhau ( định lý lien hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây)

⇒ O là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD

OH là bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD

Tam giác vuông OBC có OH là đường trung tuyến ⇒ OH = 1/2 BC=BH

Xét tam giác vuông OHB có: r2 + r2 = OB2 = 22 ⇒ 2r2 = 4 ⇒ r2 = 2 ⇒ r = √2(cm)

Vẽ đường tròn (O; OH) Đường tròn này nội tiếp hình vuông, tiếp xúc bốn cạnh hình vuông tại các trung điểm của mỗi cạnh

Bài 2

a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh a = 3cm

b) Vẽ tiếp đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC Tính R

c) Vẽ tiếp đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác đều ABC Tính r

d) Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O; R)

GIẢI

Vẽ hình

a) Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 3cm (dùng thước có chia khoảng và compa).

+ Dựng đoạn thẳng AB = 3cm

+Dựng cung tròn (A, 3) và cung tròn (B, 3) Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm C

Nối A với C, B với C ta được tam giác đều ABC cạnh 3cm

b) Gọi A';B';C' lần lượt là trung điểm của BC;AC;AB

Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời là ba đường cao, ba trung tuyến, ba phân giác AA';BB';CC' của tam giác đều ABC)

Dựng đường trung trực của đoạn thẳng BC và CA

Hai đường trung trực cắt nhau tại O

Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R=OA = OB = OC ta được đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Tính AA':

GIẢI

Xét tam giác AA'C vuông tại A' có AC=3; , theo định lý Pytago ta có

Theo cách dựng ta có O cũng là trọng tâm tam giác ABC nên

Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

(cm)

c) Do tam giác ABC là tam giác đều các trung điểm A’; B’; C’ của các cạnh BC; CA; AB đồng thời là chân đường phân giác hạ từ A, B, C đến BC, AC, AB

Đường tròn nội tiếp (O;r) tiếp xúc ba cạnh của tam giác đều ABC tại các trung điểm A', B', C' của các cạnh

Hay đường tròn (O; r) là đường tròn tâm O; bán kính r=OA’ = OB’ = OC’

d) Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn (O;R) tại A,B,C Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I, J, K Ta

có ∆IJK là tam giác đều ngoại tiếp (O;R)

Bài 3

Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm A, ba cung

a) Tứ giác ABCD là hình gì?

b) Chứng minh hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau

c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R

GIẢI

a) Xét đường tròn (O) ta có:

(góc nội tiếp chắn (1)

( góc nội tiếp chắn ) (2)

Từ (1) và (2) có:

(3)

và là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến AD và hai đường thẳng AB, CD Đẳng thức (3) chứng tỏ AB // CD Do đó tứ giác ABCD là hình thang, mà hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân

Vậy ABCD là hình thang cân suy ra (BC = AD và đ đ

b) Giả sử hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I

là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên:

Vậy

c) Vì đ nên (góc ở tâm)

=> ∆AOB đều, nên AB = OA = OB = R

Kẻ

Tứ giác ABCD là hình thang cân

Lại có vuông cân tại O

Xét vuông tại H ta có:

Mà H là trung điểm của CD (định lý đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Bài 4

Vẽ hình lục giác đều, hình vuông, tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn (O; R) rồi tính cạnh của các hình đó theo R

GIẢI

Vẽ hình:

+) Hình a

Cách vẽ: vẽ đường tròn (O;R) Trên đường tròn ta đặt liên tiếp các cung

mà dây căng cung có độ dài bằng R Nối với với với A 1 ta được hình lục giác đều nội tiếp đường tròn

Tính bán kính:

Gọi là cạnh của đa giác đều có i cạnh

ì là tam giác đều)

+) Hình b

Cách vẽ:

+ Vẽ đường kính của đường tròn tâm O

+ Vẽ đường kính

Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình vuông

Nối với với với A_4;A4 với A1 ta được hình vuông nội tiếp đường tròn (O)

Tính bán kính:

Gọi độ dài cạnh của hình vuông là a

Vì hai đường chéo của hình vuông vuông góc với nhau nên xét tam giác vuông có

+) Hình c:

Cách vẽ như câu a) hình a

Nối các điểm chia cách nhau một điểm thì ta được tam giác đều chẳng hạn tam giác

như trên hình c

Tính bán kính:

Gọi độ dài cạnh của tam giác đều là a

Trong tam giác vuông ta có:

Từ đó