Giáo trình Toán cao cấp B2: Phần đại số - Trường CĐ Công nghệ thông tin TP.HCM

Giáo trình Toán cao cấp B2: Phần đại số giải quyết hầu hết các vấn đề trọng yếu của môn học, giúp sinh viên có nền tảng về toán để tiếp cận các môn học khác trong chương trình đào tạo hệ cao đẳng khối ngành kinh tế. Phần lý thuyết được trình bày logic, ngắn gọn, dễ hiểu, với nhiều ví dụ phù hợp với đối tượng là sinh viên hệ cao đẳng. Ngoài ra, còn có phần cho sinh viên tự nghiên cứu, sau mỗi chương đều có bài tập để sinh viên rèn luyện.

GVC ThS NGUYỄN THỊ MINH THƯ Chủ biên ThS DƯƠNG THỊ XUÂN AN; ThS NGUYỄN THỊ THU THỦY

GIÁO TRÌNH

TOÁN CAO CẤP B2

PHẦN ĐẠI SỐ KHỐI KINH TẾ

(LƯU HÀNH NỘI BỘ )

TP HỒ CHÍ MINH 2013

Hoan nghênh bạn đọc góp ý phê bình

Chân thành cảm ơn

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập và giảng dạy môn Toán

trong trường, Bộ môn Toán Trường Cao Đẳng Công Nghệ

Thông Tin TPHCM đã tổ chức biên soạn và ấn hành cuốn

TOÁN CAO CẤP B2 dành cho sinh viên khối ngành kinh tế

Cuốn sách do các giảng viên thuộc bộ môn Toán biên soạn,

trên cơ sở đề cương môn học theo tín chỉ đã được Hội Đồng

Khoa học trường phê duyệt

Nội dung cuốn sách phần là Đại số tuyến tính và các bài

toán ứng dụng trong kinh tế.Cuốn sách giải quyết hầu hết các

vấn đề trọng yếu của môn học, giúp sinh viên có nền tảng về

toán để tiếp cận các môn học khác trong chương trình đào tạo

hệ cao đẳng khối ngành kinh tế Phần lý thuyết được trình bày

logic, ngắn gọn, dễ hiểu, với nhiều ví dụ phù hợp với đối tượng

là sinh viên hệ cao đẳng Ngoài ra, còn có phần cho sinh viên

tự nghiên cứu, sau mỗi chương đều có bài tập để sinh viên rèn

luyện

Đây là tài liệu được sử dụng chính thức trong trường giúp

sinh viên học tập và thi kết thúc học phần có hiệu quả tốt theo

chương trình đào tạo tín chỉ Trong quá trình giảng dạy, giáo

trình sẽ được cập nhật, chỉnh lý để ngày càng hoàn thiện và đầy

đủ hơn Do khả năng có hạn, thời gian ngắn và cũng là lần đầu

biên soạn theo hướng đào tạo tín chỉ nên giáo trình không tránh

khỏi sai sót.Tập thể giáo viên bộ môn Toán rất mong nhận

được các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc trong và ngoài

trường Các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc xin gửi về chủ

biên: NGUYỄN THỊ MINH THƯ - Trưởng bộ môn TOÁN

Trường Cao đẳng Công nghệ Thông tin TP HCM Địa chỉ

minhthu15916@gmail.com

Xin chân thành cảm ơn

BỘ MÔN TOÁN

III Khai triển định thức theo một hàng hoặc cột

IV Cách tính định thức bằng phép biến đổi sơ cấp 21

2.1 KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 33

I Các khái niệm về hệ phương trình tuyến tính

II Định lí tồn tại nghiệm Kronecker-Capelli

2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

2.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG MA TRẬN 45

CHƯƠNG III

CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ 52

I Bài toán tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi

nhuận tối đa

II Bài toán xác định mức thuế doanh thu

III Bài toán định mức thuế nhập khẩu

IV Bài toán định mức thuế xuất khẩu

3.3 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM 2 BIẾN TRONG

KINH TẾ

73

I Bài toán tìm mức sản lượngtrong điều kiện cạnh

tranh hoàn hảo

II Bài toán tìm mức sản lượng trong điều kiện sản

xuất độc quyền

III Bài toán lựa chọn đầu vào cho sản xuất

I Mô hình điểm cân bằng thị trường

II Tìm điểm cân bằng thị trường

I Mô hình input – ouput mở

II Mô hình input – ouput đóng

ĐỀ THI THAM KHẢO 94 TÀI LIỆU THAM KHẢO 95

CHƯƠNG I

MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 1.1 KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN

1

ij m m

a a

Các phần tử a 11 , a 22 , a 33 , ….a ii ,… a nn được gọi là các

phần tử nằm trên đường chéo chính

Các phần tử a n1 , a n-1 2 , a n-2 3 , ….a ii ,… a 1n được gọi là các

phần tử nằm trên đường chéo phụ

5 Ma trận đường chéo (ma trận chéo) là ma trận vuông cấp

a

a

6 Ma trận đơn vị là ma trận chéo có các phần tử nằm trên

đường chéo chính đều bằng 1 Kí hiệu: I; E

7 Ma trận tam giác trên, tam giác dưới

a) Ma trận tam giác trên là ma trận vuông, trong đó aij = 0

8 Ma trận bằng nhau Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu

9 Ma trận chuyển vị (transposition = sự chuyển vị, sự đảo

ngược Cho ma trận A ( )a ij m n

×

= , ta đổi hàng thành cột và cột thành hàng thì được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của

3 5 -1 2 6-1 4 2 -3 8

4 -7 6 8 1

A

thì A=AT Khi đó ta nói ma trận A là ma trận đối xứng

10 Ma trận bậc thang và bậc thang chính tắc

a) Ma trận bậc thang là ma trận luôn thoả mãn hai tính chất

i) Các hàng khác không luôn ở trên các hàng bằng không

ii) Phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới luôn ở bên phải

cột chứa phần tử khác không đầu tiên của hàng trên

Chú ý: hàng khác không là hàng có ít nhất một phần tử khác

không

VÍ DỤ 3 Các ma trận sau là ma trận bậc thang:

phần tử khác không đầu tiên của mỗi hàng đều bằng 1, phần tử

này gọi là phần tử chính, mỗi cột có phần tử chính thì các phần

212

Nghĩa là lấy các phần tử ở hàng i của ma trận A nhân tương

ứng với các phần tử ở cột j của ma trận B rồi cộng lại

Cách nhớ: dùng hình sao hoặc các đường thẳng song song

ủa một định thức cho nhau thì

8 Tính chất 8: Khi tất cả các phần tử của 1 hàng của 1 định

…

3 Khai triển định thức theo cột thứ j

Nếu đề bài chỉ yêu cầu tính định thức thì ta chọn khai triển

theo hàng 2 vì hàng 2 có nhiều số không nhất

IV Cách tính định thức bằng phép biến đổi sơ cấp

Chú ý: Dựa vào ĩa và tính chất trên thì thông thường

Xét ma trận vuơng khơng suy biến A cấp n×n, nếu tồn tại ma

trận vuơng B cấp n×n sao cho AB BA= = I thì ta nĩi A khả

nghịch (khả đảo) và gọi B là ma trận nghịch đảo của A

Lấy A M khả đảo thì tồn tại A theo ĐN

Giả sử A có hai ma trận nghịch đảo là B và B

AB B A I khi đó

AB B A I mà B B I B AB B A B I B B đfcm

2 Định lý 2 (Điều kiện để ma trận vuông khả nghịch)

321

2 Phương pháp 2 Phương pháp Gauss-Jordan

Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là

1

11 76

2 2

1 11

det(B) gọi là định thức con cấp k của ma trận A Hạng của ma

trận A là cấp cao nhất của định thức con khác khơng của A,

ý hiệu: Rank(A) hoặc R(A)

ếu A = Onxm thì Rank(A) = 0

Í DỤ 1 Tìm hạng của ma trận A =

⎠ Min(m,n)= min{3,4} = 3

Các định thức con cấp 3 của A là:

0 0 1 -1 0 0 -1 0

; 2 ; 1 1 2 0

b) Phép biến đổi sơ cấp trên hàng hay trên cột của ma trận

A khơng làm thay đổi hạng của ma trận A

≠

1 1 0 1 1 2 1 0 2 1 0 2

1 0 con cấp 2 của là =1 0 vậy Rank( ) =

c) Gạch bỏ hàng toàn số không, hoặc hàng là tổ hợp tuyến

tính của những hàng khác thì hạng của nó không thay

II Cách tìm hạng của ma trận

Nhận xét :

g bằng số hàng khác không của nó bất kỳ ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận về dạng bậc thang, khi đó hạng của

nó bằng số hàng khác không của ma trận bậc thang

VÍ DỤ 3 Biện luận theo λ hạng của ma trận sau

VÍ DỤ 4 Biện luận theo m hạng của ma trận sau

+

1, , , là ẩn số2 n ,

x x x n b , , ,1 b2 b làm các hằng số.

=

* Khi thì ta có hệ phương trình n ẩn số m n n

( )

= ∀ =

hi 0 ( 1, ) thì hệ I đư gọi là he

* K b i i n ợc ä PTTT hua nhấtt àn

ä I được viết dưới dạngma trận là: II

gọi là ma trận hệ số mở rộng

3 Định nghĩa nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

Bộ n số thực (α1,α2, αn) gọi là nghiệm của hệ nếu thỏa các

gọi là tập

ương trình tương đương

Hai hệ phương trình cĩ cùng số phương trình và cùng số ẩn

c gọi là tương đương nếu chúng cĩ cùng tập nghiệm

Các phép biến đổi sau đây chuyển một hệ phương trình

thành một hệ phương trình tương đương

+ Đổi vị trí 2 phương trình

+ Nhân 1 phương trình nào đĩ với 1 số khác 0

đẳng thức trong hệ Tập tất cả các nghiệm của hệ

nghiệm

4 Định nghĩa hệ ph

đượ

+ Cộng vào 1 phương trình nào đó 1 phương trình khác

đã được nhân với 1 số khác 0

ghiệm

N X = ( 0,0, ,0 )được gọi là nghiệm tầm thường

II Định lý Kronecker_Capelli (về sự tồn tại nghiệm của hệ)

Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi ma trận hệ số và ma trận hệ

số mở rộng có hạng bằng nhau: R(A)=R(A)

VÍ DỤ 1 Hệ phương trình sau có nghiệm hay không?

4 8 4

Suy ra r A =r( )A B =2 vậy hệ phương trình có nghiệm

VÍ DỤ 2 Hệ phương trình sau có nghiệm hay không ?

Xét ma

ẢI

trận mở rộng

2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TUYẾN TÍNH

I Giải hệ bằng phương pháp Cramer

1 Định nghĩa hệ Cramer: là hệ phương trình có số phương

trình bằng số ẩn và có định thức của ma trận hệ số khác không:

det(A) 0

2 Định lý Cramer : Hệ Cramer có nghiệm duy nhất và nghiệm

được tính theo công thức:

≠

; 1, det( )

j j

A x

2 2

x

3

2 et

2 det

2 t

A A

=+

+

−

=+

−

5)12(4

24

73

2

z m y

x

z y

x

z y x

−1 BÀ

Chú ý: Phương pháp Cramer ch ùng được ỉ d

a) Hệ phương trình có số phương trình bằng số ẩn, khi số

phương trình bằng số ẩn lớn hơn 3 thì khối lượng tính toán khá

b) Định thức của ma trận hệ số khác không: det(A)

lớn

≠0

c) Khi det(A) = 0 hoặc số phương trình khác số ẩn thì không

áp Cramer.Khắc p ục nhược điểm này ta s-Jordan

II Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss-Jordan

Bước 2: Dùng các phép biến đổi s cấp trên hàng đưa ma ơ

trận A về dạng ma trận bậc thang hoặc tam giác

ăn cứ vào hạng của A và

nghiệm của hệ phương trình, cụ thể:

)

* Nếu rank(A ≠ rank(A) thì hệ vô nghiệm

* Nếu rank(A) = rank(A) = n thì hệ có 1 nghiệm

duy nhất

* Nếu rank(A) = rank(

nghiệm, trong đó có n - r nghiệm tự do và r nghiệm phụ

thuộc tuyến tính vào n – r ẩn tự do đó

VÍ DỤ 4 Giải hệ phương trình

4 8 4

=2 nên hệ có nghiệm Từ ma trận bậc thang ta

có ệ phương trình đã cho tương đương với hệ:

x y

α α

α α

Vậy hệ có nghiệm là (3 ,α −2α α α, ); ∈R

Hệ phương trình thuần nhất mà có số phương trình nhỏ hơn số

nghiệm không tầm thường

Chú ý:

ẩn thì sẽ có

Vậy nếu det(A)≠0 thì nghiệm của hệ (V) là X = B A-1

VÍ DỤ 7 Giải hệ phương trình ma trận sau

Chú ý: Có thể xác định cấp của ma trận, rồi thực hiện phép

nhân ma trận đưa về giải hệ phương trình tuyến tính

Từ đầu bài suy ra X là ma trận vuông cấp 2 ta có

b) Với m = 1, hãy tìm ma trận X sao cho XA =B

1 3 510

ý: Nếu det(A)= 0 thì A KHÔNG có ma trận A-1

Có thể xác định cấp của ma trận, rồi thực hiện phép nhân ma

ận đưa về giải hệ phương trình tuyến tính bằng PP GAUSS

Chú

tr

⎨

nghiệm tổng quát trong trường hợp đó

.5 Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính sau

3

b)

2.9. Giải các phương trình ma trận sau

⎞

⎟

⎠a) ⎛1 2⎞X ⎛6 4⎞

1 2 3

⎝4 k 1 ⎠

CHƯƠNG III

ÁC BÀI TOÁN ỨNG D NG TRONG KINH TẾ

Trong nền kinh tế thị trường, các doanh nghiệp luôn luôn

ng hoạt động của mình sao cho lợi nhuận đạt được là cao

nhất Nhà nước lãnh đạo tế thông qua các chính sách

inh tế của mình, chứ không phải bằng mệnh lệnh, như trong

h Thông thường nhà ước điều hành nền kinh tế kế hoạch Khi đó nhà nước điều

h nền kinh tế thông qua các ch h sách về thuế và lãi suất

Sau đây chúng ta xét một số bài toán thường gặp trong kinh

Quan hệ trên cho phép chúng ta nghiên cứu sự th đổi của đại

lượng y khi đại lượng x thay đổi Ta sẽ luôn giả thuyết rằng

hàm số f(x) có đạo hàm tại m i điểm Ta xét tại trạng thái

)

hướ

nền kinhk

nền kinh tế tập trung, nền kinh tế kế hoạc

n

doa

ĐẠ I.

Khi xét đến các mô hình kinh tế, chúng ta luôn luôn quan

tâm đến quan hệ giữa các đại lượng kinh tế Đặc biệt khi các

quan hệ giữa các đại lượng kinh tế

1.Giả sử các

ay ọ

0 , 0

x

( y , trong đó y0 = f x( 0 ) Chúng ta muốn biết tại trạng

ái đó , khi x tăng lên 1 đơn vị, thì đại lượng y thay đổi bao

nhiêu Điều đó dẫn chúng ta đ một khái niệm trong kinh tế:

đại lượng biên tế

th

ến

a) Định nghĩa: Biên tế của đại lượng y theo đại lượng x tại x0,

kí hiệu là Mx y x( 0 ) là độ biến đổi của đại lượng y khi đại

lượ x tăng lên 1 đơn vị

b) Biểu thức toán học của biên tế

ng

Giả sử tại x0 ta cho x tăng lên Δ = −x x x0đơn vị Khi đó

độ biến đổi tương ứng của đại lượng y sẽ là

Để biết được chính xác độ biến đổi của đại lượng y khi x

tăng lên 1 đơn vị, tại trạng thái (x y0 , 0 ) ta phải chuyển qua

giới hạn khi x tiến tới x0 tức là

Δ →

Δ

=

Δ .=f’(x )0Như vậy biên tế của đại lượng y theo đại lượng x tại là

i, nếu không sợ nhầm lẫn ta viết

0

x

đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0

0

Mx y x( )

VÍ DỤ 1 Nếu ta xét mô hình sản xuất một loại sản phẩm, trong

mô hình này tổng chi phí C có thể coi như một hàm của tổng

sản lượng Q là C C Q= ( )

Vậy chi phí biên tế MC Q( ) là đạo hàm của hàm ( )C Q

( ) '( )

MC Q =C Q

VÍ DỤ 2 Chi phí C(Q) phụ thuộc vào sản lượng Q và có mô

g chi phí sản xu oanh nghiệp là:

Chi phí biên của C theo Q (chi phí cận biên), kí hiệu

2

) 3Q= −10Q 14+MC(Q

2 Giả sử ta có các đại lượng kinh t …, x liên hệ

với nhau bằng quan hệ

,x , ,… x j,…x n Đó là đại lượng biên tế lượng y

ợng x tại trạng thái (x x1 , 2 , ,… x n) và ta kí hiệu :

lao động ; Q là khối lượ đầu ra) Đây là hàm hai

thể lấy các đạo hàm riêng

∂

∂ và

Q L

∂

∂

Đạo hàm riêng Q

K

∂

∂ là tỉ số của sự thay đổi của đại lượng Q

đổi vô cùng bé của đại lượng K trong khi lao hay đổi V

đối với sự thay

∂ là tỉ số của sự thay đổi ng Q đối với

sự thay đổi vô cùng bé của đại hi vốn không thay đổi

a) Độ i tuyệt đối và thay đổi t

T đại lượng x Khi ta lấy

1.Giả sử các đại lượng kinh tế x và y với nha

bằng quan hệ hàm y=f(x)

gọi là độ thay đổi tuy đối của đại lượng x

x Ví dụ, đại lượng x diễn tả trọng lượngcủa sản phẩm ch ng hạn Ta hãy ta chọn đơn vị

để đo trọng lượ là kilôgam thì

ệt

Độ thay đổi tuyệt đối của đại lượng x phụ thuộc vào đơn vị

chọn để đo đại lượng

ng Δ =x 2 ( )kg

ì khi đó x

Vđơn vị để đo trọng lượng là tấ

đổi tuyệt đốđổi tương đố giữ

Δ

Độ biến đổi tương đối của đại lượng x không phụ thuộc vào

đơn vị chúng ta chọn để đo

VÍ D ọ

à:

Ụ 4 Nếu ta ch n đơn vị để đo là kilôgam, xét tại

=100.000.000(kg) và độ biến đổi tuyệt đối

Nếu ta lặp lại việc xét sự phụ thuộc của đại lượng kinh tế y

vào đại lượng kinh tế x t (x y0 , 0 với

y = f x cũng giống như khi ta xét biên tế, nhưng b ờ

thay cho độ biến đổi tuyệt đối của x và y là

hiệu là ε (x ) là độ biến đổi tương đối của đại lượng y (tính

ra %) khi đại lượng x tăng tương đối lên 1(%)

c) Biểu thức toán học của hệ số co giãn

Ta xét y= f x( ) tại điểm x0 Ta cho ăng lên x t Δx đơn vị

Δ

Khi đó, độ biến đổi tuyệt đối tương ứng của đại lượng y sẽ là

Vậy khi x tăng tương đối lên 1% thì độ biến đổi tương đối

trung bình của đại lượng y sẽ là :

0 0

100 100

y x

×

Δ ×

Để biết được chính xác độ bi ơng đối của đại lượng

y tại x0khi x tăng lên 1% ta phải chuyển qua gi

phụ thuộc vào giá bán p của loại hàng đó Trong m

Q nghịch biến với giá bán của nó (p) Tức là khi p tăng thì

khối lượng ảm Để th hiện được tính chất trên ta giả

thuyết '( ) 0Q p < với mọi p>0

(giảm đi bao nhiêu %) khi giá bán p tăng lên 1% Như vậy ta

Trong một số sách kinh tế người ta còn định nghĩa hệ

số co giãn của hàm cầu: D Q p'( ). p 0

Tại P 120= , εD(P )0 = −1,5(%) hĩa là khi đang bán với

đơn giá P0 =120, nếu ta tăng giá lên 1%, thì lượng cầu sẽ

giảm đi khoảng 1,5%

, ng

VÍ DỤ 7 Lượng cầu Q Dcủa một loại hàng phụ thuộc vào giá

bán p của nó như sau: Q D =6000 2− p

a) Tìm hệ số co giãn của hàm cầu

b) Xét tại giá bán p=2000 và p=1200 thì hàm cầu sẽ thay

đổi bao nhiêu?

b) Nếu p=2000 thì εD = − tức là tại đó khi giá bán p tăng 2

lên 1% thì khối ợng cầu giảm đi 2% lư

d) Phân loại điểm trạng thái: Dựa vào hệ số co giãn người ta

phân loại điểm trạng thái (x y0 , 0) của hai đ ượng x và y

Trong kinh tế người ta định nghĩa như sau:

• N εyx(x0 ) = thì điểm 1 (x y0 , 0) được gọi là điểm

đẳng co giãn (đôi khi còn gọi là điểm co giãn đơn vị)