Các tập w mở và ws mở trong các không gian tôpô tổng quát

Năm 2002, Csaszar [11]định nghĩa không gian tôpô tổng quát như sau: cặp X, là một không gian tôpô tổngquát nếu X là tập khác rỗng và là tập các tập con của X sao cho 0 e và hợp bất kỳ cá

TẠ LÊ LAN HƯƠNG

CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ TổNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Bình Định - 2020

TẠ LÊ LAN HƯƠNG

CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ TổNG QUÁT

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: TS NGUYEN VĂN ĐẠI

Mục lục

3

SO(X, T)

S^O(X, T)

A hay intA

: Họ tất cả các tập nửa mở trong không gian (X, T)

: Họ tất cả các tập nửa w-mở của không gian tôpô (X, T)

: Phần trong của tập A

T a

(rcoc)x

: Tôpô trong X a

: Tôpô đối đếm được trên X

: w-bao đóng của A trong (X, T)intw( A)

Extư( A)

k>s(X, T)

Au S

: í^-phần trong của A trong (X, T) : í^-phần ngoài của A

trong (X, T) : Họ mọi tập ws-mở của (X, T)

: -bao đóng của A trong (X, T)

4

MỞ ĐẦU

Các không gian tôpô là những cấu trúc cho phép người ta hình thức hóa các kháiniệm như là hội tụ, tính liên thông và tính liên tục Chúng xuất hiện hầu như trongtất cả mọi ngành của toán học hiện đại và là một khái niệm thống nhất có tính trọngtâm

Cho (X, r) là một không gian tôpô và A.V Engelking, trong [21], đã định nghĩamột điểm xe X được gọi là một điểm tụ của A nếu với mọi U e T sao cho xe U, tập U A

là không đếm được Năm 1982, Hdeib [22] đã định nghĩa các tập í^-đóng và w-mỗnhư sau: A được gọi là tập í^-đóng nếu nó chứa tất cả các điểm tụ của nó Phần bùcủa tập í^-đóng được gọi là tập w-mồ Họ tất cả các tập con w-mỗ của X là một tôpôtrên X, và ký hiệu là Tw Có rất nhiều khái niệm và kết quả liên quan đến các tập í^-đóng và w-mở được nghiên cứu trong thời gian gần đây Năm 2002, Csaszar [11]định nghĩa không gian tôpô tổng quát như sau: cặp (X, là một không gian tôpô tổngquát nếu X là tập khác rỗng và là tập các tập con của X sao cho 0 e và hợp bất kỳ cáctập con của thuộc các phần tử của được gọi là các tập ^-mỗ, phần bù các tập ^-mỗđược gọi là các tập ^-đóng, hợp tất cả các phần tử của được ký hiệu là MM và khônggian tôpô (X, được gọi là mạnh nếu MM = X Gần đây, năm 2016, Samer và Wafa [34]

đã đưa ra khái niệm các tập w-mỗ trong không gian tôpô tổng quát như sau: Cho (X,

là một không gian tôpô tổng quát và B (,v Một điểm xe X được gọi là điểm tụ của B

nếu với mọi A e /I sao cho xe A, tập A n B là không đếm được Tập tất cả các điểm tụcủa B ký hiệu là Cond(B) Tập B là í^-^-đóng nếu Cond(B) c B Tập B là w-^-mở nếu

X\B là tập í^-^-đóng Họ tất cả các tập w-^-mở của (X, ự) ký hiệu là /C' Họ đã sửdụng khái niệm này để đưa ra các lớp mới các ánh xạ trong các không gian tôpô tổngquát, đồng thời cũng trình bày nhiều đặc trưng, tính chất và các ví dụ liên quan đếnkhái niệm mới

Một khái niệm khác có liên quan chặt chẽ với các tập mở đó là các tập nửa mở.

Khái niệm này đã được Levine [28] đưa ra lần đầu tiên vào năm 1963 như sau: Tậphợp A là nửa mở nếu tồn tại tập mở U sao cho U c A c U, hoặc nói một cách tương

5

đương là A C int(A). Ta ký hiệu SO(X, T ) là họ tất cả các tập nửa mở trong không giantôpô (X, T ). Bằng cách sử dụng các tập nửa mở, ông cũng đã tổng quát tính liên tụcbởi tính nửa liên tục như sau: Hàm f : (X, T1) —> (Y, T2) giữa hai không gian tôpôđược gọi là nửa liên tục nếu với mọi Ve T 2 , f~ \V) e SO(X, Năm 2002, Al-Zoubi và Al-Nashef [4], đã sử dụng các tập w-mỗ để định nghĩa các tập nửa w-mỗ như sau: Tập A

là nửa w-mỗ nếu tồn tại tập w-mỗ U sao cho U c A c U Họ tất cả các tập nửa w-mỗcủa không gian tôpô (X, T ) được ký hiệu là SwO(X, r). Al-Zoubi, trong [5], đã sử dụngkhái niệm tập nửa w-mở để giới thiệu hàm nửa w-liên tục như sau: Hàm f : (X, T0 —

> (Y, T 2) giữa hai không gian tôpô gọi là nửa í^-liên tục nếu với mọi Ve T 2 , f~ V) e

được Samer và Kafa [33] đề xuất nghiên cứu như sau: Tập A là ws-mở nếu tồn tạimột tập mở U sao cho U c A C U. Các tác giả đã xem xét lớp các tập này và sử dụng

nó để nghiên cứu mối liên hệ chặt chẽ giữa tính liên tục và nửa liên tục của một lớpmới các hàm

Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu các đặc trưng của các tập w-mỗ và ws

-mở trong các không gian tôpô tổng quát

Luận văn sẽ tập trung giải quyết các bài toán sau:

1 Nghiên cứu các đặc trưng của các tập w-mỗ trong không gian tôpô tổng quát,

từ đó nghiên cứu các đặc trưng của các khái niệm Lindelof, compact, compactđếm được, liên tục, trong không gian tôpô tổng quát

2 Nghiên cứu vấn đề tương tự như trên đối với các tập ws-mở

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Luận văn được chia thành 3chương

• Trong chương 1 chúng tôi tóm tắt sơ lược một số kiến thức cơ bản về khônggian tôpô tổng quát

• ở chương 2 chúng tôi trình bày khái niệm các tập w-mở trong các không giantôpô tổng quát và sử dụng chúng để tìm hiểu các đặc trưng Lindelof, compact,liên tục trong các không gian tôpô tổng quát

• Chương 3 dành cho việc trình bày khái niệm các tập ws-mở trong các khônggian tôpô tổng quát và sử dụng các khái niệm đó để tìm hiểu lớp các tập, cũngnhư mối liên hệ chặt chẽ giữa tính liên tục và nửa liên tục của các lớp hàmmới

6

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy TS NguyễnVăn Đại, Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp này tôi xinbày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp đỡ tôi trong suốt quátrình học tập và thực hiện luận văn.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn,Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán, cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớp caohọc Toán giải tích khóa 21 đã dày công giảng dạy trong suốt khóa học, tạo điều kiệnthuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài

Nhân đây tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ về mặt tinh thần của gia đình,bạn bè đã luôn tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành tốt khóa học và luận vănnày

Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức của bản thân,nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệm nghiên cứucòn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận đượcnhững góp ý của quý thầy cô giáo để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

7

Giả sử trên X đã cho một tôpô T Khi đó cặp (X, T ) được gọi là một không gian

tôpô xác định trên tập nền X Các phần tử của T được gọi là tập mở và các phần tử xe

X được gọi là các điểm của không gian tôpô (X, r). Nếu không sợ nhầm lẫn, ta thường

ký hiệu vắn tắt không gian tôpô (X, T ) là X Tôpô này được gọi là tôpô thô

1.1.2Ví dụ

1) Cho X là một tập hợp khác rỗng tùy ý Lấy T = {X,0} Khi đó 3 tiên đề củatôpô được thỏa mãn một cách hiển nhiên Tôpô này được gọi là tôpô thô.3) Cho X là một tập tùy ý T = P (X là tập hợp tất cả các tập con của X Lúc đó T

cũng là một tôpô trên X Tôpô này được gọi là tôpô rời rạc

1) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric Gọi T là họ tất cả các tập mở trên X

Lúc đó (X, T) là một không gian tôpô Đặc biệt trên R, tôpô xác định bởi

mêtric d(x,y) = |x — y gọi là tôpô thông thường.

Để ý rằng trên cùng một tập hợp X cho trước, ta có thể cho nhiều tôpô khácnhau Khi đó ta nhận được các không gian tôpô khác nhau (có chung một tậpnền X) Nếu T1và T2là hai tôpô như vậy, khi đó ta có hai không gian tôpô (X, T1)

và (X, T2 ).

Bây giờ T1và T2là hai tôpô trên X thỏa mãn điều kiện Ti cz T2, thì ta gọi T1yếuhơn T2hay T2mạnh hơn T1và ký hiệu T1 < T2 Hiển nhiên tôpô thô là tôpô yếunhất và tôpô rời rạc là tôpô mạnh nhất trong tất cả các tôpô cùng xác định trêntập X

Cũng có thể xảy ra trường hợp hai tôpô T1và T2không so sánh được với nhau,chẳng hạn T1không chứa trong T2hoặc ngược lại, T2không chứa trong T1

1.1.3 Lân cận

Định nghĩa 1.1.1 Cho (X, T) là một không gian tôpô và xo e X Tập A cz X được gọi là

một lân cận của xonếu tồn tại tập mở U e T sao cho xoe U c A Hiển nhiên nếu Uer thì

U là lân cận của mọi điểm của nó Tuy nhiên một lân cận của xochưa chắc là một tậpmở

Nếu A là một lân cận của xothì xođược gọi là một điểm trong của A Nói cáchkhác, xolà điểm trong của A cz X khi và chỉ khi tồn tại U G T sao cho xo e U (A

Định lí 1.1.1 Tập A c X là mở (tức là A G T) khi và chỉ khi nó là lân cận của mọi

1.1.5 Phần trong và bao đóng của một tập hợp

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X là một không gian tôpô và A <.\' Lúc đó có ít nhất một tập

mở chứa trong A chẳng hạn tập rỗng Hợp tất cả các tập mở chứa trong A được gọi làphần trong của tập A, ký hiệu là A hay intA. Ta có

Định nghĩa 1.1.4 Cho A cz X Luôn luôn có ít nhất một tập đóng chứa A, chẳng hạn

X Giao tất cả các tập đóng chứa A được gọi là bao đóng của A, ký hiệu A Hiểnnhiên A là tập đóng bé nhất chứa A

Từ định nghĩa ta có ngay kết quả: A là tập đóng khi và chỉ khi A = A.

Định nghĩa 1.1.5 Cho A là một tập con của không gian tôpô X Một điểm x e X được

gọi là điểm dính của tập A nếu với mọi lân cận V của x ta đều có VnA/0

Nếu với mọi lân cận V của x ta đều có V n (A\{x}) / 0 thì x được gọi là một điểm

tụ của tập A Hiển nhiên mọi điểm tụ của A đều là điểm dính của A nhưng điều ngượclại không đúng

Định lí 1.1.5 Bao đóng của tập hợp A là tập hợp tất cả các điểm dính của A.

1) Nếu A trù mật trong B, B trù mật trong C thì A trù mật trong C;

2) Tập A trù mật trong B khi và chỉ khi với mọi x e B và mọi lân cận V của x ta có

V n A / 0

Định nghĩa 1.1.7 Không gian tôpô X được gọi là khả li (hay tách được) nếu trong X

tồn tại một tập con A hữu hạn hay đếm được và A trù mật khắp nơi

1.1.8 Cơ sở của tôpô

Thông thường để cho một tôpô trên X ta phải chỉ rõ tất cả các tập mở (tức là cáctập hợp thuộc T) Tuy nhiên trong nhiều trường hợp ta chỉ cần tìm một tập con của T

2) Tôpô thông thường trên R nhận họ các khoảng mở (a, b làm một cơ sở của nó

Định lí 1.1.6 Họ Ba T là một cơ sở của không gian tôpô (X, r) khi và chỉ khi với mọi

xe X và với mọi lân cận V của x đều tồn tại B e B sao cho xe Ba V.

Định lí 1.1.7 Cho B = {U a : ael}c P(.Y) thỏa mãn hai điều kiện:

a) Với mọi U, Ve B và với mọi xa U aV, tồn tại W e B sao cho x e W a UaV;

b) Với mọi xe X tồn tại U e B sao cho xe U.

Khi đó tồn tại một tôpô trên X sao cho B là một cơ sở của T.

1.1.9 Cơ sở lân cận

Định nghĩa 1.1.9 Một họ V những lân cận của điểm x e X được gọi là một cơ sở lân

cận của x e X nếu với mọi lân cận U của x đều tồn tại một lân cận Ve V sao cho xe V a

U.

Theo định nghĩa, với mỗi xe X luôn luôn tồn tại cơ sở lân cận của nó (chẳng hạntập tất cả các lân cận của x) Trong thực tế ta thường quan tâm đến cơ sở lân cận bénhất (theo quan hệ bao hàm) của điểm x

Định lí 1.1.8 Cho X là không gian tôpô Giả sử V x là một cơ sở lân cận của mỗi điểm

x e X Khi đó ta có

1) Với mọi xe X, với mọi V x e V x , ta có xe V x ;

2) Nếu V X , \' X e V x thì tồn tại V x e V sao cho V x a Vj n V x 2 ;

3) Với mọi V x e V x đều tồn tại một W x a V x sao cho mọi y e W x thì tồn tại

V x e V y sao cho V y a V x

Ngược lại, giả sử X là một tập tùy ý và với mọi x e X tồn tại một họ V x gồm các tập

V x a X sao cho các tính chất trên được thỏa mãn Lúc đó tồn tại một tôpô T duy nhất trên X sao cho V x là một cơ sở lân cận của mỗi điểm xe X.

Định lí 1.1.9 Cho B là một cơ sở của không gian tôpô X Giả sử họ B đếm được Khi

đó X khả li và tại mỗi điểm x e X đều tồn tại một cơ sở lân cận hữu hạn hoặc đếm được.

Định nghĩa 1.1.10 Không gian tôpô X có cơ sở đếm được gọi là không gian thỏa mãn

tiên đề đếm được thứ hai Nếu X thỏa mãn tính chất là với mọi xe X đều tồn tại cơ sởlân cận đếm được thì X được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất

Họ u c P (X được gọi là một phủ của tập A trong không gian X khi và chỉ khi A làmột tập con của B Phủ U được gọi là phủ mở của A nếu mọi phần Be u

tử của nó là tập mở Phủ con của phủ U là một họ con của U mà bản thân họ này cũng

là một phủ của A

Định lí 1.1.10 (Lindelof) Giả sử (X, T ) là một không gian tôpô có cơ sở đếm được Khi đó mọi phủ mở tùy ý U của một tập A c X đều tồn tại một phủ con đếm được.

Không gian tôpô được gọi là không gian Lindelof nếu với mọi phủ mở bất kỳ của

nó đều tồn tại phủ con đếm được Như vậy, không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai

là một không gian Lindelof

1.1.10 Không gian con

Cho (X, T) là một không gian tôpô và Y <= X Ta đặt T Y = {Gn Y : Ger}. Lúc ấy T Y là

một tôpô trên tập Y Thật vậy, 0 = 0 n Y, Y = X Ỵ' nên 0, Y e TY Nếu (Ga n Y)là một họcác tập thuộc T Y thì (Ga n Y) = (ỊJ Go)o Y cũng a&I a&I

thuộc T Y vì Ga e T Tương tự, giao của hai tập thuộc T Y cũng là một tập

a&I

thuộc T Y

Định nghĩa 1.1.11 Tôpô T Y được gọi là tôpô cảm sinh lên tập Y bởi tôpô T trong X

Không gian tôpô (Y, T Y ) được gọi là không gian con của không gian (X, X

Giả sử X là một không gian tôpô, Y là không gian con của X và A là một tập concủa Y Để ý rằng, nếu A là một tập mở (hay đóng) trong Y thì chưa chắc A là mở (hayđóng) trong X Tuy nhiên ta có

Định lí 1.1.11 Cho (X, T ) là không gian tôpô và (Y, TY) là không gian con của (X, T ).

Hệ quả 1.1.1 Cho Y là một không gian con của không gian tôpô X và yeY Khi đó nếu

Vy là một lân cận của y trong Y thì tồn tại một lân cận V của y trong X sao cho Vy = V

n Y.

Hệ quả 1.1.2 Cho X là một không gian tôpô và Y là một không gian con của X Khi đó

a) Để mọi tập mở trong Y cũng là tập mở trong X, điều kiện cần và đủ là Y mở trong X.

b) Để mọi tập đóng trong Y cũng là tập đóng trong X, điều kiện cần và đủ là Y

đóng trong X.

Nếu trường hợp a) (tương ứng b)) thỏa mãn, ta gọi Y là không gian con mở

(tương ứng không gian con đóng) của không giạn X

Định lí 1.1.12 Cho Y là không gian con của không gian tôpô X và A là một tập con của Y Ký hiệu A là bao đóng của A trong không gian con Y Khi đó ta có

A = Ã H Y,

trong đó A là bao đóng của A trong không gian X.

1.2 Ánh xạ liên tục

1.2.1Định nghĩa

Cho X và Y là các không gian tôpô

Ánh xạ f : X > Y được gọi là liên tục tại điểm xo e X nếu với mọi lân cận V của f(yo)

tồn tại lân cận U của x o sao cho f (U) cz V.

Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu như f liên tục tại mọi điểm xe X.

1.2.2Định lí

Cho X, Y là hai không gian tôpô và f : X -> Y là một ánh xạ Các mệnh đề sau đây

là tương đương:

a) f liên tục trên X;

b) Với mọi tập đóng F <Y' thì f_!(F) là tập đóng trong X;

c) Với mọi tập mở GY thì tập f~!(G) mở trong X;

d) f (A) cz f (A) với mọi tập A c X.

1.2.3 Định lí

Giả sử X, Y, Z là ba không gian tôpô, f : X -> Y là ánh xạ liên tục tại xo G X và g :

Y Z là ánh xạ liên tục tại yo = f (xo) Khi đó ánh xạ hợp h = gof : X -> Z liên tục tại x o e

2) Cho T và T ' là hai tôpô trên cùng tập X Ta có T = T khi và chỉ khi ánh xạ đồngnhất id : (X, r) —> (X, T) là phép đồng phôi.

1.3 Không gian tích - Không gian thương

1.3.1 Xác định tôpô bởi một họ các ánh xạ

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử X là một tập tùy ý, (Xa ) aeIlà một họ các không gian tôpô vàmỗi ael ta có một ánh xạ f a : X X a từ tập X vào tập X a Nếu trên X ta xét tôpô mạnh nhất(tức là tôpô rời rạc) thì hiển nhiên tất cả các ánh xạ f a đều liên tục Trường hợp này làtầm thường Ta sẽ chứng tỏ rằng trên X sẽ tồn tại một tôpô yếu nhất T sao cho tất cảcác ánh xạ f a đề liên tục

n

Ký hiệu T a là tôpô trong X a Đặt G = u fa/(G«i) <= X, trong đó G^e Ta, i , i = 1

và n là một số nguyên dương nào đó Ký hiệu B là họ tất cả các tập G có dạng nhưtrên Khi đó tồn tại một tôpô T trên X nhận B làm cơ sở: Tập A c X là T-mở khi và chỉkhi A là hợp của một họ các tập thuộc B

Giả sử E là một tôpô trên X sao cho tất cả các f a đều liên tục Khi đó nếu G a e T a thì

f a!(G a là một tập mở trong X, nghĩa là f a!(G a e E Do đó nếu các G a là các tập mởtrong các tập X a i , (i = 1, , n) thì fa?(Gai) là tập mở trong E nên G G E nghĩa là T cz E

Như vậy E T) T hay T là tôpô yếu nhất làm cho tất cả các fa liên tục T được gọi là

tôpô đầu trên X xác định nhờ họ ánh xạ (/a ^Bi

Định lí 1.3.1 Giả sX ' T là tôp0 đầu trên X xác đ/Ị/nh, b ơ i họ ánh xạ [fO)^gi , f a : X X a , Y là một không gian tôpô và f : Y X là một ánh xạ Khi đó f liên tục khi và chỉ khi với mọi ae I, các ánh xạ f a o f liên tục.

Bây giờ cho X là một tập và (Xa)aeIlà một họ các không gian tôpô Với mỗi a G I,

ta có ánh xạ g a : X a -> X. Nếu trang bị cho X tôpô yếu nhất (tức là tôpô thô) thì tất cảcác ánh xạ g a đều liên tục Vấn đề là hãy tìm trên X một tôpô mạnh nhất làm cho tất

cả các ánh xạ g a đều liên tục Đặt £ là họ tất cả các tập con G (T X sao cho g a!(G) là tập

mở trong X a với mọi a G I. Khi đó ta kiểm tra được £ là một tôpô trên X Nếu n là mộttôpô trên X sao cho g a liên tục và G là một n-mở thì g a!(G) mở trong X a với mọi a G I

nên G G £ và do đó n < £ Vậy £ là tôpô mạnh nhất trên X làm cho tất cả các (ga) liêntục

Định nghĩa 1.3.2 Tôpô £ mô tả ở trên được gọi là tôpô cuối trên X xác định bởi họcác ánh xạ (ga)aeI

Tôpô yếu nhất trên X làm cho tất cả các phép chiếu này liên tục (tôpô đầu trên X

xác định bởi họ (pa ) aeI), được gọi là tôpô Tikhonov trên X và X cùng với tôpô này trở

thành một không gian tôpô gọi là không gian tích (hay tích Tikhonov) của các không

Hệ quả 1.3.1 Giả sử Y là một không gian tôpô, X = P[Xalà tích Tikhonov a&I

của các không gian tôpô X a , a G I Điều kiện cần và đủ để ánh xạ f : Y X liên tục là với mọi ae I, các ánh xạ pao f : Y X a liên tục.

1.3.3 Không gian thương

Định nghĩa 1.3.4 Cho X là một không gian tôpô Giả sử trên X có một quan hệ tương

đương R Ký hiệu X = X/R = {x : x là lớp tương đương} và g là ánh xạ thương, đó làphép chiếu từ X lên X cho bởi công thức

X 3 x g(x) = x = {y G X/yRx}.

Tôpô mạnh nhất trong các tôpô trên X sao cho g liên tục (tôpô cuối xác định bởiánh xạ g) được gọi là tôpô thương trên X Khi đó X cùng với tôpô này được gọi là

không gian tôpô thương của X theo quan hệ R

Định lí 1.3.2 Cho X là không gian tôpô và R là quan hệ tương đương trên X Khi đó

a) Tập hợp V < X là tập mở khi và chỉ khi g !(V) = x là tập mở trong X.

xe V

b) Tập hợp F < X là đóng khi và chỉ khi g~!(F) là tập đóng trong X.

Định lí sau là một hệ quả của Định lí 1.3.2

Định lí 1.3.3 Cho X, Y là hai không gian tôpô, X/ R là không gian thương theo quan

hệ tương đương R và f : X/R Y Khi đó f liên tục khi và chỉ khi fog : X -> Y liên tục.

1.4 Các tiên đề tách

Không gian tôpô theo định nghĩa là một cấu trúc toán học khá đơn giản và rấttổng quát nên có thể ứng dụng vào nhiều tình huống khác nhau Tuy nhiên, nếukhông bổ sung các yêu cầu khác thì nó ít có những tính chất thú vị Chẳng hạn, trongcác không gian thô thì ta không thể phân biệt các điểm với nhau, còn không gian rờirạc thì mỗi điểm lại thu về từng ốc đảo nên chúng không có gì để nghiên cứu thêm.Mục này nhắc lại một số vấn đề về tách các điểm cũng như các tập đóng trong khônggian tôpô

1.4.1Các định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.4.1 Không gian tôpô (X, r) được gọi là không gian thỏa mãn tiên đề tách T1(hay T 1 -không gian) nếu với hai điểm khác nhau trong X thì sẽ tồn tại một lâncận của điểm này mà không chứa điểm kia

Định lí 1.4.1 Không gian tôpô X là một T 1 -không gian khi và chỉ khi mỗi phần tử x e

Ví dụ 1.4.1. 1) Các không gian metric đều là không gian Hausdorff.

2) Mọi T2-không gian đều là Tt-không gian

Định nghĩa 1.4.3 Không gian tôpô X được gọi là một T 3 -không gian hay là không gian chính quy nếu X là T1- không gian và với mọi xe X và mọi tập đóng F cz X saocho x ị F thì tồn tại các tập mở U 3 x và V F sao cho ƯCiV = 0.

Định lí 1.4.2 Cho X là một T 1 -không gian Lúc đó X là T 3 -không gian khi và chỉ khi với mọi x e X, với mọi lân cận V của x, tồn tại một lân cận U của x sao cho X e U c U c

V

Định nghĩa 1.4.4 Không gian tôpô được gọi là một T 4 -không gian hay là không gian chuẩn tắc, nếu nó là một TL-không gian và với hai tập đóng A, B không giao nhau, sẽtồn tại hai tập mở U z> A, V z> B sao cho U nV = 0

Định lí 1.4.3 Để không gian tôpô X là không gian chuẩn tắc, điều kiện cần và đủ là với mọi tập đóng A và mọi tập mở G z> A đều tồn tại một tập mở U sao cho A<^U -■

f e C(X) sao cho f(xi) / f (x2)

Định lí 1.4.6 (Định lí Tietze-Uryshon) Cho X là một không gian chuẩn tắc và M là

tục sao cho sup |f(x)| < +oo Khi đó tồn tại một hàm số thực liên tục F trên X xeM

thỏa mãn F |M= f và

sup |F(x)| = sup |f(x)|.

Hệ quả 1.4.2 Cho f là một hàm số thực liên tục trên tập đóng M trong không gian chuẩn tắc X Khi đó tồn tại một hàm số thực liên tục F trên X sao cho F| M = f

1.5 Không gian compact - Không gian liên thông

1.5.1 Không gian compact

Định nghĩa 1.5.1 Tập K cz X của không gian tôpô X được gọi là một tập compact nếu

mỗi phủ mở của nó đều có chứa một phủ con hữu hạn Nói cách khác, giả sử (Ga ) aeIlà

họ các tập mở thỏa mãn K ■ ỤG., thì tồn tại các ad

n

G a i , G a , , G a n sao cho K < G a i Không gian tôpô X được gọi là compact

i= 1

nếu bản thân tập hợp X là compact

Ví dụ 1.5.1 Từ định nghĩa ta có ngay là các tập hợp gồm một số hữu hạn điểm trongkhông gian tôpô tùy ý là tập compact Hợp một số hữu hạn tập compact là tậpcompact

Định lí 1.5.1 Giả sử X là không gian compact Khi đó mọi tập con đóng của X đều là tập compact.

Điều ngược lại của định lí chỉ đúng nếu như X là một T2-không gian

Định lí 1.5.2 Nếu X là một T 2 - không gian thì mọi tập con compact của X đều là tập đóng.

Chứng minh Cho K là tập compact chứa trong X Ta chứng minh X\K là tập mở Lấy

y e X\K. Với mọi xe K đều tồn tại các lân cận mở V(x) của x và lân cận Vx(y) của y sao

cho V^nVx(y) = 0 Họ U = (V(x)} xeK là một phủ mở của K nên tồn tại phủ con hữuhạn:

Từ việc chứng minh định lí trên ta suy ra

Hệ quả 1.5.1 Nếu X là một T -không gian, K là một tập con compact của X và xị K thì

tồn tại tập mở U 3 x, tập mở \'X\ sao cho UcV = 0.

Định lí 1.5.3 Cho X là một T2 -không gian và A, B là hai tập compact của X và An B =

0 Khi đó tồn tại hai tập mở U, V trong X sao cho A ■ U, B :\' và UnV = 0.

Hệ quả 1.5.2 Giả sử X là một T 2 -không gian và đồng thời X còn là compact Khi đó X

là một T 4 -không gian (tức là không gian chuẩn tắc).

Định nghĩa 1.5.2 Họ F = (Fa ) aeI c P(X gọi là một họ có tâm nếu F / 0 và giao hữu hạn bất

kỳ các phần tử của F đều khác rỗng, nghĩa là với bất kỳ n

tập hữu hạn {a1, , a n} c I ta đều có Q Fai Y 0.

u 1

Định lí 1.5.4 Điều kiện cần và đủ để không gian tôpô X compact là mọi họ có tâm các tập đóng của X đều có giao khác rỗng.

Định lí 1.5.5 Cho (X, Y) là hai không gian tôpô và f là một ánh xạ liên tục từ X vào Y.

Nếu K c X là một tập compact thì f(K)<z Y cũng là một tập compact.

Định lí 1.5.6 (Định lí Tikhonov) Để tích X = n X a của họ các không gian

Õ'AEI

tôpô (Xa ) aeIlà compact, điều kiện cần và đủ là mọi ae I, X a là các không gian compact.

Ta nhắc lại rằng trong không gian Euclide Rn(với tôpô thông thường), mỗi tập A

cz Rnlà compact khi và chỉ khi A đóng và bị chặn

Định lí 1.5.7. 1) Để một tập con A trong Rnlà compact, điều kiện cần và

đủ là mọi dãy bất kỳ trong A đều tồn tại một dãy con của nó hội tụ về một điểm trong tập A.

2) Đối với mỗi tập đóng trong Rn, các khái niệm compact, bị chặn và hoàn toàn bị chặn là tương đương.

1.5.2 Không gian compact địa phương

Định nghĩa 1.5.3 Không gian tôpô X được gọi là compact địa phương nếu với mọi xe

X đều tồn tại một lân cận đóng và compact

Định lí 1.5.8 a) Không gian con đóng của một không gian compact địa phương là

một không gian compact địa phương.

b) Không gian con mở của một không gian Hausdorff compact địa phương là

compact địa phương.

1.5.3 Compact hóa

Định nghĩa 1.5.4 Cho X là một không gian tôpô không compact và cho cặp (Y, ự)

trong đó Y là một không gian compact, ự : X -»ự(X) c Y là một phép đồng phôi saocho ự(X) = Y. Khi đó ta gọi cặp (Y, ự là một compact hóa của không gian tôpô X

Bây giờ giả sử (X, T) là một không gian compact địa phương nhưng khôngcompact Ký hiệu 00 là một điểm không thuộc X Đặt X = Xu{oo} Ta xác định Tro c P

(Xro) gồm tất cả các phần tử của T và những tập con Go X) có chứa 00 sao cho G = U

u {oo}, U e T và X\U là tập compact của X Ký hiệu i : X x> là phép nhúng đồng nhất

Định lí 1.5.9 (Alexandrov) Với các ký hiệu trình bày ở trên ta có (Xo, i) là một compact hóa của X.

Chứng minh Trước hết ta chứng minh X) là một tập compact Giả sử (Ga )^i là một phủ

mở của x> và X e Gaovới aoe I Theo định nghĩa, X\G ữ0 = Xĩ>\G ữ0 Để ý rằng, họ (Ga)ae I

cũng phủ X\G ữ0 nên tồn tại a1, , a n e I để Gai, , G ữ n phủ X'\G a o Vậy Gao, , Gan phủ Xo

Ta kiểm tra (X, X) là không gian con của Xo Điều này hiển nhiên vì với mọi G e T

ta có G = X n G Hơn nữa, i : X -> x> rõ ràng là phép đồng phôi từ X lên i(X) = X cz

Xo Ta còn chứng minh X = Xo Thật vậy, một lân cận của 00 trong X có dạng {oo} u

Ta gọi compact hóa vừa xây dựng ở trên là compact hóa một điểm hay compact

Hệ quả 1.5.3 Cho X là một T 2 -không gian và compact địa phương Với mọi tập đóng

F c X và mọi xX F đều tồn tại hàm liên tục f xác định trên X sao cho

a)f(x) G [0,1;

b) f(xo) = 1;

c) f (F) = {0}

1.5.4 Không gian liên thông

Định nghĩa 1.5.5 Không gian tôpô X được gọi là liên thông nếu trong X chỉ có hai tập

0 và X là đồng thời vừa mở và vừa đóng

Nói cách khác, X là một không gian liên thông nếu không tồn tại hai tập mở khácrỗng A, B sao cho An B = 0 và X = A u B

Tập Y < X được gọi là tập liên thông nếu Y, xem như là không gian con của X, làkhông gian liên thông

Định lí 1.5.11 Nếu A là tập liên thông trong không gian tôpô X thì mọi tập B thỏa mãn A (B (A đều liên thông.

Định lí 1.5.12 Giả sử là một họ những tập liên thông trong không gian tôpô X sao cho Q A a # 0 Khi đó A = A a là tập liên thông trong X.

Định lí 1.5.13 Cho A 1 , , A n là các tập liên thông trong không gian tôpô X n

sao cho AịO Ai+1# 0 với i = 1, 2, , n— 1 Khi đó Aicũng là một tập liên i= 1

Định lí 1.5.14 Cho X là một không gian tôpô Khi đó

1) Thành phần liên thông C(x) là tập liên thông lớn nhất trong X có chứa x.

2) Với x, y e X ta có một trong hai trường hợp C(x) = C(y) hoặc C(x)nC(y) = 0

3) Với mọi xe X ta có C(x) là một tập đóng.

Định lí 1.5.15 Giả sử f là một ánh xạ liên tục từ X vào Y và A là một tập liên thông trong X Khi đó f (A) là tập liên thông trong Y.

Định lí sau đây nêu lên đặc trưng của tập liên thông trong R

Định lí 1.5.16 Tập con E < R là liên thông khi và chỉ khi E thỏa mãn tính chất: Với mọi x, y e E nếu x < z <y thì zeE.

Hệ quả 1.5.4 Tập E trong R là liên thông khi và chỉ khi E là một khoảng, tức là một trong các tập có dạng sau: (-00, b, (-00, b], (a, +oo), [a, +oo), (-00, +oo), [a, b), [a, b], (a,

6, (a, 6 với mọi a, be R

cả các điểm tụ của nó Phần bù của một tập x-đóng được gọi là w-mỗ Họ tất cả cáctập con w-mở của X tạo thành một tôpô trên X Ký hiệu là Tw Nhiều khái niệm tôpô

và kết quả liên quan đến tập x-(lóng và tập w-mở được nhắc đến trong [2], [3], [6],[7], [8], [9], [18], [19], [23], [35], [37] và trong nhiều tài liệu tham khảo gần đây.Năm 2002, Csaszar [11] định nghĩa không gian tôpô tổng quát như sau: Cặp (X, làkhông gian tôpô tổng quát

nếu X / 0 và là tập các tập con của X sao cho 0 e và đóng với các phép toán hợp tùy

ý Đối với không gian tôpô tổng quát (X, ^), các phần tử của được gọi là tập ^-mở,phần bù của tập ^-mở được gọi là tập ^-đóng, hợp tất cả các phần tử của được ký hiệu

là MM, và (X, được gọi là mạnh nếu MM = X Gần đây, nhiều khái niệm tôpô mới đượcđưa ra trong cấu trúc của không gian tôpô tổng quát, xem [1], J10], [12], [13], [14],[15], [16], [17], [24], [25], [26], [27], [29], [30], [31], [32], [36] Ớ chương này, tatìm hiểu khái niệm các tập ^-mở trong không gian tôpô tổng quát Sử dụng khái niệmcác tập w-mỗ để tìm hiểu các đặc trưng Lindelof, compact, liên tục trong các khônggian tôpô tổng quát

2.1 Một số khái niêm trong không gian tôpô tổng quát

Định nghĩa 2.1.1 ([14]) Cho (X, là một không gian tôpô tổng quát và B

là tập các tập con của X sao cho 0 e B Khi đó, B được gọi là một cơ sở của nếu {IJ

B : B' <^B} = ụ Ta cũng nói rằng ụ được sinh ra bởi B.

Định nghĩa 2.1.2 Cho (X, ụ là một không gian tôpô tổng quát.

a) Tập hợp F các tập con của X được gọi là một phủ của MM nếu MM là một tậpcon của hợp các phần tử của F

Định nghĩa 2.1.3 ([10]) Giả sử (X, ụ là không gian tôpô tổng quát và A < X, A / 0

Không gian con tôpô tổng quát của A trên X là tôpô tổng quát ụ A = {An U : U e ụ trên

A Cặp (A, ụ A được gọi là không gian con của không gian tôpô tổng quát (X, ụ

Hàm f : (X, ụi) (Y, ụ2) được gọi là một hàm trên các không gian tôpô tổng quát nếu

(X, và (Y, ụ2) là các không gian tôpô tổng quát Ta quy ước, mỗi hàm là một hàm trêncác không gian tôpô tổng quát

Định nghĩa 2.1.4 ([11]) Hàm f : (X, (Y, ụ2 ) được gọi là (ụ1, ụ2 )-liên

tục tại điểm x e X, nếu với mọi tập ụ2-mở V chứa f (x) tồn tại một tập ụ1-mở U chứa x

sao cho f (U) C V Nếu f là (ụ, ụ2)-liên tục tại mỗi điểm của X thì f được gọi là (ụ1, ụ2)liên tục

-Định nghĩa 2.1.5 ([15]) Hàm f : (X, ụ^) -> (Y, ụ2 ) được gọi là (ụ1, ụ2 )-đóng nếu f (C) là ụ2đóng trong (Y, ụ2 ) với mỗi tập ụ1-đóng C

-2.2 Các tập j-mở trong các không gian tôpô tổng quát

Định nghĩa 2.2.1 Cho (X, ụ là không gian tôpô tổng quát và B (,v

a) Điểm x e X là điểm tụ của B nếu với mọi A e / sao cho x e A, A r> B là khôngđếm được Tập tất cả các điểm tụ của B được ký hiệu là Cond(B).

b)B là x-//-(lóiig nếu Cond(B) C B.