BÁO cáo TIỂU LUẬN đề tài các QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

Các quy trình ngẫu nhiên có liên quan Các quá trình ngẫu nhiên có liên quan có thể được mô tả bằng:  Hàm tự tương quan  Phổ công suất  Bộ lọc với đầu vào nhiễu trắng Ba mô tả có liên

===  ===

BÁO CÁO TIỂU LUẬN

ĐỀ TÀI: CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

Hà Nội, 8/2021

MỤC LỤC

I MỞ ĐẦU 3

II NỘI DUNG 4

2.1 Các quy trình ngẫu nhiên có liên quan 4

2.2 Tạo một quy trình ngẫu nhiên có liên quan 4

2.3 Mô hình bộ lọc kĩ thuật số 4

2.4 Phương trình sai khác 4

2.5 Sơ đồ khối 5

2.6 Đáp ứng xung 6

2.7 Mô hình và chức năng hệ thống 7

2.8 Phép biến đổi z 8

2.9 Toán tử trễ 9

2.10 Phương trình sai khác và chức năng hệ thống 9

2.11 Chức năng hệ thống và đáp ứng xung 10

2.12 Đáp ứng tần số 11

2.13 Đáp ứng của bộ lọc một cực 11

2.14 Bộ lọc hình sin giảm chấn 12

III KẾT LUẬN 13

I MỞ ĐẦU Hiện nay, tín hiệu và hệ thống là cơ sở cho rất nhiều ứng dụng trong mọi lĩnh vực của cuộc sống Có thể thấy rằng trong tất cả các lĩnh vực như: thông tin, truyền thông

đa phương tiện, xử lý âm thanh, hình ảnh, điều khiển, kỹ thuật y sinh, … đều có liên quan đến việc phân tích, thiết kế tín hiệu và hệ thống

Qua quá trình học tập môn học “Tín hiệu và hệ thống”, với sự hướng dẫn của cô Nguyễn Thi Thu Hiên, em đã có thêm nhiều kiến thức và hiểu biết về môn học này Và môn “Tín hiệu và hệ thống” có một bài tập tiểu luận cuối kỳ với 7 chủ đề để sinh viên

có thể tìm hiểu sâu hơn và hiểu rõ hơn về các nội dung đã học của môn học Trong bài tiểu luận này, em đã chọn chủ đề thứ 2 là “Các quá trình ngẫu nhiên” để nghiên cứu và trình bày Bài tiểu luận được chia làm 3 phần:

 I Mở đầu

 II Nội dung

 III Kết luận

Do việc nghiên cứu và tìm hiểu đề tài này trong một thời gian ngắn nên bài tiểu luận không thể tránh khỏi những sai sót Em rất mông nhận được những ý kiến đóng góp của cô để hoàn thiện hơn bài báo cáo này

Em xin chân thành cảm ơn!

II NỘI DUNG 2.1 Các quy trình ngẫu nhiên có liên quan

Các quá trình ngẫu nhiên có liên quan có thể được mô tả bằng:

 Hàm tự tương quan

 Phổ công suất

 Bộ lọc với đầu vào nhiễu trắng

Ba mô tả có liên quan với nhau Mỗi mô tả cung cấp một góc nhìn khác nhau về quá trình ngẫu nhiên

2.2 Tạo một quy trình ngẫu nhiên có liên quan

- Chúng tôi sẽ cung cấp một phương tiện để tạo ra các quy trình ngẫu nhiên có tương quan

- Nếu bạn có thể cung cấp một máy phát điện, bạn chắc chắn đã cung cấp một mô

tả tập lệnh của rp

- Sau đó chúng ta sẽ xem xét cách xác định tham số của bộ lọc mô hình tạo ra một rp nhất định

- Chúng tôi sẽ chỉ làm việc với các quy trình ngẫu nhiên của WWS

2.3 Mô hình bộ lọc kĩ thuật số

Một bộ lọc kĩ thuật số có thể được mô tả theo một số cách sau:

 Phương trình sai khác

 Sơ đồ khối

 Đáp ứng xung

 Chức năng hệ thống

Các mô tả trên tương đương nhau nhưng mỗi mô tả cung cấp một cái nhìn khác nhau Những mô tả này có liên quan đến những mô tả của một quá trình ngẫu nhiên khi đầu vào của bộ lọc là nhiễu trắng

2.4 Phương trình sai khác

Cho chuỗi đầu và bộ lọc kĩ thuật số được ký hiệu là x(n) và phản hồi tương ứng bởi y(n) Giá trị đầu ra hiện tại có thể phụ thuộc vào giá trị đầu vào hiện tại, giá trị đầu vào và giá trị đầu ra trong quá khứ

y(n) + a1y(n − 1) + a2y(n − 2) + ··· + apy(n − p)

= b0x(n) + b1x(n − 1) + ··· + bqx(n − q)

Phương trình sai khác được mô tả hoàn toàn bằng các hệ số {1, a1, , ap} và {b0,

b1, , bq} Chúng tôi luôn giả định (không mất đi tính tổng quát) rằng một a0 = 1 Phương trình sai khác có thể được giải cho y(n) về đầu vào hiện tại và quá khứ

và đầu ra trong quá khứ

y(n) = b0x(n) + b1x(n - 1) + ··· + bqx(n - q)

- a1y(n - 1) - a2y (n - 2) - ··· - apy(n - p)

Các thuộc tính của chuỗi đầu ra được xác định bởi

 Các thuộc tính của chuỗi đầu vào

 Hệ số bộ lọc

2.5 Sơ đồ khối

VD: Bộ lọc một cực

Cho x(n) = […, 0, 1, 0, 0, 0, 0, …] và chọn x(0) = 1

y(n) = x(n) − ay(n − 1) và ban đầu y(-1) = 0

Ta thu được kết quả như bảng dưới đây:

2.6 Đáp ứng xung

Đáp ứng xung của bộ lọc kĩ thuật số là chuỗi xếp hạng khi chuỗi đầu vào là x(n) = 𝛿(𝑛), trong đó:

Đáp ứng xung của bộ lọc một cực là:

y(n) = h(n) = (-a)n với n ≥ 0 Đầu ra được giới hạn rõ ràng khi và chỉ khi |𝑎| ≤ 1

Chúng ta sẽ thấy ở phần sau khi chúng ta thảo luận về chức năng hệ thống mà hệ thống có một “cực đơn” có vị trí được xác định bởi a, và ổn định nếu “cực” nằm bên trong vòng tròn đơn vị

Nếu đáp ứng xung của một hệ thống rời rạc là h(n) thì đáp ứng đến bất kì chuỗi đầu vào nào x(n) có thể được tính bằng tích chập

Đối với ví dụ trước:

Điều này cung cấp trọng số theo cấp số nhân của các đầu vào trong quá khứ

2.7 Mô hình và chức năng hệ thống

Hàm hệ thống H(z) mô tả phản ứng của hệ thống đối với một chuỗi đầu vào theo cấp số nhân, x(n) = z n

z có thể là bất kì số phức nào, thường được biểu diễn dưới dạng z = 𝑟𝑒

Giả sử rằng phản ứng có dạng y(n) = H(z) zn Lưu ý rằng H(z) = y(0) là một số sau khi z đã được xác định

Thay cả hai chuỗi vào phương trình sai khác và loại bỏ zn điều kiện chung

 Chức năng hệ thống

Mối quan hệ chặt chẽ giữa chức năng hệ thống, phương trình sai khác và sơ đồ khối là điều hiển nhiên

Chức năng hệ thống được xác định bất kì nơi nào mẫu số không phải là số 0 Các gốc của mẫu số không bị hủy bởi các gốc của tử số được gọi là “cực” của hàm hệ thống

 Mô hình hệ thống

2.8 Phép biến đổi z

Dạng biến đổi z được xác định cho các trình tự rời rạc Nó liên quan đến biến đổi Fourier cho chuỗi rời rạc và chứa thông tin về các tần số chứa trong chuỗi

Định nghĩa đơn giản là:

Dạng biến đổi z nghịch đảo có thể được định nghĩa, nhưng không cần thiết trong phân tích này

VD: Chuỗi số mũ

Cho

Trong đó A là một hằng số Dãy giảm độ lớn nếu |𝐴| < 1

Đây chỉ là một chuỗi hình học hội tụ với điều kiện |𝐴/𝑧| < 1 Do đó:

Mẫu số có gốc (cực) tại z = A Chuỗi hội tụ nếu cực nằm bên trong vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z

2.9 Toán tử trễ

Giả sử rằng phép biến đổi z của x(n) là X(z) Sau đó, phép biến đổi z của x(n-k)

là X(z)z-k

Do đó, chúng ta có thể coi z-1 là toán tử trễ

2.10 Phương trình sai khác và chức năng hệ thống

Lấy dạng biến đổi z của tất cả các số hạng trong phương trình sai khác bằng cách

sử dụng toán tử trễ Bởi vì tất cả các hoạt động đều tuyến tính

Điều này có thể được sắp xếp lại như một tỷ lệ của các đa thức trong z trùng với phương trình hệ thống

Điều này dẫn đến phương trình hàm hệ thống:

Điều tự nhiên là xác định các đa thức:

Đây là các dạng z của đa thức mẫu số và tử số trong hàm hệ thống và cả những

đa thức được hình thành từ các hệ số phương trình sai khác

Các kết quả sau đó hiển thị các mối quan hệ hữu ích sau:

2.11 Chức năng hệ thống và đáp ứng xung

Về đáp ứng xung, ta có:

Lấy dạng biến đổi z của cả hai bên bằng cách nhân với z-n và tính tổng trên n

Chức năng hệ thống liên quan đến đáp ứng xung bởi

Đối với bộ lọc một cực, ta có:

Do đó, ta được:

Gốc tại z = -a là hiển nhiên

2.12 Đáp ứng tần số

Cho x(n) = e là một chuỗi đầu vào Đầu ra được tính bằng cách sử dụng

phương trình tích chập

Tổng chỉ là H(z) với z = 𝑒 Do đó, một cấp số nhân trình tự đầu vào tạo ra trình

tự đầu ra cũng là một cấp số nhân

ở đây

Đáp ứng của hệ thống H(𝑒 ) cung cấp cùng một loại thông tin về một hệ thống rời rạc, do đó H(𝑒 ) cung cấp về một hệ thống liên tục

Với bất kì 𝜔, 𝑒 ( ) = 𝑒 Do đó H(𝑒 ) tuần hoàn với chu kì 2𝜋 Đối với bộ lọc một cực, ta có:

2.13 Đáp ứng của bộ lọc một cực

2.14 Bộ lọc hình sin giảm chấn

Bộ lọc hình sin giảm chấn có đáp ứng:

 Đáp ứng xung được tính toán và thử nghiệm

 Đáp ứng với chuỗi đầu vào nhiễu trắng

 Hàm tự tương quan được tính toán và thực nghiệm

 Phổ công suất và đáp ứng bộ lọc tần số

III KẾT LUẬN Qua bài tiểu luận trên, chúng ta đã tìm hiểu sâu hơn về các quá trình ngẫu nhiên, các quá trình ngẫu nhiên có liên quan có thể mô tả bằng: hàm tự tương quan, phổ công suất, bộ lọc đầu với đầu vào nhiễu trắng, cách để tạo một quá trình ngẫu nhiên có liên quan Chúng ta còn biết được về mô hình bộ lọc kĩ thuật số gồm: phương trình sai khác, sơ đồ khối, đáp ứng xung và chức năng hệ thống

Bên cạnh đó, chúng ta còn biết thêm về mô hình và chức năng của hệ thống, phép biến đổi z và toán tử trễ Và mối quan hệ giữa phương trình sai khác với chức năng hệ thống, giữa chức năng hệ thống với đáp ứng xung Bài tiểu luận còn đem đến kiến thức về đáp ứng tần số, đáp ứng của bộ lọc một cực, bộ lọc hình sin giảm chấn được thể hiện rõ ràng và chi tiết qua các hình vẽ