Một số bất đẳng thức hình học trong tam giác thiết lập từ hàm lồi

NGUYỄN TRƯỜNG HUYNHMỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC THIẾT LẬP TỪ HÀM LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN... 1.52

NGUYỄN TRƯỜNG HUYNH

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC

THIẾT LẬP TỪ HÀM LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2020

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN TRƯỜNG HUYNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đề tài MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Mục lục

Danh mục chữ viết tắt và ký hiệu 3

1 Bất đẳng thức hình học trong tam giác được thiết lập từ bất đẳng thức Jensen và bất đẳng thức liên quan 6

1.1

1.2

3

1.3 2.4.1 Cạnh và góc trong tam giác 482.4.2 Chiều cao và bán kính đường tròn bàng tiếp của tam giác 52

2.4.3 Cạnh, bán kính đường tròn bàng tiếp và trung tuyến của tam giác 54

1.4 Kết luận 56

1.5 Danh mục chữ viết tắt và ký hiệu

1.18 r a ; r b ; r c 1.19 Bán kính đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C

1.20 A 1.21 Diện tích của tam giác ABC

1.49Lời nói đầu

1.50 Bất đẳng thức là một trong những nội dung khó trong chương trình toán trung học phổthông, thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế Đặc biệt, việc đưa ra hay chứng

minh các bất đẳng thức hình học trong tam giác, là các bất đẳng thức liên hệ giữa các đại lượng trongtam giác như: cạnh, góc, diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, , thường không dễ dàng.Các vấn đề đó đã thu hút rất nhiều người học, làm và nghiên cứu về toán từ những năm trước Chođến hiện tại thì đây vẫn là một đề tài đa dạng, và nhận được sự quan tâm của rất nhiều người.

1.51 Chúng ta biết rằng, bất đẳng thức liên quan đến các đối tượng áp dụng, các quy luật ápdụng và liên hệ đa chiều với các chuyên ngành Toán khác nhau Do đó, một vấn đề quan trọng đượcđặt ra trong lĩnh vực này, là nghiên cứu nguồn gốc, bản chất của các bất đẳng thức hình học trong tamgiác để có góc nhìn tổng quan hơn

1.52 Hàm lồi, Schur- lồi (tương ứng, lõm; Schur- lõm) là một trong những lớp hàm có nhiều ứng dụngquan trọng trong chương trình toán trung học phổ thông, đặc biệt là các ứng dụng trong việc đề xuấthay chứng minh bất đẳng thức

1.53 Trong luận văn, chúng tôi nghiên cứu một số bất đẳng thức hình học trong tam giác đượcthiết lập từ các hàm lồi (tương ứng, lõm), đặc biệt là bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức liên quan vàcác áp dụng hàm lồi, hàm Schur-lồi (tương ứng, Schur-lõm) vào các quan hệ trội của các đại lượnghình học trong tam giác Trên cơ sở đó, chúng tôi đề xuất một số bất đẳng thức mới liên quan đến cácđại lượng trong tam giác dựa trên một số hàm lồi (lõm) đặc biệt

1.54 Ngoài mục lục, danh mục các ký hiệu, phần mở đầu và phần kết luận, nội dung của luậnvăn được chúng tôi trình bày trong 2 chương:

1.55 Chương 1 Bất đẳng thức hình học trong tam giác được thiết lập từ bất đẳng thức Jensen và các bất đẳng thức liên quan.

1.56 Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị về các bất đẳng thức,các tính chất và áp dụng Một số bất đẳng thức liên hệ giữa các đại lượng hình học trong tam giác bởicác hàm lồi (tương ứng, lõm) tổng quát, dưới dạng mệnh đề Xen vào đó, là một số kết quả đặc biệt,dưới dạng hệ quả

1.57 Chương 2 Quan hệ trội và một số bất đẳng thức trong tam giác được thiết lập từ các quan hệ trội.

1.58 Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức về bộ trội, các định nghĩa về cáchàm lồi, các quan hệ trội giữa các đại lượng hình học trong tam giác và các kết quả đạt được khi được

áp dụng các hàm lồi cụ thể cũng dưới dạng mệnh đề, hệ quả

1.59 Đề tài này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học và tận tình của PGS TS Lê

Công Trình Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy đã nhận lời hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thànhluận văn này.

1.60 Nhân đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu Trường Đại học QuyNhơn, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán và Thống kê cùng quý Thầy Cô giáo giảng dạy lớp caohọc Toán chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp khóa 21, đã tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiệntốt nhất cho tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu thực hiện đề tài Đồng thời, tôi cũng không quêncảm ơn đến các bạn cùng lớp, người thân đã động viên, đóng góp ý kiến và giúp đỡ tôi trong thời gianqua

1.61 Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức của bản thân, nhưng dođiều kiện về thời gian học tập, công tác có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệm nghiên cứu còn hạnchế nên chắc chắn luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những góp

ý thẳng thắn, xây dựng của quý thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn được hoàn thiện hơn

1.62 Quy Nhơn, tháng 05 năm 2020

Họ c viên

1.63 Nguyễn Trường Huynh

1.64Chương 1

1.65Bất đẳng thức hình học trong tam giác được thiết lập từ bất đẳng thức Jensen và bất đẳng thức liên quan

1.66 Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị như hàm lồi (tươngứng, lõm) và các tính chất có liên quan, bất đẳng thức Jensen, một số bất đẳng thức sinh ra từ bất đẳngthức Jensen, cùng với một số áp dụng của bất đẳng thức Jensen để đưa ra một số bất đẳng thức liên hệgiữa các đại lượng hình học trong tam giác

1.67 Trong toàn bộ luận văn này, chúng tôi kí hiệu I thay cho I(a; b và BĐT thay cho Bất đẳng thức

Và cuối chương, chúng tôi trình bày hệ thống một số các bất đẳng thức hình học trong tam giác dựa vào các hàm lồi đặc biệt Nội dung chủ yếu được lấy ra từ tài liệu tham khảo [2] và [4] trong luận văn này

1.68 Định nghĩa 1.1.1 Hàm số f(x) được gọi là hàm lồi (lồi dưới) trên I c R nếu với mọi x,y e I và với

mọi cặp số dương a, 3 thoả mãn a + 3 = 1, ta đều có

1.70 Nếu dấu ” = ” trên xảy ra khi và chỉ khi X = y, thì ta nói hàm số f (x) là lồi thực sự

1.71 (chặt) trong I c R

1.72 Hàm số f (X được gọi là hàm lõm (lồi trên) trên I < R nếu với mọi x,y e I và với mọi cặp số dương a, 3 thoả mãn a + 3 = 1, ta đều có

1.73 f(ax + 3 i y)^ afX + fifty).

1.74 Nếu dấu ” = ” trên xảy ra khi và chỉ khi X = y, thì ta nói hàm số f (X là lõm thực sự

1.82 Định lý 1.1.1 (Tiêu chuẩn hàm lồi) Nếu ftx khả vi bậc hai trên I thì

ftx lồi (lõm) trên I khi và chỉ khi f'fix) 0 tf ,r tx) 0 trên I.

1.87 Với mọi hàm lồi chặt, đẳng thức chỉ xảy ra khi và chỉ khi : X 1 = x 2 = = x n

1.88 Chú ý 1.2.1 Khi hàm f là hàm lõm trên tập mở I thì ta có BĐT ngược lại với

1.89 BĐT (1.2.1) Và với mọi hàm lõm chặt thì dấu ” = ” trên xảy ra khi và chỉ khi

1.90 Xi = X 2 = ^X n

(1.2.1)

1.91 Định lý 1.2.2 (BĐT Jensen tổng quát) Cho f là hàm liên tục và lồi trên I.

1.92 Nếu x i , x 2 , , x n e I và t i , t 2 , ,t n e (0; 1) sao cho ti + t2 + + t n = 1, ta có

1.94 Với mọi hàm lồi chặt, đẳng thức chỉ xảy ra khi và chỉ khi: x i = x 2 = = x n

1.95 Chú ý 1.2.2 Khi hàm f là hàm lõm liên tục trên tập mở I thì ta có BĐT ngược lại với BĐT

(1.2.2) Và với mọi hàm lõm chặt thì dấu ” = ” trên xảy ra khi và chỉ khi

1.101 Nếu hàm f là hàm lõm trên tập mở I thì ta có BĐT ngược lại.

1.102 Hệ quả 1.2.2 Cho f là hàm liên tục và lồi trên I Khi đó với mọi x i thuộc I, với mọi1.103 r i thuộc R , i = 1, ,n, ta có

1.104 f^ i x i + r 2 x 2 + + r n x n ^ + ^2x 1 + r 3 x 2 + + r i x^ +

1.105 ri + r 2 + + r n

1.106 Nếu hàm f là hàm lõm trên tập mở I thì ta có BĐT ngược lại.

1.107 Hai định lý sau được đưa ra dựa vào BĐT Jensen

1.108 Định lý 1.2.3 (M Petrovic) [4] Cho f : [0; +oo) R là một hàm lồi và a,b,c là

1.109 các cạnh của một tam giác Khi đó ta có

1.110 2s X

1.112 Chú ý 1.2.3 Nếu hàm f là hàm lõm thì ta có BĐT ngược lại với BĐT (1.2.3)

1.113 Định lý 1.2.4 Cho f : [0; +oo) R là một hàm lồi và a, b, c là các cạnh của một tam giác

1.115 , n _ a + b + c ,

1.116 -trong đó s = —— ,x = s — a,y = 8 — b,z = s — c.

1.117 Chứng minh Áp dụng BĐT Jensen với

1.123 Vậy vế trái được chứng minh

1.124 Tương tự, áp dụng BĐT Jensen, với các điều kiện ban đầu cho ba biến x, y, z và các số p,

1.137 Cộng các kết quả thu được, ta có

1.138 f(p + q + r} + 2f (0.

1.1391.140Hay

1.141 Bây giờ, chúng ta sử dụng giả thiết đã cho với x = s — a, y = s — b, z = s — c, nên ta có vế phải

được chứng minh Vậy định lý đã được chứng minh

1.142 Ta xét một số ví dụ khi áp dụng hai BĐT trên vào một tam giác với giả sử rằng:

1.143 — a> 0, y = s — b > 0, z = s — c> 0.

| f (s-a) + 1 f (s - b ) +

+ jppzq- f (0 p + q + r

fx + f (y) + K z ) < f(x + y + z) + 2f (0.

1.144 Ví dụ 1.2.1 Cho tam giác ABC Khi đó ta có BĐT sau1.145 1.150 2s

1.166 Nên áp dụng Định lý 1.2.3, ta được

1.167 15T

1.168 Ví dụ 1.2.3 Cho tam giác ABC Khi đó ta có BĐT sau

1.1691.170

1.171 (a + b + c)

1.172 Khi đó ta có

1.173 -f"(y) = 2 -2 > 0.

1.174 (a + b + è) 1.175 Nên f (x) là hàm lồi, và ta có

1.181 Nên áp dụng Định lý 1.2.3, ta được điều cần chứng minh

1.182 Ví dụ 1.2.4 Cho tam giác ABC Khi đó ta có

1.3 Một số bất đẳng thức hình học trong tam giác được thiết lập từ đồng nhất thức

1.192 Cho $, $1, $2, •••, $ n là các hàm thực xác định trên U (Z Rm , và hàm lồi F : [a; b] R với

1.200 Nếu F là hàm lõm, ta có BĐT ngược lại.

1.201 Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp hàm F lồi, trường hợp còn lại chứng minh tương tự Thật vậy, áp dụng BĐT Jensen cho hàm lồi F ta có

1.202

1.203 Vậy ta có điều phải chứng minh

1.204 Chú ý 1.3.1 Nếu F là lồi với x 0 và nếu F(0) = 0 thì do Định lý

1.223 Áp dụng BĐT (1.3.3) ta có điều phải chứng minh.

1.224 Một số kết quả suy ra từ Mệnh đề 1.3.1, được chỉ ra sau đây

1.225 Hệ quả 1.3.1.1.226

1.227 Đẳng thức xảy ra nếu tam giác là đều

1.228 — Khi đó F(x) lồi Áp dụng Mệnh đề 1.3.1 cho hàm lồi F, x ta

có điều phải chứng minh

1.236 Kí)” _ a n + (s - b n + (s - c n s n (nĩz 2)

1.237 Đẳng thức xảy ra nếu tam giác là đều

1.238 Chứng minh Xét FX = x n , (n 2,ne R Khi đó

1.239 F"(X = n(n — 1)x n 20,x > 0.

1.240 Nên F(x là hàm lồi Áp dụng Mệnh đề 1.3.1 cho hàm lồi F, ta được điều phải chứng

□

1.242 Nhằm tránh việc lặp lại không cần thiết, chúng ta giả thiết rằng trong mỗi mệnh đề sau

đây, nếu F G C x - nón lồi (tương ứng, F G C v- nón lõm) thì BĐT ở vế phải (tương ứng, vế trái) có thêm

Đẳng thức xảy ra nếu tam giác là đều

(1.3.8)(1.3.7)

Hệ quả 1.3.3.

1.248 Hệ quả 1.3.5.

1.249 Đẳng thức xảy ra nếu tam giác là đều

1.250 Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 1.3.2 cho hàm lõm F(X = yX, ta có điều phải chứng

1.269 Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 1.3.3 cho hàm lồi F(x)

1.289 Mệnh đề 1.3.5 Với mọi tam giác ABC Nếu F(X là hàm lồi với x 0 và F(0) = 0 thì

1.2901.291

1.304 Mệnh đề 1.3.6 Với mọi tam giác ABC Nếu F(X là hàm lồi thì1.305

1.306 Nếu FX là hàm lõm thì ta có BĐT ngược lại Mặt khác, vế phải chỉ tồn tại khi x X 0 và F(0)

1) + + ")]

1.24 k=1 n

1.25 Mệnh đề 1.4.1 Cho tam giác ABC, với mọi hàm FeD,x> 0 thì

1.2631.27

A 3

F

4)

.

1.281.4.3)

đều.

2.3, ta có

1.31 sin2A + sin2B + sin2C <

1.361 sin A + Vsin B + Vsin C < 3.1.362

log(sin2Asin2Bsin2C) (|)3.

1.61 Vậy ta có điều phải chứng minh

1.62 Mệnh đề 1.4.2 Cho tam giác ABC, với mọi hàm F( X ) lồi không giảm và X > 0 thì

A/31.64 (tan A) s

3F(.

1.651.4.4)

25

Vã.

1.401 Hệ quả 1.4.3.

1.40241.403 tan4^ + tan4— + tan4— >

1.4201.421Tương tự khi xét một số hàm số F(y), ta thu được kết quả sau

1.435 Nhận xét 1.4.1 Với mọi hàm F G A, và ab + bc + ca 4AV3 + -Q [2]

1.436 BĐT "chặt hơn" sau đây

1.460 Tương tự Mệnh đề 1.4.1, ta có mệnh đề sau đây.

1.461 Mệnh đề 1.4.7 Cho tam giác ABC, với mọi hàm F e B,x> 0 Khi đó ta có

1.465 Hệ quả 1.4.10 Với mọi 1, ta có

1.466 (sin2A + -7^y + (sin2B + - 1 -Ỵ + (sin2C + —3 f l5^

1.467

1.470 Nên FX lồi không tăng trên (0; 1) Mặt khác, Theo [2] Mục 2.3, ta có

1.471 9 sin2A + sin2B + sin2C <

1.472 41.473 Xét

1.475 #1 = sin2A, #2= sin2B, #3 = sin2C, $ = A

1.476 Nên áp dụng Mệnh đề 1.4.7 với F e B, X > 0 ta được điều cần chứng minh.

1.477 Do vậy, với mỗi giá trị của a, ta có thể hình thành một số BĐT khác.

1.486 Trong chương này chúng tôi trình bày các loại quan hệ trội, hàm S-lồi, tựa lồi, trên

cơ sở đó trình bày các BĐT hình học trong tam giác sinh ra từ các quan hệ trội và hàm S-lồi Nộidung chủ yếu trong chương này được tổng hợp và trình bày lại từ các tài liệu [4],[7],[10],[11],[13],

1.491 bởi x, kí hiệu: x> w y hay y <wx.

1.494 Nếu FX > Fy với bất kỳ X > y mà y không phải là một hoán vị của X, thì F được gọi là lồi

1.498 Hiển nhiên, F là S-lõm khi và chỉ khi — F là S-lồi.

1.499 Định nghĩa 2.1.3 Một hàm F : I n R được gọi là tựa lồi nếu với mọi A e [0; 1], với mọi X,y e

1.506 Định lý 2.1.2 Nếu F đối xứng và lồi thì F là S- lồi.

1.507 Định lý 2.1.3 Một hàm nhận giá trị thực F xác định trên tập A ' R n thoả mãn

1.508 X<w y => FX < F(y)

1.509 nếu và chỉ nếu F tăng và S- lồi trên A.

1.510 Định lý 2.1.4 Nếu I CL R là một khoảng và g : I R là hàm lồi, thì

1.511 n

1.512 FX = Ỵjg(X)

1.513 i= 1 1.514 là S- lồi trên I n

1.515 Định lý 2.1.5 Nếu F đối xứng và tựa lồi thì F là S- lồi.

1.516 Chú ý rằng các định lý trên chỉ ra cách để tạo ra được các hàm S- lồi từ các hàm lồi

và hàm tựa lồi

1.517 Định nghĩa 2.1.4 Cho x = (xi ,x2, ,x n ) Hàm T k (x} được gọi là hàm đối xứng sơ cấp cơ bản thứ k của x nếu có dạng

1.518

1.520 Mệnh đề 2.1.1 Hàm T k ( x) là hàm tăng và S- lõm trên R n , (trong đó R = [0, +oo)).

1.521 Nếu k > 1 thì hàm T k (x là hàm S- lõm chặt trên RỊ + , (trong đó (R++ = (0, +oo)).

1.522 Mệnh đề 2.1.2

Hàm x

-1.523 k> 1) trong R n

1.524 > F(x) = (T k ( x() k là lõm và tăng (thực ra là lõm chặt nếu

1.525 Vì vậy, F là S-lõm (thực ra là S- lõm chặt nếu k > 1) và tăng, k = 1, ,n, với xe R1.526 n

1.527 Định lý 2.1.6 Nếu 1 < p k n thì là một hàm lõm với xe R n Nên F k ,p( x) là hàm S-lõm trên xe

1.536 Khi đó, với mọi hàm số FX lồi, tức là F"X 0 trên R, ta đều có

1.540 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x i = y i , i = 1,2, , n.

2.2 Quan hệ trội giữa độ dài các cạnh và một số bất đẳng thức liên quan

1.541 Trong phần này, ký hiệu x = s — a, y = s — b, z = s — c.

2.2.1 Trong tam giác bất kỳ

1.542 Định lý 2.2.1 Nếu ABC là tam giác bất kỳ thì ta luôn có

1.551 2s 1.552 Và a < b + c nên 2a < a + b + c y- a < s Do đó ta có — < a < s.

1.553 4s 31.554 Lập luận tương tự cho a + b ta cũng có được a + b < 2s ó

1.555 Vậy Công thức (2.2.1) đã được chứng minh

1.556 Từ đó, theo định nghĩa của hàm S- lồi (S- lồi chặt), ta nhận được kết quả sau

1.557 Hệ quả 2.2.1 Cho tam giác ABC Nếu F là hàm S- lồi liên tục (lồi chặt) thì1.558

1.565 nên FX lồi chặt Hơn nữa, ta lại có

1.585 2 Áp dụng Định lý 2.1.8 với hàm lồi F(X = x 2 và bộ trội (2.2.2) , ta vẫn có được

<=> -—

Nên ta có được điều phải chứng minh

Mệnh đề 2.2.3 Cho tam giác ABC, với 0 tuỳ ý Ta có

ên áp dụng BĐT (2.1.1) vào bộ trội (2.2.1), ta có điều cần chứng minh □

1.81 Mệnh đề 2.2.5 Với mọi tam giác ABC, ta

1.90 Nên áp dụng BĐT (2.1.1) vào bộ trội (2.2.1), ta được điều phải chứng

1.96 Chứng minh Xét FX = log(2s — x với 0 < X < 2s, ta

1.6141.6151.6161.6171.6181.6191.6201.6211.6221.6231.6241.6251.6261.6271.6281.6291.6301.6311.6321.6331.6341.635

1.637 Mệnh đề 2.2.7 Với mọi tam giác, ta có

1.638 8abc (a + b)(b + c)(c + a).

1.639 Dấu 1 =' xảy ra khi và chỉ khi tam giác là đều.

1.640 Chứng minh Xét F(x) = logx với 0 < x, ta có F(x) là S- lõm và

1.641 .2$ .2$.

1.642 F(a) = ỉog( a,F( f) = Io<=$).

n áp dụng BĐT (2.1.1) vào bộ trội (2.2.3), ta được điều cần chứng minh □

1.644 Nhận xét 2.2.2 Áp dụng hàm F(^^ = log(x) vào vế trái trong bộ trội (2.2.4), ta có được

1.653 Do đó, ta áp dụng vào vế trái trong bộ trội (2.2.4), ta được điều cần chứng minh □

1.654 Mệnh đề 2.2.9 Cho tam giác ABC, ta luôn có

1.655 ?2xyz(xy + yz + zx) abc(ab + bc + ca).

1.656 Chứng minh Xét x = (a; b; c), ta có T3(x = abc, T 2 (x) = ab + bc + ca là các hàm S-lõm với