ly thuyet cac dang toan va bai tap tu giac

Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.. Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên của hình tha

3 Tổng các góc của một tứ giác bằng 360°

    360

A+ + + =B C D 

B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1 TÍNH GÓC CỦA TỨ GIÁC

RQ

P

4x3x

NM

a) Tính các góc ngoài của tứ giác ở hình 7ab) Tính tổng các góc ngoài của tứ giác ở hình 7b (tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉchọn một góc ngoài)    A1+B1+C1+D1 =?

A

1

11

1

11

1,5cm D

C B

A

Sử dụng các định lí có liên quan đến độ dài, như bất đẳng thức tam giác, Định lí ta-go

Pi-Ví dụ 4 Chứng minh rằng trong tứ giác, mỗi đường chéo nhỏ hơn nửa chu vi tứ

AB BC A DC

AC< + + +

Vậy AC nhỏ hơn nửa chu vi tứ giác ABCD

Chứng minh tương tự, BD nhỏ hơn nửa chu vi tứ giác

2 (Dạng 1) Tứ giác ABCD có  0  0

80 , 70

C= D= Các tia phân giác của các góc A và B

cắt nhau tại I Tính .AIB

3 (Dạng 1) Bốn góc của một tứ giác có thể đều là góc nhọn (góc tù, góc vuông) đượckhông? Tại sao? Suy ra trong một tứ giác có nhiều nhất mấy góc nhọn?

5 (Dạng 1) Tính các góc của tứ giácMNPQ, biết rằng:    M N P Q: : : =1: 3 : 4 : 7

6 (Dạng 2) Vẽ tứ giác ABCD biết:  0  0

8 (Dạng 3) Có hay không một tứ giác mà độ dài các cạnh tỉ lệ với2, 3, 4, 10?

9 (Dạng 3) Đường chéo AC của tứ giác ABCD chia tứ giác đó thành hai tam giác có chu vi là 25cm và 27cm Biết chu vi của tứ giác bằng32cm Tính độ dài AC

10 (Dạng 3) Tứ giác ABCD có  B=110 ,0 D=700, AC là tia phân giác của góc A Chứng

minh rằng CB = CD

11 (Dạng 3) Chứng minh trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi

và nhỏ hơn chu vi tứ giác đó

12 (Dạng 3) Chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với

nhau thì tổng bình phương hai cạnh đối này bằng tổng bình phương hai cạnh đối kia

§2 HÌNH THANG

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

B A

1 Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song

2 Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông

Tứ giác ABCD có AB CD= và AC là tia phân giác của góc A

Chứng minh rằng ABCD là hình thang

Giải

Ta có AB BC= ⇒ ∆ABC cân ⇒ A1 =C1

Ta lại có  A1= A2 nên  C1= A2 suy ra BC // AD Vậy

ABCD là hình thang

Sử dụng tính chất của các góc tạo bởi hai đường thẳng song song với một cát tuyến

Sử dụng định nghĩa hình thang, hình thang vuông

B A

B A

21

D

C B

A

Dạng 3 TÍNH TOÁN VÀ CHỨNG MINH VỀ ĐỘ DÀI

Phương pháp giải

Ví dụ 3 Chứng minh rằng trong hình thang vuông, hiệu các bình phương hai đường chéo

bằng hiệu các bình phương đáy

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 Định nghĩa

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau

ABCD là hình thang cân (đáyAB CD, ) ⇔ ABCD là hình

thang và C =D

2 Tính chất

Trong hình thang cân

-Hai cạnh bên bằng nhau

-Hai đường chéo bằng nhau

3 Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

-Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân

-Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân

B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1 NHẬN BIẾT HÌNH THANG CÂN

AC cắt đường thằng DC tại E Chứng minh rằng:

a) ∆BDE là tam giác cân

b) ∆ACD= ∆BDC

c) Hình thang ABCD là hình thang cân

B A

11

E

B A

c) ∆ACD= ∆BDC⇒ .ADC=BCD Hình thang ABCD có hai

góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân

Ví dụ 3 (Bài 19 SGK)

Cho ba điểm A D K, , trên giấy kẻ ô vuông (H32.SGK) Hãy

tìm điểm thứ tư M là giao điểm của dòng kẻ sao cho nó cùng

với ba điểm đã cho là bốn đỉnh của một hình thang cân

Giải

Có thể vẽ được hai điểm M: Hình thang AKDM1 (với AK là

đáy), hình thang ADKM2 (với DK là đáy)

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là giao điểm hai

đường chéo Chứng minh rằng EA , .= EB EC = ED

Giải

Chứng minh ACD∆ = ∆BDC theo trường hợp c.c.c hoặc

c.g.c Suy ra  C1=D1, do đó ECD∆ cân, EC=ED

Ta lại có AC BD= nên EA=EB

E 1

1

B A

FE

B A

11

E

B A

Ví dụ 6 (Bài 15 SGK)

Cho tam giác ABC cân tại A Trên các cạnh AB AC, lấy

theo thứ tự các điểm D và E sao cho AD= AE

a) Chứng minh rằng BDEC là hình thang cân.

b) Tính các góc của hình thang cân đó, biết rằng  0

a) DB là tia phân giác của góc D.

b) ABCD là hình thang cân.

3 (Dạng 2) Cho tam giác đều ABC , điểm M nằm trong tam giác đó Qua M, kẻ đường thẳng song song với AC và cắt BC ở D, kẻ đường thẳng song song với

AB và cắt AC ở E, kẻ đường thẳng song song với BC và cắt AB ở F Chứng

minh rằng:

a) BFMD CDME AEMF, , là các hình thang cân

b) DME  .=EMF =DMF

c) Trong ba đoạn thẳng MA MB MC, , đoạn lớn nhất nhỏ hơn tổng hai đoạn kia

4 (Dạng 2) Hình thang cân ABCD (AB//CD) có hai đường chéo cắt nhau tại P, hai

cạnh bên kéo dài cắt nhau tại Q Chứng minh rằng PQ là đường trung trực củahai đáy

2

12

D

CB

A

E

21

D

CB

A

5 (Dạng 2) Hình thang cân ABCD (AB//CD) có DB là tia phân giác của góc D,

DB⊥BC Biết AB=4cm Tính chu vi hình thang

6 (Dạng 2) Tính chiều cao của hình thang cân ABCD , biết rằng cạnh bên

25

BC= cm, các cạnh đáy AB=10cm CD, 24= cm

7 (Dạng 3) Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD CE,

a) Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?

b) Tính chu vi tứ giác BEDC , biết BC=15cm ED, 9= cm

BÀI 4 ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 Đường trung bình của tam giác

Định lí 1 Đường thẳng đi qua trung điểm của một

cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì

đi qua trung điểm của cạnh thứ ba

./ /

Định nghĩa Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh

của tam giác

Định lí 2 Đường trung binh của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nữa

cạnh ấy

/ /12

2 Đường trung bình của hình thang

Định lí 3 Đường thẳng đi qua trung điểm của một

cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy

thì đi qua trung điểm của cạnh thứ hai

.F//AB//CD

AE ED

BF FC E

Định nghĩa Đường trung bình của hình thang là

đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên của hình thang

Định lí 4 Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nữa

tổng hai đáy

E D

C B

A

F E

B A

Phương pháp giải

Vận dụng định lí 1 và định lí 2 về đường trung bình của tam giác

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC Gọi M N P, , theo thứ tự là trung điểm các cạnh , ,

AB AC BC Tính chu vi của tam giác MNP, biết AB=8cm, 10 ,AC= cm BC=12cm

Vậy chu vi tam giác MNP bằng : 6 + 5 + 4 = 15 (cm)

Dạng 2 SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH HAI

ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, TÍNH GÓC

Phương pháp giải

Ví dụ 2 (Bài 25 SGK) Hình thang ABCD có đáy AB, CD Gọi E, F, K theo thứ tự là trung

điểm của AD, BC, BD Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng

Giải

EK là đường trung bình của ∆ABD nên

EK//AB Do AB//CD nên EK//CD

KF là đường trung bình của ∆BDC nên KF//CD

Qua K ta có KE và KF cùng song song với CD

nên theo tiên đề Ơ-clít thì E, K, F thẳng hàng

Giải

∆BDC có BE = ED và BM = MC nên EM//DC, suy ra DI//EM

∆AEM có AD = DE và DI//EM nên AI = IM

Dạng 3 SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI

VÀ CHỨNG MINH CÁC QUAN HỆ VỀ ĐỘ DÀI

CD là đường trung bình của hình

thang ABFE nên:

EF ≤ EK + KF = CD

2 + AB2

= CD+AB2

C

A B

Dạng 4 SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG ĐỂ CHỨNG MINH

HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CHỨNG MINH BA ĐlỂM THẲNG HÀNG, TÍNH GÓC

Phương pháp giải

Sử dụng định lí 4 về đường trung bình của hình thang

Ví dụ 6 Cho hình thang vuông ABCD ( A� = D�= 90ᵒ) Gọi F là trung điểm của BC

Chứng minh rằng BAF� = CDF�

Giải

Gọi E là trung điểm của AD

EF là dường trung bình của hình thang ABCD nên EF

// AB // CD Suy ra BAF� = F�1, CDF� = F�2 (so le trong)

Do EF//CD mà AD ⊥ CD nên EF ⊥ AD

∆AFD có đường trung tuyến FE là đường

cao nên là tam giác cân Suy ra F�1 = F�2 Do đó

a) EF là đường trung bình của hình thang

ABCD nên EF//AB//CD?

Tam giác ABC có BF = FC và FK // AB

1. (Dạng 1) Tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 18cm Gọi H là chân đường vuông góc

kẻ từ B đến tia phân giác của góc A Gọi M là trung điểm của BC Tính độ dài HM

2. (Dạng 1) Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB = 4cm CD = 10cm, AD = 5cm.Trên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho BE = BD Gọi H là chân đường vuông góc

kẻ từ E đến DC Tính độ dài CH

3. (Dạng 2) Tam giác ABC có A� = 60°, B� = 70° D và E theo thứ tự là trung điểm của AB

và AC Xác định dạng tứ giác BDEC và tính các góc của nó

4. (Dạng 2) Chứng minh rằng nếu đoạn thẳng nối trung điểm của cặp cạnh đối diệncủa một tứ giác bằng nửa tổng hai cạnh kia thì tứ giác đó là hình thang

5. (Dạng 2) Cho tam giác ABC Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BA

C

Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CA Kẻ BH vuông góc với AD, CK vuông góc với AE Chứng minh rằng :

7. (Dạng 3) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Gọi I là trung điểm cua AM, D

là giao điểm của BI và AC

a)Chứng minh rằng AD = 1

2 DC

b) Tính tỉ số các độ dài BD và ID

8. (Dạng 3) Cho tam giác ABC Điểm D thuộc tia đối của tia BA sao cho BD = BA, điểm

M là trung điểm của BC Gọi K là giao điểm của DM và AC Chứng minh rằng AK =2KC

9. (Dạng 3) Chứng minh rằng trong hình thang, đoạn thẳng nối trung điểm của haiđường chéo thì song song với hai đáy và có độ dài bằng nửa hiệu độ dài của hai đáy

10 (Dạng 4) Hình thang ABCD có đáy AB, CD Gọi E là trung điểm của AD, F là trung

điểm của BC Tính chu vi hình thang ABCD biết rằng DE + EF + FC = 5m

11. (Dạng 4) Cho tam giác ABC Qua trung điểm O cua đường trung tuyến AM Kẻđường thẳng d sao cho B và C nằm cùng phía đối với d Gọi AA’, BB’, CC’ là cácđường vuông góc kẻ từ A, B, C đến đường thẳng d Chứng minh rằng BB' + CC' =2AA'

12. (Dạng 4) Cho tam giác ABC Qua trọng tâm G, kẻ đường thẳng d sao cho B và Cnằm cùng phía đối với d Gọi AA’, BB’, CC’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, Cđến đường thẳng d Chứng minh rằng AA’ = BB' + CC'

13. (Dạng 4) Cho hai điểm A B có khoảng cách đến đường thẳng d theo thứ tự là 20dm

và 6dm Gọi C là trung điểm của AB Tính khỏang cách từ C đến đường thẳng d

14. (Dạng 6) Cho tam giác ABC có BC = 8cm Các trung tuyến BD, CE Gọi M, N theothứ tự là trung điểm của BE, CD Gọi giao điểm của MN với BD, CE theo thứ tự là I,K

b) Tính chu vi hình thang ABCD biết MN = 4cm.

- Giả sử đã có một hình thỏa mãn các điều kiện của bài toán

- Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác .)

- Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựnghình cơ bản (mỗi điểm thường được xác định là giao điểm của hai đường)

Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình

vẽ

Chứng minh: Bằng lập luận chứng tỏ rằng với cách dựng như trên, hình đã dựng thỏa

mãn các điều kiện của đề bài

Biện luận: Xét xem khi nào thì bài toán dựng được, và dựng được bao nhiêu hình thỏa

mãn đề bài

B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1 DỰNG TAM GIÁC

Phương pháp giải

Tìm tam giác có thể dựng được ngay (có thể phải vẽ thêm đường phụ) Sau đó phân tích dựng các điểm còn lại, mỗi điểm phải thỏa mãn hai điều kiện nên là giao điểm của hai đường

- Dựng cung tâm C có bán kính 4cm, cắt tia Dx ở A

- Dựng tia Ay // DC (Ay và C thuộc cùng một nửa mặt phẳng

- Dựng tia phân giác của góc 60°

Dạng 4 DỰNG TỨ GIÁC, DỰNG ĐlỂM HAY ĐƯỜNG THẲNG THOẢ MÃN MỘT

YÊU CẦU NÀO ĐÓ

D A

Phương pháp giải

Tìm tam giác có thể dựng được ngay (có thể phải vẽ thêm đường phụ), Sau đó phân tích dựng các điểm còn lại, mỗi điểm phải thỏa mãn hai điều kiện nên là giao điểm của hai đường

Ví dụ 5 Cho tam giác ABC Dựng đường thẳng song song với BC, cắt AB và AC ở D và

E sao cho DE = BD + CE

Giải

Phân tích : Giả sử đã dựng được

DE // BC sao cho DE = BD + CE

Trên DE lấy I sao cho DI = DB thì

EI = EC Hãy chứng minh B�1 = B�2 ?

1. (Dạng 1) Dựng tam giác ABC biết : AB + AC = 3cm, BC = 2cm, B� = 75°

2. (Dạng 1) Dựng tam giác ABC vuông tại A, biết : AC − AB= lCm, C� = 30°

3. (Dạng 2) Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD) biết : AB = lcm, C� = 55°, đườngcao BH = l,5cm

4. (Dạng 2) Dựng hình thang ABCD (AB // CD), biết : AB = 1.5cm, CD = 3,5cm, C� =45°, D� = 60°

5. (Dạng 2) Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD) biết : AB = lcm , CD = 3cm BD =2,5cm

6. (Dạng 2) Dựng hình thang ABCD (AB // CD), biết : AB=lcm, CD = 3cm , AC = 3cm

1 Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực

của đoạn thẳng nối hai điểm đó

A đối xứng với A’ qua d ⇔d là đường trung trực của AA’

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1 VẼ HÌNH, NHẬN BIẾT HAI HÌNH ĐỐI XỨNG VỚI NHAU QUA MỘT TRỤC Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa hai điểm đối xứng với nhau qua một trục, hai hình đối xứng với nhau qua một trục

Ví dụ 1 (Bài 41 SGK)

Các câu sau đây đúng hay sai?

a) Nếu ba điểm thẳng hàng thì ba điểm đối xứng với chúng qua một trụccũng thẳng hàng

b) Hai tam giác đối xứng với nhau qua một trục thì có chu vi bằng nhauc) Một đường tròn có vô số trục đối xứng

Dạng 2 SỬ DỤNG ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG

NHAU, HAI GÓC BẰNG NHAU

a) Ox là đường trung trực của AB => OA = OB

Oy là đường trung trực của AC=> OA = OC Suy ra OB = OC

b) ∆AOB cân tại O => O�1 = O�2 = 1

2 AOB

∆AOC cân tại O => O�3 = O�4 = 1

2 AOCAOB� + AOC� = 2(Ô1+Ô3) =2 xOy� = 2.50° = 100°

2 Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm

thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H

3 Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của

hình thang cân đó

Hình h) không có trục đối xứng Còn lại các hình khác đều có trục đối xứng

Chú ý Hình a) có hai trục đối xứng Hình g) có năm trục đối xứng

Dạng 4 DỰNG HÌNH, THỰC HÀNH CÓ SỬ DỤNG ĐỐI XỨNG TRỤC

Phương pháp giải

Chú ý đến hình có trục đối xứng Trong nhiều bài toán, cần vẽ thêm : điểm đối

xứng với một điểm cho trước qua một đường thẳng

Ví dụ 4 (Bài 39 SGK)

Cho hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là

đường thẳng d (hình 60 SGK) Gọi C là điểm đối xứng với

A qua d

a) Gọi D là giao điểm của đường thẳng d và đoạn thẳng

BC Gọi E là điểm bất kì của đường thẳng d (E khác D)

Chú ý Bài toán trên cho ta cách dựng điểm D trên đường thẳng d sao cho tổng các

khoảng cách từ A và từ B đến D là nhỏ nhất Nhiều bài toán thực tế dẫn đến bài toán dựng hình như thế

Ví dụ 5 (Bài 42 SGK)

a) Hãy tập cắt chữ D (hình 62a SGK) bằng cách gấp đôi

tờ giấy Kể tên một vài chữ cái khác (kiểu chữ in hoa) có

- Có hai trục đối xứng dọc và ngang: H I O X, , ,

b) Có thể gấp tờ giấy làm tư để cắt chữ H vì chữ H có hai trục đối xứng vuông góc

C LUYỆN TẬP

1. (Dạng 1) Vẽ hình đối xứng với hình bên qua trục m

2. (Dạng 1) Cho tam giác ABC cân tại A M, là trung điểm của

BC Trên tia đối của tia AB lấy

điểm E, trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD=AE

Chứng minh rằng hai điểm D và E đối xứng với nhau qua đường

thẳng AM

3. (Dạng 1 và 2) Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H Gọi K là điểm đối xứng với

H qua

BC Tìm liên hệ giữa số đo các góc BAC và BKC

4. (Dạng 1 và 2) Cho tam giác ABC , gọi m là đường trung trực của BC Vẽ điểm D

5. (Dạng 2) Cho hình thang vuông   0

( 90 )

C qua

AD Chứng minh rằng AIB=CID.

6. (Dạng 2) Cho tam giác ABC Gọi d là đường phân giác ngoài ở đỉnh A Trênđường thẳng

d lấy điểm M khác A Chứng minh rằng BA+AC<BM +MC

7. (Dạng 2) Cho tam giác nhọn ABC , điểm M thuộc cạnh BC Gọi D là điểm đốixứng với M

qua AB, gọi E là điểm đối xứng với M qua AC Gọi I K, là giao điểm của DE với

,

AB AC

a) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của góc IMK

b) Tìm vị trí của điểm M để DE có độ dài nhỏ nhất

8. (Dạng 3) Cho tam giác ABC cân tại B

a) Tìm trục đối xứng của tam giác đó

b) Gọi trục đối xứng đó là d Kể tên hình đối xứng qua d của: đỉnh A, đỉnh B, đỉnh C,

a) Vẽ điểm A′ đối xứng với A qua d Chứng minh rằng ACH = .A CH′

b) Gỉa sử  ,ACH =BKC chứng minh rằng khi đó ba điểm A C B′ , , thẳng hàng

c) Nêu cách dựng điểm C nằm giữa H và K sao cho ACH =BCK.

10. (Dạng 4) Cho điểm A nằm trong góc nhọn xOy. Dựng điểm B thuộc tia Ox,

điểm C thuộc tia Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.

- Các cạnh đối bằng nhau;

- Các góc đối bằng nhau;

- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

3 Dấu hiệu nhận biết hình bình hành

- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành

- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành

- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành

- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành

B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1 NHẬN BIẾT HÌNH BÌNH HÀNH

Phương pháp giải

Thường sử dụng các dấu hiệu nhận biết hình bình hành về cạnh đối hoặc về đường chéo

Ví dụ 1 (Bài 46 SGK)

Các câu sau đúng hay sai?

a) Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành

b) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành

c) Tứ giác có hai cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

d) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành

EFGH (cùng song song với AC );

EHFG (cùng song song với BD)

Cách 2

E

F

G H

A

B

C D

1

21F

E

BA

EFGH (cùng song song với AC );

EF =GH (cùng bằng

2

AC)

Dạng 2 SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÌNH BÌNH HÀNH ĐỂ CHỨNG MINH CÁC ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU, CÁC GÓC BẰNG NHAU

Cho hình bình hành ABCD Gọi ,I K theo thứ tự là

trung điểm của CD,AB Đường chéo B D cắt AI CK, theo thứ tự ở M và N Chứng minh rằng:

N M

I

K

B A

KOH

BA

a) Tứ giác ABCD là hình bình hành nên

Tứ giác AHCK có AH/ /CK AH CK, = nên là hình bình hành

b) Xét hình bình hành AHCK , trung điểm O của đường chéo HK cũng là trung

điểm của đường chéo AC Vậy ba điểm A O C, , thẳng hàng

Dạng 4 DỰNG HÌNH BÌNH HÀNH, HOẶC DỰNG HÌNH CÓ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH BÌNH HÀNH

32

BA

1 (Dạng 1) Cho tam giác ABC ¸ các đường trung tuyến B D và CE cắt nhau ở G Vẽ các

điểm ,M N sao cho D là trung điểm của GM E. là trung điểm của GN Chứng minh rằng BNMC là hình bình hành

2 (Dạng 1) Chứng minh rằng nếu hình thang có hai cạnh bên bằng nhau thì đó là hình

thang cân hoặc hình bình hành

3 (Dạng 1) Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy

điểm E sao cho DA =CE Gọi O là trung điểm của DE, gọi K là giao điểm của AO và

BC Chứng minh rằng A KED là hình bình hành

4 (Dạng 1) Cho tam giác ABC có A ≠60° Ở phía ngoài tam giác ABC , vẽ các tam giác

đều ABD và ACE Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A , vẽ tam giác đều BCK Chứng

minh rằng A KED là hình bình hành

5 (Dạng 2) Tính các góc của hình bình hành ABCD, biết A − =B 10°

6 (Dạng 2) Tam giác ABC có AB=AC = 3cm Gọi M là điểm thuộc dây BC Kẻ MD // AC

, ME //AB D AB E, AC Tính chu vi tứ giác ADME

7 (Dạng 2) Cho tứ giác ABCD Gọi E F G H, , , theo thứ tự là trung điểm của

BD AB AC CD

a) Chứng minh rằng EFGH là hình bình hành.

b) Cho ADa BC, b , tính chu vi hình bình hành EFGH

8 (Dạng 2) Cho hình bình hành ABCD Gọi E F, theo thứ tự là trung điểm của AB CD, a) Chứng minh rằng AF //CE

b) Gọi M N, theo thứ tự là giao điểm của BD với AF CE, Chứng minh rằng:

.

DMMNNB

9 (Dạng 2) Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo BD lấy các điểm E F, sao cho

DEDF Chứng minh rằng: AF//CE

10 (Dạng 2) Cho hình bình hành ABCD , O là giao điểm của hai đường chéo E và F

theo thứ tự là trung điểm của OD và OB

a) Chứng minh rằng: AE//CF

b) Gọi K là giao điểm của AE và DC Chứng minh rằng: 1

2

DK KC

11 (Dạng 2) Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho ADBE.Qua D và E , vẽ các đường thẳng song song với BC , chúng cắt AC theo thứ tự tại M và

N

Chứng minh rằng: DMENBC.

12 (Dạng 2) Cho tam giác ABC , trực tâm H Các đường thẳng vuông góc với AB tại B,

vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D Chứng minh rằng:

OM AH ( O là trung điểm của AD)

13 (Dạng 2) Cho hình bình hành ABCD Qua D vẽ đường thẳng d sao cho A và C nằm cùng phía đối với d Gọi A B C', ', ' là chân các đường vuông góc kẻ từ A B C, , đến

đường thẳng d Chứng minh rằng: AA' CC' BB'

14 (Dạng 3) Cho hình bình hành ABCD , E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và

CD , O là giao điểm của EF và AC Chứng minh rằng ba điểm B O D, , thẳng hàng

15 (Dạng 3) Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh BC lấy điểm G , trên cạnh AD lấyđiểm H sao cho CGAH Chứng minh rằng các đường thẳng GH AC BD, , đồng quy

16 (Dạng 4) Cho điểm A nằm ngoài đoạn thẳng BC Hãy sử dụng kiến thức về hình

bình hành để dựng đường thẳng đi qua A và song song với BC

17 (Dạng 4) Dựng hình bình hành ABCD , biết hai đường chéo AC 3cm, BD 4cm,

45

COD ( O là giao điểm của hai đường chéo).

18 (Dạng 4) Dựng hình bình hành ABCD , biết đường chéo AC 8cm, BD 6cm, và chiềucao BH 4, 5cm với HAD

19 (Dạng 4) Cho tam giác ABC Dựng điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC

sao cho DE//BC và BDAE

§ 8 ĐỐI XỨNG TÂM

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua điểm O

nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

A đối xứng với A' qua O  O là trung điểm của AA'

2 Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc

hình H qua tâm O cũng thuộc hình H

3 Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hànhđó

B CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1 VẼ HÌNH ĐỐI XỨNG QUA MỘT TÂM

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa hai điểm đối xứng với nhau qua một tâm, hai hình đối xứng với nhau qua một tâm

Ví dụ 1 (Bài 51 SGK)

Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm Hcó tọa độ ( )3 2; Hãy vẽ điểm Kđối xứng với

H qua gốc tọa độ và tìm tọa độ của K

Giải

Xem hình bên Tọa độ của điểm K là (− −3; 2).

Dạng 2 NHẬN BIẾT HAI ĐIỂM ĐỐI XỨNG VỚI NHAU QUA MỘT TÂM SỬ DỤNG ĐỐI XỨNG TÂM ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU, HAI GÓC BẰNG NHAU

Từ ( )1 và ( )2 suy ra E ,B,Fthẳng hàng và BE =BF Suy ra Blà trung điểm của EFvà E

đối xứng với F qua B

x

y

2 -3

Cho góc vuông xOy, điểm Anằm trong góc đó Gọi Blà điểm đối xứng với A qua Ox , gọi

Clà điểm đối xứng với Aqua Oy Chứng minh rằng điểm B đối xứng với điểm C qua O

Giải

Cách 1 Ox là đường trung trực của AB⇒OA=OB

Oy là đường trung trực của AC⇒OA OC=

O

B