Một số bất đẳng thức holder tổng quát và ứng dụng

Trong danh sách những bất đẳng thức, bất đẳngthức H¨older được người ta xem như một trong những bất đẳng thức cơ bảnnhất, có tính ứng dụng cao trong việc giải quyết những vấn đề của toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Mục lục

MỞ ĐẦU 2

1 Một số bất đẳng thức H¨ older tổng quát 5 1.1 Giới thiệu 5

1.2 Một số bất đẳng thức H¨older tổng quát dạng rời rạc 7

1.2.1 Mở rộng bất đẳng thức H¨older tổng quát thông qua các bất đẳng thức loại Hu tổng quát 7

1.2.2 Mở rộng bất đẳng thức H¨older tổng quát thông qua tính chất đơn điệu 19

1.2.3 Một số dạng mở rộng khác 34

1.3 Một số bất đẳng thức H¨older tổng quát dạng liên tục 50

1.4 Bất đẳng thức H¨older ngược 59

2 Một vài ứng dụng 62 2.1 Ứng dụng của một số bất đẳng thức H¨older tổng quát 62

2.2 Một số ứng dụng của bất đẳng thức H¨older ngược 67

KẾT LUẬN 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

1

Bất đẳng thức luôn là một đề tài hay, có ứng dụng rộng rãi và đóng vai tròquan trọng trong toán học Trong danh sách những bất đẳng thức, bất đẳngthức H¨older được người ta xem như một trong những bất đẳng thức cơ bảnnhất, có tính ứng dụng cao trong việc giải quyết những vấn đề của toán học.

Để tìm hiểu chi tiết và có cái nhìn khái quát về bất đẳng thức H¨older cũngnhư những ứng dụng của chúng trong toán học, tôi chọn đề tài “ Một số bấtđẳng thức H¨older tổng quát và ứng dụng ”

Bất đẳng thức H¨older được đặt theo tên của nhà toán học người Đức ter H¨older Trong suốt chiều dài phát triển của toán học, những vấn đề vềbất đẳng thức H¨older đã được nhiều nhà toán học tìm hiểu và mở rộng đểcho ra các kết quả hay, đi cùng với đó là khả năng ứng dụng ngày một rộngrãi của bất đẳng thức này trong toán học Cụ thể, R Bellman và E F Beck-enbach [2] vào năm 1961 đã đưa ra dạng tổng quát liên tục của bất đẳngthức H¨older, tiếp sau đó P M Vasi´c và J E Peˇcari´c [17] vào năm 1979 cũng

Ot-đã trình bày dạng tổng quát rời rạc của bất đẳng thức H¨older Tiếp nối cáckết quả được trình bày trong [2] và [17], các kết quả nghiên cứu được công

bố sau này cung cấp nhiều dạng mở rộng và cải tiến bất đẳng thức H¨older.Năm 2002, Xiao-Jing Yang [13] bằng cách xây dựng các hàm đơn điệu đã đưa

ra được một dạng mở rộng của bất đẳng thức H¨older và cũng chính Jing Yang(2012) [19], với mục đích mở rộng bất đẳng thức H¨older đã đưa ramột kết quả mới với ý tưởng tương tự Trong khoảng 5 năm trở lại đây, hàngloạt bài báo khác cũng đã được công bố với nội dung trọng tâm là tiếp tục

Xiao-mở rộng, cải tiến bất đẳng thức H¨older bằng nhiều phương pháp khác nhau,như phương pháp thông qua các bất đẳng thức loại Hu tổng quát [11] vàonăm 2017, thông qua tính chất đơn điệu [8, 10] vào các năm 2015, 2016 củaJing-Feng Tian, hay bài báo gần đây nhất [7] vào năm 2018 của nhóm tác giả

2

Jing-Feng Tian, Ming-Hu Ha và Chao Wang Qua số lượng bài báo cùng cáckết quả đi kèm về bất đẳng thức H¨older, chúng ta thể thấy được tính đa dạng

và phong phú của các vấn đề liên quan đến bất đẳng thức nổi tiếng này.Mục tiêu của luận văn này là trình bày một cách hệ thống và chi tiết cácdạng tổng quát rời rạc và liên tục của bất đẳng thức H¨older được trình bàytrong các tài liệu [4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 19], chú trọng vào việc mở rộng vàcải tiến nó, từ đó có được cái nhìn tổng quan về quá trình phát triển của bấtđẳng thức H¨older Việc đánh giá chặt chẽ hơn một bất đẳng thức sẽ đem lạinhiều kết quả kèm theo cũng như cho chúng ta một cách đánh giá rõ rànghơn về một đại lượng nào đó Cụ thể hơn, trong luận văn này, chúng tôi sẽtrình bày một số ứng dụng của các bất đẳng thức H¨older tổng quát trong việccải tiến và mở rộng các bất đẳng thức Chung, Beckenbach, Minkowski vàHao Z-C Đồng thời, trình bày một số dạng ngược của bất đẳng thức Radon,bất đẳng thức Jensen và bất đẳng thức trung bình tích phân với trọng số

Bố cục của luận văn bao gồm 2 chương:

Chương 1: Trong chương này, chúng tôi sẽ hệ thống lại các dạng tổng quátcủa bất đẳng thức H¨older ở hai dạng rời rạc và liên tục Đưa ra những đánhgiá và so sánh giữa các phương pháp mở rộng bất đẳng thức H¨older

Chương 2: Áp dụng những kết quả thu được ở chương 1, chúng tôi sẽtrình bày một số dạng mở rộng và cải tiến của các bất đẳng thức Chung, bấtđẳng thức Beckenbach, bất đẳng thức Minkowski và bất đẳng thức Hao Z-C.Cùng với đó là một số dạng ngược của các bất đẳng thức Radon, bất đẳngthức Jensen và bất đẳng thức trung bình tích phân với trọng số

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TS.Thầy Đinh Thanh Đức Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành của mình đếnThầy Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến toàn thể quý thầy côgiáo trong Khoa Toán, Trường Đại Học Quy Nhơn, cùng lớp Cao học ToánK20 đã quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trìnhhọc tập, nghiên cứu và thực hiện đề tài

Mặc dù đã cố gắng hết sức trong quá trình thực hiện luận văn, nhưng dođiều kiện thời gian có hạn, trình độ và kinh nghiệm nghiên cứu khoa họccòn nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi nhiều thiếu sót Rất mongnhận được sự góp ý tận tình của quý thầy cô và bạn bè để luận văn được

hoàn thiện hơn.

Dấu của bất đẳng thức (1.1) là ngược lại vớip < 0.

Đối với dạng liên tục, bất đẳng thức H¨older được phát biểu như sau:Chop, q > 0,1p +1q = 1vàf (x) ∈ Lp[a; b], g(x) ∈ Lq[a; b] Khi đó

Z b a

f (x)g(x)dx

≤

 Z b a

Z b a

1.2 Một số bất đẳng thức H¨ older tổng quát dạng rời

. (1.8)

Bằng việc tổng quát hóa bất đẳng thức (1.8), Jing-Feng Tian(2017) [11] đãđưa ra một số dạng cải tiến cho các bất đẳng thức H¨older tổng quát dạng rờirạc (1.5), (1.6) và (1.7)

Chúng ta bắt đầu với hai Bổ đề sau, kết quả của chúng sẽ được áp dụngcho các phần tiếp theo

Dấu của bất đẳng thức ngược lại nếup ≥ 1hoặc p < 0.

Định lý sau đây trình bày một dạng tổng quát của bất đẳng thức (1.8)được thực hiện bởi Jing-Feng Tian vào năm 2017

P k j=1 1 λj

P k j=1 1 λj

P k j=1 1 λj

P k j=1 1 λj

.(1.16)

Từ các bất đẳng thức (1.13), (1.18) và (1.19) ta có được bất đẳng thức(1.11).

Khik lẻ, ta cũng xét hai trường hợp con đó làPk

Trường hợp 2: Khiλ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λk > 0,vớik chẵn hoặc lẻ ta cũng xét cáctrường hợp Pk

Hệ quả 1.2.1 ([11]) ChoArj, λj, er như trong Định lý 1.2.2 Giả sửPn

Y

j=1



1 − 12λ2j

Pn r=1 Aλ2j−1

r(2j−1) er

Pn r=1 Aλ2j−1

r(2j−1)

−

Pn r=1 Aλ2j

r(2j) er

Pn r=1 Aλ2j

Y

j=1



1 − 12λ2j

Pn r=1 Aλ2j−1

r(2j−1) er

Pn r=1 Aλ2j−1

r(2j−1)

−

Pn r=1 Aλ2j

r(2j) er

Pn r=1 Aλ2j



k 2

r(2j−1) er

Pn r=1 Aλ2j−1

r(2j−1)

−

Pn r=1 Aλ2j

r(2j) er

Pn r=1 Aλ2j

Pn r=1 Aλ2j−1

r(2j−1) er

Pn r=1 Aλ2j−1

r(2j−1)

−

Pn r=1 Aλ2j

r(2j) er

Pn r=1 Aλ2j

r(2j)

...

Từ Bổ đề 1.2.1 bất đẳng thức (1.22), (1.23), ta có bất đẳng thức( 1.20) Hệ chứng minh

Có thể thấy hai dạng tổng quát (1.20) (1.21) cho mộtcách đánh giá chặt chẽ bất đẳng thức (1.5) thơng... thc Hă older tổng quát dạng rời

. (1.8)

Bằng việc tổng quát hóa bất đẳng thức (1.8), Jing-Feng Tian(2017) [11] đãđưa số dạng cải tiến cho bất đẳng thức Hăolder... chúng áp dụngcho phần

Dấu bất đẳng thức ngược lại nếup ≥ 1hoặc p < 0.

Định lý sau trình bày dạng tổng quát bất đẳng thức (1.8)được