Phương pháp lượng giác hóa trong chứng minh bất đẳng thức

PHẠM VĂN LINHPHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC PHẠM VĂN LINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Bình Đinh - 2020... Khi đọc một số tài liệu về Bất đẳngthức chúng ta sẽ gặp một số

PHẠM VĂN LINH

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

PHẠM VĂN LINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Bình Đinh - 2020

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 8.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: TS HUỲNH MINH HIEN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Bình Đinh - 2020

Mục lục

Mở đầu

Toán sơ cấp là một lĩnh vực mà các kết quả được các chuyên gia sáng tạo ratương đối đầy đủ và hoàn thiện Chính vì vậy việc nghiên cứu để thu được mộtkết quả mới có ý nghĩa là điều rất khó Khi đọc một số tài liệu về Bất đẳngthức chúng ta sẽ gặp một số bài toán đại số mà khi giải chúng được chuyểnthành bài toán lượng giác Trong chương trình Toán học phổ thông, chuyên đềlượng giác đóng một vai trò như là một công cụ đắc lực nhằm giải quyết hiệuquả nhiều bài toán của giải tích, đại số và hình học Trong thực tiễn, lượng giác

và các đặc trưng cơ bản của lượng giác là chuyên đề cần thiết trong việc bồidưỡng học sinh giỏi Toán ở bậc Trung học phổ thông, đồng thời các ứng dụngcủa nó luôn là sự hấp dẫn đối với nhiều đối tượng học sinh và giáo viên

Mục tiêu của luận văn "Phương pháp lương giác hóa trong chứng minh

bất đẳng thức" nhằm trình bày vấn đề áp dụng phương pháp lượng giác hoá

để giải quyết một số bài toán về bất đẳng thức nhằm tạo ra một đề tài phù hợpcho việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học phổ thông

Luận văn, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dungchính của luận văn được chia làm ba chương

Chương 1 Một số bất đẳng thức cơ bản Trong chương này, tác giả nhắc lại

một số bất đẳng thức kinh điển như bất đẳng thức AM - GM, bất đẳng thứcCauchy-Schwarz, bất đẳng thức Jensen và bất đẳng thức Chebyshev

Chương 2 Đẳng thức và Bất đẳng thức lượng giác Chương này trình bày

các công thức lượng giác cơ bản, các đẳng thức và bất đẳng thức lượng giácthường gặp

Chương 3 Lượng giác hóa trong chứng minh bất đẳng thức Chương này

trình bày cơ sở lý thuyết và chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác bằngphương pháp lượng giác hóa Đồng thời, sưu tầm các đề bài toán về bất đẳngthức trong các đề thi học sinh giỏi có sử dụng phương pháp lượng giác hóa.Qua đây, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Phòng Đào tạo Sau đại học, KhoaToán cùng quý Thầy, Cô giáo giảng dạy lớp Cao học Toán Giải tích khóa 20 đãgiúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập vànghiên cứu

Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng của bản thân, nhưng

do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệm nghiên cứucòn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mongnhận được những góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoànthiện hơn

Bình Định, tháng 7 năm 2020

Học viên

Phạm Văn Linh

Định nghĩa 1.1 ([2]) Hàm số f (x) được gọi là hàm lồi trên (a, b) c R thì với

f (ax i + fe) < af (xi) + pf (x2)

Định lý 1.2 Nếu f (x) khả vi cấp 2 trên (a, b) và f (x) > 0 thì f (x) là hàm lồi.

1.1.2Bất đẳng thức

Định lý 1.3 (Jensen, [2]) Nếu y = f (x) là hàm lồi trong khoảng (a,b) n

f(a1x1 + + anxn) < a1f(x1) + + anf(xn).

Chứng minh Ta chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp theo n.

với n > 2 Ta chứng minh bất đẳng thức đúng cho n + 1 Xét X1, , x n , x n+1 G (a,b) và các số thực

Chứng minh Với a = 0, b = 0 thì bất đẳng thức luôn luôn đúng.

Với a, b > 0, ta chứng minh như sau:

(- 1

) a

(n 2+ 1)a

na i

Định lý trên được tổng quát cho n số:

n

Chứng minh Hiển nhiên bất đẳng thức đúng với n = 2.

Giả sử bất đẳng thức đã đúng cho n số không âm thì bất đẳng thức cũngđúng với 2n số không âm

nên bất đẳng thức đúng khi n bằng một luỹ thừa của 2

Giả sử bất đẳng thức đúng với n số không âm, ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n — 1 số không âm Thật vậy, đạt

an—iA

n

—

1

Hoàn toàn tương tự, ta có

2x + y + z

1O -• •- -

ỉ)-1

-Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đồng thời đẳng thức trong (1.1), (1.2), (1.3)xảy ra khi và chỉ khi

1

Ví dụ 1.8 Cho x,y,z > 0 và x + y + z — 1 Chứng minh

x y z 3

—— + -—7 + —7 <-7.

x + 1 y + 1Theo bất đẳng thức AM-GM ta có 111

x + 1 — y + 1 — z + 1 x+y+z—1

(“1 + “2+ • • • + (b

i + &2+ • • • + bịn) 2^ (“ibi + “2b2 + • • • + anbn) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = “2= • • • = “n Bất đẳng thức b 1 b2 b n

1.3.2 Ví du

Ví du 1.10 Cho x; y; z > 0 và thỏa mãn x + y + z < 1 Chứng minh rằng

V

ỵ/z 5 6 + “2 Áp dụng Bất đẳng

3+ —— >

1.4 Bat đang thức Chebyshev

b1 < b2 < < b1 < b < b1+1 < < bn

Ta có

(ak — a) (bk —b)> 0, (Vk = 1, n) akbk —bak —abk+ab > 0, (Vk = 1, n).(1.8) Cộng từng vế n bất đẳng thức dạng (1.8), ta được

Giải Bất đẳng thức mang tính đối xứng giữa các biến, do đó không mất tính

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a

i + a2 + + an

tổng quát, ta giả sử a > b > c Khi đó ta có

111

—— > > , b+c a+c a+bNhư vậy, theo bất đẳng thức Chebyshev, ta có

. -■ -1 -■ 1—ĩ > õ • (a + b + c ) •( —•—- ■ -1- -•— I

Đến đây ta áp dụng hai đánh giá cơ bản

2 , n 2 I ~2(x + y + z)2

3và

1 1 1 9

—I- - -■— > —, -,—

x y z x + y + zKhi đó

Trong việc chứng minh một bất đẳng thức đại số nhất định, chúng ta có thể

sử dụng các phép thay thế lượng giác, và hầu như nó luôn dẫn người giải đếnmột cách giải đơn giản Sau đây là một số bất đẳng thức lượng giác cơ bảnthường dùng [3, 6]

Mệnh đề 2.1 Trong tam giác ABC Khi đó, chúng ta có các bất đẳng thức sau

(i)sin A + sin B + sin C < ;

(ii)sin A • sin B • sin C <

(iii) sin A+ sin B 2 + sin C 2 < 3

(v) cos A + cos B + cos C < 3

(vi) cos A • cos B • cos C < 1

(vii) cos A + cos B 2 + cos C 2 < 3 '2 3 (viii) cos A • cos B • cos <A <

(ix) sin2A + sin2B + sin2C < 9

(x) sin2A + sin2 B 2 + sin2 C 2 > 3

(xi) cos2A + cos2B + cos2C > 3

(xii) cos2AA + cos2 B 2 + cos2 C

2 < 9 (xiii) tan A + tan BB + tan CC > y/3

(xiv) cot AA + cot BB + cot CC > 3ự3

(xv) cot A + cot B + cot C > Ự3

(xvi) tan A + tan B + tan C > 3y/3.

Chứng minh (i) Hàm sin x được lõm vào khoảng (0, n), do đó, từ Jensen, ta có

-z • -< sin -—- - = sin — = ——

3

4

70 + cos2B — 2 cos A — 2 cos B + 2 cos A cos B

71 = (sin A — sin B)2+ (1 — cos A — cos B)2 > 0

77 (vi) Từ cos(A + B) = — cosC, chúng ta có

78 cos A cos B cos C = 1(cos(A + B) + cos(A — B)) cos C

(vii) Từ A,B,C E (0,n) suy ra A/2,B/2,C/2 E (0,n/2) Hàm cosx lõm

trong khoảng (0,n/2) Theo bất đẳng thức Jensen, chúng ta có

87

88

89 (viii) Từ A, B, C E (0, n) nên A/2,B/2,C/2 E (0,n/2), tức là

90 cos A, cos B, cos C > 0.

99 )s A + cos 2 +cos

158 2 sin A sin B < 1 + cos C

159 o 2 sin A sin B sin(A + B) < (1 + cos C) sin(A + B)

160 o 2 sin A sin B sin C < (1 + cos C) sin(A + B)

161 2 sin A sin B sin C (1 + cos C) sin(A + B) sinAsinB(1 + cosC) sinAsinB(1 + cosC) 2sinC

sin(A+B)162 - -— < —; - ; —7

163 1 + cos C sin A sin B

164 Do đó

cosC

167 sin A sin B sin C 1 + cos C sin C

168 _ 1 /4sin2C + 2cos2C + 2cos C\

172 (xvi) Vì tam giác là tam giác nhọn nên A, B, C E (0, n/2) Hàm f (x) =

tanx là lồi trên (0,n/2), theo bất đẳng thức Jensen chúng ta có

173 tan A + tan B + tan C > 3 tan

174 Hơn nữa, chúng ta đưa ra định lý sẽ là cơ sở cho việc giới thiệu các phép thay thế lượng giác

175 Định lý 2.2 Đặt A,B,C G (0,n) Các góc A, B và C là các góc của một

tam giác khi và chỉ khi

(i)tan AA tan B 2 + tan B 2 tan C 2 + tan AA tan C 2 = 1

(ii)sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2 cos A cos B cos C.

(iii) tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C.

(iv) sin2A + sin2 B 2 + sin2 C 2 + 2 sin AA sin B 2 sin C 2 = 1

các góc của một tam giác bất kì Từ A + B

2

178 C tan — =

179 2

180 cot A cot B — 1 1 — tan A tan B

181 cot A + cot B tan A + tan B

186 tan — tan — + tan — tan — + tan — tan — = 1.2 2 2 2 2 2

187 Nếu A = B = C thì 3 tan2 A = 1, và từ tan A > 0, chúng ta thu được

tan A = -L, tức là A = B = C = 60o, từ A + B + C = n, suy ra A, B và C là các góccủa một tam giác

188 Không mất tính tổng quát, chúng ta giả sử rằng A = B, từ 0 < A +

B < 2n tồn tại C1E (—n, n) sao cho A + B + C1= n

và đây là điều phải chứng minh (ii)

Biến đổi vế trái ta được

2 <

— = n, vì vậy k = 0, tức là C = C1,2

1 — cos2A

1 — cos 2B

202 = 1 — cos(n — C) cos(A — B) + sin2C =

1 + cos C cos(A - B) + 1 - cos 2C = 2 + [cos(A

209 1 — tan A • tan B

210 o tan A + tan B = (1 — tan A • tan B) tan C tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C

211sin2 C 2 + 2 sin A • sin B • sin C 2

212 = cos2 A + B+ 2 sin A • sin B • cos A + B

213 = cos A + B(cos A + B+ 2 sin A • sin B)

214 = cos A+B (cos A+B + cos A=2 B — cos A+B)

215 = cos A+B • cos A=2 B = 2(cos A + cos B)

222 2 2 2 2 2 2

223 Trừ (2.7) và (2.8) , chúng ta thu được

224225

3.1 Chứng minh bất đẳng thức trong tam giác

3.1.1 Chứng minh bất đẳng thức trong tam giác nhọn

244 Trong phần này chúng ta sẽ xét các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhọn

Ví dụ 3.1 Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ta có

3 sin A + sin B + sin C > cos A + cos B + cos C.

251 Thật vậy,

252 2C

253 tan A • tan B > cot —

254 sin A • sin B 1 + cos C

255 cos A • cos B 1 — cos C

256 o sin A sin B — sin A sin B cos C > cos A cos B + cos A cos B cos

C o sin A sin B — cos A cos B > cos C(cos A cos B + sin A sin B) o cos C >

260 tan A + tan B> 2ựtan A tan B.

(3.8) theo từng vế suy ra

276

277 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A = B = C hay AABC là tam giác đều o

278 Ví dụ 3.2 Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ta có279

Vtan A + ựtan B + ựtan C > V'"' A+ V'"' B+

2

293 Cộng từng vế của (3.9), (3.10) và (3.11) ta được điều phải chứng minh

295

296 Nhận xét.

297 1 Nếu AABC là tam giác vuông thì kết quả vẫn đúng.

298 2 Nếu AABC là tam giác tù, chằng hạn A> khi đó

314 [cos AyB = 1

315 ta có

(3.11)A

o A = B Tương tự,

1 1 2

1 1 2cos C cos A sin B 2 Đẳng thức xảy ra khi C = A

317 Cộng vế theo vế 3 đẳng thức trên, ta được

319 cos A cos B cos C _ sin AA sin B 2 sin C 2

320 Suy ra điều phải chứng minh

322 o

323 Ví dụ 3.4 Chứng minh rằng, trong mọi tam giác ta luôn có

324 ựsin A + ựsin B + ựsin C < ỵ/ cos A + J cos B + J

325 Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai

dãy số Vsin A, ựsin B

332 Đây là điều phải chứng minh

333 Ví dụ 3.5 Cho AABC nhọn Chứng minh rằng

A • tan B • tan C cos A + cos B + cos C 3

ựsin C + Vsin A < 2

4/zz;

Vcos^;

sin A = sin Bcos A -B = 1

(3.13)(3.14)

ựsin B + Vsin C < 2Tương tự ta có

A=B.Đẳng thức trong (3.12) xảy ra khi và chỉ khi

(3.12)ựsin A + ựsin B < 2

suy ra

ABcos(Vsin A + ựsinB)2 < 2(sin A + sin B) = 4sin

C

cos—.

2

335 Giải Do vai trò bình đẳng giữa A, B, C nên giả sử 0 < C < B < A <

336 suy ra và

337

339 Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy ngược chiều (3.15),

(3.16) ta có

340 (cos A + cos B + cos C)(tan A + tan B + tan C)

> 3(cos A • tan A + cos B • tan B + cos C tan C)

341 o (cos A + cos B + cos C)(tan A + tan B + tan C)

343 tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C

344 nên từ (3.17) ta có

A • tan B • tan C cos A + cos B + cos C 3

346 Suy ra điều phải chứng minh

351 o

3.1.2 Chứng minh bất đẳng thức trong tam giác khác

352 Trong phần này ta xét các bất đẳng thức lượng giác trong các tamgiác đạc biệt như tam giác cân, tam giác vuông, tam giác vuông cân

353 Ví dụ 3.6 Cho tam giác ABC vuông tại A với các góc có số đo bằng

m giá

c vu

g tại

A nê

n sin

B

= co

s

C

và

B +

C

=

—2

2

370 suy ra điều phải chứng minh vì dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC là

371 tam giác vuông cân đỉnh A

2 Tương tự, do AABC vuông tại A nên B <

376 Do ABC là tam giác vuông tại A nên sin B = cos C và B + C

377 (3.20) ta có

378379

ừ (3.21) suy ra điều phải chứng minh vì dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC là

A

385 Nhận xét.

1 Ta thu được kết quả tổng quát sau

386 Cho ABC là tam giác vuông tại A với các góc có số đo bằng

392 Cho ABC là tam giác vuông tại A với các góc có số đo bằng

radian Với mọi số tự nhiên n > 2, ta có

394 -'- -1

395 B + C > n

n Từ2

cos6 BB

396 Ví dụ 3.7 Chứng minh rằng, trong mọi AABC ta có

397 la+ l b + l c < 2^ab + bc + ca,

398 2

399 (với l a ,l b ,l c là độ dài ba đường phân giác trong xuất phát từ ba đỉnh A, B,

412 ựbc cos — + y/ca cos — + Vãb cos — I222

413 < (bc + ca + ab) í cos2A + cos2 B+ cos2

(3.22) - (3.24) la+ l b + l c < |ựab + bc + ca Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đồng

thời đẳng thức trong (3.22) - (3.24) xảy ra khi và chỉ khi AABC đều. o

2B

(3.23)

(3.22)Tương tự

b + c > 2y/bc l a < Vbc • cos—.

420 Ví dụ 3.8 Chứng minh rằng, trong mọi AABC ta luôn

443 Từ đó suy ra điều phải chứng minh

444 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đồng thời đẳng thức trong (3.25)

-445 (3.27) xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay AABC đều.

1

h a + h

b

447 Ví dụ 3.9 Chứng minh rằng với mọi AABC ta có

448-sin A + sin B + sin C tan A tan B tan C - - -4 , > <

449 Giải Không mất tính quát giả sử A > B > C Suy ra

450 tan A > tan B > tan C,

451 cos A < cos B < cos C

457 tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C

458 Từ đó, ta suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

459 AABC đều

AABC ta có 3 sin 2A + sin 2B + sin 2C

462 2 cos A + cos B + cos C

463 Giải Không mất tính tổng quát giả sử a < b < c Khi đó

464 sin A < sin B < sin C, cos A > cos B > cos C

465 Khi đó theo Bất đẳng thức Chebyshev thì

466 sin A + sin B + sin C cos A + cos B + cos C

468 > sin A cos A + sin B cos B + sin C cos C

469 Từ đó suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ AABC đều

470 Ví dụ 3.11 Cho A ABC bất kì Chứng minh rằng

471 1 + 2 cos A + 4 cos A cos B + 1 + 2 cos B + 4 cos B cos C +

473 Giải Theo AM-GM ta có vế trái được viết lại thành

474 [3+ 2(cosA + cosB + cosC)

475 + 4(cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A)] > 9 (3.28)

480 cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A

482 < 3 < 4

483 Suy ra

484 3 + 2(cosA + cosB + cosC)

485 + 4(cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A) < 9 (3.29)

+ 1 + 2 cos C + 4 cos C cos A

1

khi3

3 sin 2A + sin 2B + sin 2C o

2(sin A + sin B + sin C) > „ A , -A-

2 cos A + cos B + cos C

486 Từ (3.28), (3.29) suy ra T > 1 Vậy ta có điều phải chứng minh A

487 Ví dụ 3.12 Cho AABC bất kĩ Chứng minh rằng

489 \ cot A + cot B + cot C ) ~tuần hoàn của các hàm số y = sin

< cos x < 1, sin2x + cos2x = 1, Vx E R

số 3.2 Chứng minh bất đẳng thức đại

Suy ra (3.30) đúng Đây là điều phải chứng minh

n ni

x = |a| sin t, t E

x=costy=sint

510 Dạng 2 Cho a, É và Y là các góc của một tam giác tùy ý.

513 222

514 Khi đó A + B + C = n Hơn nữa 0 < A, B, C < n/2, tức là sự thay thế này

cho phép chúng ta chuyển các góc của một tam giác tùy ý sang các góc củamột tam giác nhọn Điều này đạc biệt quan trọng khi chúng ta sử dụng bấtđẳng thức Jensen, vì bất đẳng thức Jensen không thể được sử dụng cho hàmcos x trên khoảng (0,n), chỉ trên khoảng (0,n/2) Từ đó chúng ta có

515

517 Dạng 3 Đạt x, y và z là các số thực dương Khi đó tồn tại tam giác với

chiều dài cạnh

518 a = x + y, b = y + z, c = z + x

519 Khi đó (x, y, z) = (s -b, s-c, s-a), trong đó s =

520 Dạng 4 Cho a, b, c là các số thực dương sao cho ab + bc

+ ca = 1 từ tanx G (0, TO) cho x G (0,n/2), và do Định lý 2.2, chúng ta có thể sử

521 dụng các thay thế

522 , x É X Y b = tan —,c = tan4 22

523 trong đó a, É và Y là các góc của một tam giác, tức là a, É, Y £ (0, n) và a + É + Y = n.

524 Dạng 5 Cho a, b, c là các số thực dương sao cho ab + bc + ca = 1 Sau

đó, theo Dạng 4 và Dạng 2, chúng ta sử dụng các thay thế sau

asin — = cos A,2