Tài liệu môn học giải tích 2 Lý thuyết và bài tập ĐHBKHN

Sau khi tìm được hàm ??, ? phù hợp, sử dụng định lí kẹp... Theo định nghĩa, để tìm ra sự tồn tại hữu hạn của giới hạn ?,?→?lim 0 ,? 0 ??, ? nhận hai giá trị khác nhau... Các bài toán về

BÁCH KHOA- ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI

M ỤC LỤC

CHƯƠNG I: HÀM NHIỀU BIẾN SỐ 7

I Bài toán tìm gi ới hạn của hàm nhiều biến số: 7

II Bài toán kh ảo sát tính liên tục của hàm nhiều biến số: .14

III Các bài toán v ề đạo hàm riêng: 16

1 Tính đạo hàm riêng của hàm bị gãy khúc: 18

2 Tính đạo hàm riêng của hàm số hợp: 19

3 Đạo hàm riêng cấp hai: 20

4 Tính đạo hàm riêng của hàm số hợp gián tiếp qua hàm tích phân: 21

5 Tính đạo hàm riêng của hàm ẩn: 23

6 Vi ết phương trình tiếp tuyến của đường cong tại một điểm cho bởi hàm ẩn rút ra từ 𝑭(𝒙, 𝒚) = 𝟎 24

7 Tìm điểm kì dị của đường cong: 25

8 M ột số bài tập tổng hợp: 26

IV Kh ảo sát tính liên tục của đạo hàm riêng: 27

V Bài toán s ử dụng vi phân tính gần đúng: 28

VI Bài toán tính vi phân toàn ph ần: 29

VII Bài toán tìm c ực trị của hàm nhiều biến (không có điều kiện): 31

VII Bài toán c ực trị có điều kiện ràng buộc giữa 𝐱 và 𝐲: .35

VIII Bài toán khai tri ển Taylor tại một điểm của hàm nhiều biến số: 38

IX Bài toán giá tr ị lớn nhất, nhỏ nhất: 39

1 Bài toán: 39

2 Cách làm t ổng quát: 39

CHƯƠNG I: CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN 44

I Trong hình h ọc phẳng (Oxy) 44

II Trong hình h ọc không gian (Oxyz): 47

III Bài toán liên quan đến đường cong cho dưới dạng giao tuyến của 2 m ặt cong: 50

IV Bài toán tìm hình bao c ủa họ đường cong phụ thuộc vào tham số: 51

1 Định nghĩa: 51

2 Các bước tìm hình bao: 52

V Hàm vecto: 54

CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI 56

§2.1: TÍCH PHÂN KÉP 56

I Các công th ức tính cơ bản: 56

1 D ạng 1: Miền 𝐃 là miền hình chữ nhật: 56

2 D ạng 2: Miền D là miền có dạng hình thang cong: 58

3 D ạng 3: Miền 𝐃 có dạng hình thang cong: 62

II Bài toán đổi thứ tự lấy tích phân: 64

1 Bài toán: 64

2 Phương pháp: 65

III Các phép đổi biến số trong tích phân kép: 71

1 Phép đổi biến trong tọa độ Đề-các: 71

2 Phép đổi biến số trong tọa độ cực: 73

3 Phép đổi biến số trong tọa độ cực suy rộng: 84

IV Tích phân kép có mi ền lấy tích phân đối xứng: 87

V Tích phân kép có d ấu giá trị tuyệt đối: 89

VI D ạng bài kết hợp các phương pháp đổi biến số: 93

VII D ạng bài sử dụng tọa độ cực để giải tích phân có miền 𝐃 đặc biệt: 93

VIII Bài t ập tự luyện: 97

§2.2: TÍCH PHÂN B ỘI BA 98

I Sơ lược về tích phân bội ba: 98

II M ột số dạng cơ bản: 102

1 D ạng 1: 102

2 D ạng 2: 102

3 D ạng 3: 103

4 D ạng 4: 104

III Đổi biến số trong tích phân bội ba: 110

1 Phép đổi biến số trong tọa độ trụ: 110

2 Phép đổi biến số trong tọa độ trụ suy rộng 115

3 Phép đổi biến số trong tọa độ cầu: 116

4 Phép đổi biến số trong tọa độ cầu suy rộng: 122

5 Phép đổi biến số trong tọa độ Đề-các: 130

IV Tích phân có mi ền đối xứng: 132

V M ột số dạng bài đặc biệt: 135

1 T ọa độ trụ có sử dụng hình chiếu của miền 𝐕 lên 𝐎𝐱𝐳 hoặc 𝐎𝐲𝐳: 135

2 Đổi thứ tự lấy tích phân: 136

3 Đổi vai trò của 𝐱, 𝐲, 𝐳 137

4 D ạng tổng hợp: 139

5 S ử dụng đổi biến số trong tọa độ cầu để tính các tích phân bội ba có mi ền phức tạp: 140

VI Bài t ập tự luyện: 142

§2.3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI 143

I Tính di ện tích hình phẳng 143

II Tính di ện tích mặt cong: 148

III Tính th ể tích vật thể: 150

CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ 156

§3.1: Tích phân xác định phụ thuộc tham số 156

I Khái ni ệm: 156

II Các tính ch ất của tích phân xác định phụ thuộc tham số: .156

1 Tính liên t ục: 156

2 Tính kh ả vi: 158

3 Tính kh ả tích: 162

III Tích phân ph ụ thuộc tham số với cận biến đổi: 163

1 Tính liên t ục: 163

2 Tính kh ả vi: 165

3 Tính kh ả tích: 166

§3.2: TÍCH PHÂN SUY R ỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ .167

I Khái ni ệm: 167

II Các tính ch ất: 168

1 Tính liên t ục: 168

2 Tính kh ả vi: 169

3 Tính kh ả vi: 173

III M ột số tích phân quan trọng: 177

§3.3: TÍCH PHÂN EULER 178

I Hàm Gamma: 178

II Hàm Beta: 180

CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 183

§4.1: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I 183

I Công th ức tính: 183

1 D ạng 1: 184

2 D ạng 2: 184

3 D ạng 3: 184

4 D ạng 4: 184

II Ứng dụng của tích phân đường loại I: 192

III Tích phân đường loại I trong không gian 𝐎𝐱𝐲𝐳: 194

§𝟒 𝟐: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II 197

I Công th ức tính: 197

1 D ạng 1: 197

2 D ạng 2: 197

3 D ạng 3: 198

II Công th ức Green: 201

III Điều kiện để tích phân không phụ thuộc vào đường đi: 208

1 Định lí 4 mệnh đề tương đương: 208

2 Bài toán tích phân không ph ụ thuộc vào đường đi: 209

IV Ứng dụng của tích phân đường loại II: 215

1 Tính di ện tích hình phẳng: 215

2 Tính công c ủa một lực thay đổi làm dịch chuyển chất điểm từ vị trí A đến vị trí B: 215

CHƯƠNG V: TÍCH PHÂN MẶT 217

§5.1: TÍCH PHÂN M ẶT LOẠI I 217

I Công th ức tính: 217

II Ứng dụng của tích phân mặt loại I: 223

§5.2: TÍCH PHÂN M ẶT LOẠI II 226

I.Tích phân m ặt loại II: 226

II.Công th ức Ostrogradsky: 231

III.Công th ức Stoke: 239

IV.Công th ức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và tích phân mặt loại II: 240

CHƯƠNG VI: LÝ THUYẾT TRƯỜNG 243

§6.1: TRƯỜNG VÔ HƯỚNG 243

I Định nghĩa: 243

II Đạo hàm theo hướng: 243

1 Công th ức tính: 243

2 Tính ch ất: 243

III Gradient: 244

§6.2: TRƯỜNG VECTO 247

I Định nghĩa: 247

II Dive, trường ống: 247

III Trường thế, hàm thế vị: 247

1 Vecto xoáy ( 𝐫𝐨𝐭𝐅): 247

2 Trường thế, hàm thế vị: 247

IV Thông lượng: 249

1 Công th ức tính: 249

2 Các ví d ụ minh họa: 249

V Lưu số (Hoàn lưu): 255

1 Công th ức tính: 255

2 Các d ạng chính: 255 TÀI LI ỆU THAM KHẢO: 260

CHƯƠNG I:

I Bài toán tìm giới hạn của hàm nhiều biến số:

− Tính chất cơ bản của giới hạn:

+(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)lim 𝑘𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)lim 𝑓(𝑥, 𝑦)

+(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)lim [𝑓(𝑥, 𝑦) ± 𝑔(𝑥, 𝑦)] = lim

(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)𝑓(𝑥, 𝑦) ±(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)lim 𝑔(𝑥, 𝑦)

Tính chất thứ hai chỉ áp dụng được khi lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)𝑓(𝑥, 𝑦) và (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)lim 𝑔(𝑥, 𝑦) hữu hạn

Nếu hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục tại điểm (𝑥0; 𝑦0) thì:

(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑐lim

(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑐

⇒(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)lim 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐

❖ Trong các bài tập, khi phán đoán được giới hạn lim

(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)𝑓(𝑥, 𝑦)tiến đến 0, chúng ta sẽ sử dụng định lí kẹp như sau:

Có: 0 ≤ |𝑓(𝑥, 𝑦)| ≤ |𝑔(𝑥, 𝑦)| Vế trái của của |𝑓(𝑥, 𝑦)| đã được kẹp bởi số 0, nhiệm vụ sẽ là tìm được hàm 𝑔(𝑥, 𝑦) thỏa mãn lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)𝑔(𝑥, 𝑦) = 0 Để làm được việc này chúng ta sẽ đánh giá, tác động lên hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) bằng cách bớt tử, mẫu hay sử dụng bất đẳng thức Cauchy, sử dụng

|sin 𝑥|, |cos 𝑥| ≤ 1 … Sau khi tìm được hàm 𝑔(𝑥, 𝑦) phù hợp, sử dụng định lí kẹp

Sử dụng máy tính nhập hàm 𝑥𝑥2 2sin 𝑦+ 𝑦2, do (𝑥, 𝑦) → (0,0), ta CALC 𝑥 = 10−6, 𝑦 = 10−6

thu được kết quả gần bằng 0 ⇒ dự đoán (𝑥,𝑦)→(0,0)lim 𝑥𝑥22sin 𝑦+ 𝑦2 = 0 ⇒ Sử dụng định lý kẹp

2+ (cos 𝑦)2| ≤ |(sin 𝑥)(sin 𝑥)3 2| = |sin 𝑥|

Mà(𝑥,𝑦)→(0,0)lim |sin 𝑥| = |sin 0| = 0 ⇒ lim (sin 𝑥)(sin 𝑥)2+ (cos 𝑦)3 2= 0 (Định lý kẹp)

VD4: Tìm(𝑥,𝑦)→(0,0)lim 𝑥𝑥4+ 𝑦4

2+ 2𝑦2

Gi ải:

Dùng máy tính, dự đoán được(𝑥,𝑦)→(0,0)lim 𝑥𝑥24+ 2𝑦+ 𝑦42= 0 ⇒ dùng định lí kẹp

Ở VD này nếu để nguyên và bớt ở mẫu số như 2 VD trước thì vẫn chưa thể sử dụng định lí kẹp, chúng ta sẽ chia

− Dạng 2: Sử dụng cách đặt 𝑦 = 𝑘𝑥 để chứng minh sự không tồn tại của giới hạn

Theo định nghĩa, để tìm ra sự tồn tại hữu hạn của giới hạn (𝑥,𝑦)→(𝑥lim

0 ,𝑦 0 )𝑓(𝑥, 𝑦) nhận hai giá trị khác nhau

Chúng ta thường xét hai dãy {𝑥 → 𝑥0}, {𝑦 = 𝑥 → 𝑦0} và {𝑥 → 𝑥0}, {𝑦 = 2𝑥 → 𝑦0}

Và để đỡ tốn thời gian trình bày ta sẽ xét tổng quát dãy {𝑥 → 𝑥0}, {𝑦 = 𝑘𝑥 → 𝑦0}

13𝑘 + 𝑘3

Với mỗi 𝑘 khác nhau,(𝑥,𝑦)→(0,0)lim 3𝑥2𝑦 + 𝑦𝑥3 3 tiến đến những giới hạn khác nhau

Vậy không tồn tại (𝑥,𝑦)→(0,0)lim 3𝑥2𝑦 + 𝑦𝑥3 3

𝜋

2 + 𝑘 = sin

𝜋

2 + 𝑘Với mỗi 𝑘 khác nhau,(𝑥,𝑦)→(+∞,+∞)lim sin 𝜋𝑥2𝑥 + 𝑦 tiến đến những giới hạn khác nhau

Vậy không tồn tại (𝑥,𝑦)→(+∞,+∞)lim sin 𝜋𝑥2𝑥 + 𝑦

− D ạng 3: Kết hợp những kiến thức tìm giới hạn của hàm 1 biến số:

▪ Vô cùng lớn tương đương: với 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦) → +∞

2! + 𝑢4! + ⋯ + (−1)4 𝑛 𝑢(2𝑛)! + 𝑜(𝑢2𝑛 2𝑛)ln(1 + 𝑢) = 𝑢 − 𝑢2

Vậy với mỗi 𝑘 khác nhau lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)𝑥23𝑥+ 𝑦2 2 tiến đến những giá trị giới hạn khác nhau

II Bài toán khảo sát tính liên tục của hàm nhiều biến số:

Cách làm: sử dụng định lí: hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục tại điểm (𝑥0; 𝑦0) khi và chỉ khi:

lim

(𝑥,𝑦)→(𝑥 0 ,𝑦 0 )𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0, 𝑦0)

Vận dụng các phương pháp tìm giới hạn để kiểm tra tính liên tục

Vậy hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục tại (0,0) khi và chỉ khi 𝑎 = 0

VD3: Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = {sin (𝑥𝑦 + 𝑦𝑥2+ 𝑦2 2) , nếu (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)

0, nếu (𝑥, 𝑦) = 0 Xét tính liên tục của hàm số tại (0,0)

𝑥2+ 𝑦2) tiến đến những giá trị giới hạn khác nhau.

⇒ Không tồn tại lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)sin (𝑥𝑦 + 𝑦𝑥2+ 𝑦2 2) ⇒ Hàm số gián đoạn tại (0,0)

Xét tính liên tục của hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) tại (0,0)

Với (𝑥, 𝑦) → (0,0), xét theo phương 𝑦 = 𝑘𝑥

(𝑥,𝑦)→(0,0)𝑥𝑦 − 𝑥𝑥2+ 𝑦2 2 =(𝑥,𝑘𝑥)→(0,0)lim 𝑘𝑥

2− 𝑥2

𝑥2+ (𝑘𝑥)2= 𝑘 − 11 + 𝑘2Vậy với mỗi 𝑘 khác nhau (𝑥,𝑦)→(0,0)lim 𝑥𝑦 − 𝑥𝑥2+ 𝑦22 tiến đến những giá trị giới hạn khác nhau

⇒ Không tồn tại (𝑥,𝑦)→(0,0)lim 𝑥𝑦 − 𝑥𝑥2+ 𝑦22 ⇒ Hàm số gián đoạn tại (0,0)

Vậy hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục với (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2\{(0,0)}, gián đoạn tại (0,0)

III Các bài toán về đạo hàm riêng:

Trong hàm nhiều biến số xuất hiện một khái niêm mới là đạo hàm riêng

− Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) xác định trong miền 𝐷, điểm 𝑀(𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝐷 Nếu cho y= y0 =constthì hàm hai biến 𝑓(𝑥, 𝑦) trở thành hàm một biến số 𝑓(𝑥, 𝑦0) theo biến 𝑥 Đạo hàm của 𝑓(𝑥, 𝑦0) tại x= x0được gọi là đạo hàm riêng của 𝑓(𝑥, 𝑦) theo biến 𝑥 tại 𝑀 Ký hiệu 𝑓𝑥′(𝑥0, 𝑦0) hoặc f ( , )x y0 0

− Đạo hàm riêng của một tích: {(𝑓 𝑔)(𝑓 𝑔)′𝑦′𝑥 = 𝑓= 𝑓𝑥′𝑦′ 𝑔 + 𝑔 𝑔 + 𝑔𝑥′𝑦′ 𝑓 𝑓

− Đạo hàm riêng của một thương:

1 Tính đạo hàm riêng của hàm bị gãy khúc:

− Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑔(𝑥, 𝑦) nếu 𝑥 ≠ 𝑥ℎ(𝑥, 𝑦) nếu 𝑥 = 𝑥0

0 Thì để tính 𝑓𝑥′ tại điểm (𝑥0, 𝑦0) không thể dùng cách tính trực tiếp thông thường mà phải dùng định nghĩa như sau:

𝑓𝑥′(𝑥0, 𝑦0) = lim∆𝑥→0𝑓(𝑥0+ ∆𝑥, 𝑦∆𝑥0) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)

− Tương tự, cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑔(𝑥, 𝑦) nếu 𝑦 ≠ 𝑦ℎ(𝑥, 𝑦) nếu 𝑦 = 𝑦0

0 Thì để tính 𝑓𝑦′ tại điểm (𝑥0, 𝑦0) không thể dùng cách tính trực tiếp thông thường mà phải dùng định nghĩa như sau:

∆𝑥 = lim∆𝑥→02(∆𝑥)(∆𝑥)3 3 = 2

𝑓𝑦′(0,0) = lim∆𝑦→0𝑓(0, ∆𝑦) − 𝑓(0,0)∆𝑦 = lim

∆𝑥→0

−(∆𝑦)3− 0(∆𝑦)2 − 0

√𝑥2+ 𝑦2

⇔ 𝑧𝑥′ = −2 cos 𝑥 sin 𝑥 𝑒(cos 𝑥) 2 −2(𝑥 2 +𝑦 2 )− 4 √𝑥2+ 𝑦2.√𝑥2𝑥+ 𝑦2 𝑒(cos 𝑥) 2 −2(𝑥 2 +𝑦 2 )

⇔ 𝑧𝑥′ = − sin 2𝑥 𝑒(cos 𝑥) 2 −2(𝑥 2 +𝑦 2 )− 4𝑥 𝑒(cos 𝑥) 2 −2(𝑥 2 +𝑦 2 )

3 Đạo hàm riêng cấp hai:

− Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) có các đạo hàm riêng cấp một 𝑓𝑥′ và 𝑓𝑦′, các đạo hàm riêng của 𝑓𝑥′ và 𝑓𝑦′

(nếu có) được gọi là những đạo hàm riêng cấp hai Có bốn đạo hàm riêng cấp hai được ký hiệu:

2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦(𝑓𝑦′)′𝑦= 𝑓𝑦𝑦 ′′ hay 𝜕𝜕𝑦 (𝜕𝑓𝜕𝑦) = 𝜕𝜕𝑦2𝑓

𝑧𝑥𝑥 ′′ = 2 ln(𝑥 + 𝑦) + 2𝑥𝑥 + 𝑦 + 𝑥

2+ 2𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦)2

𝑧𝑥𝑥 ′′ = 2𝑥𝑦(𝑥2+ 𝑦2)2

𝑧𝑦𝑦 ′′ = −2𝑥𝑦(𝑥2+ 𝑦2)2

, tính 𝑧𝑥′, 𝑧𝑦′

− Cách làm: Áp dụng công thức

𝑧′𝑥 = 𝑧′𝑢 𝑢′𝑥+ 𝑧′𝑣 𝑣′𝑥 = 𝑢′𝑥 𝑓(𝑢)− 𝑣′𝑥 𝑓(𝑣)𝑧′𝑦 = 𝑧′𝑢 𝑢′𝑦+ 𝑧′𝑣 𝑣′𝑦 = 𝑢′𝑦 𝑓(𝑢)− 𝑣′𝑦 𝑓(𝑣)

Gi ải thích công thức:

Trong Giải tích I, chúng ta có công thức liên quan đến tích phân có cận trên thay đổi (hàm tích phân) như sau:

Trong chương này, chúng ta sẽ mở rộng công thức này ra với cận trên của tích phân là hàm hai

biến số 𝑢(𝑥, 𝑦), và có thêm đạo hàm riêng theo biến 𝑦

+ ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑢(𝑥,𝑦) 𝑎

= ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑢(𝑥,𝑦) 𝑎

− ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑣(𝑥,𝑦) 𝑎

5.Tính đạo hàm riêng của hàm ẩn:

− Từ phương trình 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0, rút ra được một hàm số ẩn 𝑦 = 𝑦(𝑥), khi đó:

7 Tìm điểm kì dị của đường cong:

− Bài toán: Đường cong 𝐿 dưới dạng phương trình 𝐿(𝑥, 𝑦) = 0, tìm điểm kì dị của đường cong

− Phương pháp giải:

B1: Giải hệ {𝐿𝑥

′ = 0

𝐿′ 𝑦= 0 ⇒ Các bộ nghiệm (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2), …

B2: Kiểm tra các điểm 𝑀1(𝑥1, 𝑦1), 𝑀2(𝑥2, 𝑦2), … có thuộc đường cong 𝐿 không

Nếu 𝑀𝑖(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) ∈ 𝐿 ⇒ 𝑀𝑖(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) là điểm kì dị của đường cong

Nếu 𝑀𝑖(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) ∉ 𝐿 ⇒ 𝑀𝑖(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) không là điểm kì dị của đường cong

VD: Một đường cong 𝐶 cho dưới dạng phương trình 𝑥2+ 𝑦3− 3𝑦2+ 4 = 0 Tìm điểm kì dị

của đường cong 𝐶

𝑦 = 2Điểm 𝑂(0,0) ∉ 𝐶 do 𝐿(0,0) = 4 ≠ 0 ⇒ 𝑂(0,0) không là điểm kì dị của đường cong 𝐶

Điểm 𝐴(0,2) ∈ 𝐶 do 𝐿(0,2) = 0 ⇒ 𝐴(0,2) là điểm kì dị của đường cong 𝐶

Vậy đường cong 𝐶 có điểm kì dị 𝐴(0,2)

𝑦 = 𝑧𝑦2VD3: Cho 𝑓 là hàm khả vi đến cấp hai trên 𝑅 Chứng minh rằng hàm số 𝜔(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 − 3𝑡)thỏa mãn phương trình truyền sóng:

𝜕2𝜔

𝜕𝑡2 = 9 𝜕𝜕𝑥2𝜔

2

IV Khảo sát tính liên tục của đạo hàm riêng:

− Với hàm số “gãy khúc” 𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑔(𝑥, 𝑦) nếu 𝑥 ≠ 𝑥ℎ(𝑥, 𝑦) nếu 𝑥 = 𝑥0

0 hay 𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑔(𝑥, 𝑦) nếu 𝑦 ≠ 𝑦0

ℎ(𝑥, 𝑦) nếu 𝑦 = 𝑦0

Tại điểm “gãy khúc” (𝑥, 𝑦) = (𝑥0, 𝑦) hay (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦0) thì hàm số chưa chắc đã tồn tại đạo

hàm riêng, ta phải xét đạo hàm riêng của hàm số tại điểm đặc biệt này theo định nghĩa

VD: Khảo sát sự tồn tại các đạo hàm riêng của nó:

𝑎)Khảo sát sự tồn tại của đạo hàm riêng

Với 𝑥 ≠ 0, 𝑦 = 𝑦0∈ 𝑅, hàm số có đạo hàm riêng: + 𝑓𝑥′= arctan (𝑦𝑥)2+ 𝑥 −2𝑦2

+ 𝑓𝑥′(0, 𝑦0) = lim∆𝑥→0𝑓(0 + ∆𝑥, 𝑦∆𝑥0) − 𝑓(0,0)= lim∆𝑥→0∆𝑥 arctan (𝑦∆𝑥)0

⇒ Hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) tồn tại đạo hàm riêng tại (𝑥, 𝑦) = (0, 𝑦0)

𝑏) Khảo sát sự tồn tại của đạo hàm riêng

Với (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0), hàm số có đạo hàm riêng: + 𝑓𝑥′= (sin 𝑦 − 𝑦 cos 𝑥)(𝑥2+ 𝑦2) − 2𝑥(𝑥 sin 𝑦 − 𝑦 sin 𝑥)

⇒ Hàm số tồn tại đạo hàm riêng tại (𝑥, 𝑦) = (0,0)

Vậy hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) có đạo hàm riêng liên tục với (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2

V Bài toán s ử dụng vi phân tính gần đúng:

+ Vi phân toàn phần cấp hai:

𝑑2𝑧 = 𝑧𝑥𝑥 ′′𝑑𝑥2+ 2𝑧𝑥𝑦 ′′ 𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑧𝑦𝑦 ′′ 𝑑𝑦2 (6.2)

− Trong trường hợp hàm số 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) là hàm ẩn được rút ra từ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 thì vi phân cấp một

vẫn được tính theo công thức (6.1) với 𝑧𝑥′, 𝑧𝑦′ tính theo công thức của hàm ẩn

1 − 𝑦𝑥 𝑒𝑧𝑥Với 𝑥 = 1, 𝑦 = 0, thay vào 𝑧 − 𝑦𝑒𝑧𝑥 = 0 ta được 𝑧 − 0 𝑒𝑧1 = 0 ⇒ 𝑧 = 0

1 − 01 𝑒01𝑑𝑥 +

𝑒01

1 − 01 𝑒01𝑑𝑦 = 𝑑𝑦

VII Bài toán tìm cực trị của hàm nhiều biến (không có điều kiện):

❖ Phương pháp xét các điểm tới hạn có ∆ = 𝟎

Định nghĩa: Cho hàm số 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) xác định trong miền 𝐷 và điểm 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝐷 Ta nói

rằng hàm số đạt cực trị tại 𝑀0 nếu với mọi 𝑀 thuộc lân cận nào đó của 𝑀0nhưng khác 𝑀0, hiệu

số

𝑓(𝑀) − 𝑓(𝑀0) có dấu không đổi

− Nếu 𝑓(𝑀) − 𝑓(𝑀0) > 0 ⇒ 𝑀0là điểm cực tiểu

− Nếu 𝑓(𝑀) − 𝑓(𝑀0) < 0 ⇒ 𝑀0là điểm cực đại

Theo định nghĩa trên, với những điểm tới hạn 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) có ∆ = 0 ta sẽ xét các điểm lân cận 𝑀

của 𝑀0 xem hiệu giá trị 𝑓(𝑀) − 𝑓(𝑀0) có đổi dấu không

Ta thường xét các điểm lân cận theo các trường hợp đặc biệt sau:

− Các điểm lân cận với 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) có cùng tung độ 𝑁(𝑥0+ ∆𝑥, 𝑦0)

− Các điểm lân cận với 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) có cùng hoành độ 𝑁(𝑥0, 𝑦0+ ∆𝑦)

Nếu 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) có 𝑥0 = 𝑦0có thể xét thêm các điểm lân cận có hoành độ và tung độ như sau:

[

𝑁(𝑥0+ ∆𝑥, 𝑦0+ ∆𝑦)𝑁(𝑥0− ∆𝑥, 𝑦0− ∆𝑦)𝑁(𝑥0+ ∆𝑥, 𝑦0− ∆𝑦)𝑁(𝑥0− ∆𝑥, 𝑦0+ ∆𝑦)

❖ Trong đề thi điểm tới hạn (0,0) của hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) thường có ∆ = 0, cần lưu ý điểm tới hạn đặc biệt này

❖ Các điểm tới hạn có ∆ = 0 thường không là điểm cực trị của hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦), cần xét thật kĩvới các trường hợp điểm lân cận đặc biệt đã nêu ở trên để nhân ra được sự đổi dấu của hiệu 𝑓(𝑀) − 𝑓(𝑀0) Trong một số bài, ta phải xét đến hai, ba, … trường hợp điểm lân cận để chứng minh sự đổi dấu

❖ Nếu với một điểm lân cận 𝑀 nào đó của 𝑀0, hiệu 𝑓(𝑀) − 𝑓(𝑀0) = 0 ⇒ 𝑀0 không là cực trị

VII Bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc giữa 𝒙 và 𝒚:

− Bài toán: Tìm cực trị của hàm 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) với điều kiện 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0

− Cách gi ải: sử dụng phương pháp nhân tử Langrange

B1: Đặt 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑘) = 𝑧(𝑥, 𝑦) + 𝑘𝑓(𝑥, 𝑦)

B2: Giải hệ {𝐿𝐿′′𝑦𝑥 = 0= 0

𝐿′ 𝑘 = 0⇒ Các bộ nghiệm (𝑥1, 𝑦1, 𝑘1), (𝑥2, 𝑦2, 𝑘2), (𝑥3, 𝑦3, 𝑘3) , …

B3: Đánh giá các bộ nghiệm tìm được ở B2

Cách 1: Xét dấu vi phân cấp hai của 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑘) (ưu tiên)

𝑑2𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑘) = 𝐿′′𝑥𝑥𝑑𝑥2+ 2𝐿′′𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝐿′′𝑦𝑦𝑑𝑦2

Nếu 𝑑2𝐿(𝑥1, 𝑦1, 𝑘1) < 0 thì 𝑀1(𝑥1, 𝑦1) là điểm cực đại có điều kiện của 𝑧

Nếu 𝑑2𝐿(𝑥1, 𝑦1, 𝑘1) > 0 thì 𝑀1(𝑥1, 𝑦1) là điểm cực tiểu có điều kiện của 𝑧.Xét tương tự với các bộ nghiệm (𝑥2, 𝑦2, 𝑘2), (𝑥3, 𝑦3, 𝑘3), … còn lại

Chú ý: Khi l ấy vi phân toàn phần hai vế 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0, ta có mối quan hệ:

𝑓𝑥′𝑑𝑥 + 𝑓𝑦′𝑑𝑦 = 0 ⇔ 𝑑𝑦 = −𝑓𝑥

′

𝑓𝑦′ 𝑑𝑥Thay vào công thức trên ta thu được:

Nếu 𝜙(𝑥0, 𝑦0, 𝑘0) > 0 ⇒ (𝑥0, 𝑦0) là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm số

Nếu 𝜙(𝑥0, 𝑦0, 𝑘0) < 0 ⇒ (𝑥0, 𝑦0) là điểm cực đại có điều kiện của hàm số

Cách 2:

Với (𝑥1, 𝑦1, 𝑘1) thay giá trị 𝑘1 vào𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑘) ta được 𝐿1= 𝑧(𝑥, 𝑦) + 𝑘1𝑓(𝑥, 𝑦)

⇒ Trở về bài toán xét cực trị của hàm 𝐿1 với điểm tới hạn 𝑀1(𝑥1, 𝑦1)

Làm tương tự với các bộ nghiệm còn lại

VD1: Tìm cực trị của hàm số: 𝑧 = 2𝑥2+ 𝑦2 với điều kiện 𝑥2+ 𝑦2= 1

𝑥2+ 𝑦2 = 1 (3) (∗) TH1: (1) ⇔ 2𝑥(𝑘 + 2) = 0 ⇒ 𝑘 = −2

Với 𝑘 = −2, hệ (∗) trở thành { −2𝑦 = 0𝑥2+ 𝑦2 = 1 ⇒ {𝑥 = ±1𝑦 = 0

TH2:(2) ⇔ 2𝑦(𝑘 + 1) ⇒ 𝑘 = −1

Với 𝑘 = −1, hệ (∗) trở thành { 2𝑥 = 0𝑥2+ 𝑦2 = 1 ⇒ { 𝑥 = 0𝑦 = ±1

⇒ (∗) có các bộ nghiệm (𝑥, 𝑦, 𝑘) = {(1,0, −2); (−1,0, −2); (0,1, −1); (0, −1, −1)}Xét vi phân cấp hai: 𝑑2𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑘) = 𝐿′′𝑥𝑥𝑑𝑥2+ 2𝐿′′𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦+𝐿′′𝑦𝑦𝑑𝑦2

⇒ 𝑑2𝐿 (𝑥, 𝑦, 𝑘) = (2 + 𝑘)𝑑𝑥2+ 0 𝑑𝑥𝑑𝑦 + (1 + 𝑘)𝑑𝑦2

⇒ 𝑀4(0, −1) là điểm cực tiểu có điều kiên của hàm số, 𝑧CT= 𝑧(𝑀4) = 1

VD2: Tìm cực trị của hàm số 𝑧 = 𝑥4 + 𝑦3 với điều kiện 𝑥2+ 𝑦2 = 1

3 + 2𝑘𝑦 = 0

𝑥2+ 𝑦2= 1

⇔{

⇒ 𝑀1(−35 , −45 ) là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm số, 𝑧CT= 𝑧(𝑀1) = −512

Với (𝑥, 𝑦, 𝑘) = (35,45, 524) ⇒ 𝑑2𝐿 (35,45,−524) = −512 (𝑑𝑥2+ 𝑑𝑦2) < 0

⇒ 𝑀2(35,45) là điểm cực đại có điều kiện của hàm số,𝑧𝐶Đ= 𝑧(𝑀2) = 512

VIII Bài toán khai triển Taylor tại một điểm của hàm nhiều biến số:

− Công thức khai triển Taylor tại điểm 𝑀(𝑥0; 𝑦0)

𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑧(𝑥0; 𝑦0) + ∑ 1+∞𝑘! 𝑑𝑘𝑧(𝑥0; 𝑦0)

𝑘=1

= 𝑧(𝑥0; 𝑦0) + 11! 𝑑𝑧(𝑥0; 𝑦0) + 12! 𝑑2𝑧(𝑥0; 𝑦0) + ⋯

− Trong đề thi thường chỉ tính đến vi phân cấp 2 hoặc 3, các vi phân cấp cao hơn bằng 0

− Khi tính vi phân cấp 2,3 tại 𝑀(𝑥0; 𝑦0) sẽ thay 𝑑𝑥 thành (𝑥 − 𝑥0) , thay 𝑑𝑦 thành (𝑦 − 𝑦0) VD: 𝑑2𝑧(𝑀) = 𝑧′′𝑥𝑥(𝑀) (𝑥 − 𝑥0)2+ 2𝑧′′𝑥𝑦(𝑀) (𝑥 − 𝑥0)(𝑦 − 𝑦0) + 𝑧′′𝑦𝑦(𝑀) (𝑦 − 𝑦0)2

Các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số là những hằng số ⇒ vi phần toàn phần cấp 3 trở lên bằng 0

Sử dụng công thức khai triển Taylor tại điểm 𝑀(1,2)

𝑑2𝑧(1,2) = 2(𝑥 − 1)2+ 2(𝑥 − 1)(𝑦 − 2) + 2(𝑦 − 2)2

Vậy khai triển Taylor của hàm số tại 𝑀(1,2) là:

𝑧 = 14 + 6(𝑥 − 1) + 7(𝑦 − 2) + (𝑥 − 1)2+ (𝑥 − 1)(𝑦 − 2) + (𝑦 − 2)2

IX Bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất:

1 Bài toán:

Tìm 𝐺𝑇𝑁𝑁, 𝐺𝑇𝐿𝑁 của hàm 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) trong một miền 𝐷 bất kì nào đó

VD: Tìm min, max của 𝑧 = sin 𝑥 + sin 𝑦 + sin(𝑥 + 𝑦) với 0 ≤ 𝑥, 𝑦 ≤𝜋2

+ 𝐺𝑇𝑁𝑁, 𝐺𝑇𝐿𝑁 của 𝑧 trong miền 𝐷 chính là 𝐺𝑇𝑁𝑁 và 𝐺𝑇𝐿𝑁 trong số các giá trị 𝑓 vừa tính

❖ Bài toán đặc biệt :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) trong một miền 𝐷, mà miền 𝐷 có dạng đường thẳng hoặc đường cong

VD: tìm min,max của 𝑧 = sin 𝑥 + sin 𝑦 + sin(𝑥 + 𝑦) với 𝑥 + 𝑦 = 1

Cách làm:

+ Với miền là đường thẳng, rút 𝑥 theo 𝑦 hoặc 𝑦 theo 𝑥 rồi khảo sát hàm 𝑧 chỉ còn 1 biến 𝑥 hoặc

𝑦

⇒ 𝐺𝑇𝐿𝑁, 𝐺𝑇𝑁𝑁

+ Với miền là đường cong phức tạp khó rút về một biến

⇒ Đưa về bài toán tìm cực trị có điều kiện, giải bằng phương pháp nhân tử Langrange, giá trịmax là 𝑧CĐ, giá trị min là 𝑧𝐶𝑇