huong dan giai cac dang toan phep bien hinh

1 Tìm phép tịnh tiến theo vectơ #»v có phương song song với trụcOx, biếndthành đường thẳngd0đi qua gốc tọa độ.. Trong mặt phẳng tọa độOx y, phép tịnh tiến theo #»v biến điểm M3; −1thành

— đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho.

— tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho

— đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính với đường tròn ban đầu

#»v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ #»v.

Phép tịnh tiến theo vectơ #»v thường được kí hiệu làT#»v, #»v được gọi làvectơ tịnh tiến.

3 Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng tọa độOx ycho vectơ #»v = (a; b) Với mỗi điểmM(x; y)ta cóM0(x0; y0)là ảnh củaM quaphép tịnh tiến theo vectơ #»v Khi đó # »

B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

{ DẠNG 2.1 Xác định ảnh của một hình qua phép tịnh tiến

Với mọi điểmM(x; y)bất kì thuộcH, ta cóT#»v(M) = M0(x0; y0) ∈ H0.

Mà điểmMthuộc parabol(P)nên y0− 1 = (x0− 1)2− 2(x0− 1) ⇔ y0= x02− 4x0+ 4.

Hay phương trình parabol(P0)là y = x2− 4x + 4

Mà điểmMthuộc đường thẳngdnênx0+ 1 − 2(y0− 2) + 3 = 0 ⇔ x0− 2y0+ 8 = 0.

Hay phương trình đường thẳngd0làx − 2y + 8 = 0

Mà điểmMthuộc đường tròn(C)nên(x0+ 1 − 2)2+ (y0− 2 − 3)2= 25 ⇔ (x0− 1)2+ (y0− 5)2= 25

Hay phương trình đường tròn(C0)là(x − 1)2+ (y − 5)2= 25

BÀI 4 Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, hãy xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho phép tịnh tiến theo

BÀI 6 Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho đường tròn (C) Hãy tìm ảnh của đường tròn(C)qua phép tịnh tiến theo

#»v trong các trường hợp sau:

BÀI 7 Trong mặt phẳngOx y, Cho A(1; 3),B(−2;2),C(3; −4) Gọi M là trung điểmBCvàG là trọng tâm tam giác

ABC Gọi(C)là đường tròn đi qua ba điểmA,B,C Hãy xác định

{ DẠNG 2.2 Xác định phép tịnh tiến khi biết ảnh và tạo ảnh

Phương pháp giải: Giả sử M0(x0; y0)là ảnh của M(x; y) qua phép tịnh tiến theo vectơ #»v = (a; b) Khi đó, ta có

#»v =# »M M0và tọa độ #»v được xác định như sau

VÍ DỤ 2 Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho đường thẳngd : 2x − 3y + 3 = 0vàd0: 2x −3y−5 = 0 Tìm tọa độ của

#»v có giá vuông góc với đường thẳngdđểd0là ảnh củadquaT#»v

Chọn điểmA(0; 1) ∈ d Gọi∆ là đường thẳng đi quaAvà vuông góc vớid

¶

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1 Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho đường thẳngd : 3x − y − 9 = 0

1 Tìm phép tịnh tiến theo vectơ #»v có phương song song với trụcOx, biếndthành đường thẳngd0đi qua gốc tọa

độ Khi đó hãy viết phương trình đường thẳngd0 ĐS: #»v = (−3;0)

2 Tìm phép tịnh tiến theo vectơ #»u có giá song song với trụcO y, biếndthànhd00đi qua điểm A(1; 1)

1 Oxcắtd vàd0lần lượt tại A(3; 0)vàO(0; 0) Ta cóT#»v(A) = O ⇒#»v =AO = (−3;0)# »

2 Gọi∆ là đường thẳng đi quaA(1; 1)và song song vớiO y ⇒∆: x = 1 GọiB =∆∩ d ⇒ B

BÀI 2 Trong mặt phẳng tọa độOx y, phép tịnh tiến theo #»v biến điểm M(3; −1)thành một điểm trên đường thẳng

2 PHÉP TỊNH TIẾN 293

Chọn điểmM(−1;0)thuộc đường thẳng chứa cạnh ABvà M0là ảnh của M qua

phép tịnh tiến theo vectơ #»v

Gọi∆ là đương thẳng chứaM M0⇒∆⊥ AB(doM M0⊥ AB) và đi quaM

Suy ra phương trình đường thẳng∆: 2x + 3y + 2 = 0

BÀI 5 Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho hai đường thẳngd, d0lần lượt có phương trình làd : 3x − y − 7 = 0, d0: 3x −

BÀI 6 Cho(P) : y = x2− 4x + 7và(P0) : y = x2 Tìm phép tịnh tiến biến(P)thành(P0)

ĐS: #»v = (−2;−7)

{ DẠNG 2.3 Các bài toán ứng dụng của phép tịnh tiến

Từ giả thiết tìm hai điểm cố định phù hợp để xây dựng một vectơ cố định.

Xác định một phép tịnh tiến phù hợp theo vectơ cố định vừa tìm được.

Dùng tính chất của phép tịnh tiến để chứng minh các tính chất hình học hoặc xác định các yếu tố của hình.

Chỉ ra phép tịnh tiến theo vecto #»v biến điểmEnào đó thànhMmà quỹ tích điểmEđã biết hoặc dễ tìm hơn.

Xác định hình(H)là quỹ tích của điểmE.

Khi đó tập hợp các điểmMlà hình(H0)với(H0)là ảnh của(H)qua phép tịnh tiến theo vectơ #»v.

⇒∆AMDcân tạiM ⇒ BC = M A = MD = 6

Theo định lý sin cho∆AMD: AD

VÍ DỤ 2 Cho hình bình ABCD, ABcố định,Ddi động trên đường thẳngdcố định Tìm tập hợp điểmC

ĐS: Tập hợp điểmClà đường thẳngd0, là ảnh củadqua phép tịnh tiến theo # »

AB =DC# »

.Suy ra phép tịnh tiến theoAB# »

biếnDthànhC, mà điểmDdi động trên đường thẳngdcố định, do đóCdi động trên

d0là ảnh củadqua phép tịnh tiến theo# »AB

VÍ DỤ 3 Cho hình bình hànhABCDcó đỉnhAcố định,BDcó độ dài không đổi bằng2a, ba điểmA, B, Dnằmtrên một đường tròn cố định(O; R) Tìm tập hợp điểmC

ĐS: Tập hợp điểmClà đường tròn ảnh của đường tròn tâmA, bán kính2p

R2− a2qua phép tịnh tiến theo

IO

GọiHlà trực tâm của∆ABD,K là giao điểm củaAOvới đường tròn(O; R) Khi đóK cố định

Do đó tập hợp điểm C là đường tròn tâm K, bán kính2p

R2− a2, là ảnh của đường tròn tâm A, bán kính

O

GọiK là giao điểm củaAOvới đường tròn(O; R) Khi đóK cố định

GọiEđối xứng vớiOquaI Khi đóOE = 2OI = 2pR2− a2

Suy ra tập hợp điểmElà đường tròn tâmO, bán kính2p

biến điểmEthànhC,OthànhK Do đó tập hợp điểmClà đường tròn tâmK,bán kính2p

R2− a2, là ảnh của đường tròn tâmO, bán kính2p

R2− a2qua phép tịnh tiến theoOK# »

Suy raƒCB A + ƒA0CB = 180◦vàA A0= C A0= BA = CD = a ⇒∆C A0Dcân tạiC

BÀI 4 Cho đoạn thẳng ABvà đường tròn(C)tâmObán kínhR nằm về một phía của đường thẳngAB Lấy điểm

Mtrên(C)rồi dựng hình bình hànhABM M0 Tìm tập hợp các điểmM0khiMdi động trên(C)

ĐS: Tập hợp điểmClà đường tròn(C0), là ảnh của(C)qua phép tịnh tiến theo# »

B A

BÀI 3 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC (BÀI ĐỌC THÊM)

A ĐỊNH NGHĨA

1 Điểm M0 được gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng d nếu d là đường

trung trực của đoạn thẳngM M0 Khi điểmMnằm trên dthì ta xemMđối xứng

với chính nó qua đường thẳngd

2 Phép biến hình biến mỗi điểmMthành điểmM0đối xứng vớiMqua đường thẳng

dđược gọi là phép đối xứng qua đường thẳngd, hay gọi tắt là phép đối xứng trục

3 Đường thẳngdđược gọi là trục đối xứng Kí hiệuĐd

Phép đối xứng trục là một phép dời hình nên có đầy đủ tính chất của phép dời hình:

Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;

Biến một đường thẳng thành đường thẳng;

Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho;

Biến một tam giác thành một tam giác bằng tam giác đã cho;

Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính

4 PHÉP QUAY 297

Cho điểmOvà góc lượng giácα Phép biến hình biếnOthành chính

nó, biến mỗi điểm M khácO thành điểmM0 sao choOM0= OM và

góc lượng giác¡OM;OM0¢

bằngα được gọi là phép quay tâmO gócquayα

ĐiểmOgọi là tâm quay,αgọi là góc quay Phép quay tâmOgócα,

Phép quay nào biến là cờ(C)thành lá cờ(C0):

Phép quay nào biến là cờ(C0)thành lá cờ(C):

2 Tính chất

Phép tịnh tiến là phép biến hình biến:

Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Biến một đường thẳng thành một đường thẳng

Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho

Biến một tam giác thành một tam giác bằng tam giác đã cho

Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính

!

Giả sử phép quay tâmOgóc quayαbiến đường thẳngdthành đường thẳngd0 Khi đó:

2 thì góc giữadvàd0bằngα.Nếu π

3 Hai hình bằng nhau

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia

B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

{ DẠNG 4.1 Tìm tọa độ ảnh của một điểm qua phép quay

Phương pháp xác định ảnh của một điểm qua phép quay

Từ(1), sử dụng công thức tính độ dài, sẽ tìm được phương trình thứ nhất thưo hai ẩn.

Từ(2), sử dụng định lý hàm số cos, sẽ tìm được phương trình thứ hai theo hai ẩn.

Giải hệ phương trình này tìm đượcxM, yM, từ đó suy ra tọa độ điểmM0(xM; yM).

! Chú ý góc của phép quay để chọn được tọa độ điểm phù hợp.

được tọa độ điểm ảnh.

Vậy, thu được (x0; y0) = (0;1) hoặc (x0; y0) = (0;−1) Vì

góc quay dương nên thu được điểmA0(0; 1)

−2

A2

B2

ä

4 PHÉP QUAY 299

{ DẠNG 4.2 Tìm phương trình ảnh của một đường tròn qua phép quay

Phương pháp xác định ảnh của một đường tròn qua phép quay

Vì phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính nên để tìm phương trình ảnh của đường tròn qua phép quay, chúng ta thực hiện qua ba bước sau đây:

1 Xác định tọa độ tâmIvà bán kínhRcủa đường tròn tạo ảnh từ phương trình đường tròn đã cho.

2 Tìm tọa độ tâmI0là ảnh của tâmIqua phép quay.

3 Viết phương trình đường tròn ảnh với tọa độ tâmI0và bán kínhR.

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ 1 Trong mặt phẳng tọa độOx y, hãy tìm ảnh của đường tròn(C0)qua phép quay tâmO, góc quayα

trong các trường hợp sau đây:

12

!

+(C0) :Ã

x +

p32

GọiM0, N0lần lượt là ảnh củaM, Nqua phép quayQ(O,90◦ ).

Khi đó(xM 0= 0 · cos 90◦− 2 · sin 90◦= −2

GọiM0, N0lần lượt là ảnh củaM, Nqua phép quayQ(O,−90◦ )

Khi đó(xM0= −11 · cos¡−90◦¢ − 0 · sin¡−90◦¢ = 0

p3

Ta có # »

.Suy ra phương trình đường thẳngd0là¡1 + 3p3¢

p22

p22

!

2¢

.Gọid0là ảnh củadqua phép quayQ(O,45◦ ), khi đód0đi quaM0, N0

22

!

p2

1 Viết phương trìnhd0là ảnh củadqua phépQ(O,90◦ ) ĐS:3x + 2y + 2 = 0

2 Viết phương trình(C0)là ảnh của(C)qua phépQ(O,90◦ ) ĐS:(x + 2)2+ (y − 2)2= 9

Lời giải.

4 PHÉP QUAY 301

GọiM0, N0lần lượt là ảnh củaM, Nqua phép quayQ(O,90◦ )

Khi đó(xM 0= −1 · cos 90◦− 0 · sin 90◦= 0

Suy ra phương trình đường thẳngd0là3(x − 0) + 2(y + 1) = 0 ⇔ 3x + 2y + 2 = 0

2 Đường tròn(C)có tâmI(2; 2), bán kínhR = 3

GọiI0là ảnh củaIqua phép quayQ(O,90◦ )

Khi đó(xI 0= 2 · cos 90◦− 2 · sin 90◦= −2

1 GọiM0là ảnh củaMqua phép quayQ(O,45◦ )

Khi đó(xM0= 2 · cos 45◦− 2 · sin 45◦= 0

p22

Suy raA0(

p2

p2

!

=

p2

Suy ra phương trình đường thẳngd0là3(x −p2) + 1(y +p2) = 0 ⇔ 3x + y − 2p2 = 0

Đường tròn(C)có tâmE(1; 1), bán kínhR = 2

GọiE0là ảnh củaEqua phép quayQ(O,45◦ )

Khi đó(xE0= 1 · cos 45◦− 1 · sin 45◦= 0

Suy raE0(0;p

2).Gọi(C0)là ảnh của(C)qua phép quayQ(O,45◦ )nên(C0)có tâm làE0và bán kính bằng2

p2

!

LấyA(1; 0), B(0; −2) ∈ d.

GọiA00, B00lần lượt là ảnh củaA, Bqua phép quayQ(I,45◦ )

Khi đó(xA00= (1 − 1) · cos 45◦− (0 − 2) · sin 45◦+ 1 =p2 + 1

p2

!

.Gọid00là ảnh củadqua phép quayQ(I,45◦ ), khi đód00đi quaA00, B00

!

=

p2

Suy ra phương trình đường thẳngd00là3 · (x −p2 − 1) + 1 · (y +p2 − 2) = 0 ⇔ 3x + y − 2p2 − 5 = 0

Đường tròn(C)có tâmE(1; 1), bán kínhR = 2

GọiE00là ảnh củaEqua phép quayQ(I,45◦ )

p2

!

.Gọi(C00)là ảnh của(C)qua phép quayQ(I,45◦ )nên(C00)có tâm làE00và bán kính bằng2

Vậy(C00) :

Ã

x −

p2

!2

ä

BÀI 6 Trong mặt phẳngOx y, cho điểmA(4; 3), đường tròn(C) : (x − 2)2+ (y − 2p3)2= 5 Tìm ảnh củaA, (C)qua phép

p3

Khi đó(xE0= 2 · cos 60◦− 2p3 · sin60◦= −2

BÀI 7 Cho tam giácABCcó các đỉnh kí hiệu theo hướng âm, dựng bên ngoài các hình vuông ABDE, BCK F GọiP

là trung điểm củaAC,Hlà điểm đối xứng củaDquaB,Mlà trung điểm củaF H

H E

M

K

ä

BÀI 8 Cho tam giác ABC Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giácB AEvàC AFvuông cân tạiA GọiI, M, J

theo thứ tự là trung điểm củaEB, BC, CF Chứng minh tam giácI M Jvuông cân

BÀI 9 Cho ba điểm A, B, Cthẳng hàng theo thứ tự Lấy các đoạn thẳng AB, BClàm cạnh, dựng các tam giác đều

ABEvàBCFnằm cùng về một phía so với đường thẳngAB GọiM, Nlần lượt là trung điểm của các đoạn thẳngAF

vàCE Chứng minh tam giácBM Nđều

Định nghĩa 1 (Phép đối xứng tâm) Cho điểmI Phép biến hình biến điểmIthành chính nó, biến mỗi điểm

MkhácIthành điểmM0sao choIlà trung điểm đoạn thẳngM M0, được gọi là phép đối xứng tâmI, nghĩa là

# »

Phép đối xứng tâm Ithường được kí hiệu làffiI

Nhận xét (Biểu thức tọa độ) Trong mặt phẳngOx y, cho I(xI; yI),M(xM; yM)vàM0(xM0; yM0)là ảnh của M

qua phép đối xứng tâmI Khi đó(xM0= 2xI− xM

Tính chất 1 Phép đối xứng tâm

bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho

biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho

biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho

biến một đường tròn thành đường đường tròn có cùng bán kính

Định nghĩa 2 (Tâm đối xứng của một hình) Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đốixứng tâmIbiến hìnhH thành chính nó Khi đó H được gọi là hình có tâm đối xứng

biến đường thẳng không qua tâm vị tự thành đường thẳng song song với đường thẳng đã cho

biến đường thẳng qua tâm vị tự thành chính nó

biến tia thành tia

biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với|k|

biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là|k|

biến góc bằng góc ban đầu

! Qua phép vị vựvị tựO V(O;k)đường thẳng dbiến thành chính nó khi và chỉ khi đường thẳng dqua tâm

VÍ DỤ 1 Trong mặt phẳng tọa độOx y, xét phép vị tự tâmO(0; 0)sau

VÍ DỤ 2 Trong mặt phẳng tọa độOx y, hãy tìm ảnh của đường thẳng(d)trong các trường hợp

1

2

Chod : 2x − 3y + 6 = 0 Tìmd0= V(I;k)(d)vớiI(2; −1)vàk = −2 ĐS:d0: 2x − 3y − 33 = 0

VÍ DỤ 3 Trong mặt phẳng tọa độOx y, hãy tìm ảnh của đường tròn(C)trong các trường hợp

Đường tròn có tâmI(−1;3)và bán kínhR =p2

Đường tròn có tâmI(3; −1)và bán kínhR = 3

Đường tròn có tâmI(0; 1)và bán kínhR = 1

Đường tròn có tâmI(1; 2)và bán kínhR = 2

2 Viết phương trình(C0)là ảnh của(C)qua phép vị tự tâmO, tỉ số−3 ĐS:(C0) : (x − 6)2+ (y − 15)2= 81

3 Viết phương trình đường thẳngd0là ảnh củad qua phép vị tự tâmO, tỉ sốk = 2 ĐS:d0: x − y + 4 = 0

2 (C)có tâmI(−2;−5)và bán kínhR = 3.(C0)có tâmI0(x; y)và bán kínhR0

(C0)là ảnh của(C)qua phép vị tự tâmO, tỉ số−3nênR0= 3R = 9và # »

3 d0là ảnh củadqua phép vị tự tâmO, tỉ sốk = 2

1 Tìm ảnh củadqua phép quay tâmO, góc quay90◦ ĐS:d0: 4x + 3y − 8 = 0

2 Tìm ảnh của đường tròn(C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo

Lời giải.

1 Phép quay tâmO, góc quay90◦biếnN(x; y)thànhN0(−y; x)

Ảnh củadqua phép quay tâmO, góc quay90◦là đường thẳngd0

Phép vị tự tâm I(0; 2),k = −2 biến (C1) thành

đường trònI M# » (C2) có tâm M2 và bán kính R2 với

1 Tìm ảnh của điểmBqua phép qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâmO, gócquay90◦và phép tịnh tiến theo #»v = (−1;2) ĐS:B2(−4;0)

2 Tìm ảnh của đường thẳngdqua phép vị tự tâmO, tỉ số−2 ĐS:d0: 2x + y + 2 = 0

3 Tìm ảnh của đường tròn(C)qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâmI, tỉ số

3và phép quay tâmO, góc quay900 ĐS:(C2) : (x − 7)2+ (y + 3)2= 81

Lời giải.

1 Phép quay tâmO, góc quay90◦ biếnB(−2;3)thànhB1(−3;−2)

Phép tịnh tiến theo #»v = (−1;2)biếnB1(−3;−2)thànhB2(−4;0)

2 Phép vị tự tâmO, tỉ số−2biến đường thẳngdthành đường thẳngd0

Phép vị tự tâmO, tỉ số−2biếnM(x; −2x + 1) ∈ dthànhM0với# »

Phép quay tâmO, góc quay90◦ biếnA1(−3;−7)thànhA2(7; −3)

và biến(C1)thành đường tròn(C2)có tâmA2(7; −3)và bán kính

Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên

tiếp phép vị tự tâm I(2; −1) tỉ số vị tự k = −2và

phép tịnh tiến theo #»v = (−1;1) biến đường thẳng

song song hoặc trùng nhau)

Phép vị tự tâm I(2; −1) tỉ số vị tự k = −2 biến

BÀI 5 Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho hai parabol(P1) : y = ax2 và(P2) : y = bx2(vớia 6= b) Chứng minh rằng có

O;ab

´

Lời giải.

Giả sửM(m; am2) ∈ (P1), vớim 6= 0 Đường thẳngOMcó phương trìnhy = amx

Khi đó đường thẳngOMcắt(P2)tại hai điểmO(0; 0)vàN

6 PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG 309

của hai đường tròn(A; 2)và(B; 4) Ta có

O I

I0A

B

2 1

8 4

ä