Chuyên đề Toán học về Thể tích khốichóp, lăng trụ chương trình THPT cơ bản đến nâng cao lớp 12 được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết từng bài. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức toán học về Thể tích khốichóp, lăng trụ 11, 12 và để ôn thi THPQG và thi đại học.
Trang 1TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu 1 (Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′, khoảng cách từ C đến đường thẳng BB′ bằng
2 , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB′ và CC′ lần lượt bằng 1 và 3 , hình chiếu
vuông góc của A lên mặt phẳng (A B C′ ′ ′)
là trung điểm M của B C′ ′ và
2 33
A M′ =
Thểtích của khối lăng trụ đã cho bằng
2 33
Lời giải Chọn A
Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A′ và vuông góc với AA′ ta được thiết diện là tam giác
1 1
A B C′ có các cạnh A B′ =1 1; A C′ =1 3; B C1 1=2.
Suy ra tam giác A B C′ 1 1 vuông tại A′ và trung tuyến A H′ của tam giác đó bằng 1.
Gọi giao điểm của AM và A H′ là T
Ta có:
2 33
A M′ =
; A H′ =1
13
A M AA
A B C
V =AA S′ ′ = × =
Trang 2
Câu 2 (Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC A B C , khoảng cách từ C đến đường thẳng ' ' ' BB'
bằng 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và ' CC lần lượt bằng 1 và 3 , hình'
chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ( ' ' ') A B C là trung điểm M của ' ' B C và ' A M =2.Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A
2 3
Lời giải Chọn D
Gọi A A lần lượt là hình chiếu của A trên '1, 2 BB , CC Theo đề ra'
AA = AA = A A =
Do AA12+AA22 =A A1 22 nên tam giác AA A vuông tại A 1 2
Gọi H là trung điểm A A thì 1 2 1 22 1
A A
AH = =
.Lại có MH BBP '⇒MH ⊥(AA A1 2)⇒MH ⊥AH suy ra MH = AM2 −AH2 = 3.
3cos(( ), ( )) cos( , ) cos
S S
ABC AA A
Thể tích lăng trụ là V = AM S× ABC =2.
Nhận xét Ý tưởng câu này là dùng diện tích hình chiếu 'S =Scosα .
Câu 3 (Mã 102 2018) Cho khối lăng trụ ABC A'B'C' , khoảng cách từ C đến . BB' là 5 , khoảng
cách từ A đến BB' và CC lần lượt là 1; 2 Hình chiếu vuông góc của ' A lên mặt phẳng
15
Trang 3Lời giải Chọn C
Kẻ AI ⊥BB', AK ⊥CC ( hình vẽ ).'
Khoảng cách từ A đến BB' và CC lần lượt là 1; 2' ⇒AI =1, AK =2.
Gọi F là trung điểm của BC
15'
Vì CC'PBB'⇒d C BB( , ') =d K BB( , ')=IK = 5 ⇒ ∆AIK vuông tại A.
Gọi E là trung điểm của IK ⇒EF BB P ' ⇒EF⊥(AIK) ⇒EF ⊥AE
AF
52153
=
32
AM
15333
Trang 4bằng 5 , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB′ và CC′ lần lượt bằng 1 và 2, hình
chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A B C′ ′ ′) là trung điểm M của B C′ ′ và A M′ = 5.Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Lời giải Chọn D
Gọi J , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BB′ và CC′, H là hình chiếu vuông
góc của C lên BB′
Ta có AJ ⊥BB′ 1( )
.( ) 2
AK ⊥CC′⇒ AK ⊥BB′ .
Từ ( )1
và ( )2
suy ra BB′ ⊥(AJK) ⇒BB′⊥JK ⇒JK CH// ⇒JK CH= = 5.Xét ∆AJK có JK2 = AJ2+AK2 =5 suy ra ∆AJK vuông tại A.
Gọi F là trung điểm JK khi đó ta có
52
AF=JF =FK=
.Gọi N là trung điểm BC, xét tam giác vuông ANF ta có:
·cosNAF AF
AN
=
525
2
AJK ABC
=
Vậy thể tích khối lăng trụ là V = AM S. ∆ABC = 153 .2= 2 153
Câu 5 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C. ′ ′ ′ có đáy là tam giác vuông
tại A, AB=2, AC= 3 Góc CAA· ′ = °90 , ·BAA′ =120° Gọi M là trung điểm cạnh BB′
(tham khảo hình vẽ) Biết CM vuông góc với A B′ , tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Trang 5V = +
C
3 1 334
=
D
1 334
V = +
Lời giải Chọn C
Do AC⊥ AB , AC ⊥ AA′ nên AC⊥(ABB A′ ′) Mà A B′ ⊂(ABB A′ ′) nên AC ⊥ A B′ .
Có A B′ ⊥ AC , A B′ ⊥CM nên A B′ ⊥(AMC) ⇒A B′ ⊥AM .
Đặt AA′ =x (x>0) Ta có uuur uuur uuurA B′ = AB AA− ′ và AM = AB BM+ =AB+12AA′
uuuur uuur uuuur uuur uuur
Trang 6Câu 6 (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C. ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác vuông
cân tại C, AB=2a và góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC′) và (ABC) bằng 60° Gọi M N lần,lượt là trung điểm của A C′ ′ và BC Mặt phẳng (AMN)
chia khối lăng trụ thành hai phần Thểtích của phần nhỏ bằng
A
3
7 324
a
3
66
a
3
7 624
a
3
33
a
Lời giải Chọn A
Gọi I là trung điểm AB , suy ra AB⊥(CIC′) nên góc giữa (C AB′ ) và (ABC) là góc(CI C I, ′ )
, suy ra C IC· ′ = °60 .Tam giác C IC′ vuông tại C nên
= × × =
ABC
.Thể tích khối lăng trụ là V =CC S′× ABC =a 3× =a2 a3 3.
Trang 7Vậy phần thể tích nhỏ hơn là
3
7 324
C EM CAN
a V
Câu 7 (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp tam giác đều S ABC. có SA=2 Gọi D, E lần
lượt là trung điểm của cạnh SA , SC Thể tích khối chóp S ABC biết BD⊥AE
Gọi O là tâm tam giác đều ABC Do S ABC. là hình chóp đều nên ta có SO⊥(ABC)
Ta có
12
AE SE SA= − = SC SA−
uuur uur uur uuur uur
;
12
BD SD SB= − = SA SB−
uuur uuur uur uur uur
.Đật ·ASC BSC=· =·ASB=α.
=
ABC
S
Trang 8
2 2 6 3 2 2 .
Câu 8 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông. ′ ′ ′
tại A, cạnh BC =2a và · ABC=600 Biết tứ giác BCC B là hình thoi có ·′ ′ B BC nhọn Mặt′phẳng (BCC B′ ′)
vuông góc với ( ABC)
và mặt phẳng (ABB A′ ′)
tạo với (ABC)
góc 45 Thể0tích khối lăng trụ ABC A B C bằng. ′ ′ ′
A
3
77
a
3
3 77
a
3
6 77
a
3
721
a
Lời giải Chọn B
∆B HK vuông tại H có B KH·′ = °45 ⇒ ∆B HK′ vuông cân tại H ⇒B H′ =KH.
Xét hai tam giác vuông B BH′ và BKH, ta có
Trang 921 2 21.
tạo với đáy góc 30 và tam giác A BC0 ′ có diện tích bằng 8 Tính thể tích V
của khối lăng trụ đã cho
Lời giải Chọn D
Gọi I là trung điểm cạnh BC
Vì ABC A B C. ′ ′ ′ là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều nên ABC A B C ′ ′ ′ là khối lăng trụ đều.
Do đó ta có: A B′ =A C′ Suy ra tam giác A BC′ cân tại A′ ⇒A I′ ⊥BC.
Mặt khác: tam giác ABC đều ⇒AI ⊥BC.
Suy ra BC ⊥(A IA′ ).
Vậy góc giữa mặt phẳng (A BC′ ) và mặt đáy bằng góc ·A IA′ =300.
Ta có: tam giác ABC là hình chiếu của tam giác A BC′ trên mặt đáy nên
Trang 10Ta có:
·3
Câu 10 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối lăng trụ ABC A B C ' ' 'có đáy ABClà tam giác vuông tại A,
AB a BC= = a Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng ( ABC)
là trung điểm của
cạnh Hcủa cạnhAC Góc giữa hai mặt phẳng (BCB C' ')
và (ABC)
bằng 600 Thể tích khốilăng trụ đã cho bằng:
A
3
3 34
a
3
38
a
3
3 38
a
3 316
a
Lời giải Chọn C
Tứ giác KMIHlà hình bình hành nên
34
Trang 11Câu 11 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a= , SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a= Góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (SCD)
bằng ϕ,với
1os
a
3
2 23
a
3
23
a
Lời giải Chọn A
uuur uuur uuur uuur
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBC)
Trang 12(AA C C′ ′ ) , (AA B B′ ′ ) tạo với nhau góc α có tanα = 34
Thể tích của khối lăng trụ
ABCD A B C D′ ′ ′ ′ là
A V =12. B V =6. C V =8. D V =10.
Lời giải Chọn C
Gọi M là trung điểm của AA′ Kẻ A H′ vuông góc với AC tại H, BK vuông góc với AC tại
K , KN vuông góc với AA′ tại N.
Do (AA C C′ ′ ⊥) (ABCD) suy ra A H′ ⊥(ABCD) và BK ⊥(AA C C′ ′ ) ⇒BK ⊥AA′
AA′ BKN AA′ NB
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ suy ra ( (·AA C C′ ′ ) (, AA B B′ ′ ) ) =·KNB=α
Ta có: ABCD là hình chữ nhật với AB= 6, AD= 3 suy ra BD= =3 AC
Suy ra ACA∆ ′ cân tại C Suy ra CM ⊥AA′⇒KN CM//
Xét ANK∆ vuông tại N có
4 23
KN =
, AK =2 suy ra
23
Trang 13Suy ra thể tích khối lăng trụ cần tìm là:
4 2 6 3 8
3
V =A H AB AD′ = =
Câu 13 (Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Cho hình lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác
vuông tại A, cạnh BC=2a và ·ABC= °60 Biết tứ giác BCC B′ ′ là hình thoi có ·B BC′ nhọn.Biết (BCC B′ ′) vuông góc với ( ABC)
và (ABB A′ ′) tạo với ( ABC)
góc 45° Thể tích của khốilăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′ bằng
a
3
67
Gọi H là chân đường cao hạ từ B′của tam giác B BC′ Do góc ·B BC′ là góc nhọn nên Hthuộc cạnh BC (BCC B′ ′) vuông góc với (ABC) suy ra B H′ là đường cao của lăng trụ
là góc ·B KH′ Theo giả thiết, B KH·′ = ° ⇒45 B K′ =h 2, với B H′ =h.
Xét tam giác vuông B BH′ có B H′ 2+BH2 =B B′ 2 hay h2+4BK2 =4a2( )1 .
Xét tam giác vuông B BK B K′ : ′ 2+BK2 =B B′ 2 hay 2h2+BK2 =4a2( )2 .
Từ ( )1
và ( )2
ta có
2 37
Trang 14Câu 14 (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác đều ' ' '
cạnh a, hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng ( ABC)
trùng với trọng tâm tam giác
ABC Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA'và BC bằng
34
+ Gọi M là trung điểm BC , H là trọng tâm tam giác ABC ⇒A H' ⊥(ABC)
23
Trang 15Vậy thể tích khối lăng trụ
2
=
S ABC
a V
3
3
=
S ABC
a V
3
6
=
S ABC
a V
D V S ABC. =a 3
Lời giải Chọn C
+ Lấy M là trung điểm của BC , tam giác ABC cân tại A
Trang 16Câu 16 (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho tứ diện ABCD có
Gọi H K, lần lượt là trung điểm cạnh CD AB,
∆ = ∆ do đó AH =BH (2 đường cao tương ứng) (2)
Từ (1), (2) suy ra ∆AHB vuông cân tại H
Trang 17Gọi H là tâm của hình vuông ABCD nên SH ⊥(ABCD) Đặt m HA= , n SH= Do tam giác
SAH vuông tại H nên m2+ =n2 11a2
Xây dựng hệ trục tọa độ như sau: (0;0;0)H , ( ;0;0)B m , (D m− ;0;0), (0; ;0)C m , (0;0; )S n
Trang 18Chiều cao của hình chóp là SH =3a.
Diện tích của hình vuông là S ABCD =4a2.
Thể tích của khối chóp S ABCD là:
Trang 19Ta có S ABC =S HAB +S HAC+S HBC =12(HP HM HN+ + ) 3 3 3
a Tính thể tích V của khối chóp S ABC
A
3
5 312
a
V =
Lời giải Chọn B
Vì ·SAB SCB= · =900 ⇒S A B C, , , cùng thuộc mặt cầu đường kính SB
Gọi D là trung điểm BC , I là trung điểm SB và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC∆ , ta
có OI ⊥(ABC).
Gọi H là điểm đối xứng với B qua O ⇒SH ⊥(ABC)(vì OI là đường trung bình SHB∆ ).
Gọi BM∩AI =J , ta có J trọng tâm SAB∆ .
Trong AID∆ , kẻ JN/ /IO Khi đó, vì BC⊥(JND) nên (JND) (⊥ MBC) .
Trang 203 618
a
3 212
a
3 66
a
Lời giải Chọn A
Trang 21Cách 1:
Gọi M là điểm nằm trên SC sao cho
13
SM = SC a=
Ta có:
Tam giác SAM vuông tại S ⇒ AM = SA2+SM2 =a 2.
Tam giác SBM là tam giác đều có độ dài cạnh SM =SB BM= =a.
Tam giác SABlà tam giác đều có độ dài cạnh SA SB= = AB a= .
Vậy AB2+BM2 =AM2 ⇒ Tam giác ABM là tam giác vuông tại B.
22
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒SI là đường cao của khối chóp SABM
Thể tích của khối chóp S ABM. là
3
13
a
Thể tích của khối chóp
Trang 22Vì ·SAB SCB=· = °90 ⇒S A B C, , , cùng thuộc mặt cầu đường kính SB
Gọi D là trung điểm BC , I là trung điểm SB và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC∆ , ta có
OI ⊥ ABC .
Gọi H là điểm đối xứng với B qua O ⇒SH ⊥(ABC) (vì OI là đường trung bình SHB∆ ).
Gọi BM∩AI =J , ta có J trọng tâm SAB∆ .
Trong ∆AID, kẻ JN IO// Khi đó, vì BC⊥(JND) nên (JND) (⊥ MBC).
a Tính thể tích V của khối chóp S ABC.
A
3
5 3.12
a
V =
Lời giải Chọn B
Trang 23Gọi I là trung điểm của SB.
Do ·SAB=SCB· = ° nên 90 I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.
Gọi O là tâm của đáy ABC Þ OI ^(ABC)
Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC)
Ta có AB^(SAH)Þ AB^AH. Tương
tự, BC^CH. Suy ra H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, có tâm là O nên O là
trung điểm của BH Do đó, . SH =2 OI
Gọi N là trung điểm của BCÞ IN SC// nên BC^INÞ BC^(AIN)(*)
Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và K là hình chiếu của G lên mặt phẳng (ABC)
2 3 10 3
Trang 24Dựng tứ diện D A B C′ ′ ′ sao cho A , B , C lần lượt là trung điểm của B C′ ′, A C′ ′, A B′ ′.
Theo cách dựng và theo bài ra có: AC BC= ′=BD.
Xét tam giác DA C′ ′ có: BD là đường trung tuyến và A B BC′ = ′=BD⇒ ∆DA C′ ′ vuông tại
D
Chứng minh tương tự ta cũng có: DB C∆ ′ ′, DA B∆ ′ ′ vuông tại D
Khi đó tứ diện D A B C′ ′ ′ có các cạnh DA′, DB′, DC′ đôi một vuông góc với nhau.
Trang 25Gọi H thuộc mặt phẳng ( ABC)
Kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với DA, DB
Suy ra HE⊥(ABD), HF ⊥(BCD) nên góc giữa hai mặt phẳng (ABD)
DH a HF
a DH
=
+Mặt khác:
Câu 26 Cho hình lăng trụ đều ABC A B C. ¢ ¢ ¢ Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABC¢) bằng
a, góc giữa hai mặt phẳng (ABC¢)
và (BCC B¢ ¢)
bằng α với
1cos
2 3
α =
Tính thể tích khốilăng trụ ABC A B C. ¢ ¢ ¢
A
3
3 24
a
V =
C
3 22
a
V =
Lời giải Chọn B
Trang 26Gọi M N lần lượt là trung điểm của AB và BC,
Câu 27 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có A B′ vuông góc
với mặt phẳng đáy (ABCD)
Góc giữa AA′ với mặt phẳng (ABCD)
bằng 450 Khoảng cách
từ A đến các đường thẳng BB' và DD' bằng 1 Góc giữa mặt phẳng (BB C C′ ′ ) và mặt phẳng(CC D D′ ′ ) bằng 600, Tính thể tích khối hộp đã cho
Lời giải Chọn A
Trang 27Ta có D∈(Oxy), giả sử D a b′( , , 0 ;a 0) ≥ ⇒C a b′( , + 2, 0)
.Chọn nr(BB C C' ' ) = −( b a a, , ) và nr(DD' 'C C) =(1, 0,0).
32
Trường hợp 1: D( 3, 2, 0) ⇒V ABCD A B C D ' ' ' '= A B S' A B C D' ' ' ' = 2.uuuuur uuuuurA B A D' ', ' ' =2 3
Trường hợp 2 D( 3,− 2, 0) ⇒V ABCD A B C D ' ' ' '= A B S' A B C D' ' ' ' = 2.uuuuur uuuuurA B A D' ', ' ' =2 3
Câu 28 (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - 2018) Cho lăng trụ ABCD A B C D có đáy ABCD là hình chữ. ′ ′ ′ ′
4
α = Thể tích khối lăngtrụ ABCD A B C D bằng?. ′ ′ ′ ′
A V =8. B V =12. C V =10. D V =6.
Lời giải
Trang 28Gọi H là hình chiếu của B lên (ACC A′ ′), vậy BH⊥(ACC A′ ′) .
=
; HC= BC2 −BH2 =1;2
Câu 29 (Cụm 5 Trường Chuyên - Đbsh - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ′ ′ ′ có đáy là tam
giác ABC vuông cân tại A , cạnh BC a= 6 Góc giữa mặt phẳng (AB C′ ) và mặt phẳng(BCC B′ ′) bằng 60° Tính thể tích V của khối đa diện AB CA C′ ′ ′.
3
3 32
a
3 32
a
3 33
a
Lời giải
Trang 29Khối đa diện AB CA C′ ′ ′ là hình chóp B ACC A′ ′ ′ có A B′ ′⊥(ACC A′ ′).
Từ giả thiết tam giác ABC vuông cân tại A , cạnh BC a= 6 ta suy ra AB=AC a= 3.
Gọi M là trung điểm của BC, suy ra AM ⊥BC và
62
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên B C′ , suy ra MH ⊥B C′ (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra B C′ ⊥(AMH) Từ đó suy ra góc giữa mặt phẳng (AB C′ ) và mặt phẳng(BCC B′ ′) là góc giữa AH và MH Mà tam giác AMH vuông tại H nên ⇒·AHM = °60 .
6 32
a MH HCM