Ứng dụng của bất đẳng thức tổ hợp vào bài toán nội suy largrange

10 2 ỨNG DỤNG ĐẲNG THỨC Tổ HỢP VÀO CÁC BÀI TOÁN NỘI SUY LAGRANGE 19 2.1 ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào các bài toán nội suy Lagrange có yếu tố giải tích.... 19 2.2 ứng dụng bất đẳng thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Bình Định - Năm 2020

LÊ BẢO TOÀN

VÀO BÀI TOÁN NỘI SUY LAGRANGE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN

LÊ BẢO TOÀN

HỢP VÀO BÀI TOÁN NỘI SUY

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏi của bản

thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy TS Trịnh Đào Chiến Mọi kết quả nghiên

cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác nếu có đều được trích dẫn cụ thể Luận vănnày cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kỳ một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩnào và cũng chưa hề được công bố trên bất kỳ một phương tiện nào Tôi xin chịutrách nhiệm về những lời cam đoan trên

Bình Định, ngày 30 tháng 7 năm 2020

Tác giả luận văn

Lê Bảo Toàn

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn chân

thành tới thầy TS Trịnh Đào Chiến, người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận

tình tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quí thầy giáo, cô giáo đã và đang công tác tạikhoa Toán và Thống Kê,quí thầy,cô giáo và nhân viên hiện đang công tác trường đạihọc Qui Nhơn, đã tạo điều kiện và nhiệt tình giúp đỡ tôi xuyên suốt trong cả quátrình học tập tại lớp Cao học khóa 21

Tôi cũng chân thành cảm ơn đến Ban giám hiệu, quí thầy giáo, cô giáo cùng toànthể anh,chị, em đồng nghiệp trường Trung Học Phổ Thông Nguyễn Trãi, Thị xã AnKhê, Tỉnh Gia Lai, các bạn và gia đình, là những người luôn luôn bên cạnh hỗ trợ vàđộng viên trong suốt thời gian hoc tập và hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã rất cố gắng nhiều nhưng do kiến thức bản thân còn hạn chế luận vănkhông tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến của thầy cô, bạn bè đểluận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn

Bình Định, ngày 30 tháng 7 năm 2020

Tác giả luận văn

Lê Bảo Toàn

Muc luc

1 CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE VÀ CÁC BIEU DIEN

1.1 Công thức nội suy Lagange 4

1.2 Ý nghĩa hình học của công thức nội suy Lagrange 5

1.3 Các đồng nhất thức cảm sinh từ công thức nội suy Lagrange 6

1.4 Các biểu diễn và tính toán liên quan đến số tổ hợp 8

1.4.1 Biểu diễn một tích qua số tổ hợp 8

1.4.2 Khai triển nhị thức Newton và các hệ quả 10

2 ỨNG DỤNG ĐẲNG THỨC Tổ HỢP VÀO CÁC BÀI TOÁN NỘI SUY LAGRANGE 19 2.1 ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào các bài toán nội suy Lagrange có yếu tố giải tích 19

2.2 ứng dụng bất đẳng thức tổ hợp vào bài toán nội suy Lagrange có yếu tố hình học 45

dựng một hàm số P(x) dạng đơn giản hơn, thường là các đa thức đại số, thỏa mãn cácđiều kiện đã cho Ngoài ra, tại những giá trị x G R mà x không trùng với xi,x2, ,Xk thì

Hàm số P(x) được xây dựng theo cách vừa mô tả trên được gọi là hàm nội suy của

P(x) như vậy được gọi là bài toán nội suy

Các bài toán nội suy và những vấn đề liên quan đến nó là một phần quan trọngcủa đại số và giải tích toán học Chúng không chỉ là đối tượng của nghiên cứu màcòn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình liên tục cũng như các

mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyếtbiểu diễn,

Các bài toán nội suy cổ điển của Giải tích đã xuất hiện cách đây hơn một thế kỷ,khởi đầu bằng các công trình khoa học của các nhà toán học lỗi lạc như Lagrange,Hermite, Newton, và đã tìm thấy rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết các bài toánbiên và trong các bài toán của Vật lý Toán, Kỹ thuật Có thể kể đến một số bài toánnội suy cổ điển như: Bài toán nội suy Taylor, Bài toán nội suy Lagrange, Bài toánnội suy Newton, Bài toán nội suy Hermite,

Trong các bài toán nội suy, Bài toán nội suy Lagrange có nhiều ứng dụng trongchương trình Toán ở bậc Trung học phổ thông, chủ yếu vì trong giả thiết của bài toánchưa có yếu tố đạo hàm, đặc biệt là các đạo hàm cấp cao Nhiều bài toán khó trongcác đề thi chọn học sinh giỏi ở các nước và Olympic Toán quốc tế đôi khi được giảiquyết một cách thuân lợi nhờ vào sự ứng dụng của Đa

thức nội suy Lagrange

Trong Bài toán nội suy Lagrange thường xuất hiện những dạng tổng, chẳng hạngnhư sau

— X ị ) k- 1 , trong Bài toán nội suy Taylor; j=1 (n - 1)!

Do đó, các bài toán nội suy cổ điển thường liên quan chặt chẽ đến các đẳng thức

2 Mục tiêu nghiên cứu

Luận văn đề cập đến ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào Bài toán nội suy Lagrange

Từ đó, một số kiến thức trong chương trình Toán ở cấp Trung học phổ thông sẽ đượcsoi sáng qua lăng kính của Toán cao cấp

Luận văn cũng đề cập đến những ứng dụng của lý thuyết được nghiên cứu trên vào việc giải hoặc đề xuất một số bài toán khó ở cấp Trung học phổ thông, là đề thi trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các nước và Olympic Toán quốc tế

Nội dung của luận văn là sự nghiên cứu tiếp nối nội dung của tài liệu [1]

3 Đối tương và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các đẳng thức tổ hợp và Bài toán nội suy Lagrange.

Phạm vi nghiên cứu: Toán cao cấp (chủ yếu thuộc lĩnh vực Giải tích) và những

ứng dụng vào chương trình Toán ở cấp Trung học phổ thông

n x x

i,-j —‘í , trong Bài toán nội suy Lagrange;

i=1,i=j xj - x

i

a j

ki

4 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm, tổng hợp một số nội dung từ các tài liệu và hình thành luận văn, dưới sựhướng dẫn của người hướng dẫn khoa học

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Luận văn có ý nghĩa khoa học khi áp dụng các kiến thức của toán cao cấp để thiếtlập các bài toán về dãy số ở phổ thông

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài các nội dung quy định của cấu trúc một luận văn Thạc sĩ, nội dung chínhcủa luân văn được chia thành hai chương:

Chương 1 Công thức nôi suy Lagrange và các biểu diễn liên quan đến số tổ hợp

Chương này trình bày ngắn gọn về Công thức nội suy Lagrange, ý nghĩa hình họccủa Công thức nội suy Lagrange và các đồng nhất thức cảm sinh từ Công thức nộisuy Lagrange Đồng thời chương này giới thiệu các biểu diễn một tích qua số tổ hợp

và các khai triển của nhị thức Newton

Chương 2 ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào các bài toán nôi suy Lagrange

Chương này trình bày các ứng dụng của đẳng thức tổ hợp vào các bài toán nội suyLagrange có yếu tố Giải tích và Hình học được đề cập bằng cách giải một số bài toánkhó ở cấp Trung học phổ thông, là đề thi trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi cácnước và Olympic Toán quốc tế

Chương 1

CÔNG THỨC NỘI SUY

LAGRANGE VÀ CÁC BIỂU DIEN LIÊN QUAN ĐẾN Số Tổ HƠP

Nội dung mục này tham khảo trong [3]

Định lý 1.1 Cho n số x i , x 2 , , x n phân biệt và n số a i , a 2 , , a n tùy ý.

P (x j) = a j;-j =1 2 , n

Đa thức đó có dạng

Đa thức (1.2) được gọi là đa thức nội suy Lagrange hoặc công thức nội suy

Lagrange Các số xi, x2, , xnđược gọi là các nút nội suy

j=1

(xj )n

n(xj — xi)

Nội dung mục này tham khảo trong [3]

Các đa thức (1.3) và (1.4) khá quen thuộc trong chương trình toán phổ thông

Xét đa thức (1.4) chẳng hạn Giả sử rằng, trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho 3 điểm A(x1; y1), B (x2; y2), C (x3; y3), với x1, x2, x3khác nhau từng đôi một

Thế thì, theo (1.1) và (1.2), tồn tại duy nhất một đường cong y = P (x), trong đó P(x) là đa thức với deg P (x) < 2, thỏa mãn:

Hơn nữa, đường cong còn có phương trình cụ thể là y = P (x), trong đó P (x) có dạng(1.4) và các số aj chính là yj ; j = 1, 2, 3

- Với deg P (x) = 2, đồ thị của hàm số y = P (x) là parabol đi qua 3 điểm A, B, C

- Với deg P (x) = 1, đồ thị của hàm số y = P (x) là đường thẳng đi qua 3 điểm A, B, C

và không cùng phương với trục hoành

- Với deg P (x) = 0, đồ thị của hàm số y = P (x) là đường thẳng đi qua 3 điểm A, B, C

(1.9)n

i=1,i=j

n n

và cùng phương với trục hoành.

j=1

(xj )n

n(xj — xi)

Nội dung mục này tham khảo trong [3]

Giả sử x1, x2, , xnlà n số thực phân biệt, n > 2

i=1,i=j

n n

Đẳng thức (1.11) là một đẳng thức dạng phân thức, thường gặp trong chương trình toán phổ thông.

Vế trái của (1.15) là đa thức bậc k, hệ số của xkbằng 1 Vế trái của (1.15) là đa thức

có bậc không lớn hơn n — 1, hệ số của x n- i bằng

(xj)k

n

a n - ỵ? p/ / X j=1 P (xj)

So sánh các hệ số trên (theo các trường hợp của k), ta được các đẳng thức sau

Với mỗi đa thức P (x) cho trước, (1.16) và (1.17) trở thành những đẳng thức cụ thể vàkhá phong phú Chẳng hạn, với 3 giá trị phân biệt x 1 , x2, x3, xét đa thức

P (x) = (x — x1) (x — x2) (x — x3)

Khi đó (1.16) và (1.17) là các đẳng thức sau

Nội dung mục này tham khảo trong [2]

1.4.1 Biểu diễn một tích qua số tổ hợp

Bài toán 1.1 Giả sử n là số nguyên dương, n > 2, xác định trước Với mỗi k G

1(xi — X2x) (xi — x3)

_ x 3 _

(x3 — xi) (x3 — x2)

Lời giải Với mỗi k G {1, 2, , n} , ta có

Bài toán 1.2 Giả sử n là số nguyên dương, n > 1, xác định trước Với mỗi k G

k- 1

C n(—1)n - k

Bài toán 1.4 Giả sử n là số nguyên dương xác định trước Với mỗi k G {0,1,

Lời giải Với mỗi k G {0,1, 2, , n}, ta có

k (k — 1) 1 (—1)(—2)

(— (n — k))/ (n + 1)! \

£ ((-1)k.C,k.(a - k)n )

k=0

Lời giải Áp dụng Công thức nội suy Lagrange cho đa thức P (x) = xnvới n + 1 mốc nội suy

= £ ((-1)* n TO* (a - k)n) = n £ (MACÍ.(a - k)") k=0 k=0

= - E (- (m - i))n.(-1)n+1 - i.C*+1

i=m n+1

Thật vậy, với m tùy ý, 1 < m < n, áp dụng Công thức nội suy Lagrange cho đa thức

- E(m - i)n.(-1)2n+1.(-1)-‘.cn+1 i=m

Ta có điều phải chứng minh.

Vậy, với cách xác định R”m trong bài toán trên, ta có kết quả sau

■

j=1, j= k n+1

n

Nội dung mục này tham khảo trong [4]

Bài toán 2.1 Cho đa thức A (x) = x81+ x49+ x25+ x9+ x + 1 và B (x) = x3 — x Tìm đa thức dư trong phép chia A (x) cho B (x)

Lời giải Gọi Q (x)và R (x) lần lượt là đa thức thương và đa thức dư của phép chia

A (x) = B (x) Q (x) + R (x)

Từ đây, ta tính được R (—1) = A (—1) = —4, R (0) = A (0) = 1 và R(1)=A(1)=6

Sử dụng Công thức nội suy Lagrange với các mốc nội suy — 1, 0, 1, ta được

Áp dụng Công thức nội suy Lagrange cho đa thức bậc hai P (x) tại 3 điểm phân biệt k

Theo giả thiết, ta có P (k — 1) G Z, P (k) G Z, P (k + 1) G Z

Ngoài ra, với x G Z thì x — k — 1 và x — k là 2 số nguyên liên tiếp, nên

Lời giải Với mỗi j = 1, 2, ,n ta có

Từ (2.1) và (2.2), ta có

R(aj) = Aj, Vj = 1,2, ,n

Áp dụng Công thức nội suy Lagrange cho đa thức R (x),với deg R (x) < n — 1, tại n

điểm a1, a2, , ankhác nhau từng đôi một, ta có

Bởi (2.3), nên (2.4) tương đương với

Ta tìm được phần dư R(x), là đa thức được xác định bởi (2.5)

Bài toán 2.4 (USA - 1975) Cho đa thức P (x) bậc n > 1, thỏa mãn

Do đó, bởi Đẳng thức 1.4, ta có

nn

Bài toán 2.5 Cho đa thức P (x) có bậc n, thỏa mãn

x— iki

với mỗi k G {1, 2, , n, n + 1} Tính giá trị của P (n + 2).

Lời giải Sử dụng Công thức nội suy Lagrange với các mốc nội suy x1= 1,

với mỗi k G {0, 1, 2, , n} Tính giá trị của P (n +1).

Lời giải Sử dụng Công thức nội suy Lagrange với các mốc nội suy x1= 0,

n+2_ 1

n ±2

1 — (—1)n+1

n ±2

i=0, i=k

x-iki

Hơn nữa, bởi Đẳng thức 1.7, ta có

với mỗi k G {1, 2, , n, n + 1} Tính giá trị của P (n + 2).

Lời giải Sử dụng Công thức nội suy Lagrange với các mốc nội suy x1= 1,

P ( n + 2) = 2 2 n +1 - 1

Nhận xét Các bài toán nêu trên, từ Bài toán 2.1 đến Bài toán 2.4, có cùng một dạng

và vì thế có cùng chung một thuật toán để giải, chỉ khác nhau về từng giả thiết Rõ ràng

là, các bước biến đổi tiếp theo về các số tổ hợp đóng một vai trò quan trọng trong việctiếp tục hoàn thiện lời giải

Bài toán 2.8 (United Kingdom) Cho số nguyên dương k và các số nguyên đôi mộtphân biệt bất kì a1, a2, , an Chứng minh rằng tổng

ak

n

(ai —aj)

j=1, j=i

luôn nhận giá trị là số nguyên

Lời giải Xét các đa thức P (x) = xkvà Q (x) = (x — a1) (x — a2) (x — an) Chia đa thức

đó 0 < deg R (x) < deg Q (x) = n) sao cho

Hệ số của xn 1của đa thức R (x) ở vế trái là một số nguyên Hệ số của xn 1của đa thức R (x)

Đồng nhất hệ số của xn 1ở các vế, ta thu được kết quả cần chứng minh

Chẳng hạn, với 3 số nguyên đôi một phân biệt bất kì a1, a2, a3, thì số sau đây cũng là

số nguyên

Bài toán 2.9 (Việt Nam - 1977) Cho n +1 số nguyên x0< x1< < xn

Chứng minh rằng trong các giá trị của đa thức

P (x) = xn+ a1xn 1+ a2xn 2+ + antại các điểm x0, x1, , xn, luôn tìm được một số mà giá trị tuyệt đối của nó không bé hơn

n!

2 n

Lời giải Áp dụng Công thức nội suy Lagrange cho đa thức P (x), bậc n, tại n + 1

điểm khác nhau từng đôi một x0< x1< < xn, ta có

mâu thuẫn Ta có điều phải chứng minh.

Bài toán 2.10 (Iran - 2011) Cho số nguyên n > 2 và đa thức

< EI |P (Xj )|

j=0

nP(Xj) n

Ta có degg < n — 2 Sử dụng Công thức nội suy Lagrange với các mốc nội suy là x1 = 1,

g(x) =

k=1

phải bằng

1ki