TIỂU LUẬN môn học tín HIỆU hệ THÔNG đề tài lọc tuyến tính các quá trình ngẫu nhiên

Từ những kiến thức nà cô truyền tải, em đã dần hiểu hơn về môn Tín Hiệu Hệ Thống, từ đó có thể thực hiện được bài tiểu luận về đề tài liên quan đến Random Prosses- Biến ngẫu nhiên là mộ

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

KHOA VIỄN THÔNG

TIỂU LUẬN MÔN HỌC

“TÍN HIỆU HỆ THÔNG”

Đề tài:

“Lọc tuyến tính các quá trình ngẫu nhiên”

Sinh viên thực hiện : TỐNG THỊ THÙY LINH

Mã sinh viên : B18DCVT248

Lớp : D18CQVT08-B

Nhóm môn học : Nhóm 03

Hà Nội, tháng 8/2021

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 3

Tổng quan về Random Process……… 4

Wide-Sense Stationary………5

Lọc các quá trình ngẫu nhiên……….8

Bất biến thời gian……….8

Giá trị trung bình……….8

Tự tương quan đầu ra……….……9

Định lý tương quan chéo……….9

Xung photon……… ………11

Đáp ứng của máy dò với xung Poisson………13

Nhiễu trắng……….………14

Lọc nhiễu trắng……… ………16

Tính toán thực tế………17

KẾT LUẬN 18

LỜI NÓI ĐẦU

Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến cô Nguyễn Thị Thu Hiên Trong quá trình học tập và tìm hiểu bộ môn Tín Hiệu Hệ Thống, em đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn rất tận tình, tâm huyết của cô Cô

đã giúp em tích lũy thêm nhiều kiến thức để có cái nhìn hoàn thiện hơn Từ những kiến thức nà cô truyền tải, em đã dần hiểu hơn về môn Tín Hiệu Hệ Thống, từ đó có thể thực hiện được bài tiểu luận về đề tài liên quan đến

Random Prosses- Biến ngẫu nhiên là một hàm của thời gian mà chúng ta kết hợp chiều thời gian này vào biến ngẫu nhiên, vì vậy biến ngẫu nhiên như một hàm của thời gian là một quá trình ngẫu nhiên

Dù đã có nhiều cố gắng trong quá trình tìm hiểu nhưng do nhận thức và

trình độ còn hạn hẹp nên bài viết này không tránh khỏi những thiếu sót

và hạn chế Vậy em rất mong nhận được ý kiến đóng góp, nhận xét của

cô để em có thêm điều kiện học hỏi thêm và năng cao kiến thức của

mình, phục vụ tốt hơn cho quá trình học tập sau này

I Tổng quan về Random Process

1 Giới thiệu chung

- Biến ngẫu nhiên là một hàm của thời gian t

- Biến ngẫu nhiên là một hàm của thời gian mà chúng ta đang kết hợp chiều thời gian này vào biến ngẫu nhiên, vì vậy biến ngẫu nhiên như

một hàm của thời gian là một quá trình ngẫu nhiên

2 Random Process bao gồm:

- Random signal( tín hiệu ngẫu nhiên)

- Random noise process at receiver(quá trình ngẫu nhiên tại máy thu)

3 Lọc tuyến tính các quá trình ngẫu nhiên:

- Wide Sense Stationary

- Filtering Random Process( Lọc các quá trình ngẫu nhiên)

- Time Invariance( Bất biến thời gian)

- Mean Value(Giá trị trung bình)

- Output Autocorrelation( Tự tương quan đầu ra)

- Crosscorrelation Theorem( Định lý tương quan chéo)

- Photon Pulses( Xung photon)

- Dectector Response to Poisson Pulses( Đáp ứng của máy dò với xung Poisson)

- White Noise( Nhiễu trắng)

- Filtered White Noise( Lọc nhiễu trắng)

- Practical Calculations( Tính toán thực tế)

II Nội dung chính

1 Wide-Sense Stationary

- Định nghĩa: 1 quá trình ngẫu nhiên X(t) là WSS nếu giá trị trung bình của nó không đồi

E[X(t)] = 𝜇

và sự tự tương quan của nó chỉ phụ thuộc vào 𝜏 = 𝑡1 − 𝑡2

𝑅𝑥𝑥(𝑡1, 𝑡2)= E[X(𝑡1)X*(𝑡2)]

E[X(t + 𝜏)X*(t)]= 𝑅𝑥𝑥(𝜏) Lưu ý rằng: 𝑅𝑥𝑥(−𝜏)= 𝑅∗𝑥𝑥(𝜏) và

𝑅𝑥𝑥(0)= E[|𝑋(t)|2]

- Auto- Correlation( Tự tương quan):

𝑅𝑥𝑥(𝑡1, 𝑡2)= E[X(𝑡1)X*(𝑡2)]

Cũng như tự tương quan hoặc tương quan của hàm quá trình ngẫu nhiên tại 2 thời điểm T1, T2 cũng bằng giá trị kì vọng Giá trị này về cơ bản bằng giá trị đã xóa của quá trình ngẫu nhiên tại thời điểm T1 lần thời gian trong thời gian T2

E[X(𝑡1)X*(𝑡2)]: sự kết hợp giữa 2 thời điểm T1, T2

Vây tư tương quan là gì? Tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên tương ứng với 2 trường hợp thời gian khác nhau, nghĩa là nếu bạn nhìn vào quá trình ngẫu nhiên X(t) tại thời điểm T1 và X(t)T2 tại thời điểm ngay lập tức T2 thì giá trị cốt lõi giữa 2 điều này là tự tương quan Đó là giá trị trung bình của tích X(t)1 xới X(t)2 và tự nhiên đối với 1 quá trình ngẫu nhiên chung

→ Đây là 1 hàm của cả 2 trường hợp thời gian, đó là T1&T2 và

do đó đây là hàm khác bởi 𝑅𝑥𝑥 của T1,T2

Ví dụ: Chúng ta nhận thấy rằng tín hiệu điện báo ngẫu nhiên có tính tự tương quan hàm số:

𝑅𝑥𝑥(𝜏)= 𝑒−𝑐|𝜏|

Chúng ta có thể sử dụng hàm tự tương quan để tìm thời điểm thứ hai

kết hợp tuyến tính chẳng hạn như: Y(t)= aX(t) +bX(t - 𝑡0)

Chúng ta cũng có thể tự tính tự tương quan: 𝑅𝑦𝑦(𝜏) với 𝜏 ≠ 0

Ví dụ trên kết hợp các giá trị có trọng số của X(t) và X(t-𝑡0) thành Y(t) Các

thông số thống kê E[Y], E[𝑌2], var(Y) và 𝑅𝑦𝑦(𝜏) được tính toán dễ dàng từ kiến thức về E[X] và 𝑅𝑥𝑥(𝜏)

Các kỹ thuật này có thể mở rộng cho các kết hợp tuyến tính hơn 2 mẫu của X(t)

Đây là một ví dụ về lọc tuyến tính với bộ lọc rời rạc có trọng số

Mối quan hệ tương ứng cho quá trình xử lý thời gian liên tục là:

2 Lọc các quá trình ngẫu nhiên:

Gọi X(t,e) là một quá trình ngẫu nhiên Tại thời điểm này, chúng ta hiển thị kết quả e của thử nghiệm ngẫu nhiên cơ bản

Gọi Y(t, e) = L[X(t,e)] là đầu ra của một hệ thống tuyển tính khi X(t,e) là đầu vào Rõ ràng, Y(t, e) là một tập hợp các hàm được chọn bởi e và là một

quá trình ngẫu nhiên

Chúng ta có thể nói gì về Y khi có một mô tả thống kê về X và mô tả về

hệ thống?

Lưu ý rằng L không cần thể hiện hành vi ngẫu nhiên cho L trở thành ngẫu nhiên

3 Bất biến thời gian:

Chúng ta sẽ làm việc với các hệ thống bất biến thời gian( hoặc dịch

chuyển bất biến) Các hệ thống bất biến nếu phản hồi đối với đầu vào dịch chuyển theo thời gian chỉ là sự thay đổi đầu ra

Y(t + 𝜏) = L[X(t + 𝜏)]

Đầu ra của một hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian có thể được

biểu diễn bằng tích của đầu vào với phản ứng xung, h(t)

Y(t) = ∫−∞∞ 𝑋(𝑡 − 𝑠)ℎ(𝑠) 𝑑𝑠

4 Giá trị trung bình:

- Kết quả sau đây phù hợp với bất kì hệ thống tuyển tính nào, dù cho

nó có là thời gian bất biến hoặc đầu vào là cố định

E L[X(t)] = L E [X(t)] = L[𝜇(𝑡)]

- Khi quá trình dừng lại, chúng ta thấy 𝜇𝑦 = 𝐿𝜇𝑥, đó là phản ứng với một hằng số giá trị 𝜇𝑥

5 Tự tương quan đầu ra:

- Hàm tự tương quan của đầu ra là:

𝑅𝑦𝑦(𝑡1, 𝑡2)= E[y(𝑡1)y*(𝑡2)]

- Chúng ta đặc biệt quan tâm đến hàm tự tương quan 𝑅𝑦𝑦(𝜏) đầu ra của một hệ thống tuyến tính khi đầu vào của nó là quá trình ngẫu nhiên

- Khi đầu vào là WSS và hệ thống bất biến theo thời gian thì đầu ra cũng là WSS

- Hàm tự tương quan có thể được tìm thấy cho một quá trình không WSS và sau đó chuyên về trường hợp WSS mà không cần làm gì nhiều công việc bổ sung Chúng ta sẽ đi theo hướng phát triển đó

6 Định lý tương quan chéo:

- Cho phép x(t) và y(t) là các quá trình ngẫu nhiên có liên quan đến

y(t) =∫−∞∞ 𝑥(𝑡 − 𝑠)ℎ(𝑠) 𝑑𝑠

Sau đó

𝑅𝑥𝑦(𝑡1, 𝑡2)= ∫−∞∞ 𝑅𝑥𝑥(𝑡1, 𝑡2− 𝛽)ℎ(𝛽) 𝑑𝛽

và

𝑅𝑦𝑦(𝑡1,𝑡2)= ∫−∞∞ 𝑅𝑥𝑦(𝑡1− 𝛼, 𝑡2)ℎ(𝛼) 𝑑𝛼

Vì vậy,

𝑅𝑦𝑦(𝑡1,𝑡2)= ∬−∞∞ 𝑅𝑥𝑥(𝑡1− 𝛼, 𝑡2 − 𝛽)ℎ(𝛼)ℎ(𝛽) 𝑑𝛼𝑑𝛽

Chứng minh Nhân phương trình thứ nhất với x(1) và lấy giá trị kì vọng

Điều này chứng tỏ kết quả đầu tiên Để chứng mình điều thứ 2, ta nhân số thứ

nhất phương trình bởi y(t2) và lấy giá trị kỳ vọng

Điều này chứng minh đẳng thức thứ 2 và thứ 3 Bây giờ thay thế phương trình thứ 2 thành phương trình thứ 3 để chứng minh điều cuối cùng

7 Xung photon

Ví dụ: Tự tương quan đối với lượng Photon đến

Giả sử rằng mỗi photon đến một máy dò tạo ra một xung động của hiện hành

Chúng ta muốn lập mô hình hóa để sử dụng làm phương pháp khuyến khích X(t)

tới hệ thống phát hiện Giả sử rằng các photon đến với tốc độ λ photons/giây và

mỗi photon tạo ra một xung chiều cao h và chiều rộng 𝜖

Để tính toán hàm tự tương quan, chúng ta phải tìm

𝑅𝑥𝑥(𝜏)= E[X(t + 𝜏)X(t)]

- Đầu tiên chúng ta hãy giả định rằng 𝜏 > 𝜖 Sau đó, không thể cho

các phiên bản t và t + 𝜏 nằm trong cùng một xung

- Xác suất để dạng sóng xung ở mức h bất kỳ tức thời là λ, là phần

nhỏ của thời gian bị chiếm bởi các xung

Vì thế,

- Bây giờ hãy xem xét trường hợp |𝜏| < 𝜖 Sau đó, theo giả định

Poisson, không thể có hai xung quá gần nhau để X(t) = h và

X(t + 𝜏)= h chỉ khi t và t + 𝜏 nằm trong cùng một xung

P(X1 = h, X2 = h=P(X1=h)=P(X2=h|X1=h)= λ 𝜖 P(X2=h|X1=h)

- Xác suất mà t+|𝜏| cũng đánh vào mạch là:

P(X2 = h|X1 =h)=1 -| 𝜏|/ 𝜖

Do đó,

Nếu bây giờ chúng ta để 𝜖 → 0 và giữ h=1 tam giác trở thành một xung động của khu vực h và chúng ta có

𝑅𝑥𝑥(𝜏)= λ𝛿(𝜏) + λ2

8 Đáp ứng của máy dò với xung Poisson

- Thông thường đối với một máy dò vật lý phải có nội trở và điện

dung Mạch Aseries RC có đáp ứng xung

- Chức năng tự tương quan của đầu ra máy dò là:

9 Nhiễu trắng:

- Chúng ta sẽ nói một quá trình ngẫu nhiên là w(t) là nhiễu trắng nếu các giá trị của nó w(𝑡𝑖) và w(𝑡𝑗) không tương quan với mọi 𝑡𝑖 và 𝑡𝑗 ≠

𝑡𝑖 Đó là,

- Phương sai tự động phải có dạng:

là giá trị bình phương trung bình tại thời điểm 𝑡𝑖 Trừ khi được nêu

cụ thể ngược lại, giả định rằng giá trị trung bình của nhiễu trắng là

số 0 Trong trường hợp đó, 𝑅𝑤(𝑡𝑖, 𝑡𝑗)= 𝐶𝑤(𝑡𝑖,𝑡𝑗)

Ví dụ: Chuỗi tung đồng xu( rời rạc) Điện trở nhiệt tiếng ồn( liên tục)

Giả sử rằng w(t) là nhiễu trắng và

y(t)= ∫ 𝑤(𝑠) 𝑑𝑠0𝑡 Sau đó,

Nếu tiếng ồn là tĩnh thì

10 Lọc nhiễu trắng:

Tìm phản hồi của bộ lọc tuyến tính với phản ứng xung h(t) đến nhiễu trắng

với x(t) = w(t) ta có 𝑅𝑥𝑥(𝑡1, 𝑡2)= 𝑞𝛿(𝑡1− 𝑡2) Sau đó, để 𝜏 = 𝑡1− 𝑡2 ta được

Vì 𝛿(-𝜏)= 𝛿(𝜏), kết quả này đối xứng trong 𝜏

Ví dụ: Truyền nhiễu trắng qua bộ lọc với phản xung theo cấp số nhân

h(t) = A𝑒−𝑏𝑡step(𝑡)

Vì kết quả đối xứng trong 𝜏,

𝑅𝑦𝑦(𝜏) = 𝐴

2𝑞 2𝑏 𝑒

−𝑏|𝜏|

Điều thú vị là hàm này có dạng tương tự như hàm tự tương quan của tín hiệu điện báo ngẫu nhiên và ngoại trừ hàm hạn không đổi, cũng đối với chuỗi xung Poisson

11 Tính toán thực tế

Giả sử rằng bạn được cung cấp 1 tập hợp các mẫu có dạng sóng ngẫu nhiên Biểu diễn các mẫu bằng 1 vecto x= [𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑁−1] Nó giả định rằng các mẫu được lấy ở một số tần số lấy mẫu 𝑓𝑠= 1/Ts và là đại diện của toàn bộ quá trình ngẫu nhiên Đó là quy trình đúng và tập hợp các mẫu đủ lớn

Trung bình mẫu: Giá trị trung binh có thể được tính gần đúng bằng

𝑋̅= 1

𝑁 ∑𝑁−1𝑖=0 𝑥𝑖 Tính toán này có thể được biểu diễn bằng một sản phầm vecto bên trong( dấu chấm) vector bên trong Gọi 1=[1,1,…,1] là một vecto trong số các vecto thích hợp chiều dài Sau đó,

𝑋̅= 〈𝑥,1〉

𝑁

Giá trị trung bình bình phương: Theo cách tương tự, giá trị trung bình

bình phương có thể được ước lượng bởi

Phương sai: Ước tính phương sai là

Có thể cho thấy rằng

E[𝑆2]= 𝜎2

và do đó là một công cụ ước lượng không thiên vị về phương sai

KẾT LUẬN

Các ứng dụng và việc nghiên cứu các hiện tượng đã lần lượt tạo cảm hứng cho đề xuất các quá trình ngẫu nhiên mới Điển hình về các quá trình ngẫu nhiên như vậy có thể nhắc đến quá trình Poisson được sử dụng bởi

A.K.Erlang để nghiên cứu số lượng cuộc gọi điện thoại xảy ra trong một khoảng thời gian nhất định Lý thuyết về các quá trình ngẫu nhiên được coi là một đóng góp quan trọng cho toán học và nó tiếp tục là một chủ đề nghiên cứu tích cực vì lý do lý thuyết lẫn ứng dụng.