Tính đầy đủ của không gian định chuẩn có trọng các hàm chỉnh hình

LƯU THỊ THU THUYENTÍNH ĐẦY ĐỦ CỦA KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN CÓ TRỌNG CÁC HÀM CHỈNH HÌNH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Người hưởng dẫn: PGS.TS.. Kí

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LƯU THỊ THU THUYEN

TÍNH ĐẦY ĐỦ CỦA KHÔNG GIAN

ĐỊNH CHUẨN CÓ TRỌNG

CÁC HÀM CHỈNH HÌNH

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Bình Định - 2020

LƯU THỊ THU THUYEN

TÍNH ĐẦY ĐỦ CỦA KHÔNG GIAN

ĐỊNH CHUẨN CÓ TRỌNG

CÁC HÀM CHỈNH HÌNH

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hưởng dẫn: PGS.TS THÁI THUAN QUANG

Mục lục

1.1 Một số vấn đề về Giải tích hàm 5

1.1.1 Không gian véctơ tôpô 5

1.1.2 Không gian Frechet 10

1.1.3 Các nguyên lý cơ bản của Giải tích hàm 11

1.1.4 Lý thuyết đối ngẫu 12

1.2 Một số vấn đề về Giải tích phức 14

1.2.1 Hàm chỉnh hình và một số tính chất 14

1.2.2 Hàm điều hòa dưởi 17

1.2.3 Các hàm chỉnh hình trên không gian lồi địa phuơng 17 1.2.4 Các hàm chỉnh hình trên không gian đầy đủ 22

1.2.5 Tập lồi đa thức 23

1.2.6 Không gian có trọng các hàm chỉnh hình 23

2 Tính đầy đủ của không gian trọng: Tiếp cận bằng Giải tích hàm 26 2.1 Tập dương của trọng và tính đầy đủ của không gian trọng 26 2.2 Các không gian Banach có trọng 28

3 Tính đầy đủ của không gian trọng: Tiếp cận bằng Lý thuyết hàm 36 3.1 Tập dương của trọng và tính đầy đủ của không gian trọng 36 3.2 Các không gian Banach có trọng 41

3.3 Một số ví dụ và phản ví dụ 45

ii

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

K : Trường số thực R hoặc số phức C

(E,F) : Một cặp đối ngẫu

H(G) : Đại số tất cả các hàm chỉnh hình trên G

H“(G) : Không gian tất cả các hàm chỉnh hình bị chặn trên G

HV (G) : Không gian vởi trọng v các hàm chỉnh hình bị chặn trên G

H„( G) : Không gian vởi trọng v các hàm chỉnh hình trên G

Ha( C\G) : Không gian các mầm chỉnh hình trên C\G bị triệt tiêu tại 00

H C o( A) : Bao lồi chỉnh hình của A

Q Y : Phần hình phẳng giới hạn bởi đường cong Y nằm tro ng Q

Ev : Tập dương của trọng v

MỞ ĐẦU

Từ hơn 50 năm trước, trên cơ sở sự phát triển mạnh mẽ của Giải tích hàm, cácnhà toán học bắt đầu quan tâm đến việc nghiên cứu Giải tích phức trong các khônggian véctơ tôpô vô hạn chiều Một trong những đối tượng nghiên cứu chính của Giảitích phức là hàm chỉnh hình Vì phần thực và phần ảo của hàm chỉnh hình thỏa mãnphương trình Laplace, nên Giải tích phức được ứng dụng rộng rãi trong các bài toánvật lý hai chiều Trong quá trình nghiên cứu các điều kiện tăng trưởng của các hàmchỉnh hình, người ta đã dẫn đến giói thiệu các trọng có liên quan Từ đó, hưởngnghiên cứu không gian Banach có trọng các hàm chỉnh hình thực sự ra đời

Trong luận văn này ta sẽ gọi một tập mở liên thông trong mặt phẳng phức C là

mọi miền phang Một trọng trên một miền G là một hàm không âm v : G —> [0,

m] Nói chung ta sẽ không yêu cầu trọng v là bị chặn hoặc dương thực sự Kí hiệu

H(G) là đại số tất cả các hàm chỉnh hình trên G và Tco là tôpô hội tụ đều trên tất cả

các tập con compact của G (thường được gọi là tôpô compact mở) Không gian

(H(G),Tco) là không gian Frechet

Không gian có trọng các hàm chỉnh hình /// (G) liên kết vởi v được

định nghĩa như sau:

HV(G) := {fe H(G) : supv(z)|f(z)| < +®}

zeG

và được trang bị nửa chuẩn Ilf I |v := sup v(z)|f(z)|

zeG

Khi trọng v dương thực sự và liên tục, các không gian kiểu này xuất hiện trong

các nghiên cứu về các điều kiện tăng trưởng của các hàm chỉnh hình và đã đượcquan tâm nghiên cứu sâu rộng kể từ công trình của Shields và Williams (xem, chẳnghạn, [5, 6, 9, 17, 18, 21])

Nếu v = 1 thì hiển nhiên H'V (G) trùng với không gian H®(G) tất cả các hàm

chỉnh hình bị chặn trên G với chuẩn “sup” Trong thực tế, hầu hết các trường hợp

được khảo sát, trọng v luôn là dương thực sự và liên tục Trong trường hợp này dễ

dàng kiểm tra không gian trọng nói trên là đầy đủ Tuy vậy, nếu không có yêu cầu

nói trên cho trọng v thì không gian trọng này có còn đầy đủ, thậm chí có “định

chuẩn” hay không, là câu hỏi cần được trả lời

Mục đích chính của luận văn là trả lời các câu hỏi sau đây trong trường hợp

trọng v không được giả thiết dương thực sự và liên tục:

1 HV (G) có đầy đủ hay không?

2 Với điều kiện nào thì H?(G) đầy đủ?

Bằng hai cách tiếp cận: Giải tích hàm và Lý thuyết hàm, luận văn sẽ tập trung giải quyết các bài toán sau:

1 Nghiên cứu một số điều kiện cần và một số điều kiện đủ về trọng v để HV (G)

đầy đủ

2 Nghiên cứu một số ví dụ có liên quan và mô tả tính đầy đủ trong trường hợp không gian có trọng xuyên tâm trên các miền phẳng cân

Chuơng 2 dành cho việc giói thiệu một số điều kiện cần và một số điều kiện đủ

về trọng v để /// (G) đầy đủ bằng con đuờng tiếp cận Giải tích hàm

Chuơng 3 trình bày một số ví dụ có liên quan và mô tả tính đầy đủ trong truờnghợp không gian có trọng xuyên tâm trên các miền phẳng cân bằng con đuờng tiếpcận Lý thuyết hàm

Luận văn đuợc hoàn thành duởi sự huởng dẫn khoa học của thầy PGS TS TháiThuần Quang, Khoa Toán và Thống kê, TrUỜng Đại học Quy Nhơn Nhân dịp nàytôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến thầy đã luôn giúp đỡ tôi trong suốt quá trình họctập và thực hiện luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Toán và Thống kê - TrUỜngĐại học Quy Nhơn - đã truyền tải cho tôi những kiến thức chuyên môn về ngànhtrong suốt thời gian học tập để tôi có đuợc nền tảng kiến thức rất lởn hổ trợ tôi trongquá trình làm luận văn thạc sĩ

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu TrUỜng Đại học Quy Nhơn,Phòng Đào tạo sau Đại học, Khoa Toán và Thống kê đã tạo điều kiện thuận lợi chotôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè vì đã luôn hỗ trợ vàđộng viên tôi trong suốt những năm học tập và quá trình nghiên cứu luận văn

Mặc dù luận văn được thực hiện vói sự nỗ lực cố gắng hết sức của bản thân, nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được những góp ý của quý thầy cô giáo để luận văn được hoàn thiện hon

Tôi xin chân thành cảm On

Chương 1

Một số kiến thức cơ sở

1.1 Một số vấn đề về Giải tích hàm

Kí hiệu K là trường số thực R hoặc phức C

1.1.1 Không gian véctơ tôpô

Giả sử E là không gian véctơ trên K, một tôpô trên E được gọi là tương thích

với cấu trúc đại số của E nếu các phép toán cộng đại số và nhân ngoài

và

liên tục theo tôpô này Một không gian véctơ cùng vói tôpô tương thích vói cấu trúc

đại số trên nó được gọi là không gian véctơ tôpô.

Nếu E là một không gian véctơ tôpô thì phép tịnh tiến và phép vị tự trên E là cácphép đồng phôi lẽn chính nó Điều này được suy trực tiếp từ tính tương thích của

tôpô trên E Nói riêng, nếu U là lân cận của Oe E thì a + U là lan cạn của a và a U

là lân cận của O với mọi a / O.

Mệnh đề 1.1.1 ([2]) Giả sử E là một không gian véctơ tôpô Nếu U là cơ sở lân cận

của Oe E thỉ

(i) Mọi U E U là tập hút, tức là mọi x E E luôn tồn tại E > 0 sao cho Ax E U với

mọi |A| < E.

(ii) Với mọi U E U tồn tại lân cận V củ a 0 sao ch 0 V + V <= U.

(iii) Với mọi U E U tồn tại một lân cận cân V củ a 0 sao ch 0 V ở

đây, lân cận V được gọi là cân nếu AV cz V với mọi |A| < 1.

Theo tính chất (ii) của Mệnh đề 1.1.1, với mọi U E U, tồn t ại VE U sao cho V +

V <= U Điền này chứng tỏ V c U nên mỗi tập trong U đều chứa bao đóng của một

tập nào đó trong nó Ngoài ra, hiển nhiên vói mọi V thuộc U thì V <= V nên V cũng

là một lân cận của 0 Do đó, không gian vécto tôpô E có một cơ sỏ lân cận của 0

gồm toàn các tập cân đóng Mệnh đề 1.1.2 ([2]) Giả sử E là một không gian véctơ

tôpô Khi đó E là Hausdorff nếu và chỉ nếu với mọi x / 0 thuộc E tồn tại lân cận U của 0 không ch ứa x.

Ta nói rằng tôpô T trên không gian véctơ E là bất biến đối với phép tịnh tiến nếu

mọi phép tịnh tiến trên E là một phép đồng phôi

NgUỢc lại vói Mệnh đề 1.1.1, ta có

Mệnh đề 1.1.3 ([2]) Giả sử E là một không gian véctơ và T là một tôpô trên E bất

biến đối với phép tịnh tiến Nếu E có một cơ sở lân cận U của 0 trong tôpô T thoả mãn:

(i) Với mọi U E U tồn t ại VE U sao ch 0 V + V <= U;

(ii) Mọi VE U ỉà cân và hút

thỉ topo T là tôpô véctơ trên E.

Định nghĩa 1.1.1 ([2]) Không gian véctơ tôpô E đuợc gọi là không gian véctơ

metric nếu tôpô trên nó có thể đuợc xác định bởi một metric.

Định lý 1.1.1 ([2]) Không gian véctơ tôpô Hausdorff E là không gian véctơ metric

nếu và chỉ nếu Oe E cố một cơ sở lân cận đếm được.

Một không gian véctơ tôpô Hausdorff E được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy suy

rộng Cauchy trong E hội tụ Tuy nhiên, thực tế chúng ta lại thường gặp phải các không gian không đầy đủ Vì vậy, một yêu cầu tự nhiên là cần đầy đủ hoá các khônggian chưa đầy đủ.

Định lý 1.1.2 ([2]) Giả sử E là không gian véctơ tôpô Hausdorff Khi đó, tồn tại

duy nhất (sai khác một đẳng cấu) một không gian véctơ tôpô Hausdorff đầy đủ E chứa E như một không gian con trù mật khắp nơi Không gian E được gọi là bao đầy của E.

Định lý 1.1.3 ([2]) Giả sử E là không gian véctơ hữu hạn chiều Khi đó mọi tôpô

véctơ Hausdorff trên E là như nhau Nói cách khấc, trên không gian véctơ hữu hạn chiều chỉ tồn tại duy nhất một tôpô véctơ Hausdorff.

Định lý 1.1.4 ([2], Định lý Riesz) Không gian véctơ tôpô Hausdorff E hữu hạn

chiều nếu và chỉ nếu nó có một lân cận O hoàn toàn bị chặn.

Định nghĩa 1.1.2 ([2]) Một không gian véctơ tôpô E được gọi là không gian lồi địa

phương nếu điểm gốc Oe E có một cơ sở lân cận được thành lập từ các tập lồi.

Định lý 1.1.5 ([2]) Giả sử U là một họ tùy ý các tập lồi cân hút của một không gian

véctơ E Khi đó tồn tại trên E một tôpô lồi địa phương yếu nhất tương thích với cấu trúc đại số của E sao cho mỗi tập trong U là một lân cận của Oe E.

Định nghĩa 1.1.3 ([2]) Một nửa chuẩn p trên không gian véctơ E là hàm không âm

thoả mãn các điều kiện:

(i) p(Ax) = |A|p(x) với mọi XE K và mọi x G E;

(ii) p(x + y) < p(x) +p(y)vàĩ mọi x,y E E.

Nếu giả thiết thêm p(x) = 0 kéo theo x = 0 thì p được gọi là một chuẩn Từ (i)

và (ii) ta suy ra

(iii) |p(x) — p(y)| < p(x — y vói mọi x,y E E.

NgUỌc lại, nếu xảy ra (i) và (iii) thì có (ii)

Rõ ràng, nếu p là nửa chuẩn trên E thì tập họp

U = {x E E I p(x) < 1}

là một tập lồi cân Ngoài ra, nếu p và q là các nửa chuẩn trên không gian vécto E

thoả mãn p(x) < 1 kéo theo q(X 1 thì p(x q(x) với mọi x E E.

Mệnh đề 1.1.4 ([2]) (i) Mỗi tập lồi cân hút A <= E đều tương ứng với

nửa chuẩn P A xác định bởi

là lồi cân hút Hơn nữa p(x = p Uỵ {x) với U1 = {x : p(x) < 1} và mọi XE E.

Định nghĩa 1.1.4 ([2]) Nửa chuẩn PA xác định như trong phần (i) của Mệnh đề

1.1.4 tương ứng với tập lồi cân hút A được gọi là phiếm hàm Mincowski hay hàm cỡ

kết hợp với tập A

Mệnh đề sau đây cho ta liên hệ giữa nửa chuẩn liên tục và lân cận lồi cân của không trong không gian lồi địa phương

Mệnh đề 1.1.5 ([2]) (i) Nửa chuẩn p trên không gian lồi địa phương

E liên tục khi và chỉ khi p liên tục tại Oe E.

(ii) Nếu p là phiếm hàm Mincowski của tập lồi cân hút U thỉ p liên tục khi và chỉ

khi U là một lân cận của Oe E Khi đó

int U = [x : p(x) < 1} và U = {x : p(x) < 1}.

Hai định lý sau cho ta liên hệ về tính tương đương giữa tôpô lồi địa phương vói

họ các nửa chuẩn tương ứng

Định lý 1.1.6 ([2]) Giả sử P là một họ nào đó các nửa chuẩn trên không gian véctơ

E Khi đó, tồn tại một tôpô lồi địa phương yếu nhất trên E làm cho mọi nửa chuẩn trong P liên tục.

Ta gọi tôpô trong Định lý 1.1.6 là tôpô xác định bởi họ nửa chuẩn P

Định lý 1.1.7 ([2]) Giả sử E là một không gian lồi địa phương Khi đó, tồn tại một

họ nửa chuẩn liên tục P trên E sao cho tôpô sinh bởi P là tôpô ban đầu Ngoài ra, E

là Hausdorff khi và chỉ khi p(X = O với mọi p E P kéo th eo x = O.

Định nghĩa 1.1.5 Không gian metric (X, d) được gọi là đầy đủ địa phương nếu với

mọi x G X tồn tại một lân cận của x nó đầy đủ theo d

1.1.2 Không gian Frechet

Định nghĩa 1.1.6 ([2]) Một không gian lồi địa phương được gọi là không gian

Préchet hay (F)-không gian nếu nó là không gian véctơ metric và đầy đủ.

Từ Định nghĩa 1.1.6 dễ thấy rằng tôpô của không gian Frechet được xác định bởi một dãy giảm các lân cận lồi, cân {vn}n= 1 của 0 hoặc bởi một dãy tăng các nửachuẩn liên tục (pn}n=1-

Mệnh đề 1.1.6 ([2]) Nếu tôpô trên một không gian Hausdorff E là tôpô lồi địa

phương yếu nhất làm cho một dãy những tập lồi, cân, hút trở thành lân cận (hoặc làm cho một dẫy cấc nửa chuẩn liên tục) thỉ E là không gian khả metric.

Chứng minh Giả sử tồn tại một tôpô lồi địa phương yếu nhất trên E làm cho các tập

lồi, cân, hút {vn}n= 1 trở thành lân cận Khi đó các tập có dạng £ QKi*ír VnịVéÁ r nguyên dương, E hữu tỷ dương, lập thành một cơ sở lân cận đếm được Vậy E là

Mệnh đề 1.1.7 ([2]) (i) Mọi không gian con đóng của một không gian

Frechet là không gian Préchet.

(ii) Không gian thương của một không gian Préchet theo một không gian con

đóng là một không gian Préchet.

Định nghĩa 1.1.7 Không gian Banach là không gian định chuẩn đầy đủ (vói metric

sinh bởi chuẩn)

Định lý 1.1.8 ([2]) Không gian định chuẩn E là Banach nếu và chỉ nếu mọi chuỗi

hội tụ tuyệt đối trong đó đều hội tụ.

Định nghĩa 1.1.8 ([2]) Cho hai không gian tôpô E và F Ánh xạ f : E —> F được gọi là liên tục nếu nó thỏa mãn một trong các khẳng định tương đương sau:

(i) f~!(V} là mỏ với mọi tập mở V trong F,

(ii) f~!(U) là đóng với mọi tập đóng U trong F,

(iii) Nếu dãy suy rộng xi hội tụ tới x thì f(xi) hội tụ tới f (x)

1.1.3 Các nguyên lý cơ bản của Giải tích hàm

Định nghĩa 1.1.9 ([2]) Giả sử T : E —> F là ánh xạ tuyến tính liên tục giUa hai

không gian véctơ tôpô E và F Ta nói T&mở nếu T(U) là lân cận của Oe F đối với

mọi lân cận của Oe E

Một ánh xạ liên tục không nhất thiết là mở Nguyên lý ánh xạ mở cho ta một số điều kiện để một ánh xạ liên tục là mở

Định lý 1.1.9 ([2], Nguyên lý ánh xạ mở) Giả sử T là một toàn ánh, tuyến tính, liên

tục từ không gian véctơ metric đầy đủ E lên không gian véctơ metric đầy đủ F Khi

đó T là ánh xạ mở.

Rõ ràng mọi ánh xạ tuyến tính liên tục giUa các không gian véctơ tôpô đều có

đồ thị đóng Tuy nhiên khẳng định ngược lại nói chung không đúng Dựa vào định

lý ánh xạ mở ta có

Định lý 1.1.10 ([2], Định lý đồ thị đóng) Giả sửT : E —> F là ánh xạ tuyến tính có

đồ thị đóng giữa các không gian véctơ metric đầy đủ E và F Khi đó T là ánh xạ liên tục.

Định lý 1.1.11 ([2], Định lý Hahn - Banach dạng phức) Giả sửp là một nửa chuẩn

trên một không gian véctơ E và f là một phiếm hàm tuyến tính trên một không gian con M của E sao cho |f(x)| < p(x) với mọi x E M Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính f trên E sao cho f IM = f và |f(x)| < p(x) với mọi XE E.

Từ định lý Hahn - Banach ta có một số hệ quả sau

Hệ quả 1.1.1 ([2]) Nếu A là một tập lồi trong không gian lồi địa phương E và a ị A

thỉ tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên E sao cho f(a) ệ f(A)

Hệ quả 1.1.2 ([2]) Nếu A là một tập lồi cân trong không gian lồi địa phương E và a

ị A thỉ tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên E sao cho |f(x)| < 1 với mọi x

E A và f(a)> 1.

Hệ quả 1.1.3 ([2]) Giả sử E là không gian lồi địa phương, F là không gian con

đóng của E Nếu a E E/F thỉ tồn tại f E E sao cho f |F = 0 và f(a) °

Hệ quả 1.1.4 ([2]) Với mọi a E E và với mọi nửa chuẩn p trên một không gian véctơ

E tồn tại một phiếm hàm tuyến tính f trên E sao cho |f(x)| < p(x) với mọi xe E và f(a) = p(a).

Hệ quả 1.1.5 ([2]) Giả sử E là không gian lồi địa phương Hausdorff và a E E thỏa

mãn f(a) = 0 với mọi phiếm hàm, tuyến tính liên tục f trên E Khi đó a = 0.

1.1.4 Lý thuyết đối ngẫu

Định nghĩa 1.1.10 ([2]) Cho E và F là hai không gian véctơ trên cùng một truờng K

Ta nói rằng E và F là một cặp đối ngẫu và kí hiệu là (E, F) nếu trên E X F xác định được một ánh xạ (x, y: E X F —> K thỏa mãn các điều kiện sau:

Dp) Với mọi u E F, ánh xạ X I—> (x, u) tuyến tính trên E và (x, u = 0 với mọi u

gian con của E^ và tương tự E cũng là một không gian con của F bởi hai tiên đề DE

và Dp Với mỗi u G F xác định nửa chuẩn pu trên E

Pu(x) = |<x,u>|, XE E.

Tôpô lồi địa phương trên E sinh bởi họ các nửa chuẩn p u , u E F được kí hiệu là ư(E,

F) và gọi là tôpô yếu trên E của cặp đối ngẫu (E, F) Như vậy tôpô ơ(E,F) CÓ một hệ

cơ bản các lân cận của không có dạng

u (ui , , u n , 6 1 , , £n^ \ x E E I U1 (x ^ < 61, , u ni x '} < 6 n}.

Định lý 1.1.12 ([2]) Nếu (E, F) ỉà cặp đối ngẫu thì ơ(E,F) ỉà tôpô lồi địa phương

Hausdorff yếu nhất trên E thỏa mãn [E, ơ(E, F)]' = F.

Định lý 1.1.13 ([2], Định lý Mackey) Cho (E,F) là một cặp đối ngẫu Khi đó mọi

tôpô trên E tương thích với (E, F) có cùng các tập bị chặn.

Một số tính chất trên không gian đối ngẫu của một không gian lồi địa phương

Bổ đề 1.1.1 ([2]) Cho p và q là hai nửa chuẩn trên không gian véctơ E Nếu q(x} <

1 kéo th eo y)(x} F, 1 th I p(x) < q(x) với mọi XE E.

Định lý 1.1.14 ([2]) Cho E là một không gian lồi địa phương, fl là một dạng tuyến

tính liên tục trên một không gian con M của E Khi đó, tồn tại f E E sao cho f I M =

f

1-Hệ quả 1.1.6 ([2]) Cho E là một không gian lồi địa phương Khi đó với mọi a E E,

a / 0, tồn tại f E E sao cho f(a) =

1-Định lý 1.1.15 ([2]) Cho E là một không gian lồi địa phương, A <= E là tập con lồi

tuyệt đối và a ị A Khi đó, tồn tại f E E' sao cho

(i) f (a) > 1;

(ii) If (x)| <1, Vx E A.

Hệ quả 1.1.7 ([2]) Cho E là một không gian lồi địa phương, A <= E là tập con lồi

tuyệt đối và a ị A Khi đó, tồn tại f E E' sao cho f{a) ị f(a).

1.2 Một số vấn đề về Giải tích phức

1.2.1 Hàm chỉnh hình và một số tính chất

Định nghĩa 1.2.1 ([1]) Cho hàm số f xác định trên Q GZ C Xét giới hạn nếu tại

điểm z giởi hạn này tồn tại thì được gọi là đạo hàm phức của f tại z và được kí hiệu

f (z) Hàm f có đạo hàm phức tại z được gọi là khả vi phức hay C-khả vi tại z.

Định nghĩa 1.2.2 ([1]) Hàm f xac định trên Q X C được gọi là giải tích hay chỉnh

hình tại z 0 E Q nếu tồn tại r > 0 để hàm f là C-khả vi tại mọi z E {z : |z — Zo| < r}

cz Q Nến hàm f chỉnh hình tại mọi điểm z 0 E Q thì ta nói f chinh hình trên Q Nếu

hàm f chinh hình trên C thì ta nói f là hàm nguyên.

lim f(z +

Lz

Định lý 1.2.1 ([1], Định lý tích phân Cauchy) Cho Q là tập mở trong C và f là hàm

chỉnh hvn h trên tì Ch 0 Y nằm tro ng Q là một đường cong đóng sao cho phần hình phang giới hạn bởi Y cũng nằm trong Q Khi đó

fdz = 0.

Định lý 1.2.2 ([1], Công thức tích phân Cauchy) Giả sử f là hàm chỉnh hình trên

miền Q và z 0 E tì Khi đó với mọi đường cong đóng Y c= sao cho phần hình phang

QY giới hạn bởi Y nằm tro ng Q Khi đó

fz0 = ~ ~ dz Vzo E QY

2ni J Y z- zo

Định lý 1.2.3 ([1], Tính duy nhất của hàm chỉnh hình) Cho hàm f xác định trên Q T

C Nếu hai hàm chỉnh hình f(z) và g(z) trong Q trùng nhau trên một số tập K tì chứa

ít nhất một điểm giới hạn trong Q, thỉ f(z) — g(z) với mọi z E tì Nói cách khấc, nếu một hàm chỉnh hình f(z) trong Q bị triệt tiêu trên K tì có ít nhất một điểm giới hạn trong Q, thỉ f(z) — 0 với mọị z E Q.

Định lý 1.2.4 ([1], Định lý nguyên lý mô-đun cực đại) Nếu hàm f chỉnh hình và

không là hàm hằng trên tì, thì |fz)| không có giá trị lớn nhất trong Q.

Hệ quả 1.2.1 ([1]) Nếu hàm f chỉnh hình trên miền bị chặn Q và liên tục trên Qo ("tì.

thỉ giá trị lớn nhất của |f(z)| trên tì u ỔQ đạt trên ỔQ Chứng minh Theo giả thiết Q

u ỔQ là tập compact nên If z)| đạt giá trị lởn nhất trên Q u ỔQ Giả sử tồn tại z 0 E Q

sao cho If z0)| > |f(z)| với mọi z e tìu ỔQ Khi đó, rõ ràng If z0)| cũng là giá trị lởnnhất của If z)| trên Q Do đó, theo Định lý 1.2.4 hàm fz) là hàm hằng trên Q Do fliên tục trên Q u ỔQ nên fz) cũng là hàm hằng trên Q u ỔQ Do đó, giá trị lởn nhất

Định nghĩa 1.2.3 ([Ì])- Họ F các hàm xác định trên Q được gọi là

bị chặn đều trên các tập compact nếu

sup{ \fz)\ : ZE K,f E F < 00

với mọi tập compact K co Q

Định nghĩa 1.2.4 Một hàm f : [a, b —> bị chặn cắc h xa 0 trên [a, b

nếu tồn tại E > 0 sao cho f(x)> E với mọi x E [a, b hoặc với

mọi x E [a, b].

Định nghĩa 1.2.5 ([Ì])- Họ F các hàm xác định trên Q được gọi là đồng liên tục trên các tập compact nếu với mọi tập compact K co Q và với mọi E > 0 tồn tại ỗ = ỗ(K,

Ổ) sao cho If (z) — f (z')| < Ổ với mọi z, z E K thỏa mãn |z — z'| < ỗ

Định lý 1.2.5 ([1])- Mọi họ các hàm chỉnh hình F xấc định trên miền Q (nghĩa là F

E Hty) bị chặn đều trên các tập compact là đồng liên tục trên các tập compact.

Định lý 1.2.6 ([1])- Giả sử dãy các hàm chỉnh hình {f n } ■= Hbị chặn đều trên các tập compact hội tụ trên một tập con K <= Q nào đó trù mật trong Q Khi đó, d ãy {f n } hội tụ đều trên các tập comp act trong Q.

Định lý 1.2.7 ([1], Nguyên lý Montel) Giả sử Q là một miền trong C và F Q

Hty-Khi đó, F bị chặn đều trên các tập compact nếu và chỉ nếu mọi dãy {f n } <= F chứa một dãy con {jn k } hội tụ đều trên các tập compact.

Định lý 1.2.8 ([1], Định lý Runge) Cho K là tập con compact trong C và C\K là tập

liên thông, f là hàm chỉnh hình trên K Khi đó f là giới hạn đều trên K của một dãy các đa thức.

Định lý 1.2.9 ([4], Định lý nội suy Weierstrass) Giả sử f : [a, b] —> R liên tục và

với £ > 0 bất kỉ, tồn tại một đa thức p sao cho

If (x) — p(x)| < £ Vx E [a, b].

1.2.2 Hàm điều hòa dưới

Định nghĩa 1.2.6 ([1]) Hàm u : Q —> [—00,00] gọi là nửa Hên tục trên nếu

lim sup u(z) = u(zo) với mọi z 0 E Q.

ổ_>0 |z-zo|< s Một cách tuơng đuơng, u~!([—00, a)) là mở vởi mọi —00 < a < 00.

Định nghĩa 1.2.7 ([1]) Hàm u : Q —> [—00, 00) đuợc gọi là điều hòa dưới nếu

(a) u nửa liên tục trên,

(b) Với mọi z 0 E Q tồn tại 0 < r < d(z0, ổQ) sao cho nếu h là hàm điều hòa trênB(zo, ổ) và liên tục trên B(zo, ớ) với 0 < r mà h > u trên ổB(zo, ổ) thì h > utrên B(zo, ổ)

Định lý 1.2.10 ([1])- Nếu hàm u điều hòa dưới trên miền Q và đạt giá trị lớn nhất

trong tì thì u là hàm hằng.

1.2.3 Các hàm chỉnh hình trên không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.2.8 ([14]) Cho E là một không gian lồi địa phuơng, Q co C là tập con

liên thông, mở, khác rỗng của C Một hàm f : Q —> E đuợc gọi là chỉnh hình nếu

nó có thể biểu diễn trong một lân cận của bất kì điểm ừ E Q bởi một chuỗi Taylor hội t ụ đều 0 Xk{ z — ừk với các hệ số XkG E.

Cho E, F là các không gian lồi địa phương, Q là một miền trong E Xét hàm f : Q

—> F

Hàm f được gọi là G-chỉnh hình nếu nó chỉnh hình trên mọi đường thẳng affine

đi qua Q, tức là, nếu Ca z I—» f(a + bz) là chỉnh hình tại 0 vởi mọi a E Q và b E E Hàm f được gọi là bị chặn khuếch đại (amply bounded) nếu qof : Q —> R bị chặn địa phương với mọi nửa chuẩn liên tục q trên F.

Hàm f được gọi là chỉnh hình nếu nó là G-chỉnh hình và bị chặn khuếch đại.

Chý ý rằng vởi E = CN hoặc F là một không gian định chuẩn tính bị chặn khuếchđại giống như tính bị chặn địa phương

Định nghĩa 1.2.9 ([14]) Hàm f : Q —> E được gọi là chỉnh hình yếu nếu Xo f : Q —

> C là chỉnh hình vởi mọi x' E E'.

Hệ quả 1.2.2 ([14]) Mọi hàm chỉnh hình yếu f : Q —> E đi từ miền Q ca C vào

không gian đầy đủ địa phương E là chỉnh hình.

Định nghĩa 1.2.10 ([14]) Một tập con H của E' được gọi là tách điểm E (gọi tắt là tách điểm) nếu với mọi phần tử x E E, x Ạ 0, tồn tại x nào đó thuộc H sao cho X(X Ạ

0

Định lý 1.2.11 ([14], Định lý Wolff) Cho K là tập con thực sự compact của C Kí

hiệu llí)K là không gian các mầm, chỉnh hĩnh trên K triệt tiêu tại vô cùng Khi đó với mọi hàm g E HẸK và với mọi lân cận U của K tồn tại một tập con compact tương đối đếm được {X k : k E N} cứa U\K sao cho

00 _ 00

g(z

Định lý 1.2.12 ([14]) Cho E là không gian đầy đủ địa phương và f : Q —> E là một

hàm trên miền Q trong C Nếu

(i) x o f là chỉnh hình với mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục x thuộc vào tập con

tách điểm của E',

(ii) f là bị chặn địa phương,

thỉ f là chỉnh hình.

Chứng minh Trường hợp không gian Banach: Giả sử E là một không gian Banach

(hoặc tổng quát hơn là không gian đầy đủ bất kì) Cho hàm f : Q —> E Bởi Định lýWolff, vởi mọi hàm g G //0(C\Q) có thể được biểu diễn

Vì f bị chặn địa phương, (f(Ak)} bị chặn trong E và vì E là đầy đủ địa phương nên

dãy này hội tụ trong E

Bây giờ ta chứng minh rằng định nghĩa của Tg không phụ thuộc vào phần tử đại diện (1.2.1) của g Lấy H <= E là i acli điẽin sao cho x o f là chỉnh hình vởi mỗi x E

<g, x o f> = X x ° f / = s ak x(f (M) = X(T^5 (L2-2)

trong đó ộ, •) kí hiệu dạng song tuyến tính trên Ho(C\Q) X H(^)- Vì H là tách điểm

nên Tg không phụ thuộc vào đại diện (1.2.1) của g, và do đó

T : HQ(C\Q) E

là ánh xạ Từ (1.2.2) T là toán tử tuyến tính với đồ thị đóng Theo định lý đồ thị đóng suy ra T liên tục

Bây giờ ta định nghĩa hàm f : Q —> E bởi

Lấy u E Q Khi đó ta có với z G Q với |z — w| < p < dỉst{ư), C\Q)

f<»-T( ẤM ÍỌz-~> ■)

_ '2TT ) hội tụ đều theo z Do đó, f chinh 11'11111 Từ (1.2.2) suy ra rằng với XE Q và x E H

ta có

Do đó f = f, vì vậy f là chỉnh hình trong Q

Trường hợp tổng quát: E là không gian đầy đủ địa phuơng bất kì Ta chỉ cần

chứng minh f là chỉnh hình trên mọi miền con compact tương đối V củ a Q Bởi (ii),

f (V) bị chặn trong E và do đó nó được chứa và bị chặn trong không gian Banach

EB Lấy H là iạp con tách của E thỏa mãn điều kiện (i) Vì ánh xạ bao hàm j : EB E liên tục và các phiếm hàm x o j XE H, tách các phần tử của EB, do trường hợp thứ

nhất hàm

f : V —> EB là chỉnh hình Do đó, f : V —> E cũng chỉnh hình □ Hệ

quả 1.2.3 ([14]) Cho E là một không gian đầy đủ địa phương, miền Q cz c và tập

comp act K cz Q Nế u f : Q\K —> E là một hàm sao cho

(i) x o f có một thác triển chỉnh hình đến Q với mọi x thuộc vào tập con tách điểm

X(/(X)) = X(T(T4Ã))={'X

= x(f (A))

của E',

(ii) f bị chặn địa phương,

thỉ f chỉnh hình trên Q\K và có duy nhất một thác triển chỉnh hình đến Q.

Chứng minh Đầu tiên ta giả sử E là không gian Banach Áp dụng Định lý 1.2.12 ta

có f : Q\K —> E là chỉnh hình Như thường lệ, ta định nghĩa hàm chỉnh hình f trên

Q bằng cách sử dụng các tích phân Cauchy trên các đường cong vây quanh K Bởi(i), ta có f = f trên Q\K cho nên f có một thác triển chỉnh hình

Trường hợp tổng quát cũng được suy ra bởi trường hợp tổng quát của chứng

Ta thu được khái quát hóa của Định lý 1.2.12

Định lý 1.2.13 ([14]) Cho E và F là các không gian lồi địa phương với F là đầy đủ

địa phương, và cho Q cz E là một miền Nếu f : Q —> F là một hàm thỏa mãn

(i) x o f là chỉnh hình với mọi x thuộc vào tập con tách điểm của F',

(ii) f bị chặn đầy đủ,

thỉ f chỉnh hình.

Giả sử trên M là các nửa chuẩn

P K (h = sup |h(z)| (K <= Q compact, he H^)) zeMrK

định nghĩa tôpô thông thường của hội tụ đều địa phương trong H((G), khi ta chỉ xét các tập K với M n K / 0 Trong trường hợp này ta nói M xác định hội tụ đều địa

phương trong H(GỴ

Định lý 1.2.14 ([14]) Cho E là không gian Frechet; miền E:z C và M cz Q là một

tập xấc định hội tụ đều địa phương trong H(Q) Nếu f : M —> E là một hàm thỏa mãn

(i) x o f có một thác triển chỉnh hình đến Q với mọi x thuộc vào tập con tách điểm

của E',

(ii) f bị chặn trên M n K với mọi tập con compact K của

thỉ f có duy nhất một thác triển chỉnh hình đến Q.

Mệnh đề 1.2.1 ([14]) Không gian lồi địa phương E là đầy đủ địa phương nếu và chỉ

nếu 2k= 1 ak x k hội tụ tro ng E với mọi dãy bị chặn (xk) trong E và mọi dãy vô hướng (a k } với xk 1 |ak| < °0-

1.2.4 Các hàm chỉnh hình trên không gian đầy đủ

Các kết quả sau là áp dụng của Định lý 1.2.14 và Định lý 1.2.13

Định lý 1.2.15 ([14]) Cho E là một không gian Fréchet, miền Q Cĩ C và M <= Q là

một tập xấc định hội tụ đều địa phương trong H^)- f : M —> E là một hàm bị chặn trên M n K với mỗi tập con compact K của Q Nếu tồn tại một không gian lồi địa phương Y và một đơn ánh tuyến tính liên tục j : E —> Y sao cho j o f : M —> Y có một thác triển chỉnh hình đến tì thì f : M —> E cũng chỉnh hình.

Chứng minh Ta áp dụng Định lý 1.2.14 với {y' o j : yX= Y'} như là tập con tách

Một phát biểu khác của Định lý 1.2.15 Cho f : Q —> Y là chỉnh hình, E c Y làmột không gian con tuyến tính và T là một tôpô không gian Frechet trên E mạnhhon tôpô sinh bởi Y Nếu M cz Q xác định hội tụ đều địa phuơng trong H^), thì f (p)

c E và f : Q —> E là T-chỉnh hình

Từ Định lý 1.2.13 ta đuợc

Định lý 1.2.16 ([14]) Cho E và F là các không gian lồi địa phương và F là đầy đủ

địa phương, cho miền Q cz E và f :Q—> F là một hàm bị chặn khuếch đại Nếu tồn tại một không gian lồi địa phương Y và một đơn ánh tuyến tính liên tục j : F —> Y sao cho j o f là chỉnh hình thỉ f là chỉnh hình.